Value at risk estimation by transformed-kernel distribution and extreme value theory
PENDUGAAN NILAI RISIKO
DENGAN SEBARAN TRANSFORMASI-KERNEL
DAN SEBARAN NILAI EKSTREM
BUDI HARYANTO
PROGRAM STUDI STATISTIKA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012
PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendugaan Nilai Risiko dengan
Sebaran Transformasi-Kernel dan Sebaran Nilai Ekstrem adalah karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Bogor, Oktober 2012
Budi Haryanto
NRP G151090121
ABSTRACT
BUDI HARYANTO, Value At Risk Estimation by Transformed-Kernel
Distribution and Extreme Value Theory. Supervised by AUNUDDIN and ANIK
DJURAIDAH.
Value at Risk (VaR) is measurement tool in financial that is telling how big loss
could be happened for a time scale and a specific probability. Normal distribution
approximation for VaR has been criticized since it is not able to capture the
extreme movements in financial phenomenon. Extremes Value Theory (EVT) gives
better high level quantile estimation than normal distribution modeling for
extremes events that occur as a heavy tail distribution. Kernel density estimation
can be used to assess tail behavior. There are two methods for VaR estimation in
foreign exchange risk in this study, Peak Over Threshold (POT) from Extreme
Value Theory and Transformed-Kernel from kernel density estimation. The
objective of this study is to apply the methods for VaR estimation on daily foreign
currency movements. This study applies the methods to the extreme tails of the
price movements in foreign currency i.e. EUR/USD, GBP/USD, USD/CAD,
USD/CHF, and USD/JPY during January 2001 until March 2012. Normality test
shows that all currency pair are having non normal distribution. Exploration with
data shows that they have fat tails of loss distribution. Peak over threshold
method applied for estimating VaR by generalized pareto distributions parameter
estimation for 10% of higher (or lower) observation as extreme observation.
Transformed-Kernel density estimation with Gauss transformation, Epanecnikov
kernel function and Sheater-Jones method for bandwidth selection applied to
estimating density function that delivers VaR estimation as quantile. The
transformed-kernel has advantage since it doesn’t have to determine which
observations are extremes or not. The performance of the methods was compared
with backtesting. Both methods show equally performance at 95% and 99% VaR.
Keywords: value at risk, extreme value theory, generalized pareto distribution,
kernel density estimation, transformed-kernel, backtesting.
RINGKASAN
BUDI HARYANTO, Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran TransformasiKernel dan Sebaran Nilai Ekstrem. Dibimbing oleh AUNUDDIN dan ANIK
DJURAIDAH.
Nilai Risiko (Value at Risk) merupakan salah satu metode pengukuran
risiko yang banyak dipergunakan dalam mengukur risiko pada bidang keuangan.
VaR memberikan penjelasan jumlah kerugian yang mungkin terjadi pada suatu
periode waktu dengan tingkat peluang tertentu. Pada perkembangan awal, VaR
menggunakan asumsi sebaran normal untuk menduga nilai kuantil pada tingkat
peluang yang ditetapkan, tetapi karena data finansial pada umumnya tidak
memiliki sebaran normal dengan kecenderungan data berekor gemuk, maka
dikembangkan metode yang disebut teori nilai ekstrem yang berfokus pada
amatan yang terletak pada ujung sebaran. Metode yang menjelaskan perilaku
amatan yang terletak di atas suatu nilai ambang (peak over threshold) telah
banyak diterima sebagai metode standar untuk analisis nilai ekstrem.
Perilaku data di ujung sebaran juga dapat dijelaskan dengan pendugaan
sebaran kernel. Perbaikan kinerja sebaran kernel pada ujung sebaran dilakukan
dengan transformasi pada amatan sebelum dilakukan pendugaan fungsi kepekatan.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai VaR pada valuta asing
dengan menggunakan teori nilai ekstrem dan teknik pendugaan fungsi sebaran
kernel, dan membandingkan hasil yang didapat oleh masing-masing metode.
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder dari lima
pasang mata uang yaitu EUR/USD, GBP/USD, USD/CAD, USD/CHF, dan
USD/JPY antara Januari 2001 hingga Maret 2012. Penamaan pasangan mata
uang itu adalah penamaan standar untuk menyebut mata uang Euro (EUR), United
States Dollar (USD), Canadian Dollar (CAD), Swiss Frank (CHF) dan Japan Yen
(JPY). Analisis dilakukan pada nilai return yang didefinisikan sebagai logaritma
dari pembagian nilai penutupan kurs suatu hari dengan hari sebelumnya.
Hasil eksprolasi data memperlihatkan nilai return tidak menyebar secara
normal. Pasangan mata uang USD/CAD, USD/CHF dan USD/JPY
memperlihatkan nilai kurtosis yang besar yang mengindikasikan data memiliki
sebaran ekor gemuk.
Data kerugian dari transaksi mata uang asing dipisahkan berdasar kerugian
atas suatu posisi, yaitu jual dan beli. Posisi jual akan menghasilkan kerugian
apabila return positif dan sebaliknya untuk posisi beli. Penyusunan model sebaran
ekstrem dengan metode pelampauan ambang pada batas ambang µ sedemikian
sehingga didapatkan 10% dari amatan sebagai amatan ekstrem. Hasil pendugaan
menghasilkan nilai dugaan parameter bentuk ( ξˆ ) bernilai positif kecuali pada
pasangan mata uang EUR/USD untuk posisi jual dan pasangan mata uang
USD/CAD untuk posisi beli. Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk
memeriksa kesesuaian model GPD yang diperoleh. Hasil uji menyatakan tidak
menolak model GPD yang diperoleh.
Pendugaan fungsi kepekatan dengan transformasi-kernel melalui
transformasi fungsi kumulatif sebaran normal dilakukan dengan fungsi kernel
Epanechnikov dan penentuan lebar jendela Sheather-Jones. VaR95 dan VaR99
ditentukan sebagai nilai kuantil 95 dan 99 dengan menggunakan model GPD dan
fungsi kepekatan yang diperoleh dari pendugaan fungsi kepekatan kernel. VaR
yang didapat diperbandingkan dengan jumlah pelanggaran (overshoot) terhadap
VaR melalui uji binomial.
Hasil uji binomial memperlihatkan jumlah pelanggaran terhadap VaR dari
kedua metode telah sesuai dengan peluang yang ditetapkan dalam perhitungan
nilai VaR. Hal ini memperlihatkan bahwa kedua metode tersebut memiliki
kemampuan yang sama baiknya untuk menduga nilai VaR.
Penerapan Teori Nilai Ekstrem metode pelampauan ambang dan
Transformasi-Kernel pada perhitungan nilai risiko memberikan hasil yang tidak
jauh berbeda pada kuantil yang tinggi (di atas 90%). Hasil backtesting
memperlihatkan VaR yang dihasilkan kedua metode tersebut sama baik dalam
memprediksi peluang kejadian pelanggaran terhadap VaR. Kelebihan dari Metode
Transformasi-Kernel adalah metode ini diterapkan pada seluruh amatan kerugian
sehingga tidak perlu memisahkan amatan ekstrem dan bukan seperti pada metode
POT.
Kata kunci: nilai risiko, teori nilai ekstrem, generalized pareto distribution,
pendugaan sebaran kernel, transformasi-kernel, backtesting.
© Hak Cipta IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar bagi IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
PENDUGAAN NILAI RISIKO DENGAN SEBARAN
TRANSFORMASI-KERNEL DAN SEBARAN NILAI EKSTREM
BUDI HARYANTO
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
PROGRAM STUDI STATISTIKA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012
Penguji Luar Komisi Pembimbing pada Ujian Tesis: Dr. Bagus Sartono
Judul Tesis
Nama
NRP
Program Studi
: Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran Transformasi-Kernel dan
Sebaran Nilai Ekstrem
: Budi Haryanto
: G151090121
: Statistika
Disetujui,
Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc.
Ketua
Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS
Anggota
Diketahui,
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Erfiani, M.Si
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Ujian: 15 Oktober 2012
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji sukur kepada Tuhan atas kesempatan yang dilimpahkan sehingga
karya ilmiah yang berjudul “Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran
Transformasi-Kernel dan Sebaran Nilai Ekstrem” ini dapat diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Prof. Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc. dan
Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS selaku Ketua dan Anggota Komisi Pembimbing, atas
arahan dan bimbingannya selama penulisan karya ilmiah ini.
