PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP BANACH
menggunakan Teorema Titik Tetap Banach maka penyelesaian tersebut selalu dapat dicari dengan teknik iterasi.
Definisi 4.1.2
Diketahui X ruang metrik, R
X f
→ :
dan R
X g
→ :
adalah fungsi kontinu terbatas pada X. Didefinisikan jarak f dan g sebagai
sup ,
x g
x f
g f
d
X x
− =
∈
Teorema 4.1.1
Diketahui X ruang metrik dan CX ruang metrik dari fungsi kontinu terbatas pada X
serta
n
f barisan fungsi dengan
X C
f
n
∈ , untuk setiap n. Barisan
n
f konvergen ke fungsi f dalam CX jika dan hanya jika barisan
n
f konvergen
seragam ke fungsi f pada X.
Bukti: ⇒
Misalkan diketahui barisan
n
f konvergen ke fungsi f dalam CX maka
, →
f f
d
n
untuk
∞ →
n
. Dengan kata lain untuk setiap
ε terdapat
N n
∈ sehingga
ε
≤ −
x f
x f
n
, untuk setiap
n n
≥ dan untuk setiap
X x
∈
, sehingga ε
≤ −
∈
sup x
f x
f
n X
x
, untuk semua
n n
≥ , yaitu
n
f konvergen seragam ke fungsi f pada X.
⇐ Misalkan diketahui
n
f konvergen seragam ke fungsi f pada X berarti untuk
setiap ε
terdapat N
n ∈
sehingga ε
≤ −
x f
x f
n
, untuk setiap n
n ≥ dan
untuk setiap
X x
∈
maka ε
≤ −
∈
sup x
f x
f
n X
x
, untuk semua n
n ≥ .
Dengan kata lain ,
→ f
f d
n
jika
∞ →
n
, yaitu barisan
n
f konvergen ke
fungsi f dalam CX.
Berikut ini diberikan kriteria Cauchy untuk kekonvergenan seragam fungsi
Teorema 4.1.2
Diketahui
n
f adalah barisan fungsi dalam E, akan konvergen seragam dalam E
jika dan hanya jika untuk setiap ε
terdapat N dimana N
n m
≥ ,
,
E x
∈
berlaku ε
≤ −
x f
x f
n
.......................
Bukti
: ⇒ Diketahui
n
f konvergen seragam dalam E, dan diketahui f merupakan
fungsi limit. Terdapat N dimana
N n
≥
,
E x
∈
berlaku
2 ε
≤ −
x f
x f
m n
, Oleh karena itu
ε
≤ −
+ −
≤ −
x f
x f
x f
x f
x f
x f
m n
m n
Jika N
n m
≥ ,
,
E x
∈
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
⇐ Diketahui kondisi Cauchy terpenuhi. Barisan
{ }
n
f yang konvergen, nilai limit
dari setiap x adalah x
f dan barisan
{ }
n
f konvergen dalam E ke f. Akan
dibuktikan barisan
{ }
n
f yang konvergen tersebut seragam.
Ambil ε
dan pilih N yang memenuhi kondisi , anggap n tetap dan
∞ →
m
. Karena x
f x
f
m
→ untuk
∞ →
m
, maka ε
≤ −
x f
x f
m
, untuk setiap
N m
≥
dan
E x
∈
.
Selanjutnya akan diberikan teorema yang berguna dalam pembuktian Teorema Eksistensi dan Ketunggalan penyelesaian persamaan diferensial.
Teorema 4.1.3
Jika X sebarang ruang metrik maka ruang metrik CX lengkap.
Bukti:
Diketahui
{ }
n
f adalah barisan Cauchy dalam CX. Ini berarti untuk setiap
ε terdapat bilangan asli N sehingga
ε ,
m n
f f
d untuk setiap
N n
m ≥
, Menurut
Teorema 4.1.2 terdapat fungsi f dengan domain X sehingga
{ }
n
f adalah
konvergen seragam ke f. Jadi f kontinu yang berarti f terbatas sebab terdapat n sehingga
1 −
x f
x f
n
, untuk semua
X x
∈
dan
n
f terbatas. Dengan
Demikian X
C f
∈ dan karena
f f
n
→ seragam pada X, maka diperoleh ,
→
m n
f f
d untuk
∞ →
n
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Lemma 4.1.1
Diketahui fungsi R
D f
→ :
kontinu, didefinisikan fungsi kontinu ϕ pada
{ }
h x
x h
x x
I +
≤ ≤
− =
ke R dengan y
x =
ϕ untuk suatu
D y
x ∈
, .
