III. PEMODELAN
Model Pertumbuhan Kontinu Terbatasnya sumber-sumber penyokong
ruang, air, makanan, dll menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung
lingkungan. Pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan
berhenti jika daya dukung lingkungan tercapai. Model dari pertumbuhan populasi
tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
1 dx
x rx
dt K
⎛ =
− ⎜
⎝ ⎠
⎞ ⎟ 3.1
dengan,
dx dt
: laju perubahan populasi
x
terhadap waktu t .
x
: jumlah populasi suatu spesies pada waktu .
t
r
adalah konstanta tingkat pertumbuhan intrinsik.
K
adalah daya dukung lingkungan carrying capacity.
Model ini pertama kali diusulkan oleh Verhulst 1838 yaitu seorang matematikawan
dari Belgia. Verhulst menyebut model ini dengan
persamaan logistik yang
menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tunggal dengan waktu yang
kontinu Hallam and Levin, 1986.
Persamaan Logistik Tak Otonom
Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik 1.1 yaitu persamaan logistik tak
otonom, yang artinya secara eksplisit variabel muncul dalam persamaan. Modelnya adalah
sebagai berikut: t
1 ,
x t dx
r t x t t
dt K t
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
3.2 dengan,
dx dt
: laju perubahan populasi
x
pada waktu . t
x t : jumlah populasi suatu spesies pada waktu
.
t
r t ≥ : tingkat pertumbuhan populasi
x
pada waktu t
K t
:
daya dukung lingkungan yang merupakan fungsi kontinu positif
carrying capacity. Model ini dinamakan persamaan logistik
tak otonom karena tingkat pertumbuhan intrinsik
r , carrying capacity K dan
jumlah populasi
x
merupakan suatu fungsi yang tergantung pada waktu. Hal ini terjadi
disebabkan karena adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi
tersebut. Salah satunya yaitu adanya pengaruh musim.
Model Pertumbuhan Diskret
Fenomena-fenomena perubahan populasi yang terjadi secara kontinu dapat dimodelkan
ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan laju perubahan
populasi tersebut di masa yang akan datang. Seperti pada model 1.1. Tetapi, banyak juga
fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya
dimodelkan ke dalam suatu persamaan beda. Hal ini digambarkan oleh persamaan berikut:
, ,
1, 2,.....
k k
x t I
x t t
k
τ
∆ =
= =
3.3
1 ,
k k
k k
x x
I x
k
τ τ
τ
+ − =
= 1, 2,...
dengan, x t
∆ : perubahan populasi
x
terhadap waktu .
t
k
I
: operator yang terbatas.
k
τ : waktu ke- .
k
IV. ANALISIS MODEL
Model 3.1 menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tunggal
dengan waktu yang kontinu. Ada beberapa komponen yang mempengaruhi laju
perubahan populasi tersebut yaitu jumlah populasi, tingkat pertumbuhan intrinsik
r yang dipengaruhi oleh tingkat kelahiran dan
tingkat kematian, dan daya dukung
14
III. PEMODELAN
Model Pertumbuhan Kontinu Terbatasnya sumber-sumber penyokong
ruang, air, makanan, dll menyebabkan populasi dibatasi oleh suatu daya dukung
lingkungan. Pertumbuhan populasi lambat laun akan menurun dan akhirnya akan
berhenti jika daya dukung lingkungan tercapai. Model dari pertumbuhan populasi
tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
1 dx
x rx
dt K
⎛ =
− ⎜
⎝ ⎠
⎞ ⎟ 3.1
dengan,
dx dt
: laju perubahan populasi
x
terhadap waktu t .
x
: jumlah populasi suatu spesies pada waktu .
t
r
adalah konstanta tingkat pertumbuhan intrinsik.
K
adalah daya dukung lingkungan carrying capacity.
Model ini pertama kali diusulkan oleh Verhulst 1838 yaitu seorang matematikawan
dari Belgia. Verhulst menyebut model ini dengan
persamaan logistik yang
menggambarkan laju perubahan populasi suatu spesies tunggal dengan waktu yang
kontinu Hallam and Levin, 1986.
Persamaan Logistik Tak Otonom
Salah satu bentuk variasi dari persamaan logistik 1.1 yaitu persamaan logistik tak
otonom, yang artinya secara eksplisit variabel muncul dalam persamaan. Modelnya adalah
sebagai berikut: t
1 ,
x t dx
r t x t t
dt K t
⎡ ⎤
= −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
3.2 dengan,
dx dt
: laju perubahan populasi
x
pada waktu . t
x t : jumlah populasi suatu spesies pada waktu
.
t
r t ≥ : tingkat pertumbuhan populasi
x
pada waktu t
K t
:
daya dukung lingkungan yang merupakan fungsi kontinu positif
carrying capacity. Model ini dinamakan persamaan logistik
tak otonom karena tingkat pertumbuhan intrinsik
r , carrying capacity K dan
jumlah populasi
x
merupakan suatu fungsi yang tergantung pada waktu. Hal ini terjadi
disebabkan karena adanya pengaruh tahunan yang mempengaruhi laju perubahan populasi
tersebut. Salah satunya yaitu adanya pengaruh musim.
Model Pertumbuhan Diskret
Fenomena-fenomena perubahan populasi yang terjadi secara kontinu dapat dimodelkan
ke dalam suatu persamaan diferensial yang dapat memprediksikan laju perubahan
populasi tersebut di masa yang akan datang. Seperti pada model 1.1. Tetapi, banyak juga
fenomena perubahan populasi yang terjadi secara diskret. Fenomena ini biasanya
dimodelkan ke dalam suatu persamaan beda. Hal ini digambarkan oleh persamaan berikut:
, ,
1, 2,.....
k k
x t I
x t t
k
τ
∆ =
= =
3.3
1 ,
k k
k k
x x
I x
k
τ τ
τ
+ − =
= 1, 2,...
dengan, x t
∆ : perubahan populasi
x
terhadap waktu .
t
k
I
: operator yang terbatas.
k
τ : waktu ke- .
k
IV. ANALISIS MODEL
Kategori