SUATU BUKTI DARI WEDDERBURN’S LITTLE THEOREM

  Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 66 – 70

  ISSN : 2303–2910 Jurusan Matematika FMIPA UNAND c

SUATU BUKTI DARI WEDDERBURN’S LITTLE

THEOREM

  

PUTRI ANGGRAYNI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang,

Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia

putri.anggrayni@gmail.com

Abstrak.

  Dalam Wedderburn’s Little Theorem dinyatakan bahwa setiap gelanggang

pembagian yang mempunyai sejumlah berhingga unsur adalah komutatif, sehingga meru-

pakan suatu lapangan. Teorema ini telah dibuktikan oleh banyak orang dengan berbagai

ide berbeda. Dalam paper ini akan dikaji suatu bukti yang berdasarkan pada dua fakta

mengenai lapangan berhingga. Kata Kunci : Gelanggang pembagian, lapangan berhingga.

  1. Pendahuluan

Gelanggang merupakan struktur penting dalam aljabar modern. Jika setiap un-

sur tak-nol dari suatu gelanggang R membentuk grup terhadap operasi perkalian,

maka R disebut gelanggang pembagian (division ring). Dengan demikian satu hal

yang hilang dari R untuk menjadi suatu lapangan adalah komutatifitas terhadap

perkalian.

  Pada tahun 1905 seorang matematikawan Skotlandia, Joseph H. M. Wedder-

burn, membuktikan suatu teorema yang dinyatakan sebagai berikut: ”Setiap gelang-

gang pembagian berhingga merupakan suatu lapangan”. Teorema yang lebih dikenal

sebagai Wedderburn’s Little Theorem ini telah dibuktikan oleh banyak orang dengan

berbagai ide berbeda. Wedderburn sendiri telah memberikan tiga buah bukti dari

teorema ini pada 1905, dan bukti lainnya diberikan oleh Leonard E. Dickson pada

tahun yang sama. Selanjutnya Emil Artin, Hans Zassenhaus, Nicolas Bourbaki, dan

Ernst Will adalah nama-nama terkenal yang juga telah membuktikan teorema ini.

  Dalam paper ini akan dikaji suatu bukti dari Wedderburn’s Little Theorem yang berdasarkan pada dua fakta berikut, sebagaimana yang ditulis dalam [1]:

(1) Grup perkalian dari unsur-unsur tak-nol dari suatu lapangan berhingga adalah

siklis [2].

(2) Jika F adalah suatu lapangan berhingga dan α 6= 0, β 6= 0 adalah dua buah

  2

• unsur di F , maka terdapat unsur a dan b di F sedemikian sehingga 1 + αa

Suatu Bukti dari Wedderburn’s Little Theorem

  67

  2. Wedderburn’s Little Theorem pada Gelanggang Pembagian Berhingga

Sebelum mengkaji bukti dari Wedderburn’s Little Theorem, akan dibuktikan bebe-

rapa lema dan akibat berikut.

  

Lema 2.1. [1] Misalkan D adalah suatu gelanggang pembagian dengan karakteristik

p > 0, Z(D) = {z ∈ D|zx = xz, ∀x ∈ D} adalah center dari D, dan P adalah

lapangan prima dengan p unsur, dimana P termuat di Z(D). Andaikan a ∈ D, a / ∈

_n

  p

  

Z(D) sedemikian sehingga a = a untuk suatu n > 0, maka terdapat suatu x ∈ D

sedemikian sehingga

  1. xax 6= a,

  −1 2.

  xax ∈ P (a), lapangan yang diperoleh dengan menggandengkan a ke P .

