Random Subgraph
RANDOM SUBGRAPH
TESIS Oleh LENA ROSDIANA P. 087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
RANDOM SUBGRAPH
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh LENA ROSDIANA P.
087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: RANDOM SUBGRAPH : Lena Rosdiana P. : 087021005 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Dr. Tulus, M.Si) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)
Tanggal lulus: 20 Mei 2010
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 20 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc. Anggota : 1. Dr. Tulus, M.Si.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. 3. Drs. Sawaluddin, MIT.
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Random Subgraph”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc.(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara; Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara Medan; Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara; Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai ketua komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; Dr. Tulus, M.Si, sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang memberikan ilmunya selama perkuliahan; Misiani,S.Si selaku staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis, seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2008/2009 Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja sama dan kebersamaannya selama perkuliahan; secara khusus penulis menyampaikan terima kasih kepada orang tua tersayang Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja, serta seluruh keluarga atas dorongan, perhatian dan doanya, penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
iii
Universitas Sumatera Utara
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan, karena itu penulis terbuka untuk kritik dan saran dari pembaca.
Medan, Mei 2010 Penulis, Lena Rosdiana P.
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Lena Rosdiana Pangaribuan dilahirkan di Medan pada tanggal 2 Pebruari 1984 dan merupakan anak kelima dari lima bersaudara dari Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja. Tamat dari Sekolah Dasar (SD) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1996, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1999 dan Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 3 Medan pada tahun 2002. Tahun 2002 memasuki Perguruan Tinggi Negeri Universitas Negeri Medan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 2007. Tahun 2007 diterima sebagai guru di Methodist 3 Medan. Tahun 2008 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i ii iii v vi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 2 2
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH . . . . . . . 9
3.1 Random Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Finite Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Sampling Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform 11
BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Random Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sampling Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 16
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graph G adalah pasangan terurut (V (G), E(G)) yang terdiri dari him-
punan V (G) vertex dan himpunan E(G) yang disjoint dari V (G) yaitu edge, di-
mana himpunan vertex dan himpunan edge merupakan fungsi incident ψG yang
mengaitkan dengan setiap edge di G yang merupakan pasangan tak terurut dari
vertex di G (Bondy dan Murty, 2007). Secara umum, suatu graph F dikatakan
subgraph dari graph G jika V (F ) ⊆ V (G), E(F ) ⊆ E(G), dan ψF adalah batasan
dari ψG ke E(F ). Sehingga dapat dikatakan bahwa G memuat F atau F terdapat
di G dan ditulis G ⊇ F atau F ⊆ G, secara berurut. (Bollobas, 1984) Ada-
pun contoh random subgraph dari graph finite yakni subgraph dari graph lengkap
G(V, p) yang vertexnya (V ) diperoleh dengan cara menghapus edge secara bebas
dengan peluang 1 − p dan pertama sekali diperkenalkan oleh Erdo¨s dan Renyi pada
tahun 1960. Mereka menunjukkan bahwa ketika p diskalakan sebagai (1 + ε)V −1,
ada suatu peralihan fase pada ε = 0 yang dalam pengertiannya bahwa ukuran
dari komponen yang paling besar adalah θ(log V ). Random even subgraph dari
suatu graph yang finite G dengan bobot edge yang secara umum mengarah pada
p ∈ (0, 1). Grimmet (2009). Random even subgraph dari planar lattice mengalami
suatu
fase
peralihan
dengan
nilai
parameter
1 2
pc
,
di
mana
pc
adalah
titik
kri-
tis dari q = 2 model random-cluster di dual lattice. Setiap graph akan dibahas
dan dihubungkan dengan SLE (Schramm-L¨owner Evolutions). Tujuannya adalah
mengetahui random even subgraph dari graph yang finite G = (V, E) dan untuk
menunjukkan bagaimana menggunakan subgraph. Suatu subset F dari E disebut
genap, jika untuk semua x ∈ V , x berinsiden dengan jumlah anggota F genap.
Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap, dan ditulis ǫ untuk himpunan dari
semua subset genap F di E. Ini merupakan acuan bahwa setiap himpunan genap
F bisa tidak digunakan lagi sebagai gabungan edge-point dari cycle. (Grimmet,
2009) Dalam menentukan random subgraph ini diperlukan suatu model yang cocok
untuk memilih subgraph yang acak. Sekilas akan dibahas model tersebut dengan
ukuran peluangnya. Di sisi lain, random subgraph G diperoleh secara acak (ran-
1
Universitas Sumatera Utara
2
dom) dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. Suatu model di G mempunyai bentuk ruang dan juga memiliki ukuran suatu peluang. Ukuran random-cluster di G dengan parameter p dan q = 2 yang digambarkan secara umum untuk q > 0, namun hanya bersifat pada kasus q = 2. Hampir semua informasi yang mungkin kita dapat menyatakan bahwa subgraph dari beberapa host graph (graf asal) sering kali mempunyai ukuran-ukuran besar yang menjadi penghalang atau memiliki informasi yang tidak lengkap. Pertanyaannya adalah apakah random subgraph dari graph yang diberikan harus ada atau tidak. Random subgraph Gp dari graf G terjadi apabila setiap edge di Gp bebas menghapus setiap edge dengan peluang p, dan membuang edge dengan peluang 1 − p.
1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan random even subgraph
dari suatu graph dengan menggunakan algoritma sampling.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph
dari graph yang finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling.
1.4 Metode Penelitian Metode penelitian ini secara ringkas seperti berikut ini. Pertama sekali buat
suatu graph yang terdiri dari vertex dan edge. Kemudian dari graph ini, pilih subgraph-nya secara acak. Untuk memilih subgraph yang acak digunakan suatu algoritma. Dalam hal ini algoritma yang akan dipergunakan adalah algoritma sampling yang tujuannya pemilihan random subgraph ini sesuai dengan yang diinginkan. Dapat dikatakan bahwa ada batasan dalam memilih random subgraph dari suatu graph.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa hasil penelitian tentang random subgraph.
Sesuatu yang finite dan simpel dari graph tak langsung G memiliki himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G). Dimana orde G adalah |V (G)| dan ukuran e(G) di G adalah |E(G)|. Untuk S ⊆ V (G), misalkan G[S] merupakan subgraf G yang disebabkan oleh S dan G[S, V (G) − S] merupakan spanning subgraph G dengan edge xy dimana x ∈ S dan y ∈ V (G) − S. Cartesian product pada graph G dan H adalah suatu graph dengan himpunan vertex V (G) × V (H) dimana vertexvertexnya yaitu (g1, h1) dan (g2, h2) adjacent jika dan hanya jika g1 = g2 dan h1h2 ∈ E(H) atau h1 = h2 dan g1g2 ∈ E(G). Dengan menentukan peluang batasan maka random subgraph dari Cartesian power Kan atau Kan,a ini dapat terhubung. Dimana Ka menunjukkan graph komplit dengan orde a dan Ka,a menunjukkan graph bipartit komplit dengan bagian dari orde a.
Lemma 2.1 Untuk G = Kan dengan a ≥ 2 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ (a − 1)s(n − loga s), 1 ≤ s ≤ an dan untuk G = Kan,a dengan a ≥ 1 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ as(n − log2a s), 1 ≤ s ≤ (2a)n. [Clark, 2002].
Misalkan Qn suatu graf dimana vertex-vertexnya merupakan semua vektor {x = (x1 . . . xn)|xi ∈ {0, 1}} dan dua vektor x dan y adjacent jika mereka mendapatkan satu koordinat, contohnya : |xi − yi| = 1. Dapat dikatakan Qn n-
i
dimensional cube atau n-cube. Lebih jelasnya Qn merupakan n-regular, bipartite graph pada orde 2n. Random subgraf G(Qn, p) adalah ruang (space) peluang diskrit yang digabung pada semua subgraf n-cube, dimana setiap edge Qn bergantung secara random dan independent (bebas) dengan peluang p = p(n). Ada dua batasan yang memiliki nilai asimtot yang sama yang dihitung pada largest eigenvalue. Sebagai contoh, sangat mudah untuk memberi asimtot pada largest eigenvalue pada random subgraf G(n, p) yang graf komplit ordenya n untuk p > log n/n.
3
Universitas Sumatera Utara
4
Teorema 2.2 Misalkan G(Qnp) random subgraf pada n-cube dan misalkan ∆ sebagai derajat maksimum G. Maka dapat dipastikan bahwa largest eigenvalue pada matrix adjacent S diberikan :
√ λ1(G) = (1 + o(1)) max( δ, np)
dimana
o(1)
menunjukkan
0
dan
max(∆
1 2
(G),
np)
menunjukkan
infinite.
Penggu-
naan eigenvalue yang paling besar (largest) terdapat pada random subgraph hyper-
cube (n-cube). Misalkan G adalah random subgraph dari n-cube yang mana setiap
edgenya muncul secara acak dan bebas dengan peluang p = p(n). Hasil pembuk-
tian mereka adalah eigenvalue yang paling besar (largest) dari matrix adjacent G
sudah
pasti
λ1(G)
=
(1
+
o(1))
max(Delta
1 2
(G),
np)
,
dimana
∆(G)
adalah
derajat
maksimum
G
dan
o(1)
cenderung
nol
ketika
maksimum
(∆
1 2
(G),
np)
infinite.
Chung et al. (2002) menyampaikan bahwa random subgraph Gp dari host
graph (graph asal) G dibentuk dari setiap edge di G dengan peluang (kemungki-
nan) p atau dengan kata lain mereka menentukan komponen besar (giant) pada
random subgraph dari graph yang diberikan. Erd¨os dan Rnyi menyatakan untuk
kasus
host graph (graf asal) Kn
:
jika p =
c n
untuk c <
1,
maka G
tidak mem-
punyai komponen besar yang terhubung dan semua komponen berasal dari ukuran
O(log n) dan sebaliknya jika c > 1 , maka ada komponen besar dari ukuran ∈ n.
Borgs et al. (2004) menyampaikan bahwa random subgraph pada graph transitif terhubung G yang finite diperoleh dengan cara bebas menghapus edge dengan peluang 1 − p. Model yang digunakan adalah fase transisi pada pc berhubungan dengan fase transisi random graph dengan jumlah yang diperoleh, sehingga disebut diagram segitiga dengan ujung pc yang cukup kecil.
