BAB II LANDASAN TEORI - BAB II LINDA AGUSTIAN PRATIWI MATEMATIKA'14

  2.1 Peramalan

  2.1.1 Pengertian Peramalan Peramalan adalah kegiatan untuk memperkirakan apa yang akan terjadi pada masa yang akan datang (Sofjan Assauri,1984). Setiap kebijakan ekonomi maupun kebijakan perusahaan tidak akan terlepas dari usaha untuk meningkatkan kesejahteraan masyarakat atau meningkatkan keberhasilan perusahaan untuk mencapai tujuannya pada masa yang akan datang, dimana kebijakan tersebut dilaksanakan. Oleh karena itu perlu dilihat dan dikaji situasi dan kondisi pada saat kebijakan tersebut dilaksanakan. Usaha untuk melihat dan mengkaji situasi dan kondisi tersebut tidak terlepas dari kegiatan peramalan.

  2.1.2 Peran Peramalan Peramalan mempunyai peranan yang sangat penting baik dalam penelitian, perencanaan maupun dalam pengambilan keputusan. Baik tidaknya hasil suatu penelitian dalam ekonomi dan dunia usaha sangat ditentukan oleh ketepatan ramalan yang dibuat. Demikian pula, baik tidaknya keputusan dan rencana yang disusun juga sangat ditentukan oleh ketepatan ramalan yang dibuat.

  2.1.3 Jenis-Jenis Peramalan Peramalan dapat dibedakan dari beberapa segi tergantung dari cara melihatnya. Dilihat dari sifat penyusunannya, peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:

  1. Peramalan yang subjektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas perasaan atau intuisi dari orang yang menyusunnya.

  2. Peramalan yang objektif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data yang relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknik-teknik dan metode-metode dalam penganalisaan data tersebut. Dilihat dari jangka waktu peramalan yang disusun, peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:

  1. Peramalan jangka panjang, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil peramalan yang jangka waktunya lebih dari satu setengah tahun atau tiga semester.

  2. Peramalan jangka pendek, yaitu peramalan yang dilakukan untuk penyusunan hasil peramalan dengan jangka waktu yang kurang dari satu setengah tahun atau tiga semester. Peramalan ini diperlukan dalam penyusunan rencana tahunan, rencana kerja operasional dan anggaran.

  Jika dilihat dari sifat ramalan yang telah disusun, peramalan dapat dibedakan atas dua macam, yaitu:

  1. Peramalan kualitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada orang yang menyusunnya, karena hasil peramalan tersebut ditentukan berdasarkan pemikiran yang bersifat intuisi, judgment atau pendapat, dan pengetahuan serta pengalaman dari penyusunnya.

  2. Peramalan kuantitatif, yaitu peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif pada masa lalu. Hasil peramalan yang dibuat sangat tergantung pada metode yang digunakan dalam peramalan tersebut. Adapun yang perlu diperhatikan dari penggunaan metode-metode tersebut adalah baik tidaknya metode yang digunakan sangat ditentukan oleh perbedaan atau penyimpangan antara hasil ramalan dengan kenyataan yang terjadi. Peramalan kuntitatif hanya dapat digunakan apabila terdapat tiga kondisi sebagai berikut:

  a. Tersedianya informasi tentang masa lalu;

  b. Informasi tersebut bersifat kuantitatif ataupun dapat dikuantitatifkan dalam bentuk data numerik atau angka; c. Diasumsikan bahwa pola data masa lalu akan berkelanjutan pada pola masa datang (asumsi berkesinambungan).

  2.1.4 Metode Peramalan Kuantitatif

  Metode peramalan kuantitatif adalah cara memperkirakan secara kuantitatif apa yang akan terjadi pada masa depan berdasarkan data yang relevan pada masa lalu (Awat, 1990). Metode peramalan didasarkan pada data yang relevan pada masa lalu, maka metode peramalan ini dipergunakan dalam peramalan yang obyektif.

  Pada umumnya, metode peramalan kuantitatif dapat dibedakan atas:

  1. Metode peramalan deret waktu atau time series, yaitu metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu, yang merupakan deret waktu atau time series.

