Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan Strategi Alternating Deadheading: Studi Kasus PO Raya
MODEL PENJADWALAN KEBERANGKATAN BUS DENGAN
STRATEGI ALTERNATING DEADHEADING:
STUDI KASUS PO RAYA
RAZONO AGALL CAHYADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Model Penjadwalan
Keberangkatan Bus dengan Strategi Alternating Deadheading: Studi Kasus PO
Raya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Razono Agall Cahyadi
NIM G54062681
ABSTRAK
RAZONO AGALL CAHYADI. Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan
Strategi Alternating Deadheading: Studi Kasus PO Raya. Dibimbing oleh AMRIL
AMAN dan FARIDA HANUM.
Penjadwalan keberangkatan bus merupakan salah satu hal yang penting
dalam pengelolaan perusahaan otobus untuk menekan biaya operasional. Masalah
penjadwalan ini diformulasikan sebagai suatu model linear integer programming.
Model ini bertujuan untuk mengatur banyaknya bus yang akan diberangkatkan
dari masing-masing kota untuk memenuhi permintaan transportasi. Strategi yang
digunakan untuk mengatur penjadwalan bus yaitu strategi deadheading. Strategi
deadheading merupakan strategi penjadwalan bus yang dilakukan apabila terjadi
ketidakseimbangan akan banyaknya penumpang di suatu kota dan adanya
keterbatasan bus yang beroperasi. Model penjadwalan dengan deadheading ini
merupakan salah satu upaya untuk menurunkan frekuensi keberangkatan bus
sehingga dapat meningkatkan efisiensi biaya operasional.
Kata kunci: penjadwalan bus, linear integer programming, alternating
deadheading
ABSTRACT
RAZONO AGALL CAHYADI. Bus Departure Scheduling Model with
Alternating Deadheading Strategy: Case Study in PO Raya. Supervised by
AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
Bus Departure scheduling is one of important aspects in managing a bus
company in order to minimize the operational cost. This scheduling is formulated
as a linear integer programming model. The purpose of this model is to arrange
buses from each city to meet transportation demand. The strategy of the model is
to develop bus scheduling using deadheading. The deadheading strategy will be
used if there is an unbalancy in the number of buses operated in one or more
cities. The model with deadheading is one of efforts to minimize the frequency of
bus departure in order to increase efficiency of the bus operation.
Keywords: bus scheduling, linear integer programming, alternating deadheading
MODEL PENJADWALAN KEBERANGKATAN BUS DENGAN
STRATEGI ALTERNATING DEADHEADING:
STUDI KASUS PO RAYA
RAZONO AGALL CAHYADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan Strategi
Alternating Deadheading: Studi Kasus PO Raya
Nama
: Razono Agall Cahyadi
NIM
: G54062681
Disetujui oleh
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Judul Skripsi: Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan Strategi
Alternating Deadheading: Studj Kasus PO Raya
: Razono Agall Cahyadi
Nama
: G5406268I
NTM
Disetujui oleh
J
." v
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Tanggal Lulus : '
16 JAN 2014
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan atas segala karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga
tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Ayahanda Ignatius Sutrisno dan Ibunda Budi Suryani, beserta kakak Dian
Eka Permadi dan Marlyta Galih Kusuma serta Mamak Maryanah dan Titah
Putri Utami yang telah memberikan dukungan, semangat, pengorbanan,
nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya,
2 Dr Ir Amril Aman, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi serta Drs Prapto Tri
Supriyo, MKom masing-masing sebagai dosen pembimbing I, dosen
pembimbing II, serta dosen Penguji Luar atas semua ilmu, kesabaran,
motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini,
3 Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya,
4 Manajemen PO Raya yaitu Bapak Nata Laksana, Bapak Brata Laksana,
Bapak Prapto dan Bapak Marjani serta teman-teman komunitas fans Raya
(Rofik, Joko, Ito, Wahyu, Andi, Arif) atas semua bantuannya.
