Kestabilan Sistem Produksi Sel Dengan Umpan Balik

GIM9.r
aoc
b&?

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL
DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGQR
2001

RINGKASAN
AIH SALIMAH. Keslabilaii Sisle~nProduksi Sel dengan Unlpan Balik (Tlie Stnbili(v ofcells Prod~rction
Svste~lrsivilli Feedback). Dibinibing oleh ALI KUSNANTO dan TONI BAKHTIAR.
Sisteni sel dalain tubu11 makhluk hidup bersel banyak senantiasa berproduksi secara konlinu untuk
lllelllpertahankan popula~inya,terntanla pada saal terjadi gangguan yang dapat bempa seralyon sualu
penyakit atau mengalami kecelakaan. Pada saat itu sistem sel akan lnelakukan upaya penyembuhan secara

alami atau dengan diberi pengamh (umpan balik) dari luar.
Sisleli~prodilksi sel dirnodelkan sebagai berikut:
N = a(t)N[l-d(t)/
R = -pR +n(t)d(riN.
Model lersebut menpatakan laju pernballan banyaknya sel asal (M dan laju pembahan banyaknya sel
lilatang (R) dalan~sistem. dengall a(1) adalal~tingkat keluaran sel asal, d(t) adalal~peluang sel asal
mengalami proses peinatangan. dan P adalah tingkat keluaran sel matang.
Dalani tulisan ini diballas tiga variasi model sistenl produksi sel di atas yalig nienggan~barka~~
keterlibalan unlpan balik yang berbeda di dalan~nya.Dengan melakukan analisis kenabilan pada niodel
yang terbenluk, dapat dilillat tingkah laku sistem sel ketika terjadi gangyan dengan atau tanpa melibackan
umpan balik lertentu.
Dari analisis yang dilakukan, dapal dituliskan balnva dengan keterlibatan umpan balik jangka pendek
sistem akan nlanlpu bertallan bila terjadi gangguan. Begitu jnga dengan keterlibatan umpan balik jangka
panjang yang dapat membantu mempertahankan keberadaan sistem pada kondisi lertenlu. Sedangka~l
tanpa keterlibalan umpan balik, sisteln tidak niainpu mempertal~ankankeberadaannya.

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL
DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

Skripsi
sebagai salall satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Program Studi Maten~atika

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2001

Judul
Nama
NRP

: Kestabilan Sistem Produksi Sel dengan Umpan Bdik
: Aih Salimah
: GO5496015

Me~lyelujui,

Pe~uibi~~ibing
I

Tanggal Lulus: 19 April 2001

Pembimbing I1

Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 7 Febmari 1978 sebagai anak keelnpat dari enam
bersaudara, ayah bernama Adin Adnludin dan ibu bernama Hoiriyah.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar pada tahun 1990 di SD Negeri Bojongsari. sekolah
lanjutan tingkat pertanla tallun 1993 di SMF' Negeri Sukaresmi, dan sekolah lanjutan tingkat atas taliu~l
1996 di SMA Negeri Cipanas.
Tahun 1996 pennlis lulus seleksi ~uasukIPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di
jumsan matematika, Fakultas Matenlatika dan Ilmu Pengetahuan Alan1

PRAKATA
Puji d a ~syukur

i
penulis panjatkan kepada Allah SWT alas segala karunia-Nya sehingga karya ilniial~
ini dapal diselesaikan. Karya itmiall ini ~nerupakanl~asilstudi pustaka dengall judul Kestabilan Sisle~n
Produksi Sel dengao Un~panBalik.
Terima kasili penulis sa~npaikankepada berbagai pillak yang telah ~nelnbanlupenyelesaian kana
ilmiah ini, alilara lain Bapak Drs. Ali Kusnanlo M.Si. dan Bapak Ir. Toni Bakl~liarM.Sc. selaku
penulis liingga karya il~iiial~
ini selesai.
pelnbimbing I dan pe~nbiinbingI1 yang dengan sabar llle~nbi~libing
Di sali~pil~g
ilu lerinla kasilljnga disalnpaikan kepada ibu, kakak dan seluruh keluarga alas segala doa d;ln
kasih saylngnya. serla kepada rekan-rekan ~liaten~atika
33, leman-teman di BZ. dan senula pil~akgang
telah i ~ l e ~ i b a ~diet lua ~penyelesaian
i~
karya iliniah ini.
Senloga karya ilniiah ini dapat bennanfaat.
Bogor. April LOO1
Aih Soli111nl7

DAFTAR GAMBAR

1.

