Systems of Linear Algebraic Equations
http://istiarto.staff.ugm.ac.id http://istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear q Acuan q
Chapra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Methods for Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York.
n Chapter 7, 8, dan 9, hlm. 201-290. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Sistem Persamaan Linear q Serangkaian n persamaan linear: n n nn n n n n n n c x a x a x a c x a x a x a c x a x a x a
= + + + = + + +
1
n
,…, x
2
, x
1
x
ini harus diselesaikan secara simultan untuk mendapatkan
1
12
2
1
21
= + + + ...
1
22
2
2
2
1
1
2
2
... ...
. . .
yang memenuhi setiap persamaan tsb. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Penyelesaian q Penyelesaian q
Gauss-Jordan
q
Gauss-Seidel
q
Jacobi
q Iteratif q
q
Grafis
Eliminasi Gauss
q Penyelesaian langsung q
Eliminasi
q
Cramer
q
Successive Over Relaxation Jml. pers. sedikit, n « Jml. pers. banyak, n » http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Grafis x
2
= …
x
2 x http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Grafis x
2 x
1 x
2 x
1 x
2 x
1
sejajar berimpit hampir sejajar http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Cramer q Variabel tak diketahui, x i
, merupakan perbandingan dua determinan matriks q
23
= + + = + +
11 c x a x a x a c x a x a x a c x a x a x a
1
12
2
13
3
1
21
1
22
2
3
Penyebut : determinan, D, matriks koefisien sistem persamaan q
2
31
1
32
2
33
3
3
3 persamaan linear
i q Contoh q
namun koefisien kolom ke i diganti dengan koefisien c
Pembilang : determinan matriks koefisien sistem persamaan seperti penyebut,
= + + http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Cramer
[ ]
21
21
13
12
11 a a a a a a a a a A
12
13
22
22
23
11
det
= =
= =
23
A
A
31
23
21
13
1
11
2
=
D a a a c a a c a a x
3
31
23
2
22
21
1
12
11
3
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
2
31
32
3
33
31
32
a a a a a a a a a D
33
D a a c a a c a a c x
33
23
23
3
22
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
13
12
1
1
=
D a c a a c a a c a x
33
2 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Determinan Matriks q Matriks bujur sangkar: n × n q Mencari determinan matriks q
Hitungan manual
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
11 a a a a a a a a a B
12
13
21
22
23
31
32
33
= =
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
q
A A [ ]
11 a a a a
12
21
22
= =
⎢ ⎣ ⎡
⎥ ⎦ ⎤
q Contoh hitungan determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3 [ ]
MSExcel, dengan fungsi =MDETERM()
B Determinan Matriks http://istiarto.staff.ugm.ac.id a a
11
12 D det a a a a
= = = −
11
22
12
21 A a a
21
22 a a a
11
12
13 a a a a a a
22
23
21
23
21
22
= = = −
- D det a a a a a a
21
22
23
11
12
13 B a a a a a a
32
33
31
33
31
32 a a a
31
32
33 a a a a a a a a a a a a a a a
= − − − − +
11 (
22
33
23 32 ) 12 (
21
33
23 31 ) 13 (
21
32
22 31 )
Metode Cramer 4
X A
2
= ⋅ 4 .
71 3 .
19 85 .
7
10 2 . 3 .
3 .
7 1 .
2 . 1 .
3
3
C
1 x x x
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
( ) ( )( ) ( )( ) [ ]
( ) ( )( ) ( )( ) [ ] 3 .
7 2 . 1 . 2 .
3 . 3 .
10 1 . 1 . 2 . 3 .
10
7 3 det − − −
=
A
− − − −
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
3
71
10 2 . 3 .
3 .
19 3 .
7 1 .
85 .
7 2 . 1 .
3
3
2
1
2
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
1
3
2
1
= + − − = − +
= − −
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
− =
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
- − − − − − − −
[ ]
= =
3 A
631 059 . det
1
= =
A
1 A
525 883 . det
2
− = =
A
2 A
1472 471 . det
3
A
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
3 A
3 631 059 . det
1
= = =
1 x 5 .
