Model linier klasik
6.4.1. Model linier klasik
Daftar Isi
Di atas telah disebutkan bahwa pemodelan stokastik memiliki bentuk umum Y = Xβ + ǫ Judul (6.6)
Dalam hal ini ǫ merupakan kesalahan atau galat yang diasumsikan meru-
pakan peubah acak yang berasal dari suatu distribusi tertentu, misalnya normal. Peubah x adalah peubah yang bukan acak dan adalah parameter
Hal. 179 dari 234
yang menentukan koefisien dari peubah peubah tetap tadi. Dalam ilustrasi pada Contoh 1.1. misalnya, dianggap bahwa sebenarnya ada hubungan yang bersifat tetap yang menentukan harga barang di pasar. Namun, selain itu Cari Halaman masih ada lagi faktor lain yang bersifat acak yang menyebabkan harga barang tadi dalam kenyataannya dari pembeli ke pembeli mungkin menyimpang dari
Kembali
fungsi hubungan tadi. Dalam pemodelan statistika/ stokastik, kedua kom- ponen ini dipisahkan yaitu yang bersifat tetap dan fungsional dinotasikan
Layar Penuh
dengan f (x, β), yang bisa disebut sebagai komponen tetap (fixed), sedang- kan komponen lainnya, ǫ, yang bersifat acak disebut sebagai komponen acak (random component) atau dalam hal ini secara khusus disebut komponen ke- Tutup
salahan (error component). Dari segi fungsi hubungan f , bentuk yang paling
Keluar Keluar
UNEJ
Normal Linear Models (NLM). Dari kedua hal tersebut lahirlah yang disebut model normal sederhana atau model linier klasik yang secara formal dapat
Daftar Isi
diuraikan sebagai berikut. Definisi 6.3 (Bentuk dan Asumsi Model Linier Klasik).
Hal. 180 dari 234
atau untuk keseluruhan respon dapat dituliskan dalam bentuk matriks
seperti persamaan ( 6.6 ),
Cari Halaman
Y = Xβ + ǫ
Kembali
Asumsi: x i bukan peubah acak dan diukur tanpa kesalahan dan ǫ i inde-
penden dengan ǫ ′
i untuk setiap i 6= i dan masing-masing berdistribusi
Layar Penuh
N (0, σ 2 ). Dari asumsi diatas diperoleh bahwa secara keseluruhan ǫ dapat dianggap Tutup berdistribusi multivariat normal (MVN) dengan koefisen variasi konstan,
Keluar Keluar
ada korelasi diantaranya. Beberapa referensi yang membahas model linier
normal ini diantaranya adalah Neter et al. [ 18 ], Bowerman et al.[ 1 ].
UNEJ
6.4.2. Model linier tercampur
Daftar Isi
Dalam kenyataan, di lapangan banyak pengamatan yang menghasilkan re- spon yang tidak saling independen. Misalnya, apabila pada suatu subjek Judul
dilakukan pengamatan yang berulang- ulang maka respon yang diperoleh an- tara satu dengan sebelumnya, atau satu dengan berikutnya, dapat dipastikan
akan saling berkorelasi. Dengan demikian, pengamatan yang diperoleh bu- kan lagi merupakan hasil pengamatan atau respon tunggal, tetapi merupakan
Hal. 181 dari 234
vektor respon. Tentu saja respon seperti ini dapat ditangani dengan metode multivariat. Namun ada kekhasan dari pengamatan seperti ini, yaitu kore- lasi/ hubungan antara respon satu dengan lainnya biasanya berpola, sehingga Cari Halaman dianggap kurang pas kalau ditangani dengan metode multivariat biasa. Un- tuk menangani respon-respon semacam ini model linier klasik di atas lalu
Kembali
dikembangkan menjadi model linier campuran atau Linear Mixed Models (LMM). Dalam model ini hubungan antara respon yang satu dengan lainnya
Layar Penuh
dianggap berasal dari pengaruh suatu peubah yang tidak kentara atau laten (subjek, misalnya). Untuk itu komponen tetap (f (x)) diuraikan lagi menjadi komponen tetap dan komponen efek acak (random effects). Dengan demikian Tutup
model ini memiliki dua komponen acak yaitu komponen galat (ǫ) dan kompo-
Keluar Keluar
Definisi 6.4 (Bentuk dan Asumsi Model Linier Campuran).
UNEJ
Model:
Daftar Isi
2 Asumsi: u ∼ MV N(0, σ 2
1 I) dan ǫ ∼ MV N(0, σ 2 I). u independen dengan
Sebenarnya varians u dapat bervariasi sehingga membentuk matriks varians- Hal. 182 dari kovarians dari (Y) yang bervariasi juga. Struktur matriks varians-kovarians 234
ini dapat dibentuk sesuai kondisi respon yang dihadapi. Bentuk yang pal- ing sederhana di atas menghasilkan matriks varians-kovarians yang disebut
Cari Halaman
matriks uniform atau compound symmetry. Dengan menggunakan jumlah peubah acak yang berdistribusai normal dan saling independen bisa diper-
Kembali
oleh bahwa bentuk varians-kovarian Y , yang termasuk jenis uniform, adalah
σ Layar Penuh
V=
Tutup ... . .. ... . .. ...
