Pengaruh Aggregasi terhadap Parameter Long Memory Time Series (Studi Kasus : Data Saham LQ 45)

  Abstrak—Proses identifikasi terhadap fenomena Long Memory tidaklah mudah. Berbagai alat identifikasi seperti plot ACF dan berbagai statistik uji lain masih sangat lemah. Beberapa penelitian mengungkapkan bahwa beberapa model nonlinear dapat dengan mudah teridentifikasi sebagai Long Memory yang sering dikenal sebagai Spurious Long Memory. Oleh karena itu, dalam tugas akhir ini akan disimulasikan pengaruh flow aggregation dan stock aggregation sebagai alternatif cara untuk mendeteksi Long Memory. Saham digunakan sebagai studi kasus karena proses pencatatannya sama dengan penerapan dari stock aggregation dan beberapa penelitian menyatakan bahwa harga mutlak dari return saham sering tertangkap sebagai fenomena Long Memory, namun tidak sedikit penelitian yang memodelkan return saham dengan model nonlinear, contohnya seperti ESTAR, sehingga simulasi dibangun dengan membangkitkan data Long Memory dan ESTAR sebagai Spurious Model dengan ukuran sampel 2000 dan 5000, lalu diaggregasi masing-masing dengan kedua jenis aggregasi hingga 10 level aggregasi. Hasil simulasi menunjukkan bahwa temporal aggregation terbukti dapat mendeteksi Long Memory dan membedakannya dengan ESTAR dari pola parameter integrasinya. Pada data ESTAR, kedua aggregasi menunjukkan bahwa nilai parameternya tidak berpola atau random seiring naiknya level aggregasi, sedangkan untuk Long Memory memiliki pola khusus untuk setiap jenis aggregasi. Tiga saham yang dijadikan studi kasus yaitu BMRI, BBNI, dan BBRI lebih baik dimodelkan dengan ARFIMA daripada ESTAR karena menghasilkan forecast yang akurasinya lebih baik.

  aggregation belum pernah dilakukan. Pada kenyataannya,

  

Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail : heri_k@statistika.its.ac.id

  (Studi Kasus : Data Saham LQ 45)

Moch. Koesniawanto dan Heri Kuswanto

Jurusan Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

  Pengaruh Aggregasi terhadap Parameter Long Memory Time Series

  perbandingan pola parameter yang dihasilkan dari kedua aggregasi tersebut, dan dapat menerapkannya untuk kepentingan pemodelan dan peramalan harga saham LQ 45. Batasan masalah pada penelitian ini yaitu data yang digunakan untuk mengetahui kekuatan metode aggregasi ini adalah data bangkitan dengan menggunakan software R dan estimator parameter yang digunakan adalah GPH karena faktor kesederhanaan. Sedangkan untuk data saham yang dijadikan contoh kasus adalah 3 saham unggulan dari indeks

  aggregation dan stock aggregation , mengetahui

  Tujuan yang ingin dicapai dalam tugas akhir ini adalah mendapatkan hasil simulasi pengidentifikasian Long Memory dan Spurious Long Memory (ESTAR) dengan prinsip flow

  Salah satu penerapan sifat stock aggregation adalah saham. Volatilitas pendapatan saham baik dijelaskan dengan proses Long Memory [5]. Dependensi jangka panjangnya secara umum terdeteksi dalam kuadrat atau harga mutlak dari nilai balik modal (return). Di sisi lain, model-model nonlinier seperti ESTAR yang tergolong Spurious Long Memory juga sering digunakan untuk pemodelan return saham. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan diaplikasikan teori aggregasi untuk mengidentifikasi apakah data saham tersebut tergolong fenomena Long Memory. Data saham yang dijadikan kasus adalah saham-saham yang tergolong dalam indeks LQ 45.

  kedua aggregasi tersebut memiliki prosedur sampling yang berbeda sehingga konsekuensinya tidak bisa begitu saja digeneralisasi bahwa performa dari stock aggregation sama dengan flow aggregation.

  terbukti berhasil secara simulasi untuk mengidentifikasikan fenomena Long Memory. Penelitian tentang performa stock

  Kata Kunci—Long Memory, Spurious Long Memory, Aggregasi, ARFIMA, ESTAR.

  aggregation yang dilakukan oleh [4] dapat diterapkan dan

  Alternatif lain untuk mendeteksi Long Memory adalah dengan menggunakan prinsip aggregasi yang terbagi menjadi 2 jenis yaitu flow aggregation dan stock aggregation. Penelitian sebelumnya yang telah dikembangkan dengan flow

  memiliki pilihan model yang tepat dan berujung pada hasil peramalan yang akurat.