Struktur model sistem produksi sel

Halaman
4

2 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model I ...................................................................

7

3 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model 2 ....................................................................

8

4 . Bentuk kestabilan titik tetap pada model 3 untuk kasus $ ( N o )2PR .......................................

9

DAPTAR IS1

PENDAHULUAN
Latar Belakang ......................................................................................................
Tujuan Peuulisan .....................................................................................................

1
1

TINJAUAN PUSTAKA
Sisle~nPersa~naanDiferensial Mandi
Definisi Tilik Teta
Bidang Fas
Pelinearan.. .........................................................................................................
Analisis Kestabilan Titik Teta
'

MODEL SISTEM PRODUKSI SEL
Asun~sidan Notasi.. ...............................................................................................

Pcnp~sunanModcl ................................................................................................

.4
..4

PEMBAHASAN
Model 1..............................................................................................................
Model 2.. ..............................................................................................................
Model

.6
7

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................

10

PENDAHULUAN
berkurangnya jumlah sel matang pada sistein
tersebut. Dalam tulisan ini akan dipelajari dua

Di dalaln tubul~mahluk hidup bersel banyak macam umpan balik, yaitu:
terdapat bejuta-juta set yang mempunyai pennan 1. Umpan balik jangka panjang, yakni sistem sel
tertentu. Scl-sel tersebut senantiasa n~elakukan
bempaya menyelidiki gangyan pada sel
peinban~an populasinya secara kontinu. Untuk
matang serla menycsuaikan tingkat produksi
selanjutnya kita nlenyebut proses ini sebagai sistem
sel asal dan sel prekursor. Dengan kata lain,
produksi sel.
sistein sel mengatur keberadaan ketiga
Dalam kehidupan sel, ada subpopulasi sel
subpopulasinya.
tcrbanyak yang mcrupakan sel primitif dan disebut 2. Umpan balik jangka pendek, yakni siste~lisel
sel asal (stel?! cell). Sel ini selalu memnbelah untuk
akan menghentikan atau il~enun~nkan
produksi
mcnghasilkan sel asal bam clan sel prekursor
sel prekursor bila banyaknya sel asal menurun.
@recl~rsor ceN). Setelah mencapai tingkat
Dala~n ha1 ini siste~li sel hanya mengatur

kede~vasaantertentu, sel prekursor akan menjadi
banyaknya sel asal dan sel prekursor taupa
sel matang (nmfzire cell) yang tidak mempunyai
memperllatikan keberadaan sel matang.
kemanipuan untuk membelah lagi (Kiinme1,1986).
Dengan memnperl~atikankedua umpan balik di
Sel matang akan metaksanakan peranannya dalam atas, dapat dibentuk model matemalika dari sistem
kehidupan organisme sampai sel tersebut inati dan produksi sel, di niana setiap variasi model
kcluar dari tubuh organisme.
inenggambarkan unipan balik apa yang dilibalkan
Pada setiap
keadaan sistem sel selalu dalam sistem. Dengan model tersebut dapat
meinpertahaukan jumlall sel matangnya, termasuk dilakukan analisis untuk melil~at tingkal~ laku
saat terjadi gangguan. Gangguan di sini dapat sistem saat terjadi gangguan dan melil~atpengamh
berupa serangan suatu penyakit atau kecelakaan ulllpan balik terl~adapperilaku sistem, yaitu dapat
yaiig akan nleiuaksa sistem sel untuk melakukaii lnelil~at kestabilan yang terjadi ketika sistem
upaya-upaya denii menjaga kelangsungan ~uelibalkanumpan balikjangka pendek atau ulnpan
hidupnya. Mempelajari upaya tersebut berarti kita balik jangka panjang.
i~~cmpelajari
urnpan balik (feedback) pada sistein