Grimmett dan Janson (2009) menyampaikan bahwa suatu subgraph (V, F )
dari graf G = (V, E) dikatakan genap apabila F genap dan ǫ dikatakan sebagai
himpunan untuk semua subset even F di E. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random
even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F )
=
1 ZE
p|F
|(1
−
p)|E\F |,
F ∈ε
(2.1)
dimana ZE = ZGE(p) adalah nilai konstan normal yang sesuai. Misalkan φp product measure dengan density p pada bentuk space Ω = {0, 1}E. Dimana φp digambarkan
Universitas Sumatera Utara
5
sebagai random subgraf G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraf yang berlaku jika genap. Random even subgraf berhubungan erat dengan model Ising dan model random-cluster G dan model ini dapat ditinjau ulang dengan singkat. Misalkan β ∈ (0, ∞) dan
p = 1e−2β = 2 tan hβ 1 + tan hβ
(2.2)
Model Ising G mempunyai bentuk ruang = −1, +1V dan ukuran peluangnya
πβ(σ)
=
1 ZI
exp
β
σxσy , σ ∈
e∈E
(2.3)
dimana ZI = ZGI (β) adalah fungsi pembagi (partition function) yang mana πβ sebagai ukuran peluang dan e = x, y menunjukkan suatu edge dengan titik akhir
x, y. Bentuk spin-cluster σ ∈ adalah subgraph terhubung yang maksimal di
G untuk setiap vertex v yang mempunyai spin-value yang sama σy. Spin-cluster disebut k cluster jika σy = k untuk semua v yang menjadi milik cluster. Kuantitas penting yang berhubungan dengan model Ising adalah fungsi korelasi dua titik,
yaitu
πβ(x, y)
=
πβ(σx
=
σy)
−
1 2
=
1 2
πβ (σx σy
),
x, y ∈ V
(2.4)
dimana P (f ) menyatakan ekspektasi variabel random f menurut ukuran peluang
P . Ukuran random cluster di G dengan parameter p ∈ (0, 1) dan q = 2 diperoleh
(dapat digambarkan untuk umum q > 0, tetapi hanya bersifat pada kasus q = 2.
Misalkan S adalah suatu himpunan fixed yang tak kosong pada bilangan in-
teger non-negatif. Dimisalkan ada suatu S-graph yang semua derajat vertexnya
termasuk himpunan S. Contohnya jika S = {s} adalah singleton, dimana S-graf
sama seperti graph reguler berderajat s. Random graf Gn,p,S didefinisikan sebagai
Gn,p yang dikondisikan menjadi S-graph, dimana Gn,p merupakan random sub-
graph standar pada graf komplit Kn yang mana dua vertexnya bergabung dengan
suatu edge yang peluangnya p ∈ (0, 1) dan kejadian
n 2
ini sesuai dengan edge
di Kn yang independent (bebas). Dengan kata lain, Gn,p,S adalah suatu random
S-subgraph di Kn sehingga jika G merupakan subgraph di Kn yaitu S-graph, maka
P(Gn,p;S (G)
=
pe(G)(1 − p)(
n 2
)−e(G)
P(Gn,p adalah S−graph)
Universitas Sumatera Utara
6
dimana e(G) adalah jumlah edge di G. Contoh yang lain seperti : Misalkan S = 2Z≥0 bilangan genap. Sehingga,
φS (µ) =
∞
µ2k (sk)!
=
cos µ
k=0
Sehingga
λˆ(µ)
=
µ tan µ
meningkat
(increase)
dari
1
ke
∞
untuk
µ
∈
[0, ∞)
,
ini menyatakan bahwa λ ≤ 1, µ = 0 hanya satu-satunya solusi, begitu juga dengan
λ > 1,
ϕS
=
log(cos)
−
1 2
µ
tan
µ
sehingga
ϕS (µ)
=
sin(2µ) − 2µ 4 cos2 µ
>
0
untuk
µ
>
0.
Random
even
subgraf
dengan
parameter
p
∈
[0,
1 2
]
berhubungan
dengan
model
random cluster G dengan parameter edge 2p dan faktor cluster-weighting q = 2.
Jika G graf planar, maka random even subgraph dapat diidentifikasikan dari dual-
graph dengan batasan +/− pada model Ising dual graph G dengan suatu nilai
parameter. Grimmet dan Janson (1996)
Kn+2 merupakan graph komplit dengan n + 2 vertex, yang mana labelnya {0, 1, . . . , n, ∞}. Setiap edge e diberikan suatu random resistance R(e) dengan distribusi
P(R(e)
≤
x)
=
γ n
F
(x)
untuk
0
≤
x
<
∞P(R(e)
=
∞)
=
1
−
γ(n) n
dimana F adalah suatu fungsi distribusi tetap dengan konsentrasi [0, ∞) dan γ(n) merupakan barisan bilangan dari 0 ≤ γ(n) ≤ n. Semua resistance R(e), e ∈ Kn+2 , diasumsikan independent. Rn menunjukkan hasil (acak) efektif resistance di Kn+2 antara vertex 0 dan ∞. Kemudian misalkan G adalah suatu graf finite yang terhubung dan A0 dan A1 merupakan himpunan dua disjoint vertex di G. Asumsikan setiap edge e dapat menentukan suatu resistance, yang disimbolkan R(e). Untuk menentukan resistance (perlawanan) antara A0 dan A1 pada suatu jaringan edge di G, pertama sekali diidentifikasikan semua vertex di A0 (A1) sebagai vertex tunggal, yang disebut Aˆ0(Aˆ1). Ini sama artinya dengan mengatur R(e) sama dengan 0 (nol), dimana titik akhir kedua e sama dengan Ai.
Universitas Sumatera Utara
7
Lalu identifikasikan juga satu vertex pada tiap tingkat maksimal vertex di
G dimana sudah shortcircuited (terputus), sebagai contoh , tiap tingkat maksimal Aˆ = {v1, . . . , vm} yang terdiri dari vi, vj di Aˆ sehingga terdapat vi1, . . . , vir dan edge
e1 antara vil dan vil+1, l = 0, . . . , r , dengan vi0 = vi, vir+1 = vj dan R(e1) = 0, l = 0, . . . , r. Asumsikan Gˆ adalah suatu hasil jaringan dari identifikasi yang diberikan.
Resistance (perlawanan) antara A0 dan A di G didefinisikan sebagai perlawanan antara Aˆ0 dan Aˆ1 di G. Untuk menghitung resistance ini diperlukan suatu fungsi potensial V (vˆ) dengan nilai batasan 0 di Aˆ0 dan 1 di Aˆ1. V (vˆ) ditentukan dari
hukum Kirchoff yaitu :
V (vˆ) =
1 −1 R(e)
V
(wˆ(e)) R(e)
,
vˆ = Aˆ0, Aˆ1
Diberikan G(n, p, q), pilih salah satu dari komponen yang besar secara acak dan ditulis n untuk jumlah edge pada komponen ini. Juga, dikatakan n sebagai jumlah edge pada graph seluruhnya (n, p, q). Asumsikan q > 1. Jumlah edge pada komponen kecil adalah r(ΨnΞn)n + op(n), sedangkan subgraphnya memiliki :
1. (Dengan peluang r) {Θn+r(1−Θn)}n+op(n) vertex dan Ξn + r(ΨnΞ − n)n+ op(n) edge , atau
2. (Yang lainnya) r(1 − Θn)n + op(n) vertex dan r(ΨnΞ − n)n + op(n) edge.
Asumsikan p = O(n−1), dimana graf G(N, p) memiliki
N 2
p + Op(N p1/2) =
1 2
N
2p
+
op(N )
edge,
sehingga
:
{Ξn
+ r(Ψn
− Ξn)}n
=
1 2
{Θn
+
r(1
− Θn)}2n2p
+ op(n)
r(ΨnΞn)n
=
1 2
{r(1
− Θn)}2n2p
+
op(n)
akan menghasilkan jika p = λ/n, sehingga
Ξn
+
r(Ψn
− Ξn)
=
1 2
λ{Θn
+
r(1
−
Θn)}2
+
op(1)
r(ΨnΞn)
=
1 2
λ{r(1
− Θn)}2
+ op(1)
Teorema : Jika q > 1 dan λ > 0, maka n → ∞ sehingga :
Ψn
−
λ 2q
{1
+
(q
−
1)Θn2 }
→P
0
Universitas Sumatera Utara
Bollobas et al. (1996)
Ξn
−
λ q
Θn{1
+
1 2
q
−
1
Θn} →P 0
8
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar tentang random even subgraph yang akan dpergunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan subgraph tersebut dan juga akan dibahas tentang gambaran prosedur random sampling.
3.1 Random Subgraph
Suatu subset F di E dikatakan genap jika, untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap. Sehingga subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap dan ε ditulis sebagai himpunan dari semua subset genap F di E. Dikatakan standar jika setiap himpunan genap F bisa dihapus dari gabungan edge-disjoint di cycle-nya. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F ) =
1 ZE
p|F |(1 − p)|E\F |,
F ∈ε
(3.1)
dimana ZE = ZGE(p).
Mencari ρp dapat juga menggunakan cara sebagai berikut. Misalkan φp adalah product measure dengan density p pada bentuk ruang Ω = {0, 1}E. Untuk ω ∈ Ω dan e ∈ E, dikatakan ω-open jika ω(e) = 1 dan ω-closed untuk yang lainnya. Misalkan ∂ω adalah himpunan dari vertex x ∈ V yang berincident dengan jumlah edge ganjil pada ω-open. Sehingga
ρp(F )
=
φp(ωF ) φp(∂ω = ∅)
,
F ∈ε
(3.2)
dimana ωF adalah bentuk edge yang himpunan edge terbukanya adalah F . Dengan kata lain, φp digambarkan sebagai random subgraph G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp merupakan aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. (Grimmet, 2009)
9
Universitas Sumatera Utara
10
3.2 Finite Graph
Suatu graph dikatakan finite apabila suatu graph dengan jumlah yang finite
di vertex dan edge-nya. Jika graph memiliki n vertex dan tidak memiliki kelipatan
edge atau graph yang loop, maka graph finite merupakan subgraph dari graph
komplit Kn. Suatu graph yang tidak finite disebut dengan infinite. Jika setiap vertex memiliki derajat yang finite, maka graph itu disebut sebagai daerah yang
finite. (Biggs, 1993)
Pada
kasus
p
=
1 2
pada
persamaan
ρp(F )
=
1 ZE
p|F |(1−p)|E\F |,
dimana F
∈
ε,
setiap even subgraph memiliki peluang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai
2
random even subgraph yang uniform di G. Peluang yang dipilih p = 1 karena 2
memberikan hasil pada persamaan ρp, sedangkan jika p = 1 akan memberikan hasil
bernilai 0. Sehingga random subgraph dapat diperoleh sebagai berikut. Pertama-
tama identifikasikan family dari semua spanning subgraph di G = (V, E) dengan family 2E dari semua subset di E. Family ini dapat diidentifikasikan lebih lanjut dengan {0, 1}E = Z2E dan dengan demikian ruang vektornya (vector space) diatas Z2; sebagai tambahannya adalah 2 modul tambahan cara pada {0, 1}E , sehingga diterjemahkan sebagai pengambilan perbedaan simetris pada himpunan edgenya
: F1 + F2 = F1∆F2 untuk F1, F2 ⊆ E. Family dari even subgraph G merupakan bentuk dari subspace ε pada ruang vektor {0, 1}E , sehingga F1 + F2 = F1∆F2 dikatakan genap jika F1 dan F2 juga genap. (Pada kenyataannya, ε adalah ruang cycle (cycle space) Z1 pada Z2-homology di G sebagai suatu kompleks yang sederhana). Pada khususnya, jumlah even subgraph di G sama dengan 2c(G) , di-
mana c(G) = dim(ε) ; dengan demikian c(G) adalah jumlah cycle bebas di G, dan
diperoleh :
c(G) = |E| − |V | + k(G)
Proposisi 3.1 Misalkan C1, . . . , Cc adalah himpunan maksimal dari cycle bebas
di G. Misalkan ξ1, . . . ξc adalah bebas dari random variabel (sebagai contoh, hasil
lemparan koin yang adil). Sehingga ξiCi merupakan random even subgraph yang
i
uniform di G.
