Super Edge Magic Strength Pada Graf Fire Crackers Dan Graf Banana Trees
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super Edge Magic
Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees adalah benar karya saya
dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Andini Qashrina Darmanagari
NIM G54110031
ABSTRAK
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI. Super Edge Magic Strength pada
Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees. Dibimbing oleh TEDUH
WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang
menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super
edge magic strength. Suatu graf disebut super edge magic jika terdapat
pemetaan satu-satu dari himpunan verteks ke himpunan bilangan bulat
, dengan adalah banyaknya verteks dan pemetaan satu-satu dari
himpunan edge ke himpunan bilangan bulat
dengan
adalah banyaknya edge sedemikian sehingga untuk setiap edge pada graf,
jumlah label edge dan verteks yang incident dengan edge tersebut memiliki
nilai yang sama dan disebut konstanta magic. Super edge magic strength
adalah nilai minimum dari konstanta magic yang diperoleh dari semua
pelabelan super edge magic pada graf tersebut.
Kata kunci: graf Banana Trees, graf Fire Crackers, konstanta magic, super
edge magic
ABSTRACT
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI. Super Edge Magic Strength of
Fire Crackers and Banana Trees Graphs. Supervised by TEDUH
WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.
This manuscript proves theorems related to the super edge magic
strength of fire crackers and banana trees graphs. A graph is called super edge
magic labeling if there exist a bijection from vertices to the set of integers
, where is the total number of vertices and a bijection from the
edges to the set of integers
}, where is the total
number of edges, with the property that the sum of the label on an edge and
the labels on the vertices that incident with that edge is constant for every
edge in the graph. The constant is called the magic number. Super edge magic
strength is defined as the minimum of magic number where the minimum is
taken over all super edge magic labeling.
Keywords: Banana Trees graph, Fire Crackers graph, magic number, super
edge magic
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Judul Skripsi : Super Edge Magic Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf
Banana Trees
Nama
: Andini Qashrina Darmanagari
NIM
: G54110031
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:
1 Keluarga tercinta Ayah, Mama, Abang Daffa, Adik Fauzy, dan seluruh keluarga
besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang,
dan motivasi,
2 Teduh Wulandari Mas’oed, MSi dan Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen
pembimbing, serta Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama
penulisan skripsi ini,
3 Nopi Elida selaku kakak tingkat penulis sejak TPB yang telah mendengarkan
curahan hati selama penulisan skripsi ini, yang selalu memberikan motivasi,
semangat, serta saran,
4 Intan, Kiki, Lidya, Sifa, Hanna, Alfi, Riefdah, Putri, Atikah, Resty selaku sahabat
yang menemani penulis selama masa kuliah dan memberikan motivasi, doa, serta
dukungan,
5 Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan,
dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah diberikan,
6 Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49, keluarga
besar LDK Al Hurriyyah IPB, keluarga besar Puskomnas Al Hurriyyah IPB,
keluarga besar FSLDK IPB, penghuni Asrama Putri A2 lorong IV TPB IPB tahun
2011/2012, dan semua keluarga besar alumni SMA Negeri 4 Kota Bekasi yang
berada di IPB yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2016
Andini Qashrina Darmanagari
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Graf Fire Crackers
7
Graf Banana Trees
21
SIMPULAN DAN SARAN
26
Simpulan
26
Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
27
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Graf
Cycle
3-regular graph
Graf 6-star
Graf Fire Crackers F(3,2)
Graf Banana Trees BT(2,3,4)
Pelabelan super edge magic pada graf Fire Crackers F(2,1)
pada graf Fire Crackers
pada graf Fire Crackers
pada graf Fire Crackers
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
2
3
3
4
4
5
6
9
9
9
22
22
22
23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bukti teorema yang berlaku pada tree
Graf Fire Crackers dengan F(3,3), c(f) = 34
Graf Fire Crackers dengan F(3,3), c(f) = 35
Graf Fire Crackers dengan F(3,4), c(f) = 40
Graf Fire Crackers dengan F(3,4), c(f) = 41
Graf Fire Crackers dengan F(2,1), c(f) = 16
Graf Banana Trees dengan BT(2,3), c(f) = 20
Graf Banana Trees dengan BT(2,3), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(2,4), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(3,1), c(f) = 18
Graf Banana Trees dengan BT(3,1), c(f) = 19
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 23
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 25
Graf Banana Trees dengan BT(1,2,3), c(f) = 25
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
39
40
42
43
44
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam
pengembangan matematika terapan dan telah mengalami perkembangan sejak tahun 1920-an.
Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh Leonhard Euler sebagai solusi permasalahan
mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota Königsberg (sekarang dikenal sebagai
Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard
Euler memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang
terdiri dari titik dan garis. Titik merepresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan
dan garis sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai
“Teori Graf”.
Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan memiliki banyak
terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi,
dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu
permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana melabelkan suatu verteks dan edge
sedemikian sehingga setiap verteks dan edge yang saling terhubung memiliki label yang
berbeda.
Suatu pelabelan pada graf
dengan banyaknya verteks v dan banyaknya edge
adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
ke himpunan bilangan bulat positif
Pelabelan ini disebut pelabelan total (Ngurah & Baskoro 2003). Pelabelan
pada graf terdiri dari pelabelan verteks, pelabelan edge, dan pelabelan total. Pelabelan
verteks adalah pelabelan dengan domain himpunan verteks, pelabelan edge adalah pelabelan
dengan domain himpunan edge, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain
gabungan himpunan verteks dan edge. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah
dikembangkan, di antaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total,
pelabelan ajaib (magic), dan pelabelan antiajaib (antimagic). Dalam pengembangan
pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic,
pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic. Salah satu contoh penerapan dari
sebuah pelabelan pada graf adalah pemberian alamat pada suatu komputer yang ada dalam
suatu jaringan.
Pelabelan ajaib (magic) pada suatu graf merupakan pelabelan total pada verteks dan
edge suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label pada sebuah
edge dan dua verteks ujungnya adalah suatu bilangan konstan atau disebut konstanta magic
(Kotzig dan Rosa 1970). Pelabelan super edge magic adalah pelabelan graf yang himpunan
verteksnya dipetakan ke
serta himpunan edgenya dipetakan ke
dengan adalah banyaknya verteks dan adalah banyaknya edge pada suatu
graf (Enomoto et al. 1998).
Terdapat 2 graf yang akan dibahas pada penelitian ini yaitu graf Fire Crackers dan
graf Banana Trees. Karya ilmiah ini akan menjelaskan teorema-teorema yang menyatakan
bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees merupakan graf yang memiliki super edge
magic strength (Swaminathan & Jeyanthi 2006).
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menjelaskan pembuktian teoremateorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super
edge magic strength.
TINJAUAN PUSTAKA
Graf
Suatu graf
adalah pasangan terurut
dengan
himpunan takkosong dan
berhingga dan himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen
Graf
dinotasikan dengan
Elemen
disebut verteks sedangkan elemen
disebut edge. Himpunan dari verteks-verteks pada graf
dinotasikan dengan
sedangkan edge-edge pada graf dinotasikan dengan
(Foulds 1992). Contoh graf
dapat dilihat pada gambar berikut ini.
Gambar 1 Graf
Himpunan verteks dan himpunan edge pada Gambar 1 adalah
dan
Order dan Size
Misalkan diberikan graf
Banyaknya verteks pada graf
disebut order dan
banyaknya edge pada graf disebut size dari graf Order dari graf dinotasikan dengan
, sedangkan size dari graf dinotasikan dengan
(Chartrand & Oellermann
1993). Pada Gambar 1, nilai dari
= 5 dan nilai dari
= 5.
