Model linier klasik

6.4.1. Model linier klasik

Daftar Isi

Di atas telah disebutkan bahwa pemodelan stokastik memiliki bentuk umum Y = Xβ + ǫ Judul (6.6)

Dalam hal ini ǫ merupakan kesalahan atau galat yang diasumsikan meru-

pakan peubah acak yang berasal dari suatu distribusi tertentu, misalnya normal. Peubah x adalah peubah yang bukan acak dan adalah parameter

Hal. 179 dari 234

yang menentukan koefisien dari peubah peubah tetap tadi. Dalam ilustrasi pada Contoh 1.1. misalnya, dianggap bahwa sebenarnya ada hubungan yang bersifat tetap yang menentukan harga barang di pasar. Namun, selain itu Cari Halaman masih ada lagi faktor lain yang bersifat acak yang menyebabkan harga barang tadi dalam kenyataannya dari pembeli ke pembeli mungkin menyimpang dari

Kembali

fungsi hubungan tadi. Dalam pemodelan statistika/ stokastik, kedua kom- ponen ini dipisahkan yaitu yang bersifat tetap dan fungsional dinotasikan

Layar Penuh

dengan f (x, β), yang bisa disebut sebagai komponen tetap (fixed), sedang- kan komponen lainnya, ǫ, yang bersifat acak disebut sebagai komponen acak (random component) atau dalam hal ini secara khusus disebut komponen ke- Tutup

salahan (error component). Dari segi fungsi hubungan f , bentuk yang paling

Keluar Keluar

UNEJ

Normal Linear Models (NLM). Dari kedua hal tersebut lahirlah yang disebut model normal sederhana atau model linier klasik yang secara formal dapat

Daftar Isi

diuraikan sebagai berikut. Definisi 6.3 (Bentuk dan Asumsi Model Linier Klasik).

Hal. 180 dari 234

atau untuk keseluruhan respon dapat dituliskan dalam bentuk matriks

seperti persamaan ( 6.6 ),

Cari Halaman

Y = Xβ + ǫ

Kembali

Asumsi: x i bukan peubah acak dan diukur tanpa kesalahan dan ǫ i inde-

penden dengan ǫ ′

i untuk setiap i 6= i dan masing-masing berdistribusi

Layar Penuh

N (0, σ 2 ). Dari asumsi diatas diperoleh bahwa secara keseluruhan ǫ dapat dianggap Tutup berdistribusi multivariat normal (MVN) dengan koefisen variasi konstan,

Keluar Keluar

ada korelasi diantaranya. Beberapa referensi yang membahas model linier

normal ini diantaranya adalah Neter et al. [ 18 ], Bowerman et al.[ 1 ].

UNEJ

6.4.2. Model linier tercampur

Daftar Isi

Dalam kenyataan, di lapangan banyak pengamatan yang menghasilkan re- spon yang tidak saling independen. Misalnya, apabila pada suatu subjek Judul

dilakukan pengamatan yang berulang- ulang maka respon yang diperoleh an- tara satu dengan sebelumnya, atau satu dengan berikutnya, dapat dipastikan

akan saling berkorelasi. Dengan demikian, pengamatan yang diperoleh bu- kan lagi merupakan hasil pengamatan atau respon tunggal, tetapi merupakan

Hal. 181 dari 234

vektor respon. Tentu saja respon seperti ini dapat ditangani dengan metode multivariat. Namun ada kekhasan dari pengamatan seperti ini, yaitu kore- lasi/ hubungan antara respon satu dengan lainnya biasanya berpola, sehingga Cari Halaman dianggap kurang pas kalau ditangani dengan metode multivariat biasa. Un- tuk menangani respon-respon semacam ini model linier klasik di atas lalu

Kembali

dikembangkan menjadi model linier campuran atau Linear Mixed Models (LMM). Dalam model ini hubungan antara respon yang satu dengan lainnya

Layar Penuh

dianggap berasal dari pengaruh suatu peubah yang tidak kentara atau laten (subjek, misalnya). Untuk itu komponen tetap (f (x)) diuraikan lagi menjadi komponen tetap dan komponen efek acak (random effects). Dengan demikian Tutup

model ini memiliki dua komponen acak yaitu komponen galat (ǫ) dan kompo-

Keluar Keluar

Definisi 6.4 (Bentuk dan Asumsi Model Linier Campuran).

UNEJ

Model:

Daftar Isi

2 Asumsi: u ∼ MV N(0, σ 2

1 I) dan ǫ ∼ MV N(0, σ 2 I). u independen dengan

Sebenarnya varians u dapat bervariasi sehingga membentuk matriks varians- Hal. 182 dari kovarians dari (Y) yang bervariasi juga. Struktur matriks varians-kovarians 234

ini dapat dibentuk sesuai kondisi respon yang dihadapi. Bentuk yang pal- ing sederhana di atas menghasilkan matriks varians-kovarians yang disebut

Cari Halaman

matriks uniform atau compound symmetry. Dengan menggunakan jumlah peubah acak yang berdistribusai normal dan saling independen bisa diper-

Kembali

oleh bahwa bentuk varians-kovarian Y , yang termasuk jenis uniform, adalah

σ Layar Penuh

V= 

 Tutup ... . .. ... . .. ...

