Bab2-grup dan semigrup

i

r

.
.

GRUP DAN SEMIGRUP

Pada Bab 2 ini kita akan menambahkan beberapa aksiorpa untuk mendapatkan
Sistem Aljabar yang lebih khusus, yakni Sistem Aljabar Grup.

DERNISI GRUP
Definisi2,1 (Grup)
Misalkan G adalah suatu himpunan tidak hampa dengan sebuah operasi binar.
Maka G disebut suatu Grup jika tiga aksioma berikut terpenuhi:
[GI] Hukum Asosjatif, yakni, untuk sembarang a, b, c pada G, berlaku
(ab)c

= a(bc)

[G2] Elemen Identitas, yakni, terdapat suatu elemen e pada G sedemikian sehingga

ae=ea=a
untuk sembarang elemen a pada G
[G3] Invers, yakni, untuk masing-masing a pada G, terdapat suatu elemen a-I
(invers dari a) pada G, sedemikian sehingga

Penambahan aksioma ([G2] dan [G3] mengubah Semigrup menjadi suatu Grup.

Definisi 2.2 (Grup Abel)
Suatu Gmp G dikatakan Grup Abel atau Grup Abelian, atau Grup Komutatif,
jika hukum komutatif berlaku: yakni, jika
ab=ba
untuk setiap a, beG.

22

Bila operasi binar dinyatakan hanya dengan blank seperti diatas, maka Grop
G dikatakan Grup aditif.
Pada Gmp aditif ini, elemen identitas dinyatakan dengan 0 dan disebut elemen

nol atau elemen zero.
lovers dari elemen a dinyatakan dengan -a dan disebut negatif dari a.
Dalam hal A dan B adaJah subset dari G, kita dapat mendefmisikan 2 operasi
AB, dan A+B yang kita tulis

AB = {ab: ae A, be B} atau
A+B = {a+b: a e A, b e B}
Sekarang kita definisikan order dari suatu Grop, dan Grop hingga.

Definisi 2.3 Order)
Order dari Gmp G adalah banyaknya elemen Grop G, dinyatakan dengan 101.

Definisi 2.4 (Grup Hingga)
G adalah suatu Grup Hingga, jika order dari 0 hingga.

CONTOH GRUP
Contoh 2.1
Himpunan integer Z, himpunan bilangan rasional Q, himpunan bilangan real
R, dan himpunan bilangan kompleks C masing-masingMaIah Grop Abel di bawah
operasi penjumlahan.

Contoh 2.2
Himpunan integer positif N tidak membentuk suatu Grup di bawah penjumlahan,
karena, sebagai contoh 01eN.

23

Contoh 2.3
Himpunan bilangan rasional tidak nol Q\{O}membentuk Grup Abel di bawah
perkalian. Oi sini bilangan rasional I adalah elemen identitas dan q/p adalah invers
multiplikatif dari bilangan rasional p/q.

Contoh 2.4
Pal)dang S adalah himpunan matriks n x n dengan elemen rasional, di bawah
operasi perkalian matriks.
Meskipun perkalian matriks adalah asosiatif dan perkalian matriks mempunyai
elemen identitas I (d~nganelemen rasional), S bukanlah suatu Grup, karena invers
tidak selalu ada.

Contoh 2.5

Sementara itu himpunan G dari matriks nonsingular n x n membentuk Grup
di bawah perkalian matriks.
Elemen identitasnyaadalahmatriks identitas I, dan inversdari A adalah matriks
invers A-I. Ini adalah suatu eontoh dari Grup yang tidak Abel, karena perkalian
matriks tidak komutatif.

Khususnya,bila n = 2 makaI = 1
o
dan invers dari A

=

a

e

b adalahAI = d/IAI
allAI
d
-e/IAI

di sini IAI = ad - be adalah determinan dari A.

24

0
1
-b/IAI

PERMUTASI DAN GRUP SIMETRIS BERDERAJAT N
Sekarang akan kuta detfnisikan Grup simetris berderajat n, yang dinyatakan
dengan sn'

Definisi 2.5
Suatu pemetaansatu-satu(one-to-one)0 dari himpunan{1,2,...,n}ke dalam
dirinyasendiri,disebutpermutasi.
Permutasi seperti itu kerap kali dinyatakan dengan

dengan jj

= O(i).

Himpunan dari permutasi seperti ini, dinyatakan dengan Sn' dan terdapat n!