  2. Metode peramalan korelasi atau sebab akibat (causal methods), yaitu metode peramalan yang didasarkan atas penggunaan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel lain yang mempengaruhinya selain waktu.

  2.1.5 Langkah-Langkah Peramalan Peramalan yang baik adalah peramalan yang dilakukan dengan mengikuti langkah-langkah atau prosedur penyusunan yang baik. Pada dasarnya ada tiga langkah peramalan yang penting, yaitu:

  1. Menganalisa data yang lalu, tahap ini berguna untuk mengetahui pola yang terjadi pada masa lalu dengan cara membuat tabulasi dari data yang lalu.

  2. Menentukan metode yang digunakan. Metode peramalan yang baik adalah metode yang menghasilkan penyimpangan antara hasil peramalan dengan nilai kenyataan sekecil mungkin.

  3. Memproyeksikan data yang lalu dengan menggunakan metode yang digunakan dan mempertimbangkan adanya beberapa faktor perubahan.

  2.2 Data Time series Deret waktu (time series) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap

  (harian, mingguan, bulanan, tahunan dsb). Data yang diambil dapat berupa data permintaan, pendapatan keuntungan, kecelakaan, produktifitas dan indeks harga pelanggan.

  Langkah penting dalam memilih suatu metode deret waktu (time series) yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data dapat dibedakan menjadi empat jenis, yaitu:

  1. Pola Horisontal (H) terjadi bilamana nilai data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan.

  2. Pola Musiman (S) terjadi bilamana suatu deret dipengaruhi oleh faktor musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada minggu tertentu).

  3. Pola Siklis (C) terjadi bilamana suatu data dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis.

  4. Pola Trend (T) terjadi bilamana terdapat kenaikan atau penurunan sekuler jangka panjang dalam data.

  2.3 Analisis Time Series Analisis time series merupakan salah satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probalistik keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka pengambilan keputusan. Suatu urutan pengamatan memiliki model data time series jika memenuhi dua hal berikut:

  1. Interval waktu antar indeks waktu t dalam dinyatakan dalam satuan waktu yang sama (identik).

  2. Adanya ketergantungan antara pengamatan dengan yang dipisahkan oleh jarak waktu berupa kelipatan sebanyak k kali (dinyatakan sebagai lag k). Sedangkan tujuan analisis time series antara lain untuk: 1. Meramalkan kondisi di masa yang akan datang (forcasting).

  2. Mengetahui hubungan antar peubah.

  3. Kepentingan kontrol (untuk mengetahui apakah proses terkendali atau tidak).

  Beberapa konsep dasar dalam analisis time series antara lain:

  1. Stokastik dan Stasioner

  Dalam analisis time series disyaratkan bahwa data time series ( ) mengikuti proses stokastik. Dimana suatu urutan dari peubah acak ( ) dengan ruang sampel dan satuan waktu t dikatakan sebagai proses stokastik. Suatu deret waktu dikatakan stokastik jika data masa lalu hanya dapat menunjukkan struktur probabilistik keadaan yang akan datang. Sebaliknya, jika suatu deret waktu dapat memprediksi keadaan yang akan datang secara pasti maka disebut deterministik.

  Dalam pembentukan model analisis time series mengasumsikan bahwa data time series dalam keadaan stasioner. Untuk memeriksa kestasioneran data dapat dilakukan dengan menganailisis diagram deret waktu (time series plot). Diagram deret waktu (time series plot) dapat diperoleh dengan bantuan software minitab v.14. Diagram deret waktu (time series plot) yaitu diagram pencar antara nilai peubah dangan t. Data time series dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan kecenderungan dalam rata-rata dan perubahan variansi. Dengan kata lain, data time series yang stasioner adalah data tidak mengalami kenaikan atau penurunan secara tajam (fluktuasi data berada pada sekitar rata-rata yang konstan).

