PELABELAN SUPER SISI AJAIB PADA GRAF CATERPILLAR TERATUR.
PELABELAN SUPER S ISI AJAIB PADA
GRAF CATERPILLAR TERATUR
Oleh:
Simson Hasudungan Panggabean
NIM 4111230008
Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan Kasih
dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini
berjudul “Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Caterpillar Teratur”. Skripsi
ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian skripsi
ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan skripsi
antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku
ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris
Jurusan Matematika, Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua
Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing
Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah
banyak membantu penulis dalam perkuliahan. Kepada Ibu Dra.Nerli Khairani,
M.Si, Ibu Marlina Setia Sinaga, S.Si, M.Si., ibu Faiz Ahyaningsih, S.Si, M.Si
selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan saran dalam
penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT
Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk
melakukan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA
yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti
perkuliahan.
Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan hormat
kepada Ayahanda terkasih Ir. Saut Maruli Tua Panggabean dan Ibunda tercinta
Nelly Ida Sigalingging S.Pd untuk semua kasih sayang, doa, ajaran, motivasi dan
jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
v
Serta adikku Hartini Apriyani Panggabean dan Tri Utami Panggabean yang
memberikan dukungan doa dan motivasi kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat
seperjuangan Sri Rejeki Tambunan, Silvia Saragih, Romiana Banjarnahor, Roslin
Pasaribu, dan Rosari Chrisdayanti Hasugian yang memberikan bantuan dan
motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Kepada
sahabat-sahabat terkasih Valdo Exsaudi Pasaribu, Orlando Nainggolan, Joni
Simanullang, Denny Pradana, Wira Sanjaya, Ferdinand Tampubolon, Hotmian
Andre Simamora, Berkat Injil Sihotang, Melisa Siregar, Fredelina Hutabarat,
Kristiani Aritonang, Lydia Sinaga, Reni Prabunita, Rina Rumahorbo, Oktapina
Gurusinga, Uni Fiana Silalahi, Syarto Mustofa, Syakban Hayrian, Elvira, Dian
Gerhana, Lili Hariningrum, Violetha, Ermita Siadari, Desi Ratna Sari Lubis,
Khoiriah Lubis, Dian Utami, Julianti, Ahmad Rifai, Ahmad Fauzi, Yuri Sagala,
Feryanta Ginting, Kristiani Pasaribu, Nurlaeli, Mahyurani, Nurainun, Libertina
dan teman-teman lainnya yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan
mendukung serta memberi motivasi kepada penulis. Terima kasih kepada semua
pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini memberikan
dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut membantu
penyelesaian skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita
semua.Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
Penulis
Agustus 2015
Simson Hasudungan Panggabean
NIM. 4111230009
vi
DAFTAR ISI
RIWAYAT HIDUP
ii
ABSTRAK
iii
KATA PENGANTAR
iv
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR TABEL
x
BAB I PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang Masalah
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
4
1.4 Tujuan Penelitian
4
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II LANDASAN TEORI
5
2.1 Teori Graf
5
2.1.1 Definisi Graf
5
2.1.2 Jenis-Jenis Graf
5
2.2 Terminologi Graf
9
2.2.1 Bertetangga
9
2.2.2 Bersisian
9
2.2.3 Derajat
9
2.2.4 Lintasan
10
2.2.5 Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
11
2.2.6 Terhubung
11
2.3 Pohon
12
2.4 Graf Bintang
12
2.5 Graf Caterpillar
13
2.6 Pemetaan
14
2.7 Pelabelan Graf
15
2.7.1 Pelabelan Total Sisi Ajaib
16
vii
2.7.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib
18
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
19
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
19
3.2 Jenis Penelitian
19
3.3 Prosedur Penelitian
19
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
20
4.1 Graf Caterpillar
20
4.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �2�
21
4.3 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �3�
28
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
37
5.1 Kesimpulan
37
5.2 Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
39
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Pola pelabelan pada graf �2�
Tabel 4.2 Pola pelabelan pada graf �3�
27
35
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh graf lengkap
6
Gambar 2.2 graf Bipartit Komplit K3,5
6
Gambar 2.3 (a) graf tak sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
7
Gambar 2.4 Graf berhingga
7
Gambar 2.5 Graf tak berhingga
8
Gambar 2.6 Contoh (a) graf tak berarah dan (b) graf berarah
8
Gambar 2.7 graf dengan simpul yang bertetangga
9
Gambar 2.8 (a) Graf G1 ; (b). Graf G2 ; (c). Graf G3
10
Gambar 2.9 (a) graf terhubung dan (b) graf tak terhubung
11
Gambar 2.10 �1 dan �2 adalah pohon, sedangkan �3 dan �4 bukan pohon
12
Gambar 2.11 Graf Bintang �8
13
Gambar 2.12 Graf caterpillar
13
Gambar 2.13 Graf Caterpillar teratur C2,3
14
Gambar 2.14 Graf H
17
Gambar 2.1 5 Diagram fungsi dari himpunan titik dan sisi ke himpunan
banyak titik dan sisi.