1

·2. ... ·n permutasi.

=

Komposisi dari permutasi pada Sn termasuk juga pada Sn' pemetaan identitas
termasuk Sn' dan i~Yers dari permutasi pada Sn termasuk Sn pula. Karenanya Sn
membentuk suatu Grup di bawah komposisi pemetaan.

Definisi 2.6 (Grup Simetris)
Grup Sn dari Koleksi semua permutasidalam S disebut Grup Simmetris
berderajat

n.

Sekarang kita menentukan elemen dan tabel perkalian dari Grup Simetris S3'
S3 mempunyai 3!
E

01

=

123
123

=

123
132

= 6 elemen,sebagaiberikut:
O2 =

123

321

03 =

123
213

01k

O2

=

=

123
2 3 1
123
312
25

Untuk menentukan komposisisi dua Pennutasi, misalnya

123
3 2

1 2
2 3

1

3
1

dapat kita lakukan sebagai berikut
3~

1 diperoleh

2--;-73

1~2
1 2
1 3

atau diperoleh

BerartiO201k

1~1
2~3
3~2

3
2

= 01

Secara lengkap, tabel perkalian dari S3 terlihat pada Gambar 2-1.

E

I

E

al

a2

a3

f/J1

f/J2

E

a2

a3

01

O2

O2

a2

a3

a3

al

al
O2
E

a2
E

al

al

al
E

a2

a2

O2

01
E

a3

a3

01

O2

01
E

01

01

a3

al

a2

O2

O2

a2

a3

al

Gombar 2-1

26

01

SIFAT GRUP
Sitat 2.1
Elemen identitas pada suatu Grup G adalah tunggal atau unik.

Bukti
Pandang e dan e' adalah elemen identitas pada G. Maka ee' = e karena e'
adalah elemen identitas, dan ee' = e' karena e adalah elemen identitas . Karenanya

e=e'._

Sitat 2.2
Invers a-I dari a, sembarang elemen G, adalah unik.

Bukti
Misalkaninversdari a adalahb dan b'. Diperoleh
b*(a*b')

= b*e = b

dan (b*a)*b'

Karena G asosiatif, (b*a)*b'

= e*b' = b'

= b*(a*b');

karenanya b

= b'._

Sitat 2.3
Hokum penghapusan kiri dan kanan terpenuhi pada G.

Bukti
Jika ab

= ac,

maka

b

=
=
=
=
=

eb
(a-Ia)b
a-I(ab)
a-I(ac)
(a-1a)c

=ec

= c
Secara yang sarna, jika ba

= ca,makab = c...
27

Sitat 2.4
Pada Grup G berlaku bahwa (a-It'

= a,

untuk sernbarang elernen a pada G.

Buldi
Karena a-I adalah invers dari a, kita dapatkan

Karenanya a adalah invers dari a-I; yakni a

= (a-Itl,

..

Sitat 2.5
Berlaku bahwa (abtl

= b-Ia-I

Buldi
Di sini
(b-Ia-I)(ab) = b-I(a-Ia)b

=

b-Ieb

=
=

b-Ib
e

Secara yang sarna,

Karenanya, b-Ia-I adalah invers dari ab, yakni bahwa b-Ia-I

=(abt',..

CONTOH
Contoh 2.6

=

Dibicarakan Gmp G {1,2,3,4,5,6} di bawah perkalian modulo 7, Kita akan
rnenentukan tabel perkalian dari G,

28

Untuk mendapatkan a*b pada G, kita tentukan sisa pdari hasil kali ab dibagi
dengan 7. Sebagai contoh, 5 6 =30 yang menghasilkansisa 2 bila dibagi dengan
7; karenanya 5*6 = 2 pada G, Tabel perkalian dari G terlihat pada Gambar 3-2.

·

*

I

2

3

4

5

6

I

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

1

3

5

3

3

6

2

5

1

4

4

4

1

5

2

6

3

5

5

3

1

6

4

2

6

6

5

4

3

2

1

I

Gambar 3-2
Dapat dicatat bahwa 1 adalah elemen identitas dari G. Kemudian ingat bahwa
a-I adalah elemen dari G sedemikian sehingga aa-1 = 1. Karenanya sebagai contoh
2-1

= 4, 3-1 = 5, dan

SUBGRUP

6-1

= 6.