  Kondisi stasioner terdiri atas dua hal, yaitu

  a. Stasioner dalam rata-rata

  Suatu data time series dikatakan stasioner dalam rata-rata jika diagram deret waktu berfluktuasi disekitar garis yang sejajar sumbu waktu atau jika tidak ada unsur trend dalam data. Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, maka untuk menghilangkan ketidakstasioneran tersebut dapat dilakukan dengan metode

  

differencing (pembedaan). Pada dasarnya metode differencing

  adalah membentuk suatu data baru yang diperoleh dengan cara mengurangi nilai pengamatan pada waktu t dengan nilai pengamatan pada waktu sebelumnya. Jika hasil differencing tersebut disimbolkan dengan maka Secara umum operasi yang menghasilkan suatu kejadian (proses) baru yang

  differencing

  stasioner adalah: (2-1)

  ( ) Dimana: = 1, 2, ...

  = Backshift operator (operator mundur) yang didefinisikan bahwa = data ke- b. Stasioner dalam variansi.

  Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi jika struktur data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan, atau secara visual tidak ada perubahan variansi dalam besarnya fluktuasi. Jika kestasioneran data dalam variansi tidak terpenuhi, maka dapat dihilangkan dengan melakukan perubahan untuk menstabilkan variansi. Box-Cox (1964) memperkenalkan transformasi pangkat (power transformation).

  ( )

  Misalkan transformasi pangkat dari dan untuk menstabilkan variansi dapat digunakan

  ( ) ( )

  (2-2)

  ( ) ( )

  , dimana disebut sebagai parameter transformasi dan adalah data ke- . Beberapa nilai yang digunakan dan bentuk transformasinya adalah sebagai berikut.

  Nilai Transformasi (lambda)

• 1
• 0,5

  √ √

  0,5

  1 Tabel 2.1 Tabel Nilai-nilai dan Bentuk Transformasinya Dalam menstabilkan variansi ada beberapa ketentuan antara lain

  1. Transformasi boleh dilakukan hanya untuk deret yang positif.

  2. Transformasi dilakukan sebelum melakukan differencing dan pemodelan time series

  3. Transformasi tidak hanya menstabilkan variansi, tetapi juga dapat menormalkan distribusi.

  2. Rata-rata, Autokovariansi, dan Autokorelasi Suatu proses yang stasioner { } mempunyai rata-rata

  (expectation) E( ) = E = konstan ) = μ dan variansi var( )

  ( dan kovariansi cov( ) = fungsi dari perbedaan waktu | |.

  Kovariansi antara dan adalah (2-3)

  ( )( ) ) (

  Korelasi antara dan adalah

  ( )

  (2-4)

  √ ( ) )√ (

  Dengan catatan bahwa var( ) = var( )= Adapun dinamakan fungsi autokovariansi dan dinamakan fungsi autokorelasi pada analisis time series, karena masing-masing menyatakan kovariansi dan korelasi antara dan dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh jarak waktu k (lag k).

  3. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

  a. Fungsi Autokorelasi Fungsi autokorelasi atau autocorrelation function (ACF) merupakan statistik kunci dalam analisis time series (korelasi deret waktu dengan deret waktu itu sendiri dengan selisih waktu (lag) 0, 1, 2 periode atau lebih). Koefisien autokorelasi adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi antara pengamatan pada waktu ke- t (dinotasikan dengan ) dengan pengamatan pada waktu-waktu yang sebelumnya (dinotasikan dengan

  ). Untuk suatu data time series maka nilai autokorelasinya adalah sebagai berikut.

  (

  ∑ ̅) ̅) ( (

  (2-5)

  ∑ ( ̅)

  Diagram ACF juga dapat digunakan sebagai alat bantu untuk mengidentifikasi pola. identifikasi tersebut dapat dilakukan dengan analisis dari diagram autokorelasi atau dengan uji signifikasi koefisien autokorelasi. Jika digram ACF cenderung turun lambat atau turun secara linier, maka dapat disimpulkan data belum stasioner dalam rata-rata. Uji autokorelasi dilakukan dengan uji- dengan hipotesis (koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan dengan nol)

  (koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan dengan nol)

  ∑

  Statistik uji: dengan (

  ) √

  ( )

  Dimana = standar error autokorelasi pada data saat lag k

  ( ) = autokorelasi pada saat lag = time lag = banyak observasi dalam data time series

  Kriteria keputusan : tolak jika nilai dengan | | derajat bebas

  . Bila koefisien autokorelasi signifikan pada salah satu dari time lag ke-1, ke-2, ke-3 yang pertama atau maksimum ketiganya sekaligus dan koefisien autokorelasi yang berikutnya menjadi lebih kecil mendekati nol secara cepat, maka data tersebut bersifat stasioner.

