RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI
RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI TIM DOSEN RISET OPERASI UNIVERSITAS GUNADARMA SEPTEMBER 2013
Teori Permainan
Oleh: Rina Sugiarti Komsi Koranti
Teori Permainan (GAME THEORY)
Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konfik antara berbagai kepentingan
Asumsi : Setiap pemain (individu atau kelompok) mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas (independent) dan rasional.
Teori permainan (Cont’)
- Model dalam teori permainan diklasifkasikan berdasarkan jumlah pemain, besarnya keuntungan dan kerugian, dan jumlah strategi.
- Berdasarkan jumlah pemain :
Model permainan dua pemain, tiga pemain, …, N pemain
Model Permainan Berdasarkan besarnya keuntungan/kerugian :
1.Model permainan jumlah nol (zero-sum game)
(constant-sum game)
3.Model permainan bukan jumlah nol (Non zero-sum game)
Elemen permainan
- Pemain: intelligent opponents (pesaing atau musuh)
• Strategi: pilihan apa yang harus dilakukan untuk
mengalahkan lawan• Hasil keluaran= Payofs: fungsi dari strategi yang
berbeda untuk setiap pemain• Payof Matrix: Tabel (hasil perolehan dari pemain
baris)• Aturan: bagaimana mengalokasikan hasil kepada
pemain
The Game: Contoh
- Dua Pemain: Pemain A (baris) dan Pemain B (kolom)
- Melempar koin seimbang
- Hasil yang mungkin: Head (H) dan Tail (T)
- Aturan:
- Jika hasil pertandingan match(pemain A memilih H
dan hasilnya juga H atau pemain A pilih T dan hasil
juga T), maka Pemain A mendapatkan $ 1 dari pemain B; - Jika sebaliknya, Pemain A kehilangan $ 1 untuk Pemain B
The Game: Matrix Payof
Pemain A (Pemain baris)
Pemain B H T H
- – 1
1
- – 1
T
1 Strategi setiap pemain: H atau T
Sebuah Solusi Optimal dikatakan tercapai apabila
pemain tidak menemukan hal yang bermanfaat untuk
Solusi optimal
• optimal dapat dicapai jika pemain memilih untuk
menerapkan:- Strategi Murni (misal: pilih H atau T)
- Campuran strategi murni = Strategi Campuran
Two-Person Zero-Sum Game
- Sebuah game atau permainan dengan dua pemain
- Sebuah keuntungan dari satu pemain sama dengan kerugian yang lain
- Pemain yang difokuskan = pemain baris (Pemain
A)
- Seorang pemain memaksimalkan keuntungan minimum nya (mengapa?)
• Pemain B meminimalkan kerugian maksimum nya
(mengapa?)- Solusi optimal diperoleh dengan kriteria Minimax- Maximin
Two-Person Zero-Sum Game with
Saddle Point
1
18
Value
18 Maximin
9
5
8
Colum Max
5 3 7 3 –4 10 –4
7
2
Pemain B Row Min
2 2 6
5
9
2
4 Pemain A 1 8
3
5
Two-Person Zero-Sum Game with
Saddle Point
- Seorang pemain (baris): Nilai Maximin = nilai terendah dari permainan
• Pemain B (kolom): Nilai Minimax = Nilai tertinggi
dari permainan- Nilai Maximin = Minimax nilai Saddle point = Nilai dari permainan
Two-Person Zero-Sum Game dengan Saddle Point
- Saddle point menyebabkan Solusi Optimal