Ungkapan terima kasih ini juga penulis sampaikan kepada seluruh teman
mahasiswa pascasarjana jurusan statistika yang turut memberikan saran yang
positif dalam penyusunan karya ilmiah.
Bogor, Oktober 2012
Budi Haryanto
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Cilacap, pada tanggal 22 Mei 1978 dari pasangan Bapak
Risyanto dan Ibu Suliyah. Penulis menikah dengan Eva Budhi Kurniawati dan
saat ini dikaruniai seorang anak yang diberi nama Mahija Aryastya Wikrama.
Penulis menyelesaikan pendidikan SLTA di SMA Negeri 1 Purwokerto
pada tahun 1996 dan melanjutkan perkuliahan di Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret.
DAFTAR ISI
ABSTRACT ............................................................................................................ v
RINGKASAN ....................................................................................................... vii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. ix
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
Latar Belakang .................................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ................................................................................................ 4
TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 5
Risiko .................................................................................................................. 5
Teori Nilai Ekstrem ............................................................................................. 6
Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Pemulus Kernel ........................ 8
a. Penentuan Lebar Jendela......................................................................... 10
b. Pemilihan Fungsi Kernel......................................................................... 13
Transformasi dalam Pendugaan Fungsi Kernel ................................................ 13
DATA DAN METODE PENELITIAN ................................................................ 15
Data ................................................................................................................... 15
Metode Analisis ................................................................................................ 15
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 18
Eksplorasi Data ................................................................................................. 18
Penentuan VaR .................................................................................................. 22
a. Pelampauan nilai ambang ....................................................................... 22
b. Metode Transformasi-Kernel .................................................................. 26
Backtesting ........................................................................................................ 27
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................. 32
Kesimpulan ....................................................................................................... 32
Saran.................................................................................................................. 32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 33
DAFTAR TABEL
1 Fungsi Kernel untuk penduga fungsi kepekatan ............................................... 13
2 Statistik Deskriptif Nilai Return Mata Uang .................................................... 20
3 Nilai Statistik Uji Kenormalan ......................................................................... 22
4 Ambang dan Cacah Amatan Ekstrem ............................................................... 23
5 Hasil Pendugaan Parameter Model GPD .......................................................... 23
6 Uji Kesesuaian Model GPD.............................................................................. 24
7 VaR Berdasar Metode Pelampauan Ambang ................................................... 24
8 VaR Berdasar Model Pendugaan Transformasi-Kernel dengan Kernel
Epanechnikov.................................................................................................... 27
9 Backtesting VaR-gpd untuk Posisi Jual ............................................................ 28
10 Backtesting VaR-gpd untuk Posisi Beli ............................................................ 29
11 Backtesting VaR-tk untuk Posisi Jual ............................................................... 29
12 Backtesting VaR-tk untuk Posisi Beli ............................................................... 29
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram alur analisis data ................................................................................ 16
2 Plot nilai penutupan dan return kurs harian...................................................... 19
3 Plot kuantil sebaran normal dan histogram ...................................................... 21
4 Bentuk Sebaran Model GPD ............................................................................ 25
5 Bentuk dugaan fkp untuk lebar jendela yang berbeda pada pasangan mata uang
EUR/USD ......................................................................................................... 26
6 Bentuk dugaan fkp dengan fungsi kernel berbeda pada pasangan mata uang
EUR/USD ......................................................................................................... 27
7 Nilai Return yang melanggar VaR 95% dan 99% ............................................ 27
8 Persentase jumlah amatan yang berada di bawah VaR .................................... 28
9 Perbandingan VaR-gpd dan VaR-tk ................................................................. 30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Risiko dalam konteks finansial berarti potensi kerugian yang dapat dialami
oleh pelaku bisnis yang terjadi karena perubahan-perubahan yang terjadi pada
lingkungan bisnis. Dalam menghadapi perubahan-perubahan yang tidak pasti,
pelaku bisnis dapat membentuk departemen pengelola risiko yang bertugas untuk
mengukur dan mengelola risiko sehingga pelaku bisnis dapat menentukan strategi
pengelolaan risiko yang tepat dalam menghadapi ketidakpastian pada lingkungan
bisnis. Menurut Choudry (2006) sejak dekade 90-an, seiring dengan rentetan
laporan pada bank-bank unggulan, pengelolaan risiko (risk management)
mengemuka menjadi kebutuhan yang dianggap penting bagi para manajer dan
pemegang saham.
Pengukuran risiko merupakan salah satu aspek penting dalam pengelolaan
risiko, salah satu alat ukur risiko yang populer adalah Nilai Risiko (Value at Risk)
yang disebut VaR. VaR berkembang sebagai alat ukur risiko sejak J.P Morgan di
akhir tahun 1995 mengembangkan perangkat lunak RiskMetricsTM untuk
mendukung perhitungan VaR. Saat ini, VaR telah diterima menjadi pengukuran
standar dalam perhitungan nilai risiko oleh institusi keuangan dan para regulator
mereka. Pada awal perkembangannya, VaR didasarkan pada asumsi sebaran data
normal yang kemudian melahirkan banyak kritik karena ternyata kejadian ekstrem
yang melampaui nilai VaR lebih sering terjadi dari perkiraan berdasarkan asumsi
sebaran normal. VaR didefinisikan sebagai nilai kerugian maksimum yang dapat
terjadi pada tingkat peluang tertentu. Penentuan besar peluang yang digunakan
sebagai acuan dalam menentukan VaR bergantung pada pilihan para pengelola
risiko atau berdasar regulasi yang berlaku. Liu (2007) menjelaskan bahwa peluang
dalam menghitung VaR yang ditetapkan oleh Regulasi Perbankan Internasional
Basel II mensyaratkan peluang kejadian pelampauan atas VaR hanya 1%
(VaR99%), meningkat dari sebelumnya yaitu 5% (VaR95%). Hal ini berarti
bahwa diperlukan pendekatan yang lebih akurat dalam pendugaan model sebaran
ekstrem dalam menentukan VaR.
Pendekatan lain dalam perhitungan VaR, terutama berkenaan dengan
kejadian-kejadian
ekstrem
pada
lingkungan
bisnis
dilakukan
dengan
2
memanfaatkan Teori nilai ekstrem. Teori nilai ekstrem pada awalnya muncul
karena kebutuhan pada bidang astronomi untuk memanfaatkan atau mengeluarkan
amatan pencilan. Pada awal 90-an teori ini dikembangkan dan menghasilkan
penerapan-penerapan yang mampu menjelaskan fenomena-fenomena alam seperti
curah hujan, banjir, polusi udara dan korosi (Beirlant et al. 2004). Pada bidang
hidrologi dan analisis banjir ini, teori nilai ekstrem digunakan untuk menduga
tingkat banjir (secara rata-rata) yang tinggi yang dapat terlampaui selama T tahun.
Nilai tersebut diduga dengan nilai kuantil yang tinggi dan dihitung berdasarkan
sebaran dari tingkat banjir. Pada bidang asuransi, teori ini digunakan untuk
menghitung klaim yang sangat besar yang meskipun jarang terjadi namun dapat
membahayakan bagi perusahaan (Low dan Dark 2008). Pada bidang keuangan,
teori nilai ekstrem digunakan untuk perhitungan nilai risiko (Value-at-Risk/VaR).
Pada teori nilai ekstrem terdapat dua metode untuk menjelaskan perilaku
data ekstrem yang terletak pada ujung-ujung sebaran. Masing-masing didasarkan
pada model sebaran dan teknik pengambilan amatan ekstrem yang berbeda.
