Random Subgraph

RANDOM SUBGRAPH
TESIS Oleh LENA ROSDIANA P. 087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara

RANDOM SUBGRAPH
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh LENA ROSDIANA P.
087021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2010
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: RANDOM SUBGRAPH : Lena Rosdiana P. : 087021005 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua

(Dr. Tulus, M.Si) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc)

Tanggal lulus: 20 Mei 2010

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 20 Mei 2010
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr. Saib Suwilo, M.Sc. Anggota : 1. Dr. Tulus, M.Si.
2. Dr. Sutarman, M.Sc. 3. Drs. Sawaluddin, MIT.
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kehadirat Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Random Subgraph”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Sumatera Utara.
Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc.(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara; Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara Medan; Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara; Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai ketua komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; Dr. Tulus, M.Si, sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini; seluruh staf pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang memberikan ilmunya selama perkuliahan; Misiani,S.Si selaku staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis, seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2008/2009 Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara atas kerja sama dan kebersamaannya selama perkuliahan; secara khusus penulis menyampaikan terima kasih kepada orang tua tersayang Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja, serta seluruh keluarga atas dorongan, perhatian dan doanya, penulis dapat menyelesaikan pendidikan ini.
iii
Universitas Sumatera Utara

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan, karena itu penulis terbuka untuk kritik dan saran dari pembaca.
Medan, Mei 2010 Penulis, Lena Rosdiana P.
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Lena Rosdiana Pangaribuan dilahirkan di Medan pada tanggal 2 Pebruari 1984 dan merupakan anak kelima dari lima bersaudara dari Drs. R. Pangaribuan dan L. Harianja. Tamat dari Sekolah Dasar (SD) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1996, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Swasta Methodist 3 Medan pada tahun 1999 dan Sekolah Menengah Umum (SMU) Negeri 3 Medan pada tahun 2002. Tahun 2002 memasuki Perguruan Tinggi Negeri Universitas Negeri Medan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pada tahun 2007. Tahun 2007 diterima sebagai guru di Methodist 3 Medan. Tahun 2008 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i ii iii v vi

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH . . . . . . . 9

3.1 Random Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Finite Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Sampling Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform 11

BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 Random Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Sampling Even Subgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 16

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

vi
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Tesis ini mempelajari suatu random even subgraph dari graph finite G dengan bobot edge yang secara umum p ∈ (0, 1). Tesis ini menggambarkan bagaimana random even subgraph diperoleh dari ukuran random cluster tertentu di G dan menganjurkan algoritma sampling berdasarkan coupling-from-the-past (cftp). Bagian-bagian dari graph akan dibahas dan dihubungkan pada Schramm-L¨owner Evolutions (SLE). Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph dari suatu graph finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling. Pada tahapan akhir, algoritma yang digunakan berdasarkan pada algoritma sampling untuk menentukan suatu random even subgraph. Kata kunci : Random even subgraph, Algoritma sampling
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT In this thesis, random even subgraph of a finite graph G with a general edge-weight p ∈ (0, 1) has been extensively studied. This thesis also demonstrates how to obtain a certain random cluster measure on G and proposes a sampling algorithm based on coupling-from-the-past (cftp). The properties of such a graph are discussed and are related to Schramm-Lo¨wner Evolutions (SLE). The objective of this research is to determine a random even subgraph from a finite graph G = (V, E) with sampling algorithm. Finally, a solution algorithm based on sampling algorithm is utilized to determine a random even subgraph. Key word : Random even subgraph, Sampling algorithm
ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu graph G adalah pasangan terurut (V (G), E(G)) yang terdiri dari him-

punan V (G) vertex dan himpunan E(G) yang disjoint dari V (G) yaitu edge, di-

mana himpunan vertex dan himpunan edge merupakan fungsi incident ψG yang

mengaitkan dengan setiap edge di G yang merupakan pasangan tak terurut dari

vertex di G (Bondy dan Murty, 2007). Secara umum, suatu graph F dikatakan

subgraph dari graph G jika V (F ) ⊆ V (G), E(F ) ⊆ E(G), dan ψF adalah batasan

dari ψG ke E(F ). Sehingga dapat dikatakan bahwa G memuat F atau F terdapat

di G dan ditulis G ⊇ F atau F ⊆ G, secara berurut. (Bollobas, 1984) Ada-

pun contoh random subgraph dari graph finite yakni subgraph dari graph lengkap

G(V, p) yang vertexnya (V ) diperoleh dengan cara menghapus edge secara bebas

dengan peluang 1 − p dan pertama sekali diperkenalkan oleh Erdo¨s dan Renyi pada

tahun 1960. Mereka menunjukkan bahwa ketika p diskalakan sebagai (1 + ε)V −1,

ada suatu peralihan fase pada ε = 0 yang dalam pengertiannya bahwa ukuran

dari komponen yang paling besar adalah θ(log V ). Random even subgraph dari

suatu graph yang finite G dengan bobot edge yang secara umum mengarah pada

p ∈ (0, 1). Grimmet (2009). Random even subgraph dari planar lattice mengalami

suatu

fase

peralihan

dengan

nilai

parameter

1 2

pc

,

di

mana

pc

adalah

titik

kri-

tis dari q = 2 model random-cluster di dual lattice. Setiap graph akan dibahas

dan dihubungkan dengan SLE (Schramm-L¨owner Evolutions). Tujuannya adalah

mengetahui random even subgraph dari graph yang finite G = (V, E) dan untuk

menunjukkan bagaimana menggunakan subgraph. Suatu subset F dari E disebut

genap, jika untuk semua x ∈ V , x berinsiden dengan jumlah anggota F genap.

Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap, dan ditulis ǫ untuk himpunan dari

semua subset genap F di E. Ini merupakan acuan bahwa setiap himpunan genap

F bisa tidak digunakan lagi sebagai gabungan edge-point dari cycle. (Grimmet,

2009) Dalam menentukan random subgraph ini diperlukan suatu model yang cocok

untuk memilih subgraph yang acak. Sekilas akan dibahas model tersebut dengan

ukuran peluangnya. Di sisi lain, random subgraph G diperoleh secara acak (ran-

1
Universitas Sumatera Utara

2
dom) dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. Suatu model di G mempunyai bentuk ruang dan juga memiliki ukuran suatu peluang. Ukuran random-cluster di G dengan parameter p dan q = 2 yang digambarkan secara umum untuk q > 0, namun hanya bersifat pada kasus q = 2. Hampir semua informasi yang mungkin kita dapat menyatakan bahwa subgraph dari beberapa host graph (graf asal) sering kali mempunyai ukuran-ukuran besar yang menjadi penghalang atau memiliki informasi yang tidak lengkap. Pertanyaannya adalah apakah random subgraph dari graph yang diberikan harus ada atau tidak. Random subgraph Gp dari graf G terjadi apabila setiap edge di Gp bebas menghapus setiap edge dengan peluang p, dan membuang edge dengan peluang 1 − p.
1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalahnya adalah bagaimana menentukan random even subgraph
dari suatu graph dengan menggunakan algoritma sampling.
1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan random even subgraph
dari graph yang finite G = (V, E) dengan menggunakan algoritma sampling.
1.4 Metode Penelitian Metode penelitian ini secara ringkas seperti berikut ini. Pertama sekali buat
suatu graph yang terdiri dari vertex dan edge. Kemudian dari graph ini, pilih subgraph-nya secara acak. Untuk memilih subgraph yang acak digunakan suatu algoritma. Dalam hal ini algoritma yang akan dipergunakan adalah algoritma sampling yang tujuannya pemilihan random subgraph ini sesuai dengan yang diinginkan. Dapat dikatakan bahwa ada batasan dalam memilih random subgraph dari suatu graph.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dipaparkan beberapa hasil penelitian tentang random subgraph.
Sesuatu yang finite dan simpel dari graph tak langsung G memiliki himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G). Dimana orde G adalah |V (G)| dan ukuran e(G) di G adalah |E(G)|. Untuk S ⊆ V (G), misalkan G[S] merupakan subgraf G yang disebabkan oleh S dan G[S, V (G) − S] merupakan spanning subgraph G dengan edge xy dimana x ∈ S dan y ∈ V (G) − S. Cartesian product pada graph G dan H adalah suatu graph dengan himpunan vertex V (G) × V (H) dimana vertexvertexnya yaitu (g1, h1) dan (g2, h2) adjacent jika dan hanya jika g1 = g2 dan h1h2 ∈ E(H) atau h1 = h2 dan g1g2 ∈ E(G). Dengan menentukan peluang batasan maka random subgraph dari Cartesian power Kan atau Kan,a ini dapat terhubung. Dimana Ka menunjukkan graph komplit dengan orde a dan Ka,a menunjukkan graph bipartit komplit dengan bagian dari orde a.
Lemma 2.1 Untuk G = Kan dengan a ≥ 2 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ (a − 1)s(n − loga s), 1 ≤ s ≤ an dan untuk G = Kan,a dengan a ≥ 1 dan n ≥ 1, bG(s) ≥ as(n − log2a s), 1 ≤ s ≤ (2a)n. [Clark, 2002].
Misalkan Qn suatu graf dimana vertex-vertexnya merupakan semua vektor {x = (x1 . . . xn)|xi ∈ {0, 1}} dan dua vektor x dan y adjacent jika mereka mendapatkan satu koordinat, contohnya : |xi − yi| = 1. Dapat dikatakan Qn n-
i
dimensional cube atau n-cube. Lebih jelasnya Qn merupakan n-regular, bipartite graph pada orde 2n. Random subgraf G(Qn, p) adalah ruang (space) peluang diskrit yang digabung pada semua subgraf n-cube, dimana setiap edge Qn bergantung secara random dan independent (bebas) dengan peluang p = p(n). Ada dua batasan yang memiliki nilai asimtot yang sama yang dihitung pada largest eigenvalue. Sebagai contoh, sangat mudah untuk memberi asimtot pada largest eigenvalue pada random subgraf G(n, p) yang graf komplit ordenya n untuk p > log n/n.
3
Universitas Sumatera Utara

4

Teorema 2.2 Misalkan G(Qnp) random subgraf pada n-cube dan misalkan ∆ sebagai derajat maksimum G. Maka dapat dipastikan bahwa largest eigenvalue pada matrix adjacent S diberikan :
√ λ1(G) = (1 + o(1)) max( δ, np)

dimana

o(1)

menunjukkan

0

dan

max(∆

1 2

(G),

np)

menunjukkan

infinite.

Penggu-

naan eigenvalue yang paling besar (largest) terdapat pada random subgraph hyper-

cube (n-cube). Misalkan G adalah random subgraph dari n-cube yang mana setiap

edgenya muncul secara acak dan bebas dengan peluang p = p(n). Hasil pembuk-

tian mereka adalah eigenvalue yang paling besar (largest) dari matrix adjacent G

sudah

pasti

λ1(G)

=

(1

+

o(1))

max(Delta

1 2

(G),

np)

,

dimana

∆(G)

adalah

derajat

maksimum

G

dan

o(1)

cenderung

nol

ketika

maksimum

(∆

1 2

(G),

np)

infinite.

Chung et al. (2002) menyampaikan bahwa random subgraph Gp dari host

graph (graph asal) G dibentuk dari setiap edge di G dengan peluang (kemungki-

nan) p atau dengan kata lain mereka menentukan komponen besar (giant) pada

random subgraph dari graph yang diberikan. Erd¨os dan Rnyi menyatakan untuk

kasus

host graph (graf asal) Kn

:

jika p =

c n

untuk c <

1,

maka G

tidak mem-

punyai komponen besar yang terhubung dan semua komponen berasal dari ukuran

O(log n) dan sebaliknya jika c > 1 , maka ada komponen besar dari ukuran ∈ n.