17
Gambar 2.16 Pelabelan total sisi ajaib pada Graf H
18
Gambar 4.1 Graf �21
21
Gambar 4.3 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �21
22
Gambar 4.2 Graf �21 setelah simpul diberi label
21
Gambar 4.4 Graf �22
22
Gambar 4.6 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �22
23
Gambar 4.5 Graf �22 setelah simpul diberi label
23
Gambar 4.7 Graf �23
24
Gambar 4.9 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �23
25
Gambar 4.8 Graf �23 setelah simpul diberi label
24
Gambar 4.10 Graf �24
26
Gambar 4.12 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �24
26
Gambar 4.11 Graf �24 setelah simpul diberi label
26
ix
Gambar 4.13 Graf �31
28
Gambar 4.15 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �31
29
Gambar 4.14 Graf �31 setelah simpul diberi label
29
Gambar 4.16 Graf �32
30
Gambar 4.18 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �32
31
Gambar 4.17 Graf �32 setelah simpul diberi label
30
Gambar 4.19 Graf �33
32
Gambar 4.21 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �33
32
Gambar 4.20 Graf �33 setelah simpul diberi label
32
Gambar 4.22 Graf �34
33
Gambar 4.24 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �34
34
Gambar 4.23 Graf �34 setelah simpul diberi label
34
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Teori graf sebagai salah satu cabang matematika sebenarnya sudah ada
sejak lebih dari dua ratus tahun yang silam. Jurnal pertama tentang teori graf
muncul pada tahun 1736 oleh matematikawan terkenal Swiss bernama Euler. Dari
segi matematika, pada awalnya teori graf “kurang” signifikan, karena kebanyakan
dipakai untuk memecahkan teka-teki, namun akhirnya mengalami perkembangan
yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa puluh tahun terakhir ini (Budayasa,
2002:2).
Graf merupakan salah satu model matematika yang kompleks dan cukup
sulit, akan tetapi bisa juga menjadi solusi yang sangat bagus untuk masalah
tertentu.
Dalam
kehidupan
sehari-hari
banyak
sekali
persoalan
yang
diimplementasikan dengan graf. Teori graf juga ilmu yang sangat unik. Keunikan
teori graf karena kesederhanaan pokok bahasannya karena disajikan dalam simpul
dan busur (Deo,1974).
Sebuah graf � berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak
kosong �(�) dari obyek-obyek yang disebut titik dan himpunan berhingga
(mungkin kosong) �(�) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga
setiap elemen e dalam �(�) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di
�(�).
Ada beberapa macam graf yang telah ditemukan, di antaranya adalah graf
pohon. Graf G adalah pohon jika graf � merupakan graf tak berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit. Ada beberapa graf yang termasuk graf pohon
salah satunya adalah graf caterpillar.
Graf caterpillar adalah graf yang jika semua titik ujungnya dihilangkan
akan menghasilkan lintasan, dalam hal ini titik ujung dalam graf caterpillar
adalah titik yang berderajat satu. graf ulat (caterpillar) bisa didapatkan dengan
menghubungkan simpul pusat � dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang
menghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintang disebut juga
2
simpul backbone dari graf caterpillar. Jika banyaknya simpul anting sama maka
graf tersebut merupakan graf caterpillar teratur dinotasikan Cm,n dengan m adalah
jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting.
Salah satu topik dalam teori graf yang banyak mendapat perhatian adalah
pelabelan graf. Pelabelan graf muncul pertama kali pada pertengahan tahun 1960an setelah sebuah konjektur dari Ringel dan tulisan dari Rosa membahas
mengenai pelabelan graf.