2 525 883 . det
2
− = −
= =
2 x
7 1472 471 . det
3
= = =
3 x
3
7 1 .
85 .
7 1 .
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− − − − −
=
10 2 . 4 .
71 3 .
7 3 .
19 2 .
1 . 85 .
7
1 A [ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− − −
=
10 4 .
71 3 .
19
3 .
71 2 . 3 .
− = 4 .
− −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
2 A [ ]
3
7
2 . 85 .
19 1 .
3 . 3 .
A
A
A
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Eliminasi q Contoh: 2 persamaan linear
− = −
12
1
11 a c x a a x a a c x a x a a c x a x a a c x a a x a a c x a x a a c x a x a
= + ⇒ = + ⇒ = + = + ⇒ = + ⇒ = +
21
1
11
2
2
21
12
2
11
22 a c a c x a a x a a
21
1
12
11
22
21
1
11
2
2 a a a a a c a c x
− −
=
12
1
22
2 a c a c x
2
21
[ ] [ ]
1
11
2
2
11
22
1
11
21
2
2
22
1
21
11
2
11
1
1
12
2
1
11
21
12
22
21
2
1
21
21
1
− = http://istiarto.staff.ugm.ac.id Eliminasi Gauss q Strategi q
Forward elimination q
22
= + + = + + = + +
11 c x a x a x a c x a x a x a c x a x a x a
1
12
2
13
3
1
21
1
2
Back substitution q Contoh q
23
3
2
31
1
32
2
33
3
3
3 persamaan linear
(1) (2) (3)
Eliminasi Gauss
11 a a a c a a c x a a a a x a a a a c x a x a x a
1
3
13
2
12
1
1
21
12
− =
2
13
−
3
22
11 c x a x a c x a x a c x a x a x a
1
q Forward elimination #1 q Hilangkan x
(1) (2') (3')
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
pivot equation pivot coefficient
dari pers. kedua dan ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan pengurangan dengan pers. pertama.
1
1
21
12
2
3
13
= + +
21
23
2
− = + +
- ⎟⎟ ⎠ ⎞
3
11
- ʹ′
31
31
31
11
11
ʹ′
ʹ′ =
ʹ′
ʹ′ =
- ʹ′
⎞ ⎛
⎞ ⎛
33
⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝ ⎛
3
22
2
23
3
2
32
2
⎜⎜ ⎝ ⎛
Eliminasi Gauss
3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
2
dari pers. ketiga dengan operasi perkalian koefisien dan pengurangan dengan pers. kedua.
pivot equation
pivot coefficient(1) (2') (3'')
1
11 c a c x a a a c x a x a c x a x a x a
1
12
2
13
1
q Forward elimination #2 q Hilangkan x
22
2
23
3
2
3
13
2
12
1
11 c x a c x a x a c x a x a x a
= + +
= + +
- ʹ′
ʹ′ −
33
2
= ʹ′
ʹ′ʹ′ ʹ′
ʹ′ʹ′ =
32
3
3
23
32
ʹ′ ʹ′
⎛ ʹ′
22
2
23
3
2
33
3
3
− ʹ′
= ⎞
ʹ′ ʹ′ = ʹ′ + ʹ′ http://istiarto.staff.ugm.ac.id Eliminasi Gauss q Back substitution q Hitung x
3
2
1 a x a x a c x
1
12
2
13
3
11
=
− ʹ′
ʹ′ ʹ′
2
a
x a c
x23
dari pers. (3''), hitung x
3
22
=
ʹ′ʹ′ ʹ′ʹ′
3 a c x
3
33
dari pers. (1)
1
dari pers. (2’), dan x
2
− − =
∑ n n i a x a c x a c x i ii i j j i ij i i i n nn n n n q Back substitution
1
− −
= ʹ′ʹ′
= ʹ′ʹ′
ʹ′ =
ʹ′
= + + + +
n n n n nn n n n n n n c x a c x a x a c x a x a x a c x a x a x a x a
1 ,..., 2 , 1 ,
1
. . ... ...
1
1
1
1
− − =
− =
=
−
...
11 .