Borgs et al. (2004) menyampaikan bahwa random subgraph pada graph transitif terhubung G yang finite diperoleh dengan cara bebas menghapus edge dengan peluang 1 − p. Model yang digunakan adalah fase transisi pada pc berhubungan dengan fase transisi random graph dengan jumlah yang diperoleh, sehingga disebut diagram segitiga dengan ujung pc yang cukup kecil.

Grimmett dan Janson (2009) menyampaikan bahwa suatu subgraph (V, F )

dari graf G = (V, E) dikatakan genap apabila F genap dan ǫ dikatakan sebagai

himpunan untuk semua subset even F di E. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random

even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :

ρp(F )

=

1 ZE

p|F

|(1



p)|E\F |,

F ∈ε

(2.1)

dimana ZE = ZGE(p) adalah nilai konstan normal yang sesuai. Misalkan φp product measure dengan density p pada bentuk space Ω = {0, 1}E. Dimana φp digambarkan

Universitas Sumatera Utara

5

sebagai random subgraf G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp adalah aturan dari random subgraf yang berlaku jika genap. Random even subgraf berhubungan erat dengan model Ising dan model random-cluster G dan model ini dapat ditinjau ulang dengan singkat. Misalkan β ∈ (0, ∞) dan

p = 1e−2β = 2 tan hβ 1 + tan hβ

(2.2)

Model Ising G mempunyai bentuk ruang = −1, +1V dan ukuran peluangnya

πβ(σ)

=

1 ZI

exp

β

σxσy , σ ∈

e∈E

(2.3)

dimana ZI = ZGI (β) adalah fungsi pembagi (partition function) yang mana πβ sebagai ukuran peluang dan e = x, y menunjukkan suatu edge dengan titik akhir

x, y. Bentuk spin-cluster σ ∈ adalah subgraph terhubung yang maksimal di

G untuk setiap vertex v yang mempunyai spin-value yang sama σy. Spin-cluster disebut k cluster jika σy = k untuk semua v yang menjadi milik cluster. Kuantitas penting yang berhubungan dengan model Ising adalah fungsi korelasi dua titik,

yaitu

πβ(x, y)

=

πβ(σx

=

σy)



1 2

=

1 2

πβ (σx σy

),

x, y ∈ V

(2.4)

dimana P (f ) menyatakan ekspektasi variabel random f menurut ukuran peluang

P . Ukuran random cluster di G dengan parameter p ∈ (0, 1) dan q = 2 diperoleh

(dapat digambarkan untuk umum q > 0, tetapi hanya bersifat pada kasus q = 2.

Misalkan S adalah suatu himpunan fixed yang tak kosong pada bilangan in-

teger non-negatif. Dimisalkan ada suatu S-graph yang semua derajat vertexnya

termasuk himpunan S. Contohnya jika S = {s} adalah singleton, dimana S-graf

sama seperti graph reguler berderajat s. Random graf Gn,p,S didefinisikan sebagai

Gn,p yang dikondisikan menjadi S-graph, dimana Gn,p merupakan random sub-

graph standar pada graf komplit Kn yang mana dua vertexnya bergabung dengan

suatu edge yang peluangnya p ∈ (0, 1) dan kejadian

n 2

ini sesuai dengan edge

di Kn yang independent (bebas). Dengan kata lain, Gn,p,S adalah suatu random

S-subgraph di Kn sehingga jika G merupakan subgraph di Kn yaitu S-graph, maka

P(Gn,p;S (G)

=

pe(G)(1 − p)(

n 2

)−e(G)

P(Gn,p adalah S−graph)

Universitas Sumatera Utara

6

dimana e(G) adalah jumlah edge di G. Contoh yang lain seperti : Misalkan S = 2Z≥0 bilangan genap. Sehingga,

φS (µ) =



µ2k (sk)!

=

cos µ

k=0

Sehingga

λˆ(µ)

=

µ tan µ

meningkat

(increase)

dari

1

ke



untuk

µ



[0, ∞)

,

ini menyatakan bahwa λ ≤ 1, µ = 0 hanya satu-satunya solusi, begitu juga dengan

λ > 1,

ϕS

=

log(cos)



1 2

µ

tan

µ

sehingga

ϕS (µ)

=

sin(2µ) − 2µ 4 cos2 µ

>

0

untuk

µ

>

0.

Random

even

subgraf

dengan

parameter

p



[0,

1 2

]

berhubungan

dengan

model

random cluster G dengan parameter edge 2p dan faktor cluster-weighting q = 2.

Jika G graf planar, maka random even subgraph dapat diidentifikasikan dari dual-

graph dengan batasan +/− pada model Ising dual graph G dengan suatu nilai

parameter. Grimmet dan Janson (1996)

Kn+2 merupakan graph komplit dengan n + 2 vertex, yang mana labelnya {0, 1, . . . , n, ∞}. Setiap edge e diberikan suatu random resistance R(e) dengan distribusi

P(R(e)



x)

=

γ n

F

(x)

untuk

0



x

<

∞P(R(e)

=

∞)

=

1



γ(n) n

dimana F adalah suatu fungsi distribusi tetap dengan konsentrasi [0, ∞) dan γ(n) merupakan barisan bilangan dari 0 ≤ γ(n) ≤ n. Semua resistance R(e), e ∈ Kn+2 , diasumsikan independent. Rn menunjukkan hasil (acak) efektif resistance di Kn+2 antara vertex 0 dan ∞. Kemudian misalkan G adalah suatu graf finite yang terhubung dan A0 dan A1 merupakan himpunan dua disjoint vertex di G. Asumsikan setiap edge e dapat menentukan suatu resistance, yang disimbolkan R(e). Untuk menentukan resistance (perlawanan) antara A0 dan A1 pada suatu jaringan edge di G, pertama sekali diidentifikasikan semua vertex di A0 (A1) sebagai vertex tunggal, yang disebut Aˆ0(Aˆ1). Ini sama artinya dengan mengatur R(e) sama dengan 0 (nol), dimana titik akhir kedua e sama dengan Ai.