Dengan mengkaji dan menganalisis model atau rumusan teori graf dapat
ditunjukkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan berbagai permasalahan
salah satunya diselesaikan dengan pelabelan graf seperti masalah sektor sistem
komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer,
dan juga desain sirkuit gabungan pada komponen elektronik.
Studi dari pemberian label pada graf telah memfokuskan pada penemuan
graf-graf tertentu yang memiliki pelabelan tertentu, sehingga ada banyak jenisjenis pelabelan, di antaranya adalah pelabelan simpul, pelabelan sisi, pelabelan
total, dan pelabelan ajaib, dimana pada pelabelan ajaib terdapat dua kelas, yaitu
pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan super sisi ajaib.
Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan satu-satu yang memetakan
himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif, elemenelemen graf itu sendiri meliputi himpunan titik, himpunan sisi, himpunan titik dan
sisi.
Pelabelan titik adalah pelabelan graf dimana domainnya merupakan
himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan graf dimana domainnya
merupakan himpunan sisi, sedangkan pelabelan total jika domainnya merupakan
gabungan himpunan titik dan sisi.
Untuk
fungsi
,
bijektif
graf � dengan
titik dan
sisi disebut total sisi ajaib jika ada
� ∶ � � ∪ � � → 1,2, … ,
+1 ,
+ 2 ,…,
(Bača.M & Mirka miller.2008), sehingga ada konstanta � untuk sebarang
G diperoleh �
+�
,
+�
+1 ,
,
di
= �. Sedangkan super sisi ajaib adalah total
sisi ajaib pada graf � sehingga � �
selebihnya dari
+
+ 2 ,…,
dipetakan ke himpunan 1, 2, … . ,
+
,
adalah himpunan label sisi. Hal
3
tersebutlah yang membuat pelabelan super sisi ajaib sangat menarik, karena
diharuskan melabeli simpul dengan himpunan 1, 2, … . ,
+1 ,
dengan himpunan
berlaku �
+�
,
langsung dengan simpul
+�
+ 2 ,…,
+
= �.
dan melabeli sisi
dan untuk setiap
,
∈� �
merupakan simpul yang terhubung
Penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib terus berkembang, hal tersebut
diketahui dari banyaknya artikel tentang pelabelan super sisi ajaib dalam beragam
kelas graf. Pada tahun (1998) Hikoe Enomoto dkk, melakukan penelitian tentang
pelabelan super sisi ajaib pada graf bipartite lengkap �
,
untuk
= 1 atau
= 1 dan diperoleh nilai � = 3 + 6.
Selvam Avadayappan dkk (2001), melakukan penelitian tentang pelabelan
super sisi ajaib pada graf sikel (�2
+1 )
disimpulkan bahwa graf sikel merupakan
graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai � = 5 + 4 yang memenuhi pelabelan
super sisi ajaib tersebut.
Lalu pada tahun (2014) IW,Sudarsana dkk, melakukan penelitian pada graf
gabungan graf ulat dan bipartite lengkap dinotasikan dengan graf �
�2 (�1 , �2 , … , �2 )
disimpulkan
bahwa
graf
�
,
,
∪
∪ �2 (�1 , �2 , … , �2 )
merupakan graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai konstanta ajaib yang
memenuhi pelabelan super sisi ajaib � = 3
2
+
+ 1.
Berdasarkan hal di atas, penulis tertarik untuk menulis sebuah penelitian
mengenai pelabelan super sisi ajaib, dengan merujuk pada penelitian yang
dilakukan IW, Sudarsana dkk penulis ingin menunjukkan bahwa graf ulat
(caterpillar) merupakan graf super sisi ajaib dan menentukan konstanta ajaib yang
memenuhi pelabelan super sisi ajaib. Dengan demikian penulis mengangkat hal
tersebut dalam sebuah karya ilmiah dalam bentuk skripsi dengan judul:
“Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan Latar belakang di atas, maka rumusan masalah pada penelitian
ini adalah sebagai berikut:
1. Apakah graf Caterpillar merupakan graf super sisi ajaib?
4
2. Bagaimana Pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib pada
graf Caterpillar?
3. Berapa nilai konstanta ajaib untuk memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar ?
1.3
Batasan Masalah
Penulisan Skripsi ini difokuskan pada pembahasan dengan beberapa batasan
masalah sebagai berikut:
1. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf
caterpillar teratur (Cmn ) dengan
= 2 dan 3.
2. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf
caterpillar teratur (Cmn ) dengan 1 ≤
1.4
≤ ∞.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan penelitian dalam penulisan
adalah
1. Menunjukkan bahwa graf Caterpillar merupakan graf super sisi ajaib.
2. Menentukan pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar.
3. Mengetahui nilai konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar.
1.5
Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
1. Penulis, sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini.
2. Pembaca, sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
37
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada bab IV dapat
disimpulkan bahwa:
1.
Graf caterpillar �2 merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi
pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan
1,2,3,4, … , p ,
p + 1 , p + 2 ,…, p + q
selebihnya dari
adalah
himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan
= 5 + 6 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya
super sisi ajaib
sebagai berikut:
� �1
� �2
� �1 �1
2.
=
=2 +2
� �1
=4 +4−
� �2 �2
=3 +3−
=1
Untuk 1 ≤ ≤
� �2
+ +1
= +1
� �1 �2 = 3 + 3
Graf caterpillar �3 merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi
pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan
1,2,3,4, … , p ,
p + 1 , p + 2 ,…, p + q
selebihnya dari
adalah
himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan
super sisi ajaib
= 8 + 8 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya
sebagai berikut:
� �1
=2 +2
� �3
=3 +3
� �2
=
+1
� �1 �2 = 5 + 5
Untuk 1 ≤ ≤
� �1
� �2
� �3
=
= 2 +�+2
=
+ +1
� �2 �3 = 4 + 4
� �1 �1
� �2 �2
� �3 �3
= 6 +6−
=5 +5−
=4 +4−
38
5.2
Saran
Pada tulisan ini penulis hanya membahas pelabelan super sisi ajaib pada
graf caterpillar teratur �
dengan
= 2 dan 3, jika pembaca tertarik
melanjutkan penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf caterpillar
teratur pada
yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan, S. dkk. 2001. “Super Magic Strenght of a Graf”. Indian J. Pure
Appl. Math Vol. 32 No. 11, Hal 1621-1630.
Bača, M dan Mirka M. 2008. Super Edge-Antimagic Graph : A Wealth of
Problems and Solutions. Florida,USA: Brown Walker Press Boca Raton.
Budayasa, Ketut. 2002. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa
University Pres.
Deo, N. 1974. Graph Theory with Application to Engineering and Computer
Science. USA : Prentice-Hall
Enomoto, H. dkk. 1998.
“Super Edge-Magic Grafs”. SUT Journal of
Mathematics Vol. 34 No. 2, Hal 105-109.
Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of
America : Prentice-Hall.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika.
Saragih, S. 2012. Struktur Aljabar 1. Medan : Larispa.
Siang, Jong Jek. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Andi
Simpson, Andrew. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill
Companies.
Sudarsana, I W. Dkk. 2014. “ Pelabelan Total Sisi Ajaib Super (TSAS) pada
Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartite Lengkap”. Online Jurnal of
Natural Science, Vol.3(1): 65-74
Sugeng,K.A.,& miller,M. 2008. On consecutive edge magic total labeling of
graph. Journal of Discrete Algorithms (6), 59-65
Wibisono, S. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
GRAF CATERPILLAR TERATUR
Oleh:
Simson Hasudungan Panggabean
NIM 4111230008
Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
2015
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah mencurahkan Kasih
dan berkat-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini
berjudul “Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Caterpillar Teratur”. Skripsi
ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di
Universitas Negeri Medan.
Dalam kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
berbagai pihak yang telah membantu dan mendukung dalam penyelesaian skripsi
ini, mulai dari pengajuan proposal penelitian sampai kepada penyusunan skripsi
antara lain kepada: Bapak Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas
Negeri Medan, Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc, Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam , Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku
ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris
Jurusan Matematika, Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., selaku Ketua
Program Studi Matematika, Bapak Mulyono, S.Si, M.Si selaku Pembimbing
Skripsi yang telah banyak membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini
dan Ibu Dra. Hamidah Nasution, M.Si sebagai pembimbing akademik yang telah
banyak membantu penulis dalam perkuliahan. Kepada Ibu Dra.Nerli Khairani,
M.Si, Ibu Marlina Setia Sinaga, S.Si, M.Si., ibu Faiz Ahyaningsih, S.Si, M.Si
selaku dosen penguji yang telah banyak memberikan masukan dan saran dalam
penyusunan skripsi ini. Saya ucapkan terima kasih kepada Kepala UPT
Perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah memberikan izin untuk
melakukan penelitian, serta seluruh staf pengajar Jurusan Matematika FMIPA
yang telah memberikan bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti
perkuliahan.