Keluar Keluar
Daftar Isi
Model ini mengasumsikan bahwa korelasi antara pengamatan satu dan lainnya bersifat konstan (uniform). Struktur lain yang juga banyak diterap-
Judul
kan adalah auto regresive 1 (ar1) atau disebut korelasi serial yaitu:
Hal. 183 dari V=φ 234 ρ ···1···ρ (6.10)
ρ Cari Halaman k 2 ···ρ ρ 1 Model ini mengasumsikan bahwa seiring dengan jarak yang makin jauh, maka
Kembali
korelasi/ hubungan antara respon tersebut semakin kecil. Model linier cam- puran/tercampur sering juga disebut dengan istilah model linier bertingkat
Layar Penuh
(hierarchical linear model). Istilah bertingkat digunakan karena model ini biasa juga didefinisikan secara bertingkat seperti berikut ini.
Tutup
Definisi 6.5. Asumsi Model Linier Bertingkat
Keluar
1. Ada efek acak u i yang berhubungan dengan strata atau subjek ke i, untuk i = 1, ...n dimana antara satu efek acak dengan lainnya saling independen dan berdistribusi normal dengan mean 0;
2. Kondisional terhadap efek acak ke i , respon-respon di dalam strata
UNEJ
ini juga saling independen dan berdistribusi normal dengan mean dan varians konstan.
Daftar Isi
Model linier Campuran tidak menjadi fokus pembahasan dalam buku ini. Bagi pembaca yang tertarik, referensi yang bisa dijadikan acuan untuk mem-
Judul
pelajari model linier bertingkat ini diantaranya adalah Bab 4 dari Davidian
dan Giltinan [ 2 ], Diggle et al. [ 3 ], Laird dan Ware [ 9 ]. Sedangkan untuk mo-
del yang lebih umum yaitu termasuk model-model non-linier dapat dilihat
pada Davidian dan Giltinan [ 2 ]
Hal. 184 dari 234
6.4.3. Model linier tergeneralisasi
Cari Halaman
Kondisi lain di lapangan yang tidak dapat ditangani langsung oleh model linier klasik adalah adanya kenyataan bahwa, distribusi respon tidak mesti
Kembali
normal. Memang kondisi seperti ini bisa ditanggulangi dengan mengadakan transpormasi dari respon. Transpormasi yang banyak dipakai adalah trans-
Layar Penuh
pormasi logaritma. Namun, ada beberapa permasalahan yang mungkin tim- bul sebagai efek dari transpormasi ini misalnya seperti berikut ini. Respon yang sudah ditranspormasi mungkin mendekati distribusi normal, tetapi aki- Tutup
bat transpormasi ada kemungkinan syarat yang lain (syarat ketidak-bergantungan)
Keluar Keluar
UNEJ
mal, tetapi masih saling bebas, maka para statistisi yang dipelopori oleh
Nelder dan Wedderburn [ 17 ] telah mengembangkan model linier yang dike-
Daftar Isi
nal dengan Gereralized Linear Model (GLM). Model linier ini menggunakan asumsi bahwa repon memiliki distribusi keluarga ekponensial. Distribusi
keluarga eksponensial adalah distribusi yang sifatnya lebih umum, dimana Judul distribusi- distribusi yang banyak kita kenal (Normal, Gamma, Poisson) ter-
masuk di dalamnya dan merupakan bentuk- bentuk khusus dari distribusi
Keluarga Eksponensial. Definisi distribusi Keluarga Eksponensial ini belum dibahas pada diktat ini dan diharapkan akan dapat dibahas pada edisi tahun
Hal. 185 dari 234
berikutnya. Kalau kita simak model linier klasik, kita menemukan beberapa hal yang sifatnya khas dan istimewa yaitu:
Cari Halaman
1. ada komponen tetap yang disebut prediktor linier ;
Kembali
2. respon y i berdistribusi normal dan saling independen dan
k Layar Penuh
3. mean yi adalah µ i = j=0 x ij β j . Dalam model linier tergeneralisasi, hubungan di atas mengalami peruba- Tutup han atau generalisasi, sebagaimana dalam definisi berikut:
Keluar
Definisi 6.6 (Asumsi Model Linier Tergeneralisasi). Model linier tergener- alisasi adalah model yang mengandung tiga hal yaitu:
1. komponen tetap yang disebut prediktor linier η i = j=0 x ij β j ;
UNEJ
2. respon y i berdistribusi secara independen dalam keluarga eksponensial;
3. hubungan antara mean dengan prediktor linier ditunjukkan fungsi g(.) Daftar Isi yang disebut fungsi ’link’ sedemikian sedingga g(µ i )=η i . Fungsi g()
disebut fungsi hubungan (link-function).
Judul
Ada fungsi hubungan khusus yang disebut fungsi hubungan kanonik atau ◭◭ ◭ ◮ natural yang berkaitan erat dengan distribusi y. Misalnya, jika distribusi- ◮◮
nya normal maka g() adalah identitas. Dari hal di atas dikatakan bahwa Hal. 186 dari komponen penting dalam model linier tergeneralisasi ada tiga yaitu: 234
(i) adanya prediktor linier,
Cari Halaman
(ii) adanya distribusi keluarga eksponensial dan
Kembali
(iii) adanya fungsi-hubungan.