Universitas Sumatera Utara

7

Lalu identifikasikan juga satu vertex pada tiap tingkat maksimal vertex di
G dimana sudah shortcircuited (terputus), sebagai contoh , tiap tingkat maksimal Aˆ = {v1, . . . , vm} yang terdiri dari vi, vj di Aˆ sehingga terdapat vi1, . . . , vir dan edge
e1 antara vil dan vil+1, l = 0, . . . , r , dengan vi0 = vi, vir+1 = vj dan R(e1) = 0, l = 0, . . . , r. Asumsikan Gˆ adalah suatu hasil jaringan dari identifikasi yang diberikan.
Resistance (perlawanan) antara A0 dan A di G didefinisikan sebagai perlawanan antara Aˆ0 dan Aˆ1 di G. Untuk menghitung resistance ini diperlukan suatu fungsi potensial V (vˆ) dengan nilai batasan 0 di Aˆ0 dan 1 di Aˆ1. V (vˆ) ditentukan dari
hukum Kirchoff yaitu :

V (vˆ) =

1 −1 R(e)

V

(wˆ(e)) R(e)

,

vˆ = Aˆ0, Aˆ1

Diberikan G(n, p, q), pilih salah satu dari komponen yang besar secara acak dan ditulis n untuk jumlah edge pada komponen ini. Juga, dikatakan n sebagai jumlah edge pada graph seluruhnya (n, p, q). Asumsikan q > 1. Jumlah edge pada komponen kecil adalah r(ΨnΞn)n + op(n), sedangkan subgraphnya memiliki :

1. (Dengan peluang r) {Θn+r(1−Θn)}n+op(n) vertex dan Ξn + r(ΨnΞ − n)n+ op(n) edge , atau

2. (Yang lainnya) r(1 − Θn)n + op(n) vertex dan r(ΨnΞ − n)n + op(n) edge.

Asumsikan p = O(n−1), dimana graf G(N, p) memiliki

N 2

p + Op(N p1/2) =

1 2

N

2p

+

op(N )

edge,

sehingga

:

{Ξn

+ r(Ψn

− Ξn)}n

=

1 2

{Θn

+

r(1

− Θn)}2n2p

+ op(n)

r(ΨnΞn)n

=

1 2

{r(1

− Θn)}2n2p

+

op(n)

akan menghasilkan jika p = λ/n, sehingga

Ξn

+

r(Ψn

− Ξn)

=

1 2

λ{Θn

+

r(1



Θn)}2

+

op(1)

r(ΨnΞn)

=

1 2

λ{r(1

− Θn)}2

+ op(1)

Teorema : Jika q > 1 dan λ > 0, maka n → ∞ sehingga :

Ψn



λ 2q

{1

+

(q



1)Θn2 }

→P

0

Universitas Sumatera Utara

Bollobas et al. (1996)

Ξn



λ q

Θn{1

+

1 2

q



1

Θn} →P 0

8

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 RANDOM SUBGRAPH DAN SAMPLING SUBGRAPH

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar tentang random even subgraph yang akan dpergunakan sebagai landasan berpikir untuk menyelesaikan subgraph tersebut dan juga akan dibahas tentang gambaran prosedur random sampling.

3.1 Random Subgraph

Suatu subset F di E dikatakan genap jika, untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap. Sehingga subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F genap dan ε ditulis sebagai himpunan dari semua subset genap F di E. Dikatakan standar jika setiap himpunan genap F bisa dihapus dari gabungan edge-disjoint di cycle-nya. Misalkan p ∈ (0, 1) , maka random even subgraph G dengan parameter p dapat ditunjukkan sebagai berikut :

ρp(F ) =

1 ZE

p|F |(1 − p)|E\F |,

F ∈ε

(3.1)

dimana ZE = ZGE(p).

Mencari ρp dapat juga menggunakan cara sebagai berikut. Misalkan φp adalah product measure dengan density p pada bentuk ruang Ω = {0, 1}E. Untuk ω ∈ Ω dan e ∈ E, dikatakan ω-open jika ω(e) = 1 dan ω-closed untuk yang lainnya. Misalkan ∂ω adalah himpunan dari vertex x ∈ V yang berincident dengan jumlah edge ganjil pada ω-open. Sehingga

ρp(F )

=

φp(ωF ) φp(∂ω = ∅)

,

F ∈ε

(3.2)

dimana ωF adalah bentuk edge yang himpunan edge terbukanya adalah F . Dengan kata lain, φp digambarkan sebagai random subgraph G yang diperoleh secara acak dan bebas menghapus setiap edge dengan peluang (kemungkinan) 1 − p dan ρp merupakan aturan dari random subgraph yang berlaku jika genap. (Grimmet, 2009)

9
Universitas Sumatera Utara

10

3.2 Finite Graph

Suatu graph dikatakan finite apabila suatu graph dengan jumlah yang finite

di vertex dan edge-nya. Jika graph memiliki n vertex dan tidak memiliki kelipatan

edge atau graph yang loop, maka graph finite merupakan subgraph dari graph

komplit Kn. Suatu graph yang tidak finite disebut dengan infinite. Jika setiap vertex memiliki derajat yang finite, maka graph itu disebut sebagai daerah yang

finite. (Biggs, 1993)

Pada

kasus

p

=

1 2

pada

persamaan

ρp(F )

=

1 ZE

p|F |(1−p)|E\F |,

dimana F



ε,

setiap even subgraph memiliki peluang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai

2
random even subgraph yang uniform di G. Peluang yang dipilih p = 1 karena 2

memberikan hasil pada persamaan ρp, sedangkan jika p = 1 akan memberikan hasil

bernilai 0. Sehingga random subgraph dapat diperoleh sebagai berikut. Pertama-

tama identifikasikan family dari semua spanning subgraph di G = (V, E) dengan family 2E dari semua subset di E. Family ini dapat diidentifikasikan lebih lanjut dengan {0, 1}E = Z2E dan dengan demikian ruang vektornya (vector space) diatas Z2; sebagai tambahannya adalah 2 modul tambahan cara pada {0, 1}E , sehingga diterjemahkan sebagai pengambilan perbedaan simetris pada himpunan edgenya

: F1 + F2 = F1∆F2 untuk F1, F2 ⊆ E. Family dari even subgraph G merupakan bentuk dari subspace ε pada ruang vektor {0, 1}E , sehingga F1 + F2 = F1∆F2 dikatakan genap jika F1 dan F2 juga genap. (Pada kenyataannya, ε adalah ruang cycle (cycle space) Z1 pada Z2-homology di G sebagai suatu kompleks yang sederhana). Pada khususnya, jumlah even subgraph di G sama dengan 2c(G) , di-

mana c(G) = dim(ε) ; dengan demikian c(G) adalah jumlah cycle bebas di G, dan

diperoleh :

c(G) = |E| − |V | + k(G)

Proposisi 3.1 Misalkan C1, . . . , Cc adalah himpunan maksimal dari cycle bebas
di G. Misalkan ξ1, . . . ξc adalah bebas dari random variabel (sebagai contoh, hasil
lemparan koin yang adil). Sehingga ξiCi merupakan random even subgraph yang
i
uniform di G.

Bukti: C1, . . . , Cc adalah basis dari ruang vektor ε di atas Z2. Salah satu cara

Universitas Sumatera Utara

11
yang dilakukan dalam memilih C1, . . . , Cc adalah dengan memanfaatkan dalil yang berikutnya. Pada dalil yang berikutnya, akan menggunakan spanning subforest di G yang berarti suatu maximal forest di G, yaitu gabungan spanning tree dari setiap komponen di G.
Proposisi 3.2 Misalkan (V, F ) adalah spanning subforest di G. Setiap subset X di E\F dapat diselesaikan dengan kekhususan Y ⊆ F pada himpunan edge genap Ex = X ∪Y ∈ ε. Memilih random subset yang uniform X ⊆ E\F akan memberikan suatu random even subgraph yang uniform Ex juga di G.
Bukti: Setiap edge ei ∈ E\F dapat diselesaikan dengan edge di F pada cycle yang unik Ci ; dimana cycle ini merupakan dasar dari ε dan hasilnya seperti pada dalil 1. (Grimmet dan Janson, 2009)
3.3 Sampling Subgraph
Contoh-contoh algoritma subgraph n dari pemilihan edge secara acak yang terhubung dengan suatu himpunan n dapat dicapai. Selanjutnya digambarkan prosedur random sampling dari suatu n vertex subgraph pada suatu network (jaringan). Pilih edge secara acak dari jaringan, lalu perluas subgraph secara berulang-ulang dengan memilih edge tetangganya secara acak hingga membentuk subgraph n. Untuk setiap pilihan acak dari suatu edge, dalam memilih suatu edge sebaiknya ukuran subgraph diperluas dari pertama, kemudian siapkan daftar semua kandidat (calon) edge, lalu lakukan pemilihan edge secara acak dari daftar itu sendiri. Jadi, contoh subgraph dapat digambarkan sebagai suatu himpunan vertex n dan semua edge yang terhubung diantara vertex pada original network (tidak hanya edge yang dipilih dengan proses perluasan).
3.3.1 Penilaian yang Tepat Untuk Sampling yang Tidak Uniform
Suatu subgraph yang spesifik adalah suatu himpunan n yang terhubung dengan vertex dalam suatu jaringan. Peluang dari sampling subgraph spesifik yang berbeda dalam jaringan tidaklah sama meskipun mempunyai topologi yang sama. Untuk menilai ini, kita akan menghitung peluangnya P , dari sampling subgraph
Universitas Sumatera Utara

12

yang spesifik. Setiap jenis subgraph akan menerima skor/nilai. Kemudian, kita

akan menambah skor berat W

=

1 P

untuk skor jenis subgraph

yang relevan.

Ini

diulang untuk mendapatkan banyaknya sampel spanning tree.

Dengan demikian, kita dapat menghitung konsentrasi dari semua jenis subgraph menurut skor/nilainya. Sebagai contoh, sebuah n-node subgraph, himpunan terurut n − 1 edge dipilih berulang-ulang secara acak. Sedangkan untuk menghitung peluangnya P dari sampling subgraph, kita perlu memeriksa semua peluang (kemungkinan) himpunan terurut n−1 edge yang menuju pada sampling subgraph. Kashtan et al. (2004)

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 RANDOM EVEN SUBGRAPH

Pada bab ini akan dibahas lebih lanjut tentang Random Even Subgraph dan Sampling Even Subgraph.

4.1 Random Even Subgraph

Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari per-

samaan

ρp(F )

=

1 ZE

p|F

|(1p)|E\F

|

untuk

suatu

graph

finite

G

=

(V, E).

Selanjutnya

bagaimana memasangkan model random-cluster q = 2 dan random even subgraph

di

G.

Misalkan

p



[0,

1 2

]

dan

ω

sebagai

realisasi

model

random

cluster

di

G

dengan

parameter 2p dan q = 2. Misalkan R = (V, γ) sebagai random even subgraph yang

uniform di (V, η(ω)).

Teorema

4.1

Misalkan

p



[0,

1 2

].

Graph R = (V, γ) adalah random even subgraph

di G dengan parameter p.

