SYARAT CUKUP UNTUK KONVERGENSI
Sekarang untuk =
− − , jika ruas kanan dari 4.41 dikalikan dengan , = 0, 1,
… , − , maka diperoleh =
, −
+
−1, − −1
+ ⋯ +
0, −
−
+
, − −1
−1
+
−1, − −1 −2
+ ⋯ +
0, − −1
− −1 1
+ ⋯ +
,0
+
−1,0 −1
+ ⋯ +
0,0 0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ + �
−
=
, −
+
−1, −
+
, − −1 1
−1
+ ⋯ +
0, −
+ ⋯ +
, −2
−
+ ⋯ +
0,0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ + �
−
4.46 Gabungkan 4.45 dan 4.46, sehingga diperoleh
+
−1 −
+ ⋯ +
−2 +1 −1
+ ⋯ +
−
=
, −
+
−1, −
+
, − −1 1
−1
+ ⋯ +
0, −
+ ⋯ +
, −2
−
+ ⋯ +
0,0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ + �
−
=
, −
+
−1, −
+
, − −1 1
−1
+ ⋯ +
0, −
+ ⋯ +
, −2
−
+ ⋯ +
0,0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ +
�
−
−
−1 −
+ ⋯ +
−2 +1 −1
+ ⋯ +
−
Ambil nilai mutlak untuk kedua ruas persamaan tersebut, sehingga =
, −
+
−1, −
+
, − −1 1
−1
+ ⋯ +
0, −
+ ⋯ +
, −2
−
+ ⋯ +
0,0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ +
�
−
−
−1 −
+ ⋯ +
−2 +1 −1
+ ⋯ +
− ,
−
+
−1, −
+
, − −1 1
−1
+ ⋯ +
0, −
+ ⋯ +
, −2
−
+ ⋯ +
0,0 −
+ �
−
+ �
− −1 1
+ ⋯ +
�
−
+
−1 −
+ ⋯ +
−2 +1 −1
+ ⋯ +
−
Berdasarkan asumsi dari teorema ini dan dengan mengingat 4.44 yaitu bahwa =
−1
, maka
−1
+ Γ
∗ −1
=0
+ ΓΛ + Γ�
Oleh karena itu, 1 −
−1
Γ
∗ −1
=0
+ ΓΛ+ Γ�
Mengingat definisi dari
∗
dan
∗
, maka pertidaksamaan tersebut dapat ditulis menjadi
Γ
∗ −1
=0
1−
−1
+
ΓΛ 1−
−1
+
Γ� 1−
−1
Γ
∗ ∗ −1
=0
+ Γ
∗
Λ + Γ
∗
� Γ
∗ ∗ −1
=0
+ Γ
∗
Λ + �
∗
+
∗ −1
=0
, = 0,1,
… , 4.47 Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 4.47 benar dengan menggunakan induksi.
Pertama, berdasarkan 4.44, maka +
−1 −1
+ ⋯ +
−
= 1, untuk = 0
0, untuk 0
+
−1 −1
+ ⋯ +
−
+
−1 −1
+ ⋯ +
−
+
−1
+ ⋯ + Γ
Γ Jadi,
A Γ 1. Akibatnya,
∗
Γ � �
�. Sekarang andaikan = 1 untuk 4.47, maka
1 ∗
+
∗ ∗
+
∗
�
∗
1 +
∗
Ketika = 2, maka
2 ∗
+
∗
+
1
∗
+
∗
+
∗ 1
∗
1 +
∗
+
∗ ∗
1 +
∗ ∗
1 +
∗
1 +
∗ ∗
1 +
∗ 2
Oleh karena itu diperoleh bentuk
∗
1 +
∗
, = 0, 1, 2, … , − 1 Andaikan bahwa 4.47 benar untuk
= 0, 1, 2, … , − 1, akan dibuktikan bahwa
4.47 juga berlaku untuk = .
∗
+
∗
+
1
+
2
+ ⋯ +
−1 ∗
+
∗ ∗
+
∗
1 +
∗
+
∗
1 +
∗ 2
+ ⋯ +
∗
1 +
∗ −1
∗
+
∗ ∗
1 + 1 +
∗
+ 1 +
∗ 2
+ ⋯ + 1 +
∗ −1
Dengan menggunakan rumus deret geometri, maka diperoleh
∗
+
∗ ∗ 1+
∗
−1 1+
∗
−1 ∗
+
∗ ∗ 1+
∗
−1
∗
∗
1 +
∗
Berdasarkan Lemma 2.4.1, untuk =
∗
,
∗
1 +
∗
, sehingga
∗
∗
, = 0, 1, 2,
… , Jadi terbuktilah Lemma ini.