Bukti. Didefinisikan suatu pemetaan δ : D → D oleh δ (y) = ya − ay untuk

  a a

  

semua y ∈ D. Karena a algebraic atas P , maka P (a) merupakan suatu lapangan

  m

  

berhingga dan mempunyai p unsur, untuk suatu bilangan bulat m. Semua unsur

_m

  p

  

P (a) memenuhi u = u. Melalui suatu pembuktian yang mudah, diperoleh bahwa

_{m m m}

  p p p

  

δ (y) = ya − a y = ya − ay = δ (y) untuk semua y ∈ D. Dengan demikian

  a a _m p

  δ (y) = δ (y).

  a a

  Jika λ ∈ P (a), maka δ (λx) = (λx)a − a(λx) = λ(xa − ax) = λδ (x), karena λ

  a a

  

komutatif dengan a. Dengan demikian pemetaan λI : D → D, yang didefinisikan

oleh λI(y) = λy, komutatif dengan δ untuk setiap λ ∈ P (a). Karena setiap unsur

_{m m} a p p _m

P (a) memenuhi polinomial u − u, maka u − u = (u − λ )(u − λ ) · · · (u − λ ),

  1 2 p m

  

dimana λ adalah p unsur yang berbeda di P (a). Dengan menggunakan fakta

  i

  bahwa (λ i I) ◦ δ a = δ a ◦ (λ i I) untuk semua λ i ∈ P (a), maka diperoleh _m

  p _m

  

0 = δ − δ = (δ − λ I) ◦ (δ − λ I) ◦ · · · ◦ (δ − λ I)

  a a 1 a 2 a p a

  dimana (δ a − λI)(x) = δ a (x) − λx.

  Selanjutnya misalkan λ

  1 = 0, dan andaikan untuk setiap λ i 6= 0 diperoleh

  (δ a − λ i I) 6= 0, ∀y 6= 0 ∈ D; maka

_m

[(δ − λ I) ◦ · · · ◦ (δ − λ I)](x) 6= 0, ∀y ∈ D, x 6= 0.

  a _m 2 a p p _m

  Namun karena 0 = δ − δ a = δ a ◦ (δ a − λ

  2 I) ◦ · · · ◦ (δ a − λ p I) maka diperoleh a

  

δ a = 0, sehingga 0 = δ a (y) = ya−ay mengakibatkan a ∈ Z(D). Hal ini bertentangan

dengan hipotesa bahwa a / ∈ Z(D). Dengan demikian, terdapat suatu λ 6= 0 di P (a)

dan suatu x 6= 0 di D sedemikian sehingga (δ a − λI)(x) = 0, yaitu xa − ax − λx = 0.

  −1 −1

Karena λ 6= 0, maka xax = a + λ 6= a, dan karena λ ∈ P (a), maka xax ∈ P (a).

  Lema di atas memberikan akibat berikut ini.

  i −1 Akibat 2.2.

  [1] xax = a 6= a untuk suatu bilangan bulat i.

  s Bukti.

  Misalkan a berorde s, maka semua akar dari polinomial u − 1 di lapangan

  2 s s s−1 −1 −1 −1

  

P (a) adalah 1, a, a , · · · , a . Karena (xax ) = xa x = 1, dan karena xax ∈

68 Putri Anggrayni

  Lema 2.3. [2] Misalkan D adalah suatu gelanggang pembagian berhingga

sedemikian sehingga setiap subgelanggang pembagian sejatinya adalah komutatif.

  t t

  

Misalkan a, b ∈ D memenuhi ab 6= ba tetapi b a = ab , untuk suatu bilangan bulat

  t t, maka b ∈ Z(D). t t t t Bukti.

  Misalkan himpunan N (b ) = {x ∈ D|xb = b x}. N (b ) merupakan suatu

  D D t

  

subgelanggang pembagian dari D. Jika N (b ) 6= D, maka berdasarkan hipotesa,

  D t t t

  

N (b ) adalah komutatif. Namun a, b ∈ N (b ) dan ab 6= ba; akibatnya N (b )

  D D D t t

  tidak komutatif dan haruslah N (b ) = D. Dengan demikian b ∈ Z(D).

  D r i

  

[2] Jika y ∈ D sedemikian sehingga y = 1, maka y = λ .

Bukti.

