REPRESENTATION OF POSITIVE INTEGERS AS SUMS OF TWO PERFECT SQUARES NUMBER
ABSTRACT
REPRESENTATION OF POSITIVE INTEGERS AS SUMS OF TWO
PERFECT SQUARES NUMBER
By
ISNAN SUBKHI
Perfect square number is positive integers which built from the result of
multiplication against itself, or can be called integer square. A multiplication of
two integers is the simpliest application which the result than is an integers.
Representation of sums two integer is simple from constructed of sums of two
integers. Representation which is constructed of two integer is possible consist of
same variation of form. Due to, the square of integer is a perfect square number,
then sums of two integers is integers number. It can be said that representation of
sums of two squares is positif integers.
It is not all positif integer can be represented as a sum of two perfect squares
number. Primes number � > 2 can be stated as sum of two perfect square number
if � ≡ 1(mod 4). And � = 2 can be stated as sum of square numbers. But
composite numbers can be stated as sums of two perfect square number if
� = �2
with
is square free with no prime divisor in form 4� + 3.
Keyword: integers, perfect squares number, representation of sum integers, prime
number, compsite number
ABSTRAK
REPRESENTASI BILANGAN BULAT POSITIF SEBAGAI
PENJUMLAHAN DUA BILANGAN KUADRAT SEMPURNA
Oleh
ISNAN SUBKHI
Bilangan kuadrat sempurna merupakan bilangan bulat positif yang dibangun dari
hasil perkalian suatu bilangan bulat terhadap dirinya sendiri, atau disebut kuadrat
bilangan bulat. Penjumlahan dua buah bilangan bulat merupakan aplikasi paling
sederhana yang kemudian hasil penjumlahannya merupakan bilangan bulat.
Representasi penjumlahan dua bilangan bulat merupakan bentuk sederhana
penjumlahan yang dibangun dari dua bilangan bulat. Maka representasi yang
terbangun dimungkinkan terdiri dari beberapa bentuk yang bervariasi. Karena
hasil kuadrat bilangan bulat merupakan suatu bilangan kuadrat sempurna, maka
penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat.
Tidak semua bilangan bulat positif dapat direpresentasikan menjadi jumlahan dua
bilangan kuadrat sempurna. Untuk suatu bilangan prima � > 2 dapat dinyatakan
sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat sempurna jika memenuhi � ≡ 1(mod 4).
Dan untuk � = 2 dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat.
Sedangkan untuk bilangan komposit � dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua
bilangan kuadrat sempurna jika berbentuk � = � 2
dengan
adalah kuadrat
bebas yang tidak memuat pembagi prima yang berbentuk 4� + 3.
Kata kunci: bilangan bulat, bilangan kuadrat sempurna, representasi penjumlahan
bilangan bulat, bilangan prima, bilangan komposit
i
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ...................................................................................... 1
1.2. Tujuan Penelitian .................................................................................. 4
1.3. Manfaat Penelitian ................................................................................ 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Keterbagian Dalam Bilangan Bulat ....................................................... 5
2.2. Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor) ............... 6
2.3. Bilangan Prima ....................................................................................... 8
2.4. Kekongruensian Modulo m .................................................................. 10
2.5. Teori Kongruensi Linear ...................................................................... 12
2.6. Teori Kuadrat Residu .......................................................................... 13
2.7. Bilangan Kuadrat Sempurna ............................................................... 13
2.8. Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free) ..................................... 13
2.9. Teori Fermat ......................................................................................... 14
2.10. Teorema Wilson ................................................................................. 14
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1.Tempat dan Waktu Penelitian .............................................................. 15
3.2.Metode Penelitian ................................................................................. 15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Perkalian Bilangan Kuadrat Sempurna ................................................ 16
4.2. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Prima ................................ 17
4.3. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Komposit .......................... 26
4.4. Representasi Pengurangan Dua Bilangan Kuadrat Sempurna ............. 32
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan .......................................................................................... 35
ii
5.2. Saran ..................................................................................................... 35
DAFTAR PUSTAKA
1
I. PEDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam perkembangan sejarah kehidupan manusia, matematika menjadi salah satu
ilmu yang memiliki peranan penting. Menjadi kesimpulan beberapa ahli
perkembangan ilmu matematika selalu berbanding lurus dengan perkembangan
corak produksi, teknologi, maupun tatanan sosial kehidupan manusia. Misalkan
saja pada masa komunal primitif, masyarakat hanya sekedar menggunakan ilmu
penjumlahan dan pengurangan dalam bentuk sederhana. Seterusnya, saat terjadi
perkembangan corak produksi menjadi masa feodalisme yang mengatur tentang
hak milik atas lahan, ilmu matematika mengalami perkembangan signifikan,
karena aktifitas manusia saat itu tidak hanya sekedar penghitungan jumlah. maka
diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki,
kemudian cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak.
