Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors.

ARTICLE
International Journal of Advanced Robotic Systems

Planar Task Space Control of a Biarticular
Manipulator Driven by Spiral Motors
Regular Paper

Ahmad Zaki bin Hj Shukor1 and Yasutaka Fujimoto1,*
 
1 Department of Electrical and Computer Engineering, Yokohama National University
* Corresponding author E-mail: fujimoto@ynu.ac.jp

 
Received 30 May 2012; Accepted 20 Jul 2012
DOI: 10.5772/51742
© 2012 Shukor and Fujimoto; licensee InTech. This is an open access article distributed under the terms of the Creative
Commons Attribution License (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0), which permits unrestricted use,
distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract  This  paper  elaborates  upon  a  musculoskeletal‐
inspired robot manipulator using a prototype of the spiral 

motor  developed  in  our  laboratory.  The  spiral  motors 
represent  the  antagonistic  muscles  due  to  the  high 
forward/backward  drivability  without  any  gears  or 
mechanisms.  Modelling  of  the  biarticular  structure  with 
spiral  motor  dynamics  was  presented  and  simulations 
were  carried  out  to  compare  two  control  methods, 
Inverse  Kinematics  (IK)  and  direct‐Cartesian  control, 
between  monoarticular  only  structures  and  biarticular 
structures  using  the  spiral  motor.  The  results  show  the 
feasibility  of  the  control,  especially  in  maintaining  air 
gaps within the spiral motor. 
 
Keywords  biarticular  manipulator,  inverse  kinematics 
control, work space control, spiral motor, musculoskeletal 

 
1. Introduction  
 
Over  recent  decades  robots  have  been  inspired  by  the 
motion  of  living  things,  i.e.,  humans  and  animals  [1]  [2]. 

Various  structures  of  robots  have  been  designed,  from 
industrial robotic manipulators to humanoids and mobile 
legged  robots  for  different  purposes.  Success  stories 

www.intechopen.com

include  ASIMO,  DLR,  Big  Dog  and  many  others. 
However,  most  designs  are  implemented  by  using  serial 
joint servos at the end of each limb, resulting in large joint 
actuators  at  the  base  to  support  the  desired  large 
forces/torques  (i.e.,  end‐effector  output,  friction).  In  the 
end,  the  weight  and  size  of  the  actuators  contribute 
largely  to  the  overall  specication  of  the  robot.  In 
addition,  difficulties  in  actuation,  for  example,  backlash 
and  low  drivability/low  compliance,  add  to  problems  in 
controlling such structures. 
 
On  the  other  hand,  the  anatomy  of  the  musculoskeletal 
human  body  provides  new  insights  into  the  design  of 
robots.  By  looking  closely  at  the  structure  of  the 

human/animal  musculoskeleton,  the  joint/hinges  are  not 
directly  actuated,  but  affected  by  the  antagonistic 
contraction  or  extension  of  the  muscles  connected  to  the 
bones.  The  muscles  can  be  clustered  into  monoarticulars 
(single  joint  articulated)  and  biarticulars  (two  joint 
actuated).  The  dynamic  domain  of  the  human  arm 
muscles  (from  shoulder  to  elbow)  have  been  studied  in 
[3] [4] [5]. The study in [3] applies the Hill’s muscle model 
and  attempted  to  analyse  different  damping  and  elastic 
properties,  and  later  applied  task  position  feedback 
control  to  monitor  position,  velocity  and  accelerations  in 

IntZaki
J Adv
Sy, and
2012,
Vol. 9, 156:2012
Ahmad
binRobotic
Hj Shukor

Yasutaka
Fujimoto:
Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors

1

joint  and  ttaskspace.  On 
O
the  variaation  of  mu
uscle 
positioning,  the potential  elds producced by the inteernal 
forces  are  afffected  and  alsso  the  speed  of  convergencce  of 
motion.  By  means  of  sim
mulation,  the  human  reacching 
w
achieved
d  without  inv
verse  dynamiccs  or 
movements  were 
optimal trajectory derivation. 

 
Some  design
ns  that  includ
de  biarticular  muscle  actuaation 
can be referred to in [6] an
nd [7]. These d
designs use ro
otary 
b
mu
uscle 
motors,  beltss  and  pulleyss  to  realize  biarticular 
torques.  In
n  [6],  stiffn
ness  and  in
nverse  dynaamics 
feedforward  control  was  applied.  The  lancelet  (anceestor 
milar 
of  the  verrtebrae)  has  inspired  [77]  using  sim
mechanisms  to  realizze  a  virtual  triarticcular 

mming  motio
on  with  the  properties  off  AC 
sigmoid/swim
the 
motor 
con
ntrol. 
Thesse 
designs 
include 
biarticular/triarticular  actu
uation,  but  tthe  structuress  are 
a serial  or  open‐link  mechanisms.  Ano
other 
maintained  as 
different  dessign  was  show
wn  in  [8],  wh
hereby  the  ro
otary 
motors  are  placed 

p
at  the  base  and  the  joint  angless  are 
pulled by wiires. Feedforw
ward control w
was also applieed to 
gged 
resolve  forcce  redundanccy.  Other  deesigns  of  leg
musculoskeleetal mechanisms can be fou
und in [9] [10]  [11]. 
These structu
ures utilize th
he pneumatic rrubber musclees as 
actuators,  po
ossibly  the  cllosest  candidaate  to  the  hu
uman 
muscle.  Thesse  muscles  exttend  or  contraact,  dependin
ng  on 
the amount o
of air pressuree supplied. Th
he small size o

of the 
actuators enaables the desig
gn of the legs to be space saaving, 
as the actuators are placed
d closely or attached to the  link. 
Jumping  an
nd  hopping  motions  were 
w
successsfully 
implemented
d, but becausee of the use off air supply, tthese 
structures  arre  less  mobille  for  autono
omous  operattions. 
Also,  pneum
matic  muscless  are  difficullt  to  control  and 
inaccurate du
ue to their non
nlinear elasticiity properties [12]. 
A combinatio
on of pneumatics/cables is aalso shown in [13]. 