Bukti: C1, . . . , Cc adalah basis dari ruang vektor ε di atas Z2. Salah satu cara
Universitas Sumatera Utara
11
yang dilakukan dalam memilih C1, . . . , Cc adalah dengan memanfaatkan dalil yang berikutnya. Pada dalil yang berikutnya, akan menggunakan spanning subforest di G yang berarti suatu maximal forest di G, yaitu gabungan spanning tree dari setiap komponen di G.
Proposisi 3.2 Misalkan (V, F ) adalah spanning subforest di G. Setiap subset X di E\F dapat diselesaikan dengan kekhususan Y ⊆ F pada himpunan edge genap Ex = X ∪Y ∈ ε. Memilih random subset yang uniform X ⊆ E\F akan memberikan suatu random even subgraph yang uniform Ex juga di G.
Bukti: Setiap edge ei ∈ E\F dapat diselesaikan dengan edge di F pada cycle yang unik Ci ; dimana cycle ini merupakan dasar dari ε dan hasilnya seperti pada dalil 1. (Grimmet dan Janson, 2009)
3.3 Sampling Subgraph
Contoh-contoh algoritma subgraph n dari pemilihan edge secara acak yang terhubung dengan suatu himpunan n dapat dicapai. Selanjutnya digambarkan prosedur random sampling dari suatu n vertex subgraph pada suatu network (jaringan). Pilih edge secara acak dari jaringan, lalu perluas subgraph secara berulang-ulang dengan memilih edge tetangganya secara acak hingga membentuk subgraph n. Untuk setiap pilihan acak dari suatu edge, dalam memilih suatu edge sebaiknya ukuran subgraph diperluas dari pertama, kemudian siapkan daftar semua kandidat (calon) edge, lalu lakukan pemilihan edge secara acak dari daftar itu sendiri. Jadi, contoh subgraph dapat digambarkan sebagai suatu himpunan vertex n dan semua edge yang terhubung diantara vertex pada original network (tidak hanya edge yang dipilih dengan proses perluasan).
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform
Suatu subgraph yang spesifik adalah suatu himpunan n yang terhubung dengan vertex dalam suatu jaringan. Peluang dari sampling subgraph spesifik yang berbeda dalam jaringan tidaklah sama meskipun mempunyai topologi yang sama. Untuk menilai ini, kita akan menghitung peluangnya P , dari sampling subgraph
Universitas Sumatera Utara
12
yang spesifik. Setiap jenis subgraph akan menerima skor/nilai. Kemudian, kita
akan menambah skor berat W
=
1 P
untuk skor jenis subgraph
yang relevan.
Ini
diulang untuk mendapatkan banyaknya sampel spanning tree.
Dengan demikian, kita dapat menghitung konsentrasi dari semua jenis subgraph menurut skor/nilainya. Sebagai contoh, sebuah n-node subgraph, himpunan terurut n − 1 edge dipilih berulang-ulang secara acak. Sedangkan untuk menghitung peluangnya P dari sampling subgraph, kita perlu memeriksa semua peluang (kemungkinan) himpunan terurut n−1 edge yang menuju pada sampling subgraph. Kashtan et al. (2004)
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas lebih lanjut tentang Random Even Subgraph dan Sampling Even Subgraph.
4.1 Random Even Subgraph
Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari per-
samaan
ρp(F )
=
1 ZE
p|F
|(1p)|E\F
|
untuk
suatu
graph
finite
G
=
(V, E).
Selanjutnya
bagaimana memasangkan model random-cluster q = 2 dan random even subgraph
di
G.
Misalkan
p
∈
[0,
1 2
]
dan
ω
sebagai
realisasi
model
random
cluster
di
G
dengan
parameter 2p dan q = 2. Misalkan R = (V, γ) sebagai random even subgraph yang
uniform di (V, η(ω)).
Teorema
4.1
Misalkan
p
∈
[0,
1 2
].
Graph R = (V, γ) adalah random even subgraph
di G dengan parameter p.
Bukti : Misalkan g ⊆ E genap dan c(ω) = c(V, η(ω)) merupakan jumlah cycle bebas pada open subgraph,
P(γ = g|ω) =
2−c(ω) jika g ⊆ η(ω) 0 yang lain
sehingga
P(γ = g) =
2−c(ω) φ2p,2(ω )
ω:g⊆η(ω)
Jika c(ω) = |η(ω)| − |V | + k(ω), maka :
P(γ = g) ∝
2p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|2k(ω)
1 2|η(ω)|−|V
|+k(ω)
ω:g⊆η(ω)
(4.1)
∝ p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|
ω:g⊆η(ω)
= [p + (12p)]|E\g|p|g|
= p|g|(1p)]|E\g|, g ⊆ E
(4.2)
13
Universitas Sumatera Utara
14
Misalkan
p
∈
(
1 2
,
1).
Jika
G
genap,
maka
contoh
dari
ρp
dengan
sampling
(pe-
ngambilan) pertama suatu subgraph (V, F ) dari ρ1p dan komplemennya (V, E\F )
memiliki distribusi ρp. Jika G ganjil, maka akan disesuaikan seperti berikut ini. Untuk W ⊆ V dan H ⊆ E; H dikatakan W -genap jika setiap komponen dari
(V, H) terdiri dari jumlah anggota dari W genap. Misalkan W = ∅ adalah him-
punan vertex G dengan derajat ganjil, sehingga, secara khusus, E adalah W -genap.
Asumsikan ΩW = {ω ∈ Ω : η(ω) adalah W -genap. Untuk ω ∈ ΩW , pilih subset
yang
disjoint
P
i
=
Pωi ,
dimana
i
=
1,
2,
.
.
.
,
1 2
|W
|,
dari
η(ω),
yang
merupakan
path
non-self-intersecting terbuka dengan titik akhir nyata yang terletak di W , sehingga
setiap anggota di W merupakan titik akhir tepat satu path. Ditulis Pω = i Pωi .
Misalkan r = 2(1p), dan misalkan φWr,2 adalah ukuran random cluster pada Ω dengan parameter r dan q = 2 bersyarat pada kejadian ΩW . Ambil sample dari φrW,2 untuk memperoleh subgraph (V, η(ω)), dengan memilih suatu random even subgraph yang uniform (V, γ).
Teorema 4.2 Misalkan p ∈
1 2
,
1
.
Graph
S
= (V, E\(γ∆Pω))
adalah
suatu
ran-
dom even subgraph di G dengan parameter p.
Teorema 4.1. dan teorema 4.2. dapat digabungkan sebagai berikut. Dengan
mempertimbangkan model yang dibangun dengan satu parameter pe ∈ (0, 1) untuk
setiap
edge
e
∈
E.
Misalkan
A
=
{e
∈
E
:
pe
>
1 2
}.
Didefinisikan
bahwa
re
=
2pe
jika e ∈ A dan re = 2(1pe) jika e ∈ A. (Jadi 0 < re ≤ 1). Misalkan W = WA adalah
himpunan vertex A-ganjil, sebagai contoh, titik akhir dari jumlah edge ganjil di
A. Sample ω dari ukuran random-cluster dengan parameter r = (re : e ∈ E)
dan q = 2, sehingga η(ω) menjadi W -genap, misalkan Pω (untuk W = WA) , dan
sample random even subgraph yang uniform (V, γ) pada (V, η(ω)).
Teorema 4.3 Graph S = (V, γ∆Pω∆A) adalah random even subgraph di G dengan distribusi ρp.
Bukti : Misalkan F = γ∆Pω∆A merupakan hasil dari himpunan edge sehingga
η(ω)supseteqγ∆Pω = F ∆A
(4.3)
Universitas Sumatera Utara
15
Selanjutnya, jika F genap, maka F ∆A mempunyai derajat ganjil tepat pada vertexnya W = WA, karena itu pers. (4.3) menunjukkan bahwa ω ∈ ΩW diperlukan. Diberikan himpunan egde genap f ⊆ E, sehingga diperoleh F = f jika pemilihan pertama ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A dan kemudian (Pω telah terpilih) pilih γ sebagai even subgraph f ∆A∆Pω. Karena itu, untuk setiap ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A, diperoleh P(F = f |ω) = 2−c(w).
P(F = f) ∝
2−c(ω)φr,2(ω) ∝
2−c(ω) 2k(w)
reω(e) (1re )1−ω(e)
ω:η(ω)⊇f ∆A
ω:η(ω)⊇f ∆A
e∈E
∝
2−|η(ω)|
reω(e) (1re )1−ω(e)
ω:η(ω)⊇f ∆A
e∈E
=
ω:η(ω)⊇f ∆A e∈E
re 2
=
re 2
e∈f ∆A
e∈f ∆A
ω(e) (1re)1−ω(e)
1
−
re 2
Dengan 1e yang merupakan fungsi indikator pada kejadian {e ∈ f}, dapat ditulis
kembali seperti berikut ini :
P(F = f) ∝
re 2
1e
1
−
re 2
11e
re 2
11e
1
−
re 2
1e
e∈A
e∈A
= (pe)1e(1pe)11e (pe)11e(1pe)1e
e∈A e∈A
= (pe)1e(1pe)11e
e∈A
∝ ρp(f )
(4.4)
Ini bertentangan dengan dengan Teorema 4.1. Ambil random even subgraph (V, V )
di
G
=
(V, E)
dengan
parameter
p
≤
1 2
.
Untuk setiap e ∈ F , dapat ditentukan
suatu warna random bebas, biru dengan peluang p/(1p) dan merah untuk yang
lainnya. Misalkan H diperoleh dari F dengan menambahkan di semua edge biru.
Teorema 4.4 Graph (V, H) memiliki aturan φ2p,2.
Bukti : Untuk h ⊆ E ,
P(H = h) ∝
J ⊆h,J genap
p |J| 1p
p |h\J| 1p
12p |E\h| 1p
∝ p|h|(12p)|E\h|N (h)
(4.5)
Universitas Sumatera Utara
16
dimana N (h) adalah jumlah subgraph genap di (V, h). Seperti pembuktian di atas, N (h) = 2|h|−|V |+k(h) dimana k(h) adalah jumlah komplemen dari (V, h).
Suatu edge e dari graph disebut cyclic jika edge tersebut termasuk di dalam
beberapa cycle suatu graph.
