Skala multidimensi - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

SKALA MULTIDIMENSI

S k r i p s i

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika

Oleh:

Yuda Esdie Sutanto NIM : 993114008

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

MULTIDIMENSIONAL SCALING

An undergraduate Thesis

Presented spartial fulfillment of the reqirements For the degree of Sarjana sains

In mathematics programme

By:

Yuda Esdie Sutanto Student Number: 993114008

MATHEMATICS PROGRAMME DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Semalam aku bermimpi berjalan menyisir pantai bersama Tuhan .

Aku melihat dua pasang jejak kaki , milikku dan milik Tuhan . Aku menoleh kebelakang , kulihat saat-saat sedih dan mencekam , hanya ada sepasang jejak kakiku saja .

Aku sangat kecewa dan bertanya kepadaNya , “ Tuhan dimanakah Engkau ? Mengapa pada waktu aku membututuhkanMu , Justru Engkau meninggalkanku ? ” Tuhan menjawab ; “ Anakku , engkau sangat Kukasihi , ketika

Engkau dalam bahaya , hanya terlihat sepasang jejak kaki , Karena waktu itu Aku menggendongmu “.

Karya ini ku persembahkan untuk Tuhan Yesus & Bunda Maria Papa & Mamaku DIAN C . RUSLIADI , S.SI

Mas Roesdy & Mbak Ipah Mbak Diniek & Dian Dik Ferra & Ucok Semua yang kukasihi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian dari karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah

Yogyakarta , Juli 20007 Penulis

Yuda Esdie Sutanto

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRAK

Penskalaan Multidimensional adalah suatu metode analisis multivariat yang digunakan untuk menyederhanakan data mentah menjadi suatu tampilan grafis. Data masukan berupa persepsi obyek terhadap beberapa stimuli. Data berada pada skala ordinal, interval atau rasio. Bentuk dasar data masukan adalah nilai kedekatan. Nilai kedekatan mengacu pada ukuran nilai kesamaan atau nilai ketidaksamaan antar semua pasangan stimuli. Nilai kedekatan dapat diperoleh secara langsung, dengan meminta obyek menilai tingkat kesamaan setiap pasangan stimuli, dan secara tidak langsung, dengan meminta obyek untuk memperngkatkan stimuli berdasar beberapa adjektif deskriptor. Cara lain untuk memperoleh nilai kedekatan adalah menyakan tingkat kesukaan atau preferensi terhadap semua stimuli.

Langkah pertama metode ini adalah menentukan serangkaian koordinat stimuli yang disebut konfigurasi awal. Jarak antara setiap koordinat stimuli dihitung dan dievaluasi hubungannya dengan nilai kedekatan awal. Jika tingkat kesalahannya besar, koordinat dipindahkan dan nilai jarak yang dihitung ulang. Proses ini diulang sampai nilai jarak dianggap sesuai dengan data masukkan dengan acuan nilai STRESS. Semakin rendah nilai STRESS, semakin besar kesesuaian konfigurasi dengan data masukan. Konfigurasi yang paling sesuai disebut peta persepsi. Kemudian peta persepsi ini diinterpretasi sesuai dengan tujuan analisis.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ABSTRACT

Multidimensional Scaling is a multivariat analysis method used to reduce raw data into a visual representation. The input data is the perception of objects to some stimuli. The datas range from ordinal, interval to ratio scale. The basic input is proximities value. Proximities value refer to similarity or dissimilarity values between a pair of stimuli. Proximities value can be generated directly by asking objects for similarity judgments among all pairs of stimuli adjectives or indirectly by asking objects for rating the stimuli on some descriptor adjectives. Another way to generate proximities value is by asking objects’ preferences of stimuli.

The first step of the method is determining a set of coordinates called initial configuration. Distances between every pair of stimuli from this configuration is calculated and then evaluated relative to the original proximities values. If the erros is large, the coordinates are moved and distances are recomputed. This procces is repeated until the distance values adequately fit the input data on the basic of STRESS. The smaller STRESS value, the fitter configuration is. The fittest configuration is called perceptual map. Then, the perceptual map is interpretated according to the aims of analysis.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Puji syukur dan terimakasih kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan kasih, berkat dan lindunganNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” SKALA MULTI DIMENSI” ini dengan baik.

Penyusunan skripsi ini ditujukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sain (S.Si) pada program studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sanata Dharma.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis menyadari bahwa skripsi ini dapat terselesaikan atas bantuan, bimbingan dan dorongan yang diberikan oleh berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini penulis ingin mengucapkan rasa terimakasih yang tulus kepada:

1. Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria atas terkabulnya permohonanku melalui doa Novena Tiga Salam Maria serta atas limpahan kasihNya yang tak pernah berhenti.

2. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku Dekan FMIPA serta dosen pembimbing skripsi yang telah sabar dan penuh pengertian dalam membimbing dan mengarahkan penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini.

3. Bapak Y. G. Hartono, S.Si M.Si., selaku Kaprodi Matematika atas bimbingan dan masukkan saran kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

4. Semua staf dan pengajar FMIPA atas ilmu dan bimbingannya selama penulis menjalani masa perkuliahan dan dalam penulisan skripsi ini.

5. Mas Tukijo dan staf skretariat FMIPA atas pelayanan yang diberikan selama penulis menjalani masa perkuliahan dan dalam penulisan skripsi ini.

6. Mamaku (Sujilah HS) dan Papaku (Heru Sutanto) tercinta yang selalu memberikan kebebasan, kesempatan dan pengertian serta doa demi terselesainya skripsi ini.

7. Mas Roesdy, Mbak Diniek dan Dik Ferra atas kerja sama, motivasi dan doanya.

8. Keluarga besar Kartodimejo dan Mangun Sukarto yang telah memberikan bantuan moril maupun material.

9. Keluarga besar Lili Rusliadi( Papa dan Mama mertua tercinta) yang selalu memberi motivasi.

10. Dian Christiana Rusliadi, S.Si. yang selalu setia menemaniku dan mendampingiku. Terimakasih atas kasih sayang, perhatian dan pengorbanan yang telah kau berikan untukku.

11. Adik-adikku Wawan,Lina ,Tacik, gek do lulus yo.

12. Mas No, Mbak Lilik, Dik Dea dan Diaon.

13. Teman – teman seperjuanganku Hartanto, Thomas, Naga, Wondo, Antok, Andri, Nadi, Tius, Desi, Nia, Novi, Yoslin, Mike, Hebi, Kris,Fera,Lia, Mayang dan semua angkatan “99.

14. Temen-temen kuliahku Angkatan “98, “00, “01.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

15. Cah-Cah kuncinan Ebleh, Gatot, Fosil, Gawul, Anwar, Bobi, Bejo, Tobil, Ateng, Asti, Tiara,Susi,Neno dan ketua GENG Pak Jasari trimakasih atas kebersamaannya. “Hidup Kuncinan”

16. Cah-cah pasar Tole, Kiki, Ari dan semua Kru UD MAYAR

17. Dan semua orang yang telah memberikan bantuan dan belum dapat kusebut satu persatu. Terima kasih banyak atas segala bantuannya.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam skripsi ini. Sehingga penulis dengan lapang dada menerima kritik dan saran serta masukan yang membangun dari pembaca, agar skripsi ini menjadi lebih baik dan berguna bagi semua orang.

Yogyakarta, 2007 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL………………..……………………………………………...i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………..ii HALAMAN PENGESAHAN……………………………………………………iii HALAMAN PERSEMBAHAN.............................................................................iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………………………..v ABSTRAK………………………………………………………………………..vi ABSTRACT……………………………………………………………………...vii KATA PENGANTAR…………………………………………………………..viii DAFTAR ISI……………………………………………………………………...xi

BAB I PENDAHULUAN…………………………………………………………1 A. Latar Belakang Masalah…………………………………………………...1 B. Rumusan Masalah…………………………………………………………3 C. Batasan Masalah…....……………………………………………………...3 D. Tujuan Penulisan…………………………………………………………..4 E. Metode Penulisan……………………………………………………….....4 F. Manfaat Penulisan…………………………………………………………5 G. Sistematika Penulisan……………………………………………………...5

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR-DASAR TEORI………………………………………………....7 A. Analisis Data Multivariat………………………………………………….7 B. Jenis-jenis Data Hasil Pengukuran………………………………………...8 C. Matriks…………………………………………………………………...12 D. Ruang-n Euclidian……………………………………………………….15 E. Eigennilai dan Eigenvektor……………………………………………....15 F. Korelasi Sederhana……………………………………………………….16 G. Korelasi Ganda…………………………………………………………...20 BAB III PENSKALAAN MULTIDIMENSI…………………………………….22 A. Proses Kerja Penskalaan Multidimensi…………………………………..24 B. Penyusunan Penskalaan Multidimensi…………………………………...28

1. Pemasukan Data…………………………………………………28

2. MDS Matrik……………………………………………………..34

3. Menguji Reliabilitas dan Validitas..……………………………..38

4. Penentuan Banyaknya Dimensi………………………………….39

5. Intepretasi Hasil dan Penamaan Dimensi………………………..42

BAB IV PENERAPAN PENSKALAAN MULTIDIMENSI……………………47 BABV KESIMPULAN…………………………………………………………..72 DAFTAR PUSTAKA .......………………………………………………………73 LAMPIRAN……………….…..………………………………………………...74

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan pada permasalahan

dalam mengintepretasikan hubungan antar variabel, terutama pada saat kita akan menarik kesimpulan hubungan dari variabel tersebut. Apalagi ketika kita berhadapan dengan variabel yang cukup banyak, kita akan mengalami lebih banyak kesulitan dalam mengiterpretasikan hubungan antar variabel tersebut .