Teristimewa dan terkhusus penulis mengucapkan terima kasih dan hormat
kepada Ayahanda terkasih Ir. Saut Maruli Tua Panggabean dan Ibunda tercinta
Nelly Ida Sigalingging S.Pd untuk semua kasih sayang, doa, ajaran, motivasi dan
jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
v
Serta adikku Hartini Apriyani Panggabean dan Tri Utami Panggabean yang
memberikan dukungan doa dan motivasi kepada penulis. Kepada sahabat-sahabat
seperjuangan Sri Rejeki Tambunan, Silvia Saragih, Romiana Banjarnahor, Roslin
Pasaribu, dan Rosari Chrisdayanti Hasugian yang memberikan bantuan dan
motivasi, serta selalu membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Kepada
sahabat-sahabat terkasih Valdo Exsaudi Pasaribu, Orlando Nainggolan, Joni
Simanullang, Denny Pradana, Wira Sanjaya, Ferdinand Tampubolon, Hotmian
Andre Simamora, Berkat Injil Sihotang, Melisa Siregar, Fredelina Hutabarat,
Kristiani Aritonang, Lydia Sinaga, Reni Prabunita, Rina Rumahorbo, Oktapina
Gurusinga, Uni Fiana Silalahi, Syarto Mustofa, Syakban Hayrian, Elvira, Dian
Gerhana, Lili Hariningrum, Violetha, Ermita Siadari, Desi Ratna Sari Lubis,
Khoiriah Lubis, Dian Utami, Julianti, Ahmad Rifai, Ahmad Fauzi, Yuri Sagala,
Feryanta Ginting, Kristiani Pasaribu, Nurlaeli, Mahyurani, Nurainun, Libertina
dan teman-teman lainnya yang tidak bosan-bosannya menasehati, membantu dan
mendukung serta memberi motivasi kepada penulis. Terima kasih kepada semua
pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang selama ini memberikan
dukungan, semangat, dan doa serta semua pihak yang turut membantu
penyelesaian skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita
semua.Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan,
Penulis
Agustus 2015
Simson Hasudungan Panggabean
NIM. 4111230009
vi
DAFTAR ISI
RIWAYAT HIDUP
ii
ABSTRAK
iii
KATA PENGANTAR
iv
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR TABEL
x
BAB I PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang Masalah
1
1.2 Rumusan Masalah
3
1.3 Batasan Masalah
4
1.4 Tujuan Penelitian
4
1.5 Manfaat Penelitian
4
BAB II LANDASAN TEORI
5
2.1 Teori Graf
5
2.1.1 Definisi Graf
5
2.1.2 Jenis-Jenis Graf
5
2.2 Terminologi Graf
9
2.2.1 Bertetangga
9
2.2.2 Bersisian
9
2.2.3 Derajat
9
2.2.4 Lintasan
10
2.2.5 Siklus (Cycle) atau Sirkuit (Circuit)
11
2.2.6 Terhubung
11
2.3 Pohon
12
2.4 Graf Bintang
12
2.5 Graf Caterpillar
13
2.6 Pemetaan
14
2.7 Pelabelan Graf
15
2.7.1 Pelabelan Total Sisi Ajaib
16
vii
2.7.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib
18
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
19
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
19
3.2 Jenis Penelitian
19
3.3 Prosedur Penelitian
19
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
20
4.1 Graf Caterpillar
20
4.2 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �2�
21
4.3 Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur �3�
28
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
37
5.1 Kesimpulan
37
5.2 Saran
38
DAFTAR PUSTAKA
39
x
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Pola pelabelan pada graf �2�
Tabel 4.2 Pola pelabelan pada graf �3�
27
35
viii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Contoh graf lengkap
6
Gambar 2.2 graf Bipartit Komplit K3,5
6
Gambar 2.3 (a) graf tak sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
7
Gambar 2.4 Graf berhingga
7
Gambar 2.5 Graf tak berhingga
8
Gambar 2.6 Contoh (a) graf tak berarah dan (b) graf berarah
8
Gambar 2.7 graf dengan simpul yang bertetangga
9
Gambar 2.8 (a) Graf G1 ; (b). Graf G2 ; (c). Graf G3
10
Gambar 2.9 (a) graf terhubung dan (b) graf tak terhubung
11
Gambar 2.10 �1 dan �2 adalah pohon, sedangkan �3 dan �4 bukan pohon
12
Gambar 2.11 Graf Bintang �8
13
Gambar 2.12 Graf caterpillar
13
Gambar 2.13 Graf Caterpillar teratur C2,3
14
Gambar 2.14 Graf H
17
Gambar 2.1 5 Diagram fungsi dari himpunan titik dan sisi ke himpunan
banyak titik dan sisi.