  Bila beberapa koefisien autokorelasi yang pertama ( ) tergolong besar (signifikan) dan koefisien autokorelasi berikutnya secara berlahan turun mendekati nol, maka data tersebut mengandung pola trend. Bila koefisien autokorelasi ( ) yang signifikan terjadi pada time lag tertentu, maka data tersebut mengandung komponen musiman (seasonal). Bila semua koefisien autokorelasi ( ) yang dihasilkan dari data time series atau sebagian besar mendekati nol atau berada di antara daerah kritis, maka data tersebut mengandung pola horisontal.

  b. Fungsi Autokorelasi Parsial Fungsi autokorelasi parsial atau partial autocorrelation

  (PACF) dalam analisis time series digunakan untuk

  function

  mengukur keeratan (association) antara dan , apabila pengaruh dari lag waktu (time lag) 1, 2, 3, ..., k-1 dianggap terpisah.

  Fungsi autokorelasi parsial adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke-t (dinotasikan dengan ) dengan pengamatan pada waktu-waktu yang sebelumnya (dinotasikan dengan ).

  4. White Noise Process Suatu proses { } dinamakan white noise (proses yang bebas dan identik) jika bentuk peubah acak yang berurutan tidak saling berkorelasi dan mengikuti distribusi tertentu. Dalam proses ini rata- rata E( bernilai nol dan mempunyai variansi yang konstan

  ) = yaitu var( ) = dan nilai kovariansi (

  ) untuk .

  5. Prinsip Parsimoni Jika ada beberapa model diselidiki dan setelah diselidiki dengan baik beberapa model yang berbeda disimpulkan memenuhi kriteria atau asumsi tertentu, selanjutnya digunakan Prinsip parsimoni yang menyatakan bahwa model yang lebih sederhana lebih disenangi dari pada model dengan parameter yang banyak.

  2.4 Metode Peramalan Exponential Smoothing Metode peramalan exponential smoothing merupakan sekelompok metode yang menunjukkan pembobotan menurun secara eksponensial terhadap data observasi yang lebih lama. Metode peramalan exponential

  smoothing adalah suatu prosedur yang mengulang perhitungan secara terus

  menerus dengan menggunakan data terbaru. Setiap data diberi bobot dan data yang terkini diberi bobot yang terbesar. Bobot yang digunakan adalah α untuk dat a yang terbaru, bobot α(1-α) untuk data yang terbaru sebelumnya, bobot untuk data 2 periode sebelumnya dan seterusnya. Metode ini

  ( ) terdiri atas tunggal, ganda (double), dan triple. Ketiga metode tersebut mempunyai sifat yang sama yaitu data observasi yang lebih baru diberikan bobot yang relatif lebih besar dibandingkan data observasi yang lebih lama.

  Dalam metode exponential smoothing terdapat satu atau lebih parameter pemulusan yang ditentukan secara eksplisit, dan hasil pilihan parameter ini menentukan bobot yang dikenakan pada nilai observasi. Berikut adalah beberapa metode peramalan exponential smoothing antara lain:

  1. Single Exponential Smoothing Teknik ini digunakan untuk menetapkan bobot tertentu atas data yang tersedia, dan berdasarkan bobot tersebut akan diketahui bobot atas hasil peramalan sebelumnya. Penentuan besarnya bobot yang digunakan dapat dilakukan dengan bantuan software minitab v.14 untuk memperoleh parameter yang optimal. Persamaan exponential smoothing dapat dituliskan sebagai berikut:

  (2-6) ( )

  Dimana: = ramalan data ke-t = konstanta pemulusan (0 < = data observasi pada akhir periode sebelum ramalan = ramalan pada periode

  2. Double Exponential Smoothing Ada dua macam metode double exponential smoothing yaitu

  1) Double Exponential Smoothing Brown Teknik pemulusan eksponensial ganda Brown(double exponential

  smoothing brown ) digunakan untuk meramalkan data time series yang mengandung pola trend linier. Berikut ini adalah langkah- langkah yang berisi lima persamaan untuk membuat ramalan dengan metode Brown. Pertama, menghitung nilai exponential smoothing dengan persamaan berikut.