Metode pertama menggunakan sebaran Generalized Extreme Value Distribution
(GEVD) yang mengambil amatan-amatan maksimum (minimum) pada periodeperiode yang ditetapkan dari seluruh pengamatan untuk menyusun model pada
ujung sebaran. Metode ini juga disebut Metode Blok Maksima. Metode kedua
menggunakan sebaran Generalized Pareto Distribution (GPD) yang mengambil
amatan yang melampaui suatu nilai yang ditetapkan untuk menyusun model pada
ujung sebaran. Metode ini sering disebut metode pelampauan ambang atau POT
(peak over threshold). Menurut Bensalah (2000), kelebihan dari pendekatan Teori
Nilai Ekstrem dalam menentukan nilai risiko adalah konsentrasinya pada ujung
sebaran sehingga pengepasan sebaran tidak bertendensi ke pusat sebaran yang
dapat mengaburkan perilaku pada ujung sebaran. Kedua metode tersebut telah
diterima sebagai metode yang standar dalam analisis amatan ekstrem.
Pendugaan sebaran dengan menentukan parameter berdasarkan sebaran
teoritis tertentu seperti yang termasuk dalam Teori nilai ekstrem (sebaran Weibull,
Frechet, Gumbell atau Pareto) atau sebaran standar lain dengan ekor yang panjang
dapat digunakan pada banyak data, akan tetapi tidak dapat dipergunakan pada
amatan yang tidak termasuk ke dalam tipe standar. Pendekatan lain yakni
3
pendekatan non parametrik memberikan kemungkinan menganalisis data dengan
tidak mengacu pada sebaran standar tertentu (Low dan Dark 2008). Metode non
parametrik yang biasa dipergunakan untuk menduga VaR adalah Historical
Simulation (HS). Pada metode HS pendugaan VaR dengan mengasumsikan bahwa
pergerakan data di masa lalu mewakili pergerakan data di masa yang akan datang
tanpa mengasumsikan bentuk sebaran. Nilai kuantil yang dijadikan penduga VaR
diperoleh dengan mengurutkan amatan dan mengambil data urutan tertentu
sebagai penduga. Pendugaan VaR dengan HS memiliki kelemahan bila dilakukan
pada kuantil yang tinggi dan berhadapan dengan data dengan ekor gemuk (Butler
dan Schachter 1997).
Pendekatan non parametrik lain yang dapat digunakan adalah dengan
pendugaan sebaran kernel. Menurut Given dan Hoeting (2005), pendugaan
sebaran kernel dapat digunakan untuk menilai perilaku data seperti bentuk modus
ganda, kemiringan, maupun perilaku data di ujung sebaran. Pendekatan
pendugaan sebaran kernel sangat bergantung pada lebar jendela yang ditetapkan,
terutama pada ujung-ujung sebaran. Hal ini menjadi masalah pada pendugaan
perilaku data di ujung-ujung sebaran karena data yang jarang. Permasalahan ini
dapat diatasi dengan melakukan transformasi data ke dalam suatu selang yang
terbatas sebelum dilakukan teknik pengepasan kepekatan kernel dan kemudian
mengembalikan kepekatan yang didapat ke data yang asli. Pendugaan sebaran
kernel dengan menggunakan transformasi ini berhasil dilakukan oleh Cebrian, et
al. (2003) yang menerapkan pada pengepasan data klaim kesehatan (Low dan
Dark 2008).
Penelitian ini dilakukan pada pengukuran risiko yang diakibatkan oleh
perubahan nilai tukar mata uang (kurs) valuta asing. Banyak kegiatan bisnis yang
berhubungan erat dengan kurs valuta asing, bahkan transaksi jual beli valuta asing
menjadi bisnis tersendiri. Perkembangan pasar global, kemajuan teknologi dan
internet mendorong bisnis transaksi mata uang ini sehingga dapat dilakukan
dengan lebih mudah, bahkan pada tingkat perseorangan. Menurut Blum dan
Dacorogna (2002), kegiatan bisnis pada nilai tukar mata uang ini merupakan
kegiatan yang berisiko tinggi karena fluktuasi harga yang dapat mencapai 5 persen
dalam satu hari. Penerapan manajemen risiko jelas diperlukan untuk menghitung
4
kerugian maksimal yang dapat ditanggung sehingga kejadian buruk dapat
diantisipasi. Perilaku pergerakan nilai mata uang juga sering memperlihatkan
kejadian ekstrem. Kejadian ekstrem yang muncul lebih sering terjadi daripada
yang diperkirakan dalam kondisi normal dan membentuk sebaran ekor gemuk
(heavy tail). Oleh karena itu, penerapan pendugaan sebaran dan Teori nilai
ekstrem dipergunakan untuk menjelaskan fenomena ekstrem pada pergerakan
mata uang untuk menghitung VaR sebagai ukuran risiko.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai VaR pada valuta
asing dengan menggunakan teori nilai ekstrem dan teknik pendugaan fungsi
sebaran kernel, dan membandingkan hasil yang didapat oleh masing-masing
metode.
TINJAUAN PUSTAKA
Risiko
Setiap transaksi yang melibatkan ketidakpastian di masa yang akan datang
memiliki risiko. Pelaku bisnis dalam melakukan kegiatan investasi tentu
menginginkan keuntungan dan mengindari kerugian. Pada dunia investasi,
aktivitas untuk mendeteksi, mengukur dan mengelola risiko diperlukan guna
menghadapi ketidakpastian yang berujung pada risiko kerugian. Pendefinisian
risiko berkaitan dengan kerangka waktu yang ditetapkan. Choudhry (2006)
mendefinisikan risiko berkaitan dengan periode waktu di mana risiko akan
diperhitungkan. Jadi risiko adalah kerugian yang mungkin dialami dalam suatu
horison waktu tertentu.
Pada penelitian ini istilah risiko mengacu pada tingkat kerugian pada
horison waktu per hari yang akan ditanggung akibat posisi yang diambil pada
suatu kurs pasang mata uang. Ada dua macam posisi pada perdagangan valuta
asing, posisi jual yang akan menimbulkan risiko kerugian pada saat harga naik,
dan posisi beli yang akan menghasilkan risiko kerugian pada saat harga turun. Hal
yang terkait dengan perhitungan risiko adalah nilai risiko dan pengujian atas
perhitungan nilai risiko yaitu:
a.
Nilai Risiko (Value-at-Risk/VaR)
Secara umum VaR didefinisikan sebagai suatu nilai harapan kerugian
maksimum dari nilai aset pada suatu periode tertentu dan tingkat kepercayaan
tertentu. Pada suatu peubah acak dengan fungsi sebaran kumulatif F yang
memodelkan data kerugian dari suatu aset keuangan untuk horison waktu tertentu.
VaR dapat didefinisikan sebagai kuantil ke- p dari sebaran F pada suatu peubah
acak (Gilli dan Kellezi, 2003)
VaR p = F −1 (1 − p )
−1
dengan F juga disebut fungsi kuantil yang didefinisikan sebagai
kebalikan dari fungsi sebaran F .
b.
Pengujian ke Belakang (Backtesting)
Model VaR hanya akan berguna apabila dapat mendemonstrasikan akurasi
dari hasil perhitungannya. Pengujian atas akurasi perhitungan dari model VaR
6
yang diperoleh dilakukan dengan membandingkan hasil prediksi model dengan
kerugian aktual yang telah terjadi.
Nilai pendugaan risiko (VaR) yang dibandingkan dengan amatan yang
melampaui nilai VaR. Fungsi indikator dapat digunakan untuk menentukan nilai
pelanggaran terhadap VaR (overshoot).
1 X i ≥ VaRp ,i
Ii =
0 X i < VaRp ,i
Fungsi indikator akan menghasilkan deret
{I i }
dengan mengasumsikan bahwa
P [ I i = 1] = A atau I i ∼ Bernoulli ( A ) dan diharapkan A = p (Baran dan Witzany,
2011).
Teori Nilai Ekstrem
Menurut Gilli dan Kellezi (2003) penentuan nilai-nilai ekstrem dapat
dilakukan dengan cara mengambil nilai-nilai maksimum suatu periode berurutan
yang tidak saling bertumpang tindih, misal periode mingguan, bulanan, tiga
bulanan atau tahunan. Pengamatan yang diambil sebagai nilai ekstrem adalah nilai
maksimum (atau nilai minimum) pada tiap periode yang ditentukan. Cara ini
disebut juga blok maksima (atau blok minima), dan model yang dihasilkan adalah
Generelized Extreme Value Distribution (GEVD). Cara lain dalam pengambilan
sampel nilai adalah dengan mengambil nilai amatan yang melampaui ambang
(threshold) tertentu sebagai amatan ekstrem. Model yang dihasilkan adalah model
Generalized Pareto Distribution (GPD). Cara ini disebut juga pelampauan
ambang (peak over threshold). Menurut Cebrian et al. (2003) metode dalam teori
nilai ekstrem ini tidak hanya bertumpu pada amatan saja tetapi memuat
argumentasi yang berdasar pada teori peluang mengenai perilaku amatan ekstrem.