.--

Sekarang kita defmisikan suatu Subgrup dari sebuah Grup.

Definisi 2.7 (Subgrup)
Suatu subset H dari suatu Grup G disebut sebuah Subgrup dari G, jika H
sendiri membentuk sebuah Grup di bawah operasi dari G.

Teorema 2.1
Pandang H adalah sebuah subset dari sebuah Grup G. Maka H adalah sebuah
Subgrup dari G jika H mempunyai tiga sifat berikut:
29

(i) Elemen identitas e tennasuk H
(ii) H tertutup di bawah operasi dari G, yakni jika a, b e H maka ab e H
(Hi) H tertutup di bawah invers, yakni, jika a e H, maka a-I e H.

Bukti
H tidak hampa dan mempunyai sebuah elem~n identitas berdasarkan (i).
Operasi adalah terdifinisi rapi pada H berdasarkan (ii). lovers terdapat pada H
berdasarkan (Hi).Terakhir, hokum asosiatif berlaku pada H karena ia berlaku pada
G. Karenanya H adalah sebuah SubgriJp dari G.

CONTOH SUBGRUP
Contoh. 2.7
Kita bicarakan Grup Z dari integer, di bawah penjumlahan.Misalkan H adalah
subset dari Z berisi semua kelipatan dari integer positif m; yakni H = { ...,-3m,2m. -m, 0, m, 2m, 3m, ... }. Kita tunjukkan bahwa H adaJah sebuah Subgrup dari
Z.
(i) H mengandung elemen identitas 0 dari Z.
(ii) Jika rIDdan sm adalah sembarang elemen dari H, maka jumlah rID+ sm
(r+s) m adalah juga sebuah elemen dari H.

=

(iii) Jika rm adalah sembarang elemen dari H, maka negatifnya -rID juga
tennasuk H.
.

GRUP SIKLIK
Misalkan G adalah sembarang Grup dan misalkan a adal3h sembarang elemen
dari G. Sekarang kita defmisikan Grup Siklik yang dibangun oleha, yang dinyatakan
dengan gp(a).
Sebagaimana

biasa, kita mendefmisikan

30

= e dan

an+I

·

= an a.Jelas,am. an

= am+ndan (am)R= amn,untuk sembaranginteger m dan n. Misalkan gp(A)
menyatakanhimpunandari semuapangkatdari a:

30

gp(a)

= {..., a-2, a-I, e,

a, a2, a3, ...}

Karenanya gp(a) mengandung e, tertutup di bawah .operasi Grup, dan
mengandung invers. !(arena itu, gp(a) adalah sebuah Subgrup dari G.

Definisi 2.8 (Subgrup Siklik)
Subgrup dari G,
gp(a)

= {..., a-2, a-I, e, a, a2, a3, ...}

disebut Grup Siklik yang dibangun oleh a.

Misalkan a adalah sembarang elemen pada sebuah Grup G. Sekarang kita
akan menyatakan Grup Siklik gp(a), bila gp(a) hingga, dan akan mendefinisikan
order dari a.
Jika gp(a) hingga, maka beberapa pangkat dari a adaIah sarna, katakanlah ar

= as, dengan

r > s. Berarti ar-s = e dengan r-s > O.

Definisi 2.9 (Order Grup Siklik)
Integer positif terkecil IIi, sedemikian sehingga

disebut order dari a, dan dinyatakan dengan Ia!.

Jika Ia! = m, maka Subgrup Sikliknya gp(a) mempunyai m elemen, yakni:
gp(a) = fe, a, a2. a3, ..., am-I}
Jika gp(a) tak hingga, maka kita definisikan bahwa Ia!= O.

31

CONTOH GRUP SIKLIK
Contoh 2.8
Kita bicarakan Grup Abel G modulo 7 dari Contoh yang lalu. Akan kita
tentukan order dan Subgrup yang dibangun oleh 2 dan 3.
Kita peroleh 21

22

=2

=4

tetapi 23 =1
Karenanya

121

=3, dan gp(2) = {l,2,4}.

Kita peroleh 31
32

=3
=2

=6
34 =4
33
3s
36
Karenanya

131

=5

=1

=6 dan

gp(3)

=G.

Jelas bahwa G ada1ah Siklik 1carena G

= gp(3).

KOSET
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup Grup G. Akan kita
definisikan Koset kanan (kiri) dari H.