sel, karena urnpan balik adalah suatu pengamli
Tujuan Penulisan
yang diberikan pada s i s t e i ~sel
~ agar tejadi proses
produksi atau penye~llbulian yang dil~arapkan
Tujuan penulisan karya ilinial~iui adalah:
untuk mcujaga kelestariannya. Proses pengobatan 1. Mempelajari model sistem produksi sel.
atau penibcrian e n z i i ~terlentu
~
rnempakan contoll 2. Menentukan kestabilan sistem.
uinpan balik yang diberikan dari luar. Dalam 3. Mempelajari pengamll umpan balik terhadap
peilibei~lukan model, didefinisikan bahwa
kestabilan sistem.
gnugguan pada sistem sel dianggap sebagai

TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensiat Mandiri

(aufo17omous) kareua tidak memuat t secara
eksplisil di dalam~iya.

[~~erl~mlst,
19901

Pandang sistern persamaan diferensial (SPD)
berikut:
f = f (s,y )
(2.1.1)
2.1 Dcfinisi Titik Tetap
f adalab fungsi konlinu bernilai real dari x dail y,
dan mempunyai turuilan parsial kontinu. SPD
Diberikall SPD lak lillier
(2.2.1)
(2.1.1) discbut persaillaan diferensial i i ~ a ~ ~ d i r i x=flx): R+rC
adalah bilangan real bcrdillicnsi 11.
deugau

Suatu titik x yang ~ne~nenulliXx)=O disebut
titik kritis atau titik tetap. Sedangkan senlua titik
lain yang bukan n~erupakantitik tetap disebut titik
biasa.
[Verllulst, 19901
Scllingga SPD (2.5.1) dapat ditulis dalan~bentuk:
Bidang Fase

t

Diberikan SPD berikut:

Solusi SPD (2.4.1) ~nen~bentuksuatu kuwa
berdilnensi tiga ( t , x, y ) . Akan tetapi karena
secara eksplisit t tidak ada dala~nsistem tersebut,
maka setiap solusi sistenl (2.4.1) untuk to < t < t ,
membentuk suatu kuwa di bidang (x,y). Jelasnya,
jika I bergerak dari to ke tl, gugus titik-titik
( x ( l ) , y ( t ) ) membentuk suatu kurva di bidang
(x,y), kunla ini disebut orbit (trajectory) dan
bidang ( x a ) disebut bidang fase dari solusi
tersebut.
[Hasibuan, 19861
Pelinearan
Anggap SPD berikut tak linear :

Atau dapat dituliskan sebagai:

Dew.

z

.[

:I

x-x

Y -Y
Karena suku g(2) pada sisteln (2.5.2) sangat kecil
dibandingkan suku linear J Z di sekitar titik tetap,
nlaka sislen~ (2.5.2) dapat dianggap sebagai
llan~piranyang ruemenuhi siste~ntak linear (2.5.1).
[Rindengan, 19991
Malriks J untuk sistenl (2.5.2) ~nerupakan
matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ( 2 , F )
dan didelinisikan sebagai:
J = ~f(?) = ~f(x)
;,,I

Fungsi fdan g ~nelnpunyaiturunan parsial kontinu
di 521.
Berikut ini akan dilakukan pelinearan terhadap
SPD (2.5.1). Perhatikan unian Taylor di sekitar
titik tetap ( ? , j ) berikut:

+- T(?,3)