- ʹ′
- ʹ′
2
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Eliminasi Gauss q Forward elimination
1
1
2
2
3
23
2
3
1
23
2
22
1
1
3
13
2
12
- ʹ′ʹ′
- = − − − −
Eliminasi Gauss 4
2
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
71
1
2
3
7 2 . 1 . 3 ) 1 (
7 ) 1 . 2 ( 85 .
19 3 .
10 2 . ) 3 . 3 ( 3 .
3 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Eliminasi Gauss q
Forward elimination q
2
70 02 .
10
) 19 . 3 ( 5617 .. 19 2933 0033 . 7 ) 2 (
85 .
7
2 .
1 . 3 ) 1 (3
1
1 = + + ʹ′ʹ′
3
2
1
3
2
1 = + − ʹ′ʹ′
− = − + ʹ′ = − − x x x x x x x x x 615 .
2
Eliminasi x
. 19 2933 0033 . 7 ) 2 (
2
dari Pers. 2 dan 3, Pers. 1 sebagai pivot
q Eliminasi x
3
dari Pers. 3, Pers. 2 sebagai pivot 0843 .
. 70 0120 10 ) 3 ( 5617 .
85 .
3
7
2 .
1 . 3 ) 1 (3
2
1
3
2
1
− = − + ʹ′ = − − x x x x x x x x x
- − =
7 . 7 2933 5617 .
7 2 . 85 .
2 1 .
1 ( ) ( ) 5 .
ke Pers. 1 untuk menghitung x
2
dan x
3
Substitusi x
x q
2 − =
19
2 0033 .
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Eliminasi Gauss q
2 ( ) 5 .
ke Pers. 2' untuk menghitung x
3
Substitusi x
3 = = x q
70
10 0843 .
7 0120 .
dari Pers. 3''
3
Menghitung x
Back substitution q
7 −
Hasil eliminasi adalah satu persamaan yang dapat diselesaikan untuk
q mendapatkan satu variabel x . i Kelemahan Metode Eliminasi http://istiarto.staff.ugm.ac.id q Pembagian dengan nol q Pivot coefficient sama dengan nol ataupun sangat kecil. q Pembagian dengan nol dapat terjadi selama proses eliminasi ataupun substitusi. q Round-off errors q Selama proses eliminasi maupun substitusi, setiap langkah hitungan bergantung pada langkah hitungan sebelumnya dan setiap kali terjadi kesalahan; kesalahan dapat berakumulasi, terutama apabila jumlah persamaan sangat banyak. q Ill-conditioned systems q Ill-condition adalah situasi dimana perubahan kecil pada satu atau beberapa
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Perbaikan q Pemilihan pivot (pivoting) qUrutan persamaan dipilih sedemikian hingga yang menjadi pivot equation adalah persamaan yang memberikan pivot coefficient terbesar. http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Penyelesaian q Matriks Inversi q
Gauss-Jordan
q Metode Iteratif q
Jacobi
q
Gauss-Seidel http://istiarto.staff.ugm.ac.id Metode Gauss-Jordan q Mirip dengan metode eliminasi Gauss, tetapi tidak diperlukan back substitution. q Contoh q
3 persamaan linear 4 .
1
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
2
3
2
71
3
3
7 2 . 1 .
85 .
7 1 .
19 3 .
3 .
10 2 . 3 .
x x x x x x x x x
Metode Gauss-Jordan
7 1 .
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
− − 4 .
71 3 .
19 6167 .
2
10 1 . 3 .
3 .
. 0333 0667 .
3
1 ⎥ ⎥ ⎤
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎡
− − − 6150 .
70 5617 .
19 6167 .
2 0200 .
. 10 1900 . 0033 2933 .
7 . 0333 0667 .
1
3 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
2 . 1 .
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− − − − 4 .
71 3 .
19 85 .
7
10 1 . 3 .
3 .
7 1 .
3 ⎥ ⎥ ⎤
3 2 .
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎡
− − − 4 .
71 3 .
19
3 85 .
7
10 1 . 3 .
3 .
7 1 .
3 1 . http://istiarto.staff.ugm.ac.id
⎥ ⎤
− −
1 . 0333 0667 .
2 0419 .
2 6167 .