  (2-7) ( )

  Kedua, menghitung nilai double exponential smoothing dengan persamaan berikut.

  (2-8) ( )

  Ketiga, menghitung perbedaan antara nilai-nilai exponential dengan persamaan berikut.

  smoothing

  (2-9) Keempat, menghitung faktor penyesuaian tambahan yang hampir sama dengan slope kurva sebagai berikut.

  ) (

  Terakhir, membuat peramalan p periode yang akan datang dengan persamaan berikut.

  (2-11) Dimana:

  = nilai yang dimuluskan secara eksponensial pada t

  = nilai yang dimuluskan secara eksponensial ganda pada t = hasil peramalan pada periode = konstanta pemulusan

  α = jumlah p periode ke depan yang akan diramalkan

  2) Double Exponential Smoothing Holt

  Metode Double Exponential Smoothing Holt merupakan metode yang akan digunakan dalam penelitian ini. Metode exponential

  

smoothing Holt dalam prinsipnya serupa dengan Brown namun Holt

  tidak menggunakan rumus pemulusan trend secara langsung. Pada metode ini komponen trend dihaluskan secara terpisah dengan menggunakan parameter yang berbeda sehingga lebih fleksibel. Namun, kedua parameternya perlu dioptimalkan. Dalam penelitian minitab v.14. Berikut ini adalah langkah-langkah yang berisi tiga persamaan untuk membuat ramalan dengan metode Holt. Pertama, rangkaian data pemulusan secara eksponensial atau estimasi level.

  (2-12) )

  ( )( Kedua, estimasi trend.

  (2-13) ( ) ( ) Ketiga, ramalan pada p periode mendatang. ̂

  (2-14) Keterangan:

  = nilai baru yang dimuluskan atau estimasi level = konstanta pemulusan untuk observasi ( )

  = observasi yang baru atau data sebenarnya pada periode t = konstanta pemulusan untuk estimasi trend ( )

  = estimasi trend = periode yang diramalkan ̂

  = nilai peramalan pada p periode mendatang

  3. Triple Exponential Smoothing Metode peramalan triple exponential smoothing dapat disebut juga dengan metode tiga parameter Winter. Metode tiga parameter Winter dapat digunakan untuk pemulusan data yang sekaligus mengandung trend dan musiman. Selain itu, metode Winter didasarkan atas persamaan pemulusan, yaitu satu untuk stasioner, satu untuk trend, dan satu untuk musiman. Metode Winter memberikan tiga pembobotan dalam peramalannya, yaitu α, β dan γ yang bernilai antara 0 sampai 1. Terdapat empat persamaan yang digunakan dalam triple exponential smoothing berikut.

  Pertama, exponential smoothing atau estimasi level (2-15)

  ( )( ) Kedua, estimasi trend.

  (2-16) (

  ) ( ) Ketiga, estimasi musiman

  (2-17) ( )

  Keempat, ramalan pada p periode pendatang (2-18)

  ( ) Dimana:

  = nilai ramalan pada p periode mendatang = nilai baru yang dimuluskan atau diestimasi level saat ini = periode yang diramalkan = estimasi trend = estimasi musiman

  s = panjang musiman

  = konstanta pemulusan untuk estimasi trend = konstanta pemulusan untuk level = konstanta pemulusan untuk estimasi musiman = periode yang diramalkan