Dalam pemecahan masalah tersebut kita sangat membutuhkan suatu teknik atau metode untuk mengolah atau menganalisis data, terutama metode yang mudah dalam penggunaannya maupun intepretasi kesimpulannya. Kita telah mengenal berbagai macam teknik atau metode dalam mengolah data yang cukup banyak, baik yang telah diajarkan dalam perkuliahan maupun yang tidak diajarkan dalam perkuliahan. Dalam skripsi ini penulis akan memperkenalkan salah satu teknik atau metode dalam menganalisis data yaitu skala multidimensi atau sering disebut dengan MDS (Multidimensional Scaling). Pada dasarnya MDS merupakan salah satu teknik analisis multivariat yang dapat membantu kita dalam menginterpretasikan atau menemukan hubungan antara beberapa variabel dengan hanya melihat perkiraan jarak antar variabel tersebut atau dengan melihat peta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

spasial yang dihasilkan yang mewakili persepsi dan preferensi responden . Selain itu MDS juga dapat membantu kita untuk mengenali (mengidentifikasi) dimensi kunci yang mendasari evaluasi objek dari responden tanpa mendeskripsikan sifat atau atribut-atribut terlebih dahulu. Salah satu kelebihan dari MDS adalah fleksibilitasnya terhadap tipe data yang akan kita olah. Selain itu MDS juga memiliki berbagai tipe penyelesaian, tipe tersebut dikelompokkan dalam dua kelompok yaitu tipe metrik dan tipe non-metrik, dimana tipe non-metrik lebih bersifat terbatas dari pada tipe matrik. Selain itu kelebihan MDS dibanding dengan teknik-teknik mulivariat lainnya, MDS dapat dapat dilakukan pada tingkat responden secara individu (disebut Disaggregate Analysis) tidak harus pada tingkat agregat(disebut Aggregate Analysis)

Dengan menggunakan metode MDS solunsi yang dihasilkan lebih siap dan mudah dimengerti sehingga MDS telah digunakan dalam berbagai bidang. Salah satu bidang yang telah menggunakan prosedur MDS adalah bidang riset pemasaran untuk membandingkan posisi relatif suatu objek dengan objek lainnya berdasarkan persepsi konsumen, maka dengan menggunakan prosedur MDS kita dapat mengetahui apakah produk tersebut relatif sama atau berbeda dengan produk sejenis lainnya, atribut apa saja yang menjadi keunggulan dan kekurangan produk tersebut dibandingkan dengan produk pesaingnya, sehingga kita dapat menyimpulkan suatu strategi atau keputusan yang seharusnya dilakukan agar dapat berkompetisi dengan produk lain. Selain telah digunakan dalam bidang pemasaran MDS juga telah digunakan dalam bidang psikologi yaitu digunakan dalam pendiskripsian sifat atau ciri-ciri seseorang dan masih banyak lagi penerapan MDS dalam kehidupan sehari-hari.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Walaupun metode MDS bukan merupakan suatu prosedur yang terbaik dalam menganalisis suatu data, tetapi metode MDS dapat menjadi salah satu alternatif lain dari metode analisis. Dari uraian diatas metode MDS sangatlah penting dalam membantu kita dalam menginterpretasikan dan menarik suatu kesimpulan dari data yang kita miliki. Berdasarkan hal tersebut maka penulis tertarik untuk membahas MDS secara lebih mendalam.

B. Rumusan Masalah

Skala multidimensi merupakan salah satu metode analisis multivariat yang sangat mudah dalam penggunaannya dan dapat diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu. Maka penulis merumuskan masalah sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan MDS ?

2. Bagaimana cara kerja dari metode MDS ?

3. Bagaimana mengintepretasikan suatu masalah dalam data dengan menggunakan metode MDS ?

4. Menafsirkan parameter dalam dan penafsiran bermacam-macam model MDS?

C. Batasan Masalah

Dalam penulisan yang akan dibahas adalah tipe dari MDS , maka penulis membatasi pembahasan topik hanya sampai dengan :

1. Membahas bagaimana penyelesaian suatu masalah dengan menggunakan metode MDS tipe metrik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

2. Jenis-jenis permasalahan yang seperti apa yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode ini.

3. Tidak membahas secara khusus tipe-tipe yang terdapat dalam metode MDS.

4. Tidak membandingkan metode MDS dengan metode yang lainnya dalam penyelesaian suatu masalah.

Adapun pembatasan ini bertujuan agar pembaca memahami betul tentang metode MDS dan penerapannya dalam suatu permasalahan.

