MATEMATIKA 157
D. Kesebangunan Dua Segitiga
Pertanyaan Penting
7DKXNDK NDPX SDGD VDDW WHNQRORJL PHVLQ IRWRNRSL NDPHUD GDQ NRPSXWHU EHOXP ditemukan bagaimana cara manusia menduplikat, memperbesar atau memperkecil
suatu gambar?
DJDLPDQD PHQJLGHQWL¿NDVL GXD VHJLWLJD DWDX OHELK VHEDQJXQ DJDLPDQD V\DUDW yang harus dipenuhi sehingga dua segitiga atau lebih dikatakan sebangun?
Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpa mengukurnya secara langsung?
Kegiatan 4.13
Pantograf
Ada salah satu alat gambar yang diciptakan oleh Christooph Scheiner sekitar WDKXQ \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW VDOLQDQ JDPEDU GHQJDQ VNDOD \DLWX
SDQWRJUDI3ULQVLSNHUMDSDQWRJUDIPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ
Ayo Kita Amati
PDWLODKJDPEDUSDQWRJUDIGLEDZDKLQL
gambar asli gambar salinan skrup
pensil sumbu
titik tetap Saat pensil pada gambar asli
digerakkan, pensil pada sisi kanan secara otomatis akan
membuat salinannya. Ukuran salinan
gambar dapat
disesuaikan dengan mengubah posisi sumbu.
HQJDQ PHQJDPDWL GDQ PHPDKDPL FDUD NHUMD SDQWRJUDI NDPX ELVD PHPEXDW SDQWRJUDIVHQGLULGDQPHPEXDWVDOLQDQJDPEDUGHQJDQVNDODWHUWHQWX
HUGDVDUNDQ JDPEDU GL DWDV VXPEXVXPEX SDGD JDPEDU SDQWRJUDI WHUVHEXW GDSDW diwakili oleh gambar di bawah ini:
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
158
F C
Pada gambar di samping titik tetapnya adalah dan gambar aslinya adalah
. Pensil gambar salinan berada pada titik C. Lengan
dan sama SDQMDQJVHODOXVHMDMDUGHQJDQ dan selalu
VHMDMDUGHQJDQ. 0HQXUXW NDPX DSDNDK
dan VHEDQJXQ8QWXNPHQMDZDEQ\DFREDNDPXVHOLGLNL
besar sudut-sudut dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
8QWXNPHQ\HOLGLNLEHVDUVXGXWVXGXWQ\DJXQDNDQVLIDWVLIDWJDULVVHMDMDU\DQJ dipotong oleh suatu garis.
3HUKDWLNDQǻGDQǻ. P
= PNDUHQD P
= PNDUHQD P
= PNDUHQD Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar?
0LVDONDQGLEXDWUDQFDQJDQSDQWRJUDIEHUXNXUDQ = 10 cm, FP cm,
= 10 cm, = 14 cm, dan = 42 cm. HUDSDSDQMDQJGDQ
HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDGDSDQWRJUDIWHUVHEXW
F C
10 cm FP
FP 10 cm
Seperti tampak pada gambar di samping bahwa
VHMDMDUGHQJDQ dan VHMDMDU dengan
DNLEDWQ\DMHODVEDKZD = = 10 cm dan
= FP Sekarang coba selidiki perbandingan sisi-
sisi yang bersesuaian yaitu ,
, AB BC
AC AF FD AD
Apakah AC
AB BC
AD AF
FD ?
HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDQWRJUDIWHUVHEXW Gambar yang dihasilkan nanti berapa kali ukuran gambar aslinya?
Nah, dengan menyelesaikan permasalahan di atas kamu telah menggunakan konsep kesebangunan dua bangun yaitu gambar asli dengan gambar hasil perbesarannya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 159
Ayo Kita Mencoba
HUVDPD WHPDQPX FRED EXDWODK SDQWRJUDI EXDWDQ NHORPSRNPX \DQJ ELVD menghasilkan salinan gambar lima kali lebih besar.
3UHVHQWDVLNDQ SDQWRJUDI KDVLO NDU\D NHORPSRNPX WHUVHEXW EHVHUWD JDPEDU salinannya.