  2.5 Metode Peramalan ARIMA Box-Jenkins ARIMA merupakan suatu alat yang menggunakan nilai-nilai sekarang dan nilai-nilai historis variabel dependen untuk menghasilkan peramalan yang akurat. Model Autoregressive Intregreted Moving average (ARIMA) telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins (1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang diterapkan untuk analisis deret berkala, peramalan dan pengendalian. Menurut Jarret (1991:317) Metode ARIMA memiliki beberapa keunggulan dibanding metode lainnya, yaitu:

  1. Metode ARIMA Box-Jenkins disusun dengan logis dan secara statistik akurat;

  2. Metode ARIMA Box-Jenkins memasukkan banyak informasi dari data historis;

  3. Metode ARIMA Box-Jenkins menghasilkan kenaikan akurasi peramalan dan pada waktu yang sama menjaga jumlah parameter seminimal mungkin. Seperti metode exponential smooting, metode ARIMA Box-Jenkins juga dibagi dalam dua jenis metode yaitu

  1. Metode ARIMA Box-Jenkins untuk data non seasonal

  Metode ARIMA Box-Jenkins untuk data non seasonal merupakan metode ARIMA Box-Jenkins untuk data yang tidak mengandung musiman. Metode ARIMA Box-Jenkins menggunakan pendekatan iteratif yang mengidentifikasikan kemungkinan model yang bermanfaat. Model ARIMA yang terpilih kemudian dicek kembali dengan data historis apakah telah mendeskripsikan data historis dengan tepat. Model yang terbaik akan diperoleh apabila sisa antara model peramalan dan data historis memiliki nilai yang kecil, berdistribusi normal, dan independen.

  Ada 3 komponen dalam metode ARIMA, yaitu:

  a. Proses Autoregressive (AR) Model Autoregressive (AR) merupakan model menunjukkan sebagai fungsi linier dari sejumlah aktual sebelumnya, atau dinyatakan dalam formulasi:

  (2-19) Dimana:

  = variabel dependen = variabel bebas yang merupakan lag dari variabel terikat = konstanta = parameter AR

  = residual atau error b. Moving average (MA) Model Moving average dapat disebut juga dengan model rata- rata bergerak orde q, meramalkan nilai Y t berdasarkan kombinasi kesalahan linier masa lampau (lag), atau dapat dirumuskan sebagai berikut:

  (2-20) Dimana:

  = variabel dependen pada waktu t = residual periode sebelumnya (lag) = konstanta = parameter MA = residual pada waktu t

  c. Autoregressive Moving Average (ARMA) yang memiliki moving average (MA) untuk menciptakan model gabungan yang disebut autoregressive moving average (ARMA). ARMA dapat dinotasikan dengan ARMA(p,q) dimana p adalah orde untuk autoregressive dan q adalah orde untuk moving average.

  Bentuk umum model ARMA(p,q) adalah

  Moving Average Autoregressive Gabungan antara model AR dan MA melahirkan model ARIMA atau Box-Jenkins. Secara umum, model ARIMA ini dituliskan dengan notasi ARIMA (p, d, q), dimana p meyatakan orde dari proses

  

autoregressive (AR), d menyatakan pembedaan (differencing), dan q

  menyatakan orde dari proses moving average (MA). Bentuk model ARIMA Box-Jenkins atau ARIMA (p, d, q) adalah sebagai berikut:

  ( )( ) ( ) (2-21)

  Dimana:

  p = orde autoregressive (AR) d = orde differencing non musiman q = orde moving average (MA)

  ( ) =

  ( ) ( )

  = (1- ) = parameter AR yang berorde ke- = parameter MA yang berorde ke-

  ( ) = orde differencing non musiman = data ke- t

  = galat pada waktu ke- t yang diasumsikan memenuhi white noise. Tahapan yang dilakukan pada proses ARIMA Box-Jenkins antara lain identifikasi, penaksiran parameter, pemeriksaan diagnostik dan peramalan. 1) Identifikasi Model