• Saddle point menunjukkan permainan yang stabil
- Pemain menerapkan Strategi Murni
umumnya
- Untuk menjaga "optimalitas" dari permainan:
• nilai maksimin nilai permainan nilai minimax
OR• nilai terendah nilai permainan nilai tertinggi
Strategi campuran
- Digunakan untuk memecahkan permainan yang tidak memiliki Saddle Point • Solusi optimal diperoleh dengan mengguna>Solusi grafs untuk matrik payof (2 X N) dan (M X 2)
- Simplex untuk matrik payof (M X N)
Unstable Game tanpa Saddle
Point
1
5
Value Maximin Value
15 Minimax
9
7
8
Max
7 4 –1 3 –1 Column
4
4
15
4
8
2
Pemain B Row
2
2
8
7
6
2
1 5 –10 9 –10
Pemain A
4 Min
3
3
B y 1 y 2 … y n A x 1 a 11 a 12 … a 1n x 2 = 1 – x 1 a 21 a 22 … a 2n
2 N game
- 2 N game:
- – Pemain A memiliki 2 strategi
- – Pemain B memiliki N ( 2) strategi
2 N game
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
1 (a 11 – a 21 )x 1 + a 21
2 (a 12 – a 22 )x 1 + a 22
… … n (a 1n – a 2n )x 1 + a 2n
2 N game: contoh
B y 1 y 2 y 3 y 4 A x 1
2
2 3 –1 x 2
4
3
2
6
2 N game
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
1
- – 2x + 4 1
- – x + 3 1
- –7 x + 6 1 Solusi optimum: solusi Grafik
- 1
• Intersep antara baris (2), (3) dan (4)
(x * = ½, x *= ½)• pemain B dapat mengkombinasikan ke 3 strategi
5- pemain A menang = /
- Kombinasi (2), (3) dan (4): 1 dan y = 0, y = y –1 (y * = y *) 4 3 2 2 3<
- (2,3) y dan y = 0, y = y –1 (y * = y *)
- (2,4) y 1 1 dan y 2 = 0, y 3 4 = y 4 3 –1 (y 2 3 * = y 2 4 *) 4<
- (3,4) y
- – y 2 + 3
- – y 2 + 3 = y 2 + 2
- – 2 y 2 = – 1 y
- = 1 /
- – y 2 + 3
- – 7y 2– y 2 + 3 = –7y 2 + 6 6 y 2 = 3 y
- = 1 /
- – 7y 3 + 6
- = 1 /
- M 2 game:
- – Pemain A mempunyai M ( 2) strategi
- – Pemain B mempunyai 2 strategi
- – 2 y + 4 1
- – 8 y + 6 1 Solusi optimum dengan metode Grafis
- 1 2 1 3 -2 y 1 * = y 3 * = 1 / 3 Minimax
- Intersep di antara baris (1) dan (3) 1 1 (y * = /3, y *= /3) 1 3 2 10 (1) – 2y + 4 = – /3 + 4 = /3 1 8 10 (3) – 8y 1 + 6 = – /3 + 6 = /3Pemain B dapat mengkombinasikan 2 macam strategi 10<
- Pemain B rugi = /3
- kombinasi (1) dan (3): 2 dan x = 0, x = x –1 (x * = x *) 4
- (1,3) x
- – 2x + 4 1
- – 8x +6 1<
- –2x + 4 = – 8x +6 1 1 10
- Fokus pada baris (Pemain A)
- dualitas masalah
- Tujuan Fungsi: memaksimalkan
w = Y + Y + . . . Y
1 2 n • Pastikan tabel tidak berisi nilai nol dan negatif
• Gunakan K (nilai konstan) memastikan bahwa
tabel tidak berisi nilai nol dan negatif- K> negatif dari nilai maksimin
- K> negatif dari nilai paling negatif
- Jika K adalah digunakan dlm tabel , 1 v* = /w &nda
- z = w
- X * = X /z, X * = X /z, . . . , X * = X /z 1 1 2 2 m m
- 4Y 2 + 2Y 3 + S 1 = 1 Sesuai dengan :
- 8Y 2 + 4Y 3 + S 2 = 1
- 2Y 2 + 8Y 3 + S 3 = 1
- w = 45/196
- v* = 1/w – K = 196/45 – 225/45 = –29/45
- y * = Y /w = (1/14)/(45/196) = 14/45
- y * = Y /w = (11/196)/(45/196) = 11/45
- y * = Y /w = (5/49)/(45/196) = 20/45