Pemodelan perilaku amatan ekstrem yang melampaui suatu nilai ambang
tertentu merupakan cara untuk memahami perilaku amatan pada ujung sebaran
yang belum diketahui. Misalkan barisan amatan X 1 ,… X n yang berasal dari
sebaran F yang tidak diketahui, dan x0 adalah titik akhir (berhingga atau tak
berhingga) dari sebaran F yakni x0 = sup { x ∈ ℝ : F ( x ) < 1} ≤ ∞ .
7
Didefinisikan apabila u adalah suatu ambang yang ditetapkan, sebaran x
yang melampaui u dapat didekati dengan
Fu ( x ) = P { X − u ≤ x | X > u} =
F ( x + u ) − F (u )
1 − F (u )
untuk 0 ≤ x ≤ x0 − u .
Fu ( x ) merupakan peluang kemunculan amatan yang melampaui ambang u tapi
kurang dari x , dengan nilai ambang u yang tertentu yang ditetapkan.
Sebaran yang berasal dari model amatan pelampauan adalah kelompok
sebaran Generalized Pareto Distribution (GPD) yang biasa dinyatakan dengan dua
parameter sebaran yakni
(
Gξ ,σ
)
−1
1− 1+ ξ x ξ
σ
( x) =
x
1 − exp −
σ
jikaξ ≠ 0
jikaξ = 0
dengan ξ dan σ masing-masing menyatakan indeks ekor dan faktor skala (Liu
2007).
GPD dapat dikelompokkan menjadi 3 berdasar parameternya. Saat ξ > 0
akan dihasilkan sebaran Pareto biasa; jika ξ < 0 akan didapatkan sebaran Pareto
tipe II dan jika ξ = 0 maka dihasilkan sebaran eksponensial. Kelompok sebaran
ini dapat diperluas dengan menambahkan parameter lokasi µ , GPD dinyatakan
sebagai Gξ , µ ,σ ( x ) yang didefinisikan sebagai Gξ ,σ ( x − µ ) .
Pada metode peak-over-threshold model yang diperoleh ditentukan oleh
nilai ambang yang dipilih. Semakin tinggi ambang (pada kasus ekstrem
maksimum) jumlah amatan yang terpilih akan semakin sedikit dan sebaliknya.
Pemilihan ambang dilakukan dengan pertimbangan: (1) pemilihan ambang yang
terlalu tinggi akan meningkatkan ketelitian pada kuantil yang tinggi tetapi
menutup kemungkinan untuk mencari nilai kuantil yang rendah; (2) pemilihan
ambang yang terlalu rendah bisa membuat sebaran generalized Pareto tidak dapat
diterapkan dan membuat pendugaan kuantil menjadi bias (Cebrian et al. 2003).
(1)
8
Salah satu alat yang dipergunakan untuk menentukan nilai ambang adalah
grafik rataan pelampauan berupa pasangan data ( u, en ( u ) ) untuk x1:n < u < xn:n
dengan fungsi rataan pelampauan
n
en ( u ) =
dengan
k = min {i xi:n > u} dan
∑(x
i =k
i:n
− u)
n − k +1
n − k +1 menyatakan cacah amatan yang
melampaui ambang u.
Pendekatan pencarian ambang dengan menggunakan grafik rataan
ditentukan dengan mencari pola linier pada plot. Kesulitan dari cara ini adalah
bergantung pada pemeriksaan visual pada grafik rataan untuk menentukan titik
ambang. Cara lain untuk menentukan nilai ambang ini adalah dengan menetapkan
jumlah amatan yang akan terpilih menjadi sampel ekstrem. Pendekatan ini
menetapkan ambang u sehingga jumlah amatan ekstrem terpilih untuk menyusun
model sebanyak
n , dengan n adalah cacah amatan secara keseluruhan. Hanya
belum ada pembuktian bahwa penetapan jumlah amatan tersebut merupakan
penetapan yang terbaik (Blum dan Dacorogna 2002).
Cebrian et al. (2003)
memberikan saran untuk mengambil amatan ekstrem sebanyak persentase tertentu
disesuaikan dengan ketelitian kuantil yang diinginkan.
Persamaan untuk menentukan nilai VaR pada tingkat kepercayaan
100 (1 − q ) % , untuk q menyatakan peluang yang kecil, dapat diperoleh dengan
mencari penduga kuantil ke- q yakni rˆqgev dengan menggunakan persamaan
gpd
q
rˆ
σˆ n
= µ +
ξˆ N µ
q
− ξˆ
− 1
di mana n dan N µ masing-masing menyatakan jumlah amatan dan jumlah amatan
ekstrem (Low dan Dark, 2008). Menurut McNeil (1999) Persamaan (2) berlaku
untuk 1 − q > Gξ ,σ ( µ ) .
Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Pemulus Kernel
Ide dasar dari pendugaan fungsi kepekatan peluang dengan pemulus kernel
berasal dari histogram yang memberikan gambaran dari perilaku data. Sebuah
histogram terdiri dari susunan frekuensi data yang digambarkan dengan rentetan
(2)
9
persegi panjang pada kelas-kelas interval, di mana tinggi persegi panjang
menggambarkan frekuensi data yang terletak dalam kelas interval masing-masing.
Histogram dapat dipandang sebagai bentuk penduga fungsi kepekatan peluang
(untuk selanjutnya disingkat fkp) yang berupa fungsi konstan sepotong-sepotong.
Bentuk histogram yang dihasilkan bergantung pada pemilihan titik awal jendela,
lebar jendela, dan jumlah jendela yang diperlukan. Kebergantungan histogram
pada hal tersebut menjadi kelemahan histogram sebagai penduga fkp. Kelemahan
lain dari histogram sebagai penduga fkp adalah kekonstanan peluang pada tiap
kelas sehingga tidak kontinu atau mulus pada batas-batas kelas yang dihasilkan.
Pendugaan fkp dapat juga dilakukan dengan memuat fungsi kepekatan
tertentu pada interval-interval yang membentuk jendela pada histogram. Ide ini
didasarkan pada asumsi bahwa jika dilakukan pengamatan atas X i = xi , maka
suatu fkp f tidak hanya berlaku untuk xi tetapi juga untuk wilayah yang berada
di sekitar xi apabila f merupakan fkp yang cukup mulus. Oleh karena itu, untuk
menduga fkp f dari X 1 ,… , X n ∼ i.i.d. f adalah dengan mengakumulasikan fkp
lokal pada tiap persekitaran dari X i (Given dan Hoeting 2005).
Secara khusus, untuk menduga kepekatan pada titik x diperlukan wilayah
yang berpusat di x dengan lebar dx = 2h dengan h konstanta yang ditetapkan.
Proporsi amatan yang termuat di dalam wilayah γ = ( x − h, x + h )
akan
menggambarkan kepekatan di titik x . Sehingga akan diperoleh penduga fungsi
kepekatan berikut
1 n
fˆ ( x ) =
∑I
2hn i =1 { x − X i < h}
dengan I{ A} = 1 apabila A benar dan bernilai 0 untuk lainnya.
Pendugaan fkp kernel memperumum ide dari pendugaan fkp histogram.
Pada histogram dengan lebar kelas h yang dibangun dari sampel X 1 ,… , X n ,
didapatkan penduga kepekatan pada titik x dalam rentang data adalah
1
fˆ ( x ) =
×k
2hn
10
dengan k menyatakan cacah sampel yang termuat dalam interval ( x − h, x + h ) .
