PEMBAHASAN Ujian Tulis UM UGM 2017
∑ R e
π PEMBAHASAN
Ujian Tulis UM UGM 2017
Matematika IPAKode Naskah: 713 Disusun Oleh: Muhamad Abdul Rosid
Website:
Yogyakarta, Mei 2017
3
4
2
3
2 1. Jika + log x log y = 5, maka nilai maksimum dari log x log y adalah . . .
·
25 A.
4
25 B.
9
25 C.
16 D. 1
25 E.
36 Jawab:
3
2 Misalkan log x = a dan log y =
b, sehingga 2
3
2
2 = +
log x log y
5
3
2
- =
log x log y
5
= +
a b
5 b = a
5
−
3
2 Agar log x log y atau ab maksimum, maka turunan pertamanya haruslah nol, yaitu
· = ( )
ab a 5 a
−
2 =
5a a
− ′
( ) = =
ab 5 2a
−
5
=
a
2
5
5
25 Jika a = , maka b = dan ab =
2
2
4
2. Dalam pemilihan pengurus kelas, terpilih 5 calon, 3 laki-laki dan 2 perempuan. Posisi yang tersedia ya- itu ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara I, dan bendahara II. Jika ketua kelas harus laki-laki, maka banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah . . . .
A. 5
B. 24
C. 48
D. 72
E. 120
Jawab:
Karena ketua harus laki-laki, maka terdapat 3 orang yang bisa dipilih. Sisanya sebagai wakil ketua, sekre- taris dan bendahara, seperti pada tabel berikut.
K W S B-I B-II
3
4
3
2
1 Jadi banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah 3
4
3
2 1 =
72
× × × ×
1
′ ′ ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
3. Diketahui f 1 dan f 2. Jika g x , maka g . . . .
3 ( ( )
2 f x
1
) − A.
12 − B.
6
−
C. 6
D. 8
E. 12
Jawab:
1 g ( x ) =
3 ( 2 f ( x
1 )
) −
−3= ( 2 f ( x
1 )
) −
−4′ ′
( ( ) ( )
g x 3 2 f x 1 2 f x
) = − · ( ) − ·
−4′ ′
g ( 3 2 f ( 1 ) 2 f ( )
) = − · ( ) − ·
−43 (
2
1 1 )
2
2
= − · − · ·
12
= −
4. Jika akar-akar persamaan suku banyak
3
2 ) ) = + + + (
=
x 12x p 4 x p 8 0 membentuk deret aritmetika dengan beda 2, maka p 36 . . .
− − ( − A.
2
−
B. 0
C. 4
D. 8
E. 12
Jawab:
- Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah a 2, a, dan a 2, maka
−
b x x + x +
1
2 3 = −
a
= + + +
a 2 a a
2
12
− =
3a
12 a =
4 Jadi akar-akar suku banyak tersebut adalah 2, 4, dan 6. Kemudian d x x x
1 ·
2 ·
3 = −a
2
4 6 + = p
8
× ×
48 = p
- p =
8
40 Dengan demikian p 36 =
4
−
- =
5. Titik pusat lingkaran L terletak di kuadran I dan terletak pada garis y 2x
1. Jika lingkaran L menying-
( ) gung sumbu Y di titik 0, 11 , maka persamaan lingkaran L adalah . . .
2
2 = +
A. x y 5x 11y
− −
2
2 = + + +
B. x y 5x 11y 242
−
2
2 = + +
C. x y 10x 22y 121 − −
2
2 = + +
D. x y 5x 11y
−
2
2
- =
E. x y 10x 22y 363
− Jawab:
( )
Karena pusat lingkaran di kuadran I dan menyinggung sumbu-y di titik 0, 11 maka lingkaran tersebut
( ) =
mempunai pusat
a, 11 dengan jari-jari r a.
(
a, 11 ) + + = = = Kemudian, pusat lingkaran terletak pada garis y 2x 1, sehingga 11 2a 1 atau a
5. Jadi lingkaran tersebut berpusat di ( 5, 11 ) dan berjari-jari r =
5.
- (
- y
- 121
−
−
22y
=
6. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x
2
dan garis y = ( 2m
2 ) x mempunyai luas 1
2 −
1
3 , maka m = . . . .