17
Gambar 2.16 Pelabelan total sisi ajaib pada Graf H
18
Gambar 4.1 Graf �21
21
Gambar 4.3 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �21
22
Gambar 4.2 Graf �21 setelah simpul diberi label
21
Gambar 4.4 Graf �22
22
Gambar 4.6 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �22
23
Gambar 4.5 Graf �22 setelah simpul diberi label
23
Gambar 4.7 Graf �23
24
Gambar 4.9 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �23
25
Gambar 4.8 Graf �23 setelah simpul diberi label
24
Gambar 4.10 Graf �24
26
Gambar 4.12 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �24
26
Gambar 4.11 Graf �24 setelah simpul diberi label
26
ix
Gambar 4.13 Graf �31
28
Gambar 4.15 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �31
29
Gambar 4.14 Graf �31 setelah simpul diberi label
29
Gambar 4.16 Graf �32
30
Gambar 4.18 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �32
31
Gambar 4.17 Graf �32 setelah simpul diberi label
30
Gambar 4.19 Graf �33
32
Gambar 4.21 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �33
32
Gambar 4.20 Graf �33 setelah simpul diberi label
32
Gambar 4.22 Graf �34
33
Gambar 4.24 Hasil pelabelan super sisi ajaib pada graf �34
34
Gambar 4.23 Graf �34 setelah simpul diberi label
34
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Teori graf sebagai salah satu cabang matematika sebenarnya sudah ada
sejak lebih dari dua ratus tahun yang silam. Jurnal pertama tentang teori graf
muncul pada tahun 1736 oleh matematikawan terkenal Swiss bernama Euler. Dari
segi matematika, pada awalnya teori graf “kurang” signifikan, karena kebanyakan
dipakai untuk memecahkan teka-teki, namun akhirnya mengalami perkembangan
yang sangat pesat yaitu terjadi pada beberapa puluh tahun terakhir ini (Budayasa,
2002:2).
Graf merupakan salah satu model matematika yang kompleks dan cukup
sulit, akan tetapi bisa juga menjadi solusi yang sangat bagus untuk masalah
tertentu.
Dalam
kehidupan
sehari-hari
banyak
sekali
persoalan
yang
diimplementasikan dengan graf. Teori graf juga ilmu yang sangat unik. Keunikan
teori graf karena kesederhanaan pokok bahasannya karena disajikan dalam simpul
dan busur (Deo,1974).
Sebuah graf � berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak
kosong �(�) dari obyek-obyek yang disebut titik dan himpunan berhingga
(mungkin kosong) �(�) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga
setiap elemen e dalam �(�) merupakan pasangan tak berurutan dari titik-titik di
�(�).
Ada beberapa macam graf yang telah ditemukan, di antaranya adalah graf
pohon. Graf G adalah pohon jika graf � merupakan graf tak berarah terhubung
yang tidak mengandung sirkuit. Ada beberapa graf yang termasuk graf pohon
salah satunya adalah graf caterpillar.
Graf caterpillar adalah graf yang jika semua titik ujungnya dihilangkan
akan menghasilkan lintasan, dalam hal ini titik ujung dalam graf caterpillar
adalah titik yang berderajat satu. graf ulat (caterpillar) bisa didapatkan dengan
menghubungkan simpul pusat � dari graf bintang secara berurutan. Lintasan yang
menghubungkan simpul-simpul anting dari barisan graf bintang disebut juga
2
simpul backbone dari graf caterpillar. Jika banyaknya simpul anting sama maka
graf tersebut merupakan graf caterpillar teratur dinotasikan Cm,n dengan m adalah
jumlah simpul backbone dan n adalah jumlah simpul anting.
Salah satu topik dalam teori graf yang banyak mendapat perhatian adalah
pelabelan graf. Pelabelan graf muncul pertama kali pada pertengahan tahun 1960an setelah sebuah konjektur dari Ringel dan tulisan dari Rosa membahas
mengenai pelabelan graf.
