Fungsi Quasi-Likelihood Untuk Penaksiran Parameter Dalam Distribusi Pareto

FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO
TESIS Oleh AGUS BUDIANTO 087021076/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara

FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO
TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh AGUS BUDIANTO
087021076/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD UNTUK PENAKSIRAN PARAMETER DALAM DISTRIBUSI PARETO
: Agus Budianto : 087021076 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc.) Ketua

(Prof.Dr. Opim Salim S M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)

Tanggal lulus: 17 Mei 2010

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 17 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Drs. Open Darnius, M.Sc
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Fungsi quasi-likelihood yang digunakan untuk penaksiran berkaitan antara mean dan varians dari pengamatan-pengamatan sampel. Metode penaksiran likelihood dikonsentrasikan pada hal dimana observasi adalah independen, tetapi perluasan dapat dibuat termasuk korelasi diantara titik-titik data. Pada tesis ini, penaksiran Bayesian untuk distribusi Pareto yang bertujuan untuk meninjau kemungkinan penggunaan fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayesian. Suatu metode baru yang dinamakan penaksiran Quasi-Likelihood. Metode ini mengurangi penaksiran Bayesian biasa, jika distribusi itu adalah suatu anggota dari keluarga eksponensial. Digunakan penaksiran quasi-likelihood maksimum dari parameter-parameter tak dikenal dari distribusi Pareto. Prinsip Pareto yang dikenal sebagai 20-80 peraturan dapat juga berkenaan dengan efisiensi Pareto. Prinsip Pareto yang berkaitan dengan penaksiran banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti: ekonomi, sosial, sains dan geofisika. Kata kunci : Quasi-likelihood, model linier, metode estimasi bayes, distribusi pareto

Universitas Sumatera Utara
i

ABSTRACT Quasi-likelihood can be used for estimation a relation between the mean and variance of the observations sample. Likelihood estimation method concentrated on cases where the observation are independent, but extensions can be made to include correlations between the data points. In this thesis, Bayesian estimation for the Pareto distribution aims to discuss the possibility of using the quasi-likelihood function in the Bayesian approach. A new method which called ” Quasi-Likelihood Estimation”. This method has been reduced to the usual Bayesian Estimation if the distribution is a member of the exponential family. The maximum quasi-likelihood estimation used the unknown parameters. The Pareto principle known as the 80-20 rule can also refer to Pareto efficiency. The Pareto principle referred to estimation has been applied in various area, such as : economic, social, sciences and geophysica. Keywords : Quasi-likelihood, linear model, bayesian estimation method , pareto distribution
Universitas Sumatera Utara
ii

KATA PENGANTAR
Dengan rasa rendah hati, Penulis mengucapkan Puji dan Syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala kasih dan karunia yang telah dilimpahkanNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini.
Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Magister Sain di program studi S2 Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan.
Dalam penyusunan tesis ini, penulis telah banyak mendapat bimbingan dan petunjuk dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada: Bapak Prof. DR. Herman Mawengkang, MSc, selaku ketua Prodi Magister Matematika dan pembanding I yang telah memberikan bimbingan, jurnal dan arahan serta saran-saran, sehingga selesainya tesis ini. Bapak DR. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Prodi Magister Matematika yang telah banyak memberikan motivasi, saran dan arahan sehingga selesainya tesis ini. Bapak DR. Sutarman, MSc, selaku Ketua Komisi Pembimbing yang telah membimbing dengan sabar, memberikan saran dan masukan, sehingga selesainya tesis ini. Bapak Prof. DR. Opim Salim Sitompul, MSc, selaku Anggota Komisi Pembimbing yang telah memberikan bimbingan, saran dan masukan, sehingga selesainya tesis ini. Bapak Drs. Open Darnius, MSc, selaku Pembanding II yang telah banyak memberikan saran-saran dan masukan kepada Penulis, sehingga selesainya tesis ini.
Semoga tesis ini bermanfaat bagi Negara khususnya pendidikan.
Medan, 17 Mei 2010 Penulis,
Agus Budianto
Universitas Sumatera Utara
iii

RIWAYAT HIDUP
Agus Budianto dilahirkan di Deli Serdang pada tanggal 16 Agustus 1972 dan merupakan anak ke 2 dari 4 bersaudara, anak dari Ayah H Raslim dan Ibu Hj Sudarmi (alm). Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Negeri 106164 di Deli Serdang pada tahun 1984, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 2 Percut Sei Tuan Deli Serdang pada tahun 1987 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 10 Medan jurusan Fisika pada tahun 1990. Tahun 1990 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Pembangunan Nasional Veteran (UPN) Yogyakarta dibawah naungan Dephankam RI jurusan Teknik Geologi dan memperoleh gelar Sarjana Teknik pada tahun 1997. Pada tahun 2000 transfer kejurusan Pendidikan Matematika STKIP Teladan Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan tahun 2002. Tahun 1998 sampai dengan sekarang mengajar bidang studi Matematika SMP/SMA Bina Siswa Deli Serdang. Tahun 2002 mengajar bidang studi Matematika dan Fisika di SMA Suci Murni Medan sampai sekarang. Tahun 2003 mengajar bidang studi Matematika di SMP Negeri 2 Percut Sei Tuan Deli Serdang sampai sekarang. Tahun 2008 mengikuti sekolah pada Program Studi S2 Magister Matematika Universitas Sumatera Utara (USU) Medan dan memperoleh gelar Magister Sain tahun 2010. Pada tahun 2009 sebagai sekretaris umum Forum Ilmiah Guru Sumatera Utara (FIGURSU) sampai dengan sekarang.
Universitas Sumatera Utara

v

DAFTAR ISI

ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL

Halaman i ii
iii v vi viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang 1.2 Permasalahan 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian 1.5 Metodologi Penelitian

1 3 4 4 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

6

2.1 Fungsi Quasi-Likelihood 2.2 Model Linier Tergeneralisir 2.3 Statistika Bayes

6 7 8

BAB 3 DISTRIBUSI PARETO

10

3.1 Prinsip Pareto 3.2 Hubungan Distribusi Pareto dengan Distribusi yang Lain 3.3 Penaksiran Parameter Distribusi Pareto 3.4 Aplikasi Distribusi Pareto

10 11 12 12

BAB 4 PENAKSIRAN BAYESIAN UNTUK PARAMETER PARETO MENG-

GUNAKAN FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD

14

4.1 Penaksiran Quasi-Bayesian

14

4.2 Penaksiran Quasi-Likelihood untuk Distribusi Pareto

16

Universitas Sumatera Utara
vi

4.2.1 Penaksiran Quasi-Likelihood 4.2.2 Penaksiran Quasi-Bayesian untuk Distribusi Pareto
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 5.2 Saran DAFTAR PUSTAKA

16 17
22
22 22 23

Universitas Sumatera Utara
vii

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1 Penaksiran Bayesian dan Quasi-Likelihood untuk Data Pareto untuk k ketika α diketahui (α = 2). (Menurut Youssef, 2009)