(y-,$) + T, ( x ,y ) ,

ay

Bentuk 2 = J Z disebut pelinearan dari
persamaan (2.5.1). Unluk SPD tak linear dua
dimensi, J adalah ~nalriksberordo 2s2. Nilai eigen
dari J diperoleh dengan lnenyelesaikan persalnaan
karakteristik
(2.5.3)
c(1) = d e l ( ~
- hl) = 0 .
Misalkan J adalah lmlatriks segi berordo 2x2
dengan elemen-elcmennya sbb:

-

Dengan

rli ( x .Y )
(..v)->(.C..C) ( ( x - ?) J
(, -

lim

+

=o

untuk i= 1,2.
Karena f (?,,$) dan g(?, ,$) mnerupakan tilik tetap
SPD (2.5.1), ~uakaberlaku:

-

J lne~nenullipersamaan:
(2.5.4)

Aualisis Kestabilan Titik Tetal:
Nilai eigen pang diperolel~ dari persalnaan
(2.5.4) lergantung dari nilai T~ 4 6 .
Kasus 1.z2 -46 >O
Nilai eigeli yang diperoleh adalah real dan berbeda
XI # 12, sehingga solusi umumX(t) me~~ienul~i
x(!)=c I ~ ~ , e+h "~ ~ 1 ~ ~ e ~ l(2.6.1)
~
dengan CI dan cz serta vl dan v2 adalah konstanta
serta veklor eigen gang bersesuaian de~igan
masing-masing nilai eigennya. Kestabilan titik
letap rncmpu~~yai
tiga sifat. yaitu:
1. Nilai eigen negaliC (hl0). Dengan
=ri.+y~
(2.6.5)
~nenggunakan persalllaan (2.6.1) diperoleh
Dengan
~nensubstitusikan
persaniaan
(2.6.3)
ke
lim X(t) = w , sel~ingga ritik tetap bcrsifat
I-*m
dalamnya, diperolel~
lidak st;~bil.
ri.=a(x 2 + y 2 ) = o r 2
3. Nilai eigen berbeda tanda (hl~,
h(m)=O, h' (R)O.
R = -pR(I) + Aa(t)d(t)N(t)
g(O)=l,g(m)=O, g' (N)0
dan -p+1/2Ar2h'(R2)c 0 .
1) ~ n t u N
k =0
Sellingga dapat dituliskan bal~watanda dari elemen
NI?(R)(I- 2 g ( ~ )=)0
J adalah:
~t~atriks
Nl7(R)=O atau (1-2g(R))=O.
NI
= 0 atau ~ ~ = g " ( l l 2 ) .
J=[+
- O]
2 ) Dan u n t u k ~= 0
mengakibalkan :
-pH + h(R)g(R)N= 0
z CO dan 6 >0.
dengan mensubstitusikan N = 0 diperoleh R = 0.
Dengan t~iengynakan persalnaan (2.5.41, akau
Sedangkan untuk R2 = g"(112) diperoleli
dihasilkan XICO dan h2 0
-P+I~(Rz)gs(R,)Nz< 0
dan
/1(R2)/2 > 0.
Sellingga tanda dari elemen inatriks Jadalah:

tersebut adalal~ N2, dan Nz2, dengan
N2 12pR. (Gunbar dibual denpan menggunakan
hcbif, dengall fingsi d(t)=dR dan a(t)=c". seita paranictcr

P=O,l).

GIM9.r
aoc
b&?