3DGD6XEDENDPXWHODKPHPSHODMDULEDKZDGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQ VHEDQJXQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDWVHEDJDLEHULNXW
D SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL
b. sudut yang bersesuaian besarnya sama DJDLPDQDPHQJXMLNHVHEDQJXQDQGXDVHJLWLJDWDQSDKDUXVPHQJXMLNHGXDV\DUDW
GLDWDV0HODOXLNHJLDWDQEHULNXWLQLFREDNDPXWHPXNDQMDZDEDQQ\D
Kegiatan 4.14
Syarat Dua Segitiga Sebangun
.HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah
GHQJDQSDQMDQJVLVLVHVXDLNHLQJLQDQPX 0LVDONDQVHSHUWLJDPEDUEHULNXW
¶ ¶
¶
7 cm 6 cm
6 N cm
5 N cm
7 N cm
5 cm C
2. Gambarlah ¶¶¶GHQJDQSDQMDQJVLVLNNDOLSDQMDQJVLVL
EROHKGLSHUEHVDUDWDXGLSHUNHFLO 8NXUODKPDVLQJPDVLQJVXGXW
dan ¶¶¶dengan menggunakan busur GHUDMDWDQGLQJNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQGDULGXDVHJLWLJDWHUVHEXW
4. Bandingkan hasilnya dengan temanmu. LVNXVLNDQGHQJDQWHPDQPXGDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXW
D SDNDKVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU E HUDSDSHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL
AB BC
CA =
= AB
BC CA
?
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
160
F SDNDKVHJLWLJD\DQJGLSHUSHVDUDWDXGLSHUNHFLOGHQJDQIDNWRUVNDOD\DQJ sama akan sebangun dengan segitiga semula?
DUL 6XE EDE NDPX WHODK PHQJHWDKXL EDKZD GXD VHJLWLJD NRQJUXHQ MLND SDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDNULWHULDVLVLVLVLVLVL
Dalam hal ini dan ¶¶¶NRQJUXHQMLND
AB BC
CA =
= AB
BC CA
= 1. HUGDVDUNDQ QR PHQXUXW NDPX DSDNDKǻ GDQǻ
VHEDQJXQ MLND
AB BC
CA =
= AB
BC CA
= N, dengan NWHWDSNRQVWDQ6HOLGLNLODK
DUL6XEEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD SDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPDEHVDU
NULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL DODPKDOLQLǻGDQǻ
NRQJUXHQMLND
AB BC
= AB
BC
= 1 dan P
= P
0HQXUXWNDPXDSDNDKǻGDQǻ¶¶¶VHEDQJXQMLND
AB BC
= AB
BC
= N, dengan NWHWDSNRQVWDQGDQP
= P¶. Selidikilah. DUL6XEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD
pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJNULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL
DODPKDOLQLǻGDQǻ
NRQJUXHQMLND
AB AB
= 1, P
= P
GDQ P
C = PC¶0HQXUXWNDPXDSDNDKǻGDQǻ¶¶¶VHEDQJXQMLND
AB AB
= N, dengan NWHWDSNRQVWDQP
= P
GDQPC = PC
DJDLPDQDMLND
AB AB
= NGLDEDLNDQPHQXUXWPXDSDNDKǻGDQǻ
VHEDQJXQMLNDP
=
P
GDQPC = PC¶6HOLGLNLODK
HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVNKXVXVQ\DQRPRUGDQPHQXUXWPXEDJDLPDQD syarat yang lebih sederhana sehingga dua segitiga sebangun?
XDVHJLWLJDVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLVDODKVDWXV\DUDWEHULNXWLQL 1. .............................................................................................................................
2. .............................................................................................................................
Kegiatan 4.15
Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-siku
Alat dan bahan yang diperlukan: -
Kertas lipat -
Pensil
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 161
- Penggaris
XVXUGHUDMDW -
Gunting .HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX
1. Gambarlah segitiga siku-siku seperti gambar C
GL VDPSLQJ XNXUDQ EROHK EHUEHGD ODOX guntinglah pada sisi
, , dan . Buatlah sekali lagi. Sehingga kamu mempunyai dua
buah segitiga .
2. Guntinglah salah satu segitiga tersebut pada garis . Sehingga kamu
sekarang mempunyai tiga buah segitiga yaitu , dan .
C C
3HUKDWLNDQ dan
C
7XPSXNODK dan tersebut, di mana saling berhimpit.
Selidikilah apakah dan VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ
sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ
Jika dan sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
= =
} } } } } }
dan kamu akan memperoleh bahwa:
2
= ... u ...
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
162
4. Perhatikan dan
C C
7XPSXNODK dan ǻtersebut, di mana pada dan pada
saling berhimpit. 6HOLGLNLODK DSDNDK ǻ GDQ ǻ VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ
sudah kamu peroleh .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ
Jika dan ǻ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
= =
} } } } } }
dan kamu akan memperoleh bahwa:
2
= ... u ...
5. Perhatikan dan
C
7XPSXNODKǻGDQǻ tersebut, di mana pada dan pada
ǻ saling berhimpit. Selidikilah apakah
dan ǻ VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari
.HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ Jika
dan ǻ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian.
= =
} } } } } }
dan kamu akan memperoleh bahwa:
2
= ... u ...