Adjacent dan Incident
Misalkan diberikan graf G. Jika
dengan
maka dan
dikatakan adjacent di dan dikatakan incident dengan dan (Chartrand & Oellermann
1993). Pada Gambar 1, misalkan
maka dan dikatakan adjacent di dan
dikatakan incident dengan dan
Degree
Derajat (degree) dari suatu verteks pada graf
adalah banyaknya edge yang
incident dengan dan dinotasikan dengan deg (Chartrand & Oellermann 1993). Pada
Gambar 1, derajat setiap verteksnya ialah deg
deg
deg
deg
dan
deg
3
Walk, Cycle, Tree, Path
Suatu walk pada graf adalah suatu deretan berhingga dari verteks dan edge secara
bergantian yang diawali dan diakhiri dengan verteks, sedemikian sehingga setiap edge,
incident
dengan
dua
verteks
yang
berdekatan.
Contohnya
dan dapat dituliskan sebagai
atau
Suatu walk yang menghubungkan
dengan
dikatakan tertutup jika
Jika
maka walk tersebut dikatakan terbuka (Foulds 1992). Pada Gambar
1, terdapat walk terbuka yaitu walk
. Cycle pada suatu graf adalah
walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga verteks dan semua verteks berbeda
(Foulds 1992). Pada Gambar 2, terdapat cycle pada graf yang terdiri atas tiga verteks
yaitu
Gambar 2 Cycle
Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle (Foulds 1992). Path
pada suatu graf adalah suatu walk dengan semua verteksnya berbeda. Graf ber-order
yang berbentuk path disebut graf path ber-order
dituliskan
(Chartrand &
Oellermann 1993). Pada Gambar 1,
merupakan salah satu contoh path.
Regular Graph
Graf yang setiap verteksnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur.
Apabila derajat setiap verteks adalah maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur
derajat ( -regular graphs) (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 3, terdapat 3regular graphs dengan derajat setiap verteks adalah 3.
Gambar 3 3-regular graph
Star Graph
Graf star (star graph) atau dikenal dengan -star adalah tree yang memiliki
verteks dengan satu verteks mempunyai derajat
verteks ini dinamakan verteks
pusat dan
verteks lain mempunyai derajat 1, verteks ini dinamakan verteks
pendant (Chartrand & Oellermann 1993). Contoh graf 6-star ditunjukkan pada Gambar 4.
4
Gambar 4 Graf 6-star
Graf Fire Crackers
Misalkan
adalah graf
-star dengan
. Misalkan
adalah
salah satu verteks pendant dari graf dan
adalah salah satu verteks pendant dari graf
Misalkan
adalah verteks yang adjacent dengan
untuk
Misalkan
merupakan verteks pendant yang adjacent dengan
untuk
Tree yang diperoleh dengan menghubungkan
dan
untuk
disebut graf Fire Crackers dan dinotasikan dengan
(Swaminathan &
Jeyanthi 2006). Notasi menyatakan banyaknya graf star yang ada pada graf Fire Crackers
dan menyatakan banyaknya verteks pendant yang menempel pada setiap graf star yang
ada pada graf Fire Crackers. Contoh graf Fire Crackers
ditunjukkan pada Gambar
5.
Gambar 5 Graf Fire Crackers
Berdasarkan definisi, graf Fire Crackers
pada Gambar 5 memiliki nilai
dan
Pada Gambar 5, diberikan notasi
dan
Notasi terdiri dari verteks-verteks
penghubung (menghubungkan antara 2 graf star yang ada pada graf Fire Crackers) yaitu
dan
atau secara umum dituliskan dengan
Selanjutnya notasi
terdiri dari
verteks-verteks pusat yaitu
dan atau secara umum dituliskan dengan dan notasi
terdiri dari verteks pendant yaitu
dan
atau secara umum
dituliskan dengan
Akibatnya, pada Gambar 5 diperoleh himpunan verteks dari graf Fire
Crackers
sebagai
berikut,
5
Kemudian pada graf Fire Crackers
terdapat 11 edge. Verteks dihubungkan
dengan verteks
untuk setiap
maka akan didapatkan edge yaitu
untuk setiap
Edge berikutnya menghubungkan setiap verteks dan verteks
untuk setiap
Edge selanjutnya menghubungkan
dinotasikan dengan
setiap verteks dan verteks
dinotasikan dengan {
} untuk setiap
dan
Akibatnya diperoleh himpunan edge secara keseluruhan dari graf Fire Crackers
sebagai
berikut,
=
{
Graf Banana Trees
Misalkan
adalah graf
-star,
-star sampai
adalah salah satu verteks pendant dari graf
. Misalkan juga
star. Misalkan
adalah sebuah verteks baru. Tree yang diperoleh dengan menghubungkan dengan
setiap
untuk
disebut Banana Trees, dinotasikan oleh
dan
adalah sembarang bilangan bulat positif dan
(Swaminathan &
Jeyanthi 2006). Contoh graf Banana Trees
ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 6 Graf Banana Trees
Berdasarkan definisi, graf Banana Trees
pada Gambar 6 memiliki nilai
Pada Gambar 6, diberikan notasi
dan
Notasi terdiri
dari sebuah verteks baru. Verteks ini menghubungkan beberapa graf star, dinotasikan
dengan Selanjutnya notasi terdiri dari beberapa verteks yaitu
dan
atau
secara umum dituliskan dengan lambang
Di notasi
terdapat verteks-verteks
atau secara umum dituliskan dengan lambang
berikutnya yaitu verteks pusat
dan
dan juga di notasi
terdapat enam verteks lainnya (verteks pendant) yaitu
atau secara umum dituliskan dengan lambang
Akibatnya,
dan
pada Gambar 6 diperoleh himpunan verteks dari graf Banana Trees
adalah
6
Graf Banana Trees
memiliki 12 edge. Edge yang didapatkan dari
Edge selanjutnya
menghubungkan verteks
dan verteks
dinotasikan dengan
menghubungkan setiap verteks
dan verteks
dinotasikan dengan {
untuk setiap
Edge berikutnya menghubungkan setiap verteks dan verteks
dinotasikan
dengan {
} untuk setiap
dan
Akibatnya diperoleh himpunan
edge
secara
keseluruhan
dari
graf
Banana
Trees
Pelabelan Graf
Pelabelan Total (Total Labeling)
Suatu pelabelan pada graf
dengan banyaknya verteks v dan banyaknya edge
adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
ke himpunan bilangan bulat positif
Pelabelan ini disebut pelabelan total (Ngurah & Baskoro 2003).
Pelabelan Ajaib (Magic Labeling)
Misalkan graf dengan himpunan verteks dan himpunan edge Magic labeling
pada graf
adalah suatu fungsi bijektif
sehingga untuk
setiap edge
nilai penjumlahan
dengan
merupakan
konstanta magic dari fungsi bijektif f (Avadayappan et al. 2000).
Pelabelan Super Edge Magic
graf dengan verteks dan edge, dan memiliki pelabelan edge magic
Jika
dan
maka disebut pelabelan
super edge magic (Enomoto et al. 1998). Contoh pelabelan super edge magic dapat dilihat
pada Gambar 7.
Misalkan
Gambar 7 Pelabelan super edge magic pada graf Fire Crackers
Misalkan verteks-verteks pada graf Fire Crackers
.
diberi pelabelan:
7
Kemudian diberikan pelabelan untuk edge-edge pada graf Fire Crackers
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap edge yang incident terhadap
verteks :
Dari semua penjumlahan label di atas terlihat bahwa pelabelan tersebut menghasilkan satu
nilai saja atau disebut konstanta magic (magic number) yaitu
Graf Super Edge Magic
Suatu graf disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge
magic pada (Enomoto et al. 1998).
Super Edge Magic Strength
Misalkan graf dengan himpunan verteks dan himpunan edge
Super edge
magic strength pada graf
dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai nilai
minimum dari semua
artinya
adalah pelabelan super edge
magic dari } (Swaminathan & Jeyanthi 2006).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai super edge magic strength
pada graf Fire Crackers
dan graf Banana Trees
Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana menjelaskan pembuktian
teorema-teorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees
memiliki super edge magic strength.
1. Graf Fire Crackers
Teorema 1
Graf Fire Crackers memiliki pelabelan super edge magic jika,
jika
ganjil
jika k genap.