KESTABILAN SISTEM PRODUKSI SEL
DENGAN UMPAN BALIK

AIH SALIMAH

JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGQR
2001

PENDAHULUAN
berkurangnya jumlah sel matang pada sistein
tersebut. Dalam tulisan ini akan dipelajari dua
Di dalaln tubul~mahluk hidup bersel banyak macam umpan balik, yaitu:
terdapat bejuta-juta set yang mempunyai pennan 1. Umpan balik jangka panjang, yakni sistem sel
tertentu. Scl-sel tersebut senantiasa n~elakukan
bempaya menyelidiki gangyan pada sel
peinban~an populasinya secara kontinu. Untuk
matang serla menycsuaikan tingkat produksi
selanjutnya kita nlenyebut proses ini sebagai sistem
sel asal dan sel prekursor. Dengan kata lain,
produksi sel.
sistein sel mengatur keberadaan ketiga
Dalam kehidupan sel, ada subpopulasi sel
subpopulasinya.
tcrbanyak yang mcrupakan sel primitif dan disebut 2. Umpan balik jangka pendek, yakni siste~lisel
sel asal (stel?! cell). Sel ini selalu memnbelah untuk
akan menghentikan atau il~enun~nkan
produksi
mcnghasilkan sel asal bam clan sel prekursor
sel prekursor bila banyaknya sel asal menurun.
@recl~rsor ceN). Setelah mencapai tingkat
Dala~n ha1 ini siste~li sel hanya mengatur
kede~vasaantertentu, sel prekursor akan menjadi
banyaknya sel asal dan sel prekursor taupa
sel matang (nmfzire cell) yang tidak mempunyai
memperllatikan keberadaan sel matang.
kemanipuan untuk membelah lagi (Kiinme1,1986).
Dengan memnperl~atikankedua umpan balik di
Sel matang akan metaksanakan peranannya dalam atas, dapat dibentuk model matemalika dari sistem
kehidupan organisme sampai sel tersebut inati dan produksi sel, di niana setiap variasi model
kcluar dari tubuh organisme.
inenggambarkan unipan balik apa yang dilibalkan
Pada setiap
keadaan sistem sel selalu dalam sistem. Dengan model tersebut dapat
meinpertahaukan jumlall sel matangnya, termasuk dilakukan analisis untuk melil~at tingkal~ laku
saat terjadi gangguan. Gangguan di sini dapat sistem saat terjadi gangguan dan melil~atpengamh
berupa serangan suatu penyakit atau kecelakaan ulllpan balik terl~adapperilaku sistem, yaitu dapat
yaiig akan nleiuaksa sistem sel untuk melakukaii lnelil~at kestabilan yang terjadi ketika sistem
upaya-upaya denii menjaga kelangsungan ~uelibalkanumpan balikjangka pendek atau ulnpan
hidupnya. Mempelajari upaya tersebut berarti kita balik jangka panjang.
i~~cmpelajari
urnpan balik (feedback) pada sistein
sel, karena urnpan balik adalah suatu pengamli
Tujuan Penulisan
yang diberikan pada s i s t e i ~sel
~ agar tejadi proses
produksi atau penye~llbulian yang dil~arapkan
Tujuan penulisan karya ilinial~iui adalah:
untuk mcujaga kelestariannya. Proses pengobatan 1. Mempelajari model sistem produksi sel.
atau penibcrian e n z i i ~terlentu
~
rnempakan contoll 2. Menentukan kestabilan sistem.
uinpan balik yang diberikan dari luar. Dalam 3. Mempelajari pengamll umpan balik terhadap
peilibei~lukan model, didefinisikan bahwa
kestabilan sistem.
gnugguan pada sistem sel dianggap sebagai

TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensiat Mandiri

(aufo17omous) kareua tidak memuat t secara
eksplisil di dalam~iya.
[~~erl~mlst,
19901

Pandang sistern persamaan diferensial (SPD)
berikut:
f = f (s,y )
(2.1.1)
2.1 Dcfinisi Titik Tetap
f adalab fungsi konlinu bernilai real dari x dail y,
dan mempunyai turuilan parsial kontinu. SPD
Diberikall SPD lak lillier
(2.2.1)
(2.1.1) discbut persaillaan diferensial i i ~ a ~ ~ d i r i x=flx): R+rC
adalah bilangan real bcrdillicnsi 11.
deugau

