Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.

L y = x 2 + 6λ = 0 maka – λ = x 2 6 2 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 didapat 2xy 3 = x 2 6 maka 12xy = 3x 2 y = x 4 sehingga 3 x + 6 y – 18 = 0 3 x + 6 y = 18 maka 3 x + 6 = 18 x = 4 karena nilai x = 4 maka y = x 4 = 4 4 =1 U = x 2 y = 4 2 . 1 = 16 Jadi kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 4 unit x dan 1 unit y , dengan nilai kepuasan U = 16

3.3 Produk Marjinal Parsial Dan Keseimbangan Produksi.

Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang digunakan dilambangkan untuk x j dimana j= 1, 2, …..,n, maka fungsi produksinya dapat dituliskan dengan notasi P = fx 1 , x 2 , x 3 , ….x n . Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan masukan tetap, sementara sebagain lainya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam masukan variabel misalkan K dan L, maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan, P= fk,l Derivatif pertama merupakan produk marjinal parsialnya ∂P∂k adalah produk marginal berkenaan dengan masukan K . ∂P ∂l adalah produk marginal berkenaan dengan masukan L. Dimana P = konstanta tertentu, fungsi produksi P = f k, l merupakan suatu persamaan, yaitu kurva yang menunjukkan berbagai kombinasi penggunaan masukan K dan L yang menghasilkan keluaran dalam jumlah sama. 33 Universitas Sumatera Utara Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor – faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan K dan L adalah sebesar M , serta harga masukan K dan masukan L masing – masing P k dan P l , persamaan tersebut ditulis dengan notasi M = k. P k + l P l Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum dapat dicari dengan multiplier Lagrange , untuk fungsi produksi P = fk, l dimaksimumkan terhadap fungsi M = k. P k + l P l Sedangkan fungsi tujuannya yang hendak dioptimumkan P = fk, l, untuk fungsi kendalanya adalah M = k. P k + l P l k. P k + l P l – M = 0 Fungsi baru Lagrange Fk, l = fk, l + λk P k + l P l - M syarat perlu agar Fk,l maksimum : F k k, l = 0 maka f k k,l + λ P k = 0 1 F l k, l = 0 maka f l k,l + λ P l = 0 2 Dari persamaan 1 dan 2 nilai k dan nilai l dapat dicari selanjutnya nilai P maksimum dapat dihitung. Produksi total : P = fk, l Produksi marjinal barang K: MP K = f k k, l = ∂P ∂k Produksi marjinal barang L : MP L = f l k, l = ∂P ∂l Pengembangannya dari persamaan menjadi 1. f k k, l + λ P k = 0 maka f k k, l = - λ P k , - λ = f k k, l P k 2. f l k, l + λ P l = 0 maka f l k, l = - λ P l , - λ = f l k, l P l Sehingga dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan dengan f k k, l P k = f l k, l P l berakibat MP K P k = MP L P l , dapat diartikan bahwa produksi optimum dengan biaya kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing – masing masukan terhadap harganya bernilai sama. 34 Universitas Sumatera Utara Contoh 4. Suatu pabrik memproduksi dua jenis mesin, x dan y fungsi biaya gabungan dari dua mesin tersebut adalah Fx, y = x 2 + 3xy – 6y , untuk meminimalkan biaya, berapa banyak mesin dari keduanya harus diproduksi jika total mesin yang diproduksi 42. Penyelesaian Minimalkan Fx, y = x 2 + 3xy – 6y Dengan kendala x + y = 42 Maka diperoleh persamaan fungsi baru Lagrange Fx, y = x 2 + 3xy – 6y + λx + y – 42 Agar F minimum maka, F x x, y = 2x + 3y + λ = 0 , - λ = 2x + 3y 1 F y x, y = 3x - 6 + λ = 0 , - λ = 3x – 6 2 F λ x, y = x + y – 42= 0 , x = - y + 42 3 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 maka 2x + 3y = 3x – 6 x = 3y + 6 4 Berdasarkan persamaan 3 dan 4 x = 42 – y = 3y + 6 y = 9 maka x = 33 Jadi, biaya minimum yang diperoleh jika x = 33 dan y = 9 35 Universitas Sumatera Utara BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN

4.1. Kesimpulan