Untuk keperluan yang lebih praktis, maka diperlukan bilangan-bilangan seebagai
satuan untuk mengukur.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun
dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan
perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan
maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa
2
kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan
yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi,
sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak
aspek kehidupan lainnya.
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (16011665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre
(1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (18261866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (18651963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap
keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut
teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Ahli matematika mendefinisikan sistem bilangan yang lebih mudah dimengerti
dan diaplikasikan diberbagai disiplin ilmu, seperti dalam penjabaran berikut,
bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan
bilangan negatif.
Misal: … … − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai
tak terhingga.
Misal: 1, 2, 3
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan
1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2, 3, 5, 7, 11, 13, . ..
3
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan
prima.
Misal ; 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian
antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan / , dimana
dan
merupakan
bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3),3/4 …
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
pembagian dua bilangan bulat.
Misal: �, 3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
rasional dan bilangan irrasional
1
Misal: 1/2, 2, 3 , 5, �, 2/3, log 2 dan sebagainya.
Di sisi lain, dalam perkembangannya dibutuhkan metode penyelesaian suatu
bilangan apakah dapat dijumlahkan oleh dua bilangan bulat sempurna, sebagai
contoh,
� = 1: 1 = 02 + 1
� = 2 (prima): 2 = 12 + 12
� = 3 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 4: 4 = 22 + 02
n = 5 (prima): 5 = 22 + 12
n = 6 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
4
n = 7 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 8: 8 = 22 + 22
n = 9: 9 = 32 + 02
n = 10: 10 = 32 + 12
n = 11 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 12 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 13 (prima): 12 = 32 + 22
n = 14 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 15 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
selain itu, berapakah jumlah kombinasi penjumlahan dua bilangan kuadrat
sempurnaya pada bilangan tertentu,
n = 50: 50 = 12 + 72 = 52 + 52
menjadi pertanyaan kemudian bagaimana mencari dua bilangan kuadrat sempurna
dengan jumlah tertentu serta kombinasinya
1. 2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menjabarkan sifat bilangan
bulat yang dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat atau
lebih.
1. 3
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah dapat menjadi sumbangan dalam pemecahan
masalah dalam mencari dua bilangan kuadrat sempurna untuk bilangan-bilangan
tertentu.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan
bulat, bilangan prima, kongruensi dalam bilangan bulat.
2.1
Keterbagian Dalam Bilangan Bulat
Definisi 2.1.1
Suatu bilangan bulat
dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat
jika terdapat suatu bilangan bulat
dipenuhi maka
sedemikin sehingga
. Jika jal ini
dan dinotasikan dengan │ yang dapat
dikatakan membagi
diartikan sebagai
=
≠ 0,
adalah faktor (pembagi) , atau
tidak habis membagi , maka dinotasikan
∤
adalah kelipatan . Jika
(Burton, 1998).
Teorema 2.1.2 (Algoritma Pembagian)
Jika
> 0, dan ,
∈ ℤ, maka ada bilangan-bilangan , ∈ ℤ yang masing-
masing tunggal (unique), sehingga
=
maka memenuhi ketidaksamaan 0 <
+ dengan 0
< .
disebut bilangan yang dibagi (devided)
disebut bilangan pembagi (devisor/pembagi)
< . jika
∤
6
disebut bilangan hasil (quotient), dan
disebut bilangan sisa (remaider/residu)
Sifat- sifat keterbagian bilangan bulat
│0, 1│ , │ .
1.
│1, jika dan hanya jika
2.
3. Jika │ dan │ , maka
= ±1.
│
.
Jika │ dan │ , maka │ .
4.
│ dan │ , jika dan hanya jika
5.
6. jika │ dan
≠ 0, maka
7. jika │ dan │ , maka │(
=± .
≤
+
), untuk sembarang bilangan bulat
dan .
(Byrne, 1967).
2.2
Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor)
Kita mengetahui bahwa faktor-faktor 30 adalah 1, 2, 3,5, 6, 10, 15 dan 30. Faktorfaktor 105 adalah 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, dan 105. Maka 1, 3, 5, dan 15 disebut
faktor-faktor persekutuan (pembagi-pembagi bersama/ common divisor) dari 30
dan 105
Definisi 2.2.1
Suatu bilangan bulat
│
dan
adalah faktor persekutuan dari
│ (Burton, 1998).
dan
jika dan hanya jika
7
perlu diperhatikan bahwa jika
maka
dan
dan
hanya memiliki sejumlah faktor terbatas saja. Dengan kata lain
himpunan faktor persekutuan dari
faktor persekutuan dari
diantar
kedua-duanya bilangan bulat yang tak nol,
dan
dan . tetapi jika
dan
terbatas. Hal itu disebabkan faktor-
tidak akan lebih besar dari bilangan yang terbesar
atau
sama dengan 0, himpunan semua faktor
persekutuannya tak terbatas. Karena 1 membagi semua bilangan, maka 1
merupakan faktor persekutuan dua bilangan bulat sembarang
dan . oleh karena
itu setiap pasangan bulat sembarang selalu memiliki faktor persekutuan. Karena
elemen-elemen himpunan faktor pembagi persekutuan dari
dan
adalah
bilangan-bilangan bulat maka himpunan ini mempunyai elemen terbesar yang
biasa disebut faktor persekutuan terbesar (Burton, 1998).