A. 2
1
2
atau
10x
2
1
2
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah
(
x
−
5
)
y
x
−
11
)
2 =
5
2
−
2 B. 2 atau 0
C. 3
|
= ±
2
−
2 2m
| =
2
−
2m
|
8
3 =
2
=
−
2m
|
6
3
|
2
−
2m
= |
3
4
2 2m
2
1
1 y
z
−
1 x
1 z D. x
C.
1 y
−
B.
1 x
A.
z = . . .
−
−
±
y
−
1 x
7. Jika tiga bilangan berbeda x, y, dan z membentuk barisan geometri, maka
=
2 atau m
=
1 Jadi m
±
1
=
2 m
2
·
1
2 Jawab:
−
2m
2 = (
y x
=
y
2 .
D 6a
√
D
=
Luas daerah yang dibatasi oleh garis dan kurva bisa ditentukan dengan rumus L
1
)
2
−
atau
2
1
2 E. 4
2 D. 4 atau −
1
1
−
atau
2
2
x x
6
−
|
2
−
2m
2 |
2 )
=
( 2m
−3
4
Luas daerah yang dimaksud adalah
|
2
2m
2 − (
= |
D
2 )
= ( 2m −
4ac
2 −
D = b
) x =
2
−
2m
2
√
- z E.
Jawab:
Karena bilangan x, y, dan z membentuk barisan geometri, maka
1
1
1
1
=
− −
2
x y y z x xr xr xr
− − − −
1
1
= −
x ( 1 r ) xr ( 1 r )
− −
r
1
− =
xr ( 1 r )
−
1
1
= − = −
xr y
√
- 2
8. Semua nilai x yang memenuhi x 7x 6 2x adalah . . .
− ≥
1 A. 3 x
− ≤ ≤
3
2 B. 3 x
− ≤ ≤
3
2 C. x 3 atau x
≤ − ≥
3 D. x 1 atau x
6
≤ ≥
2 E. x ≤
3 Jawab:
2 Syarat: x 7x
6 0 yaitu x 1 atau x 6.
- − ≥ ≤ ≥
Kasus pertama, jika x 0 pertidaksamaan selalu benar, karena hasil akar suatu bilangan real selalu lebih
≤ besar dari 0 atau bilangan real negatif lainnya. >
Kasus kedua, jika x 0, maka diperoleh p
2
- x 7x
6 2x
− ≥
2
2
- x 7x
6 4x
− ≥
2
+
3x 7x
6
− ≤
- ( x )(
3 3x
2
− ) ≤
2 3 x
− ≤ ≤
3
2
> <
Karena x 0 maka solusi untuk kasus kedua ini adalah 0 x
≤
3
2 Dengan menggabungkan dua kasus tersebut diperoleh solusi gabungan x
≤
3 1 cos ( x 4 )
- 9. lim = . . .
−
2
- x →−4 x 8x
16 A.
2
−
1 B.
−
2
1 C.
3
1 D.
2 Jawab:
=
Ingat kembali bahwa 1 cos 2α 2 sin α sin α, sehingga
−
1
1
- ( ) + ( )
- 1 cos ( x
4 ) 2 sin x 4 sin x
4
−
2
2 =
lim lim
2 ( )( + ) + + + x →−4 x 8x
16 x →−4 x 4 x
4
1
1
=
2
· ·
2
2
1
=
2
10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 1 2 1 2 1 log ( 2x 1 ) + log ( 2 x 2 log x adalah
− − ) ≥ ·
2 x A.
1
≤ ≤
3
2 B. x atau x
1
≤ ≥
3
1
2 < <
C. x atau 1 x
2 ≤ ≤
2
3
1
2 D. x atau 1 x
2
≤ ≤ ≤ ≤
2
3
1
>
E. x atau x
2
≤
2 Jawab:
1
> > >
Syarat logaritma: numerus haruslah positif yaitu 2x 1 0 dan 2 x 0, sehingga haruslah x dan
− −
2
<
x 2. Kemudian, 1 2 2 1 2 1 log ( 2x
1 ) + log ( 2 x 2 log x 1 − − ) ≥ · 1 2 2
2
log ( 2x 1 )( 2 x log x 1 − − ) ≥ 1
2
2 2 2
+
log 2x 5x
2 log x
(− − ) ≥
2
2
- 2x 5x
2 x
− − ≤
2
- 3x 5x
2
− ≥ ( )(
3x 2 x
1
− − ) ≥
2 Jadi x atau x
1
≤ ≥
3
1
2
< <
Irisan dari himpunan tersebut dengan syarat di atas akan menghasilkan solusi x atau 1 x
2
≤ ≤
2
3
√ ~ ~ ~ ~
11. Jika panjang vektor u, v dan (~ u + ~ v ) berturut-turut 12, 8, dan 4 7, maka besar sudut antara u dan v adalah . . .