Penduga tersebut dapat dinyatakan sebagai
1 n 1 x − Xi
fˆ ( x ) = ∑ w
n i =1 h h
dengan w ( t ) = 12 I{ t
DENGAN SEBARAN TRANSFORMASI-KERNEL
DAN SEBARAN NILAI EKSTREM
BUDI HARYANTO
PROGRAM STUDI STATISTIKA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012
PERNYATAAN MENGENAI TESIS
DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendugaan Nilai Risiko dengan
Sebaran Transformasi-Kernel dan Sebaran Nilai Ekstrem adalah karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Bogor, Oktober 2012
Budi Haryanto
NRP G151090121
ABSTRACT
BUDI HARYANTO, Value At Risk Estimation by Transformed-Kernel
Distribution and Extreme Value Theory. Supervised by AUNUDDIN and ANIK
DJURAIDAH.
Value at Risk (VaR) is measurement tool in financial that is telling how big loss
could be happened for a time scale and a specific probability. Normal distribution
approximation for VaR has been criticized since it is not able to capture the
extreme movements in financial phenomenon. Extremes Value Theory (EVT) gives
better high level quantile estimation than normal distribution modeling for
extremes events that occur as a heavy tail distribution. Kernel density estimation
can be used to assess tail behavior. There are two methods for VaR estimation in
foreign exchange risk in this study, Peak Over Threshold (POT) from Extreme
Value Theory and Transformed-Kernel from kernel density estimation. The
objective of this study is to apply the methods for VaR estimation on daily foreign
currency movements. This study applies the methods to the extreme tails of the
price movements in foreign currency i.e. EUR/USD, GBP/USD, USD/CAD,
USD/CHF, and USD/JPY during January 2001 until March 2012. Normality test
shows that all currency pair are having non normal distribution. Exploration with
data shows that they have fat tails of loss distribution. Peak over threshold
method applied for estimating VaR by generalized pareto distributions parameter
estimation for 10% of higher (or lower) observation as extreme observation.
Transformed-Kernel density estimation with Gauss transformation, Epanecnikov
kernel function and Sheater-Jones method for bandwidth selection applied to
estimating density function that delivers VaR estimation as quantile. The
transformed-kernel has advantage since it doesn’t have to determine which
observations are extremes or not. The performance of the methods was compared
with backtesting. Both methods show equally performance at 95% and 99% VaR.
Keywords: value at risk, extreme value theory, generalized pareto distribution,
kernel density estimation, transformed-kernel, backtesting.
RINGKASAN
BUDI HARYANTO, Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran TransformasiKernel dan Sebaran Nilai Ekstrem. Dibimbing oleh AUNUDDIN dan ANIK
DJURAIDAH.
Nilai Risiko (Value at Risk) merupakan salah satu metode pengukuran
risiko yang banyak dipergunakan dalam mengukur risiko pada bidang keuangan.
VaR memberikan penjelasan jumlah kerugian yang mungkin terjadi pada suatu
periode waktu dengan tingkat peluang tertentu. Pada perkembangan awal, VaR
menggunakan asumsi sebaran normal untuk menduga nilai kuantil pada tingkat
peluang yang ditetapkan, tetapi karena data finansial pada umumnya tidak
memiliki sebaran normal dengan kecenderungan data berekor gemuk, maka
dikembangkan metode yang disebut teori nilai ekstrem yang berfokus pada
amatan yang terletak pada ujung sebaran. Metode yang menjelaskan perilaku
amatan yang terletak di atas suatu nilai ambang (peak over threshold) telah
banyak diterima sebagai metode standar untuk analisis nilai ekstrem.
Perilaku data di ujung sebaran juga dapat dijelaskan dengan pendugaan
sebaran kernel. Perbaikan kinerja sebaran kernel pada ujung sebaran dilakukan
dengan transformasi pada amatan sebelum dilakukan pendugaan fungsi kepekatan.
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai VaR pada valuta asing
dengan menggunakan teori nilai ekstrem dan teknik pendugaan fungsi sebaran
kernel, dan membandingkan hasil yang didapat oleh masing-masing metode.
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data sekunder dari lima
pasang mata uang yaitu EUR/USD, GBP/USD, USD/CAD, USD/CHF, dan
USD/JPY antara Januari 2001 hingga Maret 2012. Penamaan pasangan mata
uang itu adalah penamaan standar untuk menyebut mata uang Euro (EUR), United
States Dollar (USD), Canadian Dollar (CAD), Swiss Frank (CHF) dan Japan Yen
(JPY). Analisis dilakukan pada nilai return yang didefinisikan sebagai logaritma
dari pembagian nilai penutupan kurs suatu hari dengan hari sebelumnya.
Hasil eksprolasi data memperlihatkan nilai return tidak menyebar secara
normal. Pasangan mata uang USD/CAD, USD/CHF dan USD/JPY
memperlihatkan nilai kurtosis yang besar yang mengindikasikan data memiliki
sebaran ekor gemuk.
Data kerugian dari transaksi mata uang asing dipisahkan berdasar kerugian
atas suatu posisi, yaitu jual dan beli. Posisi jual akan menghasilkan kerugian
apabila return positif dan sebaliknya untuk posisi beli. Penyusunan model sebaran
ekstrem dengan metode pelampauan ambang pada batas ambang µ sedemikian
sehingga didapatkan 10% dari amatan sebagai amatan ekstrem. Hasil pendugaan
menghasilkan nilai dugaan parameter bentuk ( ξˆ ) bernilai positif kecuali pada
pasangan mata uang EUR/USD untuk posisi jual dan pasangan mata uang
USD/CAD untuk posisi beli. Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk
memeriksa kesesuaian model GPD yang diperoleh. Hasil uji menyatakan tidak
menolak model GPD yang diperoleh.
Pendugaan fungsi kepekatan dengan transformasi-kernel melalui
transformasi fungsi kumulatif sebaran normal dilakukan dengan fungsi kernel
Epanechnikov dan penentuan lebar jendela Sheather-Jones. VaR95 dan VaR99
ditentukan sebagai nilai kuantil 95 dan 99 dengan menggunakan model GPD dan
fungsi kepekatan yang diperoleh dari pendugaan fungsi kepekatan kernel. VaR
yang didapat diperbandingkan dengan jumlah pelanggaran (overshoot) terhadap
VaR melalui uji binomial.
Hasil uji binomial memperlihatkan jumlah pelanggaran terhadap VaR dari
kedua metode telah sesuai dengan peluang yang ditetapkan dalam perhitungan
nilai VaR. Hal ini memperlihatkan bahwa kedua metode tersebut memiliki
kemampuan yang sama baiknya untuk menduga nilai VaR.
Penerapan Teori Nilai Ekstrem metode pelampauan ambang dan
Transformasi-Kernel pada perhitungan nilai risiko memberikan hasil yang tidak
jauh berbeda pada kuantil yang tinggi (di atas 90%). Hasil backtesting
memperlihatkan VaR yang dihasilkan kedua metode tersebut sama baik dalam
memprediksi peluang kejadian pelanggaran terhadap VaR. Kelebihan dari Metode
Transformasi-Kernel adalah metode ini diterapkan pada seluruh amatan kerugian
sehingga tidak perlu memisahkan amatan ekstrem dan bukan seperti pada metode
POT.
Kata kunci: nilai risiko, teori nilai ekstrem, generalized pareto distribution,
pendugaan sebaran kernel, transformasi-kernel, backtesting.
© Hak Cipta IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar bagi IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
PENDUGAAN NILAI RISIKO DENGAN SEBARAN
TRANSFORMASI-KERNEL DAN SEBARAN NILAI EKSTREM
BUDI HARYANTO
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika
PROGRAM STUDI STATISTIKA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2012
Penguji Luar Komisi Pembimbing pada Ujian Tesis: Dr. Bagus Sartono
Judul Tesis
Nama
NRP
Program Studi
: Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran Transformasi-Kernel dan
Sebaran Nilai Ekstrem
: Budi Haryanto
: G151090121
: Statistika
Disetujui,
Komisi Pembimbing
Prof. Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc.
Ketua
Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS
Anggota
Diketahui,
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Erfiani, M.Si
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr
Tanggal Ujian: 15 Oktober 2012
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji sukur kepada Tuhan atas kesempatan yang dilimpahkan sehingga
karya ilmiah yang berjudul “Pendugaan Nilai Risiko dengan Sebaran
Transformasi-Kernel dan Sebaran Nilai Ekstrem” ini dapat diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Prof. Dr. Ir. Aunuddin, M.Sc. dan
Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS selaku Ketua dan Anggota Komisi Pembimbing, atas
arahan dan bimbingannya selama penulisan karya ilmiah ini.
