Materi dan Soal Matematika Kelas 9

  MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn Bab 5 : Pangkat dan akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar :

  Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 1. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat 2. bulat dan bentuk akar

  Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan 3. berpangkat dan bentuk akar

  Daftar isi 

   

  

   

   

   

  

  

  

  

   

  

  Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

  Masih ingat bentuk berikut :

  2

  3 = 3 x 3

  3

  2 = 2 x 2 x 2

  6

  5 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

  Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

  Sifat 1 _{n n m + n} a x a = a

  4

  3

  2 x 2 = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 ) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27

  4+3

  = 2

  Sifat 2 _{m n m - n} a : a = a , m > n

  5

  3

  5 : 5 = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5) = 5 x 5 = 52

  5 - 3

  = 5

  Sifat 3 _{m n m x n} (a ) = a

  4

  2

  4

  4

  (3 ) = 3 x 3 = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3) = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3) = 38

  4 x 2

  = 3

  Sifat 4 _{m m m} (a x b) = a x b

  3

  (4 x 2) = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2) = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)

  3

  3

  = 4 x 2

  Sifat 5 _{m m m} (a : b) = a : b

  4

  4

  = 6 : 3

  Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

• n

  1 Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2 = 1 dan 2 = / 2n , secara

  umum dapat ditulis : Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.

  Contoh:

  Tentukan hasil berikut ini!

  1

  5

  ( /

  2 ) Jawab : Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

  Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam a

  bentuk / b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah

• 1

  3

  5

• 5, /

  2 , 0, 3, / 4 , dan / 9.

  Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan

  a

  dalam bentuk / b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya √2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

  Bentuk Akar

  Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain? Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional. Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi

  2

  √a = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0

  Contoh :

  Sederhanakan bentuk akar berikut √75

  Jawab :

  √75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

  Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

  Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk

  n m m/n selanjutnya, bentuk akar √a dapat ditulis a (dibaca: a pangkat m per n). m/n Bentuk a disebut bentuk pangkat pecahan. contoh :

  jawab : Operasi Aljabar pada Bentuk Akar Penjumlahan dan Pengurangan

  Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis. kesimpulan : jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku a√b + c√b = (a + c)√b a√b - c√b = (a - c)√b

  Contoh :

  Tentukan hasil operasi berikut :

  jawab : Perpangkatan

  Kalian tentu masih ingat bahwa (â)" = ấ. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan. Contoh:

  Operasi Campuran

  Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

   Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan- bilangan yang ada dalam tanda kurung.  Jika tidak ada tanda kurungnya maka 1.

  pangkat dan akar sama kuat; 2. kali dan bagi sama kuat; 3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;

  4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

  Contoh :

  Merasionalkan Penyebut

  Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

  Penyebut Berbentuk √b

  Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka

  a

  pecahan / √b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan

  √b tersebut dengan / .

  √b Contoh :

  Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!

  jawab : Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

  Jika pecahan- pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) adalah dan sebaliknya. Bukti

  Contoh : Rasionalkan penyebut pecahan berikut. jawab : Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

  Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

  Contoh:

  Selesaikan soal berikut!

  Jawab : MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn

Bab 4 : Peluang Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari

  informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi. Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.

  Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah: A) Percobaan, ruang sampel, dan kejadian

  B) Peluang suatu kejadian

A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian

  Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.

Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu

  kejadian (percobaan)

  Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

  Contoh : 1.

  Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan!

2. Hasil yang mungkin muncul 3.

  Ruang Sampel 4. Titik sampel 5. Banyaknya kejadian mata dadu ganjil 6. Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3

  Jawab: 1.

  Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 2. Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6} 3. Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu

  1,2,3,4,5 dan 6 1.

  Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil Kejadian A={1,3,5} Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah n(A) =3 1.

  Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 Kejadian B={1,2} Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2 1.

  Sebuah mata uang logam dilambungkan satu kali, tentukan! 2. Ruang sampel 3. Kejadian munculnya angka 4. Banyaknya ruang Sampel Banyaknya kejadian muncul angka Jawab: Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G).

  1. Ruang Sampelnya adalah S={A, G} 2.

  Kejadian munculnya angka adalah {A} 3. Kejadian munculnya gambar adalah {G} 4. Banyaknya ruang sampel, n(S)=2 yaitu {A} dan {G} 5. Banyaknya kejadian muncul angka, n(Angka)=1 atau n(A)=1 1. Dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama, tentukan! 1. Ruang sampelnya c. Banyaknya kejadian keduanya gambar.

  2. Banyaknya Ruang Sampel Jawab: 1.

  Ruang sampelnya Mata Uang II

  A G Mata Uang I

  A AA AG G GA GG Ruang Sampelnya : {AA,GA,AG,GG} 1.