20

4.2 Penaksiran Bayesian dan Quasi-Likelihood untuk Data Pareto untuk α ketika k diketahui (k = 2). (Menurut Youssef, 2009)

20

4.3 Efisiensi Penaksiran Quasi-Bayesian dari Parameter α ketika k diketahui (k = 3). (Menurut Youssef, 2009)

21

4.4 Efisiensi Penaksiran Quasi-Bayesian dari Parameter k ketika α diketahui (α = 2). (Menurut Youssef, 2009)

21

Universitas Sumatera Utara
viii

ABSTRAK Fungsi quasi-likelihood yang digunakan untuk penaksiran berkaitan antara mean dan varians dari pengamatan-pengamatan sampel. Metode penaksiran likelihood dikonsentrasikan pada hal dimana observasi adalah independen, tetapi perluasan dapat dibuat termasuk korelasi diantara titik-titik data. Pada tesis ini, penaksiran Bayesian untuk distribusi Pareto yang bertujuan untuk meninjau kemungkinan penggunaan fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayesian. Suatu metode baru yang dinamakan penaksiran Quasi-Likelihood. Metode ini mengurangi penaksiran Bayesian biasa, jika distribusi itu adalah suatu anggota dari keluarga eksponensial. Digunakan penaksiran quasi-likelihood maksimum dari parameter-parameter tak dikenal dari distribusi Pareto. Prinsip Pareto yang dikenal sebagai 20-80 peraturan dapat juga berkenaan dengan efisiensi Pareto. Prinsip Pareto yang berkaitan dengan penaksiran banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti: ekonomi, sosial, sains dan geofisika. Kata kunci : Quasi-likelihood, model linier, metode estimasi bayes, distribusi pareto
Universitas Sumatera Utara
i

ABSTRACT Quasi-likelihood can be used for estimation a relation between the mean and variance of the observations sample. Likelihood estimation method concentrated on cases where the observation are independent, but extensions can be made to include correlations between the data points. In this thesis, Bayesian estimation for the Pareto distribution aims to discuss the possibility of using the quasi-likelihood function in the Bayesian approach. A new method which called ” Quasi-Likelihood Estimation”. This method has been reduced to the usual Bayesian Estimation if the distribution is a member of the exponential family. The maximum quasi-likelihood estimation used the unknown parameters. The Pareto principle known as the 80-20 rule can also refer to Pareto efficiency. The Pareto principle referred to estimation has been applied in various area, such as : economic, social, sciences and geophysica. Keywords : Quasi-likelihood, linear model, bayesian estimation method , pareto distribution
Universitas Sumatera Utara
ii

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perkembangan ilmu pengetahuan matematika dan penerapannya dalam berbagai bidang keilmuan selalu mencari metode baru untuk memudahkan dalam memprediksi dan menaksir parameter-parameter dari data untuk menyelesaikan beragam permasalahan yang semakin kompleks dan rumit
Maksud utama dari banyak analisis menunjukkan bagaimana jawaban ratarata di buat oleh beberapa covariat. Kadang-kadang tidak cukup informasi tentang data untuk menentukan suatu model data. Bagaimanapun, dimungkinkan bisa untuk menentukan beberapa dari keistimewaan data. Sebagai contoh,

i Apakah data kontinu atau diskrit.
ii Bagaimana rata-rata atau nilai tengah dibuat oleh Stimulan eksternal.
iii Bagaimana variable jawaban berubah dengan jawaban rata-rata.
iv Apakah pengamatan itu independen.
v Apakah jawaban dari distribusi tidak simetris.
Dikembangkan analisis berdasarkan pada penaksiran likelihood. Dikonsentrasikan pada hal dimana observasi adalah independen, tetapi perluasan dapat dibuat termasuk korelasi diantara titik-titik data.
Sering penaksiran parameter mempertimbangkan suatu intuisi. Perkiraan X pasti kelihatannya pantas sebagai suatu perkiraan dari suatu populasi rata-rata µ. Berdasarkan atas S2 sebagai suatu perkiraan dari σ2 adalah X. Perkiraan untuk suatu parameter binomial p adalah hanya suatu ukuran sampel, yang tentu adalah suatu rata-rata dan mempertimbangkan berdasarkan penalaran logika. Tetapi ada banyak situasi yang tidak semua nyata apakah perkiraan tepat dilakukan. Dalam statistika, filosofi berbeda menghasilkan metode perkiraan berbeda.
Fungsi quasi-likelihood diperkenalkan oleh Wedderburn (1974), digunakan untuk menaksir parameter-parameter yang tak diketahui dalam model linear secara umum. Gagasan dari quasi-likelihood memperlemah asumsi bahwa diketahui dengan tepat
Universitas Sumatera Utara
1

2
distribusi komponen acak di dalam model, dan menggantikannya oleh suatu asumsi tentang bagaimana perubahan varian dengan rata-rata.
Dalam statistika, perkiraan quasi-likelihood adalah satu cara yang membolehkan untuk overdispersi. Kebanyakan sering digunakan dengan model-model untuk perhitungan data atau kelompok data biner, data sebaliknya menggunakan model Poisson atau distribusi binomial.
Fungsi-likelihood menggambarkan suatu fungsi yang mempunyai kemiripan sifat dengan fungsi log-likelihood, kalau tidak suatu fungsi quasi-likelihood adalah bukan log-likelihood yang cocok untuk banyak distribusi probabilitas yang sebenarnya. Model quasi-likelihood dapat dicocokkan menggunakan suatu perluasan algoritma tepat digunakan untuk model linier yang umum.
Hanya suatu hubungan antara mean dan varians sebagai pengganti menentukan suatu distribusi probabilitas untuk data dikhususkan pada bentuk dari suatu fungsi varians, diberikan varians sebagai suatu fungsi dari mean. Umumnya, fungsi ini diberikan termasuk suatu perkiraan faktor yang dikenal sebagai parameter overdispersi atau parameter skala yang diperkirakan dari data. Biasanya, fungsi varians adalah suatu bentuk seperti bahan perluasan parameter overdispersi pada kesatuan hasil dalam varians-mean berhubungan dengan suatu distribusi probabilitas yang nyata seperti Binomial atau Poisson.
Fungsi quasi-likelihood bisa digunakan untuk memperkirakan dalam cara yang sama seperti fungsi likelihood yang umum. Wedderburn (1974) dan McCullagh (1983) menunjukkan bahwa perkiraan quasi-likelihood maksimum mempunyai banyak kemiripan sifat tertentu untuk diteliti, perkiraan quasi likelihood maksimum dari vektor β (vektor dari parameter-parameter dalam model regresi) adalah suatu normal asimptotis dengan rata-rata β , dan kovarians asymptotic bisa berasal dari cara yang umum dari turunan kedua matriks dari fungsi quasi-likelihood. Juga, jika distribusi dasar datang dari suatu keluarga eksponensial alami dari perkiraan quasi-likelihood maksimum memaksimalkan fungsi likelihood dan demikian itu mempunyai penuh keefisienan asimptotik. Di bawah distribusi-distribusi yang lebih umum sekitar hilangnya efisiensi, yang telah diselidiki oleh Firth (1987) dan Hill & Tsai (1988).
Metode likelihood maksimum adalah fungsi likelihood yang berukuran maksimum yang merupakan suatu metode statistik populer digunakan untuk mencocokkan model statistika untuk data, dan menetapkan perkiraan-perkiraan untuk parameterparameter model.
Universitas Sumatera Utara