Deflnlsl 2.10 (Koset)
Misalkan a ada1ah sembarang elemen dari G. Himpunan

32

Ha

= {ha: h e

H}

disebut Koset Kanan dari H. Analog dengan itu,
aH

= {ah: h e

H}

disebut Koset Kiri dari H. .

Teorema 2.29.2
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Koleksi Koset kanan
Ha membentuk sebuah partisi dari G.

Bulct/

.

Karena e e H, rnaka a = ea e Ha; karenanya setiap e1ementennasuk suatu
Koset, yakni, a e Ha.
Sekarang pandang Ha dan Hb adalah tidak saling lepas. Katakanlah c e Ha
e Hb. Bukti kita adalah lengkap dengan menunjukkan bahwa Ha Hb.

=

Karena c tennasuk kedua Ha dan Hb, kita peroleh

dengan hI'

~e

H

Karenanya

dan karenanya

Misalkanx e Ha. Karenanya

33

x = h3a

=h3h1-1~b
dengan h3 e H
Karena H adalah sebuah Subgrup, maka

karena itu x e Hb.
Karena x adalah sembarang elemen dari Ha, maka kita peroleh Ha adalah
subset Hb. Seciu'ayang sarna, kita peroleh Hb subset Ha.
Hal ini berakibat Ha = Hb, dan teorematerbukti..
Sebelum membuktikan teorema Lagrange berikut, kita perhatikan teorema bantu
berikut ini:

Teorema Bantu 2.1
Misal H adalah sebuah Subgrup hingga dari G. Akan temyata bahwa H dan
sembarang Koset Ha mempunyai jum1ahelemen berbeda yang sarna. Perhatikan,
misalkan

dengan H mempunyai k elemen. Karenanya

Karena

di sini ~a

= ~a berakibat~ = ~;

maka pada Ha juga terdapat k elemen yang berbeda.

Teorema 2.39.3. (Lagrange)
Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup hingga_G. Order dari
H membagi order dari G.

34

Buldi
Pandang H mempunyai r elemen dan terdapat s Koset 1cananyang beIbeda.
Dari teorema 9.2, Koset mempartisi G, dan dari teoremabantn di atas, masingmasing Koset mempunyai r elemen. Karenanya G mempunyai rs elemen, dan
karenan itu order dari H membagi order dari G'"

Misalkan H adalah sebuah Subgrup dari sebuah Grup G. Kita akan
mendefinisikanindeksdari H pada G, dinyatakandengan[G:8].

Definisi 2.11 (Indeks)
Indeks dari H pada G adalah sarna dengan banyaknya Koset 1canan(atau kiri)

=

dari H pada G. Jika G dan H adalah hingga, maka [G:8] 101/181.
Misalkan H adalah a Subgrop dari suatu Grop G. Kita akan mendefinisikan
suatu 5istem penyaji-Koset untuk pada G.

a

Definisi 2.12 (Penysj/-Koset)
Suatu subset C dari G adalah suatu sistem penyaji-Koset dari H, jib C
mengandung tepat satu elemen dari masing-masing Koset Masing-masing e1emen
serupa itu disebut penyaji-Koset.
Banyaknya elemen pada C atau, dengan kata lain, banyaknya penyaji-Koset,
adalah sarna dengan [G:8], indeks dari H pada G.
MisalkanH adalahSubgropdari suatuGmp hinggaG. Tedapat181cara memilih
suatu elemen dari sembarangKoset,dan terdapat [G:8] Koset yang berbeda. Karena
itu terdapat IHI[G:H]
sistem penyaji-Koset untuIc:Koset dari H.

CONTOH KOSET
Contoh 2.9
Dibicarakan Grop Z dari integer, di bawah penjumlahan dan Subgrop H

={...,

-10, -5, 0, 5, 10, ...}, yang adalah berisi semua kelipatan 5. Kita akan menentukan
Koset dari H pada Z. dan indeks dari H pada Z.