8
Akan dibuktikan:
i. Batas bawah dari
pada graf Fire Crackers yaitu
Bukti
Misalkan himpunan verteks
dan himpunan edge
{
} Total verteks yang ada pada graf dinotasikan dengan
Karena terdapat star dan setiap star memiliki verteks pendant sehingga setiap star
memiliki
verteks akibatnya graf memiliki
verteks, dapat dituliskan
rumus sebagai berikut
Graf dengan tree yang terhubung, mempunyai
total verteks
verteks sehingga total edge menjadi
atau dapat
dituliskan rumus sebagai berikut
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1).
Misalkan adalah salah satu pelabelan super edge magic dari graf dengan konstanta
magic
. Berikut penjabaran
⁞
⁞
⁞
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Berikut diberikan rumus beserta penjelasannya.
Pada graf Fire Crackers ini akan dicari konstanta magic
. Konstanta magic
yang paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Fire Crackers mempunyai
super edge magic strength. Nilai
didapat dengan cara menjumlahkan semua
verteks dan edge yang ada. Derajat (degree) pada rumus di atas merepresentasikan bahwa
setiap verteks akan digunakan sebanyak edge yang incident dengan verteks tersebut.
∑
∑
∑
(
)
Simbol
melambangkan verteks dan simbol
melambangkan edge. Simbol
verteks terdiri atas beberapa simbol verteks yaitu simbol verteks
dan
dengan
dan
dan edge
terdiri dari beberapa edge yaitu edge
dan
sehingga diperoleh:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)+
Rumus
di atas, dijelaskan menggunakan gambar. Pada Gambar 8 di bawah ini,
dijelaskan setiap suku yang terdapat pada rumus tersebut.
9
Gambar 8 Verteks
pada graf Fire Crackers
Pada Gambar 8 di atas, setiap verteks
minimal berderajat . Untuk
sampai
berderajat 3, secara umum penjumlahan label verteks dapat
∑
dituliskan sebagai berikut ∑
Gambar 9 Verteks
pada graf Fire Crackers
Untuk verteks dapat dilihat pada Gambar 9. Verteks mempunyai derajat
(berasal dari verteks pendant yang menempel pada graf star) dan juga berderajat satu
untuk verteks yang adjacent dengan . Dapat dituliskan penjumlahan label verteks oleh
∑
rumus sebagai berikut
pada graf Fire Crackers
Gambar 10 Verteks
Setiap verteks
selalu berderajat , maka dapat dituliskan penjumlahan label verteks
sebagai berikut ∑ ∑
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+ ∑
∑
+ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
(
)
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)+
10
Dengan memisahkan suku untuk setiap verteks dan edge yang ada, maka akan
didapatkan deret aritmatika (4 suku pertama sama dengan banyaknya verteks dan edge pada
graf sehingga penjumlahan label diperoleh
∑
∑
∑
(
∑
)
∑
∑
∑
∑
+∑
∑
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
secara umum dapat dituliskan
Karena
maka didapatkan hasil,
∑
∑
Karena yang akan dicari adalah nilai minimum dari suatu konstanta magic (magic number),
maka selanjutnya atur verteks yang berderajat tinggi dilabelkan dengan nilai terkecil, maka
diperoleh,
(
2
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Oleh karena itu,
{
{
{
{
–
–
–
}
}
}
}
11
2
{
}
(G)
Karena
maka
merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai
pasti memenuhi ketaksamaan
ii. Batas atas dari
pada graf Fire Crackers yaitu
jika ganjil.
Bukti
Pembuktian batas atas didapatkan dengan menunjukkan konstanta magic
ada pada pelabelan di graf Fire Crackers.
Pelabelan Graf Fire Crackers
Terbagi menjadi kasus yaitu,
Kasus (i) : ganjil. Terdapat
Kasus (ii) : genap
Subkasus (i) : ganjil.
Didefinisikan
Untuk
{
{
Untuk
subkasus.
sebagai berikut:
yang
12
(
)
{
Pelabelan edge sebagai berikut,
{
(
)
(
)
Untuk
{
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk genap pada:
sebagai berikut.
13
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
+
Pilih pelabelan untuk genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil, ganjil pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
sebagai berikut.
)
(
)
14
Pilih pelabelan untuk ganjil, genap pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap, ganjil pada
(
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
(
)
(
)
Pilih pelabelan untuk i genap, genap pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
sebagai berikut.
15
merupakan salah satu nilai konstanta magic yang
Karena
didapat maka
jika
ganjil dan
ganjil. Contoh
pelabelan super edge magic dengan ganjil dan ganjil dapat dilihat pada Lampiran 2
yaitu
dengan
dan Lampiran 3 yaitu
dengan
.
Subkasus (ii): genap.
Pelabelan untuk verteks
Pelabelan verteks
(
)
dan
{
Untuk
(
)
{
Pelabelan edge adalah sebagai berikut:
Untuk
(
)
{
Untuk
(
)
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
adalah sama dengan subkasus (i).
adalah sebagai berikut,
16
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk i ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk i genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
17
Pilih pelabelan untuk ganjil, ganjil pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sebagai berikut.
)
Pilih pelabelan untuk genap, ganjil pada
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil, genap pada
(
(
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
( ) (
)
18
Pilih pelabelan untuk i genap, j genap pada
(
)
(
(
)
(
):
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
( )
(
)
Karena
merupakan salah satu nilai konstanta magic
yang didapat maka
, jika ganjil dan genap. Contoh
pelabelan super edge magic dengan ganjil dan genap dapat dilihat pada Lampiran 4
yaitu
dengan
dan Lampiran 5 yaitu
dengan
.
Kasus (ii): genap. Misalkan
Didefinisikan
sebagai berikut:
{
{
(
)
{
Adapun pelabelan edge adalah sebagai berikut :
{
19
(
)
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
)
(
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
(
sebagai berikut.
)
Pilih pelabelan untuk ganjil pada pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
)
sebagai berikut.
20
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
(
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
Karena
(
)
)
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta
( )
(
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
sebagai berikut.
)
(
)
merupakan salah satu nilai konstanta magic
yang didapat maka
jika
genap. Contoh pelabelan
super edge magic dengan genap dapat dilihat pada Lampiran 6 yaitu
dengan
jika
Dari tahap i dan ii dapat dibuktikan
ganjil dan
graf Fire Crackers
jika genap. Jadi, secara umum maka pada
memiliki super edge magic strength dengan
jika
(2k +
jika
ganjil
genap.
21
2. Graf Banana Trees
Teorema 2
Graf Banana Trees memiliki pelabelan super edge magic jika,
dengan
bulat positif,
dan
Akan dibuktikan:
i. Batas bawah dari
adalah bilangan
pada graf Banana Trees yaitu
Bukti
Misalkan himpunan verteks
{
}
dan himpunan edge
Total
verteks yang ada pada graf dinotasikan dengan Total verteks pada graf Banana Trees
didapatkan dari penjumlahan unsur pembentuk graf star, jumlah graf star yang ada pada
graf Banana Trees dan satu verteks yang disebut dengan verteks baru. Dapat dituliskan
dengan rumus sebagai berikut
Graf dengan tree yang
terhubung mempunyai total verteks
verteks sehingga total
edge menjadi
edge atau dapat dituliskan rumus sebagai berikut
. Berikut penjabaran
⁞
⁞
⁞
∑
∑
∑
∑
Berikut diberikan rumus dan penjelasannya.
Pada graf Banana Trees ini akan dicari konstanta magic
Konstanta magic yang
paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Banana Trees mempunyai super
edge magic strength. Nilai
didapat dengan cara menjumlahkan semua verteks dan
edge yang ada. Derajat (degree) pada rumus di atas mempresentasikan bahwa setiap
verteks akan digunakan sebanyak edge yang incident dengan verteks tersebut.