D. Tujuan Penulisan

Secara umum penulisan tugas akhir ini bertujuan untuk memperkenalkan suatu teknik analisis data. Tujuan yang lebih spesifik dari penulisan ini adalah:

1. Memahami mengenai apa dan bagaimana MDS itu dapat membantu kita dalam menginterpretasikan hubungan antar variabel.

2. Memahami langkah-langkah dalam MDS.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang akan digunakan dalam menyusun tulisan ini adalah dengan metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan judul dan segala permasalahan yang berhasil diselesaikan dengan metode ini, serta melihat perkembangan penggunaan metode MDS melalui internet.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

F. Manfaat Penulisan

Penulisan ini dapat digunakan sebagai sarana penerapan teori dalam perkuliahan, serta penulisan ini dapat menjadi bahan informasi bagi pembaca dan pihak lain yang membutuhkan. Hasil penulisan ini masih dapat dikembangkan atau dapat digunakan sebagai acuan penulisan lainnya.

G. Sistematika Penulisan

Dalam penulisan skripsi ini penulis akan membagi atas beberapa bab, yaitu:

BAB I. PENDAHULUAN Dalam bab ini diuraikan latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat serta sistematika penulisan. BAB II. DASAR-DASAR TEORI Dalam bab ini akan uraikan beberapa teori yang berhubungan langsung dengan isi penulisan sehingga mempermudah kita dalam memahami isi tulisan ini

BAB III. PENSKALAAN MULTIDIMENSI Dalam bab ini akan diuraikan tentang beberapa tipe dari MDS,tipe data yang dapat digunakan dalam MDS serta langkah-langkah menggunakan MDS Metrik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB IV. PENERAPAN PENSKALAAN MULTIDIMENSI Dalam bab ini akan diuraikan salah satu penerapan MDS dalam kehidupan sehar-hari. Sehingga kita lebih memahami kelebihan dan kekurangan dari MDS. BAB V. KESIMPULAN Dalam bab ini penulis mencoba menyimpulkan keseluruan dari hasil penulisan ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II DASAR-DASAR TEORI Sebelum membahas tentang skala multidimensi, terlebih dahulu akan

dibahas beberapa syarat sebagai landasan teori yang berhubungan dengan skala multidimensi. Sehingga kita lebih mudah dalam memahami skala multidimensi .

A. Analisis Data Mutivariat

Multidimensional Scaling (MDS) adalah salah satu metode dari analisis data multivariat. Analisis data multivariat secara sederhana dapat didefinisikan sebagai aplikasi metode-metode yang berhubungan dengan sejumlah besar pengukuran yang dibuat untuk setiap obyek dalam satu atau lebih sempel secara simultan. Dengan kata lain, analisis data multivariat mengukur relasi simultan antar variabel. Secara umum metode-metode dalam analisis data multivariat digolongkan menjadi dua kelompok. Kelompok pertama adalah metode-metode dependen. Metode-metode dependen terpusat pada mencari asosiasi dari dua himpunan variabel di mana salah satu himpunan adalah realisasi dari suatu ukuran dependen. Dengan kata lain metode-metode dependen berusaha mencari atau memprediksi ukuran satu atau lebih kriteria berdasar himpunan variabel predictor. Yang termasuk dalam kelompok ini adalah Multiple Regression, Analisis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Diskriminan, Analisis Logit, Multivariate Analysis-of-Variance (MANOVA) dan

Canonical Correlation Analysis . Kelompok kedua adalah metode-metode

interdependen. Metode-metode interdependen terpusat pada asosiasi mutual antar semua variabel tanpa membedakan tipe-tipe variabel. Secara umum, metode- metode ini tidak memberikan prediksi melainkan mencoba memberikan gambaran mengenai struktur yang mendasari data dengan cara menyederhanakan kompleksitas atau dengan mereduksi data. Yang termasuk dalam kelompok ini adalah Principal Components Analysis, Analisis Faktor, MDS, Analisis Kluster, Pemodelan Loglinear.

