Kesebangunan Dua Segitiga Miniatur Kereta Api

MATEMATIKA 157

D. Kesebangunan Dua Segitiga

Pertanyaan Penting 7DKXNDK NDPX SDGD VDDW WHNQRORJL PHVLQ IRWRNRSL NDPHUD GDQ NRPSXWHU EHOXP ditemukan bagaimana cara manusia menduplikat, memperbesar atau memperkecil suatu gambar? DJDLPDQD PHQJLGHQWL¿NDVL GXD VHJLWLJD DWDX OHELK VHEDQJXQ DJDLPDQD V\DUDW yang harus dipenuhi sehingga dua segitiga atau lebih dikatakan sebangun? Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpa mengukurnya secara langsung? Kegiatan 4.13 Pantograf Ada salah satu alat gambar yang diciptakan oleh Christooph Scheiner sekitar WDKXQ \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW VDOLQDQ JDPEDU GHQJDQ VNDOD \DLWX SDQWRJUDI3ULQVLSNHUMDSDQWRJUDIPHQJJXQDNDQNRQVHSNHVHEDQJXQDQ Ayo Kita Amati PDWLODKJDPEDUSDQWRJUDIGLEDZDKLQL gambar asli gambar salinan skrup pensil sumbu titik tetap Saat pensil pada gambar asli digerakkan, pensil pada sisi kanan secara otomatis akan membuat salinannya. Ukuran salinan gambar dapat disesuaikan dengan mengubah posisi sumbu. HQJDQ PHQJDPDWL GDQ PHPDKDPL FDUD NHUMD SDQWRJUDI NDPX ELVD PHPEXDW SDQWRJUDIVHQGLULGDQPHPEXDWVDOLQDQJDPEDUGHQJDQVNDODWHUWHQWX HUGDVDUNDQ JDPEDU GL DWDV VXPEXVXPEX SDGD JDPEDU SDQWRJUDI WHUVHEXW GDSDW diwakili oleh gambar di bawah ini: Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 158 F C Pada gambar di samping titik tetapnya adalah dan gambar aslinya adalah . Pensil gambar salinan berada pada titik C. Lengan dan sama SDQMDQJVHODOXVHMDMDUGHQJDQ dan selalu VHMDMDUGHQJDQ. 0HQXUXW NDPX DSDNDK dan VHEDQJXQ8QWXNPHQMDZDEQ\DFREDNDPXVHOLGLNL besar sudut-sudut dan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. 8QWXNPHQ\HOLGLNLEHVDUVXGXWVXGXWQ\DJXQDNDQVLIDWVLIDWJDULVVHMDMDU\DQJ dipotong oleh suatu garis. 3HUKDWLNDQǻGDQǻ. P ‘ = P‘NDUHQD P ‘ = P‘NDUHQD P ‘ = P‘NDUHQD Apakah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar? 0LVDONDQGLEXDWUDQFDQJDQSDQWRJUDIEHUXNXUDQ = 10 cm, FP cm, = 10 cm, = 14 cm, dan = 42 cm. HUDSDSDQMDQJGDQ HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDGDSDQWRJUDIWHUVHEXW F C 10 cm FP FP 10 cm Seperti tampak pada gambar di samping bahwa VHMDMDUGHQJDQ dan VHMDMDU dengan DNLEDWQ\DMHODVEDKZD = = 10 cm dan = FP Sekarang coba selidiki perbandingan sisi- sisi yang bersesuaian yaitu , , AB BC AC AF FD AD Apakah AC AB BC AD AF FD ? HUDSDVNDODSHUEHVDUDQSDQWRJUDIWHUVHEXW Gambar yang dihasilkan nanti berapa kali ukuran gambar aslinya? Nah, dengan menyelesaikan permasalahan di atas kamu telah menggunakan konsep kesebangunan dua bangun yaitu gambar asli dengan gambar hasil perbesarannya. Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 159 Ayo Kita Mencoba HUVDPD WHPDQPX FRED EXDWODK SDQWRJUDI EXDWDQ NHORPSRNPX \DQJ ELVD menghasilkan salinan gambar lima kali lebih besar. 