∑
∑
∑
(
)
∑
∑
22
Simbol
melambangkan verteks dan simbol
melambangkan edge. Simbol
terdiri dari beberapa verteks lagi yaitu verteks
, dan
dengan
dan
dan edge w terdiri dari beberapa edge lagi yaitu
dan
∑
∑
∑
∑
∑
(
)
Rumus
di atas, dijelaskan menggunakan gambar. Pada gambar di bawah ini,
dijelaskan masing masing suku yang membentuk rumus tersebut.
Gambar 11 Verteks
pada graf Banana Trees
Dapat dilihat pada Gambar 11, bahwa verteks a berderajat sebanyak graf star yang akan
dibentuk atau dapat dituliskan dengan
Gambar 12 Verteks
pada graf Banana Trees
Karena
masing-masing berderajat 2, maka secara umum
penjumlahan label verteks
dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut
∑
Gambar 13 Verteks
pada graf Banana Trees
23
Untuk verteks
dapat dilihat pada Gambar 13. Verteks
mempunyai derajat
(berasal dari
verteks yang membentuk graf star). Maka dari itu penjumlahan label
∑
verteks dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut
pada graf Banana Trees
Gambar 14 Verteks
Setiap verteks
selalu berderajat 1, maka penjumlahan label verteks
sebagai berikut ∑ ∑
( )
∑
(
(
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
∑ ∑
) ∑
)
(
∑
dapat dituliskan
)
∑
)
Dengan memisahkan suku untuk setiap verteks dan edge yang ada, maka akan didapatkan
deret aritmatika (4 suku pertama sama dengan banyaknya verteks dan edge pada graf
sehingga penjumlahan label diperoleh
c(f) =
c(f) =
∑
dapat dituliskan (
Karena
∑
(
(
∑
∑
∑
∑
(
)
)
∑
)
∑
∑
secara umum juga
.
didapatkan hasil,
∑
(
)
∑
Karena yang akan dicari adalah nilai minimum dari suatu konstanta magic, maka atur
verteks yang berderajat tinggi dilabelkan dengan nilai terkecil, maka diperoleh:
(
)
(
∑
∑
24
2
(
)
)
)
)
Karena
maka,
)
)
)
Karena
)
)
)
)
merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai
pasti memenuhi ketaksamaan
)
maka
ii. Batas atas dari
pada graf Banana Trees yaitu
Bukti
Pembuktian batas atas didapatkan dengan menunjukkan konstanta magic
yang ada pada pelabelan pada graf Banana Trees.
Pelabelan Graf Banana Trees
Didefinisikan
{
} adalah sebagai berikut :
25
Pelabelan edge adalah sebagai berikut:
{
(
)
(
{
Pilih pelabelan untuk
(
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
)
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
)
pada
:
sebagai berikut.
26
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
merupakan salah satu nilai konstanta magic yang didapat
maka
. Dari tahap i dan ii dapat dibuktikan pada graf Banana Trees
memiliki super edge magic strength dengan
Contoh pelabelan super edge magic pada Banana Trees dapat
dilihat pada Lampiran 7 sampai dengan Lampiran 15.
Karena
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan
bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super edge magic strength.
Pembuktian dilakukan dengan merekonstruksi rumus
dan juga menunjukkan
konstanta magic yang didapat dari pelabelan yang sudah ada.
27
Saran
Dalam karya ilmiah ini telah dibahas teorema-teorema tentang super edge magic
strength pada graf Fire Crackers
dan graf Banana Trees
Karya
ilmiah ini dapat diperluas untuk penggunaan graf lainnya di antaranya unicyclic graph.
DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P. 2000. Magic strength of a graph. Indian Journal of
Pure and Applied Mathematics. 31(7): 873-883.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York
(US): McGraw-Hill.
Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graph. SUT
Journal of Mathematics. 34(2): 105–109.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Kotzig A, Rosa A. 1970. Magic valuations of finite graphs. Canadian Mathematical Bulletin.
13: 451–461. doi: 10.4153/CMB-1970-084-1.
Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On magic and antimagic total labeling of generalized
Petersen graph. Utilitas Math. 63: 97-107.
Swaminathan V, Jeyanthi P. 2006. Super edge–magic strength of fire crackers, banana trees
and unicyclic graphs. Discrete Mathematics. 306(14): 1624-1636. doi:
10.1016/j.disc.2005.06.038.
28
Lampiran 1 Bukti teorema yang berlaku pada tree
Teorema 3.1
Misalkan
tree yang mempunyai order
maka
juga mempunyai size
.
Bukti :
adalah suatu tree dengan order
dan size
hasilnya benar untuk
Karena
Misalkan
adalah suatu bilangan integer dan diasumsikan hasilnya benar untuk
semua tree yang berorder
.
Misalkan adalah tree berorder
dan size dan misalkan adalah sebuah edge
dari Diketahui bahwa adalah penghubung (bridge) dari sehingga
adalah forest
(minimal ada dua komponen). Dinotasikan dua komponen dari
yaitu dan dengan
dan size
Karena
berdasarkan
adalah tree berorder
asumsi bahwa
untuk
Dan juga, karena
dan
maka
29
Lampiran 2 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
30
Lampiran 3 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
31
Lampiran 4 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
32
Lampiran 5 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
33
Lampiran 6 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
= ,5
Super edge magic strength
terletak pada
34
Lampiran 7 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
35
Lampiran 8 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
36
Lampiran 9 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
37
Lampiran 10 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
38
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
39
Lampiran 11 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
40
Lampiran 12 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
41
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
42
Lampiran 13 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
.
43
Lampiran 14 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
44
Lampiran 15 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
45
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 29 Juli 1993 dari pasangan Isman
Yahya dan Rini Usman. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Kota Bekasi dan pada tahun yang sama
lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan dan
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di berbagai organisasi
kemahasiswaan baik intra maupun ekstra kampus. Di antaranya sebagai Koordinator
Putri Lembaga Dakwah Kampus (LDK) Masjid Al Hurriyyah IPB, Ketua Forum
Keluarga Keputrian Forum Silaturrahim Lembaga Dakwah Kampus (FSLDK) IPB,
Bendahara Komisi Internal Dewan Perwakilan Mahasiwa (DPM) TPB IPB, staf keLDK-an Forum Silaturrahim Lembaga Dakwah Kampus Indonesia. Selain itu juga,
penulis juga lolos dalam program wirausaha dan mendapat hibah dana Career
Development IPB, menerima beasiswa Super Semar 2012-2013 dan Karya Salemba
Empat 2014-2015 dan menjadi asisten dosen mata kuliah Agama Islam serta pernah
menjadi staf pengajar matematika di lembaga bimbingan belajar Spektrum.
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Super Edge Magic
Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees adalah benar karya saya
dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2016
Andini Qashrina Darmanagari
NIM G54110031
ABSTRAK
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI. Super Edge Magic Strength pada
Graf Fire Crackers dan Graf Banana Trees. Dibimbing oleh TEDUH
WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.
Karya ilmiah ini menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang
menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super
edge magic strength. Suatu graf disebut super edge magic jika terdapat
pemetaan satu-satu dari himpunan verteks ke himpunan bilangan bulat
, dengan adalah banyaknya verteks dan pemetaan satu-satu dari
himpunan edge ke himpunan bilangan bulat
dengan
adalah banyaknya edge sedemikian sehingga untuk setiap edge pada graf,
jumlah label edge dan verteks yang incident dengan edge tersebut memiliki
nilai yang sama dan disebut konstanta magic. Super edge magic strength
adalah nilai minimum dari konstanta magic yang diperoleh dari semua
pelabelan super edge magic pada graf tersebut.
Kata kunci: graf Banana Trees, graf Fire Crackers, konstanta magic, super
edge magic
ABSTRACT
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI. Super Edge Magic Strength of
Fire Crackers and Banana Trees Graphs. Supervised by TEDUH
WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.