− − − 7931 .
− ⎢ ⎡
1 ⎥ ⎤
. 7 0033 7 / . 0333 0667 .
. 2933 7 / 0033 . . 0033 7 /
. 10 1900 0033 .
2 0200 .
19 6167 .
. 5617 7 /
70 0033 .
− − 6150 .
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− ⎢ ⎡
1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
7 . 0333 0667 .
. 10 1900 . 0033 2933 .
2 0200 .
19 6167 .
70 5617 .
− − 6150 .
− −
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
1 Metode Gauss-Jordan ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
1 0681 .
2 0419 .
2 5236 .
− − 7931 .
1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
− =
2
3
1
1
1 ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
7 5 .
2
3
3
2
7 5 .
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
− −
7 7931 .
2 5236 .
2
1 0419 .
1 0681 .
− ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
1 0681 .
− − 0120 .
. 0843 10 /
70 7931 .
2 5236 .
2 0120 .
. 0120 10 / . 10 0120
. 0120 10 / 10 / 0419 .
1 x x x http://istiarto.staff.ugm.ac.id Gauss-Jordan vs Eliminasi Gauss q Metode Gauss-Jordan q
Jumlah operasi lebih banyak (50%)
q
Memiliki kelemahan yang sama dengan eliminasi Gauss
n Pembagian dengan nol n Round-off error http://istiarto.staff.ugm.ac.id Matriks Inversi
[ ] { } { } { } [ ] { } C A
1
33
1
32
1
31
1
23
1
22
21
− − − − − − − − −
1
13
1
12
1
11
1
1
1
1
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
X C
1
X A
⋅ =
⇒ =
⋅
−
1
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
1
1
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
33
31
31
23
22
21
13
12
11 a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
Matriks Inversi 4
2
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
71
1
2
3
7 2 . 1 . 3 ) 1 (
7 ) 1 . 2 ( 85 .
19 3 .
10 2 . ) 3 . 3 ( 3 .
3 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Matriks Inversi
[ ]
1
7 . 0333 0667 .
. 1 0333 3333 . 0200 . . 10 1900 . 0033 2933 .
= . 1 0999
− − − −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
[ ]
1 A
. 0333 0667 .
7 1 .
3 .
10 2 . 3 .
1 3333 .
− − =
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
− −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
[ ]
2 . 1 .
7 1 .
3 .
10 2 . 3 .
1
1
1
=
− − − −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
1 A http://istiarto.staff.ugm.ac.id Matriks Inversi
[ ]
− −
10 0417 .
0121 .
. 0047 1422 . . 3318 0047 .
= . 1 0270 1009 .
− −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
[ ]
1 . 0333 0667 .
0200 . . 10 1900 0417 .
= . 1 0999 . 0047 1422 . 3333 .
− − − −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
1 0681 . http://istiarto.staff.ugm.ac.id Matriks Inversi
[ ]
[ ]
1
. 1423 0042 . 0052 . . 0049 0068 . 3325 .
= . 0027 0999 . 0101 .
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
1 0681 .
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
1 0417 .
. 0047 1422 . . 3318 0047 .
= . 0027 0999 . 0101 .
− −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− −
1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Matriks Inversi
{ } [ ] { }
− 4881 .
1 x x x x x C A
1
2
3
1
2
7 . 0027 0999 . 0101 . . 1423 0042 . 0052 . . 0049 0068 . 3325 .
19 85 .
71 3 .
3 4 .
2 0004 .
⋅ =
⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
− −
⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡
− ⋅ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
⎪ ⎨ ⎧
⎪ ⎬ ⎫
− =
⎪ ⎨ ⎧
X
Metode Iteratif: Jacobi
- nilai awal, biasanya x
31
1
32
2
x x x
= = =
1
2
3
=
= − −
1 x a x a c a x a x a c x a x a x a c x
− − − −
1
1
12
2
13
3
11
2
1
2
21
3
22
1
1
i
, ∀x
i n
≈ x
x i n+1
iterasi diteruskan sampai konvergen
i = 0
=
= − −
− − − −
1 x a x a c a x a x a c x a x a x a c x n n n n n n n n n
1
3
12
2
13
3
11
2
1
2
21
1
23
1
23
3
22
= + + = + + = + +
11 c x a x a x a c x a x a x a c x a x a x a
1
12
2
13
3
1
21
1
2
32
23
3
2
31
1
32
2
33
3
3
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
2
1
22
12
1
3
31
1
32
2
=
= − −
− − − −
1 x a x a c x a x a x a c x a x a x a c x
1
2
31
13
3
11
2
2
21
1
23
3
22
3
Metode Iteratif: Jacobi 4
2
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
71
1
2
3
7 2 . 1 . 3 ) 1 (
7 ) 1 . 2 ( 85 .