Definisi 2.2.2
Jika
dan
bilangan-bilangan bulat yang tak nol,
terbesar dari
dari
dan
adalah membagi persekutuan
(ditulis “( , )”) jika dan hanya jika
dan , jika merupakan faktor persekutuan dari
faktor persekutuan
dan , maka
(Baum, 1990).
Teorema 2.2.3
Jika ( , ) =
maka ( ∶ ,
∶ )=1
Perlu diketahui bahwa ( : ) dan ( ∶ ) adalah bilangan-bilangan bulat yang
diperoleh dari ( , ) = , yang berarti
menghasilkan
=
dan
│ dan
= � untuk semua
( , ) = 1 maka dinyatakan bahwa
dan
│ yang berturut-turut
dan �. selanjutnya apabila
saling prima.
8
Teorema 2.2.4
=
1. jika
+ dimana ( , ) = ( , )
2. jika gcd ( , ) =
maka bilangan
dan
sehingga
3. misalkan │ dan │ dengan gcd( , ) = 1, maka
+
=
│ .
Definisi 2.2.5
dua bilangan bulat
dan , dimana keduanya tidak nol, maka disebut relatif prima
jika setiap gcd( , ) = 1 (Burton, 1998).
Teorema 2.2.6
Diketahui
dan
adalah bilangan bulat, keduanya tidak nol. Maka
prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat
persamaan 1 =
+
dan
dan
relatif
yang memenuhi
.
Akibat 2.2.7
Jika gcd ( , ) = , maka gcd ( / ,
2. 3
/ ) = 1 (Burton, 1998).
Bilangan Prima
Definisi 2.3.1
Bilangan bulat � > 1 disebut bilangan prima jika hanya terdapat faktor
pembaginya 1 dan � sendiri. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan bukan
bilangan prima disebut bilangan komposit (Burton, 1998).
9
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 adalah bilangan prima pertama. Sedangkan 4, 6, 8, 9, 10, 12,
adalah contoh bilangan komposit. Perlu diketahui juga, bahwa 1 bukan
merupakan bilangan prima maupun bilangan komposit.
Teorema 2.3.2
1. Suatu bilangan bulat �, dimana � > 1 dapat dibagi oleh bilangan prima.
2. Jika � adalah bilangan prima dan �│
, maka �│ dan �│ .
Teorema 2.3.3
1. Jika � adalah bilangan prima dan � │ 1 ,
beberapa nilai � dimana 1
2. Jika �,
1, 2, … , �
diman � =
�
�
1,
...,
�
�,
maka � │
semua adalah bilangan prima dan �│
untuk setiap � dimana 1
�
�.
�
untuk
1, 2, … , � ,
Teorema 2.3.4 Teorema Dasar Aritmatika
Untuk sembarang bilangan bulat � > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari
bilangan prima serta dinyatakan dalam bentuk kanonik
Dimana
1,
2, . . . ,
�
� = �1 1 �2 2 … �� �
bilangan bulat positif dan �1 , �2 , . . . , �� merupakan bilangan
prima, dan �1 < �2 < . . . < �� .
Teorema 2.3.5
1. Jika n bilangan komposit, maka � memiliki faktor � sedemikian sehingga
1 < �
�.
10
2. Untuk setiap bilangan komposit �, terdapat bilangan prima � sedemikian
sehingga
�.
Teorema 2.3.6
Jika �� merupakan bilangan prima ke-�, maka ��
22
� −1
Akibat 2.3.7
�
Untuk �
1, setidaknya ada � + 1 bilangan prima kurang dari 22 .
Lemma 2.3.8
Hasil kali dari dua bilangan bulat atau lebih yang merunut pada persamaan 4� + 1
adalah sebuah bilangan prima
Teorema 2.3.9
Terdapat bilangan prima tak hingga yang sesuai mengikuti persamaan 4� + 3
3.4
Kekongruensian Modulo m
Definisi 2.4.1
misalkan
dengan
bilangan bulat positif, jika
modulo
( – ) atau ditulis
bulat �. jika
modulo
.
(ditulis
≡
dan
(mod
) jika dan hanya jika
│( – ). hal ini berarti
tidak membagi
–
bilangan bulat, maka
–
kongruen
membagi
= � , untuk suatu bilangan
maka dikatakan
tidak kongruen dengan
11
Teorema 2.4.2
≡
1.
) jika dan hanya jika terdapat bilangan � sehingga
(mod
�+ .
=
2. setiap bilangan bulat modulo dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, . . .,
(
– 1)
(Burton, 1998).
Definisi 2.4.3
Pada
(mod
≡
) dengan 0
(mod
<
, maka disebut residu terkecil dari
). Untuk kongruen ini, {0, 1, 2, 3, … , (
terkecil modulo
(Burton, 1998).