 
or  that  we  propose  forr  musculoskeeletal 
The  actuato
actuation is tthe spiral mottor [14]. It is aa novel high th
hrust 
force  actuato
or  with  high  forward/back
kdrivability.  From 
F
the  rst  prottotype,  the  in
nternal  permaanent  version  was 
developed  and 
a
currently  the  helical  surface  permaanent 
otype is availaable [15].  
magnet proto
 
2. Biarticular Manipulator K
Kinematics 
 

An  example  of  the  biartiicular  muscle  structure  can
n  be 
found in the  human arm,  consisting of  antagonistic p
pairs 
of  monoartiicular  (musclles  affecting  one  joint)  and 
biarticular  muscles 
m
(musscles  affecting
g  two  joints).  By 
using the spiiral motor, thee antagonistic  pair of exorr and 
extensor can be combined by using only
y one spiral m
motor, 
thus reducin
ng the numberr of actuators  from the shou
ulder 
to  the  elbow
w  to  only  three  actuators,  in
nstead  of  six.  The 
exor/extenso

combined  
or  muscles  of  the  pllanar 
manipulator  of  the  biartticular  structture  is  shown
n  in 
Figure 1.  

2

Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 156:2012

 

 

Figu
ure 1. Simplified
d diagram and m
manipulator dessign  

 
ulder  angle  (qq1)  and  elbow

The  main  angles  are  the  shou
m  in  Figure  1 
1
anglle  (q2).  Based  on  the  simplied  diagram
and  using  trigon
nometric  iden
ntities,  the  reelationship  off 
m  with joint an
ngles q1 and q2 is derived (a1 
musscle lengths, lmi
and a2 are link len
ngths). 
 
 
 
��� � ����� � ���� � ���� ��� ���� ��  
 

��� � ����� � ���� � ���� ��� ��� ��  
��� � �



����
� ��
� ��
� ��� � ��
���� �� c�� �� �
 
����� �� c��
c �� � ����� �
���� ������ � �� �

 

 
(1)) 

 
ween  connecction  length
hs  of  thee 
Disttances  betw
mon
noarticulars  frrom the  joint  angles  are  lab
belled ��� , ��� ,  
,
��� and  ���  whilee  connection  lengths  of  biarticular 
b
aree 
����  and ���� . Thee extension/co
ontraction of m
monoarticularr 
musscles  affect  th
he  respective  jjoint  angles  to  which  they

attach,  i.e., ���  afffects  the  join
nt  angle ��  (sshoulder)  and
d  
bow). Howeveer, the biarticu
ular muscle lm33 
��� affects ��  (elb
is reedundant becaause it affects b
both ��  and �� . 
 
ween  muscle  velocities, ���  
Baseed  on  (1),  thee  relation  betw
and joint velocitiees, ��   is given as; 
 

���

���

     (2) 
� ���
� � � ���� � � � � 


���

 
ace  Jacobian,, 
Wheere  ����    is  the  musclee‐to‐joint  spa
obta
ained  from  paartial  derivatiives  of  (1)  wiith  respect  to

shou
ulder and elbo
ow angles, sho
own in (3).   
 
���
��

����

� ����
����
��
� � ���

����
��
� ����

����

��� �
���� �

                        (3)) 

��� �
���� �
���


www.intechopen.com

 
 

where 
 
��� ��� �� ���� �
����
����
��
;
� �; 
���
���
���
����
��� ��� �� ���� �
����
� �;
��

���
���
���
 
���� ����� �� ������ � � ���� ���� ������ � �� �


���
���
 
���� ����� �� ������ � � ���� ���� ������ � �� �

 
���
���
 
It  needs  to  be  highlighted  that  this  Jacobian  is  different 
from  that  of  [6],  because  in  the  mentioned  reference  it  is 
not structure‐dependent. In our case, this Jacobian varies 
with  the  connection  points  (i.e., ��� , ��� , ��� , ��� ,  
���� ��� ���� ).  Next,  the  equation  relating  joint  torques, � 
(vector of shoulder and elbow torques) and muscle forces, 
���  (vector of muscle 1, muscle 2 and muscle 3 forces) can 
be described in (4) as; 
 
 
 
� ���
 
��
�� � � ���� � �� ��� � 
(4) 

� ���
        
Also,  the  equation  relating  the  joint  torques, �   and  the 
end‐effector forces, ��  for a 2R planar manipulator is; 
 
��
���
 
�� � � � � � � � 
(5) 

��
 
where � is  the  2R  planar  Jacobian  matrix  from  task  space  
to joint space which contains the following elements; 
 
�� ������ � � �� ��� ��� � �� � ��� ��� ��� � �� �
� 
     
� �
�� ��� ��� � �� �
�� ������ � � �� ��� ��� � �� �
(6) 
 