B. Jenis-jenis data hasil pengukuran

Dalam penerapan analisis data multivariat, harus sangat diperhatikan jenis- jenis data pengukuran. Suatu metode kadang tidak dapat diaplikasikan untuk semua jenis data. Penerapan metode secara tepat dapat terjadi hanya jika pengukuran data berada pada skala yang tepat. Pada dasarnya, perbedaan skala pengukuran data berpengaruh pada pengkategorian asumsi-asumsi dasar mengenai hubungan angka-angka yang merepresentasikan sifat-sifat obyek dan pentingnya operasi matematika terhadap angka-angka tersebut. Secara umum, jenis-jenis data adalah:

1. Data Nominal

Suatu nilai hasil pengukuran disebut berskala nominal jika bilangan tersebut berfungsi sebagai pengidentifikasi yaitu pembeda antara satu obyek dengan obyek lain. Perbedaan bilangan menunjukkan adanya obyek yang terpisah dan tidak

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

sama. Selain untuk identifikasi, bilangan dapat dikatakan berada pada skala nominal apabila digunakan untuk klasifikasi atau kategorisasi. Contoh penggunaan data nominal adalah kategorisasi jenis kelamin. Jika obyek berjenis kelamin laki-laki, obyek diberi nilai 0. Jika obyek berjenis kelamin wanita, obyek diberi nilai 1. Bilangan 0 untuk obyek laki-laki tidak menunjukkan nilai yang lebih rendah dari bilangan 1 yang diberikan pada nilai subyek wanita. Karena fungsi pengukuran dalam hal ini adalah sebagai alat identifikasi, perubahan atau penggantian nilai nominal dapat dilakukan dengan bebas selama tidak mengaburkan identifikasi atau kategorisasi semula. Contohnya seperti pada contoh sebelumnya, obyek laki-laki bisa diberi nilai 9 dan atau obyek wanita diberi nilai 2 atau 7. Perubahan nilai tanpa diikuti perubahan fungsi identifikasi dan kategorisasi obyek semacam ini disebut transformasi isomorfik. Proses statistik yang diperbolehkan untuk diterapkan pada data nominal adalah menghitung banyaknya kasus, mencari modus dan korelasi kontingensi seperti

Chi-Square dan Fisher’s exact test.

2. Data Ordinal

Suatu hasil pengukuran disebut berada pada level ordinal jika nilai berfungsi untuk menunjukkan perbedaan jenjang kualitatif. Perbedaan nilai antar obyek tidak menunjukkan perbedaan kuantitatif tetapi hanya menunjukkan perbedaan kualitatif. Bila terdapat jenjang kualitatif 1, 2 dan 3, dapat dikatakan 3>2 dan 2>1 serta 3>1. Akan tetapi, jarak antara 3 dan 2 dengan jarak antara 2 dan 1 tidak dapat dikatakan sama. Jarak jenjang antara dua nilai yang berurutan tidak selalu sama. Nilai 0 dalam skala ordinal tidak memiliki nilai mutlak. Contoh penerapan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

data ordinal adalah pemberian rangking misalnya untuk siswa-siswi dalam suatu kelas. Jenjang kualitatif antara rangking pertama dengan rangking kedua belum tentu sama dengan jenjang kualitatif antara rangking kedua dengan rangking ketiga. Karena jarak antara dua nilai yang berurutan tidak selalu sama secara kualitatif maka setiap nilai jenjang dapat diganti dengan nilai lain selama urutan jenjang yang satu dengan jenjang yang lain tidak berubah. Penggantian ini disebut transformasi monotonik. Transformasi monotonik mengubah nilai tetapi tidak merubah urutan bilangan. Operasi statistik yang diijinkan untuk data ordinal adalah median, persentil, korelasi rangking, Sign Test dan Run Test.

3. Data Interval

Suatu hasil pengukuran disebut berada pada level interval jika hasil pengukuran tersebut adalah hasil pengukuran ordinal yang memiliki jarak antarjenjang yang tetap atau selalu sama. Bila terdapat jenjang kualitatif 1, 2 dan 3, maka secara kualitatif dan kuantitatif jarak antara 1 dan 2 adalah sama dengan jarak antara 2 dan 3. Seperti hasil pengukuran ordinal, data interval tidak memiliki harga 0 mutlak. Salah satu contoh hasil pengukuran interval adalah hasil pengukuran suhu pada thermometer. Bilangan-bilangan pada thermometer memperlihatkan jenjang dan kadar suhu yang berinterval sama. Dapat dikatakan bahwa 36 C adalah 6 C lebih panas daripada 30

C. Sedangkan 12 C adalah 6 C lebih dingin daripada

18 C. Akan tetapi, tidak dapat dikatakan bahwa 36 C adalah tiga kali lebih panas daripada 12 C. Bilangan 0 pada pengukuran suhu tidak bersifat mutlak. Artinya suhu 0 C tidak berarti tidak memiliki panas sama sekali. Perbedaan bilangan pada level interval memiliki arti perbedaan kualitatif dan kuantitatif. Data pada level

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

interval dapat diolah dengan operasi hitung penambahan dan pengurangan. Data hasil pengukuran interval akan bersifat invariant jika dikenai transformasi linier yaitu transformasi bilangan dengan persamaan garis lurus yang dirumuskan sebagai y=a+bx. Operasi statistik yang dapat digunakan untuk data interval adalah mean aritmatik, standar deviasi, deviasi rata-rata, korelasi product-moment, t-test dan F-test.