Akibat : Untuk p ∈
0,
1 2
dan e ∈ E,
ρp(e terbuka
=
1 2
φ2p,2(e
adalah
suatu
cyclic
edge
di
graph
terbuka
)
Dengan menghitung di atas e ∈ E, dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah edge terbuka dibawah ρp adalah setengah dari rata-rata jumlah cyclic edge dibawah φ2p,2.
Bukti : Misalkan ω ∈ Ω dan C adalah maximal family dari cycle bebas ω. Misalkan R = (V, γ) adalah random even subgraph yang uniform di (V, η(ω)), suatu tafsiran yang menggunakan Teorema 2.2 dan C. Untuk e ∈ E, misalkan Me adalah jumlah elemen dari C yang memasukkan e. Jika Me ≥ 1, maka jumlah cycle Me pada γ yang telah terpilih dalam susunan/bentuk pada γ adalah sama seperti penggunaan genap atau ganjil. Oleh karena itu,
P(e ∈ γ|ω) =
1 2
jika Me ≥ 1
0 jika Me = 0
(4.6)
4.2 Sampling Even Subgraph
Seperti dinyatakan diawal bahwa Teorema 4.1 memberikan suatu cara yang
sistematis pada sampling even subgraph di G yang sesuai dengan ukuran peluang
ηp
dengan
p
≤
1 2
.
Coupling-from-the-past
(cftp)
hanya
digunakan
untuk
memberi
contoh pada ukuran random-cluster φ2p,2, kemudian melepaskan koin secara adil
sekali untuk setiap anggota dari beberapa himpunan bebas yang maksimal dari
cycle G. Diingatkan kembali bahwasannya implementasi (pelaksanaan) dari cftp ini
berdasarkan pada periode waktu T secara acak yang bagian akhirnya dibatasi oleh
suatu distribusi geometri ; yang berakhir dengan peluang 1 dengan suatu sample
yang tepat dari target distribusi.
Sedikit lebih rumit ketika p >
1 2
dan G tidak
hanya genap, sehingga dilihat dari situasinya ukuran random cluster digunakan
Universitas Sumatera Utara
17
dalam Teorema 4.2 dan 4.3 baik monoton maupun anti-monoton. Kemudian akan dicari bagaimana menyesuaikan teknik cftp pada beberapa situasi.
Misalkan E adalah suatu himpunan finite tak kosong dan µ adalah ukuran peluang pada product space Ω = {0, 1}E. Dikatakan µ monoton (respectively, antimonoton) jika µ(1e|ξe) adalah non-decreasing (respectively, non-increasing) dimana ξ ∈ Ω. Dimana, 1e adalah fungsi indikator yang edge-nya e adalah terbuka dan ξe adalah bentuk yang diperoleh dari ξ pada E\{e}. Untuk e ∈ E, ψ ∈ Ω, dan b = 0, 1 , maka ψeb ditulis sebagai bentuk yang sesuai dengan ψ pada e dan memperoleh nilai b pada e. Secara standar cftp mungkin dapat digunakan untuk sample dari µ jika µ adalah monoton dan akan dijelaskan bagaimana menyesuaikan apabila µ adalah anti-monoton. Suatu mekanisme diusulkan sebagai hasil dalam sample yang tepat dari µ tanpa asumsi apapun dari (anti-)monotonicity. Mekanisme ini dapat digunakan dalam kerangka umum yang lebih banyak pada bounding chain, akan tetapi tidak sesuai dalam pekerjaannya, karena pada kenyataannya Ω adalah partially ordered (orde sebagian).
Misalkan Sµ = {ω ∈ Ω : µ(ω) > 0}, subset dari Ω yang mana µ adalah strictly positive (benar-benar positif) dan asumsikan secara sederhana bahwa Sµ adalah increasing dan 1 ∈ Sµ, dimana 1 (respectively, 0) menunjukkan bentuk untuk semua bernilai 1 (respectively, semua bernilai 0). Asumsi ini dikatakan valid pada pengaturan sekarang ini (current setting) , tetapi tidak dapat digunakan untuk semuanya seperti berikut ini.
Dimulai dengan contoh Gibbs yang biasa/lazim digunakan untuk µ. Ini
adalah suatu discrete-time Markov chain G = (Gn : n ≥ 0) pada state space
Ω. Anggap Gn = ξ. Secara uniform distribusi anggota di E sudah terpilih, sebut
saja e, dan juga variabel random U dengan distribusi uniform pada [0, 1]. Kemu-
dian Gn+1 = ξdimana ξ(f ) untuk f = e dan ξ(e) =
0 1
jika U jika U
> µ(1e|ξe) ≤ µ(1e|ξe)
.
Aturan transisi baik digunakan jikalau ξe1 ∈ Sµ. Ini baik sekali digunakan dalam
memperluas definisi dari susunan/bentuk yang tidak berada dalam Sµ dan pada
akhirnya diperoleh :
µ(1e|ξe) = max µ(1e|ψe) : ψe ≥ ξe, ψe1 ∈ Sµ Dimana ξe1 ∈ Sµ.
(4.7)
Universitas Sumatera Utara
18
Misalkan (en, Un) adalah barisan yang independent (bebas). Asumsikan (An, Bn : n ≥ 0) adalah Markov Chain dengan state space Ω2 dan (A0, B0) = (0, 1). Anggap (An, Bn) = (ξ, η) dimana ξ ≤ η. Buat (An+1, Bn+1) = (ξ, η) dimana ξ(f ) = ξ(f ), η(f ) = η(f ) untuk f = en+1, dimana e = en+1. Diperoleh :
ξ(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ α,
η(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ β, Dimana α = α(ξ, η) = min{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} β = β(ξ, η) = max{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} Sehingga α ≤ β, kita mempunyai ξ ≤ η.
(4.8)
Rantai (A, B) dimulai pada waktu yang negatif (negative times), merupakan
cara yang ditentukan oleh cftp. Misalkan T adalah waktu perpaduan (coalescence
time). Lebih tepatnya lagi, untuk m ≥ 0, misalkan (Ak(m), Bk(m) : −m ≤ k ≤
0) menunjukkan bahwa rantai dimulai dengan A−m(m) = 0, B−m(m) = 1, yang menggunakan suatu barisan random yang fixed (en, Un)0−∞ untuk semua m, dan diperoleh
T = min{m ≥ 0 : A0(m), B0(m)}
(4.9)
Sehingga A0(T ), B0(T ).
Teorema 4.5 Jika Sµ increasing dan 1 ∈ Sµ, maka P (T < ∞) = 1 dan A0(T ) memiliki aturan µ.
Bukti : Dari definisi Sµ dan persamaan (4.7), terdapat η = η(E, η) > 0 sedemikian sehingga µ(1e|ξe) ≥ η untuk semua e ∈ E dan ξ ∈ Ω. Pada setiap panjang interval waktu yang diberikan |E|, terdapat peluang positif yang utuh yang barisannya (ei, Ui) memenuhi E = {ei} dan Ui < η untuk semua i. Pada kejadian ini, proses A yang rendah mendapat nilai 1 setelah intervalnya lewat, sehingga perpaduannya ada. Kejadian yang sesuai dengan interval waktu yang berbeda dikatakan bebas (independent), dimana bagian akhir dari waktu T tidak lebih besar daripada geometri.
Misalkan G = (V, E) adalah graf finite, dan W ⊆ V merupakan himpunan vertex tak kosong dengan |W | genap. Misalkan r = (re : e ∈ E) adalah jumlah
Universitas Sumatera Utara
19 vektor dari (0, 1] dan asumsikan φr,q sebagai ukuran random cluster di G dengan parameter edge r dan q ≥ 1. Kemudian φWr,q untuk φr,q ditulis sebagai kejadian dimana graph terbuka adalah W -genap dan catatan bahwa φWr,q baik monoton maupun anti-monoton. Kejadian Sµ dapat dengan mudah meningkat (increasing) dan 1 ∈ Sµ. Oleh karena itu, Teorema 4.5 dapat juga digunakan pada ukuran µ = φWr,q. Grimmet dan Janson (2009).
Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
Adapun kesimpulan dan saran dari penelitian ini :
1. Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F -nya genap dan ditulis ε untuk himpunan semua subset genap F di E. F ⊆ E dikatakan genap jika untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap.
2. Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari suatu
persamaan
ρp(F ) =
1 ZE
p|F |(1 − p)|E\F |
untuk
suatu
graph
finite
G = (V, E).
3.
Jika
peluangnya
p
=
1 2
,
maka
setiap
even
subgraph
akan
memiliki pelu-
ang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai random even subgraph yang
2
uniform di G.
4.
Misalkan
p
∈
(
1 2
,
1),
jika
G
genap,
maka
sampel
dari
ρp
dengan
sampling
pertama subgraph (V, F ) dari ρ1−p dan komplemennya (V, E\F ) memiliki
distribusi ρp. Sampling even subgraph di G menggunakan ukuran peluang
ηp
dengan
p≤
1 2
.
Sehingga
hanya dengan
menggunakan
cftp inilah untuk
memberi contoh (sample) pada ukuran random cluster φ2p,2.
5. Selain pada bidang graph khususnya random subgraph, hasil penelitian ini juga dapat diaplikasikan pada bidang biologi maupun teknik. Untuk itu diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan pada bidang lainnya.
20
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Biggs N.L., (1993), Algebraic Graph Theory,2nd ed., Cambridge, England : Cambridge University Press.
Bollobs B., (1984), Random Graphs, 2nd ed., Cambridge, Baton Rouge. Bollobs B., Grimmet G., Janson S., (1996), The Random Cluster Model On The
Complete Graph, Math. Stat., 104, 283-317. Bondy J.A. dan Murty U.S.R., (2007), Graph Theory, Springer, Berlin. Borgs C., Chayes J.T., Hofstad R., Slade G., dan Spencer J., (2004), Random
Subgraphs Of Finite Graphs : I. The Scaling Window Under The Triangle Condition, New York. www.math.ubc.ca/∼slade/ncube1.pdf. Diakses tanggal 18 Juni 2010. Chung F., Horn P., dan Lu L., (2002), The Giant Component In A Random Subgraph Of A Given Graph, California. www.math.sc.edu/∼lu/papers/subgraph.pdf. Diakses tanggal 23 Juni 2010. Clark L., (2002), Random Subgraphs Of Certain Graph Powers, IJMMS 32:5 , 285292. Grimmett G. dan Janson S., (2009), Random Even Graphs, Electron. J. Combin. 16. Grimmett G. dan Kesten H., (1984), Random Electrical Networks On Complete Graphs II : Proofs, J. Lond. Math. Soc., 30, 171-192. Kashtan N., Itzkovitz S., Milo R., dan Alon U., (2004), Efficient Sampling Algorithm For Estimating Subgraph Concentrations And Detecting Network Motifs, Bioinformatics, 20, 1746-1758. Soshnikov A. dan Sudakov B., (2003), On The Largest Eigenvalue Of A Random Subgraph Of The Hypercube, Comm. Math. Phys., 239, 53-63.