  Sebelum melakukan analisis lanjutan terhadap data time series, hal yang paling penting dilakukan adalah mengidentifikasi karakteristik data. Melalui tahap identifikasi, model awal ARIMA (p, d, q) dapat ditentukan. Metode ARIMA Box-Jenkins mengasumsikan tidak adanya pola tertentu dari data masa lalu yang dianalisis. Untuk itu perlu menentukan model umum dengan melakukan uji stasioneritas. Uji stasioneritas menentukan apakah data time series yang akan digunakan untuk peramalan sudah stasioner atau tidak, baik dalam rata-rata maupun dalam variansi. Jika kondisi stasioner dalam rata-rata tidak terpenuhi diperlukan proses pembedaan (differencing). Pada ARIMA (p,

  d, q ), orde d digunakan untuk memodelkan kejadian yang tidak

  stasioner dalam rata-rata. Jika kondisi stasioner dalam variansi tidak terpenuhi, Box dan Cox (1964) memperkenalkan

  ( ) ( )

  transformasi pangkat (power transformation), , dimana disebut sebagai parameter transformasi.

  2) Pemeriksaan Diagnostik

  Pemeriksaan diagnostik (diagnostic checking) dapat dibagi dalam dua bagian, yaitu uji signifikasi parameter dan uji kesesuaian model (meliputi uji asumsi white noise dan distribusi normal).

  a) Uji Signifikasi Parameter Model ARIMA yang baik dapat menggambarkan suatu kejadian yang menunjukkan penaksiran parameter pada model memiliki signifikan berbeda dengan nol. Secara umum, misalkan adalah suatu parameter pada model ARIMA Box-Jenkins dan ̂ adalah nilai taksiran dari parameter tersebut, serta SE ( ̂) adalah standar error dari nilai taksiran

  ̂, maka uji kesignifikasinan parameter dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut

• Hipotesis ̂ ( parameter tidak signifikan dalam model) ̂ ( parameter signifikan dalam model)

  ̂

• Statistik Uji

  ( ̂)

• Daerah penolakan

  Tolak jika = banyaknya | |

  ⁄

  parameter atau dengan menggunakan nilai-p (p-value), yakni tolak jika nilai-p < α. b) Uji Kesesuaian Model Uji kesesuaian model meliputi kecukupan model (uji apakah sisanya white noise) dan uji asumsi berdistribusi normal.

  Pengujian white noise dilakukan dengan uji Ljung-Box, sedangkan pengujian asumsi berdistribusi normal dapat digunakan uji Kolmogorov Smirnov.

  Uji sisa white noise dapat dilakukan dengan langkah sebagai berikut.

• Hipotesis : model sudah memenuhi syarat cukup (sisanya memenuhi syarat white noise) atau

  : model belum memenuhi syarat cukup (sisa tidak white

  noise

  ) atau minimal ada satu

• Statistik uji, yaitu statistik uji Ljung-Box atau Box-Pierce

  Modified

  ( ) ∑

  ̂ ( )

  (2-22)

• Daerah penolakan

  Tolak jika . K berarti pada lag K dan m adalah jumlah parameter yang ditaksir dalam model. Sedangkan uji asumsi berdistribusi normal digunakan untuk memeriksa apakah suatu proses residual ( ) mempunyai distribusi normasl atau tidak. Langkah-langkah yang digunakan dalam pengujian asumsi berdistribusi normal adalah sebagai berikut.

• Hipotesis H : residual (sisa) berdistribusi normal H

  1 : residual (sisa) tidak berdistribusi normal

  Dengan ta raf signifikasi α = 0,05 dan statistik uji yang digunakan dalam uji asumsi berdistribusi normal adalah uji Kolmogorov Smirnov dengan rumus sebagai berikut.

  (2-23) |

  ( ) ( )| dengan, = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif yang terjadi di bawah distribusi normal = suatu fungsi distribusi frekuensi kumulatif

  ( ) yang diobservasi

• Tolak H jika nilai-p atau p-value (D >

  hitung

  ) < α atau D

  D

  , dengan n banyaknya pengamatan dan α taraf

  (α,n)

  signifikasi yang artinya residual ata sisa ) tidak

  ( berdistribusi normal.

  3) Peramalan Peramalan dapat dilakukan jika seluruh model signifikan dan seluruh asumsi sisanya terpenuhi.