4. Data Rasio

Skala pengukuran rasio pada dasarnya adalah skala pengukuran interval yang memiliki nilai 0 mutlak dan bilangan-bilangannya dapat diperbandingkan secara mutlak. Contoh data rasio adalah data hasil pengukuran berat, panjang, banyaknya benda dan lain sebagainya. Jika kita nyatakan panjang benda adalah 0 cm, artinya benda itu tidak memiliki panjang sama sekali. Nilai 0 pada skala ini memang menunjukkan bahwa atribut yang diukur sama sekali tidak ada pada obyek yang bersangkutan. Demikian pula, dapat dikatakan bahwa obyek dengan panjang 15 cm adalah lima kali lebih panjang dari pada obyek dengan panjang 3 cm. Data berlevel rasio dapat dikenai keempat operasi hitung yaitu perkalian, pembagian, penambahan dan pengurangan. Data rasio bersifat invarian ketika dikenai transformasi dengan rumusan Y=cX dengan c adalah bilangan konstan. Operasi statistik yang diperbolehkan untuk data rasio adalah koefisien variasi, mean geometris dan mean harmonis.

C. Matriks

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Suatu matriks berukuran m  n atau matriks m  n adalah suatu jajaran bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom. Matriks tersebut dinotasikan dalam bentuk:

a a ... a

  ₁₁ ₁₂ _{1 n}  

a a ... a

 ²¹ ²² ^{2 n }

A 

  ... ... ... ...  

a a ... a _m _{1 m} _{2 mn}

  Setiap bilangan a dalam matriks ini dinamakan elemen matriks. Indeks j dan _jk k berturut-turut menyatakan baris dan kolom dari unsur matriks tersebut.

1. Matriks Kuadrat ( Square Matrix)

Suatu matriks A dapat dikalikan dengan dirinya sendiri membentuk matriks kuadrat A jika dan hanya jika A adalah matriks bujursangkar. Hasil kali A.A

dalam kasus ini dinotasikan sebagai A . Dengan cara yang sama didefinisikan

pangkat dari suatu matriks bujursangkar yaitu A =A.A , A =A.A dan seterusnya

2. Matriks Tranpos (Tranpos Matrix)

Jika baris dan kolom matriks A ditukar, matriks baru yang dihasilkan disebut

transpos dari A dan dinyatakan sebagai A . Dengan lambang ditulis jika A= (a jk )

maka A = (a kj ). Untuk matriks transpos berlaku hukum:

T T T (A+B) =A +B T T. T (AB) =B A T T (A ) =A

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

3. Matriks Simetris (Symetric Matrix)

Suatu matriks bujursangkar dinamakan simetris atau disebut skew-simetris jika

A =-A. Jika semua unsur a dari suatu matriks diganti sekawannya a , maka

_jk _jk

matriks yang diperoleh dinamakan kompleks sekawan dari matriks A dan dilambangkan dengan A . Suatu matriks bujursangkar A yang sama dengan

transpos kompleks sekawannya atau A= A dinamakan matriks Hermite. Jika

T A= -A , A disebut matriks skew-Hermite.

4. Invers suatu Matriks

Jika untuk suatu matriks bujursangkar A terdapat suatu matriks B di mana AB=1 ₁



maka B disebut invers dari matriks A dan dinyatakan sebagai A . Jika A adalah matriks bujursangkar tak singular berukuran n maka terdapat tepat satu invers

 ^{1 } ^{1 } ¹ A A A = A A=I di mana

sehingga _T ₁ ( A ) _jk

 A = det( A ) _T

di mana A adalah matriks kofaktor dari A dan A = A adalah

  _{jk jk jk jk}    

transposnya serta det(A) adalah determinan dari matriks A. Invers matriks mempunyai sifat sebagai berikut: ₁ ₁ ₁

   (AB) =B A

 ¹ (A )=A _T ₁ _{1 T}

  (A ) =(A ) _{1 A}  ¹ 

(kA) =

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

5. Determinan Suatu Matriks

Jika A adalah suatu matriks kuadrat berukuran n dan a adalah elemen dari A, _jk suatu determinan berukuran n-1 yang diperoleh dengan menghilangkan semua unsur pada baris ke j dan kolom ke k disebut minor a dan dilambangkan dengan _{j  k} _jk

