= 1 ; y c Kita akan membuktikan bahwa
P
|
Y
n
− c
|
ε =
¿ 1
lim
n →∞
¿
untuk setiap ε0 . Karena c+ε −
¿ ¿
P
|
Y
n
− c
|
ε =
F
n
¿ dan karena itu diberikan bahwa
c +ε− ¿
¿ ¿
1 F
n
¿ lim
n → ∞
¿ lim
n →∞
F
n
c−ε=0 untuk setiap ε0, kita mempunyai hasil yang dinginkan. Ini melengkapi bukti teorema.
Soal-soal Latihan 4.2
1. Misalkan peubah acak
Y
n
mempunyai distribusi bn,p a. Buktikan bahwa
Y
n
n
konvergen dalam peluang ke p Hasil ini adalah salah satu bentuk dari hukum bilangan besar lemah.
b. Buktikan bahwa 1 - Y
n
n ¿
konvergen dalam peluang ke 1- p 2. Misalkan S
n 2
menyatakan variansi sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ
2
. Buktikan bahwa n
S
n 2
n−1
konvergen dalam peluang ke
σ
2
3. Misalkan
W
n
menyatakan peubah acak dengan rataan μ dan variansi bn
p
di mana p 0 ,
μ dan b adalahkonstanta
bukan fungsi dari n. Buktikan bahwa
W
n
konvergen dalam peluang ke
μ
Petunjuk: Gunakan ketaksamaan Chebyshev 4. Misalkan
Y
n
menyatakan statistik order ke n dari sampel acak berukuran n dari distribusi seragam pada interval 0, θ seperti dalam Contoh 1 pasal 4.1. Buktukan bahwa
Z
n
=
√
Y
n
konvergen dalam peluang ke
√
θ
4.3 Limit Fungsi Pembangkit Momen
Jika F
n
y ada , fungsi pembangkit momen yang berpadanan dengan fungsi distribusi F
n
y sering menetapkan metode penenfuan yang baik.limit fungsi distribusi untuk menekankan bahwa distribusi dari peubah acak Y
n
bergantung atas bilngan bulat n positif . Dalam bab ini kita akan menukiskan fungsi pembangkit momen dari Y
n
dalam bentuk Mt,n Teorema berikut , yang pada dasarnya modfikasi Curtiss dari teorema Levy dan Cramer ,
mererangka bagaimana fungsi pembangkit momen dapat digunakan dalam masalah limit distribusi . Suatu bukti teorema menginginkan pengetahauan yang sama segi analisis yang
mengjinkan kita untuk menyatakan fungsi pembangkit momen, apbila itu ada, secara tungggal menetapkan distribusi. Sesuai dengan ini , tidak bukti dari teorema diberikan.
Teorema 1
Misalkan peubah acak Y
n
mempunyai fungsi distribusi F
n
y dan fungsi pembangkit momen Mt,n yang ada untuk
− hth
untuk semua n. Jika ada fungsi distribusi F y dengan padanannya fungsi pembangkit momen Mt didefinisikan untuk
|
t
|
≤ h
1
≤ h , sehingga lim
n →∞
M t ,n =M t , maka
Y
n
mempunyai limit distribusi dengan fungsi distribusi F y Dalam beberapa contoh teorema ini adalah tepat untuk menggunakan suatu limit tertentu yang
dibentuk dari beberapa mata pelajaran dari kalkulus lanjut. Kita mengacu terhadap limit dari bentuk
lim
n →∞
[
1+ b
n +
ψ n n
]
cn
di mana b dan c tidak bergantung atas n dan di mana lim
n →∞
ψ n =0 . Maka
lim
n →∞
[
1+ b
n +
ψ n n
]
cn
= lim
n→ ∞
[
1+ b
n
]
cn
= e
bc
Misalnya lim
n →∞
[
1− t
2
n +
t
3
n
3 2
]
− n 2
= lim
n → ∞
[
1− t
2
n +
t
3
√
n n
]
− n 2
Di sini ¿
− t
2
, c= −
1 2
danψ n=t
3
√
n . Sesai dengan ini, untuk setiap nilai t tertentu, limit adalah e
t
2
2
Contoh
Misalkan
Y
n
mempunyai distribusi bn,p. Andaikan bahwa rataan
μ=np adalah sama
untuk setiap n ,yaitu p =
μn
di mnana
μ
adalah konstanta.Kita akan mencari limit distribusi dari distribusi binomial , apabila p = μn melalui pencarian limit Mt,n. Sekarang
M t =E e
t Y
n
=
[
1− p+ p e
t
]
n
=
[
1+ μ
e
t
− 1
n
]
n ❑
untuk
semua nilai t real.Karenanya kita mempunyai lim
n →∞
M t =e
μ e
t
− 1
untuk semua nilai t real. Karena ada satu distribusi namakan distribusi Poisson dengan rataan
μ
yang mempunyai fpm ini
e
μ e
t
− 1
,maka sesuai dengan teorema dan dibawah persyatan yang ditetapkan , terlihat bahwa
Y
n
mempunyai limit distribusi Poisson dengan rataan
μ
. Kapan saja peubah acak dapat mempunyai limit distribusi sebagai pendekatan terhadap fungsi
distribusi eksak.Hasil contoh ini membolehkan kita untuk menggunakan distribusi Poisson.sebagai pendekatan terhadap distribusi binomial apabila n besar dan p kecil.