Fungsi ϕ merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial
, ,
x x
f y
x f
dx dy
ϕ =
= pada I jika dan hanya jika
ϕ memenuhi persamaan
integral
∫
+ =
x x
dx x
x f
y x
f ,
ϕ .
Bukti :
Dengan mengintegralkan ,
x x
f dx
dy ϕ
= di antara
x dan x dengan syarat
y x
y =
, selanjutnya Teorema Fundamental Kalkulus memberikan persamaan integral yang diberikan yaitu :
dx dx
dy
x x
∫
=
∫
x x
dy
∫
x x
dy =
x f
x f
−
dx y
x f
x x
∫
, =
y x
f −
x f
= y
+ dx
y x
f
x x
∫
,
x f
=
∫
+
x x
dx x
x f
y ,
ϕ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema 4.1.4 Teorema Eksistensi dan Ketunggalan
Diberikan segiempat
{ }
k y
y h
x x
y x
S ≤
− ≤
− =
, ,
,
M y
x f
≤ ,
untuk suatu M0. Fungsi
R S
f →
: kontinu dan memenuhi Kondisi Lipschitz terhadap
y , diambil x tetap, yaitu
2 1
2 1
, ,
y y
y x
f y
x f
− ≤
−
α , untuk semua
,
1
y x
dan
S y
x ∈
,
2
. Jika
k Mh
≤
dan
1 h
α maka terdapat dengan tunggal fungsi terdiferensial
kontinu ϕ pada
{ }
h x
x h
x x
I +
≤ ≤
− =
yang memenuhi y
x =
ϕ , dan
, x
x f
dx dy
ϕ =
.
Gambar 4.1.1 Bukti :
Menurut Lemma 4.1.1 cukup dicari penyelesaian dari persamaan integral
∫
+ =
x x
dt t
t f
y x
, ϕ
ϕ dengan
k y
x ≤
−
ϕ , untuk setiap
I x
∈
.
a,b -a,b
-a,-b a,-b
R
t
Misalkan I
C adalah ruang metrik dari fungsi kontinu terbatas pada I dan
I C
E ⊆
dimana berlaku
k y
x ≤
−
ϕ , untuk setiap
I x
∈
. Jika
{ }
n
ϕ barisan fungsi pada E yang konvergen ke fungsi I
C ∈
ϕ maka
ketaksamaan
y y
n n
− +
− ≤
−
ϕ ϕ
ϕ ϕ
menunjukkan bahwa ϕ juga berada
di E. Sehingga E adalah himpunan bagian tertutup dari I
C dan menurut
Teorema 2.3.5, E merupakan ruang metrik lengkap.
Didefinisikan fungsi F pada E dengan aturan ψ
ϕ = F
dimana
∫
+ =
x x
dt t
t f
y x
, ϕ
ψ ,
E ∈
ϕ .
Diperoleh :
y x
−
ϕ =
k Mh
x x
M dt
t t
f
x x
≤ −
≤
∫
,
ϕ
, untuk
setiap x sehingga ψ
ϕ = F
berada di E dan fungsi F memetakan ruang metrik E ke dirinya sendiri. Sekarang akan ditunjukkan bahwa F adalah fungsi kontraksi.
Misalkan
E ∈
2 1
,
ϕ ϕ
dengan
1 1
ϕ ψ
F =
dan
2 2
ϕ ψ
F =
maka
1 2
x x
ψ ψ
−
=
∫ ∫
−
x x
x x
dt t
t f
dt t
t f
, ,
1 2
ϕ ϕ
=
{ }
∫
−
x x
dt t
t f
t t
f ,
,
1 2
ϕ ϕ
≤
∫
−
x x
dt t
t
1 2
ϕ ϕ
α
≤
1 2
. sup
x x
t t
I t
− −
∈
ϕ ϕ
α ≤
1 2
, .