  Banyaknya ruang sampel, n(S)=4 2. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar. Kejadian B = {GG} Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1 1.

  Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan: 1. Ruang sampelnya 2. Banyaknya Ruang Sampel 3. Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama.

  4. Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua. Jawab: Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut: 1.

  Ruang sampel Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut: DADU I 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (5,3) (6,4) (6,5) (6,6)

  S={(1,1),(1,2),(1,3), … (6,4),(6,5),(6,6)} 1.

  Banyaknya Ruang sampel, n(S)= 36.

  2. Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama. Kejadian A = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)} Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4 1.

  Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua. Kejadian B = {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5),(5,5),(6,5)} Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4

  Soal Latihan 1.

  Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Tentukan ! 1.

  Banyaknya Ruang sampel, b. Bayaknya kejadian keduanya kelor(¨).

  2. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan 1.

  Banyaknya kejadian muncul mata dadu yang berjumlah 7 2. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2 pada dadu I 3. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 6 pada dadu II 3. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan! 4. Ruang Sampel 5. Banyaknya Ruang Sampel 6. Kejadian kartu kelipatan 3 Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan! 8.

  Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K) 1. Banyaknya Kejadian terambil keduanya kartu bergambar 2. orang. (J,Q,K) Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan! 9.

  Banyaknya Ruang Sampel 1. Kejadian mendapatkan dua gambar.

  2. Banyaknya kejadian mendapatkan dua gambar.

  3.

  10. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan! Banyaknya Ruang Sampel 1. Banyaknya kejadian mendapatkan kelereng berwarna biru.

  2. Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna 11. hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak.Tentukan !

  Banyaknya Ruang Sampel 1. Banyaknya kejadian terambilnya bola warna hitam semua.

  2. Banyaknya kejadian terambilnya 2 bola warna putih, dan 1 3. warna kuning

  Banyaknya kejadian terambilnya 1 bola hitam, 1 bola putih, 1 4. bola kuning.

B) Peluang suatu kejadian

a. Peluang suatu Kejadian 1.

  Kejadian atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang sampel.

Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya

ruang sampel.

  Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel. Maka P(A) : Peluang kejadian A n(A) : Banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) : Banyaknya anggota ruang Sampel

  Kisaran Nilai Peluang K adalah : 0£P(K) £1 P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian

  Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang

  Munculnya mata dadu ganjil b. Munculnya mata dadu kurang dari 3 1. Jawab: n(S)=6

  Misalkan A adalah Kejadian Ganjil 1. Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3 Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah = 3/6=1/2

  Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3 1. Kejadian B={1,2}, n(B)=3 Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah = 3/6=1/2

  Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, 1. tentukan!

  Peluang munculnya satu gambar b. Peluang muncul keduanya 1. gambar

  Jawab: n(S) = 4 Misalkan A adalah kejadian satu gambar.

  1. Kejadian A = {GA , AG}, n(A) = 2 Maka peluang kejadian satu gambar: =2/4 =1/2 Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar.

  1. Kejadian B = {GG}, n(B) = 1 Maka peluang kejadian keduanya gambar: =1/4

  Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan 1. peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua n(S)=36 Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

  DADU II

  1

  2

  3

  4

  5

  6 DADU I 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (5,3) (6,4) (6,5) (6,6)

  Kejadian A dan B adalah : {(4,5)} Peluang munculnya adalah

  Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke atas satu kali maka 1. tentukan peluang munculnya mata dadu 9. Jawab : Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan) Tentukan peluang matahari akan terbit dari timur pagi hari.

1. Jawab:

  Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)

  Soal Latihan

  Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, 1. tentukan!

  Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Berapa 2. peluang terambil keduanya kelor (¨)?

  Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan 3. peluang :

  Munculnya mata dadu yang berjumlah 7 1. Munculnya mata dadu 2 pada dadu I 2. Munculnya mata dadu 6 pada dadu II 3. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan peluang 4. terambilnya kartu kelipatan 3

  6. Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan peluang terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)

  7. Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang mendapatkan dua gambar dan satu angka.

  8. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang mendapatkan kelereng berwarna biru! 9.

  Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak. Tentukan Peluang! 1.

  Terambilnya bola warna hitam semua, 2. Terambilnya 2 warna putih dan 1 warna kuning, 3. Terambilnya 1 hitam, 1 putih dan 1 kuning.

  1. Peluang munculnya satu angka 2.

  Peluang muncul keduanya angka Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian

  Ringkasan materi

  Frekuensi harapan suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah Hasil kali peluang peristiwa itu dengan n.

  f ^h = n x P(A) Contoh: 1.