3
Perkiraan quasi-likelihood maksimum menggambarkan satu dari kebanyakan pendekatan penting untuk perkiraan dalam semua dari kesimpulan statistik.
Diperkenalkan perkiraan-perkiraan quasi-likelihood maksimum dari parameterparameter tidak diketahui dari distribusi Pareto dan metoda baru yaitu perkiraan quasi-Bayesian.
Sejauh dicocokkan model menggunakan likelihood maksimum dengan maksud mengira bahwa ada suatu kemungkinan model untuk data. Tujuannya menentukan suatu mekanisme generasi data sebagai contoh data terdiri dari menghitung kejadian dalam suatu proses Poisson. Agar dikemukakan seperti suatu mekanisme, dibutuhkan ilmu pengetahuan dari proses-proses fisik petunjuk untuk data, atau pengalaman penting dengan data serupa.
Suatu metode baru dari penerapan ilmu pengetahuan matematika diperkenalkan oleh Youssef (2009), yang meneliti kemungkinan penggunaan fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayesian yang kemudian dinamakan dengan perkiraan quasi likelihood. Metode ini mengurangi perkiraan Bayesian biasa jika distribusi itu adalah suatu anggota dari keluarga eksponensial. Digunakan perkiraan-perkiraan quasi-likelihood maksimum dari parameter-parameter tak diketahui dari distribusi Pareto dan metode penaksiran quasi-Bayesian.
Fungsi likelihood untuk parameter distribusi Pareto berguna dalam menemukan penaksir untuk α dan menentukan dimana bernilai nol. Penaksir likelihood maksimum untuk α juga dapat menaksir kesalahan pengiraan statistik. Distribusi Pareto menjadi pilihan, menurut Nolan (1998), distribusi Pareto merupakan distribusi yang digambarkan dari parameterparameter stabil yang umum, sehingga berperan untuk mendiagnosa distribusi yang stabil. Selanjutnya menurut Youssef (2009), data Pareto berperan dalam penaksiran Bayesian dan quasilikelihood, sehingga dapat diketahui perbedaan antara koefisien dari variasi penaksiran Bayesian dan penaksiran quasiBayesian dengan perbedaan ukuran sampel dan nilai dari parameter prior dan dapat diketahui tingkat efisiensi dari penaksiran quasi-Bayesian dari parameter α ketika k diketahui dan parameter k ketika α diketahui. Hal inilah yang mendasari penulis dalam tesis ini memilih quasi-likelihood dan quasi-Bayesian untuk menaksir parameter dalam distribusi Pareto.

1.2 Permasalahan

Universitas Sumatera Utara

4
Kesulitan dalam memprediksi dan menaksir parameter-parameter dengan caracara lain dari data yang ada mendorong penulis untuk membahas penggunaan metode fungsi quasi-likelihood untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto dan memfokuskan pada estimasi Bayesian untuk parameter parameter Pareto dan efisiensi dari estimasi quasi-Bayesian.
1.3 Tujuan Penelitian
Tesis ini bertujuan untuk meninjau kemungkinan pemakaian fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayes untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui tulisan ini diharapkan agar pemakaian fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayes dapat dimanfaatkan dalam hal-hal yang berkaitan dengan penaksiran yang bertepatan dengan ilmu sosial, ekonomi, sains, geofisika, maupun bidang lainnya.
1.5 Metodologi Penelitian
Dalam proses penyusunan tesis ini ditunjukkan untuk lebih mengenal hubungan antara fungsi quasi-likelihood, metode Bayesian dan model linier yang digunakan untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto.
Tesis ini membahas penaksiran Bayesian dan quasi-likelihood untuk data Pareto dan juga efisiensi dari perkiraan quasi-Bayesian dari data parameter.

Konseptualisasi proses penulisan tersebut kemudian dituangkan menjadi suatu metode penelitian dengan analisis observasi dan pengumpulan data melalui studi pustaka yang diperlukan untuk melukiskan fenomena tersebut. Oleh karena itu metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Deskriptis-Analitis.
Sesuai dengan anggapan dasar dalam penulisan tesis ini bahwa deskripsi yang dimaksudkan menggambarkan metode penaksiran Bayesian menggunakan fungsi quasilikelihood yang digunakan untuk menaksir parameter-parameter untuk data Pareto serta mengintepretasikannya dalam suatu hasil tesis, sehingga dapat dilakukan penarikan dan penyusunan suatu kesimpulan.
Sebagai suatu proses, penulis melaksanakan penyusunan tesis ini dengan tahapan-
Universitas Sumatera Utara

5 tahapan tertentu yang dibuat pada suatu alur kegiatan metode kerja penelitian yang diperlihatkan pada gambar dibawah ini :
Gambar 1.1 : Alur Kegiatan Metode Kerja Penelitian
Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi Quasi-Likelihood
Menurut Wedderburn (1974), suatu likelihood didefinisikan sebagai suatu spesifikasi bentuk distribusi dari pengamatan-pengamatan, tetapi untuk mendefinisikan suatu fungsi quasi-likelihood dibutuhkan hanya spesifikasi suatu hubungan antara mean dan varians dari pengamatan-pengamatan sampel dan quasi-likelihood dapat kemudian digunakan untuk penaksiran. Untuk suatu log likelihood eksponensial famili satu parameter adalah sama sebagaimana quasi-likelihood dan mengikutinya bahwa menganggap suatu eksponensial famili satu parameter adalah pengandaian distribusi pendek terlemah yang dapat dibuat.
Selanjutnya McCullagh (1983), diketahui dengan baik bahwa jika fungsi likelihood mempunyai bentuk eksponensial famili, perkiraan likelihood maksimum dari parameter regresi dapat sering ditemukan menggunakan metode weighted least squares. Disini digunakan istilah weighted least squares dalam suatu pengertian umum agak baik : khusus perhitungan meliputi fungsi respon nonlinier dan bobot berubah-ubah dari satu iterasi ke yang berikutnya : Khusus, ketika varians dianggap konstan kuantitas menjadi berukuran minimum adalah suatu jumlah dari sisa kuadrat, dan hasilhasil asimptotis. Memodifikasi dan likelihood bersyarat kadang-kadang membutuhkan bentuk eksponensial. Hingga metode weighted least square boleh digunakan untuk sebagian likelihood. Untuk likelihood bersyarat dari jenis yang timbul dalam pertimbangan dari kondisi double 2x2 atau tabel kemungkinan yang lebih besar. Pada kenyataannya metode weighted least squares dapat digunakan untuk menemukan perkiraan likelihood maksimum merata dalam beberapa hal dimana fungsi likelihood tidak mempunyai bentuk eksponensial famili.
Selanjutnya Firth (1987), suatu metode quasi-likelihood untuk penaksiran parameter dalam model regresi dimana ada beberapa anggapan berkaitan antara mean dan varian dari masing-masing pengamatan, tetapi tidak perlu suatu likelihood khusus secara lengkap, jika yang mendasari distribusi datang dari suatu eksponensial famili alami perkiraan quasi-likelihood berukuran maksimum, likelihood juga mempunyai efisiensi asymptotis yang penuh, dibawah distribusi-distribusi yang lebih umum ada beberapa kehilangan dari efisiensi. Efisiensi asymptotis dari perkiraan quasi-likelihood adalah dihitung dibawah beberapa distribusi-distribusi partikular, dan kemudian lebih
Universitas Sumatera Utara
6

7
umum melalui suatu perkiraan untuk small departures dari eksponensial famili alami yang sesuai.