35

Terdapat lima Koset (kiri) yang berbeda dari H pada Z, sebagai berikut
O+H H {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}
l+H {..., -9, -4, 1,6, 11, ...}
2+H = {..., -8, -3, 2, 7, 12, ...}
l+-H {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}
4+H = {..., -6, -1, 4, 9, 14, ...}

= =
=
=

Koset yang lain n+H akan sarna dengan salah satu Koset dia atas
Meskipun Z dan H keduanya adalah tak hingga, indeks dari H pada Z adalah
hingga. Di sini [Z:H] = 5, yang merupakanjuga banyaknya Koset.
Sekarang kita akan menentukan Suatu sistem penyaji-Koset untuk Subgrup H
dari Z di atas. Sistem penyaji- Koset tersebut di antaranya adalah

{0,1,2,3,4} atau {-1,0,1,2,3}.
Sebagai catatan, kita biasanya memilih integer nonnegatifterkecil, atau integer
terkecil sebagai penyaji-Koset untuk suatu Subgrup H dari Z. Secara umum, kita
memilih elemen identitas untuk penyaji dari H.

Contoh 2.10
Pandang Grup Simetrik S3 yang lalu. Kita akan menentukan order dari 3
tersebut, dan Subgrup yang dibangun oleh masing-masing elemen S3'
e 1

=e,

karenanya IeI = I dan gp(e) = {e} ·

~ll = e 1
~2- e .

ul -

36

,

5ecara yang sarna
1021

= 2,

gP(02)

= {02' e

}; dan

= 2, gp(e 3) = {0:3,e }. Kib

1031

Karenanya

1011

=3 dan

gp(01)

peroleh

= {e,

01, O2}.

Juga, 012 = O2

0l = 01
023 = 01802 = e

Di sini 53 adalah tidak 5iklik, karena 53 tidak dibangun oleh sembarang
elemennya.
Kita akan menentukan suatu 5ubgrup H herorder empat untuk Grup 5imetrik
Order dari 53 adalah 6. Dari teorema Lagrange, order dari H haruslah membagi
order dari 53. Karenanya tidak terdapat suatu 5ubgrup herorder 4.

Contoh 2.11
DibicarakanGmp 5imetrik 53padaGarnbar2.1.MisalkanA = {OI'~} dan

B

= {01'02}.

Tentukan

(a) AB
(b) 03A dan
(c) A03

37

(a) Kalikan masing-masing elemen dari A dengan masing-masing elemen
dari B:

=~
= ~ = 020. = 3,

= 0.

(b) Kalikan 03 dengan masing-masing elemen dari A~

030. = 0.
0302;: O2

(c) Kalikan masing-masin~ elemen dari A dengan 03:
0.03

=O2

~03 =.0.

Contoh 2.12
DibicarakanSubgmpH =gp(o.)dan K =gp(02)dari S3 pada Gambar 2.1. Di
sini HK bukan suatu Subgrup dari S3'

yang bukan merupakan suatu Subgrup dari S3' karena HI( mempunyai 4 elemen.

38

Contoh 2.13
Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa HH

=H.

Karena H adalah Tertutup di bawah o~rasi dari-a, kita mempunyai HH C H.
Pada lain pihak, pandang h E H..Karena H adalah suatu Subgrup, elemen identitas

e termasukH. Karenanyaeh = h E HH, dan karenanyaH C HH. Keduahal ini
mengakibatkan HH

=H.

Contoh 2.14
Satu-satunya Subgrup dari Grup Siklik berorder p, dengan p prima adalah
{E }, berdasarkan teorema Lagrange.

Contoh 2.15
Kita akan menentukan suatu subset S dari Grup Z dari integer di bawah
penjumlahan, sedemikian sehingga S + S "*S, dan a ~ a + S untuk beberapa elemen
a E Z.
Misalkan S = {1,2,3,...}.Maka S + S = {2,3,4,...}"*S, dan 2 + S
tidak mengandung 2.

={3,4,S,u.}

Contoh 2.16
Jika H adalah suatu Subgrup dari G, akan kita tunjukkan bahwa Ha
dan hanya jika ab-l E H.
Jika Ha
sehingga a

= Hb,

maka a E Ha

= Hb. Karenanya terdapat h E

= hb, dan ab-l = h termasuk

=Hb jika

H sedemikian

H. Ada lain pihak, pandang h

= ab-l

E H.

Maka a = hb E Hb. Tetapi a E Ha. Karena itu Ha =Hb, sebab Koset membentuk
suatu partisi dari G.

39

Contoh 2.17
Misalkan G ad~ah suatu Grup Hingga berorder n. Tunjukkan bah~a ~
untuk sembarang a

e G.

=e

Jika 19p(a)1= In, maka am =e. Dari teorema Lagrange, m membagi n; katakanlah,

n

40

= me. ~nanya