– 1)} disebut himpunan residu
Teorema 2.4.4
≡
(mod
), maka
dan
memiliki sisa yang sama jika dibagi
.
Definisi 2.4.5
himpunan bilangan bulat
1, 2,
…,
disebut sistem residu lengkap modulo
jika dan hanya jika setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan
hanya satu diantara
1, 2,
… , atau
(Burton, 1998).
Teorema 2.4.6
diketahui
berlaku,
> 1, serta , , , merupakan sembarang bilangan bulat. Maka
12
≡
1.
2. jika
3. jika
4. jika
(mod
≡
≡
≡
) dan
5. jika
(mod
6. jika
�
)
(mod
), maka
(mod
) dan
(mod
) dan
=
(mod
≡
)
≡
(mod
), maka
≡
(mod
), maka
≡
(mod
≡
)
(mod
), maka
(mod
), maka
+
=
+
≡
(mod
+
(mod
=
) dan
)
+
(mod
+
).
�
≡
�
(mod m) untuk setiap bilangan bulat
Teorema 2.4.7
1. Jika
2. Jika
3. Jika
maka
(Burton, 1998).
2. 5
≡
(mod
≡
(mod �) dan � ∤ , dimana � merupakan bilangan prima,
≡
≡
), lalu
≡
(mod
/ ), maka
(mod �) dan gcd ( , �) = 1, maka
≡
= gcd ( , �)
(mod �).
(mod �)
Teori Kongruensi Linear
Definisi 2.5.1
Kongruensi linear
dimana
≡
(mod �) merupakan solusi jika dan hanya jika │ ,
= gcd( , �). jika │ , maka
kongruen terhadap modulo �.
merupakan solusi yang saling tak
13
Teorema 2.5.2
Jika gcd ( , �) = 1, maka kongruensi linear
unik modulo � (Burton, 1998).
2.6
≡
(mod �) merupakan solusi
Teori Kuadrat Residu
Definisi 2.6.1
Diketahui � bilangan prima ganjil dan gcd( , �) = 1. Jika kongruensi kuadrat
2
≡
(mod �) adalah solusi, maka
disebut sebagai residu kuadrat dari �.
selainnya disebut tak residu kuadrat dari � (Burton, 1998).
2.7
Bilangan Kuadrat Sempurna
Definisi 2.7.1
Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat � yang dapat dinyatakan
sebagai � =
2.8
2
dimana
adalah bilangan bulat (Burton, 1998).
Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free)
Definisi 2.8.1
Suatu bilangan bulat dikatakan kuadrat bebas jika bilangan tersebut tidak dapat
dibagi oleh kuadrat dari bilangan bulat yang lebih dari 1. Syaratnya adalah
1. bilangan bulat � > 1 adalah kuadrat bebas jika dan hanya jika n dapat
difaktorkan di dalam hasil kali prima yang berbeda.
14
2. Setiap bilangan bulat � > 1 adalah hasil kali dari bilangan bulat kuadrat
bebas dan berpangkat sempurna.
(Burton, 1998).
2. 9
Teori Fermat
Definisi 2.9.1
Jika p adalah bilangan prima, dan a adalah bilangan bulat positif, sehingga � ∤
dimana
�−1
≡ 1 (mod �).
Teorema 2.9.2
1. Jika � merupakan bilangan prima, dimana
bilangan bulat
2. Jika � dan
(
≡
� untuk setiap
merupakan bilangan prima yang berbeda dengan
) dan
(Baum, 1990).
2. 10
�
≡
(
�), maka
�
≡
(
� )
�
≡
Teorema Wilson
Definisi 2.10.1
Jika � adalah bilangan prima, maka (� – 1)! ≡ – 1 (mod �) (Burton, 1998).
,
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 WAKTU DAN TEMPAT PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012 – 2013 bertempat
di jurusan matematika, fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam,
Universitas Lampung.
3.2 METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan pustaka (jurnal, buku, makalah dan website) yang
berhubungan dengan penelitian
2. Menentukan apakah suatu bilangan bulat yang merupakan bilangan prima
atau bilangan komposit
3.
Mengkaji apakah bilangan prima atau komposit tersebut merupakan
representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna.
4. Membuktikan penyelesaian representasi penjumlahan dua bilangan
kuadrat sempurna.
DAFTAR PUSTAKA
Byrne, J.R. 1967. Number System : An Elementary Approach. McGraw-Hill
Book Company, New York.
Baum, G.T. 1990. Introduction To Analytic And Probabilistic Number Theory.
Cambridge University Press, London.
Burton D.M. 1998. Elementary Number Theory. The McGraw-Hill Companies,
inc, New York
REPRESENTATION OF POSITIVE INTEGERS AS SUMS OF TWO
PERFECT SQUARES NUMBER
By
ISNAN SUBKHI
Perfect square number is positive integers which built from the result of
multiplication against itself, or can be called integer square. A multiplication of
two integers is the simpliest application which the result than is an integers.