5 Matematika 43 (Arif, Faisal, Fardan, David), Matematika 44 (Imam dan
Imah), Matematika 45 (Dini, Nova, Dina, Gita), dan teman lain yang tidak
dapat disebutkan satu persatu atas dukungan dan kebersamaannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2014
Razono Agall Cahyadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Penjadwalan
2
Integer Programming (IP)
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Strategi Alternating Deadheading
3
Bus Malam Antarkota Antarprovinsi
3
Formulasi Masalah
5
STUDI KASUS
6
Formulasi Model Matematika
7
Pengujian Model
8
SIMPULAN DAN SARAN
14
Simpulan
14
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1 Kelas Bus
2 Biaya Keberangkatan
3 Banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif trayek Jakarta – Solo dan
Solo – Jakarta Selama 7 hari
4 Banyaknya bus kelas Eksekutif trayek Jakarta – Solo dan Solo – Jakarta
Selama 7 hari
5 Banyaknya penumpang bus kelas Super Top trayek Jakarta – Solo dan
Solo – Jakarta Selama 7 hari
6 Banyaknya bus kelas Super Top trayek Jakarta – Solo dan Solo – Jakarta
Selama 7 hari
7 Banyaknya penumpang yang berangkat dari Jakarta ke Solo dan Solo ke
Jakarta selama 14 hari untuk setiap kelas bus
8 Banyaknya bus yang diberangkatkan dalam waktu 14 hari sebelum
menggunakan model matematika
9 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Solo ke Jakarta sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
10 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Jakarta ke Solo sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
7
7
9
9
10
11
12
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1 Alur pergerakan bus pada Skenario 1
2 Alur pergerakan bus pada Skenario 2
10
11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 1
2 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 1
3 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 2
4 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 2
5 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 3
6 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 3
15
16
19
20
23
25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bus merupakan transportasi darat yang menjadi salah satu alternatif bagi
warga yang akan berpergian dari satu tempat ke tempat lain, baik di dalam kota
maupun ke luar kota. Moda transportasi ini masih menjadi primadona bagi
sebagian warga karena mudah, terjangkau dan cepat. Banyak di antara penyedia
jasa transportasi (perusahaan otobus) dalam kota, antarkota dalam provinsi,
antarkota antarprovinsi yang bersaing untuk menjadi pilihan utama bagi para
penumpangnya. Oleh karena itu, setiap perusahaan otobus berlomba-lomba untuk
memberikan pelayanan (servis) terbaik kepada para penumpangnya. Servis yang
diberikan pun beragam, mulai dari harga tiket yang lebih murah, pengadaan servis
makan, hingga fasilitas lainnya yang dapat digunakan di dalam bus, seperti
penyediaan sarana hiburan hingga toilet yang biasanya diberikan oleh perusahaan
otobus antarkota antarprovinsi. Tetapi, di tengah upaya untuk memberikan servis
tersebut, sebagian besar perusahaan otobus menghadapi beberapa kendala, di
antaranya yang paling sering ditemui yaitu inefisiensi biaya operasional yang
harus dikeluarkan oleh pihak perusahaan otobus.
Inefisiensi biaya operasional dapat disebabkan oleh penjadwalan
keberangkatan bus yang tidak sesuai sehingga hal ini akan menimbulkan
ketidakseimbangan biaya operasional. Biaya yang terlalu besar dikeluarkan tidak
sebanding dengan jumlah penumpang yang diangkut menyebabkan perusahaan
otobus tidak memperoleh keuntungan yang sesuai dan dapat memperburuk
kondisi finansial perusahaan otobus tersebut.
Salah satu alternatif yang dapat membantu mengurangi biaya operasional
suatu perusahaan otobus ialah dengan alternating deadheading. Alternating
deadheading adalah alternatif penjadwalan keberangkatan bus yang tidak
mengangkut penumpang dari terminal awal, tetapi tujuan keberangkatannya ialah
untuk memenuhi permintaan penumpang yang tinggi di suatu terminal yang tidak
terangkut oleh bus-bus yang telah diberangkatkan. Sebagian besar perusahaan
otobus belum melakukan sistem penjadwalan dengan alternating deadheading,
sebab hal tersebut belum cukup umum bagi perusahaan otobus di Indonesia.
Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang berjudul Intercity bus
scheduling for the Saudi public transport company to maximize profit and yield
additional revenue oleh Mohamad K. Hasan dan Ahmad A. Al Hammad pada
tahun 2010.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini ialah menyusun model penjadwalan
keberangkatan bus dengan mengadakan bus deadhead untuk menentukan
penjadwalan yang lebih efisien dan menerapkannya pada penjadwalan bus di PO
Raya.
2
LANDASAN TEORI
Dalam membuat model optimisasi penjadwalan keberangkatan bus
diperlukan pemahaman beberapa istilah, di antaranya mengenai penjadwalan dan
integer programming (IP).
Penjadwalan
Definisi Penjadwalan
Menurut Morton dan Pentico (1993) penjadwalan adalah proses
pengorganisasian, pemilihan dan penetapan penggunaan sumberdaya dalam
rangka melaksanakan semua aktivitas yang diperlukan untuk memperoleh hasil
yang diinginkan pada sesuatu yang telah direncanakan, dengan batasan waktu dan
hubungan antaraktivitas dan sumberdaya tertentu.
Tujuan Penjadwalan
Menurut Bedworth dan Bailey (1986) beberapa tujuan penjadwalan, ialah
1 meningkatkan utilitas atau kegunaan sumberdaya,
2 mengurangi total waktu proses seluruh pekerjaan (makespan),
3 mengurangi rata-rata banyaknya pekerjaan yang menunggu untuk diproses
oleh suatu sumberdaya,
4 meminimumkan keterlambatan pemenuhan suatu job.
Kriteria Optimisasi Penjadwalan
Menurut Heizer dan Render (2010), kriteria optimisasi dalam proses
penjadwalan dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian.
1 Kriteria yang berkaitan dengan waktu
Beberapa kriteria yang terkait dengan waktu ialah minimisasi rata-rata flow
time, minimisasi makespan, dan minimisasi tardiness.
2 Kriteria yang berkaitan dengan biaya
Kriteria ini lebih menekankan pada unsur biaya dan kurang atau bahkan tidak
memperhatikan kriteria waktu yang ada sehingga dengan suatu penjadwalan
produksi tertentu diharapkan biaya yang minimum.
3 Kriteria gabungan
Beberapa kriteria optimalitas dapat digabung dan dapat dikombinasi sehingga
menjadi multikriteria.
Integer Programming (IP)
Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972) integer programming (IP) adalah
suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan
bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa
integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). IP dengan semua
variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Bab ini akan membahas tentang strategi alternating deadheading, bus
malam antarkota antarprovinsi kemudian dilanjutkan dengan formulasi
matematika terhadap permasalahan tersebut
Strategi Alternating Deadheading
Pada karya ilmiah ini akan diterapkan strategi pengaturan jadwal
keberangkatan bus dengan alternating deadheading. Dalam (Furth, 1985)
alternating deadheading ialah pengaturan jadwal keberangkatan bus dengan
memperhitungkan bus yang tidak mengangkut penumpang dari terminal awal (bus
deadhead), agar dapat mengangkut penumpang di terminal-terminal lainnya yang
tidak terangkut oleh bus reguler. Adanya bus deadhead dapat membantu
perusahaan otobus meningkatkan keuntungan perusahaan maupun kepuasan
penumpang terhadap pelayanan yang diberikan.
Alternating deadheading ini akan dibutuhkan pada saat demand armada
bus tidak seimbang. Dengan strategi ini dimungkinkan untuk dilakukan
penyesuaian suplai armada bus terhadap permintaan bus di satu kota. Beberapa
bus harus berangkat dalam keadaan kosong ke terminal tujuan untuk memenuhi
demand penumpang yang lebih besar di kota lain. Bus tersebut akan bebas
menggunakan jalur tercepat yang tersedia, untuk mengangkut penumpang yang
belum terangkut di terminal yang kekurangan armada. Pada strategi alternating
deadheading, banyaknya penumpang yang berangkat dari terminal di kota awal ke
terminal di kota tujuan dan banyaknya bus yang tersedia akan menjadi
pertimbangan untuk menentukan banyaknya bus yang akan diberangkatkan.
