L
y
= x
2
+ 6λ = 0 maka –
λ = x
2
6
2 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 didapat
2xy 3 = x
2
6
maka
12xy = 3x
2
y = x
4 sehingga 3
x
+ 6
y
– 18 = 0 3
x
+ 6
y
= 18 maka 3
x
+ 6 = 18
x
= 4 karena nilai
x
= 4 maka
y
=
x
4 = 4 4 =1 U = x
2
y = 4
2
. 1 = 16 Jadi kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 4 unit
x
dan 1 unit
y
, dengan nilai kepuasan
U
= 16
3.3 Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.
Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan
sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang digunakan dilambangkan untuk
x
j
dimana j= 1, 2, …..,n, maka fungsi
produksinya dapat dituliskan dengan notasi
P = fx
1
, x
2
, x
3
, ….x
n
.
Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan masukan tetap, sementara sebagain lainya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika
untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel misalkan K dan L, maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan,
P= fk,l
Derivatif pertama merupakan produk marjinal parsialnya ∂P∂k adalah produk
marginal berkenaan dengan masukan
K
. ∂P ∂l adalah produk marginal berkenaan
dengan masukan
L.
Dimana
P
= konstanta tertentu, fungsi produksi
P = f k, l
merupakan suatu persamaan, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan masukan
K
dan
L
yang menghasilkan keluaran dalam jumlah sama. 33
Universitas Sumatera Utara
Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor
– faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk
membeli masukan
K
dan
L
adalah sebesar
M
, serta harga masukan
K
dan masukan
L
masing – masing
P
k
dan
P
l
, persamaan tersebut ditulis dengan notasi
M = k. P
k
+ l P
l
Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum dapat dicari dengan
multiplier Lagrange
, untuk fungsi produksi
P = fk, l
dimaksimumkan terhadap fungsi
M = k. P
k
+ l P
l
Sedangkan fungsi tujuannya yang hendak dioptimumkan
P = fk, l,
untuk fungsi kendalanya adalah
M = k. P
k
+ l P
l
k. P
k
+ l P
l
–
M = 0
Fungsi baru
Lagrange
Fk, l = fk, l + λk P
k
+ l P
l
- M
syarat perlu agar
Fk,l
maksimum :
F
k
k, l = 0
maka
f
k
k,l
+ λ P
k
= 0
1
F
l
k, l = 0
maka
f
l
k,l
+ λ P
l
= 0
2
Dari persamaan 1 dan 2 nilai
k
dan nilai
l
dapat dicari selanjutnya nilai
P
maksimum dapat dihitung. Produksi total :
P = fk, l
Produksi marjinal barang
K: MP
K
= f
k
k, l = ∂P ∂k Produksi marjinal barang
L : MP
L
= f
l
k, l = ∂P ∂l Pengembangannya dari persamaan menjadi
1.
f
k
k, l + λ P
k
= 0 maka f
k
k, l = -
λ P
k
, -
λ = f
k
k, l P
k
2.
f
l
k, l + λ P
l
= 0 maka f
l
k, l = -
λ P
l
, -
λ = f
l
k, l P
l
Sehingga dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan dengan
f
k
k, l P
k
= f
l
k, l P
l
berakibat
MP
K
P
k
= MP
L
P
l ,
dapat diartikan bahwa produksi optimum dengan biaya kombinasi biaya terendah akan
tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing – masing masukan terhadap
harganya bernilai sama. 34
Universitas Sumatera Utara
Contoh 4. Suatu pabrik memproduksi dua jenis mesin,
x
dan
y
fungsi biaya gabungan dari dua mesin tersebut adalah
Fx, y = x
2
+ 3xy
–
6y
, untuk meminimalkan biaya, berapa banyak mesin dari keduanya harus diproduksi jika total mesin yang diproduksi 42.
Penyelesaian Minimalkan
Fx, y = x
2
+ 3xy
–
6y
Dengan kendala
x + y = 42
Maka diperoleh persamaan fungsi baru
Lagrange Fx, y = x
2
+ 3xy
– 6y + λx + y –
42
Agar
F
minimum maka,
F
x
x, y = 2x + 3y + λ
= 0 , -
λ = 2x + 3y 1
F
y
x, y = 3x -
6 + λ = 0 ,
-
λ = 3x –
6
2
F
λ
x, y = x + y
–
42= 0 , x = - y + 42
3 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 maka
2x + 3y = 3x
–
6 x = 3y + 6
4 Berdasarkan persamaan 3 dan 4
x = 42
–
y = 3y + 6 y = 9
maka
x = 33
Jadi, biaya minimum yang diperoleh jika
x
= 33 dan
y
= 9 35
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1. Kesimpulan