Teorema 4.3.1
Suatu metode banyak langkah linear yang konsisten terhadap persamaan diferensial, dimana
diasumsikan memenuhi syarat Lipschits, dan dimulai
dengan nilai awal yang konsisten, stabil nol adalah syarat cukup untuk konvergensi.
Bukti: Didefinisikan
= = max − � + , 0
− 1. Kemudian diberikan nilai awal
= ,
= 0, 1, … , yang diandaikan
konsisten, sehingga lim
→∞
= 0. Akan dibuktikan bahwa lim
→∞
= , =
− untuk semua pada interval
, . Pembuktian ini dimulai dengan menaksirkan
galat pemotongan dari metode banyak langkah linear =
1 1
+
− ′
+ =0
. 4.48 Ketika
′ ∈ ,
, maka untuk � 0 dapat didefinisikan fungsi � � = max
′ ∗
−
′
,
∗
− �, dimana ,
∗
∈ ,
. Untuk
= 0, 1, 2, … , dapat didefinisikan
′ +
=
′
+ � dimana
1. Kemudian dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, ada � ∈ ,
+
sedemikian sehingga
+
= +
′
� maka,
+
= +
′
� =
+ [
′
+ � ], dimana 1.
Selanjutnya, teliti kembali galat pemotongan dari metode banyak langkah linear berikut
=
1 1
+
− ′
+ =0
, = 1.
1 =
−1 +
− ′
+ =0
1 =
−1 +
=0
− ′
+ =0
4.49 dimana,
+ =0
= +
′
+ �
=0
=
=0
+
′ =0
+ �
=0
=
=0
+
′ =0
+
=0
� =
+
2
+ ⋯ + +
′ 1
+ 2
2
+ ⋯ +
+
=0
� dan
′
+ =0
= [
′
+ � ]
=0
=
′ =0
+ �
=0
=
′ =0
+ �
=0
=
′
+
1
+ ⋯ + +
�
=0
Jadi 4.49 dapat ditulis kembali menjadi, 1 =
−1
+
2
+ ⋯ + +
′ 1
+ 2
2
+ ⋯ +
+
=0
� −
′
+
1
+ ⋯ + +
�
=0
1 =
−1
+
2
+ ⋯ + +
1
+ 2
2
+ ⋯ +
− +
1
+ ⋯ +
′
+
=0
� − �
=0
Karena metode banyak langkah linear diandaikan konsisten, maka 1 =
=0
� − �
=0
Kemudian ambil nilai mutlak dari kedua ruas persamaan tersebut, 1 =
=0
� − �
=0 =0
� + �
=0 1
+ 2
2
+ ⋯ + � +
1
+
2
+ ⋯ + �
Maka 1
� 4.50 dimana
=
1
+ 2
2
+ ⋯ + +
1
+
2
+ ⋯ + Jadi galat total
= −
memenuhi
+
+ ⋯ +
0 0
=
+ +
+ ⋯ +
+ 1 dimana
=
, − ,
, ≠ 0
0, = 0
Berdasarkan 4.50, maka
+
+ ⋯ +
0 0
=
+ +
+ ⋯ +
+ �
Karena diasumsikan memenuhi syarat Lipschitz, maka =
, − ,
, − ,
−
, = 0, 1, 2,
….
Terapkan Lemma 4.3.2 dengan � = , Λ = � ,
= −
,
∗
= , dimana
= +
1
+ ⋯ + , maka diperoleh
∗
∗
Γ
∗
Λ + �
Γ
∗ ∗
Γ
∗
− � +
Γ
∗
Γ
∗
− � +
Γ
∗
4.51 dimana
= +
1
+ ⋯ + , Γ
∗
=
Γ 1
−h
k −1
k
L
, = 1.
Karena ′ adalah fungsi yang kontinu pada interval tertutup
, , maka ′
kontinu seragam pada ,
. Jadi ketika → 0, � → 0 dan berdasarkan asumsi,
→ 0, sehingga diperoleh bahwa lim
→∞
= 0 yang ekuivalen dengan
lim
→∞
− = 0 Oleh karena itu, metode tersebut adalah konvergen.
Berdasarkan Teorema 4.2.1, Teorema 4.2.2, dan Teorema 4.3.1, metode banyak langkah linear yang diterapkan terhadap masalah nilai awal dimana
persamaan diferensialnya memenuhi syarat Lipschitz dan dimulai dengan nilai awal yang konsisten adalah konvergen jika dan hanya jika metode tersebut
konsisten dan stabil nol.