PENDAHULUAN
berkurangnya jumlah sel matang pada sistein
tersebut. Dalam tulisan ini akan dipelajari dua
Di dalaln tubul~mahluk hidup bersel banyak macam umpan balik, yaitu:
terdapat bejuta-juta set yang mempunyai pennan 1. Umpan balik jangka panjang, yakni sistem sel
tertentu. Scl-sel tersebut senantiasa n~elakukan
bempaya menyelidiki gangyan pada sel
peinban~an populasinya secara kontinu. Untuk
matang serla menycsuaikan tingkat produksi
selanjutnya kita nlenyebut proses ini sebagai sistem
sel asal dan sel prekursor. Dengan kata lain,
produksi sel.
sistein sel mengatur keberadaan ketiga
Dalam kehidupan sel, ada subpopulasi sel
subpopulasinya.
tcrbanyak yang mcrupakan sel primitif dan disebut 2. Umpan balik jangka pendek, yakni siste~lisel
sel asal (stel?! cell). Sel ini selalu memnbelah untuk
akan menghentikan atau il~enun~nkan
produksi
mcnghasilkan sel asal bam clan sel prekursor
sel prekursor bila banyaknya sel asal menurun.
@recl~rsor ceN). Setelah mencapai tingkat
Dala~n ha1 ini siste~li sel hanya mengatur
kede~vasaantertentu, sel prekursor akan menjadi
banyaknya sel asal dan sel prekursor taupa
sel matang (nmfzire cell) yang tidak mempunyai
memperllatikan keberadaan sel matang.
kemanipuan untuk membelah lagi (Kiinme1,1986).
Dengan memnperl~atikankedua umpan balik di
Sel matang akan metaksanakan peranannya dalam atas, dapat dibentuk model matemalika dari sistem
kehidupan organisme sampai sel tersebut inati dan produksi sel, di niana setiap variasi model
kcluar dari tubuh organisme.
inenggambarkan unipan balik apa yang dilibalkan
Pada setiap
keadaan sistem sel selalu dalam sistem. Dengan model tersebut dapat
meinpertahaukan jumlall sel matangnya, termasuk dilakukan analisis untuk melil~at tingkal~ laku
saat terjadi gangguan. Gangguan di sini dapat sistem saat terjadi gangguan dan melil~atpengamh
berupa serangan suatu penyakit atau kecelakaan ulllpan balik terl~adapperilaku sistem, yaitu dapat
yaiig akan nleiuaksa sistem sel untuk melakukaii lnelil~at kestabilan yang terjadi ketika sistem
upaya-upaya denii menjaga kelangsungan ~uelibalkanumpan balikjangka pendek atau ulnpan
hidupnya. Mempelajari upaya tersebut berarti kita balik jangka panjang.
i~~cmpelajari
urnpan balik (feedback) pada sistein
sel, karena urnpan balik adalah suatu pengamli
Tujuan Penulisan
yang diberikan pada s i s t e i ~sel
~ agar tejadi proses
produksi atau penye~llbulian yang dil~arapkan
Tujuan penulisan karya ilinial~iui adalah:
untuk mcujaga kelestariannya. Proses pengobatan 1. Mempelajari model sistem produksi sel.
atau penibcrian e n z i i ~terlentu
~
rnempakan contoll 2. Menentukan kestabilan sistem.
uinpan balik yang diberikan dari luar. Dalam 3. Mempelajari pengamll umpan balik terhadap
peilibei~lukan model, didefinisikan bahwa
kestabilan sistem.
gnugguan pada sistem sel dianggap sebagai

TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensiat Mandiri

(aufo17omous) kareua tidak memuat t secara
eksplisil di dalam~iya.
[~~erl~mlst,
19901

Pandang sistern persamaan diferensial (SPD)
berikut:
f = f (s,y )
(2.1.1)
2.1 Dcfinisi Titik Tetap
f adalab fungsi konlinu bernilai real dari x dail y,
dan mempunyai turuilan parsial kontinu. SPD
Diberikall SPD lak lillier
(2.2.1)
(2.1.1) discbut persaillaan diferensial i i ~ a ~ ~ d i r i x=flx): R+rC
adalah bilangan real bcrdillicnsi 11.
deugau