Ungkapan terima kasih ini juga penulis sampaikan kepada seluruh teman
mahasiswa pascasarjana jurusan statistika yang turut memberikan saran yang
positif dalam penyusunan karya ilmiah.
Bogor, Oktober 2012
Budi Haryanto
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Cilacap, pada tanggal 22 Mei 1978 dari pasangan Bapak
Risyanto dan Ibu Suliyah. Penulis menikah dengan Eva Budhi Kurniawati dan
saat ini dikaruniai seorang anak yang diberi nama Mahija Aryastya Wikrama.
Penulis menyelesaikan pendidikan SLTA di SMA Negeri 1 Purwokerto
pada tahun 1996 dan melanjutkan perkuliahan di Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret.
DAFTAR ISI
ABSTRACT ............................................................................................................ v
RINGKASAN ....................................................................................................... vii
DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. ix
PENDAHULUAN .................................................................................................. 1
Latar Belakang .................................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ................................................................................................ 4
TINJAUAN PUSTAKA ......................................................................................... 5
Risiko .................................................................................................................. 5
Teori Nilai Ekstrem ............................................................................................. 6
Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Pemulus Kernel ........................ 8
a. Penentuan Lebar Jendela......................................................................... 10
b. Pemilihan Fungsi Kernel......................................................................... 13
Transformasi dalam Pendugaan Fungsi Kernel ................................................ 13
DATA DAN METODE PENELITIAN ................................................................ 15
Data ................................................................................................................... 15
Metode Analisis ................................................................................................ 15
HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................................. 18
Eksplorasi Data ................................................................................................. 18
Penentuan VaR .................................................................................................. 22
a. Pelampauan nilai ambang ....................................................................... 22
b. Metode Transformasi-Kernel .................................................................. 26
Backtesting ........................................................................................................ 27
KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................................. 32
Kesimpulan ....................................................................................................... 32
Saran.................................................................................................................. 32
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 33
DAFTAR TABEL
1 Fungsi Kernel untuk penduga fungsi kepekatan ............................................... 13
2 Statistik Deskriptif Nilai Return Mata Uang .................................................... 20
3 Nilai Statistik Uji Kenormalan ......................................................................... 22
4 Ambang dan Cacah Amatan Ekstrem ............................................................... 23
5 Hasil Pendugaan Parameter Model GPD .......................................................... 23
6 Uji Kesesuaian Model GPD.............................................................................. 24
7 VaR Berdasar Metode Pelampauan Ambang ................................................... 24
8 VaR Berdasar Model Pendugaan Transformasi-Kernel dengan Kernel
Epanechnikov.................................................................................................... 27
9 Backtesting VaR-gpd untuk Posisi Jual ............................................................ 28
10 Backtesting VaR-gpd untuk Posisi Beli ............................................................ 29
11 Backtesting VaR-tk untuk Posisi Jual ............................................................... 29
12 Backtesting VaR-tk untuk Posisi Beli ............................................................... 29
DAFTAR GAMBAR
1 Diagram alur analisis data ................................................................................ 16
2 Plot nilai penutupan dan return kurs harian...................................................... 19
3 Plot kuantil sebaran normal dan histogram ...................................................... 21
4 Bentuk Sebaran Model GPD ............................................................................ 25
5 Bentuk dugaan fkp untuk lebar jendela yang berbeda pada pasangan mata uang
EUR/USD ......................................................................................................... 26
6 Bentuk dugaan fkp dengan fungsi kernel berbeda pada pasangan mata uang
EUR/USD ......................................................................................................... 27
7 Nilai Return yang melanggar VaR 95% dan 99% ............................................ 27
8 Persentase jumlah amatan yang berada di bawah VaR .................................... 28
9 Perbandingan VaR-gpd dan VaR-tk ................................................................. 30
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Risiko dalam konteks finansial berarti potensi kerugian yang dapat dialami
oleh pelaku bisnis yang terjadi karena perubahan-perubahan yang terjadi pada
lingkungan bisnis. Dalam menghadapi perubahan-perubahan yang tidak pasti,
pelaku bisnis dapat membentuk departemen pengelola risiko yang bertugas untuk
mengukur dan mengelola risiko sehingga pelaku bisnis dapat menentukan strategi
pengelolaan risiko yang tepat dalam menghadapi ketidakpastian pada lingkungan
bisnis. Menurut Choudry (2006) sejak dekade 90-an, seiring dengan rentetan
laporan pada bank-bank unggulan, pengelolaan risiko (risk management)
mengemuka menjadi kebutuhan yang dianggap penting bagi para manajer dan
pemegang saham.
Pengukuran risiko merupakan salah satu aspek penting dalam pengelolaan
risiko, salah satu alat ukur risiko yang populer adalah Nilai Risiko (Value at Risk)
yang disebut VaR. VaR berkembang sebagai alat ukur risiko sejak J.P Morgan di
akhir tahun 1995 mengembangkan perangkat lunak RiskMetricsTM untuk
mendukung perhitungan VaR. Saat ini, VaR telah diterima menjadi pengukuran
standar dalam perhitungan nilai risiko oleh institusi keuangan dan para regulator
mereka. Pada awal perkembangannya, VaR didasarkan pada asumsi sebaran data
normal yang kemudian melahirkan banyak kritik karena ternyata kejadian ekstrem
yang melampaui nilai VaR lebih sering terjadi dari perkiraan berdasarkan asumsi
sebaran normal. VaR didefinisikan sebagai nilai kerugian maksimum yang dapat
terjadi pada tingkat peluang tertentu. Penentuan besar peluang yang digunakan
sebagai acuan dalam menentukan VaR bergantung pada pilihan para pengelola
risiko atau berdasar regulasi yang berlaku. Liu (2007) menjelaskan bahwa peluang
dalam menghitung VaR yang ditetapkan oleh Regulasi Perbankan Internasional
Basel II mensyaratkan peluang kejadian pelampauan atas VaR hanya 1%
(VaR99%), meningkat dari sebelumnya yaitu 5% (VaR95%). Hal ini berarti
bahwa diperlukan pendekatan yang lebih akurat dalam pendugaan model sebaran
ekstrem dalam menentukan VaR.
Pendekatan lain dalam perhitungan VaR, terutama berkenaan dengan
kejadian-kejadian
ekstrem
pada
lingkungan
bisnis
dilakukan
dengan
2
memanfaatkan Teori nilai ekstrem. Teori nilai ekstrem pada awalnya muncul
karena kebutuhan pada bidang astronomi untuk memanfaatkan atau mengeluarkan
amatan pencilan. Pada awal 90-an teori ini dikembangkan dan menghasilkan
penerapan-penerapan yang mampu menjelaskan fenomena-fenomena alam seperti
curah hujan, banjir, polusi udara dan korosi (Beirlant et al. 2004). Pada bidang
hidrologi dan analisis banjir ini, teori nilai ekstrem digunakan untuk menduga
tingkat banjir (secara rata-rata) yang tinggi yang dapat terlampaui selama T tahun.
Nilai tersebut diduga dengan nilai kuantil yang tinggi dan dihitung berdasarkan
sebaran dari tingkat banjir. Pada bidang asuransi, teori ini digunakan untuk
menghitung klaim yang sangat besar yang meskipun jarang terjadi namun dapat
membahayakan bagi perusahaan (Low dan Dark 2008). Pada bidang keuangan,
teori nilai ekstrem digunakan untuk perhitungan nilai risiko (Value-at-Risk/VaR).
Pada teori nilai ekstrem terdapat dua metode untuk menjelaskan perilaku
data ekstrem yang terletak pada ujung-ujung sebaran. Masing-masing didasarkan
pada model sebaran dan teknik pengambilan amatan ekstrem yang berbeda.