This manuscript proves theorems related to the super edge magic
strength of fire crackers and banana trees graphs. A graph is called super edge
magic labeling if there exist a bijection from vertices to the set of integers
, where is the total number of vertices and a bijection from the
edges to the set of integers
}, where is the total
number of edges, with the property that the sum of the label on an edge and
the labels on the vertices that incident with that edge is constant for every
edge in the graph. The constant is called the magic number. Super edge magic
strength is defined as the minimum of magic number where the minimum is
taken over all super edge magic labeling.
Keywords: Banana Trees graph, Fire Crackers graph, magic number, super
edge magic
SUPER EDGE MAGIC STRENGTH PADA
GRAF FIRE CRACKERS DAN GRAF BANANA TREES
ANDINI QASHRINA DARMANAGARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
Judul Skripsi : Super Edge Magic Strength pada Graf Fire Crackers dan Graf
Banana Trees
Nama
: Andini Qashrina Darmanagari
NIM
: G54110031
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya
ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada:
1 Keluarga tercinta Ayah, Mama, Abang Daffa, Adik Fauzy, dan seluruh keluarga
besar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang,
dan motivasi,
2 Teduh Wulandari Mas’oed, MSi dan Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen
pembimbing, serta Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen penguji yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama
penulisan skripsi ini,
3 Nopi Elida selaku kakak tingkat penulis sejak TPB yang telah mendengarkan
curahan hati selama penulisan skripsi ini, yang selalu memberikan motivasi,
semangat, serta saran,
4 Intan, Kiki, Lidya, Sifa, Hanna, Alfi, Riefdah, Putri, Atikah, Resty selaku sahabat
yang menemani penulis selama masa kuliah dan memberikan motivasi, doa, serta
dukungan,
5 Teman-teman Matematika angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan,
dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah diberikan,
6 Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49, keluarga
besar LDK Al Hurriyyah IPB, keluarga besar Puskomnas Al Hurriyyah IPB,
keluarga besar FSLDK IPB, penghuni Asrama Putri A2 lorong IV TPB IPB tahun
2011/2012, dan semua keluarga besar alumni SMA Negeri 4 Kota Bekasi yang
berada di IPB yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2016
Andini Qashrina Darmanagari
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
vii
DAFTAR LAMPIRAN
vii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Graf Fire Crackers
7
Graf Banana Trees
21
SIMPULAN DAN SARAN
26
Simpulan
26
Saran
27
DAFTAR PUSTAKA
27
LAMPIRAN
28
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Graf
Cycle
3-regular graph
Graf 6-star
Graf Fire Crackers F(3,2)
Graf Banana Trees BT(2,3,4)
Pelabelan super edge magic pada graf Fire Crackers F(2,1)
pada graf Fire Crackers
pada graf Fire Crackers
pada graf Fire Crackers
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
pada graf Banana Trees
2
3
3
4
4
5
6
9
9
9
22
22
22
23
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Bukti teorema yang berlaku pada tree
Graf Fire Crackers dengan F(3,3), c(f) = 34
Graf Fire Crackers dengan F(3,3), c(f) = 35
Graf Fire Crackers dengan F(3,4), c(f) = 40
Graf Fire Crackers dengan F(3,4), c(f) = 41
Graf Fire Crackers dengan F(2,1), c(f) = 16
Graf Banana Trees dengan BT(2,3), c(f) = 20
Graf Banana Trees dengan BT(2,3), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(2,4), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(3,1), c(f) = 18
Graf Banana Trees dengan BT(3,1), c(f) = 19
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 22
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 23
Graf Banana Trees dengan BT(3,3), c(f) = 25
Graf Banana Trees dengan BT(1,2,3), c(f) = 25
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
39
40
42
43
44
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang banyak berperan dalam
pengembangan matematika terapan dan telah mengalami perkembangan sejak tahun 1920-an.
Pada awalnya, teori graf diperkenalkan oleh Leonhard Euler sebagai solusi permasalahan
mungkin tidaknya melewati ketujuh jembatan di kota Königsberg (sekarang dikenal sebagai
Kaliningrad, Rusia) dan kembali ke tempat asal semula tepat satu kali. Kemudian, Leonhard
Euler memodelkan permasalahan tersebut ke dalam model matematika berupa bagan yang
terdiri dari titik dan garis. Titik merepresentasikan kota yang dihubungkan oleh jembatan
dan garis sebagai jembatan yang menghubungkan kota. Model ini kemudian dikenal sebagai
“Teori Graf”.
Mengikuti perkembangan zaman, teori graf terus dikembangkan dan memiliki banyak
terapan, di antaranya model jaringan komunikasi, ilmu komputer, penjadwalan, riset operasi,
dan sebagainya. Hal itu disebabkan teori graf memiliki cakupan model yang luas. Salah satu
permasalahan utama dalam teori graf adalah bagaimana melabelkan suatu verteks dan edge
sedemikian sehingga setiap verteks dan edge yang saling terhubung memiliki label yang
berbeda.
Suatu pelabelan pada graf
dengan banyaknya verteks v dan banyaknya edge
adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
ke himpunan bilangan bulat positif
Pelabelan ini disebut pelabelan total (Ngurah & Baskoro 2003). Pelabelan
pada graf terdiri dari pelabelan verteks, pelabelan edge, dan pelabelan total. Pelabelan
verteks adalah pelabelan dengan domain himpunan verteks, pelabelan edge adalah pelabelan
dengan domain himpunan edge, dan pelabelan total adalah pelabelan dengan domain
gabungan himpunan verteks dan edge. Ada banyak jenis pelabelan pada graf yang telah
dikembangkan, di antaranya adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total,
pelabelan ajaib (magic), dan pelabelan antiajaib (antimagic). Dalam pengembangan
pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic,
pelabelan edge magic, dan pelabelan super edge magic. Salah satu contoh penerapan dari
sebuah pelabelan pada graf adalah pemberian alamat pada suatu komputer yang ada dalam
suatu jaringan.
Pelabelan ajaib (magic) pada suatu graf merupakan pelabelan total pada verteks dan
edge suatu graf dengan labelnya adalah bilangan asli, dengan jumlah label-label pada sebuah
edge dan dua verteks ujungnya adalah suatu bilangan konstan atau disebut konstanta magic
(Kotzig dan Rosa 1970). Pelabelan super edge magic adalah pelabelan graf yang himpunan
verteksnya dipetakan ke
serta himpunan edgenya dipetakan ke
dengan adalah banyaknya verteks dan adalah banyaknya edge pada suatu
graf (Enomoto et al. 1998).
Terdapat 2 graf yang akan dibahas pada penelitian ini yaitu graf Fire Crackers dan
graf Banana Trees. Karya ilmiah ini akan menjelaskan teorema-teorema yang menyatakan
bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees merupakan graf yang memiliki super edge
magic strength (Swaminathan & Jeyanthi 2006).
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menjelaskan pembuktian teoremateorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super
edge magic strength.
TINJAUAN PUSTAKA
Graf
Suatu graf
adalah pasangan terurut
dengan
himpunan takkosong dan
berhingga dan himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen
Graf
dinotasikan dengan
Elemen
disebut verteks sedangkan elemen
disebut edge. Himpunan dari verteks-verteks pada graf
dinotasikan dengan
sedangkan edge-edge pada graf dinotasikan dengan
(Foulds 1992). Contoh graf
dapat dilihat pada gambar berikut ini.
Gambar 1 Graf
Himpunan verteks dan himpunan edge pada Gambar 1 adalah
dan
Order dan Size
Misalkan diberikan graf
Banyaknya verteks pada graf
disebut order dan
banyaknya edge pada graf disebut size dari graf Order dari graf dinotasikan dengan
, sedangkan size dari graf dinotasikan dengan
(Chartrand & Oellermann
1993). Pada Gambar 1, nilai dari
= 5 dan nilai dari
= 5.