Representation of sums two integer is simple from constructed of sums of two
integers. Representation which is constructed of two integer is possible consist of
same variation of form. Due to, the square of integer is a perfect square number,
then sums of two integers is integers number. It can be said that representation of
sums of two squares is positif integers.
It is not all positif integer can be represented as a sum of two perfect squares
number. Primes number � > 2 can be stated as sum of two perfect square number
if � ≡ 1(mod 4). And � = 2 can be stated as sum of square numbers. But
composite numbers can be stated as sums of two perfect square number if
� = �2
with
is square free with no prime divisor in form 4� + 3.
Keyword: integers, perfect squares number, representation of sum integers, prime
number, compsite number
ABSTRAK
REPRESENTASI BILANGAN BULAT POSITIF SEBAGAI
PENJUMLAHAN DUA BILANGAN KUADRAT SEMPURNA
Oleh
ISNAN SUBKHI
Bilangan kuadrat sempurna merupakan bilangan bulat positif yang dibangun dari
hasil perkalian suatu bilangan bulat terhadap dirinya sendiri, atau disebut kuadrat
bilangan bulat. Penjumlahan dua buah bilangan bulat merupakan aplikasi paling
sederhana yang kemudian hasil penjumlahannya merupakan bilangan bulat.
Representasi penjumlahan dua bilangan bulat merupakan bentuk sederhana
penjumlahan yang dibangun dari dua bilangan bulat. Maka representasi yang
terbangun dimungkinkan terdiri dari beberapa bentuk yang bervariasi. Karena
hasil kuadrat bilangan bulat merupakan suatu bilangan kuadrat sempurna, maka
penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat.
Tidak semua bilangan bulat positif dapat direpresentasikan menjadi jumlahan dua
bilangan kuadrat sempurna. Untuk suatu bilangan prima � > 2 dapat dinyatakan
sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat sempurna jika memenuhi � ≡ 1(mod 4).
Dan untuk � = 2 dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua bilangan kuadrat.
Sedangkan untuk bilangan komposit � dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua
bilangan kuadrat sempurna jika berbentuk � = � 2
dengan
adalah kuadrat
bebas yang tidak memuat pembagi prima yang berbentuk 4� + 3.
Kata kunci: bilangan bulat, bilangan kuadrat sempurna, representasi penjumlahan
bilangan bulat, bilangan prima, bilangan komposit
i
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ....................................................................................................... i
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang ...................................................................................... 1
1.2. Tujuan Penelitian .................................................................................. 4
1.3. Manfaat Penelitian ................................................................................ 4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Keterbagian Dalam Bilangan Bulat ....................................................... 5
2.2. Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor) ............... 6
2.3. Bilangan Prima ....................................................................................... 8
2.4. Kekongruensian Modulo m .................................................................. 10
2.5. Teori Kongruensi Linear ...................................................................... 12
2.6. Teori Kuadrat Residu .......................................................................... 13
2.7. Bilangan Kuadrat Sempurna ............................................................... 13
2.8. Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free) ..................................... 13
2.9. Teori Fermat ......................................................................................... 14
2.10. Teorema Wilson ................................................................................. 14
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1.Tempat dan Waktu Penelitian .............................................................. 15
3.2.Metode Penelitian ................................................................................. 15
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Perkalian Bilangan Kuadrat Sempurna ................................................ 16
4.2. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Prima ................................ 17
4.3. Representasi Penjumlahan Pada Bilangan Komposit .......................... 26
4.4. Representasi Pengurangan Dua Bilangan Kuadrat Sempurna ............. 32
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan .......................................................................................... 35
ii
5.2. Saran ..................................................................................................... 35
DAFTAR PUSTAKA
1
I. PEDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dalam perkembangan sejarah kehidupan manusia, matematika menjadi salah satu
ilmu yang memiliki peranan penting. Menjadi kesimpulan beberapa ahli
perkembangan ilmu matematika selalu berbanding lurus dengan perkembangan
corak produksi, teknologi, maupun tatanan sosial kehidupan manusia. Misalkan
saja pada masa komunal primitif, masyarakat hanya sekedar menggunakan ilmu
penjumlahan dan pengurangan dalam bentuk sederhana. Seterusnya, saat terjadi
perkembangan corak produksi menjadi masa feodalisme yang mengatur tentang
hak milik atas lahan, ilmu matematika mengalami perkembangan signifikan,
karena aktifitas manusia saat itu tidak hanya sekedar penghitungan jumlah. maka
diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki,
kemudian cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak.
Untuk keperluan yang lebih praktis, maka diperlukan bilangan-bilangan seebagai
satuan untuk mengukur.
Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun
dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan
perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefinisikan bilangan
maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa
2
kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan
yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi,
sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak
aspek kehidupan lainnya.
Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (16011665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre
(1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (18261866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (18651963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap
keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut
teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Ahli matematika mendefinisikan sistem bilangan yang lebih mudah dimengerti
dan diaplikasikan diberbagai disiplin ilmu, seperti dalam penjabaran berikut,
bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan
bilangan negatif.
Misal: … … − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai
tak terhingga.
Misal: 1, 2, 3
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan
1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2, 3, 5, 7, 11, 13, . ..
3
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan
prima.
Misal ; 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian
antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan / , dimana
dan
merupakan
bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3),3/4 …
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai
pembagian dua bilangan bulat.
Misal: �, 3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan
rasional dan bilangan irrasional
1
Misal: 1/2, 2, 3 , 5, �, 2/3, log 2 dan sebagainya.
Di sisi lain, dalam perkembangannya dibutuhkan metode penyelesaian suatu
bilangan apakah dapat dijumlahkan oleh dua bilangan bulat sempurna, sebagai
contoh,
� = 1: 1 = 02 + 1
� = 2 (prima): 2 = 12 + 12
� = 3 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 4: 4 = 22 + 02
n = 5 (prima): 5 = 22 + 12
n = 6 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
4
n = 7 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 8: 8 = 22 + 22
n = 9: 9 = 32 + 02
n = 10: 10 = 32 + 12
n = 11 (prima) tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 12 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 13 (prima): 12 = 32 + 22
n = 14 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
n = 15 tidak dapat dijumlahkan oleh dua bilangan sempurna
selain itu, berapakah jumlah kombinasi penjumlahan dua bilangan kuadrat
sempurnaya pada bilangan tertentu,
n = 50: 50 = 12 + 72 = 52 + 52
menjadi pertanyaan kemudian bagaimana mencari dua bilangan kuadrat sempurna
dengan jumlah tertentu serta kombinasinya
1. 2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji dan menjabarkan sifat bilangan
bulat yang dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat atau
lebih.
1. 3
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah dapat menjadi sumbangan dalam pemecahan
masalah dalam mencari dua bilangan kuadrat sempurna untuk bilangan-bilangan
tertentu.
5
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan
bulat, bilangan prima, kongruensi dalam bilangan bulat.
2.1
Keterbagian Dalam Bilangan Bulat
Definisi 2.1.1
Suatu bilangan bulat
dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat
jika terdapat suatu bilangan bulat
dipenuhi maka
sedemikin sehingga
. Jika jal ini
dan dinotasikan dengan │ yang dapat
dikatakan membagi
diartikan sebagai
=
≠ 0,
adalah faktor (pembagi) , atau
tidak habis membagi , maka dinotasikan
∤
adalah kelipatan . Jika
(Burton, 1998).
Teorema 2.1.2 (Algoritma Pembagian)
Jika
> 0, dan ,
∈ ℤ, maka ada bilangan-bilangan , ∈ ℤ yang masing-
masing tunggal (unique), sehingga
=
maka memenuhi ketidaksamaan 0 <
+ dengan 0
< .
disebut bilangan yang dibagi (devided)
disebut bilangan pembagi (devisor/pembagi)
< . jika
∤
6
disebut bilangan hasil (quotient), dan
disebut bilangan sisa (remaider/residu)
Sifat- sifat keterbagian bilangan bulat
│0, 1│ , │ .
1.
│1, jika dan hanya jika
2.
3. Jika │ dan │ , maka
= ±1.
│
.
Jika │ dan │ , maka │ .
4.
│ dan │ , jika dan hanya jika
5.
6. jika │ dan
≠ 0, maka
7. jika │ dan │ , maka │(
=± .
≤
+
), untuk sembarang bilangan bulat
dan .
(Byrne, 1967).
2.2
Persekutuan Pembagi Terbesar (Greatest Common Divisor)
Kita mengetahui bahwa faktor-faktor 30 adalah 1, 2, 3,5, 6, 10, 15 dan 30. Faktorfaktor 105 adalah 1, 3, 5, 7,15, 21, 35, dan 105. Maka 1, 3, 5, dan 15 disebut
faktor-faktor persekutuan (pembagi-pembagi bersama/ common divisor) dari 30
dan 105
Definisi 2.2.1
Suatu bilangan bulat
│
dan
adalah faktor persekutuan dari
│ (Burton, 1998).
dan
jika dan hanya jika
7
perlu diperhatikan bahwa jika
maka
dan
dan
hanya memiliki sejumlah faktor terbatas saja. Dengan kata lain
himpunan faktor persekutuan dari
faktor persekutuan dari
diantar
kedua-duanya bilangan bulat yang tak nol,
dan
dan . tetapi jika
dan
terbatas. Hal itu disebabkan faktor-
tidak akan lebih besar dari bilangan yang terbesar
atau
sama dengan 0, himpunan semua faktor
persekutuannya tak terbatas. Karena 1 membagi semua bilangan, maka 1
merupakan faktor persekutuan dua bilangan bulat sembarang
dan . oleh karena
itu setiap pasangan bulat sembarang selalu memiliki faktor persekutuan. Karena
elemen-elemen himpunan faktor pembagi persekutuan dari
dan
adalah
bilangan-bilangan bulat maka himpunan ini mempunyai elemen terbesar yang
biasa disebut faktor persekutuan terbesar (Burton, 1998).