Keluar Keluar

Daftar Isi

Model ini mengasumsikan bahwa korelasi antara pengamatan satu dan lainnya bersifat konstan (uniform). Struktur lain yang juga banyak diterap-

Judul

kan adalah auto regresive 1 (ar1) atau disebut korelasi serial yaitu:

Hal. 183 dari V=φ 234  ρ ···1···ρ  (6.10)

ρ Cari Halaman k 2 ···ρ ρ 1 Model ini mengasumsikan bahwa seiring dengan jarak yang makin jauh, maka

Kembali

korelasi/ hubungan antara respon tersebut semakin kecil. Model linier cam- puran/tercampur sering juga disebut dengan istilah model linier bertingkat

Layar Penuh

(hierarchical linear model). Istilah bertingkat digunakan karena model ini biasa juga didefinisikan secara bertingkat seperti berikut ini.

Tutup

Definisi 6.5. Asumsi Model Linier Bertingkat

Keluar

1. Ada efek acak u i yang berhubungan dengan strata atau subjek ke i, untuk i = 1, ...n dimana antara satu efek acak dengan lainnya saling independen dan berdistribusi normal dengan mean 0;

2. Kondisional terhadap efek acak ke i , respon-respon di dalam strata

UNEJ

ini juga saling independen dan berdistribusi normal dengan mean dan varians konstan.

Daftar Isi

Model linier Campuran tidak menjadi fokus pembahasan dalam buku ini. Bagi pembaca yang tertarik, referensi yang bisa dijadikan acuan untuk mem-

Judul

pelajari model linier bertingkat ini diantaranya adalah Bab 4 dari Davidian

dan Giltinan [ 2 ], Diggle et al. [ 3 ], Laird dan Ware [ 9 ]. Sedangkan untuk mo-

del yang lebih umum yaitu termasuk model-model non-linier dapat dilihat

pada Davidian dan Giltinan [ 2 ]

Hal. 184 dari 234

6.4.3. Model linier tergeneralisasi

Cari Halaman

Kondisi lain di lapangan yang tidak dapat ditangani langsung oleh model linier klasik adalah adanya kenyataan bahwa, distribusi respon tidak mesti

Kembali

normal. Memang kondisi seperti ini bisa ditanggulangi dengan mengadakan transpormasi dari respon. Transpormasi yang banyak dipakai adalah trans-

Layar Penuh

pormasi logaritma. Namun, ada beberapa permasalahan yang mungkin tim- bul sebagai efek dari transpormasi ini misalnya seperti berikut ini. Respon yang sudah ditranspormasi mungkin mendekati distribusi normal, tetapi aki- Tutup

bat transpormasi ada kemungkinan syarat yang lain (syarat ketidak-bergantungan)

Keluar Keluar

UNEJ

mal, tetapi masih saling bebas, maka para statistisi yang dipelopori oleh

Nelder dan Wedderburn [ 17 ] telah mengembangkan model linier yang dike-

Daftar Isi

nal dengan Gereralized Linear Model (GLM). Model linier ini menggunakan asumsi bahwa repon memiliki distribusi keluarga ekponensial. Distribusi

keluarga eksponensial adalah distribusi yang sifatnya lebih umum, dimana Judul distribusi- distribusi yang banyak kita kenal (Normal, Gamma, Poisson) ter-

masuk di dalamnya dan merupakan bentuk- bentuk khusus dari distribusi

Keluarga Eksponensial. Definisi distribusi Keluarga Eksponensial ini belum dibahas pada diktat ini dan diharapkan akan dapat dibahas pada edisi tahun

Hal. 185 dari 234

berikutnya. Kalau kita simak model linier klasik, kita menemukan beberapa hal yang sifatnya khas dan istimewa yaitu:

Cari Halaman

1. ada komponen tetap yang disebut prediktor linier ;

Kembali

2. respon y i berdistribusi normal dan saling independen dan

k Layar Penuh

3. mean yi adalah µ i = j=0 x ij β j . Dalam model linier tergeneralisasi, hubungan di atas mengalami peruba- Tutup han atau generalisasi, sebagaimana dalam definisi berikut:

Keluar

Definisi 6.6 (Asumsi Model Linier Tergeneralisasi). Model linier tergener- alisasi adalah model yang mengandung tiga hal yaitu:

1. komponen tetap yang disebut prediktor linier η i = j=0 x ij β j ;

UNEJ

2. respon y i berdistribusi secara independen dalam keluarga eksponensial;

3. hubungan antara mean dengan prediktor linier ditunjukkan fungsi g(.) Daftar Isi yang disebut fungsi ’link’ sedemikian sedingga g(µ i )=η i . Fungsi g()

disebut fungsi hubungan (link-function).

Judul

Ada fungsi hubungan khusus yang disebut fungsi hubungan kanonik atau ◭◭ ◭ ◮ natural yang berkaitan erat dengan distribusi y. Misalnya, jika distribusi- ◮◮

nya normal maka g() adalah identitas. Dari hal di atas dikatakan bahwa Hal. 186 dari komponen penting dalam model linier tergeneralisasi ada tiga yaitu: 234

(i) adanya prediktor linier,

Cari Halaman

(ii) adanya distribusi keluarga eksponensial dan

Kembali

(iii) adanya fungsi-hubungan.