ϕ ϕ
α
d h
Oleh karena itu
1 2
1 2
, .
,
ϕ ϕ
α ψ
ψ
d h
d ≤
,
1 h
α Terbukti bahwa F adalah fungsi kontraksi dan selanjutnya dengan menggunakan
Teorema Titik Tetap Banach diperoleh bahwa fungsi F mempunyai titik tetap tunggal.
Dengan kata lain persamaan integral
∫
+ =
x x
dt t
t f
y x
, ϕ
ϕ mempunyai
sebuah penyelesaian tunggal.
Teorema ini sering kali disebut sebagai Teorema Eksistensi dan Ketunggalan Picard
. Teorema ini dapat digunakan untuk mendapatkan barisan pendekatan yang konvergen ke penyelesaian dari
, x
x f
dx d
ϕ ϕ
= ,
y x
= ϕ
Proses hampiran dimulai dengan fungsi konstan y
x =
ϕ . Selanjutnya,
∫
+ =
x x
dt y
t f
y x
,
1
ϕ
∫
+ =
x x
dt t
t f
y x
,
1 2
ϕ ϕ
M
∫
−
+ =
x x
n n
dt t
t f
y x
,
1
ϕ ϕ
Teknik hampiran ini dikenal dengan Metode Hampiran Berurutan Successive Approximation Method
. Berikut ini akan diberikan beberapa contoh penerapan Teorema Eksistensi dan
Ketunggalan Picard. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 4.1.1
Akan diselesaikan masalah nilai awal ϕ
ϕ =
dx d
, 1 =
ϕ
Dengan teknik di atas didapat barisan : 1
= ϕ
x dt
x
+ =
+ =
∫
1 1
1
ϕ
2 1
1 1
2 2
x x
dt t
x
+ +
= +
+ =
∫
ϕ
M
2 1
1 .
3 .
2 2
1 1
2 1
2
n x
x x
dt n
t t
t
n x
n n
+ +
+ +
= −
+ +
+ +
+ =
∫
−
K K
K
ϕ
Jelas tampak bahwa
{ }
n
ϕ konvergen ke penyelesaian
x
e =
ϕ masalah nilai awal
tersebut karena
n
ϕ merupakan polinomial MacLaurin dari
x
e .
Lemma 4.1.2 Test M-Weierstrass
Diketahui x
a
n
merupakan barisan dari fungsi
k
R S
⊂ ke
m
R dan
n
M merupakan barisan bilangan real sehingga
n n
S x
n
M x
a a
≤ =
∈ ∞
sup
untuk semua
S a
∈
.
Jika
∑
∞ =1
n n
M konvergen maka
∑
∞ =1
n n
x a
konvergen seragam dalam S.
Bukti :
Untuk setiap
S x
∈
, barisan x
a
n
konvergen seragam karena PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∞ ≤
∑ ∑
∑
∞ =
∞ =
∞ ∞
= 1
1 1
n n
n n
n n
M a
x a
Kemudian akan dijumlahkan. Dimisalkan
∑
∞ =
=
1 n
n
x a
x f
. Maka untuk setiap
S x
∈
,
∑ ∑
∑ ∑
∑
∞ +
= ∞
+ =
∞ ∞
+ =
∞ +
= =
≤ ≤
≤ =
−
1 1
1 1
1 k
n n
k n
n k
n n
k n
n k
n n
M a
x a
x a
x a
x f
. Hasilnya tidak tergantung pada x. Kemudian
lim lim
1 1
= ≤
−
∑ ∑
+ =
∞ →
∞ =
∞ →
k k
n n
k k
n n
k
M a
f
Oleh karena itu, suku-suku ini akan konvergen seragam ke f.
Contoh 4.1.2
Akan diselesaikan masalah nilai awal 1
x f
x x
f −
+ =
′ ,
[ ]
2 1
2 1
, −
∈ x
, f
=1 Pertama masalah nilai awal diubah ke persamaan integral.
x f
=
∫
− +
+
x
dt t
f t
1 1
=
dt t
f x
x
x
∫
− +
+
2
2 1
1
, dengan
[ ]
2 1
2 1
, −
∈ C f
.
