BAB 5 PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier - Modul Siap UN Matematika SMK Kelompok PSP
- y = p p p
y x y x f
x
, x , dan y adalah .... Pembahasan:
Menentukan titik potong:
7 2 y x y 5 x x
2 Sehingga: y 5 x 5 )
2 ( y 2 5 y
3 y
, titik potongnya (2 , 3) Titik Pojok
(x , y) Fungsi objektif
5 , 4 ) (
x
(5 , 0) ( 20 ) 5 ) 5 (
, 4 ) 5 ( f ....Nilai minimal (0 , 7) 35 )
7 ( ( 5 ) 4 )
( 7 , f (2 , 3) 23 )
3 ( 5 ) 2 ( 4 )
3 , 2 ( f
x y
3
1
, y 5
7 2 y
5 3,5 7 x + y = 5
y
2x+y = 7
5
(2 , 3)
x y x y
a b bx + ay = ab x
BAB 5
PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum). B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel Contoh: Gambarlah grafik y 3 3
x
, x , dan
! Jawab:
5 , 4 ) ( yang memenuhi pertidaksamaan
y 3 3
x x y ( x , y )
1 ( 0 , 1 ) 3 ( 3 , 0 ) Titik uji (0,0): y x 3 3 0 + 3 (0) 3
0 3 Benar
Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis
y 3 3 x
Contoh: 1.
Nilai minimal dari
y x y x f
x+3y=3
2. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah .... Pembahasan: Jika: banyak penumpang kelas bisnis = x banyak penumpang kelas ekonomi = y maka, model matematikanya:
x
tentang banyak penumpang : y 90 ... (1) jumlah penumpang paling banyak 90 orang tentang daya angkut bagasi : 12 x y 10 1 . 000 ... (2) maksimal bagasi menampung 1.000 kg disederhanakan menjadi
6 x y 5 500 syarat mutlak: x dan y
Grafik daerah penyelesaian:
y
Titik potong kedua garis:
x x
y 90 | x 5 5 y 5 450 →
100
6 x y 5 500 | x 1
6 x y 5 500
→
90
(50 , 40) x =
50 x
50 x y
90
x 500
90
( 50 ) y
90
6 x + y = 90 y
40 6x+5y = 500
Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50 , 40)
Fungsi objektif Titik Pojok
f x y x y
( , ) 800 . 000 700 . 000 (x , y) 500 500 500
, f , 800 . 000 700 . 000 ( ) 66 . 666 . 667
6
6
6
(0 , 90)
f ,
90 800 . 000 ( ) 700 . 000 ( 90 ) 63 . 000 . 000 (50 , 40)
f
50 , 40 800 . 000 ( 50 ) 700 . 000 ( 40 ) 68 . 000 . 000 .... Pendapatan maksimal
Pembahasan Soal-soal: 1.
Pedagang sepatu mempunyai kios yang hanya cukup menampung 40 pasang sepatu. Sepatu jenis I dibeli dengan harga Rp60.000,00 setiap pasang, sedangkan sepatu jenis II dibeli dengan harga Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …. Pembahasan: Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y maka, model matematikanya:
x y
tentang daya tampung : 40 ... (1) hanya cukup 40 berarti tentang modal : 60 . 000 x 80 . 000 y 3 . 000 . 000 ... (2) uang modal berarti disederhanakan menjadi
3 x y 4 150 syarat mutlak: x dan y
Jadi, yang benar pilihan C.
II III
IV V
6
2 3 ,
4 2 y x y x y x (E) 4.
Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimal dari fungsi objektif
y x y x f
6 , 5 ) ( adalah ....
x y
3
6
3 I
5
II III
Pembahasan: Karena daerah penyelesaiannya di bawah berarti sama-sama
x y
2
3
2
4
x y
4
6
5
5
. Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika yang benar adalah , ,
Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ….
x y
x
3
6
3 I
IV V
5 3x + 5y =15
6x + 3y =18 2x + y =6
x y
2
3
2
4 2x + 4y = 8
Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier
5 3 y x , 6 2 y x , x , dan y adalah daerah I 3.
6
2
15
5
3
y x y x y x
ditunjukkan pada gambar di bawah ini dengan nomor daerah ….