Selanjutnya McCullagh dan Nelder (1989), metode quasi-likelihood sering menjadi kompleks dan dengan perhitungan intensif untuk mencocokkan kepasangan atau perhitungan data. Metode ini mempunyai keuntungan dari perhitungan yang relative sederhana , kecepatan dan kekuatan, sebagaimana metode-metode itu dapat digunakan lebih dari algoritma sesungguhnya berkembang menjadi model linier umum yang tepat.
Selanjutnya Aldrich (1997), metode likelihood maksimum sesuai untuk banyak metode perkiraan yang dikenal baik dalam statistik. Sebagai contoh, andaikan diambil suatu sampel dari beberapa nomor dari tinggi orang Amerika, tetapi tidak seluruh populasi dan catatan tinggi mereka. Selanjutnya dianggap bahwa tinggi adalah distribusi normal dengan beberapa mean dan varians tidak diketahui. Kemudian sampel mean adalah penaksir likelihood maksimum dari mean populasi, dan sampel varians adalah suatu perkiraan tertutup untuk penaksir likelihood maksimum dari varians populasi.
Selanjutnya Youssef (2009), meneliti penerapan penaksiran quasi-Bayesian dan quasi likelihood untuk distribusi Pareto. Pada bab IV tesis ini akan dibahas secara detail.
2.2 Model Linier Tergeneralisir Menurut Hardin dan Hilbe (2007), dalam statistik, model linier teregeneralisasi
adalah suatu generalisasi fleksibel dari paling sedikit regresi square biasa. Hubungannya dengan distribusi random dari ukuran variabel dari percobaan (fungsi distribusi) pada porsi sistematik (bukan random) dari percobaan (penduga linier) selanjutnya suatu fungsi dinamakan fungsi link.
Universitas Sumatera Utara

8
Model linier tergeneralisasi diformulasikan oleh Nelder dan Wedderburn sebagai suatu cara menyatukan variasi model-model statistika yang lain, termasuk regresi linier, regresi logistik dan regresi Poisson, dibawah satu kerangka. Hal ini memberikan mereka untuk mengembangkan suatu algoritma umum untuk penaksiran likelihood maksimum dalam semua model ini. Perluasannya natural meliputi banyak modelmodel lain yang baik.
Dalam suatu model linier tergeneralisasi, masing-masing menghasilkan variabel tak bebas, Y dianggap menjadi generasi dari suatu fungsi distribusi khusus dalam eksponensial famili, suatu range yang besar dari distribusi probabilitas termasuk distribusi-distribusi normal, binomial dan poisson, diantara yang lain. Mean(µ) dari distribusi itu bergantung pada variabel bebas X, berikutnya: E(Y ) = µ = g−1(Xβ) Dimana E(Y ) adalah nilai perkiraan dari Y ; Xβ adalah penduga linier, suatu kombinasi linier dari parameter tak diketahui β; g adalah fungsi link. Dalam kerangka ini, varians adalah suatu fungsi khusus V , dari mean: Var(Y ) = V (µ) = V = V (g−1(Xβ)). Tepat jika V mengikuti dari distribusi eksponensial famili, tetapi boleh disederhanakan menjadi varians adalah suatu fungsi dari nilai prediksi. Parameter tak diketahui β adalah perkiraan khusus dengan likelihood maksimum, quasi-likelihood maksimum, atau teknik Bayesian.
2.3 Statistika Bayes
Menurut Berger (1985), dalam teori penaksiran dan teori keputusan, suatu penaksir Bayes atau suatu peraturan Bayes adalah suatu penaksir atau peraturan keputusan bahwa ukuran minimum nilai pengharapan posterior dari suatu loss fungsi (posterior expected loss). Ekuivalen, ukuran maksimum posteriornya dari suatu fungsi utilitas.
Selanjutnya menurut Lehman dan Casella (1998), andaikan suatu parameter tak diketahui θ adalah mengetahui suatu distribusi prior π. Memperkirakan σ = σ(x) menjadi suatu penaksir dari θ (didasarkan pada beberapa ukuran x), dan memperkirakan L(θ, σ) menjadi suatu loss fungsi, seperti squared error. Resiko Bayes dari σ didefinisikan Eπ{L(θ, σ)}, dimana pengharapan diambil melebihi distribusi probabilitas dari θ : fungsi resiko didefinisikan sebagai suatu fungsi dari σ. Suatu penaksir σ diketahui menjadi suatu penaksir jika ukuran minimumnya resiko Bayes diantara semua penaksir. Ekuivalen, penaksir yang mana ukuran minimum posterior expected loss E{L(θ, σ)|x} untuk masing-masing x juga ukuran minimum resiko Bayes dan
Universitas Sumatera Utara