Metode pertama menggunakan sebaran Generalized Extreme Value Distribution
(GEVD) yang mengambil amatan-amatan maksimum (minimum) pada periodeperiode yang ditetapkan dari seluruh pengamatan untuk menyusun model pada
ujung sebaran. Metode ini juga disebut Metode Blok Maksima. Metode kedua
menggunakan sebaran Generalized Pareto Distribution (GPD) yang mengambil
amatan yang melampaui suatu nilai yang ditetapkan untuk menyusun model pada
ujung sebaran. Metode ini sering disebut metode pelampauan ambang atau POT
(peak over threshold). Menurut Bensalah (2000), kelebihan dari pendekatan Teori
Nilai Ekstrem dalam menentukan nilai risiko adalah konsentrasinya pada ujung
sebaran sehingga pengepasan sebaran tidak bertendensi ke pusat sebaran yang
dapat mengaburkan perilaku pada ujung sebaran. Kedua metode tersebut telah
diterima sebagai metode yang standar dalam analisis amatan ekstrem.
Pendugaan sebaran dengan menentukan parameter berdasarkan sebaran
teoritis tertentu seperti yang termasuk dalam Teori nilai ekstrem (sebaran Weibull,
Frechet, Gumbell atau Pareto) atau sebaran standar lain dengan ekor yang panjang
dapat digunakan pada banyak data, akan tetapi tidak dapat dipergunakan pada
amatan yang tidak termasuk ke dalam tipe standar. Pendekatan lain yakni
3
pendekatan non parametrik memberikan kemungkinan menganalisis data dengan
tidak mengacu pada sebaran standar tertentu (Low dan Dark 2008). Metode non
parametrik yang biasa dipergunakan untuk menduga VaR adalah Historical
Simulation (HS). Pada metode HS pendugaan VaR dengan mengasumsikan bahwa
pergerakan data di masa lalu mewakili pergerakan data di masa yang akan datang
tanpa mengasumsikan bentuk sebaran. Nilai kuantil yang dijadikan penduga VaR
diperoleh dengan mengurutkan amatan dan mengambil data urutan tertentu
sebagai penduga. Pendugaan VaR dengan HS memiliki kelemahan bila dilakukan
pada kuantil yang tinggi dan berhadapan dengan data dengan ekor gemuk (Butler
dan Schachter 1997).
Pendekatan non parametrik lain yang dapat digunakan adalah dengan
pendugaan sebaran kernel. Menurut Given dan Hoeting (2005), pendugaan
sebaran kernel dapat digunakan untuk menilai perilaku data seperti bentuk modus
ganda, kemiringan, maupun perilaku data di ujung sebaran. Pendekatan
pendugaan sebaran kernel sangat bergantung pada lebar jendela yang ditetapkan,
terutama pada ujung-ujung sebaran. Hal ini menjadi masalah pada pendugaan
perilaku data di ujung-ujung sebaran karena data yang jarang. Permasalahan ini
dapat diatasi dengan melakukan transformasi data ke dalam suatu selang yang
terbatas sebelum dilakukan teknik pengepasan kepekatan kernel dan kemudian
mengembalikan kepekatan yang didapat ke data yang asli. Pendugaan sebaran
kernel dengan menggunakan transformasi ini berhasil dilakukan oleh Cebrian, et
al. (2003) yang menerapkan pada pengepasan data klaim kesehatan (Low dan
Dark 2008).
Penelitian ini dilakukan pada pengukuran risiko yang diakibatkan oleh
perubahan nilai tukar mata uang (kurs) valuta asing. Banyak kegiatan bisnis yang
berhubungan erat dengan kurs valuta asing, bahkan transaksi jual beli valuta asing
menjadi bisnis tersendiri. Perkembangan pasar global, kemajuan teknologi dan
internet mendorong bisnis transaksi mata uang ini sehingga dapat dilakukan
dengan lebih mudah, bahkan pada tingkat perseorangan. Menurut Blum dan
Dacorogna (2002), kegiatan bisnis pada nilai tukar mata uang ini merupakan
kegiatan yang berisiko tinggi karena fluktuasi harga yang dapat mencapai 5 persen
dalam satu hari. Penerapan manajemen risiko jelas diperlukan untuk menghitung
4
kerugian maksimal yang dapat ditanggung sehingga kejadian buruk dapat
diantisipasi. Perilaku pergerakan nilai mata uang juga sering memperlihatkan
kejadian ekstrem. Kejadian ekstrem yang muncul lebih sering terjadi daripada
yang diperkirakan dalam kondisi normal dan membentuk sebaran ekor gemuk
(heavy tail). Oleh karena itu, penerapan pendugaan sebaran dan Teori nilai
ekstrem dipergunakan untuk menjelaskan fenomena ekstrem pada pergerakan
mata uang untuk menghitung VaR sebagai ukuran risiko.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan nilai VaR pada valuta
asing dengan menggunakan teori nilai ekstrem dan teknik pendugaan fungsi
sebaran kernel, dan membandingkan hasil yang didapat oleh masing-masing
metode.
TINJAUAN PUSTAKA
Risiko
Setiap transaksi yang melibatkan ketidakpastian di masa yang akan datang
memiliki risiko. Pelaku bisnis dalam melakukan kegiatan investasi tentu
menginginkan keuntungan dan mengindari kerugian. Pada dunia investasi,
aktivitas untuk mendeteksi, mengukur dan mengelola risiko diperlukan guna
menghadapi ketidakpastian yang berujung pada risiko kerugian. Pendefinisian
risiko berkaitan dengan kerangka waktu yang ditetapkan. Choudhry (2006)
mendefinisikan risiko berkaitan dengan periode waktu di mana risiko akan
diperhitungkan. Jadi risiko adalah kerugian yang mungkin dialami dalam suatu
horison waktu tertentu.
Pada penelitian ini istilah risiko mengacu pada tingkat kerugian pada
horison waktu per hari yang akan ditanggung akibat posisi yang diambil pada
suatu kurs pasang mata uang. Ada dua macam posisi pada perdagangan valuta
asing, posisi jual yang akan menimbulkan risiko kerugian pada saat harga naik,
dan posisi beli yang akan menghasilkan risiko kerugian pada saat harga turun. Hal
yang terkait dengan perhitungan risiko adalah nilai risiko dan pengujian atas
perhitungan nilai risiko yaitu:
a.
Nilai Risiko (Value-at-Risk/VaR)
Secara umum VaR didefinisikan sebagai suatu nilai harapan kerugian
maksimum dari nilai aset pada suatu periode tertentu dan tingkat kepercayaan
tertentu. Pada suatu peubah acak dengan fungsi sebaran kumulatif F yang
memodelkan data kerugian dari suatu aset keuangan untuk horison waktu tertentu.
VaR dapat didefinisikan sebagai kuantil ke- p dari sebaran F pada suatu peubah
acak (Gilli dan Kellezi, 2003)
VaR p = F −1 (1 − p )
−1
dengan F juga disebut fungsi kuantil yang didefinisikan sebagai
kebalikan dari fungsi sebaran F .
b.
Pengujian ke Belakang (Backtesting)
Model VaR hanya akan berguna apabila dapat mendemonstrasikan akurasi
dari hasil perhitungannya. Pengujian atas akurasi perhitungan dari model VaR
6
yang diperoleh dilakukan dengan membandingkan hasil prediksi model dengan
kerugian aktual yang telah terjadi.
Nilai pendugaan risiko (VaR) yang dibandingkan dengan amatan yang
melampaui nilai VaR. Fungsi indikator dapat digunakan untuk menentukan nilai
pelanggaran terhadap VaR (overshoot).
1 X i ≥ VaRp ,i
Ii =
0 X i < VaRp ,i
Fungsi indikator akan menghasilkan deret
{I i }
dengan mengasumsikan bahwa
P [ I i = 1] = A atau I i ∼ Bernoulli ( A ) dan diharapkan A = p (Baran dan Witzany,
2011).
Teori Nilai Ekstrem
Menurut Gilli dan Kellezi (2003) penentuan nilai-nilai ekstrem dapat
dilakukan dengan cara mengambil nilai-nilai maksimum suatu periode berurutan
yang tidak saling bertumpang tindih, misal periode mingguan, bulanan, tiga
bulanan atau tahunan. Pengamatan yang diambil sebagai nilai ekstrem adalah nilai
maksimum (atau nilai minimum) pada tiap periode yang ditentukan. Cara ini
disebut juga blok maksima (atau blok minima), dan model yang dihasilkan adalah
Generelized Extreme Value Distribution (GEVD). Cara lain dalam pengambilan
sampel nilai adalah dengan mengambil nilai amatan yang melampaui ambang
(threshold) tertentu sebagai amatan ekstrem. Model yang dihasilkan adalah model
Generalized Pareto Distribution (GPD). Cara ini disebut juga pelampauan
ambang (peak over threshold). Menurut Cebrian et al. (2003) metode dalam teori
nilai ekstrem ini tidak hanya bertumpu pada amatan saja tetapi memuat
argumentasi yang berdasar pada teori peluang mengenai perilaku amatan ekstrem.