  Memory [3]. Oleh karena itu, mengembangkan pengujian Long Memory masih sangat penting dalam rangka untuk

  mendeteksi Long Memory seperti Hurst test, R/S test, V/S test masih lemah membedakan Long Memory dan Spurious Long

  Memory . Beberapa statistik uji yang dikembangkan untuk

  banyak model nonlinear dapat dengan mudah digolongkan ke dalam Long Memory [2], yang dikenal sebagai Spurious Long

  Memory dapat menyerupai Long Memory [1], kemudian

  I. PENDAHULUAN agian dari time series yang memiliki dependensi jangka panjang dikenal dengan Long Memory. Proses identifikasi Long Memory tidak mudah. Plot ACF Short

  B

  ∞ Long Memory dan model ESTAR sebagai Spurious Long

  Γ r − d d ( ) r

  Memory , kemudian dipilih model terbaik hingga dilakukan 1 − B = B

  ( ) ∑

  Γ r ( ) ( )

• 1 Γ − d

  peramalan 3 periode ke depan untuk masing-masing data

  = r

  (3) saham.

  E.

   Pemilihan Model Terbaik n

  2

  1 ˆ

  II. PUSTAKA TINJAUAN

  (4)

  RMSE = Z − Z t t

  ( ) ∑ n t =

   Estimator GPH (Geweke Porter-Hudak)

  1 A.

  dimana n adalah banyaknya sampel yang diramalkan. Model Estimator yang digunakan adalah GPH yang diperkenalkan terbaik adalah model yang mempunyai nilai RMSE terkecil. oleh [6].

  m ~ ~ − ,

  5 X − X log

  I j j

  ( ) ∑

  III. PENELITIAN METODOLOGI

  j

  1 = ˆ

  (1)

  d = GPH m

  ~ ~ Sumber Data X −

2 A.

  X ( j )

  ∑

  Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data

  j

  1 =

  sekunder, yaitu data 3 saham yang termasuk ke dalam indeks dimana estimator ini dapat dimunculkan dengan LQ 45, yaitu BMRI, BBNI, dan BBRI yang diambil mulai menggunakan model: periode 1 Januari 2001 hingga 31 Desember 2011.

  ~ ξ

  I = log c − 2 d X log + log j f j j B.

   Langkah Analisis

  Bagian Pertama (Analisis Data Simulasi) B.

   Temporal Aggregation 1.

  Membangkitkan data simulasi Long Memory dan ESTAR Variabel aggregat Y diamati sebagai berikut:

  t

  dengan n = 2000 dan n = 5000. Untuk Long Memory, data dibangkitkan masing-masing dengan parameter d Jika

  X adalah stock variable, maka Y = X , t = 1, …, t t nt untuk nilai d = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

  T .

  2. Setiap data bangkitan diaggregasi baik dengan properti Jika adalah flow variable, maka

  X stock aggregation maupun flow aggregation, masing- t n −

  1 n −

  1

  masing dengan level aggregasi sebesar m, dimana m

  T i x

  Y

  X B X , t 1 ,  , T ; T = = = = bernilai 1, 2, ..., 10. t nt i nt y y

  − ∑ ∑ n i i

  Setiap data hasil aggregasi pada langkah nomor 2, akan diestimasi nilai paramater d dan standart deviasinya

  1 3. = =

  C.

   Model ESTAR

  dengan estimator GPH dengan bandwith optimum 0,5 dan 0,8.

  γ adalah fungsi transisi yang mengatur G ( s ; , c ) t 4.

  Langkah nomor 1 hingga 4, diulang sebanyak 1000 kali pergerakan dari satu rezim ke rezim yang lain dan s adalah

  t

  sehingga terdapat 1000 nilai estimasi d beserta standart variabel transisi sehingga s = y . Menurut [7] variabel

  t t-l deviasinya.

  transisi umumnya dipilih untuk lag satu periode yaitu l = 1.