9
oleh karena itu adalah suatu penaksir Bayes. Jika prior adalah tidak layak kemudian suatu penaksir yang posterior expected loss berukuran minimum untuk masing-masing x dinamakan suatu penaksir Bayes tergeneralisir. Contoh : penaksiran minimum mean square error. Kebanyakan fungsi resiko yang lazim digunakan untuk penaksiran Bayesian adalah mean square error (MSE), juga dinamakan squared error risk. MSE didefinisikan sebagai MSE = E[(θˆ(x)θ)]. Dimana pengharapan diambil melebihi distribusi joint dari θ dan x. Menggunakan MSE sebagai resiko, perkiraan Bayes dari parameter tak diketahui adalah mean simpel dari distribusi posterior, θˆ(x) = E[θ|X] = θf (θ|x) dθ. Dikenal sebagai penaksir minimum mean square error (MMSE). Resiko Bayes dalam hal ini adalah varians posterior.
Selanjutnya menurut Walpole (2007), metode klasik dari perkiraan dipelajari begitu jauh semata-mata didasarkan pada informasi yang diberikan oleh sampel random. Metode ini pada dasarnya menafsirkan probabilitas sebagai frekuensi relatif. Sebagai contoh, pada kedatangan 95% interval kepercayaan untuk p, pernyataan ditafsirkan: P (−1, 96 < Z < 1, 96) = 0, 95 untuk mean 95% dari waktu dalam percobaan yang berulang-ulang Z akan turun antara -1,96 dan 1,96. Karena Z = σx¯/−√µn . Untuk suatu sampel normal dengan varians diketahui, pernyataan probabilitas disini berarti bahwa 95% dari interval random (x¯ − 1, 96σ/√nx¯ + 1, 96σ/√n) berisi kebenaran rata-rata. Pendekatan lain untuk metode statistik perkiraan dinamakan metodologi Bayesian.
Menggunakan metodologi Bayesian dapat diperoleh distribusi posterior dari parameter. Penaksiran Bayes dapat juga diperoleh menggunakan distribusi posterior ketika mendatangkan suatu fungsi loss. Misalnya, perkiraan Bayes yang terpopuler digunakan adalah dibawah squared-error loss function yang mirip dengan least squares estimates. Rata-rata dari distribusi posterior π(θ|X), menunjukkan θ∗, dinamakan perkiraan Bayes dari θ, dibawah squared- error loss function.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 DISTRIBUSI PARETO
Menurut Nolan (1998), distribusi Pareto adalah distribusi yang mempunyai peraturan atau hukum yang stabil, sehingga berperan untuk mendiagnosa distribusi yang stabil.
Selanjutnya menurut Reed (2001), distribusi Pareto adalah distribusi probabilitas yang kontinu.
Pada bab ini akan dibahas hal-hal yang berkaitan dengan distribusi Pareto antara lain: prinsip Pareto, hubungan distribusi Pareto dengan distribusi yang lain, penaksiran parameter dalam distribusi Pareto dan yang terakhir adalah aplikasi distribusi Pareto.
3.1 Prinsip Pareto
Menurut Bunkley (2008), distribusi Pareto diistilahkan sebagaimana nama ahli ekonomi Italia Vilpredo Pareto, merupakan suatu distribusi probabilitas yang memiliki peraturan yang kuat bertepatan dengan ilmu sosial, sains, geofisika, yang berhubungan dengan penaksiran dan banyak tipe-tipe yang lain dari fenomena yang tampak.
Prinsip Pareto (juga dikenal sebagai 20-80 peraturan, beberapa peraturan vital, dan prinsip dari sparsity faktor) menyatakan, banyak kejadian kira-kira 80 persen dari efek yang berasal dari 20 persen dari penyebab. Diamati bahwa 80 persen dari tanah di Itali dimiliki oleh 20 persen dari populasi. Dengan matematika, dimana sesuatu dibagi diantara suatu kumpulan peserta yang besar dengan cukup, berada di suatu nomor k diantara 50 dan 100 seperti k persen, diambil (100-k) persen dari peserta. k boleh berubah-ubah dari 50 (dalam kasus dari distribusi yang sama) mendekati 100 (ketika satu nomor kecil dari perhitungan peserta untuk hampir semua dari sumber). Tidak ada yang spesial tentang angka 80 persen dengan matematika, tetapi banyak sistem yang nyata mempunyai tempat k sekitar daerah ini dari lanjutan ketidakseimbangan dalam distribusi.
Prinsip Pareto dapat juga berkenaan dengan efisiensi Pareto, yang mana juga diperkenalkan oleh ahli ekonomi yang sama. Pareto dihasilkan kedua konsep dalam
Universitas Sumatera Utara
10

hubungan dari distribusi penghasilan dan kekayaan diantara populasi.

11

3.2 Hubungan Distribusi Pareto dengan Distribusi yang Lain
Distribusi Pareto mempunyai beberapa hubungan dengan distribusi yang lain, antara lain:

1. Hubungannya dengan distribusi eksponensial Distribusi Pareto dihubungkan sebagai mengikuti distribusi eksponensial. Andaikan X adalah distribusi Pareto dengan minimum χm dan index α. Misalkan

Y = log

X χm

Kemudian Y adalah distribusi eksponensial dengan intensitas α, atau ekuivalen dengan nilai pengharapan 1/α:

P r(Y > y) = e−αy

Ekuivalen, jika Y adalah distribusi eksponensial dengan intensitas α, kemudian χmeY adalah distribusi Pareto dengan minimum χm dan index α
2. Hubungannya dengan distribusi kondisional Distribusi probabilitas kondisional dari suatu variabel random distribusi Pareto, diberikan kejadian bahwa lebih besar dari atau sama dengan suatu nomor partikular χ1 melebihi χm adalah suatu distribusi Pareto dengan index Pareto α, tetapi dengan minimum χ1 sebagai pengganti χm.
3. Hubungannya dengan Zipfs law Menurut Reed (2001), distribusi pareto adalah distribusi probabilitas yang kontinu. Zipfs law, juga kadang-kadang dinamakan distribusi zeta, boleh dipikirkan sebagai suatu perimbangan yang berlainan dari distribusi Pareto.

Universitas Sumatera Utara

12

3.3 Penaksiran Parameter Distribusi Pareto

Menurut Wedderburn (1974), fungsi likelihood untuk parameter distribusi Pareto α

dan χm, diberikan suatu sampel χ = (χ1, χ2, . . . , χn) adalah

L (α, χm)

=

n i=1

α

χαm χαi +1

=

αnχnmα

n i=1

1 χαi +1

.

Oleh karena itu, fungsi likelihood logaritmik adalah

n
l (α, χm) = n ln α + nα ln χm − (α + 1) ln χi

i=1

Dapat dilihat bahwa l(α, χm) adalah bertambah secara monoton dengan χm, nilai

yang lebih besar dari χmnilai yang lebih besar dari fungsi likelihood. Karenanya,

sejak

χ

≥

χm

disimpulkan

bahwa

χˆm

=

min
i

χi.

Untuk menemukan penaksir untuk α, dihitung sesuai derivatif sebagian dan menen-

tukan dimana bernilai nol:

∂ℓ ∂α

=

n α

+

n ln χm

−

n

ln χi = 0

i=1

Jadi penaksir likelihood maksimum untuk α adalah:

αˆ =

n i (ln χi − ln χˆm)

Kesalahan pengiraan statistik adalah:

∂ = √αˆn

3.4 Aplikasi Distribusi Pareto

Distribusi Pareto dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang keilmuan yang berhubungan dengan penaksiran, antara lain:

1. Dalam bidang ekonomi.

Menurut Krugman (2006), prinsip Pareto juga digunakan untuk atribut pele-

baran ketidaksamarataan ekonomi dalam ”USA to skill-biased technical change”

yaitu pertumbuhan penghasilan bertambah untuk itu dengan pendidikan dan

keterampilan diperlukan untuk mengambil keuntungan dari teknologi baru dan

globalisasi. Bagaimanapun pemenang hadiah nobel dalam bidang ekonomi Paul

Krugman dalam New York Times menghilangkan ”80-20 buah pikiran yang ke-

liru” sebagaimana disebutkan ”tidak karena itu benar, tetapi karena itu menye-

nangkan”. Ditegaskan bahwa manfaat dari pertumbuhan ekonomi 30 tahun

terakhir sebagian besar dikonsentrasikan pada paling atas 1 persen, daripada

paling atas 20 persen.