Definisi 2.2.2
Jika
dan
bilangan-bilangan bulat yang tak nol,
terbesar dari
dari
dan
adalah membagi persekutuan
(ditulis “( , )”) jika dan hanya jika
dan , jika merupakan faktor persekutuan dari
faktor persekutuan
dan , maka
(Baum, 1990).
Teorema 2.2.3
Jika ( , ) =
maka ( ∶ ,
∶ )=1
Perlu diketahui bahwa ( : ) dan ( ∶ ) adalah bilangan-bilangan bulat yang
diperoleh dari ( , ) = , yang berarti
menghasilkan
=
dan
│ dan
= � untuk semua
( , ) = 1 maka dinyatakan bahwa
dan
│ yang berturut-turut
dan �. selanjutnya apabila
saling prima.
8
Teorema 2.2.4
=
1. jika
+ dimana ( , ) = ( , )
2. jika gcd ( , ) =
maka bilangan
dan
sehingga
3. misalkan │ dan │ dengan gcd( , ) = 1, maka
+
=
│ .
Definisi 2.2.5
dua bilangan bulat
dan , dimana keduanya tidak nol, maka disebut relatif prima
jika setiap gcd( , ) = 1 (Burton, 1998).
Teorema 2.2.6
Diketahui
dan
adalah bilangan bulat, keduanya tidak nol. Maka
prima jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat
persamaan 1 =
+
dan
dan
relatif
yang memenuhi
.
Akibat 2.2.7
Jika gcd ( , ) = , maka gcd ( / ,
2. 3
/ ) = 1 (Burton, 1998).
Bilangan Prima
Definisi 2.3.1
Bilangan bulat � > 1 disebut bilangan prima jika hanya terdapat faktor
pembaginya 1 dan � sendiri. Bilangan bulat yang lebih besar dari 1 dan bukan
bilangan prima disebut bilangan komposit (Burton, 1998).
9
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 adalah bilangan prima pertama. Sedangkan 4, 6, 8, 9, 10, 12,
adalah contoh bilangan komposit. Perlu diketahui juga, bahwa 1 bukan
merupakan bilangan prima maupun bilangan komposit.
Teorema 2.3.2
1. Suatu bilangan bulat �, dimana � > 1 dapat dibagi oleh bilangan prima.
2. Jika � adalah bilangan prima dan �│
, maka �│ dan �│ .
Teorema 2.3.3
1. Jika � adalah bilangan prima dan � │ 1 ,
beberapa nilai � dimana 1
2. Jika �,
1, 2, … , �
diman � =
�
�
1,
...,
�
�,
maka � │
semua adalah bilangan prima dan �│
untuk setiap � dimana 1
�
�.
�
untuk
1, 2, … , � ,
Teorema 2.3.4 Teorema Dasar Aritmatika
Untuk sembarang bilangan bulat � > 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari
bilangan prima serta dinyatakan dalam bentuk kanonik
Dimana
1,
2, . . . ,
�
� = �1 1 �2 2 … �� �
bilangan bulat positif dan �1 , �2 , . . . , �� merupakan bilangan
prima, dan �1 < �2 < . . . < �� .
Teorema 2.3.5
1. Jika n bilangan komposit, maka � memiliki faktor � sedemikian sehingga
1 < �
�.
10
2. Untuk setiap bilangan komposit �, terdapat bilangan prima � sedemikian
sehingga
�.
Teorema 2.3.6
Jika �� merupakan bilangan prima ke-�, maka ��
22
� −1
Akibat 2.3.7
�
Untuk �
1, setidaknya ada � + 1 bilangan prima kurang dari 22 .
Lemma 2.3.8
Hasil kali dari dua bilangan bulat atau lebih yang merunut pada persamaan 4� + 1
adalah sebuah bilangan prima
Teorema 2.3.9
Terdapat bilangan prima tak hingga yang sesuai mengikuti persamaan 4� + 3
3.4
Kekongruensian Modulo m
Definisi 2.4.1
misalkan
dengan
bilangan bulat positif, jika
modulo
( – ) atau ditulis
bulat �. jika
modulo
.
(ditulis
≡
dan
(mod
) jika dan hanya jika
│( – ). hal ini berarti
tidak membagi
–
bilangan bulat, maka
–
kongruen
membagi
= � , untuk suatu bilangan
maka dikatakan
tidak kongruen dengan
11
Teorema 2.4.2
≡
1.
) jika dan hanya jika terdapat bilangan � sehingga
(mod
�+ .
=
2. setiap bilangan bulat modulo dengan tepat satu diantara 0, 1, 2, 3, . . .,
(
– 1)
(Burton, 1998).