Ini secara jelas satu keuntungan , untk itu mudah untuk menetapkan tabel untuk untuk distribusi Poisson satu parameter.Dipihak lain , distribusi binomial mempunyai dua parameter dan tabel
untuk ini amat kaku. Untuk menggambarkan pendekatan ini , ambil Y mempunyai distribusi binomial dengan n = 50 dan p = 125. Maka
P Y ≤ 1= 24
25
50
+ 50
1 5
24 25
49
= 0,400
secara pendekatan.Karena μ=np=2 , pendekatan Poisson terhadap peluang ini adalah
e
− 2
+ 2 e
− 2
= 0,406
Contoh 2
Misalkan
Z
n
adalah χ
2
n .Maka fpm dari
Z
n
adalah 1−2 t
− n 2
;t 1
2 . Rataan dan
variansi dari
Z
n
berturut-turut n dan 2n . Limit distribusi peubah acak Y
n
= Z
n
− n
√
2n akan
diselidiki.
Sekarang fpm dari Y
n
akan adalah M t ;n=E
{
exp
[
t Z
n
− n
√
2 n
]
}
= e
− tn
√
2n
E
[
e
t Z
n
√
2 n
]
= exp
[
− t
√
2 n
n 2
]
[
1−2 1
√
2 n
]
− n 2
, t
√
2 n 2
Ini dapat dituliskan dalam bentuk
M t ;n= e
t
√
2 n
− t
√
2n
− n 2
;t
√
2 n 2
Sesuai
dengan rumus Taylor , ada bilangan ξ n ,antara 0 dan t
√
2 n sehingga
e
t
√
2 n
= 1+t
√
2 n
+
1 2
t
√
2 n
2
+ e
ξ n
6 t
√
2 n
3
Jika jumlah ini disubstitusikan untuk
e
t
√
2 n
dalam pernyataan terakhir untuk
M t , n
, terlihat bahwa M t ;n=
1− t
n +
ψ n n
− n 2
di mana
ψ n
= ¿
√
2 t
3
e
ξ n
3
√
n −
√
2 t
3
√
n −
2 t
4
e
ξ n
3 n Karena
ξ n
→ ∞=0 jika n → ∞
maka lim
n →∞
ψ n =0 untuk setiap nilai t tertenru. Sesuai limit proporsi , kita mempunyai
lim
n →∞
M t ; n=e
t
2
2
untuk semua nilai t real.Yaitu peubah acak Y
n
= Z
n
− n
√
2n mempunyai limit distribusi normal
baku.
Soal-soal Latihan 4.3
1. Misalkan
X
n
mempunyai ditribusi gamma dengan parameter
α=n dan β , di mana β
bukan fungsi dari n .Misalkan Y
n
= X
n
n . Carilah limit distribusi dari
Y
n
2. Misalkan Z
n
adalah χ
2
n dan ambil W
n
= Z
n
n
2
. Carilah limit distribusi dari
W
n
3. Misalkan adalah χ
2
20 . Hampiri P 40X 60 4. Misalkan p = 0,05 adalah peluang seorang laki-laki dalam grup umur tertentu hidup paling
sedikit 5 tahun. a. Jika kita mengobservasi 60 laki-laki yang demikian dan jika kita mengandaikan
independen , carilah pluang bahwa paling sedikit 56 dari mereka hidup 5 tahun atau lebih. b. Carilah hampiran pendekatan terhadap bagian a melalui penggunaan distribusi
Poisson. 5. Misalkan peubah acak Z
n
mempunyai distribusi Poisson dengan parameter μ=n . Tunjukkan bahwa limit distribusi dari peubah acak Y
n
= Z
n
− n
√
n adalah normal dengan rataan nol dan variansi 1.
6. Misalkan S
n 2
menyatakan variansi sampel acak berukuran n dari distribusi N μ , σ
2
. Telah dibuktikan bahwa
n S
n 2
n−1
konvergen dalam peluang ke
σ
2
. Buktikan bahwa S
n 2
konvergen dalam peluang ke σ
2
. 7. Misalkan X
n
dan Y
n
mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter
μ
1
, μ
2
, σ
1 2
, σ
2 2
tidak bergantung pada n tetapi ¿
1−1n . Perhatikan distribusi bersyarat dari
Y
n
diberikan
X
n
= x
.Selidiki distribusi bersyarat ini jika
n → ∞
.Apakah ada limit distribusi jika ρ=−1+1n
2
8. Misalkan ´X
n
merupakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter μ=1
a. Tunjukkan bahwa fpm dari
√
n X
n
− μ
σ =
√
n X
n
− 1
diberikan oleh exp
[
− t
√
n+n e
t
√
n
− 1
]
b. Selidiki limit distribusi dari Y
n
jika n → ∞ Petunjuk: Gantikan pernyataan e
t
√
n
oleh deret Maclaurin yang ada dalam eksponen fungsi pembangkit momen dari Y
n
9. Misalkan ´X
n
merupakan rata-rata sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai fdp f x =e
− x
;0 x ∞ = 0 ; lainnya.
a. Tunjukkan bahwa fpm
M t , n
dariY
n
=
√
n ´X
n
− 1
adalah sama dengan
[
e
t
√
n
− t
√
n e
t
√
n
]
− n
,t
√
n . c. Carilah limit distribusi dari Y
n
jika n → ∞
4.4 Teorema Limit Pusat