The equation relating to the end‐effector forces, ��  (vector 
of  end‐effector  forces)  and  the  muscle  forces, ���  can  be 
determined as follows; 
 
� ���
���
��
              � � � � �� ���� � �� ��� � 
     (7) 
��
� ���
 
 
 
From  Equation  (6),  the  end‐effector  forces  plot  of  the 
biarticular  structure  can  be  obtained.  Figure  2  shows the 
static  end‐effector  forces  of  structures  with  biarticular 
forces  and  the  structures  without.  The  forces  applied  for 
���  [N], ���  [N] and ���  [N] are; 
 
                    ���� ��� � ���� � ��� ���                       (8) 
                    ���� ��� � ���� � ��� ���                      
                    ���� ��� � ���� � ��� ���                      
 
The  end‐effector  output  force  produced  by  biarticular 
forces  shows  a  hexagonal  shape  which  is  more 
www.intechopen.com

homogenous than the tetragonal shape of the end‐effector 
forces  without  biarticular  actuation.  This  is  one  of  the 
many  advantages  of  biarticular  manipulators  compared 
to monoarticular actuation only. 
 

 

Figure  2.  Cartesian  view  of  end‐effector  forces  for  structures 
with (red)  and without (blue) biarticular muscle forces 

 
3. The Spiral Motor 
 
Being specically developed for musculoskeletal robotics, 
the  third  prototype  spiral  motor’s  main  feature  is  its 
direct  drive  high  thrust  force  actuator  with  high 
backdrivability.  This  three  phase  permanent  magnet 
motor  consists  of  a  helical  structure  mover  with 
permanent  magnet  and  stator.  The  linear  motion  is 
derived from the spiral motion of the mover to drive the 
load.  In  addition,  the  motor  has  high  thrust  force 
characteristics  because  the  ux  is  effectively  utilized  in  its 
three dimensional structure [14]. This spiral motor does not 
include  ball  screw  mechanisms,  thus  friction  is  negligible 
under proper air gap (magnetic levitation) control. 
 

 

Figure  3.  Spiral  motor  parts  (a)  Neodymium  magnet  (b)  Silicon 
steel  stator  yoke  (c)  Mover  attached  with  magnet  and  Teflon 
sheet (d) Wound and assembled half stator 

Ahmad Zaki bin Hj Shukor and Yasutaka Fujimoto:
Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors

3

 

 

Figure 4. Spiral motor illustration 

 
As  seen  in  Figure  4,  there is a  small  air  gap  between  the 
mover  and  stator.  This  small  distance  is  ideally  700  um 
between the Teon sheet of the mover (at centre position) 
and  the  stator  yoke.  This  air  gap  displacement, �� ,  is 
related  to  the  linear  displacement,  x,  and  angular 
displacement,  ��  in  (11).  If  the  gap  displacement  is 
maintained,  i.e.,  the  surface  of  mover  and  stator  are 
untouched, 
magnetic 
levitation 
is 
realized. 
Simultaneously, by a vector control strategy, the angular 
control  provided  by  q‐axis  currents  will  give  forward  or 
backward  thrust  while  d‐axis  currents  control  linear 
displacements  and  magnetic  levitation,  as  shown  in  the 
plant dynamics of the spiral motor in (9) to (12); 
 
 
  (9) 
 
�� �� � �� �� � �� �� � ���    
 
�� �� � �� �� � ���� �� � �� �� � � ��    
(10) 
 
�� � � � �� 
 
 
 
(11) 
 

��

��

��

   

 

 

 

(12) 

 
where �� ��  and �� ��  denote spiral motor force and torque, 
�� ��  represents  the  force  generated  during  magnetic 
levitation, ��  is  force  constant  and ��  is  torque  constant. 
���  and  ��  are  force  and  angular  disturbances.  Gap 
displacements, �� ,  are  related  to  linear,  x,  and  angular 
displacements,  � ,  by  the  lead  length,  ��  (12).  One 
revolution  of � would  result  in  a  displacement  of  length 
��  if the gap displacement is zero. 
 

 

 

Figure 5. Assembled short‐length spiral motor 

 
3.1 Direct Drive Control of the Spiral Motor 
 
Assume  ��� and  �� are  control  inputs  for  gap 
displacement  and  angular  displacement  [15],  which  will 
match its respective acceleration terms; 
 

4

Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 156:2012

� � ��� � 
(13) 
 
��� � ��� ���� � �� � � ��� ����



 
�� � ���� � ��� ����� � �� � ��� ����� � � �    (14) 
 
�  is the gap velocity 
where ���  is the gap reference and ���
reference. ��� , ��� , ���  and ���  are  PD  gains  for  gap  and 
angular  positions  and  velocities.  Also,  the  relation 
between linear and angular acceleration is known as; 
 
 
 
(15) 
 
 
�� � ��� � ��� 
 
By replacing the linear acceleration term in (9) with (15) , 
force dynamics of (9) can also be expressed as; 
 
(16) 
 
� ���� � ���� � �� �� � �� �� � ���    
 
Replacing  the  acceleration  terms  with  control  inputs 
(subscript n denotes nominal value);  
 
(17) 
 
�� ���� � ��� � � ��� ����� � ��� �� � ����  
 
Thus, the d‐axis current reference (that will be tracked by 
a PI current controller) will have the following form; 
 

 
����� � � ��� ���� � ��� � � ��� �� � ���� �  (18) 
��

 
By  applying  the  same  technique  to  the  torque  dynamics 
in (9) for the q‐axis current reference; 
 
�� �� � �� ����� � � ��� ���� � ��� � � ���� � � ���   (19) 

��� �� � ���� ���� � ��� � � ���� � � ��� �  (20) 
����� �
��

 
and  disturbance  for  linear  displacement  and  angular 
displacement (in Laplace domain) are estimated as; 
 

 
(21) 
���� � ���� ��� ����� � �� �� � ��� �� �   



��� � ���� ��� ����� � � ��� ����� � �� �� � � ��� �� � 


(22) 

 
where ��  and ��  are the gain of the disturbance observer 
for  linear  and  angular  displacements.  Until  this  point, 
direct  drive  control  can  be  achieved  at  gap  values  of  0 
mm.  But  due  to  disturbances  (i.e.,  manufacturing 
accuracy of mover and stator), the current at 0 mm is not 
zero. Therefore, a neutral point (zero power) that induces 
zero currents for d‐axis current is desired and low power 
control is realized as follows; 
 
(23) 
 
�� ���� � ���� � �� �0� � �� �� � ����   


 
�� ����� � ��� � 0 � �� ���� � � ���    
 
 

 

��� �

�� ��� �0 �������� ��
��

 

As  acceleration  terms  are  usually  affected  by  noise  (due 
to  differentiation),  for  initial  testing,  we  simplify  (24)  to 
become; 
 

 

 

��� �

����
��

  

 

(24) 

www.intechopen.com

 

Figure 6. Direcct drive experim
mental results w
with zero d‐axiss current control (a) Forward d
drive (b) Gap diisplacements (reed denotes zero

d‐axis gap refeerence) (c) Curreents (d) Reversee drive (e) Gap d
displacement (f) Currents 

 
nd reverse mo
otion 
Experiments  for direct driive forward an
were  carried
d  out  using  th
he  monoarticcular  spiral  motor 
m
with  a  strok
ke  of  0.06  m. 
m TMS320C67713‐225MHz  were 
w
used for dataa collection an
nd control. Tw
wo DC suppliees for 
the  forward  and  backward  inverters  were 
w
used.  At  first, 
the direct driive control waas applied to 00 mm (x posittion). 
We regard th
his as the initiial gap stabilizzation phase.  This 
is  required  because 
b
once  magnetic  leviitation  is  realized, 
then  forward
d  and  backwaard  motions  can 
c
be  perforrmed 
smoothly.  IIf  magnetic  levitation  an
nd  forward//back 
performed sim
multaneously, the gap migh
ht not 
motions are p
be  maintaineed  and  damaage  could  bee  inflicted  on
n  the 
stator  and  mover.  Afterr  d‐axis  currrent  stabilized  at 
around 0 A,  the forward rreference wass given. Then  after 
A again, the reeverse reference of 
the current stabilize at 0 A
ure  6  shows  the  experimeental 
0  mm  was  applied.  Figu
results for diirect drive forrward/reverse  motion with  zero 
d‐axis  curren
nt  control  (after  gap  initialiization).  Note  that 
in  [15],  direcct  drive  contro
ol  was  perform
med  without  zero 
d‐axis contro
ol. 
 
4. Singularity
y/manipulability of Biarticu
ular Structure
 
This  kinemattic  parameterss  can  be  used
d  to  determinee  the 
work  space  of  the  manip
pulator.  The  parameters 
p
off  the 
three spiral m
motors are sho
own in Table 11. 
 
 

 

 

� � �� ��
����� � � �� cos��� � �� � 
 
� � �� ���� ��� � � �� ���
� ��� � �� �       

(25)) 
(26)) 

�� � ��� � ��� � ��  
�� � ��� � ��    

(27)) 
(28)) 

For  the  biarticulaar  manipulato
or,  kinematic  limits 
l
are  duee 
to  th
he  maximum  (�� � �� )  and  m
minimum  length  (�� � �� )  off 
the actuators, sho
own as; 
 

 

 
 

By  referring 
r
to  E
Equation  (1),  jo
oint  angle   iis  bounded  to

the  connection  leengths ���    and
d ��� .  The  sam
me  applies  forr 
noarticular  ���

mon
� .  For  us,  we  chose  ���� � ���    and
��� � ���  (same arrrangement fo
or both monoa
articulars). 
 
Then, the ranges o
nd ��  are; 
of allowable aangles for ��  an
 
 

��� ��

���� ���


� �� � �� � ��� ��

���� ���


    

(29)) 

Spiral Motor Type 

Parameters 

Monoarticullar 

Biarticullar 

Weight (kg) 

1.5 

2.3 

Stroke (mm) 

60 

70 

ngth (mm)  
Extended len

256.5 

380.5

Contracted leength (mm) 

196.5 

310.5

100 

150

Estimated  m
max. force [N] 

The  forward  kin
nematics  (end‐‐effector  position)  of  a  2R

man
nipulator  can  be  calculated  by  using  the 
t
following

equation (x and y
y are Cartesian
n coordinates);; 

 

 

Table 1. Spirall motor specificaations for musclles 

Figu
ure 7. Closed‐kin
nematics of biarrticular manipulator  

www.intechopen.com

Ahmad Zaki bin Hj Shukor and Yasutaka Fujimoto:
Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors

5

Figure  8.  Man
nipulability  plo
ots  for  (a)  al1=0.14m, 
=
(b)  al1=0.16m, 
=
(c)  al1=0.18m 
=
and  (d)  al1=0.20m  for  similar  elbow  monoarticularr 
connection (���� � ��� ). Biarticular connection
ns (al31 and al32) set at 0.06 m 
)
 

where 
 

� � ���� � ���� � ���������� � ����� ���  

 
mum lengths  of monoarticu
ulars 
This implies  that the minim
incur maxim
mum angles an
nd vice versa.  Thus, consideering 
biarticular  llength  limits,,  manipulabiility  [16]  can
n  be 
ure  8  shows   the  manipu
ulability  plotss  for 
plotted.  Figu
different con
nnecting pointss of monoarticcular muscles.. The 
he  angle  limiits  is  due  to
o  biarticular  and 
shape  of  th
monoarticulaar length limitts. It can be seen that the furrther 
the  connectiion  points  off  monoarticullars  are  from
m  the 
gle, the larger the work spacce. 
shoulder ang
 
ned by finding
g the determin
nants 
Manipulabiliity was obtain
of  the  mu
uscle‐joint  Jaccobian  and  end‐effector‐‐joint 
Jacobian  term
ms.  Dark  bluee  represents  lo
ow  manipulab
bility 
regions,  and
d  at  zero  manipulability
m
y,  singularity
y  is 
induced. Red
d represents th
he high manip
pulability regio
on. 
 
The  inversee  kinematic  singularity  of  planar  2R 
manipulator  [24]  can  be  seen  at  the  elbow  angle  of  0 
f the  biarticcular  manipullator. 
radians.  Thiss  is  also  true  for 
In  addition,  due  to  musclle  Jacobian  terrms,  singulariity  is 
also  evident  at  the  shoullder  angle  off  0  radians.  Some 
S
examples of  singularity an
nd  manipulab
bility poses for the 
manipulator aree illustrated in
n Figure 9. 
biarticular m
 

In  the  case  that  either 
e
shoulder  or  elbow  monoarticular
m

omes  fully  extended,  th
he  shoulder//elbow  anglee 
beco
beco
omes zero, and
d singularity iis observed. H
However, both

anglles  could  nott  become  zerro  simultaneo
ously,  due  to

biarrticular length
h limit (refer Fiigure 7).  
 

Hig
gher manipulability poses arre induced wh
hen lengths off 
ort,  and  at  n
near  minimum
m  lengths  off 
musscles  are  sho
musscles  (or  maxiimum  angles),,  maximum  manipulability
m

regiion is observed
d.  
 

If  the  connectiion  points  o
of  shoulder  and  elbow

noarticulars  are 
a
different,  the  followin
ng  results  off 
mon
recip
procal  condition  of  the  Jaccobian  (anoth
her  method  to

deteermine  ill‐con
ndition  [25])  iss  shown   in  Figure 
F
10  and

Figu
ure 11; 

 

 
Figure  9.  Exaamples  of  singu
ular  and  manip
pulability  posees  for 
biarticular stru
ucture.  

6

Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 156:2012

 
(a) 

 
 
(b) 
Figu
ure  10.  Recipro
ocal  condition  p
plot  for ��� � ��
� � ,  ��� � 0.�  m

��� � 0.14 m; (a) ����
6 m (b)����� � ����� � 0.10 m 
� � ���� � 0.06
www.intechopen.com

 

nts  are  virtuaally  cut  open
n  and  LE  form
mulation  wass 
poin
used
d  to  obtain  mass, 
m
gravity  and  centrifu
ugal  matrices.. 
Equ
uation (29) dep
picts the generralized equatio
ons of motion

of a closed‐chain manipulator; 
 
�� �� ��� � ���� � � � ��� � � � �� �����  
(29)) 
       �� ����� � ���
 

  

 

 

 
(a) 

 

(a) 

 

(b) 

 

 
(b) 
 
 
 
on plot;  ��� � ��
� � , ��� � 0.�� m
m and 
Figure 11. Recciprocal conditio
��� � 0.� m; (a) ���� � ���� � 0.06 m (b)���
0

�� � ���� � 0.�0 m

 
F
10  and  11,  if  the  vallue  of ���  or   �
���  is 
As  seen  in  Figure 
small,  the  co
orresponding  shoulder/elbo
ow  angle  beco
omes 
narrow  and  vice  versa.  Also, 
A
the  furth
her  the  biarticcular 
muscle  conn
nection  point  is 
i from  the  hinges, 
h
the  sm
maller 
the  work  sp
pace  becomes.  By  increasin
ng  the  biarticcular 
connection  distance, 
d
ill‐co
ondition  is  furrther  avoided,,  but 
with less worrk space.  
 
s
the  reeciprocal  con
ndition  plot  with 
Figure  12  shows 
different con
nnection pointts of the biartiicular muscle.. It is 
obvious  thatt  by  connectin
ng  the  end  off  each  side  off  the 
biarticular  muscle 
m
differen
ntly,  significaant  changes  to
o  the 
work space aand reciprocal condition is sseen. 
 
5. Biarticular Plant Dynam
mics Modelling

 
hain manipula
Most planar  2R robots are serial/open‐ch
ators. 
There  is  much 
m
researcch  on  contrrol  of  these  2R 
manipulatorss.  Modelling  of  unconstrained  open‐cchain 
manipulatorss  uses  Ordinaary  Differentiial  Equations  (via 
Lagrange (LE
E) or Newton  Euler (NE) fo
ormulation), w
while 
closed‐chain  manipulatorss  require  Diffferential  Algeb
braic 
Equations  du
ue  to  constraaint  equationss  [17].  Consttraint 

www.intechopen.com

 

 
 
(c) 
Figu
ure  12.  Recipro
ocal  condition  plot;    ��� � ��
� � � 0.� m;  (a)) 
���� � 0.06 m, ���� � 0.�0 m  (b)������ � 0.0� m, ����
� � 0.06 m;  (c)) 
��� � ��� � 0.�� m �
���� � 0.06 m, �
���� � 0.�0 m  

 

Ahmad Zaki bin Hj Shukor and Yasutaka Fujimoto:
Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors

7

8

where � denotes joint angle/muscle length vector, � is the 
vector of constraints, �� ���is the mass matrix, ���, �� � are 
centrifugal/Coriolis  terms, ����  are  gravity  terms, � are 
generalized  forces/torques,   ��� �   are  the  constraint  forces 
(from  the  closed‐loop  kinematics).  The  term  �� ���  
represents  disturbance  forces  applied.  ��  is  transposed 
from  (6)  and ���    is  a  vector  of  x  and  y  Cartesian 
disturbance  force.  We  will  show  the  constraint‐related 
terms.  As  mentioned,  others  can  be  obtained  via  LE,  NE 
or other dynamics formulation. 
 
Constraint equations (from trigonometry) are derived as; 
 
� 0 
�� ������ � ���� � ��� ������ �
�� ������ � � ��� ������ �
� 0 
�� ������ � � ��� � ��� ������ �
� 0 
� 0 
�� ������ � � ��� ������ �
�� ������ � � ���� � �� ������ � � ���� ��� ��� � �� � � 0 
� 0  
�� ������ � � �� ������ � � ���� ������ � �� �
 
Also,  the  relative  acceleration  at  the  constraints  are  zero 
( �� , ���  are the constraint Jacobian and Jacobian derivative), 
 
 
 
(30) 
 
 
�� �� � ��� �� � 0 
 
The  constraint  Jacobian  (unmentioned  terms  are  zero)  is 
described as; 
 
J��� … J���

� �                               (31) 
                           J� � � �
J��� … J���
 
���� � ��� ������ � ; 
���� � ��� ������ �;
���� � ������ �;
���� � ���� ������ � ; 
���� � ������ � ; 
���� � �� ������ �;
���� � ��� ������ �;
���� � ��� ������ � ; 
���� � ������ �;
���� � ���� ������ � ; 
���� � ��� ��� �; 
���� � �� ������ �;
���� � ���� ������ � �� � � �� �� ���� � ;    
���� � ���� ������ � �� � ;    
���� � ��� ��� �; 
���� � ��� ������ �;
���� � ����� ������ � �� � � �� ��� ��� �;    
���� � � ���� ������ � �� � ;    
���� � ��� ��� �; 
���� � �� ������ �;
 
The constraint Jacobian derivative is derived as; 
 
J��� … J���

� �                             (32) 
                           J�� � � �
J��� … J���
 
���� � ��� ������ ����     
���� � ��� ������ ���� � ������ � �� � ; 
���� � ������� � ��� ;
���� � ��� ������ � ��� ; 
���� � ��� ������ ���� � ������ ���� ;
 
���� � ��� ������ � ��� ; 
���� � ������ � ��� ;
���� � ��� ������ ���� � ������ � ��� ; 
���� � ������� � ��� ;
���� � ��� ������ � ��� ; 
���� � ��� ������ ���� � ������ � ��� ; 
���� � ������ ���� ; 
���� � �� ������ � ��� � ���� ���� � ��� ���� ��� � �� �;    

Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 156:2012

���� � ���� ���� � ��� ���� ��� � �� �;    
���� � ��� ������ ���� � ������ � ��� ; 
���� � ������� � ��� ;
 
���� � �� ������ � ��� � ���� ���� � ��� ���� ��� � �� �;    
���� � ���� ���� � ��� ���� ��� � �� �;    
���� � ��� ������ ���� � ������ � ��� ; 
���� � ������ ���� ; 
 
By  combining  these  two  equations,  the  following 
generalized closed‐chain model can be derived; 
 
� � ��� � �� ���

���� ��
�                (33) 
�� � � �
 
� �
���
0 �
��� ��
 
To  include  the  spiral  motor  plant  dynamics  in  the 
generalized  closed‐chain  model,  (33)  has  to  be  modied 
to the following; 
 
� � ��� � �� ���
�� 0 ���� ��
��
� 
(34) 
 
� 0 ��
0 � ���� � �
0
��� 0
��� ��

 
The  inertia  terms  from  the  angular  rotation  now  emerge 
(�� , �� , �� ). With this modification, the d and q‐axis currents 
could  also  be  seen  in  simulation  (refer  Equations  (9)  to 
(12)). To visualize the plant model, the dimensions of the 
left‐hand terms would become; 
 
���� … ���� 0 0 0 ����� … ����� �q�� �
� �


� � �


� �� � �
��
… ���� 0 0 0 ����� … ����� � �q�� �
� ���


0
�� 0 0
0

0 � �� �
� 0

0
0 �� 0
0

0 � �θ�� � 
� 0
� �
0

0
0
0

0

0


� �� �
0

0 � λ
������ … ����� 0 0 0
� ��


� � �


� �� � �
� �
������ … ����� 0 0 0
0

0 � �λ �

 

                (35) 
 
The linear acceleration of the spiral motors (i.e., �� � , �� �, �� �) 
are equivalent to �� � , �� � , �� �  and rotational acceleration of 
the motors are ��� , ��� , ��� . After integrating twice, a gap can 
then be obtained via (11). ��  are spiral motor inertias. 
 
The right‐hand terms of (34) would become; 
 
��� ��� 0 … 0 ��
� �
� ��
��
��� … ��� ���


0 … 0� ��
� �� ��
� � ��
� �




�� � � � 0
���
0 0 … 0� � 0 ��
��

��� … ��� ���
� �

� … 0� � � ��
� �
�0
0 0 … 0� � 0 ��

�� � ��� � �� ���� ��� � ��� ��� �

�  


�� � ��� � �� ���� ��� � ��� ��� �


�� � ��� � �� ���� ��� � ��� ��� �


���� … ���� ���



� �� � �
� �


���� … ���� ���


 

 

 

 

 

 

                (36) 

www.intechopen.com

The  unactu
uated  variablles  are  ��  tto  �� .  Thus,,  its 
correspondin
ng  ��  to  ��  are  alway
ys  0  (no  input 
torque/force)). ��  is  the  vecctor  of  spiral  motor 
m
torquess.   ��  
to ��  (monoaarticular  1,  monoarticular 
m
2  and  biarticcular 
forces) are giiven by the folllowing equatiion; 
 
���
��
� ��� � ��� ���

                          ��� � � ����
� ��� � ��� ���
� �                       (37) 
��
���




� ��
�� ��

 
In simplified terms, the plaant can be desscribed by (38)); 
 
��
��
            ���� � � 0
���


0
��
0

��
����

0 �
0

���
��� � �� ���
��
�    (38) 

��� ��

 
ontrol 
6. Work Spacce Position Co
 
vely; 
nipulators  hav
ve  been  researrched  extensiv
Robotic  man
ntrol 
some of the m
many examples are torque  sensorless con
[18],  SCAR
RA  manipulaator  trackin
ng  control  [19], 
feedforward  and  compu
uted  torque  control  [20]  and 
position  con
ntrol  of  consstrained  robo
otic  system  [21]. 
Previously d
described in [222] are some aapproaches (th
he IK 
d the Direct C
Cartesian (DC)) approach) fo
or the 
approach and
general  struccture  of  a  biarticular  man
nipulator,  i.e.,,  not 
actuator speccific. In [23] otther methods w
were investigaated.  
 
In  this  paperr,  the  generaliized  work  space  control  [222]  is 
extended to tthe specific sp
piral motor case for the purrpose 
of  viewing  the  effects  on  gap  and  possition  control  with 
on  of  Carteesian  load  disturbance. By 
the  additio
considering aa circular task
k space trajecto
ory, the refereences 
for x and y‐axis positions aare shown as; 
 
x�t� � � cos�ω�t�� � x�  
 
(39) 
 
 
 

 
 

 

y�t� � � sin�ω�t�� � y�  

 

(40) 

 
 
ω�t� � 2���
2
� cos�t�� 
 
(41) 
 
 
where A is th
he radius of th
he circle and xx�  and y�  are x
x and 
y coordinatess of the centree of the circle.  
 
From  0  to  0.5 
0 seconds,  gap 
g
stabilizattion  is  perforrmed 
without  giviing  any  posiition  referencce  (either  in  joint 
space  or  worrk  space).  Thiis  phase  is  to
o  allow  the  gaap  to 
stabilize at ceentre (0mm) p
position. From
m 0.5 to 6 seco
onds, 
the position rreference of th
he circle trajecctory (5 cm rad
dius) 
is  given.  In  addition,  Carrtesian  disturb
bance  on  the  end‐
ven between 11 to 3 seconds.  
effector is giv
 
Here  we  preesent  comparrisons  of  a  monoarticular 
m
only 
actuated  stru
ucture  with  th
hat  of  a  biarticular  structurre  by 
using  the  IK  approacch  and  thee  DC  apprroach 
ns, i.e., PD, dissturbance obseerver 
(monoarticular control gain
ntical). Note th
hat for work sspace 
cut‐off frequeencies are iden
control, zero d‐axis currentt control is not applied. 
www.intechopen.com

5.1 IInverse Kinemaatics Approach  
 
By  using  the  IK
K  approach  [224],  joint  spacce  trajectoriess 
(elbow/shoulder  angles) are ob
btained  from  the Cartesian

reference trajectorries (x and y); 
 
��

 

�� ��� �
���� ����
��� ��

q� � t�n��� �



            q� � t�n��
� t�n�� ��


 

��D�
D

 

          (42)) 
 

  

�� ������ �

� ��� ������ �

           (43)) 

� 

               (44)) 

 
From
m  joint  referen
nces,  muscle  kinematics  (1)  can  be  used

to  obtain  musccle  referencees  (i.e.,  leng
gth,  velocity,, 
ulder,  elbow  monoarticular
m

acceeleration). x� � , x� �, x� �  are  shou
and biarticular sp
piral motor lin
near  acceleratiions. 
 

                             �� ���� � ���
� �� ����  
              (45)) 
��
��
� �
                             �� ���� � ���
� �� ����  
��
��

� �� ����  
                             �� ���� � ���
��
��

 

              (46)) 
 

              (47)) 

 
alculated as in

The rotational accceleration refeerences are ca
(48) to  (50)    with
h   ����� � 0 (gap  referencess  are  zero  forr 
non
n‐zero d‐axis cu
urrent controll); 
 
�� ��� ��� ����
                              ������ � �
                              (48)) 
��

 
�� ���� ��� ����

                              (49)) 
                              ����� �



 
�� ���� ��� ����

                              (50)) 
                              ����� �



 
m  these  refereences,  dq‐axiss  control  (refeer  (13)  to  (20))) 
From
can  be constructeed for each mu
uscle to generrate the forcess
��� , �� �� � �n� to�q
q��s ���� , ���, ��� � �s in ���� �n� ����.
 

 

Figu
ure 13. IK contro
ol for manipulattor driven by sp
piral motors 

 

Ahmad Zaki bin Hj Shukor and Yasutaka Fujimoto:
Planar Task Space Control of a Biarticular Manipulator Driven by Spiral Motors

9

In this part, only Y‐axis disturbance of 10 [N] is given. The 
initial circle trajectory response in Figure 14 shows that the 
biarticular  structure  exhibits  better  accuracy.  Initial  errors 
due  to  the  gap  stabilization  can  be  seen  at  the  near  start 
position (0.15, 0.53). Then the effect disturbance of 10 [N] 
can  be  seen  as  the  response  is  deviating  from  the 
reference. Cartesian errors are shown in Figure 15; ‘mono’ 
denotes  monoarticular  structure  responses  while  ‘biart’ 
denotes biarticular structure responses. 

Force  responses  from  muscles  are  shown  in  Figure  17. 
Both  forces  are  bounded.  Next,  the  torque  responses 
(rotational part of spiral motor) are shown in Figure 18. 
 

 

 
Figure 17. Spiral motor forces for the IK approach 
 

 
Figure  14.  Close‐up  view  of  circle  trajectory  responses  from 
monoarticular structure  and biarticular structure  
 

 
Figure 18. Spiral motor torque for the IK approach 
 

 

 

Figure 15. Cartesian errors for the IK approach 

 
 
Figure 19. D‐axis current for the IK approach  
 

 

 

Figure 16. Gap responses for the IK approach 
 

For  Figure  16,  ‘mono  gap1’  and  ‘mono  gap2’  refer  to  the 
monoarticular muscle gaps in the monoarticular structure, 
while  ‘biart  gap1’,  ‘biart  gap2’,  ‘biart  gap3’  refer  to  the 
shoulder monoarticular gap, elbow monoarticular gap and 
biarticular gap in the biarticular structure. Referring to gap 
displacement  responses  in  Figure  16,  in  the  initial  gap 
stabilization phase (0 to 0.5 s), more interaction is obvious 
in  the  biarticular  case,  but  the  biarticular  structure  shows 
better gap control during position tracking. 
10 Int J Adv Robotic Sy, 2012, Vol. 9, 156:2012

 
Figure 20.  Q‐axis current for the IK approach 

 
Figures 19 and 20 show the d‐ and q‐axis currents generated. 
As in the spiral  motor  simplified  plant  model, the d‐axis is 
related  to  muscle  (spiral  motor)  forces  while  the  q‐axis  is 
related  to  spiral  motor  torques.  It  can  be  said  that  the 
biarticular forces reduce the effort of the elbow monoarticular 
muscle, but increase shoulder muscle actuation. 
www.intechopen.com

For  this  app
proach,  muscle  force  interaactions  are  cleearly 
visible  (seen
n  in  oscillatio
ons)  as  expeccted,  becausee  the 
muscles  are  independentlly  controlled  without 
w
any  force 
f
distribution. 
 
5.2 Direct Carttesian Approachh 
 
For  the  DC  approach,  the  forces  from
m  work  space//task 
space  domaiin  are  controlled  in  the  sho
oulder  and  ellbow 
joint  space  (virtually), 
(
th
hen  transferred  to  the  actu
uator 
(muscle) spacce by the jointt‐muscle Jacob
bian (3).  
 
hows  the  con
ntrol  diagram
m  and  the  con
Figure  21  sh
ntrol 
equation  is  shown 
s
in  Equ
uation  (51)  to
o  (55). ���� � �����  are 
Cartesian end
d‐effector position responsees.
 

0 � � �����
��
��
��� � � �����

��
��
��
��
�� � � �
���� �� � � � � � � � � � �
��
0
��


��
� �
0

��

 

 
where 
 
 
 
 
 
 
 

�̂
���
� �� � � �
�̂ �
0

����

0 �� � �� ���
�̂
��
��� � � � �
��� �� � �����
�̂ �
0

��

� �
���

� � � ��� �� �
�� �
�             (52) 
�� � � ��� �� �


 ����� � � ����

����

����

��

The inverse Jacob
bian to obtain
n the muscle fo
orces, ����  aree 
domatrix. ��  iss 
calculated  by  using  Moore’s  inverse  pseud
Carttesian  accelerration, ��� is  tthe  inverse  of 
o (6), � �  is  thee 
Jaco
obian time derrivative, � is 22R planar mass matrix and

gi  arre  disturbance  observer  gaains.  Now  tha
at  the  musclee 
forcces’ terms are o
obtained from
m the virtual jo
oint torques, itt 
musst  be  distributted  to  the  gap
p  and  angularr  terms  of  thee 
spirral motor. From
m Equation (116), the linear  forces for thee 
spirral motor is ag
gain shown; 
 
�� ���� � ���� � �� ����� � ��� � � ���
(54)) 
��  
 
v
(uxg)  is  the  same  as 
a in  (13),  butt 
The  gap  control  variable 

the  angular  contrrol  variable  is  obtained  by  manipulating
uation  (54)  (ssubscript  i  reefers  to  respeective  musclee 
Equ
num
mber); 

� �� �

���


��