Definisi 2.4.3
Pada
(mod
≡
) dengan 0
(mod
<
, maka disebut residu terkecil dari
). Untuk kongruen ini, {0, 1, 2, 3, … , (
terkecil modulo
(Burton, 1998).
– 1)} disebut himpunan residu
Teorema 2.4.4
≡
(mod
), maka
dan
memiliki sisa yang sama jika dibagi
.
Definisi 2.4.5
himpunan bilangan bulat
1, 2,
…,
disebut sistem residu lengkap modulo
jika dan hanya jika setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan satu dan
hanya satu diantara
1, 2,
… , atau
(Burton, 1998).
Teorema 2.4.6
diketahui
berlaku,
> 1, serta , , , merupakan sembarang bilangan bulat. Maka
12
≡
1.
2. jika
3. jika
4. jika
(mod
≡
≡
≡
) dan
5. jika
(mod
6. jika
�
)
(mod
), maka
(mod
) dan
(mod
) dan
=
(mod
≡
)
≡
(mod
), maka
≡
(mod
), maka
≡
(mod
≡
)
(mod
), maka
(mod
), maka
+
=
+
≡
(mod
+
(mod
=
) dan
)
+
(mod
+
).
�
≡
�
(mod m) untuk setiap bilangan bulat
Teorema 2.4.7
1. Jika
2. Jika
3. Jika
maka
(Burton, 1998).
2. 5
≡
(mod
≡
(mod �) dan � ∤ , dimana � merupakan bilangan prima,
≡
≡
), lalu
≡
(mod
/ ), maka
(mod �) dan gcd ( , �) = 1, maka
≡
= gcd ( , �)
(mod �).
(mod �)
Teori Kongruensi Linear
Definisi 2.5.1
Kongruensi linear
dimana
≡
(mod �) merupakan solusi jika dan hanya jika │ ,
= gcd( , �). jika │ , maka
kongruen terhadap modulo �.
merupakan solusi yang saling tak
13
Teorema 2.5.2
Jika gcd ( , �) = 1, maka kongruensi linear
unik modulo � (Burton, 1998).
2.6
≡
(mod �) merupakan solusi
Teori Kuadrat Residu
Definisi 2.6.1
Diketahui � bilangan prima ganjil dan gcd( , �) = 1. Jika kongruensi kuadrat
2
≡
(mod �) adalah solusi, maka
disebut sebagai residu kuadrat dari �.
selainnya disebut tak residu kuadrat dari � (Burton, 1998).
2.7
Bilangan Kuadrat Sempurna
Definisi 2.7.1
Bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat � yang dapat dinyatakan
sebagai � =
2.8
2
dimana
adalah bilangan bulat (Burton, 1998).
Bilangan Bulat Kuadrat Bebas (Square-Free)
Definisi 2.8.1
Suatu bilangan bulat dikatakan kuadrat bebas jika bilangan tersebut tidak dapat
dibagi oleh kuadrat dari bilangan bulat yang lebih dari 1. Syaratnya adalah
1. bilangan bulat � > 1 adalah kuadrat bebas jika dan hanya jika n dapat
difaktorkan di dalam hasil kali prima yang berbeda.
14
2. Setiap bilangan bulat � > 1 adalah hasil kali dari bilangan bulat kuadrat
bebas dan berpangkat sempurna.
(Burton, 1998).
2. 9
Teori Fermat
Definisi 2.9.1
Jika p adalah bilangan prima, dan a adalah bilangan bulat positif, sehingga � ∤
dimana
�−1
≡ 1 (mod �).
Teorema 2.9.2
1. Jika � merupakan bilangan prima, dimana
bilangan bulat
2. Jika � dan
(
≡
� untuk setiap
merupakan bilangan prima yang berbeda dengan
) dan
(Baum, 1990).
2. 10
�
≡
(
�), maka
�
≡
(
� )
�
≡
Teorema Wilson
Definisi 2.10.1
Jika � adalah bilangan prima, maka (� – 1)! ≡ – 1 (mod �) (Burton, 1998).
,
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 WAKTU DAN TEMPAT PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012 – 2013 bertempat
di jurusan matematika, fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam,
Universitas Lampung.
3.2 METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Mengumpulkan pustaka (jurnal, buku, makalah dan website) yang
berhubungan dengan penelitian
2. Menentukan apakah suatu bilangan bulat yang merupakan bilangan prima
atau bilangan komposit
3.
Mengkaji apakah bilangan prima atau komposit tersebut merupakan
representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna.
4. Membuktikan penyelesaian representasi penjumlahan dua bilangan
kuadrat sempurna.
DAFTAR PUSTAKA
Byrne, J.R. 1967. Number System : An Elementary Approach. McGraw-Hill
Book Company, New York.
Baum, G.T. 1990. Introduction To Analytic And Probabilistic Number Theory.
Cambridge University Press, London.
Burton D.M. 1998. Elementary Number Theory. The McGraw-Hill Companies,
inc, New York