Universitas Sumatera Utara

13
2. Dalam bidang software. Menurut Gen dan Cheng (2002), pada ilmu pengetahuan komputer dan teori pengawasan keteknikan seperti untuk energi elektromekanik, prinsip Pareto dapat digunakan untuk optimisasi usaha. Selanjutnya menurut Rooney (2002), mikrosoft juga dicatat bahwa bahan-bahan perlengkapan paling atas 20 persen dari laporan kerusakan, 80 persen dari kesalahan dan benturan akan dihilangkan. Selanjutnya menurut Slusallek (2009), pada komputer grafik prinsip Pareto digunakan untuk sinar jiplakan 80 persen, dari geometri sinar silang-menyilang 20 persen.
3. Dalam bidang logistik dan pengawasan kualitas produksi. Menurut Rushton dan Croucher (2000), prinsip Pareto banyak digunakan pada pengawasan kualitas. Sebagai dasar untuk grafik Pareto, satu dari kunci alat yang digunakan pada pengawasan kualitas total dan six sigma. Prinsip Pareto berguna sebagai suatu garis dasar untuk analisis ABC dan analisis XYZ, digunakan dalam logistik secara luas dan usaha mendapatkan untuk maksud optimisasi persediaan dari barang-barang, sebaik harga pemeliharaan dan perlengkapan persediaan
4. Dalam bidang kesehatan Menurut Weinberg (2009), pada pemeliharaan kesehatan di Amerika, ditemukan bahwa 20 persen dari pasien menggunakan 80 persen dari sumber pemeliharaan kesehatan.
5. Dalam bidang Geofisika Menurut Nassim (2007), prinsip Pareto adalah suatu gambaran dari suatu hubungan ”power law”, yang mana juga terjadi pada fenomena seperti pemadaman api dan gempa bumi. Karenanya persis diatas suatu daerah magnitudo yang luas, dihasilkan perbedaan hasil yang lengkap. Prinsip Pareto juga dapat digunakan untuk menaksir nilai dari cadangan minyak dalam lahan minyak (beberapa lahan yang besar, banyak lahan yang kecil).
Universitas Sumatera Utara

BAB 4
PENAKSIRAN BAYESIAN UNTUK PARAMETER PARETO MENGGUNAKAN FUNGSI QUASI-LIKELIHOOD

Pada bahasan ini, penulis hanya meninjau penelitian yang telah dilakukan oleh Youssef (2009) yang telah meneliti penaksiran Bayesian untuk parameter Pareto menggunakan fungsi quasi-likelihood. Digunakan penaksiran quasi-likelihood maksimum parameter tak diketahui dari distribusi Pareto. Penaksiran Bayesian dan quasilikelihood untuk data Pareto beberapa ukuran sampel dari parameter prior dan juga efisiensi dari penaksiran quasi-Bayesian dari parameter α ketika k diketahui dan parameter k ketika α nya diketahui.

4.1 Penaksiran Quasi-Bayesian

Dalam bagian ini, penaksiran quasi-Bayesian saat ini, dihadirkan suatu teknik penaksiran Bayesian yang baru. Didapat penerapannya tanpa penetapan fungsi quasilikelihood dari pengamatan-pengamatan sampel, jika mengetahui hubungan antara rata-rata dan varians. Untuk membangun distribusi Pareto fungsi likelihood bisa digantikan dengan eksponensial alami dari fungsi quasi-likelihood. Metoda ini mengurangi estimasi Bayesian yang umum, jika quasi-likelihood dan fungsi log-likelihood adalah identik.

Misalkan x1, x2, . . . , xn menjadi suatu sampel random bebas, dengan rata- rata µ = µ(θ), dimana θ adalah suatu vektor dari parameter dan varians var (x) = ϕV (µ),

dimana V (µ) adalah beberapa fungsi varians yang diketahui dan ϕ adalah suatu

penyebaran parameter yang dapat diketahui atau tidak diketahui. Quasi likelihood

Q(x; µ, ϕ) dapat menjadi penetapan hubungan

∂ ∂ µi

Q(xi,

µi

)

=

xi − µi v(µi)

(4.1.1)

dan eksponensial alami dari Q(x; µ, φ) digunakan sebagai fungsi likelihood.

Menggunakan

suatu

densitas

prior

yang

sesuai

g(θ, φ)

distribusi

posterior

f ∗∗(θ,

φ x

)

dapat menjadi konsepsi sebagai

n
f ∗∗(θ, φ|x)α {exp[Q(x; µ, φ)]} g(θ, φ)
i=1

(4.1.2)

dimana µ = µ(θ), θ = (θ1, θ2, . . . , θn), θi ∈ ⊗, ⊗ adalah jarak parameter, i = 1, 2, . . . , n, dan φ > 0. Mode joint dari (4.1.2) dapat digunakan untuk mendapatkan suatu perki-
Universitas Sumatera Utara
14

15

raan Bayes untuk θ densitas marginal mungkin dihasilkan dari (4.1.2) oleh penggabungan satu atau lebih dari parameter tak diketahui, kumpulan yang lain dari perkiraan Bayes untuk parameter tak diketahui dapat diberlakukan dengan respek untuk beberapa fungsi yang hilang, menggunakan densitas marginal.
Sekarang, digunakan metode diatas untuk suatu fungsi varians sederhana. Andaikan x1, x2, . . . , xn adalah sampel acak bebas dari suatu distribusi tak diketahui dan andaikan varian dan rata-rata diketahui menjadi sebanding dan tetap dari kesebandingan θ = 1, sehingga

E(x|µ) = µ dan Var = (x|µ) = µV (µ)

(4.1.3)

Dimana V (µ) merupakan fungsi varian dari (4.1.1), dimiliki

Q(x; µ) = log µ − µ dan exp[Q(x; µ)] = µxθ − µ

(4.1.4)

Agar membangun suatu distribusi posterior, suatu densitas prior konjuget alami dari

µ adalah

g(µ)

=

1 µΓν

(µν)v

e−µv, ν

>

0, µ

>

0

(4.1.5)

Menggunakan (4.1.4) dan (4.1.5), fungsi distribusi probabilitas posterior (p.d.f) dari

µ adalah

n
µxi e−µ

f ∗∗ (µ/x1, x2, . . . , xn)

=

∞

i=1 n

µxi e−µ

µv−1 e−µν µµ−1e−µν ∂µ

0 i=1

=

λ Γ (θ0)

(λµ)θ0−1 e−λµ, θ0, λ, µ

>

0

(4.1.6)

Dimana

0

θ0 = xi + ν dan λ = n + v

i=1

Ini, berhubungan dengan suatu pengkuadratan, loss function, penaksir quasi-Bayesian

adalah rata-rata posterior untuk (4.1.6) yaitu

∞

µ∗∗ = E (µ/x) =

(λµ) Γ (θ0)

e−λµ∂

µ

=

θ0 λ

0

Resiko Bayes dari µ∗∗ adalah

(4.1.7)

∞

var (µ/x) =

(µ

−

µ∗∗)2

f

∗∗

(µ/x)

∂µ

=

θ0 λ3

0

(4.1.8)

Universitas Sumatera Utara

16

Penaksir Bayes yang lain adalah mode dari posterior p.d.f (2.5) yaitu

µ

=

θ0

− λ

1

(4.1.9)

Mungkin dicatat bahwa fungsi varians V (µ) = µ adalah dihubungkan dengan distribusi Poisson yang mana adalah suatu anggota dari eksponensial famili dan juga eksponensial alami dari quasi-likelihood dan fungsi likelihood adalah sama dan ini membuat hasil quasi-Bayesian identik dengan hasil Bayesian biasa.