M . Jika M dikalikan dengan (

1 maka hasilnya disebut kofaktor dari a _{jk jk}  ) _jk dan dilambangkan dengan A . Nilai Determinan suatu matriks didefinisikan _jk sebagai jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian. Dalam lambang ditulis: _n det A= a A _{jk jk}

 _k ₁ 

6. Orthogonalitas

Suatu matriks riil A disebut matriks tegaklurus (orthogonal) jika transposnya sama _{T } _{1 T} dengan inversnya yaitu jika A =A atau A A=I. Suatu matriks kompleks A dinamakan matriks uniter (unitary matrix) jika kompleks sekawan transposnya _{T T}



sama dengan inversnya yaitu jika A atau A A

 A  Jika A danB adalah vektor kolom dengan

a b

 ^{1  } ^{1 }    

A= a , B= b ₂ ₂

       

a b ₃ ₃ _{T T}

    maka A B = a b + a b + a b . A B disebut produk skalar dari A danB. Jika _T ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ A B=0, maka A dan B saling tegaklurus.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI D. Ruang-n Euclidean

Definisi 2.4.1 Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, sebuah ordered-n-tupel

adalah sebuah urutan dari n bilangan riil yaitu (a 1, a

2 ,…,a n ). Himpunan dari semua _n ordered-n-tupel disebut ruang-n Euclidean dan dinyatakan sebagai .



Teorema 2.4.1 Jika u= (u ,u ,….,u ) dan v = (adalah vektor-vektor yang berada

_n ₁ ₂ _n

di  , maka:

a. Perkalian dalam Euclidean (Euclidean inner product) antar vektor u dan vektor v dinyatakan sebagai

u . v  u v  u v  .....  u v ₁ ₁ ₂ _{2 n n} _n

b. Panjang Euclidean vektor u di dalam  dinyatakan sebagai ₁ ₂ ₂ ₂ ₂

u u u u u u

 ( . )    ........  ₁ _{2 n}

E. Eigennilai dan Eigenvektor

Jika A  ( a ) adalah suatu mariks bujursangkar berukuran n  n dan X adalah _jk suatu vektor kolom, persamaan

AX  

di mana λ adalah suatu bilangan, dapat ditulis sebagai:

a a ... a x x

      ₁₁ ₁₂ _{1 n} ₁ ₁      

a a ... a x x

 ²¹ ²² ^{2 n  } ^{2  } ^{2 }   (2.1)

      ... ... ... ... ... ...      

a a ... a x x _n _{1 n} _{2 nn n n}

      atau

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

 ( a   ₁₁ ) x  a x  ...  a x  ₁ ₁₂ ₂ _{1 n n} 

a x  ( a   ) x  ...  a x  ₂₁ ₁ ₂₂ ₂ _{2 n n}

 (2.2)

 .......... .......... .......... .......... .....  

a x  a x  ...  ( a   ) x  _n _{1 n n} _{2 n nn n}

 Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian tak-trivial jika dan hanya jika

a  a ... a ₁₁  ₁₂ _{1 n} a a  ... a ₂₁ ₂₂  _{2 n}

(2.3)  ... ... ... ...

a a ... a  _n _{1 n} _{2 nn}  yang dapat ditulis sebagai

 det  A 

I 

(2.4) yang merupakan suatu persamaan suku banyak berderajat n dalam λ. Akar dari persamaan suku banyak ini disebut eigennilai atau nilai karateristik dari matriks

A. Untuk setiap eigennilai akan ada penyelesaian X  0 yang merupakan suatu

penyelesaian tak-trivial yang dinamakan eigenvektor atau vektor karateristik dari nilai eigennya.

F. Korelasi Sederhana

Didalam kehidupan sehari-hari, kejadian ekonomi dan kejadian lainnya saling berhubungan atau mempengaruhi. Kejadian-kejadian tersebut bisa dinyatakan sebagai perubahan variabel X dan varibel Y. Dimana variabel Y adalah variabel tak bebas (dependent variable) dan X adalah variabel bebas (Independent variable), artinya X berhubungan dengan Y . Apabila variabel X dan Y mempunyai hubungan(korelasi), maka nilai variabel X dapat dipergunakan untuk memperkirakan nilai Y.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

X dikatakan mempengaruhi Y, jika perubahan nilai X akan menyebabkan perubahan nilai Y. Untuk mengetahui kuat tidaknya hubungan antara X dan Y, kita harus menghitung koefisien korelasi atau r yaitu: _n

X X Y Y  

 i  i   _i ₁

 r  _{n n} ₂ ₂ (2.5)

X 

X Y  Y  i   i 

  _{i } _{1 i } ₁ Dimana _n X _i

 _i ₁ 



X  , perkiraan _x _n n Y _i  _i ₁

 Y , perkiraan 

 _y

n Jika r  , maka X dan Y tidak berkorelasi.