  5. Membuat vektor db dan sb. Masing-masing vektor Variabel γ menentukan derajat kelengkungan fungsi transisi berukuran 10x1. Setiap komponen dari vektor db dan c adalah parameter threshold. Jika fungsi transisi berupa didapatkan dari nilai rata-rata hasil estimasi parameter d fungsi eksponensial, maka fungsi transisi eksponensial dapat untuk tiap level aggregasi m. Begitu pula dengan vektor ditulis sebagai

  sb didapatkan dari rata-rata standart deviasi d hasil estimator GPH.

1 G s ; , c

  γ = 6.

  ( t )

  Untuk properti stock aggregation, pada setiap nilai

  1 exp − s − c ( γ ( ) )

• t

  parameter d dibuat selang kepercayaan 95% untuk tiap (2) level aggregasi (m = 1, 2, ..., 10) baik untuk n = 2000

  Fungsi transisi tersebut sering dinamakan ESTAR. Fungsi maupun n = 5000. ini asimetris karena tidak tergantung pada fakta bahwa 7.

  Melakukan hal sama seperti langkah nomor 6 namun variabel transisi bergerak di atas atau di bawah threshold. untuk properti flow aggregation. Parameter mengontrol derajat nonlinier.

  8. Membandingkan hasil selang kepercayaan untuk setiap level aggregasi m > 1 dengan selang kepercayaan saat m

  D.

   Model ARFIMA = 1.

  Model ARFIMA secara umum sama dengan model 9.

  Jika selang kepercayaan masih beririsan, maka ARIMA. Perbedaan ARFIMA dengan model ARIMA terletak disimpulkan bahwa pada setiap level aggregasi pada parameter pembedanya yaitu : menghasilkan parameter d yang sama, namun jika ada

  B

1 B Z B a dimana

  

φ − = θ θ minimal satu selang kepercayaan yang tidak beririsan,

p ( )( ) t q ( ) t

• d

nilai d yang berbeda dengan data aslinya.

  10. Membandingkan hasil simulasi antara stock aggregation dan flow aggregation dan disimpulkan metode aggregasi terbaik untuk identifikasi proses Long Memory. Bagian Kedua (Analisis Data Saham) 1.

  9. Melakukan peramalan untuk 3 tahap ke depan untuk masing-masing model yaitu periode 2-4 Januari 2012.

  Gambar 3. 95% Confidence Interval Stock Aggregation n = 2000 Gambar 4. 95% Confidence Interval Stock Aggregation n = 5000

  Gambar 1. 95% Confidence Interval Flow Aggregation n = 2000 Gambar 2. 95% Confidence Interval Flow Aggregation n = 5000

  Gambar 3. dan Gambar 4. jelas menunjukkan bahwa stock menghasilkan pola nilai d yang monoton turun seiring dengan naiknya level aggregasi utamanya hingga level 5.

   Simulasi Stock Aggregation

  B.

  Berdasarkan Gambar 1 dan Gambar 2, didapatkan kesimpulan bahwa pada bandwith 0,5 terlihat bahwa seiring dengan naiknya level aggregasi, parameter d yang dihasilkan tidak berubah ditunjukkan dengan beririsannya selang kepercayaan. Berbeda kondisi dengan bandwith 0,8 yang memiliki bias yang lebih besar dan selang kepercayaannya tidak beririsan.

   Simulasi Flow Aggregation

  8. Melakukan cek diagnosa apakah model yang dihasilkan untuk masing-masing data saham memenuhi asumsi residual berdistribusi normal dan white noise.

  Mengunduh data harga saham harian dari 3 saham terbesar yang termasuk indeks LQ 45 dari periode 1 Januari 2001 hingga 31 Desember 2011.

  7. Memilih model terbaik untuk ketiga data saham berdasarkan nilai RMSE terkecil.

  Memory .

  6. Melakukan pemodelan untuk setiap data saham dengan ARFIMA sebagai pendekatan sifat Long Memory dan model ESTAR sebagai pendekatan Spurious Long

  5. Pada setiap level aggregasi akan diestimasi nilai d dan diamati polanya.

  m = 1,2,...,10.

  Pada masing-masing data saham akan diaggregasi dengan properti stock aggregation dengan level aggregasi

  3. Membuat periodogram untuk masing-masing data saham 4.

  2. Setiap data saham dibuat plot ACF dan PACF sebagai pendugaan secara visual indikasi proses Long Memory.

IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A.

  Tabel 1. Bias Estimasi GPH N = 2000 N = 5000 m

  0.5

  0.8

  0.5

  0.8 1 0.032137 0.111111 0.02188 0.084859 2 0.043279 0.137288 0.029254 0.103049 3 0.051783 0.157016 0.034762 0.117603 4 0.058845 0.17038 0.039295 0.127467 5 0.065235 0.181265 0.043279 0.137288 6 0.070857 0.194281 0.046862 0.146225 7 0.076116 0.21019 0.050257 0.153178 8 0.081352 0.219632 0.05327 0.157031 9 0.08585 0.230301 0.056241 0.165579

  10 0.090263 0.230427 0.058845 0.17038

  Tabel 1 menunjukkan nilai bias yang dihasilkan estimator GPH saat menggunakan bandwith 0,5 dan 0,8. Berdasarkan nilai bias tersebut dapat diambil 2 kesimpulan, yaitu bias yang dihasilkan GPH saat menggunakan bandwith 0,5 lebih

  Gambar 5. 95% Confidence Interval Stock Aggregation ESTAR n = 2000

  kecil daripada bandwith 0,8 kemudian bertambahnya jumlah sampel dapat memperkecil bias yang dihasilkan.

  E.

   Aplikasi ke Data Saham LQ 45

  Saham LQ 45 yang dijadikan bahan studi kasus dalam tugas akhir ini adalah saham BMRI, BBNI, dan BBRI. Ketiga jenis indeks saham tersebut diambil datanya mulai awal Januari 2001 hingga akhir Desember 2011. Bagian yang dianalisis adalah absolut dari nilai return harga saham, bukan harga saham secara langsung sebab kenyataannya investor lebih tertarik mengetahui informasi pergerakan return saham daripada harga saham itu sendiri [5], [10], [11]. Berikut adalah sajian deskripsi series data return saham dari masing- masing indeks saham.

  Pada deskripsi series saham yang ditunjukkan pada Gambar 7 adalah data saham yang semula ditransformasi dalam bentuk logaritma natural untuk mengatasi stationarity dalam varians, kemudian setelah itu baru didapatkan nilai returnnya. Melihat plot ACF dari ketiga series tersebut, terlihat bahwa plot ACF terkesan turun melambat namun

  Gambar 6. 95% Confidence Interval Stock Aggregation ESTAR n = 5000

  tidak seperti biasanya, meskipun turun melambat namun berbentuk hiperbolik naik turun. Hal tersebut memunculkan 2

  C.

   Simulasi Stock Aggregation pada Model ESTAR

  kemungkinan, yaitu data series tersebut non stasioner atau Model ESTAR yang dibangkitkan yaitu : data tersebut sebenarnya mengikuti fenomena Long Memory.

1. ESTAR 1 : ESTAR (γ = 25, c = 0.06) F.

   Identifikasi Data dengan Temporal Aggregation

  ESTAR 2 : ESTAR (γ = 25, c = 0.07) 3. ESTAR 3 : ESTAR (γ = 25, c = 0.08) Berikut adalah proses identifikasi dengan menggunakan

  Hasil selang kepercayaan 95% sebagaimana yang stock aggregation hingga 10 level. ditampilkan pada Gambar 5. dan Gambar 6. jelas

  Tabel 2. menunjukkan estimasi parameter d dari ketiga menunjukkan bahwa tidak adanya trend tertentu dari estimasi series hingga 10 level aggregasi. Berdasarkan kesimpulan parameter d seiring dengan naiknya level aggregasi. simulasi dengan stock aggregation, jika data tersebut bersifat