Suatu titik x yang ~ne~nenulliXx)=O disebut
titik kritis atau titik tetap. Sedangkan senlua titik
lain yang bukan n~erupakantitik tetap disebut titik
biasa.
[Verllulst, 19901
Scllingga SPD (2.5.1) dapat ditulis dalan~bentuk:
Bidang Fase

t

Diberikan SPD berikut:

Solusi SPD (2.4.1) ~nen~bentuksuatu kuwa
berdilnensi tiga ( t , x, y ) . Akan tetapi karena
secara eksplisit t tidak ada dala~nsistem tersebut,
maka setiap solusi sistenl (2.4.1) untuk to < t < t ,
membentuk suatu kuwa di bidang (x,y). Jelasnya,
jika I bergerak dari to ke tl, gugus titik-titik
( x ( l ) , y ( t ) ) membentuk suatu kurva di bidang
(x,y), kunla ini disebut orbit (trajectory) dan
bidang ( x a ) disebut bidang fase dari solusi
tersebut.
[Hasibuan, 19861
Pelinearan
Anggap SPD berikut tak linear :

Atau dapat dituliskan sebagai:

Dew.

z

.[

:I

x-x

Y -Y
Karena suku g(2) pada sisteln (2.5.2) sangat kecil
dibandingkan suku linear J Z di sekitar titik tetap,
nlaka sislen~ (2.5.2) dapat dianggap sebagai
llan~piranyang ruemenuhi siste~ntak linear (2.5.1).
[Rindengan, 19991
Malriks J untuk sistenl (2.5.2) ~nerupakan
matriks Jacobi yang dievaluasi pada titik ( 2 , F )
dan didelinisikan sebagai:
J = ~f(?) = ~f(x)
;,,I

Fungsi fdan g ~nelnpunyaiturunan parsial kontinu
di 521.
Berikut ini akan dilakukan pelinearan terhadap
SPD (2.5.1). Perhatikan unian Taylor di sekitar
titik tetap ( ? , j ) berikut:

+- T(?,3)

(y-,$) + T, ( x ,y ) ,

ay

Bentuk 2 = J Z disebut pelinearan dari
persamaan (2.5.1). Unluk SPD tak linear dua
dimensi, J adalah ~nalriksberordo 2s2. Nilai eigen
dari J diperoleh dengan lnenyelesaikan persalnaan
karakteristik
(2.5.3)
c(1) = d e l ( ~
- hl) = 0 .
Misalkan J adalah lmlatriks segi berordo 2x2
dengan elemen-elcmennya sbb:

-

Dengan

rli ( x .Y )
(..v)->(.C..C) ( ( x - ?) J
(, -

lim

+

=o

untuk i= 1,2.
Karena f (?,,$) dan g(?, ,$) mnerupakan tilik tetap
SPD (2.5.1), ~uakaberlaku:

-

J lne~nenullipersamaan:
(2.5.4)

Aualisis Kestabilan Titik Tetal:
Nilai eigen pang diperolel~ dari persalnaan
(2.5.4) lergantung dari nilai T~ 4 6 .
Kasus 1.z2 -46 >O
Nilai eigeli yang diperoleh adalah real dan berbeda
XI # 12, sehingga solusi umumX(t) me~~ienul~i
x(!)=c I ~ ~ , e+h "~ ~ 1 ~ ~ e ~ l(2.6.1)
~
dengan CI dan cz serta vl dan v2 adalah konstanta
serta veklor eigen gang bersesuaian de~igan
masing-masing nilai eigennya. Kestabilan titik
letap rncmpu~~yai
tiga sifat. yaitu:
1. Nilai eigen negaliC (hl0). Dengan
=ri.+y~
(2.6.5)
~nenggunakan persalllaan (2.6.1) diperoleh
Dengan
~nensubstitusikan
persaniaan
(2.6.3)
ke
lim X(t) = w , sel~ingga ritik tetap bcrsifat
I-*m
dalamnya, diperolel~
lidak st;~bil.
ri.=a(x 2 + y 2 ) = o r 2
3. Nilai eigen berbeda tanda (hl