19 3 .
10 2 . ) 3 . 3 ( 3 .
3 Metode Iteratif: Gauss-Seidel http://istiarto.staff.ugm.ac.id n n c a x a x c a x a x
1 − − n 1 − −
12
2
13
3
- 1
1
12
2
13
3 x x
= =
1
1 a a
11
11
iterasi diteruskan
n 1 n c a x a x c a x a x
- 1
1 − − n 1 − −
2
21
1
23
3
2
21
1
23
3
- x
sampai konvergen
x
= =
2
2 a a n n+1
22
22 x ≈ x , ∀x i i i
1
1 n 1 n
1
c a x a x c a x a x 1 − − n 1 − −
3
31
1
32
2
3
31
1
32
- 2
x x
= =
3
3 a a
33
33
Metode Iteratif: Gauss-Seidel 4
2
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
71
1
2
3
7 2 . 1 . 3 ) 1 (
7 ) 1 . 2 ( 85 .
19 3 .
10 2 . ) 3 . 3 ( 3 .
3 http://istiarto.staff.ugm.ac.id Jacobi vs Gauss-Seidel
( ) ( ) ( )
21
1
1
12
2
13
3
11
2
1
2
1
− − =
23
3
22
3
1
3
31
1
32
2
1 a x a x a c x a x a x a c x a x a x a c x
− − =
( ) ( ) ( )
1
=
− − = − −
1 a x a x a c x a x a x a c x
2
1
12
2
1
13
3
11
− − =
2
2
2
21
1
1
23
3
1
22
( ) ( )
33
=
33
1
12
2
13
3
11
2
1
2
21
1
23
1
3
22
3
1
3
31
1
1
32
2
1
1
1 a x a x a c x a x a x a c x a x a x a c x
− − = − −
2
1 a x a x a c x a x a x a c x
2
1
12
2
1
13
3
1
11
2
− − =
2
21
1
2
23
3
1
22
( ) ( )
− − =
− − =
Jacobi Gauss-Seidel http://istiarto.staff.ugm.ac.id Successive Over-relaxation Method q Dalam setiap iterasi, nilai variabel terbaru (yang baru saja dihitung), x n+1
, tidak langsung dipakai pada iterasi selanjutnya q Pada iterasi selanjutnya, nilai tsb dimodifikasi dengan memasukkan pengaruh nilai variabel lama (pada iterasi sebelumnya), x n q faktor relaksasi λ dimaksudkan untuk mempercepat konvergensi hitungan (iterasi) q under-relaxation: 0 < λ < 1 q over-relaxation: 1 < λ < 2
- 1
( ) n i n i new x x x
λ − + λ =
1
1
− λ − + λ − = − − =
13
1
1
21
2
1
2
11
3
2
23
12
1
1
1
1
1
1 a x x a x x a c x a x a x x a c x a x a x a c x n n n n n n n n n n n n
λ −
1
3
22
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id Successive Over-relaxation Method
( ) [ ]
1
1
- λ − =
- λ − λ −
32
1
1
2
33
( ) [ ]
( ) [ ]
31
3
3
2
Successive Over-relaxation Method 4
2
x x x x x x x x x q Contoh: 3 persamaan linear
= − −
= + − − = − +
1
2
3
1
http://istiarto.staff.ugm.ac.id
71
1
2
3
7 2 . 1 . 3 ) 1 (
7 ) 1 . 2 ( 85 .
19 3 .
10 2 . ) 3 . 3 ( 3 .
3