Jika <r<0,5, maka hubungan X dan Y lemah positif.

0,5<r<0, maka hubungan X dan Y lemah negatif. Jika 0,5  r<0,75, maka hubungan X dan Y cukup kuat positif.
0,75<r  -0,5, maka hubungan X dan Y cukup kuat negatif.

Jika 0,75  r<0,9, maka hubungan X dan Y kuat positif.

0,9<r  -0,75, maka hubungan X dan Y kuat negatif. Jika 0,90  r<1, maka hubungan X dan Y sangat kuat positif.
1<r  -0,90, maka hubungan X dan Y sangat kuat negatif. Jika r 1 , maka hubungan X dan Y sempurna positif atau negatif.



PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Untuk mengetahui seberapa besar kontribusi dari X terhadap naik turunnya nilai Y ₂ kita harus menghitung suatu koefisien yang disebut koefisien determinasi atau r yaitu _n

  X 

X Y  Y      _{i i} _{2 }  _i ₁

  r  _{n n} ₂ ₂

(2.6)

X 

X Y  Y  i   i 

  _i _{1 i} ₁ ₂  

r merupakan sumbangan (share) dari X terhadap variasi (naik turunnya) Y,

tingkat variasi ditunjukkan oleh besarnya nilai varian Y.

Contoh 1

Dalam contoh ini kita ingin mengetahui seberapa besar hubungan lama tinggal seseorang dikota ‘K’ dengan sikap orang tersebut terhadap kota “K”.

Misal: X= lamanya tinggal di kota “ K” Y= sikap terhadap kota”K” bernilai antara 1 sampai 11. Nilai 11= sangat senang dan 1 = tidak senang. n= 12

Data yang diperoleh sebagai berikut:

2 Y

2 Jawab: ₁₂ X _i

 _i ₁ 

10  12  12  4  12  6  8  2  18  9  17  2 

 X  

12  9,333

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

12 Y _i  _{i } ₁



6  9  8  3  10  4  5  8  2  11  10  2 

Y  

12 ₁₂  6,583

X X Y Y (10-9,33)(6-6,583)+(12-9,33)(9-6,583)+(12-9,33)(8-6,583)   

 i  i   _i ₁



(4-9,33)(3-6,583)+(12-9,33)(10-6,583)+(6-9,33)(4-6,583)
(8-9,33)(5-6,583)+(2-9,33)(2-6,583)+(18-9,33)(11-6,583)
(9-9,33)(9-6,583)+(17-9,33)(10-6,583)+(2-9,33)(2-6,583)

₁₂

₂

(10-9,33) + (12-9,33) + (12-9,33) + (4-9,33) + (12-9,33)

X  X   i 

 _i ₁  ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

(6-9,33) + (8-9,33) + (2-9,33) + (18-9,33) + (9-9,33)

₂

_{2<(17-9,33) + (2-9,33)
₁₂ ₂ = 304,6668. ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ Y  Y  (6-6,58) + (9-6,58) + (8-6,58) + (3-6,58) + (10-6,58)
 i   _i ₁
 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂
(4-6,58) + (5-6,58) + (2-6,58) + (11-6,58) + (9-6,58)
₂ _{2<(10-6,58) + (2-6,58) = 120,9168}
Kemudian dicari nilai r dengan memasukkan ke dalam persamaan (2.5) didapat nilai r = 0,9361
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
karena 0,9  <1 maka hubungan antara X dan Y sangat kuat, artinya makin lama r seseorang tinggal dikota “K” maka orang tersebut cenderung sangat mencintai kota tersebut. ₂ ₂ Dan nilai r   , 9361   , 87628 artinya sikap seseorang terhadap kota “K” 87% dijelaskan oleh lamanya seseorang tinggal dikota tersebut.
G. Korelasi Ganda
Dalam pembahasaan sebelumnya kita telah membahas mengenai korelasi yang mencakup dua variabel yaitu Y (variabel tak bebas) dan X (variabel bebas).
Manfaat dari analisis korelasi adalah untuk mengetahui besarnya pengaruh X terhadap Y. Sebenarnya faktor penyebab perubahan nilai Y bukan hanya dipengaruhi oleh X tetapi masih banyak faktor lain yang bisa mempengaruhi Y. Untuk memperhitungkan pengaruh lebih dari satu variabel bebas X, kita dapat menggunakan analisis korelasi ganda.
Prosedur yang digunakan dalam korelasi ganda sama dengan prosedur yang digunakan dalam korelasi sederhana, bedanya hanya terletak pada banyaknya variabel bebas X yaitu lebih dari satu.
Untuk mengetahui seberapa kuat hubungan antara Variabel Y dengan ₂ beberapa variabel X (}

Skala multidimensi - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI