UTUL UGM DIMENSI TIGA

UTUL UGM
DIMENSI TIGA
1.

UTUL UGM Matematika IPA Kode 382, 2016
Diketahui T .ABCD merupakan limas beraturan dengan alas bujur sangkar. Titik E pada TA
dengan TE : EA  2 : 3 , titik F pada TB dengan TF : FB  7 : 3 . Jika bidang yang melalui EF dan
sejajar BC memotong TC dan TD berturut-turut di G dan H, maka EH : FG  ....
A. 2 : 7
B. 3 : 7
C. 4 : 7
D. 1: 3
E. 1: 7
Solusi:
T
Misalnya panjang rusuk alas ABCD adalah p.
Perhatikan bahwa GF sejajar BC, sehingga TBC  TFC .
Akibatnya:

TB BC


TF FG

2

Z

G
C

7p
FG 
10

Perhatikan bahwa EH sejajar BC dan AD sehingga
TAD  TEH .

F

3

B

3

M
A

D

TA AD

Akibatnya:
TE EH
5
p

2 EH
2p
EH 
5

2
p
EH
4
 5 
Jadi,
7
7
FG
p
10

2.

E

H

10
p


7 FG

7

UTUL UGM Matematika IPA Kode 581, 2016
Limas segiempat beraturan T .ABCD mempunyai tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD.
Jika titik E berada pada garis BC dengan BE : EC  1:1 dan titik F berada pada garis TE dengan
TF : FE  1: 3 , maka panjang proyeksi FE pada ABCD adalah ... kali sisi ABCD.
A.

9
8

B.

5
8

C.

4
8

D.

3
8

E.

Solusi:
Misalnya panjang rusuk alas ABCD adalah p.
Tinggi limas = 2p
Perhatikan TME  FGE .
Akibatnya:

TE ME

FE EG

1
4
 2
3 EG
3
EG 
8

T
F

D

C
E

M G
A

3

Jadi, panjang proyeksi FE pada ABCD adalah kali sisi ABCD.
8

1 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

1
8

B

3.

UTUL UGM Matematika IPA Kode 632, 2015
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak
pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP  BQ  GR  p . Sudut antara yang melalui P, Q, R dan
bidang ABCD adalah . Nilai tan  adalah ....
2
2

A.

B.

3
2

C. 1

D.

E. 3

2

Solusi:
Tarik garis QK sejajar BC, sehingga QK  4 p dan KG  3 p .
Perhatikan WKQ  WGP

W

WK WG

KQ GP

H

N P

WG  GK WG

KQ
GP

E

WG  3 p WG

4p
p

F

WG  3 p  4WG
WG  p



Pada GPR siku-siku sama kaki, GN  PR
1
p
2
2
2
2

K
p

4p
D



T
M

C



Q



S

A

G

3p

U

3WG  3 p

GN  PR sin 45  p 



R

B

Perhatikan bahwa sudut antara yang melalui P, Q, R dan bidang ABCD = sudut antara
bidang PQSTUR dan bidang ABCD = WMC = WNG = .
Perhatikan WGN
tan  

4.

WG
p
2p


 2
p
GN
2 p 2
2

UTUL UGM Matematika IPA Kode 531, 2014
Sebuah prisma ABCD.EFGH memiliki alas berbentuk persegi. Titik T adalah titik tengah diagonal

HF. Jika EAT  dan volume prisma tersebut 4 6 , maka tinggi prisma adalah ....
6

A.

6

B. 3

C.

2

3
2

D.

Solusi:
Misalnya panjang rusuk alas prisma adalah p.
p
2
2
 ET
tan 
6 AE
p
2
1
 2
AE
3
ET 

p
6
AE 
2

H

G
T

E

F


6

A
2 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

2
2

E.

D

C
p
p

B

Volume prisma  p  p 

p
6
2

p3  8

p2

Jadi, tinggi prisma adalah
5.

p
6 6.
2

UTUL UGM Matematika IPA Kode 261, 2013
Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW adalah 6 cm. Titik X adalah pada TW, Y pada UV, dan Z pada
QR. Jika TX : XW  1: 2 , UY : YV  2 :1 , dan PXYZ membentuk bidang datar, maka volume
bangun TUYX.PQZ adalah ....
A. 108cm3
B. 80 cm 3
C. 72 cm3
D. 60 cm3
E. 36 cm 3
Solusi:
volume bangun TUYX.PQZ = volume prisma PQZ.TUM + volume prisma PTX.ZMY


1
1
 2  6  6   2  6  6  72 cm3
2
2

W
2

4

X
2 

2

T

U 2

Y

V

M

6
S

R
Z

6

P
6.

Q

4

2

UTUL UGM Matematika IPA Kode 261, 2013
Diketahui limas beraturan T .ABCD dengan alas berbentuk persegi dan tinggi limas 2 3 cm . Jika
T ' adalah proyeksi T pada bidang alas dan titik P adalah perpotongan garis berat segitiga TBC,
maka panjang sisi alas limas agar T ' P tegak lurus segitiga TBC adalah ....
A. 2cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. 3cm
E. 4cm
Solusi:
Misalnya panjang rusuk alas limas adalah 2p.
2
T
2
2
2
2
TQ 

TT '  T ' Q 



2 3 

 p  12  p

1
3

Karena TP : PQ  2 :1 , maka PQ  TQ
T 'P 



p 2  PQ2 

p2 



1
12  p 2
9



8 2 12
p 
9
9

2
2 p2  3
3
1

TT ' Q  2  p  2

P

2 3

C
3

2 p 3  12  p 2 

1
 12  p 2  T ' P
2

2
2 p2  3
3

3 p 3  2 p 4  21 p 2  36

3 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

B
Q

T
D

A

27 p 2  2 p 4  21 p 2  36
2 p 4  6 p 2  36  0

p 4  3 p 2  18  0

p

2





 3 p2  6  0

p  3atau p  6
2

2

p 6

7.

Jadi, panjang sisi limas adalah 2 6 cm .
UTUL UGM Matematika IPA Kode 451, 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk a, titik P pada perpanjangan DH sehingga
DP  2DH . Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A.

2a
3

B.

1
a 2
2

C.

1
a 3
2

D. a

3a
2

E.

Solusi:
P

2

 2a 2  

2a 2
a
18a 2 3a

2   4a 2 


2
4
4
2
2


PM 

 PFM    PDBF    PDM    FBM 
a

1
1 1
1 1
 a  2a  a 2   a 2  2a   a 2  a
2
2 2
2 2
1
1
1
 a2 2  a2 2  a2 2  a2 2
2
2
4
3
3
3
 a2 2  a2 2  a2 2
2
4
4
3
1
 PFM   2 a 2 2  2 PM  FN
3 2
1 3
a 2   a 2  FN
4
2 2
FN  a


8.

G

H
E

F
a

N

a
D

C
M
a

A

B

UTUL UGM Matematika IPA Kode 921, 2009
Diketahui limas segiempat beraturan T. ABCD dengan panjang rusuk AB adalah a. Jika  adalah
sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan sin  
A.

a
44
8

B.

a
42
8

C.

3
, maka panjang rusuk TA adalah ....
5

a
41
10

D.

a
41
9

E.

a
41
8

Solusi:
sin  

3
3
 tan  
4
5

tan  

3 TQ

4 PQ

T

3 TQ

4 1a
2

C

P

Q
D
4 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

B


a

A

TQ 

3
8
2

2

9 2 a2
a 

64
2

3  a

2 
AP  TQ 2  DQ 2     
8  2


9.

41 2 a
a 
41
64
8

UTUL UGM Matematika IPA Kode 471, 2008
Pada kubus ABCD.EFGH , P pada EG sehingga EP  3PG . Jika jarak E ke garis AP adalah a,
maka rusuk kubus tersebut adalah ....
a
15
3

A.

B.

4a
3

C.

a
17
3

D. a 2

E.

a
5
2

Solusi:
Misalnya panjang rusuk kubus adalah x.
EG  x 2

H
P
2

18
x
 3x

AP  x  
2   x2  x2 
34
4
16
4



E

F

2

1 3

 AEP  2  4 x
EQ 
a

x

G



3
EP  x 2
4

2x 

1 x
34  EQ

2 4

a
Q

x
D

C

3x 2
34

A

3x

B

17

a
17
3

10. UTUL UGM Matematika IPA Kode 731, 2007
Alas bidang empat D.ABC berbentuk segitiga siku-siku sama kaki dengan BAC  90 .
Proyeksi D pada segitiga ABC adalah E sehingga E merupakan titik tengah BC. Jika
AB  AC  p dan DE  2 p , maka AD  ....
A.

3
p 2
2

3
p 3
2

B.

C. 3p

D. p 6

E. p 5

Solusi:
AE  p sin 45 
AD 

D

p
2
2
2

18 p 2 3
p
2 p2

2   4 p2 

 p 2
4
4
2
2


 2 p 2  

2p
C

p

E
A
p
B

5 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

11. UTUL UGM Matematika IPA Kode 731, 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P pada rusuk AE dengan AP =
3 cm, Q titik tengah AB. Luas segitiga HPQ adalah....
A.

1
53 cm 2
2

53 cm2

B.

C. 2 53 cm2

D.

1
53 cm2
3

E.

2
53 cm2
3

Solusi:
PQ  22  32  13

H

PH  4  1  17
2

2

4
E
1
P

DQ  42  22  2 5



HQ  42  2 5



2

G

6

 13   
cos HPQ 
2

17



2

 62

F

3

D

C

2  13  17

cos TPQ 

13  17  36
2 221


2

 3 
sin TPQ  1  
 
 221 
1
2

4
6

2 221



3
221

A

212
221

Luas segitiga HPQ   13  17 

212 1

212  53 cm2
221 2

6 | Phibeta1000, Soal dan Solusi Dimensi Tiga, 2017

2



Q

2

B