21
Universitas Sumatera Utara
TESIS Oleh LENA ROSDIANA P. 087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
RANDOM SUBGRAPH
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh LENA ROSDIANA P.
087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: RANDOM SUBGRAPH : Lena Rosdiana P. : 087021005 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
(Dr. Tulus, M.Si) Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)
Tanggal lulus: 20 Mei 2010
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 20 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc. Anggota : 1. Dr. Tulus, M.Si.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. 3. Drs. Sawaluddin, MIT.
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Random Subgraph”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc.(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara; Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara Medan; Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara; Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai ketua komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; Dr. Tulus, M.Si, sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang memberikan ilmunya selama perkuliahan; Misiani,S.Si selaku staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis, seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2008/2009 Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja sama dan kebersamaannya selama perkuliahan; secara khusus penulis menyampaikan terima kasih kepada orang tua tersayang Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja, serta seluruh keluarga atas dorongan, perhatian dan doanya, penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
iii
Universitas Sumatera Utara
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan, karena itu penulis terbuka untuk kritik dan saran dari pembaca.
Medan, Mei 2010 Penulis, Lena Rosdiana P.
iv
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Lena Rosdiana Pangaribuan dilahirkan di Medan pada tanggal 2 Pebruari 1984 dan merupakan anak kelima dari lima bersaudara dari Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja. Tamat dari Sekolah Dasar (SD) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1996, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1999 dan Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 3 Medan pada tahun 2002. Tahun 2002 memasuki Perguruan Tinggi Negeri Universitas Negeri Medan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 2007. Tahun 2007 diterima sebagai guru di Methodist 3 Medan. Tahun 2008 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i ii iii v vi
BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2 2 2
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH . . . . . . . 9
3.1 Random Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Finite Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Sampling Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform 11
BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1 Random Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sampling Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 16
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
vi
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graph G adalah pasangan terurut (V (G), E(G)) yang terdiri dari him-
punan V (G) vertex dan himpunan E(G) yang disjoint dari V (G) yaitu edge, di-
mana himpunan vertex dan himpunan edge merupakan fungsi incident ψG yang
mengaitkan dengan setiap edge di G yang merupakan pasangan tak terurut dari
vertex di G (Bondy dan Murty, 2007). Secara umum, suatu graph F dikatakan
subgraph dari graph G jika V (F ) ⊆ V (G), E(F ) ⊆ E(G), dan ψF adalah batasan
dari ψG ke E(F ). Sehingga dapat dikatakan bahwa G memuat F atau F terdapat
di G dan ditulis G ⊇ F atau F ⊆ G, secara berurut. (Bollobas, 1984) Ada-
pun contoh random subgraph dari graph finite yakni subgraph dari graph lengkap
G(V, p) yang vertexnya (V ) diperoleh dengan cara menghapus edge secara bebas
dengan peluang 1 − p dan pertama sekali diperkenalkan oleh Erdo¨s dan Renyi pada
tahun 1960. Mereka menunjukkan bahwa ketika p diskalakan sebagai (1 + ε)V −1,
ada suatu peralihan fase pada ε = 0 yang dalam pengertiannya bahwa ukuran
dari komponen yang paling besar adalah θ(log V ). Random even subgraph dari
suatu graph yang finite G dengan bobot edge yang secara umum mengarah pada
p ∈ (0, 1). Grimmet (2009). Random even subgraph dari planar lattice mengalami
suatu
fase
peralihan
dengan
nilai
parameter
1 2
pc
,
di
mana
pc
adalah
titik
kri-
tis dari q = 2 model random-cluster di dual lattice. Setiap graph akan dibahas
dan dihubungkan dengan SLE (Schramm-L¨owner Evolutions). Tujuannya adalah
mengetahui random even subgraph dari graph yang finite G = (V, E) dan untuk
menunjukkan bagaimana menggunakan subgraph. Suatu subset F dari E disebut
genap, jika untuk semua x ∈ V , x berinsiden dengan jumlah anggota F genap.
Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap, dan ditulis ǫ untuk himpunan dari
semua subset genap F di E. Ini merupakan acuan bahwa setiap himpunan genap
F bisa tidak digunakan lagi sebagai gabungan edge-point dari cycle. (Grimmet,
2009) Dalam menentukan random subgraph ini diperlukan suatu model yang cocok
untuk memilih subgraph yang acak. Sekilas akan dibahas model tersebut dengan
ukuran peluangnya. Di sisi lain, random subgraph G diperoleh secara acak (ran-
1
Universitas Sumatera Utara
2
dom) dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. Suatu model di G mempunyai bentuk ruang dan juga memiliki ukuran suatu peluang. Ukuran random-cluster di G dengan parameter p dan q = 2 yang digambarkan secara umum untuk q > 0, namun hanya bersifat pada kasus q = 2. Hampir semua informasi yang mungkin kita dapat menyatakan bahwa subgraph dari beberapa host graph (graf asal) sering kali mempunyai ukuran-ukuran besar yang menjadi penghalang atau memiliki informasi yang tidak lengkap. Pertanyaannya adalah apakah random subgraph dari graph yang diberikan harus ada atau tidak. Random subgraph Gp dari graf G terjadi apabila setiap edge di Gp bebas menghapus setiap edge dengan peluang p, dan membuang edge dengan peluang 1 − p.
1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan random even subgraph
dari suatu graph dengan menggunakan algoritma sampling.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph
dari graph yang finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling.
1.4 Metode Penelitian Metode penelitian ini secara ringkas seperti berikut ini. Pertama sekali buat
suatu graph yang terdiri dari vertex dan edge. Kemudian dari graph ini, pilih subgraph-nya secara acak. Untuk memilih subgraph yang acak digunakan suatu algoritma. Dalam hal ini algoritma yang akan dipergunakan adalah algoritma sampling yang tujuannya pemilihan random subgraph ini sesuai dengan yang diinginkan. Dapat dikatakan bahwa ada batasan dalam memilih random subgraph dari suatu graph.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa hasil penelitian tentang random subgraph.
Sesuatu yang finite dan simpel dari graph tak langsung G memiliki himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G). Dimana orde G adalah |V (G)| dan ukuran e(G) di G adalah |E(G)|. Untuk S ⊆ V (G), misalkan G[S] merupakan subgraf G yang disebabkan oleh S dan G[S, V (G) − S] merupakan spanning subgraph G dengan edge xy dimana x ∈ S dan y ∈ V (G) − S. Cartesian product pada graph G dan H adalah suatu graph dengan himpunan vertex V (G) × V (H) dimana vertexvertexnya yaitu (g1, h1) dan (g2, h2) adjacent jika dan hanya jika g1 = g2 dan h1h2 ∈ E(H) atau h1 = h2 dan g1g2 ∈ E(G). Dengan menentukan peluang batasan maka random subgraph dari Cartesian power Kan atau Kan,a ini dapat terhubung. Dimana Ka menunjukkan graph komplit dengan orde a dan Ka,a menunjukkan graph bipartit komplit dengan bagian dari orde a.
Lemma 2.1 Untuk G = Kan dengan a ≥ 2 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ (a − 1)s(n − loga s), 1 ≤ s ≤ an dan untuk G = Kan,a dengan a ≥ 1 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ as(n − log2a s), 1 ≤ s ≤ (2a)n. [Clark, 2002].
Misalkan Qn suatu graf dimana vertex-vertexnya merupakan semua vektor {x = (x1 . . . xn)|xi ∈ {0, 1}} dan dua vektor x dan y adjacent jika mereka mendapatkan satu koordinat, contohnya : |xi − yi| = 1. Dapat dikatakan Qn n-
i
dimensional cube atau n-cube. Lebih jelasnya Qn merupakan n-regular, bipartite graph pada orde 2n. Random subgraf G(Qn, p) adalah ruang (space) peluang diskrit yang digabung pada semua subgraf n-cube, dimana setiap edge Qn bergantung secara random dan independent (bebas) dengan peluang p = p(n). Ada dua batasan yang memiliki nilai asimtot yang sama yang dihitung pada largest eigenvalue. Sebagai contoh, sangat mudah untuk memberi asimtot pada largest eigenvalue pada random subgraf G(n, p) yang graf komplit ordenya n untuk p > log n/n.
3
Universitas Sumatera Utara
4
Teorema 2.2 Misalkan G(Qnp) random subgraf pada n-cube dan misalkan ∆ sebagai derajat maksimum G. Maka dapat dipastikan bahwa largest eigenvalue pada matrix adjacent S diberikan :
√ λ1(G) = (1 + o(1)) max( δ, np)
dimana
o(1)
menunjukkan
0
dan
max(∆
1 2
(G),
np)
menunjukkan
infinite.
Penggu-
naan eigenvalue yang paling besar (largest) terdapat pada random subgraph hyper-
cube (n-cube). Misalkan G adalah random subgraph dari n-cube yang mana setiap
edgenya muncul secara acak dan bebas dengan peluang p = p(n). Hasil pembuk-
tian mereka adalah eigenvalue yang paling besar (largest) dari matrix adjacent G
sudah
pasti
λ1(G)
=
(1
+
o(1))
max(Delta
1 2
(G),
np)
,
dimana
∆(G)
adalah
derajat
maksimum
G
dan
o(1)
cenderung
nol
ketika
maksimum
(∆
1 2
(G),
np)
infinite.
Chung et al. (2002) menyampaikan bahwa random subgraph Gp dari host
graph (graph asal) G dibentuk dari setiap edge di G dengan peluang (kemungki-
nan) p atau dengan kata lain mereka menentukan komponen besar (giant) pada
random subgraph dari graph yang diberikan. Erd¨os dan Rnyi menyatakan untuk
kasus
host graph (graf asal) Kn
:
jika p =
c n
untuk c <
1,
maka G
tidak mem-
punyai komponen besar yang terhubung dan semua komponen berasal dari ukuran
O(log n) dan sebaliknya jika c > 1 , maka ada komponen besar dari ukuran ∈ n.
Borgs et al. (2004) menyampaikan bahwa random subgraph pada graph transitif terhubung G yang finite diperoleh dengan cara bebas menghapus edge dengan peluang 1 − p. Model yang digunakan adalah fase transisi pada pc berhubungan dengan fase transisi random graph dengan jumlah yang diperoleh, sehingga disebut diagram segitiga dengan ujung pc yang cukup kecil.
