SYARAT CUKUP UNTUK KONVERGENSI

Sekarang untuk = − − , jika ruas kanan dari 4.41 dikalikan dengan , = 0, 1, … , − , maka diperoleh = , − + −1, − −1 + ⋯ + 0, − − + , − −1 −1 + −1, − −1 −2 + ⋯ + 0, − −1 − −1 1 + ⋯ + ,0 + −1,0 −1 + ⋯ + 0,0 0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − 4.46 Gabungkan 4.45 dan 4.46, sehingga diperoleh + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − − −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − Ambil nilai mutlak untuk kedua ruas persamaan tersebut, sehingga = , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − − −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − , − + −1, − + , − −1 1 −1 + ⋯ + 0, − + ⋯ + , −2 − + ⋯ + 0,0 − + � − + � − −1 1 + ⋯ + � − + −1 − + ⋯ + −2 +1 −1 + ⋯ + − Berdasarkan asumsi dari teorema ini dan dengan mengingat 4.44 yaitu bahwa = −1 , maka −1 + Γ ∗ −1 =0 + ΓΛ + Γ� Oleh karena itu, 1 − −1 Γ ∗ −1 =0 + ΓΛ+ Γ� Mengingat definisi dari ∗ dan ∗ , maka pertidaksamaan tersebut dapat ditulis menjadi Γ ∗ −1 =0 1− −1 + ΓΛ 1− −1 + Γ� 1− −1 Γ ∗ ∗ −1 =0 + Γ ∗ Λ + Γ ∗ � Γ ∗ ∗ −1 =0 + Γ ∗ Λ + � ∗ + ∗ −1 =0 , = 0,1, … , 4.47 Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 4.47 benar dengan menggunakan induksi. Pertama, berdasarkan 4.44, maka + −1 −1 + ⋯ + − = 1, untuk = 0 0, untuk 0 + −1 −1 + ⋯ + − + −1 −1 + ⋯ + − + −1 + ⋯ + Γ Γ Jadi, A Γ 1. Akibatnya, ∗ Γ � � �. Sekarang andaikan = 1 untuk 4.47, maka 1 ∗ + ∗ ∗ + ∗ � ∗ 1 + ∗ Ketika = 2, maka 2 ∗ + ∗ + 1 ∗ + ∗ + ∗ 1 ∗ 1 + ∗ + ∗ ∗ 1 + ∗ ∗ 1 + ∗ 1 + ∗ ∗ 1 + ∗ 2 Oleh karena itu diperoleh bentuk ∗ 1 + ∗ , = 0, 1, 2, … , − 1 Andaikan bahwa 4.47 benar untuk = 0, 1, 2, … , − 1, akan dibuktikan bahwa 4.47 juga berlaku untuk = . ∗ + ∗ + 1 + 2 + ⋯ + −1 ∗ + ∗ ∗ + ∗ 1 + ∗ + ∗ 1 + ∗ 2 + ⋯ + ∗ 1 + ∗ −1 ∗ + ∗ ∗ 1 + 1 + ∗ + 1 + ∗ 2 + ⋯ + 1 + ∗ −1 Dengan menggunakan rumus deret geometri, maka diperoleh ∗ + ∗ ∗ 1+ ∗ −1 1+ ∗ −1 ∗ + ∗ ∗ 1+ ∗ −1 ∗ ∗ 1 + ∗ Berdasarkan Lemma 2.4.1, untuk = ∗ , ∗ 1 + ∗ , sehingga ∗ ∗ , = 0, 1, 2, … , Jadi terbuktilah Lemma ini. Teorema 4.3.1 Suatu metode banyak langkah linear yang konsisten terhadap persamaan diferensial, dimana diasumsikan memenuhi syarat Lipschits, dan dimulai dengan nilai awal yang konsisten, stabil nol adalah syarat cukup untuk konvergensi. Bukti: Didefinisikan = = max − � + , 0 − 1. Kemudian diberikan nilai awal = , = 0, 1, … , yang diandaikan konsisten, sehingga lim →∞ = 0. Akan dibuktikan bahwa lim →∞ = , = − untuk semua pada interval , . Pembuktian ini dimulai dengan menaksirkan galat pemotongan dari metode banyak langkah linear = 1 1 + − ′ + =0 . 4.48 Ketika ′ ∈ , , maka untuk � 0 dapat didefinisikan fungsi � � = max ′ ∗ − ′ , ∗ − �, dimana , ∗ ∈ , . Untuk = 0, 1, 2, … , dapat didefinisikan ′ + = ′ + � dimana 1. Kemudian dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, ada � ∈ , + sedemikian sehingga + = + ′ � maka, + = + ′ � = + [ ′ + � ], dimana 1. Selanjutnya, teliti kembali galat pemotongan dari metode banyak langkah linear berikut = 1 1 + − ′ + =0 , = 1. 1 = −1 + − ′ + =0 1 = −1 + =0 − ′ + =0 4.49 dimana, + =0 = + ′ + � =0 = =0 + ′ =0 + � =0 = =0 + ′ =0 + =0 � = + 2 + ⋯ + + ′ 1 + 2 2 + ⋯ + + =0 � dan ′ + =0 = [ ′ + � ] =0 = ′ =0 + � =0 = ′ =0 + � =0 = ′ + 1 + ⋯ + + � =0 Jadi 4.49 dapat ditulis kembali menjadi, 1 = −1 + 2 + ⋯ + + ′ 1 + 2 2 + ⋯ + + =0 � − ′ + 1 + ⋯ + + � =0 1 = −1 + 2 + ⋯ + + 1 + 2 2 + ⋯ + − + 1 + ⋯ + ′ + =0 � − � =0 Karena metode banyak langkah linear diandaikan konsisten, maka 1 = =0 � − � =0 Kemudian ambil nilai mutlak dari kedua ruas persamaan tersebut, 1 = =0 � − � =0 =0 � + � =0 1 + 2 2 + ⋯ + � + 1 + 2 + ⋯ + � Maka 1 � 4.50 dimana = 1 + 2 2 + ⋯ + + 1 + 2 + ⋯ + Jadi galat total = − memenuhi + + ⋯ + 0 0 = + + + ⋯ + + 1 dimana = , − , , ≠ 0 0, = 0 Berdasarkan 4.50, maka + + ⋯ + 0 0 = + + + ⋯ + + � Karena diasumsikan memenuhi syarat Lipschitz, maka = , − , , − , − , = 0, 1, 2, …. Terapkan Lemma 4.3.2 dengan � = , Λ = � , = − , ∗ = , dimana = + 1 + ⋯ + , maka diperoleh ∗ ∗ Γ ∗ Λ + � Γ ∗ ∗ Γ ∗ − � + Γ ∗ Γ ∗ − � + Γ ∗ 4.51 dimana = + 1 + ⋯ + , Γ ∗ = Γ 1 −h k −1 k L , = 1. Karena ′ adalah fungsi yang kontinu pada interval tertutup , , maka ′ kontinu seragam pada , . Jadi ketika → 0, � → 0 dan berdasarkan asumsi, → 0, sehingga diperoleh bahwa lim →∞ = 0 yang ekuivalen dengan lim →∞ − = 0 Oleh karena itu, metode tersebut adalah konvergen. Berdasarkan Teorema 4.2.1, Teorema 4.2.2, dan Teorema 4.3.1, metode banyak langkah linear yang diterapkan terhadap masalah nilai awal dimana persamaan diferensialnya memenuhi syarat Lipschitz dan dimulai dengan nilai awal yang konsisten adalah konvergen jika dan hanya jika metode tersebut konsisten dan stabil nol.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