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 163
Kesebangunan Dua Segitiga
Materi Esensi
XDVHJLWLJDGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL
LLHVDUVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPD C
5 cm 4 cm
6 cm 5
D cm 4
D cm
6 D cm
C
L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ LLHVDUVXGXWVXGXW\DQJ bersesuaian senilai
bersesuaian sama AB
BC AC
= =
= a AB
BC AC
= =
C = C -LND ¨ GDQ ¨ PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨ GDQ ¨
VHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨ a¨
-LND ¨ GDQ ¨ WLGDN PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND PDND ¨dan ¨WLGDNVHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨
a¨
.
Catatan:
Ketika menyatakan dua segitiga sebangunsebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya:
ABC ABC atau BAC BAC atau CBA CBA
EXNDQǻ ǻ
DWDXǻ ǻ
atau yang lainnya.
Syarat Dua Segitiga Sebangun
Untuk lebih sederhana, berdasarkan Kegiatan 4.14,dua segitiga dikatakan VHEDQJXQPLVDO¨
a¨
MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
164
1. Perbandingannya ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama
, yaitu: A B
BC AC
= =
= a AB
BC AC
C x cm
\ cm
] cm D[ cm
D\ cm
D] cm C
2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.
Contoh: =
GDQ =
C C
Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan sudut yang diapitnya sama besar
. Contoh:
AB AC
= = a
AB AC
C C
dan A =
Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku
3HUKDWLNDQJDPEDUHUGDVDUNDQ.HJLDWDQGHQJDQPHPSHUKDWLNDQEDKZDǻ a
ǻǻ aǻGDQǻ aǻ, diperoleh:
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 165
C
2
= u
2
= u
2
= u
Contoh 4.8
Membuktikan Dua Segitiga Sebangun
Perhatikan gambar di bawah ini.
C
Alternatif Penyelesaian:
Pada dan dapat diketahui bahwa:
P = P
NDUHQD, sehingga dan
adalah pasangan sudut yang sehadap, besarnya Buktikan bahwa
a SDVWLVDPD P
= P NDUHQD
dan EHUKLPSLW Karena dua pasang sudut yang bersesuaian sama
EHVDUMDGL a WHUEXNWL
Contoh 4.9 Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum
Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun Perhatikan gambar di bawah ini.
C 6 cm
8 cm 4 cm
70
o
45
o
5 cm 7HQWXNDQ
D SDQMDQJVLVL dan
b. besar
, dan
Alternatif Penyelesaian:
Pada Contoh 4.8, sudah dibuktikan bahwa dan sebangun.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
166
a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah
= =
AB BC
AC AD
DE AE
Diketahui: SDQMDQJ = 4 cm, = FPPDND
4 1
= =
AC AE
SDQMDQJ = 5 cm, maka
= BC
AC DE
AE 5
1 =
DE
= 5 u
= 15 SDQMDQJ = 5 cm, maka
= AB
AC AD
AE 1
= AB
AB BD
1 =
AB AB
= – = 5
2 = 5
2 5
= 2
2 AB
= 2,5 -DGLSDQMDQJ = 15 cm dan = 2,5 cm
b. Sudut-sudut yang bersesuaianan besarnya sama P
= P 0HQJDSD P
= P 0HQJDSD P
= P 0HQJDSD C
6 cm 8 cm
4 cm
o o
5 cm
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 167
Sehingga, P
= P
o
P = P
o
P = 180
o
±P P 0HQJDSD
= 180
o
±
o o
= 180
o
– 90
o
= 90
o
Jadi, besar
o
,
o
dan = 90
o
.
Contoh 4.10
Penerapan Sederhana dari Kesebangunan Segitiga
Diketahui seorang siswa dengan tinggi badan 150 cm berdiri di lapangan pada pagi hari yang
FHUDKGDQSDQMDQJED\DQJDQQ\DDGDODKP6DDW itu di sebelahnya terdapat tiang bendera dengan
SDQMDQJED\DQJDQPPDNDWHQWXNDQWLQJJLWLDQJ bendera tersebut.
Alternatif Penyelesaian:
Diketahui: 7LQJJLEDGDQVLVZD FP
3DQMDQJED\DQJDQVLVZD P FP 3DQMDQJED\DQJDQWLDQJEHQGHUD P FP
0LVDOWLQJJLWLDQJEHQGHUD t
Permasalahan di atas dapat dibuat model atau sketsa sebangai berikut:
6 m = 600 cm 2,5 m = 250 cm
150 cm C
t a , sehingga
= AB
CE DE
CB 600
= 150
250 t
250 t = 150 u 600
t =
150 600
250 u
t -DGLWLQJJLWLDQJEHQGHUDWHUVHEXWDGDODKFPDWDXP
6XPEHURNXPHQ.HPGLNEXG
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
168 Ayo Silakan
Bertanya 6HWHODK PHPSHODMDUL FRQWRKFRQWRK GL DWDV SHUWDQ\DDQ DSDNDK \DQJ PXQFXO GL
benakmu. Silakan tanyakan pada guru dan temanmu.