Didefinisikan fungsi T dalam
[ ]
2 1
2 1
, −
C yang memetakan f menjadi
f T
dengan aturan
dt t
f x
x x
f T
x
∫
− +
+ =
2
2 1
1
.
Penyelesaian dari persamaan integral ini adalah titik tetap dari T. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Menurut Teorema Titik Tetap Banach, akan dibuktikan bahwa T fungsi kontraksi.
x g
T x
f T
−
= dt
t g
t f
x
∫
−
≤
dt t
g t
f
x
∫
−
≤
∫
x
dt g
f d
,
= ,
g f
d
∫
x
dt
≤ 2
1 ,
g f
d Maka
, g
T f
T d
≤ 2
1 ,
g f
d Jadi T adalah fungsi kontraksi.
Menurut Teorema Eksistensi dan Ketunggalan, terdapat titik tetap f yang tunggal yang merupakan penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Lebih lanjut untuk
sebarang barisan fungsi
n
f dan
1 n
n
f T
f =
+
akan konvergen ke f dalam
[ ]
2 1
2 1
, −
C . Sebagai contoh diambil
f fungsi konstan satu yaitu
1 =
x f
. Maka,
2 2
1
2 1
1 1
2 1
1 x
dt x
x x
f T
x f
x
+ =
− +
+ =
=
∫
3 2
2 2
1 2
6 1
2 1
1 2
1 1
2 1
1 x
x dt
x x
x x
f T
x f
x
− +
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ + −
+ +
= =
∫
4 3
2 3
2 2
2 3
24 1
6 1
2 1
1 6
1 2
1 1
2 1
1 x
x x
dt x
x x
x x
f T
x f
x
+ −
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− +
− +
+ =
=
∫
Secara umum dengan menggunakan induksi matematika akan didapat
1 5
4 3
2
1 1
5 1
4 1
3 1
2 1
1
+
− +
+ +
− +
− +
=
n n
x n
x x
x x
x f
L
Tampak bahwa barisan terdiri dari jumlah parsial suatu barisan tak hingga. Suku baru yang ditambahkan pada langkah ke-n adalah
1
1 1
+
− +
n
x n
, yang mana
pada
[ ]
2 1
2 1
, −
memiliki norma maksimum
1 1
1 2
1
1 2
1 sup
− +
+ ≤
+ =
+ −
n n
x
n n
x
.
Oleh karena itu deret kuasa ini akan konvergen seragam dalam
[ ]
2 1
2 1
, −
menurut Test M-Weierstrass.
Akan didapatkan
∑
∞ =
−
+ =
− +
= 1
k x
k
x e
x k
x x
f
Ini menunjukkan x
e
x
+
−
merupakan penyelesaian tunggal dari persamaan integral di atas,
Jelas bahwa
x e
x e
x e
x x
x
+ −
+ =
+ −
= ′
+
− −
−
1 1
dan 1
= +
e yang berarti
benar bahwa x
e x
f
x
+ =
−
memenuhi masalah nilai awal tersebut.
Terakhir akan diperkenalkan secara singkat mengenai perluasan penyelesaian persamaan diferensial, yang nantinya dapat dijadikan bahan skripsi seterusnya.
Jika f terdefinisi dalam himpunan terbuka D dalam
2
R dan
M ,
1
M
dari Teorema Eksistensi dan Ketunggalan Picard mencakup untuk semua D, maka
penyelesaian ϕ dapat dibentuk beberapa segi empat di dalam D. Pada pembuktian
teorema di atas ukuran h hanya tergantung pada M
,
1
M
, k dan tidak terhadap ϕ .
Pada saat penyelesaian ϕ ditemukan dalam sebuah segi empat dengan pusat
, y x
, dapat dibentuk sebarang titik pada penyelesaian ini, anggap saja
1 1
, y x
. Dengan melihat gambar 4.1.1, dapat dengan mudah menunjukkan penyelesaian
baru akan selalu ada. Menggunakan sifat ketunggalan maka penyelesaian harus melewati segi empat sebelumnya. Selanjutnya dapat dibentuk segi empat lainnya
yang memuat penyelesaian selama segi empat tersebut berada dalam D.
Gambar 4.1.1