Grimmett dan Janson (2009) menyampaikan bahwa suatu subgraph (V, F )
dari graf G = (V, E) dikatakan genap apabila F genap dan ǫ dikatakan sebagai
himpunan untuk semua subset even F di E. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random
even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F )
=
1 ZE
p|F
|(1
−
p)|E\F |,
F ∈ε
(2.1)
dimana ZE = ZGE(p) adalah nilai konstan normal yang sesuai. Misalkan φp product measure dengan density p pada bentuk space Ω = {0, 1}E. Dimana φp digambarkan
Universitas Sumatera Utara
5
sebagai random subgraf G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraf yang berlaku jika genap. Random even subgraf berhubungan erat dengan model Ising dan model random-cluster G dan model ini dapat ditinjau ulang dengan singkat. Misalkan β ∈ (0, ∞) dan
p = 1e−2β = 2 tan hβ 1 + tan hβ
(2.2)
Model Ising G mempunyai bentuk ruang = −1, +1V dan ukuran peluangnya
πβ(σ)
=
1 ZI
exp
β
σxσy , σ ∈
e∈E
(2.3)
dimana ZI = ZGI (β) adalah fungsi pembagi (partition function) yang mana πβ sebagai ukuran peluang dan e = x, y menunjukkan suatu edge dengan titik akhir
x, y. Bentuk spin-cluster σ ∈ adalah subgraph terhubung yang maksimal di
G untuk setiap vertex v yang mempunyai spin-value yang sama σy. Spin-cluster disebut k cluster jika σy = k untuk semua v yang menjadi milik cluster. Kuantitas penting yang berhubungan dengan model Ising adalah fungsi korelasi dua titik,
yaitu
πβ(x, y)
=
πβ(σx
=
σy)
−
1 2
=
1 2
πβ (σx σy
),
x, y ∈ V
(2.4)
dimana P (f ) menyatakan ekspektasi variabel random f menurut ukuran peluang
P . Ukuran random cluster di G dengan parameter p ∈ (0, 1) dan q = 2 diperoleh
(dapat digambarkan untuk umum q > 0, tetapi hanya bersifat pada kasus q = 2.
Misalkan S adalah suatu himpunan fixed yang tak kosong pada bilangan in-
teger non-negatif. Dimisalkan ada suatu S-graph yang semua derajat vertexnya
termasuk himpunan S. Contohnya jika S = {s} adalah singleton, dimana S-graf
sama seperti graph reguler berderajat s. Random graf Gn,p,S didefinisikan sebagai
Gn,p yang dikondisikan menjadi S-graph, dimana Gn,p merupakan random sub-
graph standar pada graf komplit Kn yang mana dua vertexnya bergabung dengan
suatu edge yang peluangnya p ∈ (0, 1) dan kejadian
n 2
ini sesuai dengan edge
di Kn yang independent (bebas). Dengan kata lain, Gn,p,S adalah suatu random
S-subgraph di Kn sehingga jika G merupakan subgraph di Kn yaitu S-graph, maka
P(Gn,p;S (G)
=
pe(G)(1 − p)(
n 2
)−e(G)
P(Gn,p adalah S−graph)
Universitas Sumatera Utara
6
dimana e(G) adalah jumlah edge di G. Contoh yang lain seperti : Misalkan S = 2Z≥0 bilangan genap. Sehingga,
φS (µ) =
∞
µ2k (sk)!
=
cos µ
k=0
Sehingga
λˆ(µ)
=
µ tan µ
meningkat
(increase)
dari
1
ke
∞
untuk
µ
∈
[0, ∞)
,
ini menyatakan bahwa λ ≤ 1, µ = 0 hanya satu-satunya solusi, begitu juga dengan
λ > 1,
ϕS
=
log(cos)
−
1 2
µ
tan
µ
sehingga
ϕS (µ)
=
sin(2µ) − 2µ 4 cos2 µ
>
0
untuk
µ
>
0.
Random
even
subgraf
dengan
parameter
p
∈
[0,
1 2
]
berhubungan
dengan
model
random cluster G dengan parameter edge 2p dan faktor cluster-weighting q = 2.
Jika G graf planar, maka random even subgraph dapat diidentifikasikan dari dual-
graph dengan batasan +/− pada model Ising dual graph G dengan suatu nilai
parameter. Grimmet dan Janson (1996)
Kn+2 merupakan graph komplit dengan n + 2 vertex, yang mana labelnya {0, 1, . . . , n, ∞}. Setiap edge e diberikan suatu random resistance R(e) dengan distribusi
P(R(e)
≤
x)
=
γ n
F
(x)
untuk
0
≤
x
<
∞P(R(e)
=
∞)
=
1
−
γ(n) n
dimana F adalah suatu fungsi distribusi tetap dengan konsentrasi [0, ∞) dan γ(n) merupakan barisan bilangan dari 0 ≤ γ(n) ≤ n. Semua resistance R(e), e ∈ Kn+2 , diasumsikan independent. Rn menunjukkan hasil (acak) efektif resistance di Kn+2 antara vertex 0 dan ∞. Kemudian misalkan G adalah suatu graf finite yang terhubung dan A0 dan A1 merupakan himpunan dua disjoint vertex di G. Asumsikan setiap edge e dapat menentukan suatu resistance, yang disimbolkan R(e). Untuk menentukan resistance (perlawanan) antara A0 dan A1 pada suatu jaringan edge di G, pertama sekali diidentifikasikan semua vertex di A0 (A1) sebagai vertex tunggal, yang disebut Aˆ0(Aˆ1). Ini sama artinya dengan mengatur R(e) sama dengan 0 (nol), dimana titik akhir kedua e sama dengan Ai.
Universitas Sumatera Utara
7
Lalu identifikasikan juga satu vertex pada tiap tingkat maksimal vertex di
G dimana sudah shortcircuited (terputus), sebagai contoh , tiap tingkat maksimal Aˆ = {v1, . . . , vm} yang terdiri dari vi, vj di Aˆ sehingga terdapat vi1, . . . , vir dan edge
e1 antara vil dan vil+1, l = 0, . . . , r , dengan vi0 = vi, vir+1 = vj dan R(e1) = 0, l = 0, . . . , r. Asumsikan Gˆ adalah suatu hasil jaringan dari identifikasi yang diberikan.
Resistance (perlawanan) antara A0 dan A di G didefinisikan sebagai perlawanan antara Aˆ0 dan Aˆ1 di G. Untuk menghitung resistance ini diperlukan suatu fungsi potensial V (vˆ) dengan nilai batasan 0 di Aˆ0 dan 1 di Aˆ1. V (vˆ) ditentukan dari
hukum Kirchoff yaitu :
V (vˆ) =
1 −1 R(e)
V
(wˆ(e)) R(e)
,
vˆ = Aˆ0, Aˆ1
Diberikan G(n, p, q), pilih salah satu dari komponen yang besar secara acak dan ditulis n untuk jumlah edge pada komponen ini. Juga, dikatakan n sebagai jumlah edge pada graph seluruhnya (n, p, q). Asumsikan q > 1. Jumlah edge pada komponen kecil adalah r(ΨnΞn)n + op(n), sedangkan subgraphnya memiliki :
1. (Dengan peluang r) {Θn+r(1−Θn)}n+op(n) vertex dan Ξn + r(ΨnΞ − n)n+ op(n) edge , atau
2. (Yang lainnya) r(1 − Θn)n + op(n) vertex dan r(ΨnΞ − n)n + op(n) edge.
Asumsikan p = O(n−1), dimana graf G(N, p) memiliki
N 2
p + Op(N p1/2) =
1 2
N
2p
+
op(N )
edge,
sehingga
:
{Ξn
+ r(Ψn
− Ξn)}n
=
1 2
{Θn
+
r(1
− Θn)}2n2p
+ op(n)
r(ΨnΞn)n
=
1 2
{r(1
− Θn)}2n2p
+
op(n)
akan menghasilkan jika p = λ/n, sehingga
Ξn
+
r(Ψn
− Ξn)
=
1 2
λ{Θn
+
r(1
−
Θn)}2
+
op(1)
r(ΨnΞn)
=
1 2
λ{r(1
− Θn)}2
+ op(1)
Teorema : Jika q > 1 dan λ > 0, maka n → ∞ sehingga :
Ψn
−
λ 2q
{1
+
(q
−
1)Θn2 }
→P
0
Universitas Sumatera Utara
Bollobas et al. (1996)
Ξn
−
λ q
Θn{1
+
1 2
q
−
1
Θn} →P 0
8
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar tentang random even subgraph yang akan dpergunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan subgraph tersebut dan juga akan dibahas tentang gambaran prosedur random sampling.
3.1 Random Subgraph
Suatu subset F di E dikatakan genap jika, untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap. Sehingga subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap dan ε ditulis sebagai himpunan dari semua subset genap F di E. Dikatakan standar jika setiap himpunan genap F bisa dihapus dari gabungan edge-disjoint di cycle-nya. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :
ρp(F ) =
1 ZE
p|F |(1 − p)|E\F |,
F ∈ε
(3.1)
dimana ZE = ZGE(p).
Mencari ρp dapat juga menggunakan cara sebagai berikut. Misalkan φp adalah product measure dengan density p pada bentuk ruang Ω = {0, 1}E. Untuk ω ∈ Ω dan e ∈ E, dikatakan ω-open jika ω(e) = 1 dan ω-closed untuk yang lainnya. Misalkan ∂ω adalah himpunan dari vertex x ∈ V yang berincident dengan jumlah edge ganjil pada ω-open. Sehingga
ρp(F )
=
φp(ωF ) φp(∂ω = ∅)
,
F ∈ε
(3.2)
dimana ωF adalah bentuk edge yang himpunan edge terbukanya adalah F . Dengan kata lain, φp digambarkan sebagai random subgraph G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp merupakan aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. (Grimmet, 2009)
9
Universitas Sumatera Utara
10
3.2 Finite Graph
Suatu graph dikatakan finite apabila suatu graph dengan jumlah yang finite
di vertex dan edge-nya. Jika graph memiliki n vertex dan tidak memiliki kelipatan
edge atau graph yang loop, maka graph finite merupakan subgraph dari graph
komplit Kn. Suatu graph yang tidak finite disebut dengan infinite. Jika setiap vertex memiliki derajat yang finite, maka graph itu disebut sebagai daerah yang
finite. (Biggs, 1993)
Pada
kasus
p
=
1 2
pada
persamaan
ρp(F )
=
1 ZE
p|F |(1−p)|E\F |,
dimana F
∈
ε,
setiap even subgraph memiliki peluang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai
2
random even subgraph yang uniform di G. Peluang yang dipilih p = 1 karena 2
memberikan hasil pada persamaan ρp, sedangkan jika p = 1 akan memberikan hasil
bernilai 0. Sehingga random subgraph dapat diperoleh sebagai berikut. Pertama-
tama identifikasikan family dari semua spanning subgraph di G = (V, E) dengan family 2E dari semua subset di E. Family ini dapat diidentifikasikan lebih lanjut dengan {0, 1}E = Z2E dan dengan demikian ruang vektornya (vector space) diatas Z2; sebagai tambahannya adalah 2 modul tambahan cara pada {0, 1}E , sehingga diterjemahkan sebagai pengambilan perbedaan simetris pada himpunan edgenya
: F1 + F2 = F1∆F2 untuk F1, F2 ⊆ E. Family dari even subgraph G merupakan bentuk dari subspace ε pada ruang vektor {0, 1}E , sehingga F1 + F2 = F1∆F2 dikatakan genap jika F1 dan F2 juga genap. (Pada kenyataannya, ε adalah ruang cycle (cycle space) Z1 pada Z2-homology di G sebagai suatu kompleks yang sederhana). Pada khususnya, jumlah even subgraph di G sama dengan 2c(G) , di-
mana c(G) = dim(ε) ; dengan demikian c(G) adalah jumlah cycle bebas di G, dan
diperoleh :
c(G) = |E| − |V | + k(G)
Proposisi 3.1 Misalkan C1, . . . , Cc adalah himpunan maksimal dari cycle bebas
di G. Misalkan ξ1, . . . ξc adalah bebas dari random variabel (sebagai contoh, hasil
lemparan koin yang adil). Sehingga ξiCi merupakan random even subgraph yang
i
uniform di G.