Bukti : Misalkan g ⊆ E genap dan c(ω) = c(V, η(ω)) merupakan jumlah cycle bebas pada open subgraph,

P(γ = g|ω) =

2−c(ω) jika g ⊆ η(ω) 0 yang lain

sehingga

P(γ = g) =

2−c(ω) φ2p,2(ω )

ω:g⊆η(ω)

Jika c(ω) = |η(ω)| − |V | + k(ω), maka :

P(γ = g) ∝

2p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|2k(ω)

1 2|η(ω)|−|V

|+k(ω)

ω:g⊆η(ω)

(4.1)

∝ p|η(ω)|(12p)|E\η(ω)|
ω:g⊆η(ω)
= [p + (12p)]|E\g|p|g|
= p|g|(1p)]|E\g|, g ⊆ E

(4.2)

13
Universitas Sumatera Utara

14

Misalkan

p



(

1 2

,

1).

Jika

G

genap,

maka

contoh

dari

ρp

dengan

sampling

(pe-

ngambilan) pertama suatu subgraph (V, F ) dari ρ1p dan komplemennya (V, E\F )

memiliki distribusi ρp. Jika G ganjil, maka akan disesuaikan seperti berikut ini. Untuk W ⊆ V dan H ⊆ E; H dikatakan W -genap jika setiap komponen dari

(V, H) terdiri dari jumlah anggota dari W genap. Misalkan W = ∅ adalah him-

punan vertex G dengan derajat ganjil, sehingga, secara khusus, E adalah W -genap.

Asumsikan ΩW = {ω ∈ Ω : η(ω) adalah W -genap. Untuk ω ∈ ΩW , pilih subset

yang

disjoint

P

i

=

Pωi ,

dimana

i

=

1,

2,

.

.

.

,

1 2

|W

|,

dari

η(ω),

yang

merupakan

path

non-self-intersecting terbuka dengan titik akhir nyata yang terletak di W , sehingga

setiap anggota di W merupakan titik akhir tepat satu path. Ditulis Pω = i Pωi .

Misalkan r = 2(1p), dan misalkan φWr,2 adalah ukuran random cluster pada Ω dengan parameter r dan q = 2 bersyarat pada kejadian ΩW . Ambil sample dari φrW,2 untuk memperoleh subgraph (V, η(ω)), dengan memilih suatu random even subgraph yang uniform (V, γ).

Teorema 4.2 Misalkan p ∈

1 2

,

1

.

Graph

S

= (V, E\(γ∆Pω))

adalah

suatu

ran-

dom even subgraph di G dengan parameter p.

Teorema 4.1. dan teorema 4.2. dapat digabungkan sebagai berikut. Dengan

mempertimbangkan model yang dibangun dengan satu parameter pe ∈ (0, 1) untuk

setiap

edge

e



E.

Misalkan

A

=

{e



E

:

pe

>

1 2

}.

Didefinisikan

bahwa

re

=

2pe

jika e ∈ A dan re = 2(1pe) jika e ∈ A. (Jadi 0 < re ≤ 1). Misalkan W = WA adalah

himpunan vertex A-ganjil, sebagai contoh, titik akhir dari jumlah edge ganjil di

A. Sample ω dari ukuran random-cluster dengan parameter r = (re : e ∈ E)

dan q = 2, sehingga η(ω) menjadi W -genap, misalkan Pω (untuk W = WA) , dan

sample random even subgraph yang uniform (V, γ) pada (V, η(ω)).

Teorema 4.3 Graph S = (V, γ∆Pω∆A) adalah random even subgraph di G dengan distribusi ρp.

Bukti : Misalkan F = γ∆Pω∆A merupakan hasil dari himpunan edge sehingga

η(ω)supseteqγ∆Pω = F ∆A

(4.3)

Universitas Sumatera Utara

15

Selanjutnya, jika F genap, maka F ∆A mempunyai derajat ganjil tepat pada vertexnya W = WA, karena itu pers. (4.3) menunjukkan bahwa ω ∈ ΩW diperlukan. Diberikan himpunan egde genap f ⊆ E, sehingga diperoleh F = f jika pemilihan pertama ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A dan kemudian (Pω telah terpilih) pilih γ sebagai even subgraph f ∆A∆Pω. Karena itu, untuk setiap ω ∈ ΩW dengan η(ω) ⊇ f ∆A, diperoleh P(F = f |ω) = 2−c(w).

P(F = f) ∝

2−c(ω)φr,2(ω) ∝

2−c(ω) 2k(w)

reω(e) (1re )1−ω(e)

ω:η(ω)⊇f ∆A

ω:η(ω)⊇f ∆A

e∈E



2−|η(ω)|

reω(e) (1re )1−ω(e)

ω:η(ω)⊇f ∆A

e∈E

=
ω:η(ω)⊇f ∆A e∈E

re 2

=

re 2

e∈f ∆A

e∈f ∆A

ω(e) (1re)1−ω(e)

1



re 2

Dengan 1e yang merupakan fungsi indikator pada kejadian {e ∈ f}, dapat ditulis

kembali seperti berikut ini :

P(F = f) ∝

re 2

1e

1



re 2

11e

re 2

11e

1



re 2

1e

e∈A

e∈A

= (pe)1e(1pe)11e (pe)11e(1pe)1e
e∈A e∈A
= (pe)1e(1pe)11e
e∈A

∝ ρp(f )

(4.4)

Ini bertentangan dengan dengan Teorema 4.1. Ambil random even subgraph (V, V )

di

G

=

(V, E)

dengan

parameter

p



1 2

.

Untuk setiap e ∈ F , dapat ditentukan

suatu warna random bebas, biru dengan peluang p/(1p) dan merah untuk yang

lainnya. Misalkan H diperoleh dari F dengan menambahkan di semua edge biru.

Teorema 4.4 Graph (V, H) memiliki aturan φ2p,2.

Bukti : Untuk h ⊆ E ,

P(H = h) ∝
J ⊆h,J genap

p |J| 1p

p |h\J| 1p

12p |E\h| 1p

∝ p|h|(12p)|E\h|N (h)

(4.5)

Universitas Sumatera Utara

16

dimana N (h) adalah jumlah subgraph genap di (V, h). Seperti pembuktian di atas, N (h) = 2|h|−|V |+k(h) dimana k(h) adalah jumlah komplemen dari (V, h).