3UHVHQWDVLNDQ SDQWRJUDI KDVLO NDU\D NHORPSRNPX WHUVHEXW EHVHUWD JDPEDU salinannya. 3DGD6XEDENDPXWHODKPHPSHODMDULEDKZDGXDEDQJXQGDWDUGLNDWDNDQ VHEDQJXQMLNDPHPHQXKLGXDV\DUDWVHEDJDLEHULNXW D SHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL b. sudut yang bersesuaian besarnya sama DJDLPDQDPHQJXMLNHVHEDQJXQDQGXDVHJLWLJDWDQSDKDUXVPHQJXMLNHGXDV\DUDW GLDWDV0HODOXLNHJLDWDQEHULNXWLQLFREDNDPXWHPXNDQMDZDEDQQ\D Kegiatan 4.14 Syarat Dua Segitiga Sebangun .HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah GHQJDQSDQMDQJVLVLVHVXDLNHLQJLQDQPX 0LVDONDQVHSHUWLJDPEDUEHULNXW ¶ ¶ ¶ 7 cm 6 cm 6 N cm 5 N cm 7 N cm 5 cm C 2. Gambarlah ¶¶¶GHQJDQSDQMDQJVLVLNNDOLSDQMDQJVLVL EROHKGLSHUEHVDUDWDXGLSHUNHFLO 8NXUODKPDVLQJPDVLQJVXGXW dan ¶¶¶dengan menggunakan busur GHUDMDWDQGLQJNDQVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQGDULGXDVHJLWLJDWHUVHEXW 4. Bandingkan hasilnya dengan temanmu. LVNXVLNDQGHQJDQWHPDQPXGDQMDZDEODKSHUWDQ\DDQEHULNXW D SDNDKVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPDEHVDU E HUDSDSHUEDQGLQJDQSDQMDQJVLVL AB BC CA = = AB BC CA ? Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 160 F SDNDKVHJLWLJD\DQJGLSHUSHVDUDWDXGLSHUNHFLOGHQJDQIDNWRUVNDOD\DQJ sama akan sebangun dengan segitiga semula? DUL 6XE EDE NDPX WHODK PHQJHWDKXL EDKZD GXD VHJLWLJD NRQJUXHQ MLND SDQMDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDNULWHULDVLVLVLVLVLVL Dalam hal ini dan ¶¶¶NRQJUXHQMLND AB BC CA = = AB BC CA = 1. HUGDVDUNDQ QR PHQXUXW NDPX DSDNDKǻ GDQǻ VHEDQJXQ MLND AB BC CA = = AB BC CA = N, dengan NWHWDSNRQVWDQ6HOLGLNLODK DUL6XEEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD SDVDQJVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVDPDSDQMDQJGDQVXGXW\DQJGLDSLWQ\DVDPDEHVDU NULWHULDVLVL±VXGXW±VLVL DODPKDOLQLǻGDQǻ NRQJUXHQMLND AB BC = AB BC = 1 dan P ‘ = P ‘ 0HQXUXWNDPXDSDNDKǻGDQǻ¶¶¶VHEDQJXQMLND AB BC = AB BC = N, dengan NWHWDSNRQVWDQGDQP ‘ = P‘¶. Selidikilah. DUL6XEDENDPXWHODKPHQJHWDKXLEDKZDGXDVHJLWLJDNRQJUXHQMLNDGXD pasang sudut yang bersesuaian sama besar dan sepasang sisi yang bersesuaian VDPDSDQMDQJNULWHULDVXGXW±VXGXW±VLVL DODPKDOLQLǻGDQǻ NRQJUXHQMLND AB AB = 1, P ‘ = P‘ GDQ P ‘C = P‘C¶0HQXUXWNDPXDSDNDKǻGDQǻ¶¶¶VHEDQJXQMLND AB AB = N, dengan NWHWDSNRQVWDQP ‘ = P‘ GDQP‘C = P‘C DJDLPDQDMLND AB AB = NGLDEDLNDQPHQXUXWPXDSDNDKǻGDQǻ VHEDQJXQMLNDP ‘ = P ‘ GDQP‘C = P‘C¶6HOLGLNLODK HUGDVDUNDQNHJLDWDQGLDWDVNKXVXVQ\DQRPRUGDQPHQXUXWPXEDJDLPDQD syarat yang lebih sederhana sehingga dua segitiga sebangun? XDVHJLWLJDVHEDQJXQMLNDPHPHQXKLVDODKVDWXV\DUDWEHULNXWLQL 1. ............................................................................................................................. 