Dengan mengkaji dan menganalisis model atau rumusan teori graf dapat
ditunjukkan peranan dan kegunaannya dalam memecahkan berbagai permasalahan
salah satunya diselesaikan dengan pelabelan graf seperti masalah sektor sistem
komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar, penyimpanan data komputer,
dan juga desain sirkuit gabungan pada komponen elektronik.
Studi dari pemberian label pada graf telah memfokuskan pada penemuan
graf-graf tertentu yang memiliki pelabelan tertentu, sehingga ada banyak jenisjenis pelabelan, di antaranya adalah pelabelan simpul, pelabelan sisi, pelabelan
total, dan pelabelan ajaib, dimana pada pelabelan ajaib terdapat dua kelas, yaitu
pelabelan total sisi ajaib dan pelabelan super sisi ajaib.
Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan satu-satu yang memetakan
himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan bulat positif, elemenelemen graf itu sendiri meliputi himpunan titik, himpunan sisi, himpunan titik dan
sisi.
Pelabelan titik adalah pelabelan graf dimana domainnya merupakan
himpunan titik, pelabelan sisi adalah pelabelan graf dimana domainnya
merupakan himpunan sisi, sedangkan pelabelan total jika domainnya merupakan
gabungan himpunan titik dan sisi.
Untuk
fungsi
,
bijektif
graf � dengan
titik dan
sisi disebut total sisi ajaib jika ada
� ∶ � � ∪ � � → 1,2, … ,
+1 ,
+ 2 ,…,
(Bača.M & Mirka miller.2008), sehingga ada konstanta � untuk sebarang
G diperoleh �
+�
,
+�
+1 ,
,
di
= �. Sedangkan super sisi ajaib adalah total
sisi ajaib pada graf � sehingga � �
selebihnya dari
+
+ 2 ,…,
dipetakan ke himpunan 1, 2, … . ,
+
,
adalah himpunan label sisi. Hal
3
tersebutlah yang membuat pelabelan super sisi ajaib sangat menarik, karena
diharuskan melabeli simpul dengan himpunan 1, 2, … . ,
+1 ,
dengan himpunan
berlaku �
+�
,
langsung dengan simpul
+�
+ 2 ,…,
+
= �.
dan melabeli sisi
dan untuk setiap
,
∈� �
merupakan simpul yang terhubung
Penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib terus berkembang, hal tersebut
diketahui dari banyaknya artikel tentang pelabelan super sisi ajaib dalam beragam
kelas graf. Pada tahun (1998) Hikoe Enomoto dkk, melakukan penelitian tentang
pelabelan super sisi ajaib pada graf bipartite lengkap �
,
untuk
= 1 atau
= 1 dan diperoleh nilai � = 3 + 6.
Selvam Avadayappan dkk (2001), melakukan penelitian tentang pelabelan
super sisi ajaib pada graf sikel (�2
+1 )
disimpulkan bahwa graf sikel merupakan
graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai � = 5 + 4 yang memenuhi pelabelan
super sisi ajaib tersebut.
Lalu pada tahun (2014) IW,Sudarsana dkk, melakukan penelitian pada graf
gabungan graf ulat dan bipartite lengkap dinotasikan dengan graf �
�2 (�1 , �2 , … , �2 )
disimpulkan
bahwa
graf
�
,
,
∪
∪ �2 (�1 , �2 , … , �2 )
merupakan graf super sisi ajaib dan diperoleh nilai konstanta ajaib yang
memenuhi pelabelan super sisi ajaib � = 3
2
+
+ 1.
Berdasarkan hal di atas, penulis tertarik untuk menulis sebuah penelitian
mengenai pelabelan super sisi ajaib, dengan merujuk pada penelitian yang
dilakukan IW, Sudarsana dkk penulis ingin menunjukkan bahwa graf ulat
(caterpillar) merupakan graf super sisi ajaib dan menentukan konstanta ajaib yang
memenuhi pelabelan super sisi ajaib. Dengan demikian penulis mengangkat hal
tersebut dalam sebuah karya ilmiah dalam bentuk skripsi dengan judul:
“Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Caterpillar Teratur”.
1.2
Rumusan Masalah
Berdasarkan Latar belakang di atas, maka rumusan masalah pada penelitian
ini adalah sebagai berikut:
1. Apakah graf Caterpillar merupakan graf super sisi ajaib?
4
2. Bagaimana Pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib pada
graf Caterpillar?