◦
A. 45
◦
B. 60
◦
C. 90
◦
D. 120 ◦
E. 150
Jawab:
- ~
- 2
+ |~
- 8
- 2
u
~
pada
)
6, 1
= (
12. Jika proyeksi
~
= (
◦
v adalah 120
~
u dan
~
p
)
1, 1
)
12 B.
−
A.
p, maka nilai α yang memenuhi adalah . . .
~
pada
5
1
−
,
= ( α
v
~
sama dengan proyeksi
2 Jadi besar sudut antara
= −
2 C. 2
| · |~
D. 5
|~
u
v
|
2 = |~
u
|
2
v
|
2
· |~
u
v
96 = 192 cos θ cos θ
2
−
8 cos θ 112 = 144 + 64 + 192 cos θ
·
12
·
2
12
|
2 =
7 )
√
4
(
cos θ
−
E. 12 Jawab:
|~
- 1
- qx
- 1 x
−
1
akar-akar persamaan kuadrat, maka x
2
dan x
1
Karena x
Jawab:
E. 7
D. 5
5 C. 0
7 B.
q p dan x
−
A.
= . . .
, maka p
2
2 x
3
1 = −
1 dan x
2 = −
1
2 = −
x
1
1 x
1
= −
1 p q
=
q p
2 −
x
1
x
2 = −
1
2
= −0. Jika
x
1
x
2
1
1 x
2
= −1
1 x
1 p .
2 = −
1 x
0, p
6=
b (1)
v
= ~
p
2
· ~
|
p
p
· ~
u
~
Maka diperoleh,
2 · ~
p
|
b
|
~
b
·
~a
~
b adalah
~
a pada
~
· ~
|~
Ingat kembali bahwa proyeksi vektor
5
=
1
−
2
merupakan akar-akar persamaan px
2
dan x
1
13. Misalkan x
12
α
=−
p
= α
6
p
· ~
p = ~ v
· ~
u
~
p
2 · ~
|
- q
- x
- 1 x
- x
- x
+ x
+
x
1
5
14. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika α adalah sudut antara bidang AHF dan CHF, maka sin α
= A. −
2
3
√
2 B.
−
1
3
√
2 C.
1
3 D.
3
1 p p =
2 α
6
√
2 dan OC = OA =
√
2
Untuk memudahkan perhitungan, anggap panjang sisi kubus 2 satuan. Sehingga AC =
2 √
√
6
6 √
A B C D H O E F G A C O √
3 √
2
2 E.
6 Jadi p + q =
= −
Karena x
−
1 = −
3
2 x
2
, maka x
1
2 = −
q p
−
3
2 x
2
2 =
1 p
1
2 p
2 =
·
−
1 p 3 p
2 = −
x
1
3 p serta x
2 x
2 x
3
1 = −
2 p x
2 = −
1 p x
2 =
2 Jawab: Perhatikan gambar berikut.
Dengan menggunakan aturan cos diperoleh bahwa,
2
2
2
- b c a − =
cos α 2bc
- 6
6
8
− = √ √
2
6
6
·
4
1
= =
12
3
√
1
2 Jika cos α = , maka sin α =
2
3
3
π
2 < 15. Diketahui 0 x . Jika 5 sin 2x 10 cos x = 26 cos 2x, maka cos 2x = . . . ≤
- 2
215 A. 233 205 B. 233 169 C. 233 115 D. 233
105 E. 233
Jawab:
2
2
= =
+
α α
Ingat bahwa cos 2α 2 cos 1 atau 2 cos 1 cos 2α.
−
Sehingga diperoleh,
2
- x = 5 sin 2x 10 cos 26 cos 2x 5 (
1 cos 2x ) = 26 cos 2x
- 5 sin 2x
5 5 cos 2x = 26 cos 2x
- 5 sin 2x
5 sin 2x = 21 cos 2x
5
−
21 cos 2x
5
− =
sin 2x
5
=
Misalkan cos 2x p, maka diperoleh
2
2 = +
sin 2x cos 2x
1
2
5 21p
−
2
- p =
1
5
2
2
441p + 210p 25 25p
25
− = +
25
25
25
2
466p 210p =
−
2p ( 233p 105 ) =
−
105
= =
Jadi p 0 atau p 233