Ayo Kita Menalar
REDSLNLUNDQDOWHUQDWLIFDUDODLQEDJDLPDQDPHQ\HOHVDLDNDQSHUPDVDODK\DQJVHUXSD GHQJDQRQWRKGLDWDVMLNDWDQSDPHQJJXQDNDQED\DQJDQREMHN\DQJGLDPDWL
Ayo Kita Gali Informasi
REDNDPXFDULLQIRUPDVLGDULEXNXLQWHUQHWDWDXODLQQ\DPHQJHQDLEHUEDJDLFDUD memperkirakan tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi bukit, atau lebar sungai secara
tidak langsung dengan alat bantu seadanya.
DULODKSXODDODWXNXUPRGHUQDSDVDMD\DQJELVDGLJXQDNDQXQWXNLWXGDQMHODVNDQ FDUDNHUMDQ\D
Ayo Kita Tinjau Ulang
Diskusikan dengan temanmu masalah berikut ini. 7HQWXNDQSDVDQJDQVHJLWLJD\DQJVHEDQJXQSDGDJDPEDUGLEDZDKLQLXNWLNDQ
+LWXQJODKSDQMDQJVLVLVLVL\DQJEHOXPGLNHWDKXL
T S
P 5
Q 8 cm
6 cm 4 cm
9 cm C
8 cm 12 cm
14 cm 4 cm
C F
5 cm 6 cm
8 cm 12 cm
L LL
LLL
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 169
Kesebangunan Dua Segitiga
Latihan 4.4 Selesaiakan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis.
1. Pada gambar di samping, 45ST.
Q
S T
P 5
a. Buktikan bahwa 453 dan TPS sebangun
E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ
2. Perhatikan gambar berikut.
P C
16 cm FP
4 cm 20 cm
Q
5 a. Buktikan bahwa
dan 345 sebangun.
E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ bersesuaian?
3HUKDWLNDQJDPEDUEHULNXW
L O
N .
M Apakah
.1 sebangun dengan OMN? Buktikan.
4. Pada dan 345 diketahui P = 105
o
, P
= 45
o
, P
P = 45
o
dan P
Q = 105
o
. a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Jelaskan.
E 7XOLVODKSDVDQJDQVLVL\DQJPHPSXQ\DLSHUEDQGLQJDQ\DQJVDPD 5. Perhatikan gambar.
C F
D t
S q
E
Diketahui P
= 90
o
, siku-siku di B. D 7XQMXNNDQ EDKZD
dan sebangun.
E 7XQMXNNDQEDKZD and sebangun.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kelas IX SMPMTs Semester 1
170
6. Perhatikan gambar. C
F 4 cm
5 cm
10 cm 12 cm
D 7XQMXNNDQEDKZD a
E 7XQMXNNDQEDKZD a
F 7XQMXNNDQEDKZD a
G 7HQWXNDQSDQMDQJdan 7. Perhatikan gambar.
D +LWXQJODKSDQMDQJ E +LWXQJODKSDQMDQJ
5 cm 6 cm
7 cm C
C
2 cm 6 cm
4 cm
8. Perhatikan gambar. +LWXQJODKSDQMDQJ01SDGDJDPEDUGLEDZDKLQL
P M
N 5
S
Q 12 cm
5 cm FP
20 cm 9. Perhatikan gambar.
C 18 cm
FP 7HQWXNDQ
a. Pasangan segitiga yang sebangun. b. Pasangan sudut yang sama besar dari masing-
masing pasangn segitiga yang sebangun tersebut..
c. Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan segitiga yang sebangun tersebut.
G 3DQMDQJVLVL, , dan .
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 171
10. Perhatikan gambar.
P U
Q
5 S
T Diketahui
35 = 15 cm dan QU =
2
UP. 7HQWXNDQSDQMDQJTS.
11. Perhatikan gambar. Diketahui
. = 10 cm dan MN = 14 cm. P dan Q berturut-turut adalah titik tengah LN dan
.07HQWXNDQSDQMDQJPQ.
N M
P Q
. L
12. Perhatikan gambar.
C o
o Segitiga
adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika
= 10 cm dan garis bagi sudut C, 7HQWXNDQSDQMDQJ.
Memperkirakan Tinggi Rumah
3DGDVXDWXVRUHVHEXDKUXPDKGDQSRKRQ\DQJEHUVHEHODKDQPHPLOLNLSDQMDQJ bayangan berturut-turut 10 m dan 4 m. Jika tenyata tinggi pohon sebenarnya
adalah 10 m, tentukan tinggi rumah tersebut sebenarnya.
14. Memperkirakan Tinggi Pohon