Pemodelan perilaku amatan ekstrem yang melampaui suatu nilai ambang
tertentu merupakan cara untuk memahami perilaku amatan pada ujung sebaran
yang belum diketahui. Misalkan barisan amatan X 1 ,… X n yang berasal dari
sebaran F yang tidak diketahui, dan x0 adalah titik akhir (berhingga atau tak
berhingga) dari sebaran F yakni x0 = sup { x ∈ ℝ : F ( x ) < 1} ≤ ∞ .
7
Didefinisikan apabila u adalah suatu ambang yang ditetapkan, sebaran x
yang melampaui u dapat didekati dengan
Fu ( x ) = P { X − u ≤ x | X > u} =
F ( x + u ) − F (u )
1 − F (u )
untuk 0 ≤ x ≤ x0 − u .
Fu ( x ) merupakan peluang kemunculan amatan yang melampaui ambang u tapi
kurang dari x , dengan nilai ambang u yang tertentu yang ditetapkan.
Sebaran yang berasal dari model amatan pelampauan adalah kelompok
sebaran Generalized Pareto Distribution (GPD) yang biasa dinyatakan dengan dua
parameter sebaran yakni
(
Gξ ,σ
)
−1
1− 1+ ξ x ξ
σ
( x) =
x
1 − exp −
σ
jikaξ ≠ 0
jikaξ = 0
dengan ξ dan σ masing-masing menyatakan indeks ekor dan faktor skala (Liu
2007).
GPD dapat dikelompokkan menjadi 3 berdasar parameternya. Saat ξ > 0
akan dihasilkan sebaran Pareto biasa; jika ξ < 0 akan didapatkan sebaran Pareto
tipe II dan jika ξ = 0 maka dihasilkan sebaran eksponensial. Kelompok sebaran
ini dapat diperluas dengan menambahkan parameter lokasi µ , GPD dinyatakan
sebagai Gξ , µ ,σ ( x ) yang didefinisikan sebagai Gξ ,σ ( x − µ ) .
Pada metode peak-over-threshold model yang diperoleh ditentukan oleh
nilai ambang yang dipilih. Semakin tinggi ambang (pada kasus ekstrem
maksimum) jumlah amatan yang terpilih akan semakin sedikit dan sebaliknya.
Pemilihan ambang dilakukan dengan pertimbangan: (1) pemilihan ambang yang
terlalu tinggi akan meningkatkan ketelitian pada kuantil yang tinggi tetapi
menutup kemungkinan untuk mencari nilai kuantil yang rendah; (2) pemilihan
ambang yang terlalu rendah bisa membuat sebaran generalized Pareto tidak dapat
diterapkan dan membuat pendugaan kuantil menjadi bias (Cebrian et al. 2003).
(1)
8
Salah satu alat yang dipergunakan untuk menentukan nilai ambang adalah
grafik rataan pelampauan berupa pasangan data ( u, en ( u ) ) untuk x1:n < u < xn:n
dengan fungsi rataan pelampauan
n
en ( u ) =
dengan
k = min {i xi:n > u} dan
∑(x
i =k
i:n
− u)
n − k +1
n − k +1 menyatakan cacah amatan yang
melampaui ambang u.
Pendekatan pencarian ambang dengan menggunakan grafik rataan
ditentukan dengan mencari pola linier pada plot. Kesulitan dari cara ini adalah
bergantung pada pemeriksaan visual pada grafik rataan untuk menentukan titik
ambang. Cara lain untuk menentukan nilai ambang ini adalah dengan menetapkan
jumlah amatan yang akan terpilih menjadi sampel ekstrem. Pendekatan ini
menetapkan ambang u sehingga jumlah amatan ekstrem terpilih untuk menyusun
model sebanyak
n , dengan n adalah cacah amatan secara keseluruhan. Hanya
belum ada pembuktian bahwa penetapan jumlah amatan tersebut merupakan
penetapan yang terbaik (Blum dan Dacorogna 2002).
Cebrian et al. (2003)
memberikan saran untuk mengambil amatan ekstrem sebanyak persentase tertentu
disesuaikan dengan ketelitian kuantil yang diinginkan.
Persamaan untuk menentukan nilai VaR pada tingkat kepercayaan
100 (1 − q ) % , untuk q menyatakan peluang yang kecil, dapat diperoleh dengan
mencari penduga kuantil ke- q yakni rˆqgev dengan menggunakan persamaan
gpd
q
rˆ
σˆ n
= µ +
ξˆ N µ
q
− ξˆ
− 1
di mana n dan N µ masing-masing menyatakan jumlah amatan dan jumlah amatan
ekstrem (Low dan Dark, 2008). Menurut McNeil (1999) Persamaan (2) berlaku
untuk 1 − q > Gξ ,σ ( µ ) .
Pendugaan Fungsi Kepekatan Peluang dengan Pemulus Kernel
Ide dasar dari pendugaan fungsi kepekatan peluang dengan pemulus kernel
berasal dari histogram yang memberikan gambaran dari perilaku data. Sebuah
histogram terdiri dari susunan frekuensi data yang digambarkan dengan rentetan
(2)
9
persegi panjang pada kelas-kelas interval, di mana tinggi persegi panjang
menggambarkan frekuensi data yang terletak dalam kelas interval masing-masing.
Histogram dapat dipandang sebagai bentuk penduga fungsi kepekatan peluang
(untuk selanjutnya disingkat fkp) yang berupa fungsi konstan sepotong-sepotong.
Bentuk histogram yang dihasilkan bergantung pada pemilihan titik awal jendela,
lebar jendela, dan jumlah jendela yang diperlukan. Kebergantungan histogram
pada hal tersebut menjadi kelemahan histogram sebagai penduga fkp. Kelemahan
lain dari histogram sebagai penduga fkp adalah kekonstanan peluang pada tiap
kelas sehingga tidak kontinu atau mulus pada batas-batas kelas yang dihasilkan.
Pendugaan fkp dapat juga dilakukan dengan memuat fungsi kepekatan
tertentu pada interval-interval yang membentuk jendela pada histogram. Ide ini
didasarkan pada asumsi bahwa jika dilakukan pengamatan atas X i = xi , maka
suatu fkp f tidak hanya berlaku untuk xi tetapi juga untuk wilayah yang berada
di sekitar xi apabila f merupakan fkp yang cukup mulus. Oleh karena itu, untuk
menduga fkp f dari X 1 ,… , X n ∼ i.i.d. f adalah dengan mengakumulasikan fkp
lokal pada tiap persekitaran dari X i (Given dan Hoeting 2005).
Secara khusus, untuk menduga kepekatan pada titik x diperlukan wilayah
yang berpusat di x dengan lebar dx = 2h dengan h konstanta yang ditetapkan.
Proporsi amatan yang termuat di dalam wilayah γ = ( x − h, x + h )
akan
menggambarkan kepekatan di titik x . Sehingga akan diperoleh penduga fungsi
kepekatan berikut
1 n
fˆ ( x ) =
∑I
2hn i =1 { x − X i < h}
dengan I{ A} = 1 apabila A benar dan bernilai 0 untuk lainnya.
Pendugaan fkp kernel memperumum ide dari pendugaan fkp histogram.
Pada histogram dengan lebar kelas h yang dibangun dari sampel X 1 ,… , X n ,
didapatkan penduga kepekatan pada titik x dalam rentang data adalah
1
fˆ ( x ) =
×k
2hn
10
dengan k menyatakan cacah sampel yang termuat dalam interval ( x − h, x + h ) .
Penduga tersebut dapat dinyatakan sebagai
1 n 1 x − Xi
fˆ ( x ) = ∑ w
n i =1 h h
dengan w ( t ) = 12 I{ t