Adjacent dan Incident
Misalkan diberikan graf G. Jika
dengan
maka dan
dikatakan adjacent di dan dikatakan incident dengan dan (Chartrand & Oellermann
1993). Pada Gambar 1, misalkan
maka dan dikatakan adjacent di dan
dikatakan incident dengan dan
Degree
Derajat (degree) dari suatu verteks pada graf
adalah banyaknya edge yang
incident dengan dan dinotasikan dengan deg (Chartrand & Oellermann 1993). Pada
Gambar 1, derajat setiap verteksnya ialah deg
deg
deg
deg
dan
deg
3
Walk, Cycle, Tree, Path
Suatu walk pada graf adalah suatu deretan berhingga dari verteks dan edge secara
bergantian yang diawali dan diakhiri dengan verteks, sedemikian sehingga setiap edge,
incident
dengan
dua
verteks
yang
berdekatan.
Contohnya
dan dapat dituliskan sebagai
atau
Suatu walk yang menghubungkan
dengan
dikatakan tertutup jika
Jika
maka walk tersebut dikatakan terbuka (Foulds 1992). Pada Gambar
1, terdapat walk terbuka yaitu walk
. Cycle pada suatu graf adalah
walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga verteks dan semua verteks berbeda
(Foulds 1992). Pada Gambar 2, terdapat cycle pada graf yang terdiri atas tiga verteks
yaitu
Gambar 2 Cycle
Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle (Foulds 1992). Path
pada suatu graf adalah suatu walk dengan semua verteksnya berbeda. Graf ber-order
yang berbentuk path disebut graf path ber-order
dituliskan
(Chartrand &
Oellermann 1993). Pada Gambar 1,
merupakan salah satu contoh path.
Regular Graph
Graf yang setiap verteksnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur.
Apabila derajat setiap verteks adalah maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur
derajat ( -regular graphs) (Chartrand & Oellermann 1993). Pada Gambar 3, terdapat 3regular graphs dengan derajat setiap verteks adalah 3.
Gambar 3 3-regular graph
Star Graph
Graf star (star graph) atau dikenal dengan -star adalah tree yang memiliki
verteks dengan satu verteks mempunyai derajat
verteks ini dinamakan verteks
pusat dan
verteks lain mempunyai derajat 1, verteks ini dinamakan verteks
pendant (Chartrand & Oellermann 1993). Contoh graf 6-star ditunjukkan pada Gambar 4.
4
Gambar 4 Graf 6-star
Graf Fire Crackers
Misalkan
adalah graf
-star dengan
. Misalkan
adalah
salah satu verteks pendant dari graf dan
adalah salah satu verteks pendant dari graf
Misalkan
adalah verteks yang adjacent dengan
untuk
Misalkan
merupakan verteks pendant yang adjacent dengan
untuk
Tree yang diperoleh dengan menghubungkan
dan
untuk
disebut graf Fire Crackers dan dinotasikan dengan
(Swaminathan &
Jeyanthi 2006). Notasi menyatakan banyaknya graf star yang ada pada graf Fire Crackers
dan menyatakan banyaknya verteks pendant yang menempel pada setiap graf star yang
ada pada graf Fire Crackers. Contoh graf Fire Crackers
ditunjukkan pada Gambar
5.
Gambar 5 Graf Fire Crackers
Berdasarkan definisi, graf Fire Crackers
pada Gambar 5 memiliki nilai
dan
Pada Gambar 5, diberikan notasi
dan
Notasi terdiri dari verteks-verteks
penghubung (menghubungkan antara 2 graf star yang ada pada graf Fire Crackers) yaitu
dan
atau secara umum dituliskan dengan
Selanjutnya notasi
terdiri dari
verteks-verteks pusat yaitu
dan atau secara umum dituliskan dengan dan notasi
terdiri dari verteks pendant yaitu
dan
atau secara umum
dituliskan dengan
Akibatnya, pada Gambar 5 diperoleh himpunan verteks dari graf Fire
Crackers
sebagai
berikut,
5
Kemudian pada graf Fire Crackers
terdapat 11 edge. Verteks dihubungkan
dengan verteks
untuk setiap
maka akan didapatkan edge yaitu
untuk setiap
Edge berikutnya menghubungkan setiap verteks dan verteks
untuk setiap
Edge selanjutnya menghubungkan
dinotasikan dengan
setiap verteks dan verteks
dinotasikan dengan {
} untuk setiap
dan
Akibatnya diperoleh himpunan edge secara keseluruhan dari graf Fire Crackers
sebagai
berikut,
=
{
Graf Banana Trees
Misalkan
adalah graf
-star,
-star sampai
adalah salah satu verteks pendant dari graf
. Misalkan juga
star. Misalkan
adalah sebuah verteks baru. Tree yang diperoleh dengan menghubungkan dengan
setiap
untuk
disebut Banana Trees, dinotasikan oleh
dan
adalah sembarang bilangan bulat positif dan
(Swaminathan &
Jeyanthi 2006). Contoh graf Banana Trees
ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 6 Graf Banana Trees
Berdasarkan definisi, graf Banana Trees
pada Gambar 6 memiliki nilai
Pada Gambar 6, diberikan notasi
dan
Notasi terdiri
dari sebuah verteks baru. Verteks ini menghubungkan beberapa graf star, dinotasikan
dengan Selanjutnya notasi terdiri dari beberapa verteks yaitu
dan
atau
secara umum dituliskan dengan lambang
Di notasi
terdapat verteks-verteks
atau secara umum dituliskan dengan lambang
berikutnya yaitu verteks pusat
dan
dan juga di notasi
terdapat enam verteks lainnya (verteks pendant) yaitu
atau secara umum dituliskan dengan lambang
Akibatnya,
dan
pada Gambar 6 diperoleh himpunan verteks dari graf Banana Trees
adalah
6
Graf Banana Trees
memiliki 12 edge. Edge yang didapatkan dari
Edge selanjutnya
menghubungkan verteks
dan verteks
dinotasikan dengan
menghubungkan setiap verteks
dan verteks
dinotasikan dengan {
untuk setiap
Edge berikutnya menghubungkan setiap verteks dan verteks
dinotasikan
dengan {
} untuk setiap
dan
Akibatnya diperoleh himpunan
edge
secara
keseluruhan
dari
graf
Banana
Trees
Pelabelan Graf
Pelabelan Total (Total Labeling)
Suatu pelabelan pada graf
dengan banyaknya verteks v dan banyaknya edge
adalah pemetaan satu-satu dari himpunan
ke himpunan bilangan bulat positif
Pelabelan ini disebut pelabelan total (Ngurah & Baskoro 2003).
Pelabelan Ajaib (Magic Labeling)
Misalkan graf dengan himpunan verteks dan himpunan edge Magic labeling
pada graf
adalah suatu fungsi bijektif
sehingga untuk
setiap edge
nilai penjumlahan
dengan
merupakan
konstanta magic dari fungsi bijektif f (Avadayappan et al. 2000).
Pelabelan Super Edge Magic
graf dengan verteks dan edge, dan memiliki pelabelan edge magic
Jika
dan
maka disebut pelabelan
super edge magic (Enomoto et al. 1998). Contoh pelabelan super edge magic dapat dilihat
pada Gambar 7.
Misalkan
Gambar 7 Pelabelan super edge magic pada graf Fire Crackers
Misalkan verteks-verteks pada graf Fire Crackers
.
diberi pelabelan:
7
Kemudian diberikan pelabelan untuk edge-edge pada graf Fire Crackers
maka akan diperoleh penjumlahan label dari tiap edge yang incident terhadap
verteks :
Dari semua penjumlahan label di atas terlihat bahwa pelabelan tersebut menghasilkan satu
nilai saja atau disebut konstanta magic (magic number) yaitu
Graf Super Edge Magic
Suatu graf disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge
magic pada (Enomoto et al. 1998).
Super Edge Magic Strength
Misalkan graf dengan himpunan verteks dan himpunan edge
Super edge
magic strength pada graf
dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai nilai
minimum dari semua
artinya
adalah pelabelan super edge
magic dari } (Swaminathan & Jeyanthi 2006).
HASIL DAN PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini membahas teorema-teorema mengenai super edge magic strength
pada graf Fire Crackers
dan graf Banana Trees
Permasalahan utama dalam karya ilmiah ini adalah bagaimana menjelaskan pembuktian
teorema-teorema yang menyatakan bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees
memiliki super edge magic strength.