Bukti: C1, . . . , Cc adalah basis dari ruang vektor ε di atas Z2. Salah satu cara
Universitas Sumatera Utara
11
yang dilakukan dalam memilih C1, . . . , Cc adalah dengan memanfaatkan dalil yang berikutnya. Pada dalil yang berikutnya, akan menggunakan spanning subforest di G yang berarti suatu maximal forest di G, yaitu gabungan spanning tree dari setiap komponen di G.
Proposisi 3.2 Misalkan (V, F ) adalah spanning subforest di G. Setiap subset X di E\F dapat diselesaikan dengan kekhususan Y ⊆ F pada himpunan edge genap Ex = X ∪Y ∈ ε. Memilih random subset yang uniform X ⊆ E\F akan memberikan suatu random even subgraph yang uniform Ex juga di G.
Bukti: Setiap edge ei ∈ E\F dapat diselesaikan dengan edge di F pada cycle yang unik Ci ; dimana cycle ini merupakan dasar dari ε dan hasilnya seperti pada dalil 1. (Grimmet dan Janson, 2009)
3.3 Sampling Subgraph
Contoh-contoh algoritma subgraph n dari pemilihan edge secara acak yang terhubung dengan suatu himpunan n dapat dicapai. Selanjutnya digambarkan prosedur random sampling dari suatu n vertex subgraph pada suatu network (jaringan). Pilih edge secara acak dari jaringan, lalu perluas subgraph secara berulang-ulang dengan memilih edge tetangganya secara acak hingga membentuk subgraph n. Untuk setiap pilihan acak dari suatu edge, dalam memilih suatu edge sebaiknya ukuran subgraph diperluas dari pertama, kemudian siapkan daftar semua kandidat (calon) edge, lalu lakukan pemilihan edge secara acak dari daftar itu sendiri. Jadi, contoh subgraph dapat digambarkan sebagai suatu himpunan vertex n dan semua edge yang terhubung diantara vertex pada original network (tidak hanya edge yang dipilih dengan proses perluasan).
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform
Suatu subgraph yang spesifik adalah suatu himpunan n yang terhubung dengan vertex dalam suatu jaringan. Peluang dari sampling subgraph spesifik yang berbeda dalam jaringan tidaklah sama meskipun mempunyai topologi yang sama. Untuk menilai ini, kita akan menghitung peluangnya P , dari sampling subgraph
Universitas Sumatera Utara
12
yang spesifik. Setiap jenis subgraph akan menerima skor/nilai. Kemudian, kita
akan menambah skor berat W
=
1 P
untuk skor jenis subgraph
yang relevan.
Ini
diulang untuk mendapatkan banyaknya sampel spanning tree.
Dengan demikian, kita dapat menghitung konsentrasi dari semua jenis subgraph menurut skor/nilainya. Sebagai contoh, sebuah n-node subgraph, himpunan terurut n − 1 edge dipilih berulang-ulang secara acak. Sedangkan untuk menghitung peluangnya P dari sampling subgraph, kita perlu memeriksa semua peluang (kemungkinan) himpunan terurut n−1 edge yang menuju pada sampling subgraph. Kashtan et al. (2004)
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH
Pada bab ini akan dibahas lebih lanjut tentang Random Even Subgraph dan Sampling Even Subgraph.
4.1 Random Even Subgraph
Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari per-
samaan
ρp(F )
=
1 ZE
p|F
|(1p)|E\F
|
untuk
suatu
graph
finite
G
=
(V, E).
Selanjutnya
bagaimana memasangkan model random-cluster q = 2 dan random even subgraph
di
G.
Misalkan
p
∈
[0,
1 2
]
dan
ω
sebagai
realisasi
model
random
cluster
di
G
dengan
parameter 2p dan q = 2. Misalkan R = (V, γ) sebagai random even subgraph yang
uniform di (V, η(ω)).
Teorema
4.1
Misalkan
p
∈
[0,
1 2
].
Graph R = (V, γ) adalah random even subgraph
di G dengan parameter p.
Bukti : Misalkan g ⊆ E genap dan c(ω) = c(V, η(ω)) merupakan jumlah cycle bebas pada open subgraph,
P(γ = g|ω) =
2−c(ω) jika g ⊆ η(ω) 0 yang lain
sehingga
P(γ = g) =
2−c(ω) φ2p,2(ω )
ω:g⊆η(ω)
Jika c(ω) = |η(ω)| − |V | + k(ω), maka :
P(γ = g) ∝
2p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|2k(ω)
1 2|η(ω)|−|V
|+k(ω)
ω:g⊆η(ω)
(4.1)
∝ p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|
ω:g⊆η(ω)
= [p + (12p)]|E\g|p|g|
= p|g|(1p)]|E\g|, g ⊆ E
(4.2)
13
Universitas Sumatera Utara
14
Misalkan
p
∈
(
1 2
,
1).
Jika
G
genap,
maka
contoh
dari
ρp
dengan
sampling
(pe-
ngambilan) pertama suatu subgraph (V, F ) dari ρ1p dan komplemennya (V, E\F )
memiliki distribusi ρp. Jika G ganjil, maka akan disesuaikan seperti berikut ini. Untuk W ⊆ V dan H ⊆ E; H dikatakan W -genap jika setiap komponen dari
(V, H) terdiri dari jumlah anggota dari W genap. Misalkan W = ∅ adalah him-
punan vertex G dengan derajat ganjil, sehingga, secara khusus, E adalah W -genap.
Asumsikan ΩW = {ω ∈ Ω : η(ω) adalah W -genap. Untuk ω ∈ ΩW , pilih subset
yang
disjoint
P
i
=
Pωi ,
dimana
i
=
1,
2,
.
.
.
,
1 2
|W
|,
dari
η(ω),
yang
merupakan
path
non-self-intersecting terbuka dengan titik akhir nyata yang terletak di W , sehingga
setiap anggota di W merupakan titik akhir tepat satu path. Ditulis Pω = i Pωi .
Misalkan r = 2(1p), dan misalkan φWr,2 adalah ukuran random cluster pada Ω dengan parameter r dan q = 2 bersyarat pada kejadian ΩW . Ambil sample dari φrW,2 untuk memperoleh subgraph (V, η(ω)), dengan memilih suatu random even subgraph yang uniform (V, γ).
Teorema 4.2 Misalkan p ∈
1 2
,
1
.
Graph
S
= (V, E\(γ∆Pω))
adalah
suatu
ran-
dom even subgraph di G dengan parameter p.
Teorema 4.1. dan teorema 4.2. dapat digabungkan sebagai berikut. Dengan
mempertimbangkan model yang dibangun dengan satu parameter pe ∈ (0, 1) untuk
setiap
edge
e
∈
E.
Misalkan
A
=
{e
∈
E
:
pe
>
1 2
}.
Didefinisikan
bahwa
re
=
2pe
jika e ∈ A dan re = 2(1pe) jika e ∈ A. (Jadi 0 < re ≤ 1). Misalkan W = WA adalah
himpunan vertex A-ganjil, sebagai contoh, titik akhir dari jumlah edge ganjil di
A. Sample ω dari ukuran random-cluster dengan parameter r = (re : e ∈ E)
dan q = 2, sehingga η(ω) menjadi W -genap, misalkan Pω (untuk W = WA) , dan
sample random even subgraph yang uniform (V, γ) pada (V, η(ω)).
Teorema 4.3 Graph S = (V, γ∆Pω∆A) adalah random even subgraph di G dengan distribusi ρp.
Bukti : Misalkan F = γ∆Pω∆A merupakan hasil dari himpunan edge sehingga
η(ω)supseteqγ∆Pω = F ∆A
(4.3)
Universitas Sumatera Utara
15
Selanjutnya, jika F genap, maka F ∆A mempunyai derajat ganjil tepat pada vertexnya W = WA, karena itu pers. (4.3) menunjukkan bahwa ω ∈ ΩW diperlukan. Diberikan himpunan egde genap f ⊆ E, sehingga diperoleh F = f jika pemilihan pertama ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A dan kemudian (Pω telah terpilih) pilih γ sebagai even subgraph f ∆A∆Pω. Karena itu, untuk setiap ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A, diperoleh P(F = f |ω) = 2−c(w).
P(F = f) ∝
2−c(ω)φr,2(ω) ∝
2−c(ω) 2k(w)
reω(e) (1re )1−ω(e)
ω:η(ω)⊇f ∆A
ω:η(ω)⊇f ∆A
e∈E
∝
2−|η(ω)|
reω(e) (1re )1−ω(e)
ω:η(ω)⊇f ∆A
e∈E
=
ω:η(ω)⊇f ∆A e∈E
re 2
=
re 2
e∈f ∆A
e∈f ∆A
ω(e) (1re)1−ω(e)
1
−
re 2
Dengan 1e yang merupakan fungsi indikator pada kejadian {e ∈ f}, dapat ditulis
kembali seperti berikut ini :
P(F = f) ∝
re 2
1e
1
−
re 2
11e
re 2
11e
1
−
re 2
1e
e∈A
e∈A
= (pe)1e(1pe)11e (pe)11e(1pe)1e
e∈A e∈A
= (pe)1e(1pe)11e
e∈A
∝ ρp(f )
(4.4)
Ini bertentangan dengan dengan Teorema 4.1. Ambil random even subgraph (V, V )
di
G
=
(V, E)
dengan
parameter
p
≤
1 2
.
Untuk setiap e ∈ F , dapat ditentukan
suatu warna random bebas, biru dengan peluang p/(1p) dan merah untuk yang
lainnya. Misalkan H diperoleh dari F dengan menambahkan di semua edge biru.
Teorema 4.4 Graph (V, H) memiliki aturan φ2p,2.
Bukti : Untuk h ⊆ E ,
P(H = h) ∝
J ⊆h,J genap
p |J| 1p
p |h\J| 1p
12p |E\h| 1p
∝ p|h|(12p)|E\h|N (h)
(4.5)
Universitas Sumatera Utara
16
dimana N (h) adalah jumlah subgraph genap di (V, h). Seperti pembuktian di atas, N (h) = 2|h|−|V |+k(h) dimana k(h) adalah jumlah komplemen dari (V, h).
Suatu edge e dari graph disebut cyclic jika edge tersebut termasuk di dalam
beberapa cycle suatu graph.