Suatu edge e dari graph disebut cyclic jika edge tersebut termasuk di dalam

beberapa cycle suatu graph.

Akibat : Untuk p ∈

0,

1 2

dan e ∈ E,

ρp(e terbuka

=

1 2

φ2p,2(e

adalah

suatu

cyclic

edge

di

graph

terbuka

)

Dengan menghitung di atas e ∈ E, dapat disimpulkan bahwa rata-rata jumlah edge terbuka dibawah ρp adalah setengah dari rata-rata jumlah cyclic edge dibawah φ2p,2.

Bukti : Misalkan ω ∈ Ω dan C adalah maximal family dari cycle bebas ω. Misalkan R = (V, γ) adalah random even subgraph yang uniform di (V, η(ω)), suatu tafsiran yang menggunakan Teorema 2.2 dan C. Untuk e ∈ E, misalkan Me adalah jumlah elemen dari C yang memasukkan e. Jika Me ≥ 1, maka jumlah cycle Me pada γ yang telah terpilih dalam susunan/bentuk pada γ adalah sama seperti penggunaan genap atau ganjil. Oleh karena itu,

P(e ∈ γ|ω) =

1 2

jika Me ≥ 1

0 jika Me = 0

(4.6)

4.2 Sampling Even Subgraph

Seperti dinyatakan diawal bahwa Teorema 4.1 memberikan suatu cara yang

sistematis pada sampling even subgraph di G yang sesuai dengan ukuran peluang

ηp

dengan

p



1 2

.

Coupling-from-the-past

(cftp)

hanya

digunakan

untuk

memberi

contoh pada ukuran random-cluster φ2p,2, kemudian melepaskan koin secara adil

sekali untuk setiap anggota dari beberapa himpunan bebas yang maksimal dari

cycle G. Diingatkan kembali bahwasannya implementasi (pelaksanaan) dari cftp ini

berdasarkan pada periode waktu T secara acak yang bagian akhirnya dibatasi oleh

suatu distribusi geometri ; yang berakhir dengan peluang 1 dengan suatu sample

yang tepat dari target distribusi.

Sedikit lebih rumit ketika p >

1 2

dan G tidak

hanya genap, sehingga dilihat dari situasinya ukuran random cluster digunakan

Universitas Sumatera Utara

17

dalam Teorema 4.2 dan 4.3 baik monoton maupun anti-monoton. Kemudian akan dicari bagaimana menyesuaikan teknik cftp pada beberapa situasi.

Misalkan E adalah suatu himpunan finite tak kosong dan µ adalah ukuran peluang pada product space Ω = {0, 1}E. Dikatakan µ monoton (respectively, antimonoton) jika µ(1e|ξe) adalah non-decreasing (respectively, non-increasing) dimana ξ ∈ Ω. Dimana, 1e adalah fungsi indikator yang edge-nya e adalah terbuka dan ξe adalah bentuk yang diperoleh dari ξ pada E\{e}. Untuk e ∈ E, ψ ∈ Ω, dan b = 0, 1 , maka ψeb ditulis sebagai bentuk yang sesuai dengan ψ pada e dan memperoleh nilai b pada e. Secara standar cftp mungkin dapat digunakan untuk sample dari µ jika µ adalah monoton dan akan dijelaskan bagaimana menyesuaikan apabila µ adalah anti-monoton. Suatu mekanisme diusulkan sebagai hasil dalam sample yang tepat dari µ tanpa asumsi apapun dari (anti-)monotonicity. Mekanisme ini dapat digunakan dalam kerangka umum yang lebih banyak pada bounding chain, akan tetapi tidak sesuai dalam pekerjaannya, karena pada kenyataannya Ω adalah partially ordered (orde sebagian).

Misalkan Sµ = {ω ∈ Ω : µ(ω) > 0}, subset dari Ω yang mana µ adalah strictly positive (benar-benar positif) dan asumsikan secara sederhana bahwa Sµ adalah increasing dan 1 ∈ Sµ, dimana 1 (respectively, 0) menunjukkan bentuk untuk semua bernilai 1 (respectively, semua bernilai 0). Asumsi ini dikatakan valid pada pengaturan sekarang ini (current setting) , tetapi tidak dapat digunakan untuk semuanya seperti berikut ini.

Dimulai dengan contoh Gibbs yang biasa/lazim digunakan untuk µ. Ini

adalah suatu discrete-time Markov chain G = (Gn : n ≥ 0) pada state space

Ω. Anggap Gn = ξ. Secara uniform distribusi anggota di E sudah terpilih, sebut

saja e, dan juga variabel random U dengan distribusi uniform pada [0, 1]. Kemu-

dian Gn+1 = ξdimana ξ(f ) untuk f = e dan ξ(e) =

0 1

jika U jika U

> µ(1e|ξe) ≤ µ(1e|ξe)

.

Aturan transisi baik digunakan jikalau ξe1 ∈ Sµ. Ini baik sekali digunakan dalam

memperluas definisi dari susunan/bentuk yang tidak berada dalam Sµ dan pada

akhirnya diperoleh :

µ(1e|ξe) = max µ(1e|ψe) : ψe ≥ ξe, ψe1 ∈ Sµ Dimana ξe1 ∈ Sµ.

(4.7)

Universitas Sumatera Utara

18

Misalkan (en, Un) adalah barisan yang independent (bebas). Asumsikan (An, Bn : n ≥ 0) adalah Markov Chain dengan state space Ω2 dan (A0, B0) = (0, 1). Anggap (An, Bn) = (ξ, η) dimana ξ ≤ η. Buat (An+1, Bn+1) = (ξ, η) dimana ξ(f ) = ξ(f ), η(f ) = η(f ) untuk f = en+1, dimana e = en+1. Diperoleh :

ξ(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ α,

η(e) = 1 jika dan hanya jika Un+1 ≤ β, Dimana α = α(ξ, η) = min{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} β = β(ξ, η) = max{µ(1e|ψe) : ξe ≤ ψe ≤ ηe} Sehingga α ≤ β, kita mempunyai ξ ≤ η.