- = X /z = (11/196)/(45/196) = 11/45
2
3 x + 2 1
4
Solusi Grafk x = 0 dan x = 1 = x
61
1
2
5 4 1 Maximin
3 2 3
2
1 4 x = 0 1 x* =1/2 1 x = 1 1
Solusi optimal untuk pemain A
1
2
5
2 (2) – x + 3 = – ½ + 3 = /
1
5
2 v* (3) x + 2 = ½ + 2 = /
1
7
5
2
2 (4) –7 x + 6 = – / + 6 = /
1
2
Solusi optimal untuk pemain B
Solusi optimal untuk pemain B
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
2
(2,3) y 1 dan y 4 = 0, y 3
= y
2 –1 (y 2 * = y 3 *)3 y 2 + 2
5 /
2
2 dan y * = 1 /
Solusi optimal untuk pemain B
Strategi murni B Ekspektasi Payoff A
2
4
(2,4) y 1 dan d y 3 = 0, y 4 = y 2 –1 (y 2 * = y 4 *)
2 dan y * = 1 /
5 /
2
Solusi optimal untuk Pemain B
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
3 y 3 + 2
4
(3,4) y 1 dan y 2 = 0, y 4 = y 3 –1 (y 3 * = y 4 *) y 3 + 2 = –7y 3 + 6 8 y 3 = 4 y
2 dan y * = 1 /
5 /
2
M 2 game
B y y 1 – y 1 2= 1 x a a 1 11 12 A x a a 2 21 22 … … … x a a m m1 m2
M 2 game
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
1 (a – a )y + a 11 12 1 12
2 (a – a )y + a 21 22 1 22
… … m (a – a )y + a m1 m2 1 m2
M 2 game: contoh
B y 1 y 2 A x 1
2
4 x 2
3
2 x 3 – 2
6
M 2 game
Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B
1
2 y + 2 1
3
1 = 1 = y
1 = 0 dan y
2 y 1 = 1
1 5 2 3 4 6
Solusi Optimum untuk Pemain B
Solusi Optimum untuk pemain A
3
1 1 3<Solusi Optimum untuk pemain A
dan x = 0, x = x –1 (x * = x *) (1,3) x 2 4
3
1 1 3 Strategi murni A Expektasi Payoff A1
3
3 A menang = / 6 x = 2 1 1 1
3
3 x = * 1 / dan x * = / 3
M N Games: Simplex
M N Games: Simplex
Terhadap (Constraints / kendala): a Y + a Y + . . . + a Y 11 1 12 2 1n n 1 a Y + a Y + . . . + a Y 21 1 22 2 2n n 1 … … … a Y + a Y + . . . + a Y m1 1 m2 2 mn n 1 Y 1 , Y 2 , . . . , Y n 1 1 0 w = v* = /w
/v Y = /v, j = 1,2,. . . , n j Yi
M N Games: Simplex
M N Games: Simplex
M N Games: contoh
A B Row
1
2
3 Min
1 3 –1 –3 –3 2 –3 3 –1 –3 3 –4 –3
3 –4 Column Max
3
3
3 K = 5 A B Row
1
4
8
8
1 Column Max
8
2
1
3
2
8
2
2
2
2
2
4
8
1
3 Min
8 Maximize: w = Y 1 + Y 2 + Y 3 Fungsi Tujuan A B Row
1
1
2Y 1 + 8Y 2 + 4Y 3 1
:
Sesuai dengan
8Y 1 + 4Y 2 + 2Y 3 1
8
8
8
1 Column Max
8
2
3
2
2
4
8
2
2
2
2
4
8
1
3 Min
1Y 1 + 2Y 2 + 8Y 3 1
8Y 1 + 4Y 2 + 2Y 3 1 8Y 1
2Y 1 + 8Y 2 + 4Y 3 1 2Y 1
1Y 1 + 2Y 2 + 8Y 3 1 1Y 1
Y
1 , Y
2 ,Y
3 0
Maximize: w = Y 1 + Y 2 + Y 3 + S 1 +S 2 +S 3 Fungsi Tujuan :
Basic Y 1 Y 2 Y 3 S 1 S 2 S 3 Solution w -1 -1 -1 S 1
8
4
2
1
1 S 2
2
8
4
1
1 S 3
1
2
8
1
1 Basic Y 1 Y 2 Y 3 S 1 S 2 S 3 Solution w 5/49 11/196 1/14 45/196
Y 1 1 1/7 -1/14 1/14 Y 2 1 -3/98 31/196 -1/14 11/96
Y 3 1 -1/98 -3/98 1/7 5/49 Tabel Optimal (Akhir)
Solusi optimal untuk B
1
1
2
2
3
3
Solusi untuk A
z = w = 45/196 X = 5/49
1
X = 11/196
2
X = 1/14
3
x * = X /z = (5/49)/(45/196) = 20/45
1
1
x
2
2
x * = X /z = (1/14)/(45/196) = 14/45
3
3 Hamdy A Taha, Operation Research an
Introduction, edisi 8, Macmillan, New york
REFERENSISELESAI