Pembahasan: Untuk menentukan atau , kita lihat dari posisi daerah penyelesaiannya. Jika daerah penyelesaiannya di sebelah kiri atau bawah, maka . Sedangkan jika daerah penyelesaiannya di sebelah kanan atau atas, maka . Berarti daerah yang memenuhi:
15
- 2y = 4 3x + 2y = 6 2.
Pembahasan:
y
Titik potong: 2 x y 3 12 | x1 2 x y 3
12 →
5
x y
5 | x3 3 x y 3
15 →
(3 , 2)
4 = x
3 x
3 x
6
5
x
y
5 4x + 6y = 24
( 3 ) y
5 5x + 5y = 25
2x + 3y = 12
y x + y = 5
5
3
y
2 (3 , 2)
Titik Pojok Fungsi Objektif:
f ( x , y )
5 x 6 y (x , y) (5 , 0) f ( 5 , ) 5 ( 5 ) 6 ( )
25 (3 , 2) f
( 3 , 2 ) 5 ( 3 ) 6 ( 2 ) 15 12 27 .... Nilai maksimal (0 , 4) f ( , 4 ) 5 ( ) 6 ( 4 )
24 5. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m kain sutera.
Bahan kain katun dan kain sutera yang tersedia masing-masing adalah 70 m dan 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp25.000,00 per pakaian, sedangkan pakaian jenis II Rp50.000,00 per pakaian. Agar ia memperoleh laba sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II masing- masing dibuat sebanyak .... Pembahasan: Jika: banyak pakaian jenis I = x banyak pakaian jenis II = y maka, model matematikanya:
Pakaian Pakaian Tersedia Simbol
Jenis I (m) Jenis II (m) Kain katun
2
5 70 karena tersedia Kain sutera
4
3 84 karena tersedia Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan/model matematika:
x
Kain katun: 2 y 5 70 .... (1) Kain sutera: 4 x y 3 84 .... (2) Banyak pakaian jenis I dan II tidak mungkin negatif, berarti:
x .... (3) y .... (4)
Grafik daerah penyelesaian:
y
Titik potong kedua garis: 2 x y 5 70 |x2 4 x y 10 140
→
x y x y
4
3 84 |x1 →
4
3
84 7 y
56
28 (15 , 8)
56
14
y x
7
21
35 2x + 5y = 70 y
8 4x + 3y = 84
x
2 y 5
70 2 x 5 ( 8 )
70
x 2 70
40 2 x
30
30 x
2
2. Sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah yang diarsir pada grafik di bawah ini adalah ….
20
, 4 , 1 ,
6 5 y x y x y x B.
30
A. , 4 , 1 ,
Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada grafik di bawah ini adalah ….
y x y x y x y x 3.
10
2 5 , 12 2 ,
, ,
6 5 y x y x y x C. , 4 ,
y x y x y x y x E.
10
2 5 , 12 2 ,
20
, ,
y x y x y x y x D.
10
5 2 , 12 2 ,
30
1 ,
, ,
4
4
10
10
12
6
x y
5
6
1
30
x y
6 5 y x y x y x
30
1 ,
6 5 y x y x y x E. , 4 ,
30
D. , 4 , 1 ,
5 y x y x y x
6
20
y x y x y x y x C.
15 x
f (0 , 14) ) 700 000 .
5 6 y x y x y x B. ; ;
80
60 2 ;
A. ; ;
Seorang pembuat kue ingin membuat 2 jenis kue, yaitu kue jenis I dan kue jenis II. Kue jenis I memerlukan 250 gram tepung terigu dan 50 gram mentega, sedangkan kue jenis II memerlukan 300 gram tepung terigu dan 100 gram mentega. Tepung terigu yang tersedia tidak melebihi 4 kg dan mentega 3 kg. Jika banyak kue jenis I adalah x dan kue jenis II adalah y , maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi persamaan di atas adalah ....
LATIHAN UN: 1.
( 14 , f Laba terbesar Rp775.000,00 dengan membuat 15 pakaian jenis I dan 8 pakaian jenis II.
. 000 14 ( ( 50 ) 000 . 25 )
. 000 15 ( 25 ) 8 , 15 (
80
. 000 775 000 . 400 000 . 375 ) . 000 8 ( 50 )
, 25 ) 21 ( f (15 , 8)
50 ) . 000 21 (
(21 , 0) ) 525 000 . ( 000 .
. 50 000 , 25 ) (
y x y x f 000 .
