STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRAA ∗ -ALJABAR

• ALJABAR
• Aljabar dan ditunjukkan bahwa ( ¯

  1. Pendahuluan Gagasan Pra A ^∗ -Aljabar diperkenalkan pada tahun 2000 oleh Venkateswara Rao. Pra A ^∗ -Aljabar adalah suatu sistem matematika (A, ∧, ∨, (·) ^∼ ) dimana A meru- pakan himpunan tak kosong dengan ∧ (meet) dan ∨ (join) adalah operasi biner dan (·) ^∼ adalah operasi tunggal, jika ∀x, y, z ∈ A berlaku

  A dan menunjukkan bahwa ( ¯ A, ^∗

  A ^∗

  ∀x, y, z ∈ A (disebut sifat asosiatif). Artikel ini bertujuan untuk mendefinisikan sebuah operasi biner ” ^∗ ” pada Pra

  ) = (x ^∗ y ) ^∗ z,

  Tulisan ini difokuskan pada struktur semilattice pada Pra A ^∗ -Aljabar. Suatu himpunan tak kosong A dengan sebuah operasi biner ” ^∗ ” pada A dinamakan sebuah semilattice jika elemen-elemennya memenuhi sifat-sifat sebagai berikut : 1. x ^∗ x = x, ∀x ∈ A (disebut sifat idempoten), 2. x ^∗ y = y ^∗ x, ∀x, y ∈ A (disebut sifat komutatif), 3. x ^∗ (y ^∗ z

  1. x ^∼∼ = x, 2. x ∧ x = x, 3. x ∧ y = y ∧ x, 4. (x ∧ y) ^∼ = x ^∼ ∨ y ^∼ , 5. x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z, 6. x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), 7. x ∧ y = x ∧ (x ^∼ ∨ y).

  A, ^∗ ). Kata Kunci : Pra A ^∗ -Aljabar, poset, semilattice

  A, ^∗ ). Di samping itu

juga dikaji tentang nilai supremum dan nilai infimum dari beberapa sub himpunan pada

semilattice ( ¯

  A, ^∗ ) adalah sebuah semilattice. Selanjutnya didefin- isikan suatu relasi terurut parsial ≤ _∗ dan dibuktikan beberapa sifat pada suatu relasi terurut parsial tersebut yang diinduksi dari struktur semilattice ( ¯

  

Dalam tulisan ini dipelajari tentang struktur semilattice pada Pra A

^∗ -Aljabar (A, ∧, ∨, (·) ^∼ ) yang dituliskan sebagai ¯ A . Didefinisikan sebuah operasi biner ^∗ pada Pra A ^∗

  

ROZA ARDILLA

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

rozaardilla@gmail.com

_Abstrak.

  ∗

  ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STRUKTUR SEMILATTICE PADA PRA A

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 1 Hal. 63 – 67

• Aljabar ¯

  ) adalah sebuah semilattice. Kemudian akan dikaji sifat-sifat pada suatu relasi terurut parsial ” ≤ ” yang diinduksi dari Roza Ardilla _∗

  A, struktur semilattice ( ¯ ). Selanjutnya juga akan ditentukan nilai supremum dari _{∼ ∗}

  A, {x, x } dan nilai infimum dari {x, y}, ∀x, y ∈ A pada semilattice ( ¯ ). _∗

  2. Struktur Semilattice pada Pra -Aljabar A _∗ Definisi 2.1.

  [1] Suatu himpunan tak kosong A dengan sebuah operasi biner ” ”

  disebut sebuah semilattice jika berlaku sifat sebagai berikut : _∗

  x

  1. x = x, ∀x ∈ A (disebut idempoten), _{∗ ∗}

  y x,

  2. x = y ∀x, y ∈ A (disebut komutatif ), _{∗ ∗ ∗ ∗}

  z y z, 3. x (y ) = (x ) ∀x, y, z ∈ A (disebut asosiatif ). _{∼ ∗} A

  Teorema 2.2. [1] Misalkan ¯ (A, ∧, ∨, (·) ) adalah Pra A -Aljabar dan didefin- _{∗ ∗} A y

  

isikan suatu operasi biner ” ” pada ¯ yang memenuhi sifat x = x ∧ y, untuk

_∗

  A, setiap x, y ∈ A. Maka ( ¯ ) adalah sebuah semilattice. _{∗ ∗} Bukti. Misalkan ¯ A adalah suatu Pra A -Aljabar. Akan dibuktikan bahwa ( ¯ _∗

  A, ) adalah sebuah semilattice, yaitu dengan menunjukkan bahwa relasi ” ” bersifat idempoten, komutatif, dan asosiatif. _∗

  (i) Ambil sebarang x ∈ A. Akan ditunjukkan x x = x. Perhatikan bahwa: _{∗ ∗ ∗} x x = x ∧ x = x.

  Jadi x x = x, maka relasi ” ” adalah idempoten. _{∗ ∗} (ii) Ambil sebarang x, y ∈ A. Akan ditunjukkan x y = y x . Perhatikan bahwa: _{∗ ∗ ∗ ∗ ∗} x y = x ∧ y = y ∧ x = y x.

  Jadi x y = y x , maka relasi ” ” adalah komutatif. _{∗ ∗ ∗ ∗} (iii) Ambil sebarang x, y, z ∈ A. Akan ditunjukkan x (y z ) = (x y ) z . Perhatikan bahwa: _{∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗} x (y z ) = x (y ∧ z) = x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z = (x y ) z.

  Jadi x (y z ) = (x y ) z , maka relasi ” ” adalah asosiatif. _∗ Berdasarkan (i),(ii), dan (iii) maka ( ¯ A, ) adalah sebuah semilattice. _∗ Definisi 2.3. A

  [1] Misalkan ¯ adalah suatu Pra A -Aljabar. Suatu relasi ” ≤ ” _{∗ ∗} y y

  didefinisikan sebagai x ≤ jika x = x. _{∗ ∗}

  Teorema 2.4. [1] Untuk setiap x, y ∈ A pada Pra A -Aljabar ¯ A didefinisikan op- _∗

  erasi biner ” ” pada ¯ A maka berlaku: 1. x ∧ y ≤ x , _{∗ ∼}

  x 2. x ∨ y ≤ ∨ x . _{∗ ∗} Bukti. y y Berdasarkan Definisi 2.3 berlaku bahwa x ≤ jika dan hanya jika x = x.

  ∗ Struktur Semilattice pada Pra A -Aljabar

  x (1) Ambil sebarang x, y ∈ A. Akan dibuktikan x∧y ≤ yaitu dengan menunjukkan _{∗ ∗} x

  (x ∧ y) = x ∧ y. Perhatikan bahwa: _∗ x (x ∧ y) = (x ∧ y) ∧ x,

  = x ∧ (y ∧ x), = x ∧ (x ∧ y), = (x ∧ x) ∧ y, _∗ = x ∧ y.

  Karena (x ∧ y) x = x ∧ y maka x ∧ y ≤ x . _{∗ ∼} (2) Ambil sebarang x, y ∈ A. Akan dibuktikan bahwa x ∨ y ≤ x ∨ x yaitu dengan _{∗ ∼ ∗} menunjukkan (x ∨ y) (x ∨ x ) = x ∨ y. Perhatikan bahwa: _{∗ ∼ ∼}

  (x ∨ y) (x ∨ x ) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ x ), = (x ∨ y) ∧ 1, = (x ∧ 1) ∨ (y ∧ 1), _{∗ ∼ ∼} = x ∨ y.

  Karena (x ∨ y) (x ∨ x ) = (x ∨ y) maka (x ∨ y) ≤ (x ∨ x ). _{∗ ∗} Teorema 2.5. A y

  [1] Misalkan ¯ suatu Pra A -Aljabar. Jika x ≤ maka untuk _∗

  setiap a ∈ A berlaku : 1. a ∧ x ≤ a ∧ y, _∗ 2. a ∨ x ≤ a ∨ y. _{∗ ∗} Bukti. Berdasarkan Definisi 2.3, karena x y = x maka x ≤ y . _∗ a

  (1) Ambil sebarang x, y ∈ A. Akan dibuktikan bahwa a ∧ x ≤ ∧ y. Perhatikan _∗ bahwa: _∗ (a ∧ x) (a ∧ y) = (a ∧ x) ∧ (a ∧ y),

  = (a ∧ a) ∧ (x ∧ y), _∗ = a ∧ x. Karena (a ∧ x) (a ∧ y) = a ∧ x maka a ∧ x ≤ a ∧ y. _∗

  (2) Ambil sebarang x, y ∈ A. Akan dibuktikan bahwa a ∨ x ≤ a ∨ y. Perhatikan _∗ bahwa: _∗ (a ∨ x) (a ∨ y) = (a ∨ x) ∧ (a ∨ y),

  = (a ∧ a) ∨ (x ∧ y), = a ∨ (x ∧ y), _∗ = a ∨ x. a Karena (a ∨ x) (a ∨ y) = a ∨ x maka a ∨ x ≤ ∨ y. _{∗ ∗}

  Proposisi 2.6. A _∗ [1] Misalkan ¯ adalah Pra A -Aljabar. Definisikan suatu operasi _∗ A

  

biner ” ” pada ¯ . Maka untuk setiap x, y ∈ A, operasi ” ” adalah distributif

atas ∧ dan ∨, artinya

  Roza Ardilla _{∗ ∗ ∗}

  y z

  1. x (y ∨ z) = (x ) ∨ (x ), _{∗ ∗ ∗}

  y z 2. x (y ∧ z) = (x ) ∧ (x ). Bukti. _{∗ ∗ ∗} y z (1) Ambil sebarang x, y, z ∈ A. Akan dibuktikan x (y ∨ z) = (x ) ∨ (x ). Per- hatikan bahwa: _{∗ ∗ ∗} x

  _{∗ ∗ ∗} y z (y ∨ z) = x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) = (x ) ∨ (x ). (2) Ambil sebarang x, y, z ∈ A. Akan dibuktikan x (y ∧ z) = (x y ) ∧ (x z ). Per- hatikan bahwa: _{∗ ∗ ∗} x

  _∗ y z (y ∧ z) = x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ (x ∧ z) = (x ) ∧ (x ). Teorema 2.7. A _{∼ ∼ ∗} [1] Misalkan ¯ suatu Pra A -Aljabar. Untuk setiap x ∈ A, maka x

  A, ∨ x adalah supremum dari {x, x } pada semilattice ( ¯ ). _{∗ ∼} Bukti. A _{∼ ∗} Misalkan ¯ suatu Pra A -Aljabar. Akan ditunjukkan bahwa sup{x, x } = x

  A, ∨ x pada semilattice ( ¯ ). Ambil sebarang x ∈ A, maka berlaku: _{∗ ∼ ∼} x _{∗ ∼ ∼} (x ∨ x ) = x ∧ (x ∨ x ) = x ∧ 1 = x.

  _∼ x Karena x (x ∨ x ) = x maka x ≤ ∨ x . _∗ Kemudian ambil x ∈ A maka berlaku: _{∼ ∗ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼} x . _{∼ ∗ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼} (x ∨ x ) = x ∧ (x ∨ x ) = x ∧ 1 = x

  Karena x (x ∨ x ) = x maka x ≤ (x ∨ x ). Jadi karena x ≤ x ∨ x dan _{∼ ∼ ∼ ∼ ∗ ∗} x ≤ (x ∨ x ) maka x ∨ x batas atas dari {x, x }. Misalkan k adalah batas atas _{∗ ∼} dari {x, x } maka _{∗ ∼ ∼ ∗ ∼} x k k k k .

  ≤ ⇔ x = x dan x ≤ ⇔ x = x _{∗ ∗ ∼ ∼ ∼ ∗} k k Perhatikan bahwa (x ∨ x ) = x ∨ x , sehingga x ∨ x ≤ . Oleh karena itu, _{∼ ∼ ∼ ∗} x

  ∨ x merupakan batas atas terkecil dari {x, x }. Dengan kata lain, sup{x, x } = _∼ x ∨ x . _∗

  Lema 2.8. A [1] Misalkan ¯ adalah Pra A -Aljabar. Untuk setiap x, y ∈ A, jika x y

  ∧ y ≤ maka x ∧ y merupakan batas bawah dari {x, y}. _{∗ ∗} A

  Bukti. Misalkan ¯ adalah Pra A -Aljabar. Akan ditunjukkan bahwa x ∧ y meru- pakan batas bawah dari {x, y}. Ambil sebarang x, y ∈ A maka berlaku bahwa _∗ (x ∧ y) x = x ∧ y ⇒ x ∧ y ≤ x, _∗ dan _∗ (x ∧ y) y = x ∧ y ⇒ x ∧ y ≤ y. _∗ x y

  Karena x ∧ y ≤ dan x ∧ y ≤ maka x ∧ y merupakan batas bawah dari {x, y}. _{∗ ∗ ∗} Teorema 2.9. A

  [1] Misalkan ¯ adalah Pra A -Aljabar. Maka untuk setiap x, y ∈ A _∗

  A, berlaku bahwa Inf {x, y} = x ∧ y pada semilattice ( ¯ ).

  ∗ Struktur Semilattice pada Pra A -Aljabar Bukti.

  Berdasarkan Lema 2.8 diketahui bahwa x ∧ y adalah batas bawah dari {x, y}. Misalkan m adalah batas bawah dari {x, y} maka _{∗ ∗} m ≤ x ⇔ m x = m dan m ≤ y ⇔ m y = m. _{∗ ∗ ∗} Perhatikan bahwa m (x ∧ y) = m, sehingga m ≤ x ∧ y. Oleh karena itu, x ∧ y _∗ merupakan batas bawah terbesar dari {x, y}. Dengan kata lain, inf{x, y} = x ∧ y.

  3. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak . Admi Nazra, Ibu Lyra Yulianti, Bapak Mahdhivan Syafwan dan Ibu Yanita yang telah memberikan masukan dan saran sehingga artikel ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka _∗ [1] Rao, J.V. dan A. Satyanarayana. 2010. Semilattice Structure on Pre A -Algebra.

  Asian Journal of Scientific Research, Vol. 3(4). [2] Munir, R. 2010. Matematika Diskrit. Edisi Ketiga. Penerbit Informatika Ban- dung.