  Sebuah mata uang logam dilemparkan 50 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka Jawab: Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang. Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2 Kejadian A={A},n(A)=1, P(A)=1/2 Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah f

  h

  (A)=1/2 x 50 = 25 kali 1.

  Sebuah dadu dilambungkan 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima. Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6 Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3, P(B) = 3/6 =1/2 Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah f h (B) = 1/2 x 30 = 15 kali

  Peluang seseorang akan terjangkit penyakit virus AIDS-HIV di 1. Indonesia pada tahun 2005 adalah 0,00032. Diantara 230 juta penduduk Indonesia, berapa kira-kira yang terjangkit virus tersebut pada tahun 2005?

  Jawab: Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV P(C) =0,00032

  h

  Maka f (C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang

  Soal Latihan

  Sebuah uang koin dilambungkan 600 kali. Tentukan frekuensi 1. harapan munculnya gambar

  Peluang Grup A akan memenangkan pertandingan volly terhadap 2. grup B adalah . Berapa frekuensi harapan grup A akan menang jika pertandingan tersebut direncanakan 12 kali.

  Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Diambil 3. secara acak dua bola. Jika percobaan ini dilakukan 10 kali, tentukan frekuensi harapan terambilnya dua bola merah!

  Pada bulan April 2004 (jumlah hari ada 30) peluang akan turun 4. hujan untuk satu hari menurut perkiraan cuaca adalah 0,2. Berapa kali hujan yang diharapkan terjadi pada bulan tersebut.

  Peluang bola lampu akan rusak dalam sebuah peti lampu adalah 5. 0,11. Berapa banyak lampu yang akan rusak dalam peti tersebut jika terdapat 205 bola lampu?

  Dua buah dadu dilambungkan 120 kali. Berapa frekuensi harapan 6. munculnya mata dadu yang kembar (mata dadu sama).

  Menentukan Peluang Komplemen Suatu Kejadian Ringkasan Materi

  Dalam sebuah kantong terdapat 15 baterai, terdapat 5 buah baterai

  ) = 1

  Dari setumpuk bola dalam karton yang diberi nomor 1 sampai dengan 20, diambil dua bola secara acak. Berapakah peluang mendapatkan bola yang nomornya berjumlah lebih dari 5? 4.

  2. Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah, dan 8 kelereng putih, jika diambil 2 kelereng secara acak berapakah peluang mendapatkan sedikitnya satu kelereng putih? 3.

  Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bukan kembar.

  Soal Latihan 1.

  ) = 1

  c

  Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu berwarna merah. n(Merah) = n(B) = 26 (ada 26 berwarna merah) Banyaknya ruang sampel n(S) =52 Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = = Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(B

  c

  Contoh: 1.

  Banyaknya ruang sampel n(S) =52 Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Ace. n(Ace) = n(A) = 4 Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13 Maka peluang bukan Ace, P(A

  Jawab: 1.

  Bukan kartu Ace 2. Bukan kartu berwarna merah

  ÎS 1. Dari seperangkat kartu Bridge, diambil secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya 1.

  c

  = {1,3,5} ,karena A dan A

  c

  Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian bukan A Jawab: Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6 Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3 Kejadian Bukan A adalah A

• – 1/13 = 12/13 1.
• – =

Tidak ada yang rusak? 1. Hanya sebuah yang rusak? 2. Sekurang-kurangnya sebuah yang rusak? 3. Dalam suatu kelas terdapat 6 siswa gemar belajar Fisika, 5 siswa 5. gemar belajar Kimia, dan 4 siswa gemar belajar matematika. Jika dipanggil 3 orang siswa oleh gurunya untuk datang ke Ruang guru, Berapa peluang tidak terpanggilnya siswa yang gemar belajar Fisika?

  Dalam sebuah dos terdapat 3 kaleng Coca-cola, 4 kaleng Sprite dan 4 6. kaleng Fanta. Akan diambil 3 kaleng secara acak. Berapa peluang terambil maksimal dua jenis kaleng dari ketiga jenis kaleng tersebut?.

  Statistika

Statistika

  

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,

mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan

data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data.

Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan

'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan

dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil

penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data,

statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan

data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar

statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika

antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

  

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu

alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk

sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri.

Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam

  

dikenal. Aplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah

prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum

pemilihan umum), serta jajak cepat (perhitungan cepat hasil pemilu)

atau quick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan

dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

  Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis

lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis

biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh

berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Sumbu

• -X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y

  menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu.

  Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY,

  selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan

  dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik

  garis.

  Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan

gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran

menunjukkan bagianbagian atau persen dari keseluruhan. Untuk

membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya

persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut

pusat sektor lingkaran.

  Diagram Batang

  

Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan

perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu.

Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan

batangbatang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-

batang terpisah.

Contoh soal-X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu

Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu.

Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY,

selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan

dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik

garis.

  Grafik atau Diagram.

  1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3

disajikan dalam tabel di samping. Penyajian data pada Tabel 1.1

dinamakan penyajian data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat

menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang.

Berapa orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling

banyak diperoleh siswa? Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu

disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel

frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 1.2. Tabel 1.2 dinamakan

Tabel Distribusi Frekuensi.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

  

Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah

gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari

tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih

memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat

memberikan gambaran yang lebih detail.

  a. Diagram Batang

Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit

(data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik

dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang

cartesius. Ada dua jenis diagram batang, yaitu 1) diagram batang vertikal, dan 2) diagram batang horizontal.

  b. Diagram Garis

Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau

pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis.

Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang m

keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya,

jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap

bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.Seperti halnya diagram batang,

diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan

sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu

mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat

Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah

  

1) Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu

mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data

pengamatan.

2) Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada

waktu t.

3) Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik koordinat tersebut dengan garis lurus.

c. Diagram Lingkaran

  

Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan,

suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran.

Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk

lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran. Langkah-

langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut.

  1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.

  

2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk

menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat.

  

3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif,

Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive a. Tabel Distribusi Frekuensi

Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel

distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun

dalam kelas-kelas tertentu. Langkah-langkah penyusunan tabel

distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

• • Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus

  "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak

  kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan.

• • Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan

• • Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus

  merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar

  adalah batas atas interval kelas terakhir. • Langkah ke-5 memasukkan

  data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi

  setiap kelas den gan sistem turus. • Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan banyak turus.

  b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif

Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi

bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah

dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak

data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah

  

20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas

ini adalah Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.

Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang

dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya. Ada dua macam

frekuensi kumulatif, yaitu

1) frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap

tepi atas kelas)

2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi

bawah kelas).

  c. Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya

seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk

pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi

kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah

kelas yang dapat ditulis sebagai berikut.

Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah

setiap puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar

  d. Ogive (Ogif)

Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau

frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk

populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang

menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus,

yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.

  a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.

  b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif. simpangan, dan ragam

  1. Rumus Rataan Hitung (Mean) Rata-rata hitung dihitung dengan cara membagi jumlah nilai data dengan banyaknya data. Rata-rata hitung bisa juga disebut mean.

  a) Rumus Rataan Hitung dari Data Tunggal

  b) Rumus Rataan Hitung Untuk Data yang Disajikan Dalam Distribusi Frekuensi Dengan : fixi = frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian xi = data ke-i

  2. Rumus Modus

  a. Data yang belum dikelompokkan

Modus dari data yang belum dikelompokkan adalah ukuran yang memiliki frekuensi

tertinggi. Modus dilambangkan mo.

  b. Data yang telah dikelompokkan Rumus Modus dari data yang telah dikelompokkan dihitung dengan rumus: Dengan : Mo = Modus L = Tepi bawah kelas yang memiliki frekuensi tertinggi (kelas modus) i = Interval kelas

b1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya

b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sesudahnya

  3. Rumus Median (Nilai Tengah)

  a) Data yang belum dikelompokkan

Untuk mencari median, data harus dikelompokan terlebih dahulu dari yang terkecil

sampai yang terbesar.

  Dengan : Qj = Kuartil ke-j j = 1, 2, 3 i = Interval kelas Lj = Tepi bawah kelas Qj fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas Qj f = Frekuensi kelas Qj n = Banyak data

  4. Rumus Jangkauan ( J )

Selisih antara nilai data terbesar dengan nilai data terkecil.

  5. Rumus Simpangan Quartil (Qd)

  6. Rumus Simpangan baku ( S )

  7. Rumus Simpangan rata

• – rata (SR)

  8. Rumus Ragam (R)

  Uji Kompetensi 1 A.pilihlah jawaban yang tepat

  1.Suatu data dimasukkan ke dalam kelas interval 2,3- 3,1.Tepi atas kelas interval tersebut………..

  a. 2,25

  b. 2,3

  c. 2,35 d.3,05

  e. 3,15

  2.Titik tengah kelas interval 6.5- 7.2 adalah………………

  a. 6,45

  b. 6,65

  c. 6,8

  d. 6,85

  e. 7,25

  3.Diagram lingkaran berikut menunjukkan mata pelajaran yang disukai di kelas XA yang berjumlah 36 siswa.