  2. Metode ARIMA untuk Data Musiman Metode ARIMA untuk Data Musiman merupakan metode untuk data yang mengandung pola musiman. Secara umum bentuk model ARIMA

  S

  Box-Jenkins musiman atau ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) adalah (2-24)

  ) ̇ ( ) ( )( ) ( ( ) ( )

  Dimana

  

p,d,q = orde AR, differencing, dan MA non musiman

P,D,Q = orde AR, differencing, dan MA musiman

  = ( )

  = )

  ( = orde differencing non musiman

  ( ) = orde differencing musiman

  ) (

  = ( )

  = )

  ( = sisa pada waktu ke-t yang diasumsikan memenuhi white noise.

  2.6 Metode Peramalan Kombinasi

  Metode peramalan kombinasi merupakan metode peramalan dimana beberapa model peramalan tunggal dikombinasikan untuk mengoptimalkan hasil peramalan . Metode peramalan kombinasi berusaha untuk meminimalkan kesalahan peramalan (forecast error) sehingga memberikan peramalan yang lebih akurat daripada peramalan yang dihasilkan metode peramalan tunggal. Peramalan kombinasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

  (2-25) Dimana:

  = peramalan kombinasi = bobot

  = peramalan tunggal ke-n Ada beberapa cara untuk menggabungkan metode-metode peramalan tunggal. Pertama, metode peramalan kombinasi simple average. Metode ini adalah metode peramalan kombinasi yang dilakukan dengan cara menghitung rata-rata dari jumlah metode peramalan yang digunakan. Secara umum rumus metode simple average adalah

  (2-26)

Dimana adalah banyak metode peramalan yang digunakan

  Kedua, metode peramalan kombinasi minimum variance. Metode ini menggabungkan beberapa model peramalan dengan cara memberikan bobot pada masing-masing model yang digunakan untuk meminimumkan variansi kesalahan peramalan. Metode peramalan kombinasi minimum variance didasarkan pada variansi dari kesalahan model peramalan yang digunakan dan nilai koefisien korelasi antara kesalahan model peramalan yang digunakan untuk memperoleh bobot pada masing-masing model peramalan yang digunakan. Jika dan adalah peralaman dari dua metode peramalan yang

  ̂ ̂ berbeda yang mendekati nilai sebenarnya, secara umum rumus metode peramalan kombinasi minimum variance

  ( ̂ )adalah (2-27)

  ̂ ( ) ̂ Dan kesalahan peramalan kombinasi (

  ) adalah (2-28)

  ( ̂ ) ( )( ̂ ) Dengan dan adalah bobot dari masing-masing model peramalan yang digunakan, maka dapat ditentukan pula variansi dari kesalahan peramalan kombinasi adalah sebagai berikut.

  ] [ ] [ [ ( ̂ ) ( )( ̂ )] [ ( ̂ ) ( )( ̂ )]

  ( ̂) ( ) ( ̂) ( ) ( ̂ ̂) ( ̂) ( ) ( ̂) ( ) ( ̂ ̂)

  ( ̂) ( ) ( ̂) ( ) ( ̂ ̂) (2-29)

  √ ( ̂) ( ̂)

  Dimana dan adalah error dari peramalan pada periode ̂ ̂ untuk dua metode peramalan tunggal.

  ( ̂)dan ( ̂) adalah variansi dari kesalahan dua peramalan individu dan ( ̂ ̂) adalah korelasi antara dua kesalahan peramalan individu. Jika adalah bobot, maka

  ( ̂) ( ̂ ̂) √ ( ̂) ( ̂)

  (2-30)

  ( ̂) ( ̂) ( ̂ ̂) √ ( ̂) ( ̂)

  Nilai k pada persamaan (2-30) disubtitusikan pada persamaan (2-29) dapat meminimumkan variansi dari kesalahan peramalan kombinasi. Jadi, variansi minimum dari kesalahan peramalan kombinasi dapat dituliskan sebagai berikut.

  ( ̂) ( ̂) ( ( ̂ ̂) )

  (2-31) [

  ]

  ( ̂) ( ̂) ( ̂ ̂)√ ( ̂) ( ̂)