1. Graf Fire Crackers
Teorema 1
Graf Fire Crackers memiliki pelabelan super edge magic jika,
jika
ganjil
jika k genap.
8
Akan dibuktikan:
i. Batas bawah dari
pada graf Fire Crackers yaitu
Bukti
Misalkan himpunan verteks
dan himpunan edge
{
} Total verteks yang ada pada graf dinotasikan dengan
Karena terdapat star dan setiap star memiliki verteks pendant sehingga setiap star
memiliki
verteks akibatnya graf memiliki
verteks, dapat dituliskan
rumus sebagai berikut
Graf dengan tree yang terhubung, mempunyai
total verteks
verteks sehingga total edge menjadi
atau dapat
dituliskan rumus sebagai berikut
(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1).
Misalkan adalah salah satu pelabelan super edge magic dari graf dengan konstanta
magic
. Berikut penjabaran
⁞
⁞
⁞
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Berikut diberikan rumus beserta penjelasannya.
Pada graf Fire Crackers ini akan dicari konstanta magic
. Konstanta magic
yang paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Fire Crackers mempunyai
super edge magic strength. Nilai
didapat dengan cara menjumlahkan semua
verteks dan edge yang ada. Derajat (degree) pada rumus di atas merepresentasikan bahwa
setiap verteks akan digunakan sebanyak edge yang incident dengan verteks tersebut.
∑
∑
∑
(
)
Simbol
melambangkan verteks dan simbol
melambangkan edge. Simbol
verteks terdiri atas beberapa simbol verteks yaitu simbol verteks
dan
dengan
dan
dan edge
terdiri dari beberapa edge yaitu edge
dan
sehingga diperoleh:
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)+
Rumus
di atas, dijelaskan menggunakan gambar. Pada Gambar 8 di bawah ini,
dijelaskan setiap suku yang terdapat pada rumus tersebut.
9
Gambar 8 Verteks
pada graf Fire Crackers
Pada Gambar 8 di atas, setiap verteks
minimal berderajat . Untuk
sampai
berderajat 3, secara umum penjumlahan label verteks dapat
∑
dituliskan sebagai berikut ∑
Gambar 9 Verteks
pada graf Fire Crackers
Untuk verteks dapat dilihat pada Gambar 9. Verteks mempunyai derajat
(berasal dari verteks pendant yang menempel pada graf star) dan juga berderajat satu
untuk verteks yang adjacent dengan . Dapat dituliskan penjumlahan label verteks oleh
∑
rumus sebagai berikut
pada graf Fire Crackers
Gambar 10 Verteks
Setiap verteks
selalu berderajat , maka dapat dituliskan penjumlahan label verteks
sebagai berikut ∑ ∑
( )
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
+ ∑
∑
+ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
(
)
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)+
10
Dengan memisahkan suku untuk setiap verteks dan edge yang ada, maka akan
didapatkan deret aritmatika (4 suku pertama sama dengan banyaknya verteks dan edge pada
graf sehingga penjumlahan label diperoleh
∑
∑
∑
(
∑
)
∑
∑
∑
∑
+∑
∑
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
secara umum dapat dituliskan
Karena
maka didapatkan hasil,
∑
∑
Karena yang akan dicari adalah nilai minimum dari suatu konstanta magic (magic number),
maka selanjutnya atur verteks yang berderajat tinggi dilabelkan dengan nilai terkecil, maka
diperoleh,
(
2
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Oleh karena itu,
{
{
{
{
–
–
–
}
}
}
}
11
2
{
}
(G)
Karena
maka
merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai
pasti memenuhi ketaksamaan
ii. Batas atas dari
pada graf Fire Crackers yaitu
jika ganjil.
Bukti
Pembuktian batas atas didapatkan dengan menunjukkan konstanta magic
ada pada pelabelan di graf Fire Crackers.
Pelabelan Graf Fire Crackers
Terbagi menjadi kasus yaitu,
Kasus (i) : ganjil. Terdapat
Kasus (ii) : genap
Subkasus (i) : ganjil.
Didefinisikan
Untuk
{
{
Untuk
subkasus.
sebagai berikut:
yang
12
(
)
{
Pelabelan edge sebagai berikut,
{
(
)
(
)
Untuk
{
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk genap pada:
sebagai berikut.
13
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
+
Pilih pelabelan untuk genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil, ganjil pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
sebagai berikut.
)
(
)
14
Pilih pelabelan untuk ganjil, genap pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap, ganjil pada
(
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
(
)
(
)
Pilih pelabelan untuk i genap, genap pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
sebagai berikut.
15
merupakan salah satu nilai konstanta magic yang
Karena
didapat maka
jika
ganjil dan
ganjil. Contoh
pelabelan super edge magic dengan ganjil dan ganjil dapat dilihat pada Lampiran 2
yaitu
dengan
dan Lampiran 3 yaitu
dengan
.
Subkasus (ii): genap.
Pelabelan untuk verteks
Pelabelan verteks
(
)
dan
{
Untuk
(
)
{
Pelabelan edge adalah sebagai berikut:
Untuk
(
)
{
Untuk
(
)
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
adalah sama dengan subkasus (i).
adalah sebagai berikut,
16
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk i ganjil pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk i genap pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
17
Pilih pelabelan untuk ganjil, ganjil pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sebagai berikut.
)
Pilih pelabelan untuk genap, ganjil pada
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil, genap pada
(
(
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
( ) (
)
18
Pilih pelabelan untuk i genap, j genap pada
(
)
(
(
)
(
):
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
( )
(
)
Karena
merupakan salah satu nilai konstanta magic
yang didapat maka
, jika ganjil dan genap. Contoh
pelabelan super edge magic dengan ganjil dan genap dapat dilihat pada Lampiran 4
yaitu
dengan
dan Lampiran 5 yaitu
dengan
.
Kasus (ii): genap. Misalkan
Didefinisikan
sebagai berikut:
{
{
(
)
{
Adapun pelabelan edge adalah sebagai berikut :
{
19
(
)
{
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
)
(
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
(
sebagai berikut.
)
Pilih pelabelan untuk ganjil pada pada
(
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
)
sebagai berikut.
20
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk ganjil pada
(
(
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
Karena
(
)
)
(
)
)
Akibatnya diperoleh konstanta
( )
(
(
)
sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk genap pada
(
(
)
Akibatnya diperoleh konstanta magic
( )
(
)
(
)
)
sebagai berikut.
)
(
)
merupakan salah satu nilai konstanta magic
yang didapat maka
jika
genap. Contoh pelabelan
super edge magic dengan genap dapat dilihat pada Lampiran 6 yaitu
dengan
jika
Dari tahap i dan ii dapat dibuktikan
ganjil dan
graf Fire Crackers
jika genap. Jadi, secara umum maka pada
memiliki super edge magic strength dengan
jika
(2k +
jika
ganjil
genap.
21
2. Graf Banana Trees
Teorema 2
Graf Banana Trees memiliki pelabelan super edge magic jika,
dengan
bulat positif,
dan
Akan dibuktikan:
i. Batas bawah dari
adalah bilangan
pada graf Banana Trees yaitu
Bukti
Misalkan himpunan verteks
{
}
dan himpunan edge
Total
verteks yang ada pada graf dinotasikan dengan Total verteks pada graf Banana Trees
didapatkan dari penjumlahan unsur pembentuk graf star, jumlah graf star yang ada pada
graf Banana Trees dan satu verteks yang disebut dengan verteks baru. Dapat dituliskan
dengan rumus sebagai berikut
Graf dengan tree yang
terhubung mempunyai total verteks
verteks sehingga total
edge menjadi
edge atau dapat dituliskan rumus sebagai berikut
. Berikut penjabaran
⁞
⁞
⁞
∑
∑
∑
∑
Berikut diberikan rumus dan penjelasannya.