  Symbol yang digunakan adalah M untuk matematika(90 ),F untuk fisika(20 ),B untuk biologi(…),K untuk kimia(80 ),I untuk bahasa Indonesia(100 ).Banyak siswa yang menyukai mata pelajaran biologi ………oreang a.

  6 b.

  7 c.

  9 d.

  11 e.

  12

  MATERI MATEMATIKA KELAS 9 SMP/MTSn

  Bab 6 : Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Barisan Aritmatika (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...

  (2) 30, 25, 20, 15, 10,... Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.

  Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil. Suatu barisan U

  1 , U 2 , U 3 ,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang

  berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l). 3, 7, 11, 15, 19, ... Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka U

  1 = 3 =+ 4 (0)

  2 U = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

  U

  3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2) ....

  U n = 3 + 4(n-1) Secara umum, jika suku pertama (U

  1 ) = a dan beda suku yang berurutan adalah b

  maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan _n

   U = a + b(n-1)

  Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

  1

  2 3 n-1 n

  U , U , U , .......U , U disebut barisan aritmatika, jika

  2

  1

  3 2 n n-1

  U - U = U - U = .... = U - U = konstanta

  Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n Deret Aritmatika

  Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku- suku pada sebuah barisan. Jika U

  1 , U 2 , U 3 , ... barisan aritmetika. U 1, U 2 , U 3 , ...

  adalah deret aritmetika.

  3 +7 + 1l + 15 + 19 + ... Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S n maka S dari deret di atas adalah : Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus

  b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

SOAL LATIHAN

  1. Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh! Penyelesaian :

• ) y
• – x = 36 → y = 36 + x → 5x = 36 + x
• ) y= 5x 4x = 36

  → x = 9 → y = 45 U

  5 = 9 → a + 4b = 9

  U

  2 = 45 → a + b = 45 -

  3b = -36 b = – 12 U

  10 = a + 9b

  a = 57 = 57

• – 108 = – 51

  2. Misalkan a

  1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah

  75. Jika a

  2 = 8 maka tentukan a 6 !

  a

  1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 75 a 2 = 8

  a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75 a + b = 8 6a + 15b = 75 a = 8 – b 2a + 5b = 25 2(8

• – b) + 5b = 25 16 + 3b = 25

  6 = a + 5b = 5 + 15 = 20

  → b = 3 → a = 5 → a 3.

  1

• – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ? = 1 –3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197 =

  1 –3+ 12 –9+ 24 – 15+ 36 – 21+….. – 189 + 384 – 195 + 197 1 197 + ( +

• =

  12 +

  24 36 + … + 384 ) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

  4. Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut : kelompok 1 : {1}, kelompok 2 : {3,5}, kelompok 3 : {7,9,11}, kelompok 4

  : {13,15,17,19}, … dst maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

  2

  kelompok 1 : {1} = 1

• – 0

  2

  kelompok 2 : {3,5} = 2 – 1

  2

  kelompok 3 : {7,9,11} = 3 – 2

  

2

  kelompok 4 : {13,15,17,19} = 4

• – 3 . .

  2 Kelompok 100 : = 100 – 99 = 10.000 – 99 = 9.901

  5. Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut ! Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16 (a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

  2

  a = (a + 9)(a – 6)

  2

  2

  a = a + 3a – 54 3a = 54

  → a = 18 Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54

  6. Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah

• – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama ! S

  10 = 5(2a + 9b) U 11 + U 12 = 2 2a + 9b = – 22

• – 110 = 5(2a + 9b) a + 10b + a+ 11b =2 2a + 21b = 2 -
• – 22 = 2a + 9b 2a + 21b = 2 12b = 24 b =2

  → a = – 20 sehingga a + a + b =

• – 40 + 2 = – 38

  7. Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

  2

  3

  4

  5

  a.ar.ar .ar .ar = 4 karena c merupakan suku ke- 3 maka

  5

  10

  5

  2

  a .r = 4 c = ar = 4

  2

  5

  5

  (ar ) = 4

  2

  ar = 4

  8. Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y ! y : x = x : 3 18 – y = y – x

  2

  x = 3y 2y = 18 + x → y = (18 + x)/2

  2

  x = 3(18 + x)/2

  2

  2x = 3(18 + x) sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

  2

  2x

• – 3x – 54 =0 (2x + 9)(x
• – 6) = 0 x = 6

  → y = 12

  9. Diketahui p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar adalah 12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut ! r