Fungsi objektif
Titik Pojok (x , y)
Sehingga titik potong kedua garis tersebut (15 , 8)
60 2 ;
5 6 y x y x y x C. ; ;
10
A.
5 2 , 12 2 ,
20
, ,
y x y x y x y x B.
10
5 2 , 12 2 ,
20
, ,
6 5 y x y x y x
60 2 ;
80
60 2 ;
6 5 y x y x y x E. ; ;
80
60 2 ;
D. ; ;
y x y x y x
6 5
80
- –1
2 y 6 ; 3 y 3 ; x ; ; , Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksaman linier adalah ....
x x y x y R 4.
y
6 III A.
I B.
II II
IV C.
III D.
V V
x
3
1 I
- –3 5.
Daerah yang diarsir pada grafik di bawah ini merupakan penyelesaiaan dari suatu sistem pertidaksamaan. Nilai minimum dari fungsi objektif f ( x , y ) 7 x 6 y pada grafik di bawah ini adalah ….
y
6
4
(2,2) x
3 4 A.
21 B.
24 C.
26 D.
28 E.
36 6. Perhatikan grafik daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier berikut!
y
4
2 x
6
4 Nilai maksimal fungsi f ( x , y ) x 5 y dari grafik di atas adalah ....
A.
12 B.
10 C.
8 D.
6 E.
4
7. Daerah yang diarsir pada grafik di samping merupakan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier. Nilai minimum dari fungsi objektif
Rp16.000.000,00 B. Rp18.000.000,00 C. Rp20.000.000,00 D.
Rp750.000,00 E. Rp900.000,00 10. Seorang penjahit akan membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis I memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bermotif, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bermotif.
Bahan yang tersedia adalah 30 m kain polos dan 15 m kain bermotif. Penjahit tersebut mendapatkan keuntungan dari sebuah pakaian jenis I sebesar Rp15.000,00 dan dari sebuah pakaian jenis II sebesar Rp20.000,00 Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah ….
A.
Rp600.000,00 B. Rp450.000,00 C. Rp330.000,00 D.
Rp300.000,00 E. Rp135.000,00 11. Sebuah pesawat terbang komersil memiliki tempat duduk tak lebih dari 30 orang untuk kelas utama dan kelas ekonomi. Setiap penumpang kelas utama hanya boleh membawa barang seberat 90 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya boleh membawa barang seberat 45 kg. Kapasitas barang di bagasi pesawat hanya 1.800 kg. Harga tiket penumpang kelas utama dan kelas ekonomi berturut- turut adalah Rp800.000,00 dan Rp600.000,00. Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan penerbangan tersebut dari penjualan tiket adalah ….
A.
Rp24.000.000,00 E. Rp32.000.000,00 12. Suatu hotel memiliki 72 kamar yang terdiri atas kamar tipe I dan kamar tipe II. Kamar tipe I berdaya tampung 2 orang dan kamar tipe II berdaya tampung 3 orang. Daya tampung kamar keseluruhan adalah 180 orang. Apabila sewa kamar tipe I Rp250.000,00 per hari dan kamar tipe II Rp150.000,00 per hari. Pendapatan maksimal yang diperoleh oleh pengelola hotel adalah....
A.
A.
Rp9.000.000,00 B. Rp10.800.000,00 C. Rp13.500.000,00 D.
Rp14.400.000,00 E. Rp18.000.000,00
x y
4
8
4
Rp300.000,00 B. Rp375.000,00 C. Rp480.000,00 D.
18 9. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat dua model pakaian, yaitu pakaian model I dan model II. Untuk pakaian model I memerlukan 1 m kain putih dan 3 m kain berwana, sedangkan pakaian model II memerlukan 2 m kain putih dan 1 m kain berwarna. Sebuah pakaian model I dijual dengan harga Rp75.000,00, sedangkan sebuah pakaian model II dijual dengan harga Rp60.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut apabila semua pakaian yang dibuat terjual habis adalah ….
y x y x f
56 8.
2 , 7 ) (
adalah ....
A.
8 B.
12 C.
20 D.
28 E.
Nilai maksimum dari fungsi objektif
17 E.
y x y x f
3 , 2 ) ( yang memenuhi sistem pertidaksamaan
y 10 2 x , y 7 x , x , y , serta x dan y bilangan riil adalah ….
A.
14 B.
15 C.
16 D.
6