  Long Memory , maka estimasi d akan monoton turun seiring D. Pemilihan Bandwith

  dengan naiknya level aggregasi dan seringnya hingga level 5 Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh [8] dan [9], aggregasi namun Hasil aggregasi tersebut menunjukkan estimator GPH sangat dipengaruhi oleh pemilihan bandwith bahwa tidak sepenuhnya ketiga series tersebut menyerupai yang tepat. Pemilihan bandwith mempengaruhi bias estimasi sifat Long Memory. Hal ini disebabkan karena pada data real yang dihasilkan. Berdasarkan hasil simulasi, berikut adalah

  return saham banyak sekali intervensi yang tidak dijumpai bias yang dihasilkan oleh GPH dengan bandwith 0,5 dan 0,8.

  seperti saat melakukan simulasi. Oleh karena itu, dalam

  Tabel 3. Pemodelan Series Series Model RMSE ARFIMA(1, 0.3656, 1) 0.0212 BMRI

  ESTAR( γ = 37.8, c = 0.0838) 0.0199 ARFIMA(4, 0.3386, 0) 0.0208 BBNI ESTAR(0.0221, -0.0221, 43.3) 0.0212

  ARFIMA(1, 0.3657, 1) 0.0211 BBRI ESTAR(0.9318, -0. 9318, 9.98) 0.0237 Tabel 4.

  Forecast Saham Model ARFIMA BMRI BBNI BBRI Actual Forecast Actual Forecast Actual Forecast

• 0.0074 -0.0154 0.0066 0.0144 0.0074 0.0141 0.0148 0.016 0.0194 0.0143 0.0146 0.0154 0.0073 0.0163 0.0064 0.0143 0.0072 0.0158 RMSE 0.007 0.0071 0.0063 Tabel 5.

  Forecast Saham Model ESTAR BMRI BBNI BBRI Actual Forecast Actual Forecast Actual Forecast

  0.006 - 0.007

• 0.0195 0.0132 0.0163 0.0074

  6

  4 0.019 0.014 0.0148 0.0128 0.0122 0.0166

  4

  6 0.006 0.007 0.0073 0.0123 0.0154 0.0187

  4

  2 RMSE 0.00765 0.00767 0.00848

  yaitu model ARFIMA sebagai Long Memory dan ESTAR sebagai Spurious Long Memory untuk dibandingkan error terkecilnya.

  

G.

   Model dan Ramalan Data Saham

  Berikut ini adalah hasil pemodelan dan peramalan ketiga series tersebut. Berdasarkan hasil pemodelan yang dipaparkan pada Tabel 3. dapat terlihat bahwa fitting model yang baik untuk data series BBNI dan BBRI adalah ARFIMA, namun untuk series BMRI adalah ESTAR. Namun nilai RMSE yang dihasilkan memiliki selisih yang sangat kecil sehingga untuk peramalan (forecast) dari ketiga series tersebut akan digunakan semua modelnya dan dibandingakan

  Gambar 7. Deskripsi Series Data Return Saham BMRI, BBNI, dan BBRI

  kembali nilai RMSE untuk mengetahui model manakah yang Tabel 2. menghasilkan forecast yang lebih akurat. Berikut adalah

  Estimasi Nilai d dengan m Level Aggregasi hasil forecast return saham 3 tahap ke depan. M BMRI BBNI BBRI

  Tabel 4. adalah forecast return saham menggunakan

  1 0.365632 0.338576 0.36565 2 0.254603 0.319744 0.348989

  model ARFIMA sedangkan Tabel 5. adalah forecast return

  3 0.230007 0.312706 0.356939

  saham menggunakan model ESTAR. Hasil kedua tabel

  4 0.019567 0.365594 0.193799

  tersebut dibandingkan actual return dan ramalannya dan

  5 0.294126 0.159461 0.18676 6 0.027015 0.318211 0.264771

  perbandingan tersebut diwakili dengan nilai RMSE.

  7 0.204972 0.508531 0.251953

  Berdasarkan hasil Tabel 4. dan Tabel 5. menunjukkan bahwa

  8 0.098254 0.331549 0.313476 9 0.18846 0.260105 0.254668

  model ARFIMA lebih akurat ramalannya daripada model

  10 0.422946 0.045438 0.211442

  ESTAR tanpa terkecuali untuk series BMRI karena meskipun

  fitting model datanya lebih baik menggunakan ESTAR,

  namun hasil ramalannya lebih akurat jika menggunakan model ARFIMA.