Saat ini berbagai perusahaan otobus antarkota antarprovinsi belum
menggunakan strategi alternating deadheading. Perusahaan otobus masih
menggunakan sistem konvensional, yakni memberangkatkan busnya dari terminal
keberangkatan. Namun, apabila terjadi lonjakan penumpang maka pihak
perusahaan otobus tidak lagi memiliki bus yang siap melakukan perjalanan. Pada
akhirnya, perusahaan otobus tidak dapat memaksimalkan keuntungan yang
seharusnya dapat diperoleh.
Bus Malam Antarkota Antarprovinsi
Bus malam antarkota antarprovinsi merupakan angkutan darat yang
menghubungkan satu kota dengan kota yang lain di provinsi yang berbeda. Pada
umumnya perusahaan bus malam antarkota antarprovinsi memiliki beberapa
trayek. Pihak perusahaan otobus memilih memberangkatkan sejumlah busnya di
satu waktu yang hampir bersamaan pada sore hingga malam hari karena
pertimbangan kelancaran perjalanan dan jumlah penumpang yang lebih banyak di
waktu-waktu tersebut. Oleh karena itu setiap bus hanya melakukan maksimal satu
kali perjalanan setiap harinya dan bus akan diperiksa kelayakannya untuk
keberangkatan selanjutnya di depot perusahaan otobus.
Bus dibedakan menjadi bus reguler dan bus nonreguler.
Bus Reguler
Bus reguler merupakan bus yang armadanya dimiliki oleh perusahaan
otobus sendiri. Masalah penjadwalan keberangkatan bus reguler merupakan suatu
4
model pengaturan waktu perjalanan bus suatu perusahaan otobus yang diharapkan
dapat meminimalkan biaya operasional dengan mengatur jumlah keberangkatan
bus. Adapun jenis bus reguler berdasarkan keberangkatannya ialah bus-berangkat,
bus perpal dan bus deadhead.
1 Bus-berangkat
Bus-berangkat yaitu bus yang memiliki jadwal keberangkatan dari
terminal di satu kota ke terminal di kota lain untuk mengangkut penumpang dari
satu kota menuju kota lain. Bus akan berangkat apabila kuota minimum
penumpang telah terpenuhi. Banyaknya bus yang berangkat berdasarkan pada
penumpang di hari dan kota tertentu. Adapun biaya bus-berangkat dihitung dari
biaya bahan bakar, perawatan bus, penggajian awak bus, biaya konsumsi (apabila
disediakan), serta biaya lainnya.
2 Bus perpal
Istilah perpal diambil dari bahasa Belanda yaitu verval yang artinya bus
mengalami kerusakan/tidak berangkat. Bus perpal yaitu bus yang tidak
melakukan perjalanan dan hanya menginap di satu kota dikarenakan suatu hal,
misalkan mesin rusak, demand penumpang di kota tersebut tidak memenuhi
jumlah minimum penumpang bus-berangkat dan lain-lain. Pada kondisi ini bus
perpal tidak memiliki biaya karena tidak melakukan perjalanan.
3 Bus deadhead
Bus deadhead adalah bus yang berangkat tanpa mengangkut penumpang
dari terminal di kota awal dan akan melewati jalur tercepat untuk tiba di terminal
kota tujuan. Tujuan utama pemberangkatan bus deadhead ialah untuk memenuhi
kebutuhan pengangkutan penumpang di kota lain yang membutuhkan lebih
banyak bus.
Bus Nonreguler
Tingginya biaya perawatan dan penyediaan bus membuat perusahaan
otobus memiliki keterbatasan dalam hal kepemilikan unit bus. Keterbatasan unit
bus ini tidak akan bermasalah apabila demand bus kurang dari unit yang tersedia.
Namun apabila unit yang tersedia tidak mampu untuk memenuhi demand maka
salah satu cara untuk menyiasatinya ialah dengan menyewa bus dari perusahaan
otobus lainnya.