3. Berapa nilai konstanta ajaib untuk memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar ?
1.3
Batasan Masalah
Penulisan Skripsi ini difokuskan pada pembahasan dengan beberapa batasan
masalah sebagai berikut:
1. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf
caterpillar teratur (Cmn ) dengan
= 2 dan 3.
2. Pelabelan super sisi ajaib pada penulisan ini hanya dilakukan pada graf
caterpillar teratur (Cmn ) dengan 1 ≤
1.4
≤ ∞.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan penelitian dalam penulisan
adalah
1. Menunjukkan bahwa graf Caterpillar merupakan graf super sisi ajaib.
2. Menentukan pola pelabelan yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar.
3. Mengetahui nilai konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan super sisi ajaib
pada graf Caterpillar.
1.5
Manfaat Penelitian
Penulis berharap agar tulisan ini bermanfaat untuk:
1. Penulis, sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman dan
penguasaan tentang materi yang diambil dalam penulisan ini.
2. Pembaca, sebagai bahan kajian bagi yang sedang menempuh mata kuliah
yang berhubungan dengan materi ini.
37
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan pada bab IV dapat
disimpulkan bahwa:
1.
Graf caterpillar �2 merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi
pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan
1,2,3,4, … , p ,
p + 1 , p + 2 ,…, p + q
selebihnya dari
adalah
himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan
= 5 + 6 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya
super sisi ajaib
sebagai berikut:
� �1
� �2
� �1 �1
2.
=
=2 +2
� �1
=4 +4−
� �2 �2
=3 +3−
=1
Untuk 1 ≤ ≤
� �2
+ +1
= +1
� �1 �2 = 3 + 3
Graf caterpillar �3 merupakan graf super sisi ajaib karena telah memenuhi
pelabelan total sisi ajaib pada graf � sehingga �(�) dipetakan ke himpunan
1,2,3,4, … , p ,
p + 1 , p + 2 ,…, p + q
selebihnya dari
adalah
himpunan label sisi. Dengan konstanta ajaib yang memenuhi pelabelan
super sisi ajaib
= 8 + 8 dan pola umum pelabelan super sisi ajaibnya
sebagai berikut:
� �1
=2 +2
� �3
=3 +3
� �2
=
+1
� �1 �2 = 5 + 5
Untuk 1 ≤ ≤
� �1
� �2
� �3
=
= 2 +�+2
=
+ +1
� �2 �3 = 4 + 4
� �1 �1
� �2 �2
� �3 �3
= 6 +6−
=5 +5−
=4 +4−
38
5.2
Saran
Pada tulisan ini penulis hanya membahas pelabelan super sisi ajaib pada
graf caterpillar teratur �
dengan
= 2 dan 3, jika pembaca tertarik
melanjutkan penelitian tentang pelabelan super sisi ajaib pada graf caterpillar
teratur pada
yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Avadayappan, S. dkk. 2001. “Super Magic Strenght of a Graf”. Indian J. Pure
Appl. Math Vol. 32 No. 11, Hal 1621-1630.
Bača, M dan Mirka M. 2008. Super Edge-Antimagic Graph : A Wealth of
Problems and Solutions. Florida,USA: Brown Walker Press Boca Raton.
Budayasa, Ketut. 2002. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unesa
University Pres.
Deo, N. 1974. Graph Theory with Application to Engineering and Computer
Science. USA : Prentice-Hall
Enomoto, H. dkk. 1998.
“Super Edge-Magic Grafs”. SUT Journal of
Mathematics Vol. 34 No. 2, Hal 105-109.
Jhonsonbaugh, R. 2001. Discrete Mathematics, Fifth Edition. United State of
America : Prentice-Hall.
Munir, R. 2005. Matematika Diskrit. Bandung : Informatika.
Saragih, S. 2012. Struktur Aljabar 1. Medan : Larispa.
Siang, Jong Jek. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Andi
Simpson, Andrew. 2002. Discrete Mathematics. Singapore: McGraw-Hill
Companies.
Sudarsana, I W. Dkk. 2014. “ Pelabelan Total Sisi Ajaib Super (TSAS) pada
Gabungan Graf Ulat Bulu dan Bipartite Lengkap”. Online Jurnal of
Natural Science, Vol.3(1): 65-74
Sugeng,K.A.,& miller,M. 2008. On consecutive edge magic total labeling of
graph. Journal of Discrete Algorithms (6), 59-65
Wibisono, S. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.