  Perhatikan lapangan C(y) = {c ∈ D|cy = yc} yang merupakan perluasan

  1

  2 r−1

  

dari Z(D). Karena r adalah prima, maka unsur-unsur λ , λ , λ , · · · , λ ∈ Z(D)

  i i i

  

semua berbeda dan memenuhi λ y = yλ . Oleh karena itu λ ∈ C(y), i =

  r

  

0, 1, · · · , r − 1. Perhatikan bahwa polinomial p(y) = y − 1 berada di lapangan

  i i

  

Z(D) dan λ ∈ C(y), i = 0, 1, · · · , r − 1 mengakibatkan p(λ ) = 0. Karena polino-

mial p(y) memiliki paling banyak r akar di lapangan C(y), maka jelaslah bahwa

  i y = λ , i = 0, 1, · · · , r − 1. Dengan demikian, y ∈ Z(D).

  

Lema 2.5. [3] Misalkan D adalah suatu gelanggang pembagian berhingga dengan

char D 6= 2 dan andaikan terdapat a , b ∈ D sedemikian sehingga

  1

  1 1.

  a b = −b a 6= b a ;

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2 2.

  a = b = α 6= 0;

  1

  1

  2

  2 3.

  terdapat suatu ξ, η ∈ Z(D) sedemikian sehingga 1 + ξ − αη = 0; maka a + ξb + ηa b = 0.

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2 Bukti. Perhatikan bahwa (a + ξb + ηa b ) = a + ξ b + η a b + a b + ξa b

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  

ξb a + ηa b + ηa b a + ξηb a b + ξηa b = α + ξ α + η [a (−a b )b ] = α[1 +

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  2 ξ − αη ] = 0.

  Karena D adalah suatu gelanggang pembagian, maka a + ξb + ηa b = 0.

  1

  1

  1

  1 Berikut adalah hasil utama dari paper ini.

  

Teorema 2.6. [1] Setiap gelanggang pembagian berhingga merupakan suatu lapang-

an.

Bukti. Misalkan D adalah suatu gelanggang pembagian berhingga dan Z(D)

adalah center dari D. Jika teorema tidak benar untuk semua gelanggang pemba-

gian berhingga D, maka D dipilih sedemikian sehingga D memiliki orde minimal di

antara gelanggang-gelanggang pembagian non-komutatif. Dengan demikian, setiap

gelanggang pembagian berhingga dengan orde kurang dari orde D adalah komu-

tatif. Akan ditunjukkan bahwa asumsi mengenai gelanggang D ini akan menuju

pada suatu kontradiksi.

  Setiap unsur taknol di D mempunyai orde berhingga, sehingga beberapa pangkat

  Suatu Bukti dari Wedderburn’s Little Theorem

  69

orde dari w yang relatif ke Z(D) adalah bilangan bulat positif terkecil m(w)

  m(w) sedemikian sehingga w ∈ Z(D).

  Pilih suatu unsur a ∈ D, a / ∈ Z(D) yang memiliki orde minimal yang tepat relatif

ke Z, dan misalkan orde ini adalah r. Diklaim bahwa r adalah suatu bilangan prima.

  i −1

  

Berdasarkan Akibat 2, terdapat suatu x ∈ D sedemikian sehingga xax = a 6= a,

untuk suatu i ∈ Z. Karena r adalah bilangan prima, dengan menggunakan Fermat’s

_{r −1}

  i 1+ru ru r−1 −(r−1)

  

Little Theorem [4], diperoleh x ax = a = a = aa = λa dimana

  ru r−1 r−1

  

λ = a ∈ Z(D). Dengan demikian, x a = λax . Karena x / ∈ Z(D) dan

  r−1

  berdasarkan sifat minimal r, diperoleh x ∈ Z(D). Hal ini mengakibatkan λ 6= 1. /

  r r r−1 −1

  Selanjutnya misalkan b = x ; dengan demikian bab = λa; akibatnya λ a =

  r r r r r r −1 −1

(λa) = (bab ) = ba b = a karena a ∈ Z(D). Hal ini mengakibatkan λ = 1.

r r r r r r r r r

  −1 −1

  Karena λ = 1, maka b = λ b = (λb) = (a ba) = a b

  a, sehingga ab = b a.

  r r r Karena ab = b a dan ab 6= ba maka berdasarkan Lema 3 diperoleh b ∈ Z(D).