Bus-tambahan
Bus-tambahan yaitu bus nonreguler yang akan berangkat apabila
kebutuhan bus tidak dapat diakomodasi oleh bus reguler yang berada di kota
tersebut atau bus deadhead dari kota lain. Adapun biaya bus tambahan akan lebih
besar dibanding dengan biaya bus-berangkat karena terdapat tambahan biaya
seperti biaya penyesuaian kondisi kabin bus dan biaya penyewaan bus.
5
Formulasi Masalah
Untuk membatasi permasalahan penjadwalan keberangkatan bus, maka
digunakan beberapa asumsi antara lain:
1 satu siklus terdiri dari 14 hari (2 minggu),
2 tidak ada bus yang mengalami kerusakan,
3 jumlah bus yang dimiliki pihak otobus terbatas,
4 hanya terdapat satu terminal di setiap kota,
5 penentuan jumlah penumpang dilakukan dari data yang pernah ada.
Permasalahan penjadwalan bus tersebut dapat dinyatakan ke dalam bentuk
pemrograman linear integer.
Indeks
= kota asal keberangkatan
= hari keberangkatan
= kelas bus
= 1,2,…, ,
= 1,2,…, ,
= 1,2,…, .
Parameter
= biaya keberangkatan untuk bus-berangkat,
= biaya keberangkatan untuk bus deadhead,
= biaya keberangkatan untuk bus tambahan,
= kapasitas bus kelas ,
= jumlah bus yang dimiliki perusahaan otobus untuk bus kelas ,
= persentase keterangkutan penumpang,
= banyak penumpang di kota asal , hari , dan bus kelas .
Variabel Keputusan
= banyak bus yang dibutuhkan di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus perpal di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus yang terdapat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus-berangkat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus deadhead di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus tambahan di kota asal , hari , dan bus kelas .
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya keberangkatan
dengan mengatur banyaknya bus-berangkat, bus deadhead dan bus tambahan
sebagai berikut.
Minimumkan
.
6
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1 Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus harus lebih besar
atau sama dengan persentase banyaknya penumpang yang diinginkan.
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
2 Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan bus perpal di satu kota akan
sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang akan pergi ke kota lain dan bus
perpal di kota tersebut di hari berikutnya.
a2 jk b1 jk c2 jk a1( j 1) k b1( j 1)k c1( j 1)k
= 1 = 1,2,…,
= 1,2,…, ,
a1 jk b2 jk c1 jk a2( j 1) k b2( j 1) k c2( j 1) k
= 2 = 1,2,…,
= 1,2,…, .
3 Banyaknya bus yang ada di satu kota hari ini adalah penjumlahan dari busberangkat dan bus deadhead dari kota lain serta bus perpal dari kota tersebut
di hari sebelumnya.
a2 jk b1 jk c2 jk e1( j 1) k
= 1 = 1,2,…,
= 1,2,…, ,
a1 jk b2 jk c1 jk e2( j 1) k
= 2 = 1,2,…,
= 1,2,…, .
4 Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari tertentu adalah jumlah
seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan otobus.
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
5 Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau sama dengan bus yang
akan dioperasikan.
eijk aijk cijk
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
6 Banyaknya bus yang dibutuhkan setiap hari di setiap kota adalah penjumlahan
dari banyaknnya bus-berangkat dan bus tambahan.
aijk fijk gijk
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
7 Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
aijk , bijk , cijk , eijk , f ijk , gijk 0 = 1,2,…,
STUDI KASUS
Studi kasus yang dilakukan oleh penulis pada karya ilmiah ini yaitu pada
perusahaan otobus RAYA dengan data yang dipergunakan ialah data pada tanggal
11 sampai dengan 24 Februari 2013. Keberangkatan bus yang dibahas ialah
keberangkatan bus yang melayani 2 kota di pulau Jawa. Kota tersebut ialah Solo
dan Jakarta. PO RAYA membagi 4 kelas bus di dalam setiap perjalanannya yaitu
kelas Super Top yang memiliki kapasitas 18 penumpang, Eksekutif yang memiliki
kapasitas 24 penumpang, Eksekutif-28 yang memiliki kapasitas 28 penumpang
dan Eksekutif-32 yang memiliki kapasitas 32 penumpang. Perusahaan ingin
menentukan berapa banyak bus yang berangkat dan berapa banyak bus yang tidak
berangkat berdasarkan data jumlah penumpang yang ada setiap 14 hari.