Pada graf Banana Trees ini akan dicari konstanta magic
Konstanta magic yang
paling kecil (minimal) merepresentasikan bahwa graf Banana Trees mempunyai super
edge magic strength. Nilai
didapat dengan cara menjumlahkan semua verteks dan
edge yang ada. Derajat (degree) pada rumus di atas mempresentasikan bahwa setiap
verteks akan digunakan sebanyak edge yang incident dengan verteks tersebut.
∑
∑
∑
(
)
∑
∑
22
Simbol
melambangkan verteks dan simbol
melambangkan edge. Simbol
terdiri dari beberapa verteks lagi yaitu verteks
, dan
dengan
dan
dan edge w terdiri dari beberapa edge lagi yaitu
dan
∑
∑
∑
∑
∑
(
)
Rumus
di atas, dijelaskan menggunakan gambar. Pada gambar di bawah ini,
dijelaskan masing masing suku yang membentuk rumus tersebut.
Gambar 11 Verteks
pada graf Banana Trees
Dapat dilihat pada Gambar 11, bahwa verteks a berderajat sebanyak graf star yang akan
dibentuk atau dapat dituliskan dengan
Gambar 12 Verteks
pada graf Banana Trees
Karena
masing-masing berderajat 2, maka secara umum
penjumlahan label verteks
dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut
∑
Gambar 13 Verteks
pada graf Banana Trees
23
Untuk verteks
dapat dilihat pada Gambar 13. Verteks
mempunyai derajat
(berasal dari
verteks yang membentuk graf star). Maka dari itu penjumlahan label
∑
verteks dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut
pada graf Banana Trees
Gambar 14 Verteks
Setiap verteks
selalu berderajat 1, maka penjumlahan label verteks
sebagai berikut ∑ ∑
( )
∑
(
(
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
∑ ∑
) ∑
)
(
∑
dapat dituliskan
)
∑
)
Dengan memisahkan suku untuk setiap verteks dan edge yang ada, maka akan didapatkan
deret aritmatika (4 suku pertama sama dengan banyaknya verteks dan edge pada graf
sehingga penjumlahan label diperoleh
c(f) =
c(f) =
∑
dapat dituliskan (
Karena
∑
(
(
∑
∑
∑
∑
(
)
)
∑
)
∑
∑
secara umum juga
.
didapatkan hasil,
∑
(
)
∑
Karena yang akan dicari adalah nilai minimum dari suatu konstanta magic, maka atur
verteks yang berderajat tinggi dilabelkan dengan nilai terkecil, maka diperoleh:
(
)
(
∑
∑
24
2
(
)
)
)
)
Karena
maka,
)
)
)
Karena
)
)
)
)
merupakan nilai minimum dari semua kemungkinan nilai
pasti memenuhi ketaksamaan
)
maka
ii. Batas atas dari
pada graf Banana Trees yaitu
Bukti
Pembuktian batas atas didapatkan dengan menunjukkan konstanta magic
yang ada pada pelabelan pada graf Banana Trees.
Pelabelan Graf Banana Trees
Didefinisikan
{
} adalah sebagai berikut :
25
Pelabelan edge adalah sebagai berikut:
{
(
)
(
{
Pilih pelabelan untuk
(
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
)
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
)
pada
:
sebagai berikut.
26
Akibatnya diperoleh konstanta magic c(f) sebagai berikut.
Pilih pelabelan untuk
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
Pilih pelabelan untuk
sebagai berikut.
pada
Akibatnya diperoleh konstanta magic
sebagai berikut.
merupakan salah satu nilai konstanta magic yang didapat
maka
. Dari tahap i dan ii dapat dibuktikan pada graf Banana Trees
memiliki super edge magic strength dengan
Contoh pelabelan super edge magic pada Banana Trees dapat
dilihat pada Lampiran 7 sampai dengan Lampiran 15.
Karena
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Karya ilmiah ini telah menjelaskan pembuktian teorema-teorema yang menyatakan
bahwa graf Fire Crackers dan graf Banana Trees memiliki super edge magic strength.
Pembuktian dilakukan dengan merekonstruksi rumus
dan juga menunjukkan
konstanta magic yang didapat dari pelabelan yang sudah ada.
27
Saran
Dalam karya ilmiah ini telah dibahas teorema-teorema tentang super edge magic
strength pada graf Fire Crackers
dan graf Banana Trees
Karya
ilmiah ini dapat diperluas untuk penggunaan graf lainnya di antaranya unicyclic graph.
DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan S, Vasuki R, Jeyanthi P. 2000. Magic strength of a graph. Indian Journal of
Pure and Applied Mathematics. 31(7): 873-883.
Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York
(US): McGraw-Hill.
Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graph. SUT
Journal of Mathematics. 34(2): 105–109.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag.
Kotzig A, Rosa A. 1970. Magic valuations of finite graphs. Canadian Mathematical Bulletin.
13: 451–461. doi: 10.4153/CMB-1970-084-1.
Ngurah AAG, Baskoro ET. 2003. On magic and antimagic total labeling of generalized
Petersen graph. Utilitas Math. 63: 97-107.
Swaminathan V, Jeyanthi P. 2006. Super edge–magic strength of fire crackers, banana trees
and unicyclic graphs. Discrete Mathematics. 306(14): 1624-1636. doi:
10.1016/j.disc.2005.06.038.
28
Lampiran 1 Bukti teorema yang berlaku pada tree
Teorema 3.1
Misalkan
tree yang mempunyai order
maka
juga mempunyai size
.
Bukti :
adalah suatu tree dengan order
dan size
hasilnya benar untuk
Karena
Misalkan
adalah suatu bilangan integer dan diasumsikan hasilnya benar untuk
semua tree yang berorder
.
Misalkan adalah tree berorder
dan size dan misalkan adalah sebuah edge
dari Diketahui bahwa adalah penghubung (bridge) dari sehingga
adalah forest
(minimal ada dua komponen). Dinotasikan dua komponen dari
yaitu dan dengan
dan size
Karena
berdasarkan
adalah tree berorder
asumsi bahwa
untuk
Dan juga, karena
dan
maka
29
Lampiran 2 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
30
Lampiran 3 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
31
Lampiran 4 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
32
Lampiran 5 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
33
Lampiran 6 Contoh Pelabelan pada Graf Fire Crackers
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
Batas atas
=
=
=
=
= ,5
Super edge magic strength
terletak pada
34
Lampiran 7 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
35
Lampiran 8 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
36
Lampiran 9 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
37
Lampiran 10 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
38
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
39
Lampiran 11 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
40
Lampiran 12 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki:
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
41
Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
42
Lampiran 13 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
.
43
Lampiran 14 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
44
Lampiran 15 Contoh Pelabelan pada Graf Banana Trees
Pelabelan super edge magic dari
dengan
Berdasarkan teorema,
memiliki :
Batas bawah
=
=
=
Batas atas
=
=
=
Super edge magic strength
terletak pada
45
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 29 Juli 1993 dari pasangan Isman
Yahya dan Rini Usman. Penulis merupakan anak pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2011 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Kota Bekasi dan pada tahun yang sama
lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan dan
diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah aktif di berbagai organisasi
kemahasiswaan baik intra maupun ekstra kampus. Di antaranya sebagai Koordinator
Putri Lembaga Dakwah Kampus (LDK) Masjid Al Hurriyyah IPB, Ketua Forum
Keluarga Keputrian Forum Silaturrahim Lembaga Dakwah Kampus (FSLDK) IPB,
Bendahara Komisi Internal Dewan Perwakilan Mahasiwa (DPM) TPB IPB, staf keLDK-an Forum Silaturrahim Lembaga Dakwah Kampus Indonesia. Selain itu juga,
penulis juga lolos dalam program wirausaha dan mendapat hibah dana Career
Development IPB, menerima beasiswa Super Semar 2012-2013 dan Karya Salemba
Empat 2014-2015 dan menjadi asisten dosen mata kuliah Agama Islam serta pernah
menjadi staf pengajar matematika di lembaga bimbingan belajar Spektrum.