2. ............................................................................................................................. Kegiatan 4.15 Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-siku Alat dan bahan yang diperlukan: - Kertas lipat - Pensil Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 161 - Penggaris XVXUGHUDMDW - Gunting .HUMDNDQODKNHJLDWDQEHULNXWLQLEHUVDPDNHORPSRNPX 1. Gambarlah segitiga siku-siku seperti gambar C GL VDPSLQJ XNXUDQ EROHK EHUEHGD ODOX guntinglah pada sisi , , dan . Buatlah sekali lagi. Sehingga kamu mempunyai dua buah segitiga . 2. Guntinglah salah satu segitiga tersebut pada garis . Sehingga kamu sekarang mempunyai tiga buah segitiga yaitu , dan . C C 3HUKDWLNDQ dan C 7XPSXNODK dan tersebut, di mana ‘ saling berhimpit. Selidikilah apakah dan VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ Jika dan sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. = = } } } } } } dan kamu akan memperoleh bahwa: 2 = ... u ... Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 162 4. Perhatikan dan C C 7XPSXNODK dan ǻtersebut, di mana ‘ pada dan ‘ pada saling berhimpit. 6HOLGLNLODK DSDNDK ǻ GDQ ǻ VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ Jika dan ǻ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. = = } } } } } } dan kamu akan memperoleh bahwa: 2 = ... u ... 5. Perhatikan dan C 7XPSXNODKǻGDQǻ tersebut, di mana ‘ pada dan ‘ pada ǻ saling berhimpit. Selidikilah apakah dan ǻ VHEDQJXQ JXQDNDQ NHVLPSXODQ \DQJ sudah kamu peroleh dari .HJLDWDQWHQWDQJV\DUDWGXDEDQJXQVHEDQJXQ Jika dan ǻ sebangun, tuliskan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian. = = } } } } } } dan kamu akan memperoleh bahwa: 2 = ... u ... Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 163 Kesebangunan Dua Segitiga Materi Esensi XDVHJLWLJDGLNDWDNDQVHEDQJXQMLNDKDQ\DMLNDPHPHQXKLV\DUDWEHULNXWLQL L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQVHQLODL LLHVDUVXGXWVXGXW\DQJEHUVHVXDLDQVDPD C 5 cm 4 cm 6 cm 5 D cm 4 D cm 6 D cm C L 3HUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ LLHVDUVXGXWVXGXW\DQJ bersesuaian senilai bersesuaian sama AB BC AC = = = a AB BC AC ‘= ‘ ‘= ‘ ‘C = ‘C -LND ¨ GDQ ¨ PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND ¨ GDQ ¨ VHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨ a¨ -LND ¨ GDQ ¨ WLGDN PHPHQXKL V\DUDW WHUVHEXW PDND PDND ¨dan ¨WLGDNVHEDQJXQGLQRWDVLNDQGHQJDQ¨ a¨ . Catatan: Ketika menyatakan dua segitiga sebangunsebaiknya berdasarkan titik-titik sudut yang bersesuaian dan berurutan, contohnya: ABC ABC atau BAC BAC atau CBA CBA EXNDQǻ ǻ DWDXǻ ǻ atau yang lainnya. Syarat Dua Segitiga Sebangun Untuk lebih sederhana, berdasarkan Kegiatan 4.14,dua segitiga dikatakan VHEDQJXQPLVDO¨ a¨ MLNDPHPHQXKLVDODKVDWXNRQGLVLEHULNXWLQL Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 164 1. Perbandingannya ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama , yaitu: A B BC AC = = = a AB BC AC C x cm \ cm ] cm D[ cm D\ cm D] cm C 2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh: ‘ = ‘ GDQ‘ = ‘ C C Perbandingan dua pasang sisi yang bersesuaian sama dan sudut yang diapitnya sama besar . Contoh: AB AC = = a AB AC C C dan ‘A = ‘ Kesebangunan Khusus dalam Segitiga Siku-Siku 3HUKDWLNDQJDPEDUHUGDVDUNDQ.HJLDWDQGHQJDQPHPSHUKDWLNDQEDKZDǻ a ǻǻ aǻGDQǻ aǻ, diperoleh: Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 165 C 2 = u 2 = u 2 = u Contoh 4.8 Membuktikan Dua Segitiga Sebangun Perhatikan gambar di bawah ini. C Alternatif Penyelesaian: Pada dan dapat diketahui bahwa: P ‘ = P‘ NDUHQD, sehingga ‘ dan ‘ adalah pasangan sudut yang sehadap, besarnya Buktikan bahwa a SDVWLVDPD P ‘ = P‘ NDUHQD ‘dan ‘EHUKLPSLW Karena dua pasang sudut yang bersesuaian sama EHVDUMDGL a WHUEXNWL Contoh 4.9 Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut yang Belum Diketahui dari Dua Segitiga Sebangun Perhatikan gambar di bawah ini. C 6 cm 8 cm 4 cm 70 o 45 o 5 cm 7HQWXNDQ D SDQMDQJVLVL dan b. besar ‘, ‘ dan ‘ Alternatif Penyelesaian: Pada Contoh 4.8, sudah dibuktikan bahwa dan sebangun. Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 166 a. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah = = AB BC AC AD DE AE Diketahui: SDQMDQJ = 4 cm, = FPPDND 4 1 = = AC AE SDQMDQJ = 5 cm, maka = BC AC DE AE 5 1 = DE = 5 u = 15 SDQMDQJ = 5 cm, maka = AB AC AD AE 1 = AB AB BD 1 = AB AB = – = 5 2 = 5 2 5 = 2 2 AB = 2,5 -DGLSDQMDQJ = 15 cm dan = 2,5 cm b. Sudut-sudut yang bersesuaianan besarnya sama P ‘ = P‘ 0HQJDSD P ‘ = P‘ 0HQJDSD P ‘ = P‘ 0HQJDSD C 6 cm 8 cm 4 cm o o 5 cm Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 167 Sehingga, P ‘ = P‘ o P ‘ = P‘ o P ‘ = 180 o ±P ‘P‘ 0HQJDSD = 180 o ± o o = 180 o – 90 o = 90 o Jadi, besar ‘ o , ‘ o dan ‘ = 90 o . Contoh 4.10 Penerapan Sederhana dari Kesebangunan Segitiga Diketahui seorang siswa dengan tinggi badan 150 cm berdiri di lapangan pada pagi hari yang FHUDKGDQSDQMDQJED\DQJDQQ\DDGDODKP6DDW itu di sebelahnya terdapat tiang bendera dengan SDQMDQJED\DQJDQPPDNDWHQWXNDQWLQJJLWLDQJ bendera tersebut. Alternatif Penyelesaian: Diketahui: 7LQJJLEDGDQVLVZD FP 3DQMDQJED\DQJDQVLVZD P FP 3DQMDQJED\DQJDQWLDQJEHQGHUD P FP 0LVDOWLQJJLWLDQJEHQGHUD t Permasalahan di atas dapat dibuat model atau sketsa sebangai berikut: 6 m = 600 cm 2,5 m = 250 cm 150 cm C t a , sehingga = AB CE DE CB 600 = 150 250 t 250 t = 150 u 600 t = 150 600 250 u t -DGLWLQJJLWLDQJEHQGHUDWHUVHEXWDGDODKFPDWDXP 6XPEHURNXPHQ.HPGLNEXG Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 168 Ayo Silakan Bertanya 6HWHODK PHPSHODMDUL FRQWRKFRQWRK GL DWDV SHUWDQ\DDQ DSDNDK \DQJ PXQFXO GL benakmu. Silakan tanyakan pada guru dan temanmu. Ayo Kita Menalar REDSLNLUNDQDOWHUQDWLIFDUDODLQEDJDLPDQDPHQ\HOHVDLDNDQSHUPDVDODK\DQJVHUXSD GHQJDQRQWRKGLDWDVMLNDWDQSDPHQJJXQDNDQED\DQJDQREMHN\DQJGLDPDWL