4.2 Penaksiran Quasi-Likelihood untuk Distribusi Pareto
Dalam bagian ini, didapat penaksiran quasi-likelihood maksimum dan penaksiran Quasi-Bayesian untuk parameter tak diketahui dari distribusi pareto. Distribusi ini sangat berguna dalam fungsi quasi-likelihood untuk penaksiran parameter karenanya fungsi quasi-likelihood dan loglikelihoodnya berbeda, dan prediksi memungkinkan untuk dibuat perbandingan antara metode quasi-Bayesian dan penaksiran likelihood Bayesian.

4.2.1 Penaksiran Quasi-Likelihood Anggap p.d.f dari distribusi Pareto diberikan oleh f (y) = αkαy−(α+1), α > 0, y ≥ k > 0

(4.2.1)

Misalkan E(y) = µ, kemudian

µ

=

αk (α − 1)

(4.2.2)

Varians adalah

var (y)

=

α

α−1 (α − 2)

µ2

=

α

α−1 (α − 2)

V

(µ)

(4.2.3)

Dimana V (µ) = µ2 adalah fungsi varians. Jadi untuk suatu sampel dari ukuran n,

fungsi quasi-likelihood diberikan oleh

n

∂Q ∂µ

=

yi − nµ
i=1
µ2

(4.2.4)

Yang memberikan

n

− yi − nµ

Q (y; µ) =

i=1
µ − n log µ

(4.2.5)
Universitas Sumatera Utara

17

Substitusi untuk µ dari (4.2.2) pada (4.2.5), fungsi quasi-likelihood (4.2.5) sebagai suatu fungsi dari α, k, menjadi

Q

(y;

k,

α)

=

−

α− αk

1

n

yi − n log

α−1 αk

i=1

Penaksiran quasi-likelihood maksimum dari α, k diperoleh mengikuti

(4.2.6)

nn

∂Q ∂α

=

∂Q ∂µ ∂µ ∂α

=

yi
i=1
µ2

−k (α − 1)2

+

nk µ (α −

1)

=

n α (α − 1)

−

yi
i=1
α2k

(4.2.7)

Persamaan diatas menjadi nol, didapatkan perkiraan quasi-likelihood dari α, ditun-

jukkan oleh α˜ sebagai

n
yi
α˜ = − n i=1 yi − nk
i=1

(4.2.8)

Berikutnya, karena k adalah suatu batas bawah pada variabel random y, Q(y, k, α)

menjadikan subyek harus menjadi berukuran maksimal

k˜ ≤ min yi

(4.2.9)

Diperiksa nilai dari k˜ yang berukuran maksimum (4.2.6) subyek ke (4.2.9) adalah

k˜ = min yi

(4.2.10)

Hingga (4.2.8) dan (4.2.10) memberikan penaksiran quasi-likelihood maksimum dari

α dan k. Perhatikan bahwa k˜ adalah penaksiran likelihood maksimum dari k, tetapi bukan α˜,

nα (n−2)

perkiraan

yang

sama

(4.2.8),

dan

(4.2.10),

dapat

diperoleh

dari

hubungan

fungsi

quasi-likelihood yang diperluas dengan fungsi varians (4.2.3).

4.2.2 Penaksiran Quasi-Bayesian untuk Distribusi Pareto

Dalam sub bagian ini, metode penaksiran quasi-Bayesian diterapkan pada disitribusi Pareto. Dari (4.2.6), eksponensial alami dari fungsi quasi-likelihood untuk suatu sampel dari ukuran n pengamatan dari distribusi Pareto diberikan oleh

exp (Q (y1;

α,

k))

=

α−n

(α

−

1)n

k

−n

e−D0

(

α−1 αk

)

α

>

1,

0

<

k

≤

D1

(4.2.11)

0
Dimana D0 = yi dan D1 = min (yi)
i=1

Universitas Sumatera Utara

18
Sekarang, didapat tiga distribusi posterior dari α dan k; dimana α diketahui dan k tidak diketahui, ketika k diketahui dan α tidak diketahui, dan ketika keduanya α dan k tidak diketahui.

Kasus (1) : α diketahui dan k tidak diketahui

Karena α diketahui dan k tidak diketahui, suatu P.d.f prior dari k diberikan

oleh (4.2.12), sebagai

f1 (k) = a0b−0 a0ka0−1 0 < k < b0

(4.2.12)

Dimana a0, b0 adalah positif. Dari (4.2.11) dan (4.2.12) posterior P.d.f dari k adalah

f1∗ (k/αy)

=

kD2 A1

e−D3

/k

0 < k ≤ D4

(4.2.13)

Dimana

D2

=

a0n

−

1, D3

=

α−1 α

D0,D4

=

min (b0

−

D1)

dimana

A1

adalah

konstanta

normal, diberikan oleh

D4

A1 = kD2e−D3/k∂k

(4.2.14)

0
yaitu A1 adalah suatu fungsi gamma tidak lengkap, dan sudah diperhitungkan menu-

rut urutan angka. Mode dari (4.2.13), yang mana adalah suatu perkiraan Bayes dari

k adalah

k∗ =

α−1 α

n
yi
i=1
n − ao + 1

(4.2.15)

Juga, median dari (4.2.13) adalah perkiraan Bayes yang lain dari k dan diberikan oleh

k∗∗

kD2 A1

e−D3 /k ∂ k

=

0,

5

o

Dimana k∗∗ adalah median dari (4.2.13)

(4.2.16)

Bahkan perkiraan Bayes yang lain dari k adalah mean dari posterior p.d.f

(4.2.13), yaitu

E (k/α, y) = 1 kD2+1 e−D3/k∂k = 0, 5 A1

(4.2.17)

Yang berhubungan dengan resiko Bayes adalah varians dari p.d.f posterior (4.2.13),

yaitu

Var (k/α, y) = 1

k
{k − E (k/α, y)}2kD2 e−D3/k∂k

A1 0

(4.2.18)

Median, mean dan varians diberikan berturut-turut oleh (4.2.16), (4.2.13) dan (4.2.18).