  [7] S.J. Taylor, Consequences for option pricing of a long memory in

  volatility. Unpublished Manuscript. Department of Accounting and Finance, Lancaster University, (2000). [8] L.R. Souza, “Spectral Properties Of Temporally Aggregated Long V.

  KESIMPULAN/RINGKASAN Memory Process”. Brazilian Journal of Probability and Statistics, Vol.

  22, No. 2, (2008) 135-155.

  Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah

  [9] L.R. Souza, “Temporal Aggregation And Bandwidth Selection In

  dilakukan, berikut beberapa kesimpulan yang diperoleh Estimating Long Memory”. Journal of Time Series Analysis Vol. 28, No.

  5, (2003) 701-722.

  adalah pengidentifikasian sifat Long Memory dalam suatu

  [10] T. ,Anderson, T. Bollerslev, F.X. Diebold, and P. Labys, “Modeling and

  series data dapat dilakukan dengan aggregasi baik flow Forecasting Realized Volatility”. Econometrica 71, (2003) 579-626.

  aggregation maupun stock aggregation. Flow aggregation [11] P. Sibbertsen, “Long memory versus structural change: An overview”.

  Statistical Papers 45, (2004) 465-515.

  dalam mendeteksi Long Memory akan menghasilkan pola parameter integrasi yang nilainya secara statistik sama atau tidak berbeda meskipun data tersebut diaggregasi, sedangkan untuk sifat stock aggregation menghasilkan pola untuk parameter integrasinya memiliki trend turun untuk rata-rata hingga level 5 aggregasi. Berdasarkan hasil simulasi, kedua metode aggregasi ini menghasilkan perilaku yang sama dalam parameternya untuk Spurious Long Memory (studi kasus ESTAR), yaitu random, tidak memiliki trend turun atau naik jika seriesnya diaggregasi.

  Pemodelan dari absolut return saham dari ketiga series terpilih yaitu BMRI, BBNI, dan BBRI didapatkan bahwa model ARFIMA lebih baik dalam fitting model kecuali pada series BMRI yang menunjukkan bahwa ESTAR lebih baik dalam fitting model. Namun ketika dilakukan forecasting 3 tahap ke depan, hasilnya sama-sama menunjukkan bahwa model ARFIMA memberikan hasil forecast yang lebih baik dan akurat dari pada ESTAR pada ketiga series tanpa terkecuali BMRI yang dalam fitting modelnya menyatakan ESTAR lebih baik.

  UCAPAN TERIMA KASIH Penulis M.K. mengucapkan terimakasih kepada Dr. rer. pol. Heri Kuswanto, S. Si, M. Si. yang telah membimbing dengan baik dan sabar sehingga Penulis dapat menyelesaikan jurnal ini dengan baik, serta kepada Dr. Brodjol Sutijo, S.U., M. Si. dan Dr. Irhamah, S. Si, M. Si yang telah banyak memberikan koreksi dan saran terhadap penulisan jurnal ini.

  DAFTAR PUSTAKA

  [1] F. X. Diebold and C.A. Inoue, “Long Memory And Regime Switching”.

  Journal of Econometrics , Vol. 105, No. 1, (2001) 131-159.

  [2]

  H. Kuswanto and P. Sibbertsen, “A Study On Spurious Long Memory In Nonlinear Time Series Models”. Applied Mathematical Science, Vol. 2, No.55, (2008) 2713-2734. [3]

H. Kuswanto and P. Sibbertsen, Testing long memory against ESTAR

  nonlinearities. Discussion Paper no. 427 , Leibniz Hannover University, Germany, (2009).

  [4]

  H. Kuswanto, “A New Test Against Spurious Long Memory Using Temporal Aggregation”. Journal of Statistical Computation and Simulation , i-first Published on 17 January 2011. DOI: 10.1080/00949655.2010.483231 (2011).

  [5] Z. Ding, R.F. Engle, and C.W.J. Granger, “A Long Memory Property Of Stock Market Returns And A New Model”. Journal of Empirical Finance 1, (1993) 83-106.

  [6] J. Geweke and S. Porter-Hudak, ”The Estimation And Application Of Long Memory Time Series Models”. Journal of Time Series Analysis 4, (1983) 221-237.