Ayo Kita Gali Informasi REDNDPXFDULLQIRUPDVLGDULEXNXLQWHUQHWDWDXODLQQ\DPHQJHQDLEHUEDJDLFDUD memperkirakan tinggi pohon, tinggi gedung, tinggi bukit, atau lebar sungai secara tidak langsung dengan alat bantu seadanya. DULODKSXODDODWXNXUPRGHUQDSDVDMD\DQJELVDGLJXQDNDQXQWXNLWXGDQMHODVNDQ FDUDNHUMDQ\D Ayo Kita Tinjau Ulang Diskusikan dengan temanmu masalah berikut ini. 7HQWXNDQSDVDQJDQVHJLWLJD\DQJVHEDQJXQSDGDJDPEDUGLEDZDKLQLXNWLNDQ +LWXQJODKSDQMDQJVLVLVLVL\DQJEHOXPGLNHWDKXL T S P 5 Q 8 cm 6 cm 4 cm 9 cm C 8 cm 12 cm 14 cm 4 cm C F 5 cm 6 cm 8 cm 12 cm L LL LLL Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 169 Kesebangunan Dua Segitiga Latihan 4.4 Selesaiakan soal-soal berikut ini dengan benar dan sistematis. 1. Pada gambar di samping, 45ST. Q S T P 5 a. Buktikan bahwa 453 dan TPS sebangun E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJEHUVHVXDLDQ 2. Perhatikan gambar berikut. P C 16 cm FP 4 cm 20 cm Q 5 a. Buktikan bahwa dan 345 sebangun. E 7XOLVNDQSHUEDQGLQJDQVLVLVLVL\DQJ bersesuaian? 3HUKDWLNDQJDPEDUEHULNXW L O N . M Apakah .1 sebangun dengan OMN? Buktikan. 4. Pada dan 345 diketahui P‘ = 105 o , P ‘ = 45 o , P ‘P = 45 o dan P ‘Q = 105 o . a. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Jelaskan. E 7XOLVODKSDVDQJDQVLVL\DQJPHPSXQ\DLSHUEDQGLQJDQ\DQJVDPD 5. Perhatikan gambar. C F D t S q E Diketahui P ‘ = 90 o , siku-siku di B. D 7XQMXNNDQ EDKZD dan sebangun. E 7XQMXNNDQEDKZD and sebangun. Di unduh dari : Bukupaket.com Kelas IX SMPMTs Semester 1 170 6. Perhatikan gambar. C F 4 cm 5 cm 10 cm 12 cm D 7XQMXNNDQEDKZD a E 7XQMXNNDQEDKZD a F 7XQMXNNDQEDKZD a G 7HQWXNDQSDQMDQJdan 7. Perhatikan gambar. D +LWXQJODKSDQMDQJ E +LWXQJODKSDQMDQJ 5 cm 6 cm 7 cm C C 2 cm 6 cm 4 cm 8. Perhatikan gambar. +LWXQJODKSDQMDQJ01SDGDJDPEDUGLEDZDKLQL P M N 5 S Q 12 cm 5 cm FP 20 cm 9. Perhatikan gambar. C 18 cm FP 7HQWXNDQ a. Pasangan segitiga yang sebangun. b. Pasangan sudut yang sama besar dari masing- masing pasangn segitiga yang sebangun tersebut.. c. Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan segitiga yang sebangun tersebut. G 3DQMDQJVLVL, , dan . Di unduh dari : Bukupaket.com MATEMATIKA 171 10. Perhatikan gambar. P U Q 5 S T Diketahui 35 = 15 cm dan QU = 2 UP. 7HQWXNDQSDQMDQJTS. 11. Perhatikan gambar. Diketahui . = 10 cm dan MN = 14 cm. P dan Q berturut-turut adalah titik tengah LN dan .07HQWXNDQSDQMDQJPQ. N M P Q . L 12. Perhatikan gambar. C o o Segitiga adalah segitiga siku-siku sama kaki. Jika = 10 cm dan garis bagi sudut C, 7HQWXNDQSDQMDQJ. Memperkirakan Tinggi Rumah 3DGDVXDWXVRUHVHEXDKUXPDKGDQSRKRQ\DQJEHUVHEHODKDQPHPLOLNLSDQMDQJ bayangan berturut-turut 10 m dan 4 m. Jika tenyata tinggi pohon sebenarnya adalah 10 m, tentukan tinggi rumah tersebut sebenarnya.

14. Memperkirakan Tinggi Pohon