Akibat : Untuk p ∈
0,
1 2
dan e ∈ E,
ρp(e terbuka
=
1 2
φ2p,2(e
adalah
suatu
cyclic
edge
di
graph
terbuka
)
Dengan menghitung di atas e ∈ E, dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah edge terbuka dibawah ρp adalah setengah dari rata-rata jumlah cyclic edge dibawah φ2p,2.
Bukti : Misalkan ω ∈ Ω dan C adalah maximal family dari cycle bebas ω. Misalkan R = (V, γ) adalah random even subgraph yang uniform di (V, η(ω)), suatu tafsiran yang menggunakan Teorema 2.2 dan C. Untuk e ∈ E, misalkan Me adalah jumlah elemen dari C yang memasukkan e. Jika Me ≥ 1, maka jumlah cycle Me pada γ yang telah terpilih dalam susunan/bentuk pada γ adalah sama seperti penggunaan genap atau ganjil. Oleh karena itu,
P(e ∈ γ|ω) =
1 2
jika Me ≥ 1
0 jika Me = 0
(4.6)
4.2 Sampling Even Subgraph
Seperti dinyatakan diawal bahwa Teorema 4.1 memberikan suatu cara yang
sistematis pada sampling even subgraph di G yang sesuai dengan ukuran peluang
ηp
dengan
p
≤
1 2
.
Coupling-from-the-past
(cftp)
hanya
digunakan
untuk
memberi
contoh pada ukuran random-cluster φ2p,2, kemudian melepaskan koin secara adil
sekali untuk setiap anggota dari beberapa himpunan bebas yang maksimal dari
cycle G. Diingatkan kembali bahwasannya implementasi (pelaksanaan) dari cftp ini
berdasarkan pada periode waktu T secara acak yang bagian akhirnya dibatasi oleh
suatu distribusi geometri ; yang berakhir dengan peluang 1 dengan suatu sample
yang tepat dari target distribusi.
Sedikit lebih rumit ketika p >
1 2
dan G tidak
hanya genap, sehingga dilihat dari situasinya ukuran random cluster digunakan
Universitas Sumatera Utara
17
dalam Teorema 4.2 dan 4.3 baik monoton maupun anti-monoton. Kemudian akan dicari bagaimana menyesuaikan teknik cftp pada beberapa situasi.
Misalkan E adalah suatu himpunan finite tak kosong dan µ adalah ukuran peluang pada product space Ω = {0, 1}E. Dikatakan µ monoton (respectively, antimonoton) jika µ(1e|ξe) adalah non-decreasing (respectively, non-increasing) dimana ξ ∈ Ω. Dimana, 1e adalah fungsi indikator yang edge-nya e adalah terbuka dan ξe adalah bentuk yang diperoleh dari ξ pada E\{e}. Untuk e ∈ E, ψ ∈ Ω, dan b = 0, 1 , maka ψeb ditulis sebagai bentuk yang sesuai dengan ψ pada e dan memperoleh nilai b pada e. Secara standar cftp mungkin dapat digunakan untuk sample dari µ jika µ adalah monoton dan akan dijelaskan bagaimana menyesuaikan apabila µ adalah anti-monoton. Suatu mekanisme diusulkan sebagai hasil dalam sample yang tepat dari µ tanpa asumsi apapun dari (anti-)monotonicity. Mekanisme ini dapat digunakan dalam kerangka umum yang lebih banyak pada bounding chain, akan tetapi tidak sesuai dalam pekerjaannya, karena pada kenyataannya Ω adalah partially ordered (orde sebagian).
Misalkan Sµ = {ω ∈ Ω : µ(ω) > 0}, subset dari Ω yang mana µ adalah strictly positive (benar-benar positif) dan asumsikan secara sederhana bahwa Sµ adalah increasing dan 1 ∈ Sµ, dimana 1 (respectively, 0) menunjukkan bentuk untuk semua bernilai 1 (respectively, semua bernilai 0). Asumsi ini dikatakan valid pada pengaturan sekarang ini (current setting) , tetapi tidak dapat digunakan untuk semuanya seperti berikut ini.
Dimulai dengan contoh Gibbs yang biasa/lazim digunakan untuk µ. Ini
adalah suatu discrete-time Markov chain G = (Gn : n ≥ 0) pada state space
Ω. Anggap Gn = ξ. Secara uniform distribusi anggota di E sudah terpilih, sebut
saja e, dan juga variabel random U dengan distribusi uniform pada [0, 1]. Kemu-
dian Gn+1 = ξdimana ξ(f ) untuk f = e dan ξ(e) =
0 1
jika U jika U
> µ(1e|ξe) ≤ µ(1e|ξe)
.
Aturan transisi baik digunakan jikalau ξe1 ∈ Sµ. Ini baik sekali digunakan dalam
memperluas definisi dari susunan/bentuk yang tidak berada dalam Sµ dan pada
akhirnya diperoleh :
µ(1e|ξe) = max µ(1e|ψe) : ψe ≥ ξe, ψe1 ∈ Sµ Dimana ξe1 ∈ Sµ.
(4.7)
Universitas Sumatera Utara
18
Misalkan (en, Un) adalah barisan yang independent (bebas). Asumsikan (An, Bn : n ≥ 0) adalah Markov Chain dengan state space Ω2 dan (A0, B0) = (0, 1). Anggap (An, Bn) = (ξ, η) dimana ξ ≤ η. Buat (An+1, Bn+1) = (ξ, η) dimana ξ(f ) = ξ(f ), η(f ) = η(f ) untuk f = en+1, dimana e = en+1. Diperoleh :
ξ(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ α,
η(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ β, Dimana α = α(ξ, η) = min{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} β = β(ξ, η) = max{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} Sehingga α ≤ β, kita mempunyai ξ ≤ η.
(4.8)
Rantai (A, B) dimulai pada waktu yang negatif (negative times), merupakan
cara yang ditentukan oleh cftp. Misalkan T adalah waktu perpaduan (coalescence
time). Lebih tepatnya lagi, untuk m ≥ 0, misalkan (Ak(m), Bk(m) : −m ≤ k ≤
0) menunjukkan bahwa rantai dimulai dengan A−m(m) = 0, B−m(m) = 1, yang menggunakan suatu barisan random yang fixed (en, Un)0−∞ untuk semua m, dan diperoleh
T = min{m ≥ 0 : A0(m), B0(m)}
(4.9)
Sehingga A0(T ), B0(T ).
Teorema 4.5 Jika Sµ increasing dan 1 ∈ Sµ, maka P (T < ∞) = 1 dan A0(T ) memiliki aturan µ.
Bukti : Dari definisi Sµ dan persamaan (4.7), terdapat η = η(E, η) > 0 sedemikian sehingga µ(1e|ξe) ≥ η untuk semua e ∈ E dan ξ ∈ Ω. Pada setiap panjang interval waktu yang diberikan |E|, terdapat peluang positif yang utuh yang barisannya (ei, Ui) memenuhi E = {ei} dan Ui < η untuk semua i. Pada kejadian ini, proses A yang rendah mendapat nilai 1 setelah intervalnya lewat, sehingga perpaduannya ada. Kejadian yang sesuai dengan interval waktu yang berbeda dikatakan bebas (independent), dimana bagian akhir dari waktu T tidak lebih besar daripada geometri.
Misalkan G = (V, E) adalah graf finite, dan W ⊆ V merupakan himpunan vertex tak kosong dengan |W | genap. Misalkan r = (re : e ∈ E) adalah jumlah
Universitas Sumatera Utara
19 vektor dari (0, 1] dan asumsikan φr,q sebagai ukuran random cluster di G dengan parameter edge r dan q ≥ 1. Kemudian φWr,q untuk φr,q ditulis sebagai kejadian dimana graph terbuka adalah W -genap dan catatan bahwa φWr,q baik monoton maupun anti-monoton. Kejadian Sµ dapat dengan mudah meningkat (increasing) dan 1 ∈ Sµ. Oleh karena itu, Teorema 4.5 dapat juga digunakan pada ukuran µ = φWr,q. Grimmet dan Janson (2009).
Universitas Sumatera Utara
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
Adapun kesimpulan dan saran dari penelitian ini :
1. Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F -nya genap dan ditulis ε untuk himpunan semua subset genap F di E. F ⊆ E dikatakan genap jika untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap.
2. Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari suatu
persamaan
ρp(F ) =
1 ZE
p|F |(1 − p)|E\F |
untuk
suatu
graph
finite
G = (V, E).
3.
Jika
peluangnya
p
=
1 2
,
maka
setiap
even
subgraph
akan
memiliki pelu-
ang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai random even subgraph yang
2
uniform di G.
4.
Misalkan
p
∈
(
1 2
,
1),
jika
G
genap,
maka
sampel
dari
ρp
dengan
sampling
pertama subgraph (V, F ) dari ρ1−p dan komplemennya (V, E\F ) memiliki
distribusi ρp. Sampling even subgraph di G menggunakan ukuran peluang
ηp
dengan
p≤
1 2
.
Sehingga
hanya dengan
menggunakan
cftp inilah untuk
memberi contoh (sample) pada ukuran random cluster φ2p,2.
5. Selain pada bidang graph khususnya random subgraph, hasil penelitian ini juga dapat diaplikasikan pada bidang biologi maupun teknik. Untuk itu diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan pada bidang lainnya.
20
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR PUSTAKA
Biggs N.L., (1993), Algebraic Graph Theory,2nd ed., Cambridge, England : Cambridge University Press.
Bollobs B., (1984), Random Graphs, 2nd ed., Cambridge, Baton Rouge. Bollobs B., Grimmet G., Janson S., (1996), The Random Cluster Model On The
Complete Graph, Math. Stat., 104, 283-317. Bondy J.A. dan Murty U.S.R., (2007), Graph Theory, Springer, Berlin. Borgs C., Chayes J.T., Hofstad R., Slade G., dan Spencer J., (2004), Random
Subgraphs Of Finite Graphs : I. The Scaling Window Under The Triangle Condition, New York. www.math.ubc.ca/∼slade/ncube1.pdf. Diakses tanggal 18 Juni 2010. Chung F., Horn P., dan Lu L., (2002), The Giant Component In A Random Subgraph Of A Given Graph, California. www.math.sc.edu/∼lu/papers/subgraph.pdf. Diakses tanggal 23 Juni 2010. Clark L., (2002), Random Subgraphs Of Certain Graph Powers, IJMMS 32:5 , 285292. Grimmett G. dan Janson S., (2009), Random Even Graphs, Electron. J. Combin. 16. Grimmett G. dan Kesten H., (1984), Random Electrical Networks On Complete Graphs II : Proofs, J. Lond. Math. Soc., 30, 171-192. Kashtan N., Itzkovitz S., Milo R., dan Alon U., (2004), Efficient Sampling Algorithm For Estimating Subgraph Concentrations And Detecting Network Motifs, Bioinformatics, 20, 1746-1758. Soshnikov A. dan Sudakov B., (2003), On The Largest Eigenvalue Of A Random Subgraph Of The Hypercube, Comm. Math. Phys., 239, 53-63.
21
Universitas Sumatera Utara