Universitas Sumatera Utara

19

Kasus (2) : α tidak diketahui dan k diketahui

Karena k diketahui dan α tidak diketahui, dibolehkan menggunakan f (α) = ααco−1e−d0α, α > 0 sebagai suatu p.d.f prior dari α, sehingga

f2(α) = ααco−1e−d0α, α > 0

(4.2.19)

Dimana c0, d0 adalah positif. Jadi, p.d.f posterior dari α adalah

(α − 1)n αD5

α−1

f2∗ (α/ky) = A2 exp −d0α − D6 α

−
α>1

(4.2.20)

n

Dimana D5 = c0 − n − 1, D6 =

yi k

dan

A2

adalah

konstanta

normal,

diberikan

oleh

i=1

∞

A2 =

(α − 1)nαD5 exp

α>1

−d0α − D6

α−1 α

∂ α−

(4.2.21)

Mode dari (4.2.20), diberikan oleh

d0 (α∗)3 − (n + D5 + d0) (α∗)2 + (D5 + D6) α∗ − D6 = 0

(4.2.22)

Juga, median dari (4.2.20) diberikan oleh

ε∗∗ (α − 1)n αD5 exp α>1 A2

−d0α − D5

α−1 α

∂α = 0, 5−

(4.2.23)

Bahkan perkiraan Bayes yang lain dari k adalah mean posterior dan varians dari

(4.2.20) adalah

∞

E (α/ky) =

αf2∗ (α/ky) ∂α−

α>1

(4.2.24)

Kemudian

∞

var (α/ky) =

[α − E (α/ky)]2f2∗ (α/ky) ∂α−

α>1

(4.2.25)

Mode, median, mean dan varians berturut-turut diberikan oleh (4.1.9), (4.2.23),

(4.2.24) dan (4.2.25). Dihitung perkiraan quasi-Bayesian dan koefisien dari variasi

untuk k ketika α diketahui yang diberikan oleh (4.2.17) dan (4.2.18) juga sesuai hasil yang didapatkan dari perkiraan Bayesian dan hasil ini didaftar pada tabel (4.1). Tabel (4.2) ringkasan hasil dari Bayesian dan perkiraan quasi-Bayesian untuk α ketika k diketahui, yang diberikan oleh (4.2.24) dan (4.2.25).

Tabel, (4.3) dan (4.4) dengan berurutan memberi efisiensi dari perkiraan quasi-Bayesian dari k ketika α diketahui, dan dari α ketika k diketahui.

Universitas Sumatera Utara

20

Tabel 4.1 : Penaksiran Bayesian dan Quasi-Likelihood untuk Data Pareto untuk k ketika α diketahui (α = 2). (Menurut Youssef, 2009)

Ukuran Sampel Parameter
Prior a0 b0 11 22 0,5 3 0,42 3,1 0,6 3,1 1 3,2 23 3 3,5

n = 10

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0465 0,1640

0,0443 0,1554

0,0471 0,1703

0,0476 0,1709

0,0472 0,1690

0,0453 0,1625

0,0406 0,1516

0,0432 0,1394

n = 20

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0326 0,1630

0,0239 0,1549

0,0246 0,1640

0,0246 0,1656

0,0244 0,1652

0,0240 0,1632

0,0236 0,1548

0,0231 0,1459

n = 30

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0161 0,0912

0,0156 0,0910

0,0190 0,0980

0,0163 0,0981

0,0160 0,0931

0,0157 0,0914

0,0153 0,0872

0,0151 0,0834

Tabel 4.2 : Penaksiran Bayesian dan Quasi-Likelihood untuk Data Pareto untuk α ketika k diketahui (k = 2). (Menurut Youssef, 2009)

Ukuran Sampel Parameter
Prior a0 b0 0,5 0,5 1 0,75 11 1,5 1,5 2,1 1 2 1,1 2,1 1,5 22

n = 10

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0455 0,1601

0,0433 0,1552

0,0462 0,1701

0,0466 0,1690

0,0463 0,1622

0,0462 0,1582

0,0404 0,1512

0,0431 0,1393

n = 20

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0317 0,1634

0,0228 0,1548

0,0239 0,1644

0,0238 0,1680

0,0234 0,1650

0,0240 0,1622

0,0232 0,1548

0,0230 0,1456

n = 30

Koefisien

Variasi Penaksiran

Bayes Quasi-Bayes

dari k

dari k

0,0160 0,0911

0,0153 0,0910

0,0189 0,0980

0,0161 0,0983

0,0160 0,0931

0,0159 0,0913

0,0156 0,0870

0,0152 0,0834

Tabel (4.1) dan (4.2) menunjukkan bahwa perbedaan antara koefisien dari variasi penaksiran Bayesian dan penaksiran quasi-Bayesian adalah kecil, selanjutnya pengurangan ukuran sampel yang berbeda dan nilai dari parameter prior bertambah. Juga, koefisien variasi penaksiran quasi-Bayesian dari α adalah lebih kecil dari koefisien variasi penaksiran Bayesian dari α. Tabel (4.3) menunjukkan penaksiran quasi-Bayesian dari parameter k mempunyai suatu efisiensi relatif rendah pada perkiraan Bayesian, juga efisiensi berkurang sebagaimana penambahan ukuran sampel.

Universitas Sumatera Utara

21

Tabel 4.3 : Efisiensi Penaksiran Quasi-Bayesian dari Parameter α ketika k diketahui (k = 3). (Menurut Youssef, 2009)

Parameter Prior c0 b0 0,5 0,5 1 0,75 11 1,5 1,5 2,1 1 2 1,1 2,1 1,5 22

n = 10
0,6136 0,6342 0,6990 0,8069 0,6152 0,6452 0,7123 0,8086

n = 20
0,6084 0,3900 0,2512 0,3047 0,1923 0,2100 0,2469 0,3590

n = 30
0,2280 0,2199 0,2161 0,2190 0,2101 0,2109 0,2010 0,2231

Tabel 4.4 : Efisiensi Penaksiran Quasi-Bayesian dari Parameter k ketika α diketahui (α = 2). (Menurut Youssef, 2009)

Parameter Prior c0 b0 11 22 0,5 3 0,42 3,1 0,6 3,1 1 3,2 23 3 3,5

n = 10
0,1158 0,1173 0,1126 0,1147 0,1147 0,1150 0,1172 0,1270

n = 20
0,0620 0,0363 0,0365 0,0367 0,0363 0,0360 0,0368 0,0375

n = 30
0,0381 0,0371 0,0425 0,0312 0,0372 0,0380 0,0399 0,0415

Tabel (4.4) menunjukkan penaksiran quasi-Bayesian dari parameter α mempunyai suatu efisiensi yang tinggi bahkan untuk ukuran sampel yang kecil dan nilai yang besar dari parameter prior. Tetapi efisiensi berkurang sebagaimana ukuran sampel bertambah.

Universitas Sumatera Utara

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan Tesis ini mendiskusikan metode fungsi quasi-likelihood untuk penaksiran param-
eter dalam distribusi Pareto. Pemakaian fungsi quasi-likelihood dalam pendekatan Bayes untuk penaksiran parameter dalam distribusi Pareto dapat dimungkinkan, karena mempunyai kelebihan yaitu : hanya dibutuhkan spesifikasi suatu hubungan antara mean dan varians dari pengamatan-pengamatan sampel. Selanjutnya, penaksiran quasi-Bayesian dari parameter a mempunyai suatu efisiensi yang tinggi bahkan untuk ukuran sampel yang kecil dan nilai yang besar dari parameter prior. Kelemahan metode penaksiran quasi-Bayesian dari parameter α adalah efisiensi berkurang sebagaimana ukuran sampel bertambah.
Penaksiran parameter menggunakan prinsip Pareto (20-80 peraturan) sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, seperti : ekonomi, sosial, sains, dan geofisika.
5.2 Saran Pemakaian