(4.8)

Rantai (A, B) dimulai pada waktu yang negatif (negative times), merupakan

cara yang ditentukan oleh cftp. Misalkan T adalah waktu perpaduan (coalescence

time). Lebih tepatnya lagi, untuk m ≥ 0, misalkan (Ak(m), Bk(m) : −m ≤ k ≤

0) menunjukkan bahwa rantai dimulai dengan A−m(m) = 0, B−m(m) = 1, yang menggunakan suatu barisan random yang fixed (en, Un)0−∞ untuk semua m, dan diperoleh

T = min{m ≥ 0 : A0(m), B0(m)}

(4.9)

Sehingga A0(T ), B0(T ).

Teorema 4.5 Jika Sµ increasing dan 1 ∈ Sµ, maka P (T < ∞) = 1 dan A0(T ) memiliki aturan µ.

Bukti : Dari definisi Sµ dan persamaan (4.7), terdapat η = η(E, η) > 0 sedemikian sehingga µ(1e|ξe) ≥ η untuk semua e ∈ E dan ξ ∈ Ω. Pada setiap panjang interval waktu yang diberikan |E|, terdapat peluang positif yang utuh yang barisannya (ei, Ui) memenuhi E = {ei} dan Ui < η untuk semua i. Pada kejadian ini, proses A yang rendah mendapat nilai 1 setelah intervalnya lewat, sehingga perpaduannya ada. Kejadian yang sesuai dengan interval waktu yang berbeda dikatakan bebas (independent), dimana bagian akhir dari waktu T tidak lebih besar daripada geometri.
Misalkan G = (V, E) adalah graf finite, dan W ⊆ V merupakan himpunan vertex tak kosong dengan |W | genap. Misalkan r = (re : e ∈ E) adalah jumlah

Universitas Sumatera Utara

19 vektor dari (0, 1] dan asumsikan φr,q sebagai ukuran random cluster di G dengan parameter edge r dan q ≥ 1. Kemudian φWr,q untuk φr,q ditulis sebagai kejadian dimana graph terbuka adalah W -genap dan catatan bahwa φWr,q baik monoton maupun anti-monoton. Kejadian Sµ dapat dengan mudah meningkat (increasing) dan 1 ∈ Sµ. Oleh karena itu, Teorema 4.5 dapat juga digunakan pada ukuran µ = φWr,q. Grimmet dan Janson (2009).
Universitas Sumatera Utara

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

Adapun kesimpulan dan saran dari penelitian ini :

1. Subgraph (V, F ) dikatakan genap jika F -nya genap dan ditulis ε untuk himpunan semua subset genap F di E. F ⊆ E dikatakan genap jika untuk semua x ∈ V , dimana x berincident terhadap jumlah anggota F genap.

2. Random even subgraph dengan parameter p ∈ [0, 1) didefinisikan dari suatu

persamaan

ρp(F ) =

1 ZE

p|F |(1 − p)|E\F |

untuk

suatu

graph

finite

G = (V, E).

3.

Jika

peluangnya

p

=

1 2

,

maka

setiap

even

subgraph

akan

memiliki pelu-

ang yang sama, sehingga ρ 1 dikatakan sebagai random even subgraph yang

2

uniform di G.

4.

Misalkan

p



(

1 2

,

1),

jika

G

genap,

maka

sampel

dari

ρp

dengan

sampling

pertama subgraph (V, F ) dari ρ1−p dan komplemennya (V, E\F ) memiliki

distribusi ρp. Sampling even subgraph di G menggunakan ukuran peluang

ηp

dengan

p≤

1 2

.

Sehingga

hanya dengan

menggunakan

cftp inilah untuk

memberi contoh (sample) pada ukuran random cluster φ2p,2.

5. Selain pada bidang graph khususnya random subgraph, hasil penelitian ini juga dapat diaplikasikan pada bidang biologi maupun teknik. Untuk itu diharapkan pada penelitian selanjutnya dapat diaplikasikan pada bidang lainnya.

20
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR PUSTAKA
Biggs N.L., (1993), Algebraic Graph Theory,2nd ed., Cambridge, England : Cambridge University Press.
Bollobs B., (1984), Random Graphs, 2nd ed., Cambridge, Baton Rouge. Bollobs B., Grimmet G., Janson S., (1996), The Random Cluster Model On The
Complete Graph, Math. Stat., 104, 283-317. Bondy J.A. dan Murty U.S.R., (2007), Graph Theory, Springer, Berlin. Borgs C., Chayes J.T., Hofstad R., Slade G., dan Spencer J., (2004), Random
Subgraphs Of Finite Graphs : I. The Scaling Window Under The Triangle Condition, New York. www.math.ubc.ca/∼slade/ncube1.pdf. Diakses tanggal 18 Juni 2010. Chung F., Horn P., dan Lu L., (2002), The Giant Component In A Random Subgraph Of A Given Graph, California. www.math.sc.edu/∼lu/papers/subgraph.pdf. Diakses tanggal 23 Juni 2010. Clark L., (2002), Random Subgraphs Of Certain Graph Powers, IJMMS 32:5 , 285292. Grimmett G. dan Janson S., (2009), Random Even Graphs, Electron. J. Combin. 16. Grimmett G. dan Kesten H., (1984), Random Electrical Networks On Complete Graphs II : Proofs, J. Lond. Math. Soc., 30, 171-192. Kashtan N., Itzkovitz S., Milo R., dan Alon U., (2004), Efficient Sampling Algorithm For Estimating Subgraph Concentrations And Detecting Network Motifs, Bioinformatics, 20, 1746-1758. Soshnikov A. dan Sudakov B., (2003), On The Largest Eigenvalue Of A Random Subgraph Of The Hypercube, Comm. Math. Phys., 239, 53-63.
21
Universitas Sumatera Utara