  Grup perkalian dari unsur-unsur tak nol Z(D) adalah siklis dan dibangun oleh

  r n r m

  

suatu unsur γ ∈ Z(D). Dengan demikian a = γ , b = γ , untuk suatu bilangan

  a r

  

bulat n dan m. Jika n = kr, dengan k adalah suatu bilangan bulat, maka ( k ) = 1,

  γ a i

  

sehingga berdasarkan Lema 4 diperoleh k = λ . Oleh sebab itu a ∈ Z(D). Hal ini

  γ

  

bertentangan dengan a / ∈ Z(D). Dengan demikian r ∤ n, dan dengan cara yang

sama r ∤ m.

  m n r rm nm rn r

  

Selanjutnya misalkan a = a dan b = b , maka a = a = γ = b = b

  1

  1

  1

  1

  sehingga diperoleh

  r r

a = b = α ∈ Z(D).

  1

  1 n n n −1 −1

  

Kemudian karena ba = λab maka b = λaba . Oleh karena itu b = λ (aba ) =

  n n n n n n n −1 −n

  

λ ab a , dan b a = λ ab sehingga a = λ b ab . Hal ini mengakibatkan

  m mn n m mn m n n m mn m n −n −n

  

a = λ (b ab ) = λ b a b sehingga b a = λ a b . Dengan demikian

diperoleh

  mn

  b a = µa b , µ = λ ∈ Z(D). (2.1)

  1

  1

  1

  1 r r Karena λ = 1 dan r tidak membagi m maupun n, maka µ 6= 1, tetapi µ = 1.

  Melalui perhitungan sederhana menggunakan (1), akan diperoleh

  r r −1 1+2+···+(r−1) −r r(r−1)/2

(b a ) = µ b a = µ .

  1

  1

  1

  1 r −1

  Jika r adalah bilangan prima ganjil, maka (b a

  1 ) = 1. Oleh sebab itu, berdasarkan

  1 i i −1

  Lema 4, b a

  1 = λ ∈ Z(D) sehingga a 1 = λ b 1 . Perhatikan bahwa b 1 a 1 =

  1 i i

  b

  1 (λ b 1 ) = (λ b 1 )b 1 = a 1 b 1 . Hal ini berkontradiksi dengan b 1 a 1 = µa 1 b 1 , µ 6= 1.

  Dengan demikian, teorema terbukti jika r merupakan bilangan prima ganjil.

  2

  2 Jika r = 2, maka diperoleh dua unsur a = b = α ∈ Z(D) dan µ = −1, karena

  1

  1

  2

  

µ = 1, µ 6= 1. Dengan demikian b a = −a b 6= a b ; sebagai konsekuensi, karak-

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  

teristik D bukanlah 2. Selanjutnya, karena Z(D) adalah suatu lapangan berhingga

  2

  2

  

dan a = b = α 6= 0 ∈ Z(D), maka terdapat unsur ξ, η ∈ Z(D) sedemikian se-

  1

  1

  2

  2

hingga 1 + ξ − αη = 0. Berdasarkan Lema 5 diperoleh bahwa a + ξb + ηa b = 0.

  1

  1

  1

  1 Namun

70 Putri Anggrayni

  

Karena 0 6= 0 adalah hal yang mustahil, maka kontradiksi ini mengakhiri bukti dari

Wedderburn’s Little Theorem.

  3. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Admi Nazra, Ibu Lyra Yulianti,

Bapak Muhafzan, dan Bapak Ahmad Iqbal Baqi yang telah memberikan masukan

dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.

  Daftar Pustaka

[1] Herstein, I. N. 1961. Wedderburn’s theorem and a theorem of Jacobson. The

American Mathematical Monthly. Vol. 68, No.3, hal. 249-251

[2] Herstein, I. N. 1999. Topics in Algebra. Second Edition. John Wiley and Sons,

New York

[3] Paley, H. dan P. M. Weichsel. 1966. A First Course in Abstract Algebra. Holt,

Rinehalt and Winston Inc, New York

[4] Rosen, K. H. 2005. Elementary Number Theory and Its Applications. Fifth Edi-

tion. Pearson, Addison Wesley, Boston