A. KESIMPULAN

Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari suatu fungsi. Penyelesaian persamaan diferensial ada dua macam, yaitu penyelesaian umum dan khusus. Penyelesaian khusus diperoleh dengan memasukkan syarat bantu ke dalam penyelesaian umum yang disebut syarat awal. Persamaaan diferensial yang diberikan beserta dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Penyelesaian masalah nilai awal adalah penyelesaian persamaan diferensial yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Masalah nilai awal dapat tidak mempunyai penyelesaian dan jika mempunyai penyelesaian adalah tunggal. Masalah nilai awal dapat diselesaikan dalam dua cara, yaitu analitik dan numerik. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal di antaranya adalah metode Euler dan Deret Taylor. Kedua metode tersebut tergolong dalam metode satu langkah, dimana menggunakan nilai pada satu titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Kemudian dalam tugas akhir ini dijelaskan mengenai metode banyak langkah linear, dimana metode tersebut menghasilkan penyelesaian yang lebih akurat dibandingkan metode Euler dan metode Deret Taylor. Hal tersebut terjadi karena metode banyak langkah linear menggunakan nilai pada beberapa titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Metode banyak langkah linear dapat dibuat dalam bermacam-macam bentuk, tergantung nilai yang diberikan pada koefisien-koefisiennya, sehingga terkadang metode yang dihasilkan tidak dapat memberikan penyelesaian yang akurat ketika diterapkan untuk menyelesaikan masalah nilai awal. Oleh karena itu, suatu metode banyak langkah linear harus diuji dulu konvergensinya. Suatu metode banyak langkah linear adalah konvergen jika dan hanya jika metode tersebut konsisten dan stabil nol.

B. SARAN

Metode banyak langkah linear yang dijelaskan dalam tugas akhir ini baru diterapkan dalam masalah nilai awal dimana persamaan diferensialnya adalah linear dan berderajat satu. Jadi disarankan agar pembaca menerapkannya untuk masalah nilai awal dimana persamaan diferensialnya tidak linear dan berderajat lebih dari satu. DAFTAR PUSTAKA Ackleh, A.S, dkk. 2010. Classical and Modern Numerical Analisys, Theory, Methods, and Practice. London: CRC Press. Butcher, J.C. 2008. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Edisi Ke-2. England: Wiley. Griffiths, D.F Desmond, J.H. 2010. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, Initial Value Problems. New York: Springer. Munir, Rinaldi. 2008. Metode Numerik. Revisi ke-dua. Jakarta: Mizan. Stein, E.M Rami, Shakarchi. 2003. Princeton Lectures in Analysis II, Complex Analysis. New Jersey: Princeton University Press. Suli, E David, M. 2003. An Introduction to Numerical Analysis. New York: Cambridge. Tutoyo, A, dkk. 1991. Diktat Persamaan Diferensial Biasa. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma. Zill, D.G Patrick, D.S. 2003. A First Course in Complex Analysis, with Applications. London: Jones and Bartlett Publisher. LAMPIRAN A PEMBUKTIAN TEOREMA Definisi A.1 Andaikan bahwa fungsi kompleks didefinisikan di sekitar titik . Turunan dari pada dinyatakan dengan ′ adalah ′ = lim ∆ →0 + ∆ − ∆ , asalkan limit tersebut ada. Teorema A.1 Jika , = , + � , terdiferensial di = + � , maka , dan , mempunyai turunan parsial pertama di , dan di titik ini dipenuhi persamaan Cauchy-Riemann � � = � � dan � � = − � � dan turunan di dapat dinyatakan dengan rumus ′ = , + � , . Bukti: Diketahui bahwa ′ ada, maka berdasarkan Definisi A.1 diperoleh ′ = lim ∆ →0 + ∆ + ∆ Misalkan ∆ = − , ∆ = − , ∆ = − , dan ∆ = − , maka ∆ ∆ = + ∆ − ∆ = + ∆ , + ∆ +� + ∆ , + ∆ − , +� , ∆ +�∆ = + ∆ , + ∆ − , +� + ∆ , + ∆ − , ∆ +�∆ Karena ′ = lim ∆ →0 ∆ ∆ , maka berlaku Re ′ = lim ∆ →0 Re ∆ ∆ dan Im ′ = lim ∆ →0 Im ∆ ∆ apapun lintasan yang diambil oleh ∆ → 0 atau → . Misalkan diambil lintasan → sepanjang garis = atau ∆ = 0, sehingga ∆ = ∆ , maka diperoleh ∆ ∆ = + ∆ , − , +� + ∆ , − , ∆ = + ∆ , − , ∆ + � + ∆ , − , ∆ Jadi Re ′ = lim ∆ →0 + ∆ , − , ∆ dan Im ′ = lim ∆ →0 + ∆ , − , ∆ untuk ∆ → 0 atau ∆ → 0. Ini berarti bahwa turunan parsial pertama dan terhadap ada di , dan memenuhi hubungan Re ′ = , dan Im ′ = , 1 Selanjutnya, misalkan diambil lintasan → sepanjang garis = atau ∆ = 0, sehingga ∆ = �∆ , maka diperoleh ∆ ∆ = , + ∆ − , +� , + ∆ − , �∆ = , + ∆ − , ∆ − � , + ∆ − , ∆