7
Formulasi Model Matematika
Indeks
= kota asal keberangkatan
= hari keberangkatan
= kelas bus
= 1,2,
= 1,2,…, 14,
= 1,2, 3, 4.
Parameter
= biaya keberangkatan untuk bus-berangkat,
= biaya keberangkatan untuk bus deadhead,
= biaya keberangkatan untuk bus tambahan,
= kapasitas bus kelas ,
= jumlah bus yang dimiliki perusahaan otobus untuk bus kelas ,
= persentase keterangkutan penumpang,
= banyak penumpang di kota asal , hari , dan bus kelas .
Dalam studi kasus ini terdapat 2 kota asal keberangkatan dengan = 1
adalah kota Solo dan = 2 adalah kota Jakarta, 14 hari keberangkatan dan 4 kelas
bus serta persentase keterangkutan penumpang sebesar = 90.
Tabel 1 Kelas bus
Kelas bus
1
2
3
4
Super Top
Eksekutif
Eksekutif-28
Eksekutif-32
Kapasistas bus
18
24
28
32
Jumlah bus
4
12
4
4
Tabel 2 Biaya keberangkatan
Jenis bus
Bus-berangkat
Bus deadhead
Bus tambahan
Biaya keberangkatan
1.250.000
900.000
2.200.000
Variabel Keputusan
= banyak bus yang dibutuhkan di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus perpal di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus yang terdapat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus-berangkat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus deadhead di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus tambahan di kota asal , hari , dan bus kelas .
8
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya keberangkatan
dengan mengatur banyaknya bus-berangkat, bus deadhead dan bus tambahan
sebagai berikut.
Minimumkan
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1 Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus harus lebih besar
atau sama dengan persentase banyaknya penumpang yang diinginkan.
= 1,2
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
2 Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan bus perpal di satu kota akan
sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang akan pergi ke kota lain dan busperpal di kota tersebut di hari berikutnya.
a2 jk b1 jk c2 jk a1 j 1k b1 j 1k c1 j 1k
a1 jk b2 jk c1 jk a2 j 1k b2 j 1k c2 j 1k
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
3 Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah penjumlahan dari busberangkat dan bus deadhead dari kota lain serta bus perpal dari kota tersebut
di hari sebelumnya.
a1 jk b2 jk
a2 jk b1 jk
c1 jk
c2 jk
e2 j
e1 j
1k
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
4 Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari tertentu adalah jumlah
seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan otobus.
e1 jk e2 jk uk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
5 Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau sama dengan bus yang
akan dioperasikan.
e1 jk
e2 jk
1k
a1 jk c1 jk
a2 jk c2 jk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
6 Banyaknya bus yang dibutuhkan setiap hari di setiap kota adalah penjumlahan
dari banyaknya bus-berangkat dan bus tambahan.
a1 jk f1 jk g1 jk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
a2 jk f 2 jk g 2 jk
7 Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
aijk , bijk , cijk , eijk , f ijk , gijk 0
= 1,2
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
Pengujian Model
Model ini akan diujikan pada beberapa skenario menggunakan data
demand penumpang yang diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0.
Pada Skenario 1 akan ditunjukkan terdapat bus-berangkat dan bus perpal di satu
kota, kemudian akan ditunjukkan pula terdapat bus deadhead yang berangkat dari
satu kota menggunakan data banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif selama 7
hari, pada Skenario 2 akan ditunjukkan terdapat bus tambahan yang disediakan
untuk berangkat di satu kota, kemudian akan ditunjukkan pula terdapat bus
9
deadhead dengan tujuan apabila terdapat kekurangan bus di satu kota
menggunakan data banyaknya penumpang bus kelas Super Top selama 7 hari, dan
pada Skenario 3 akan dijadwalkan keberangkatan bus secara keseluruhan selama
14 hari yang meminimalkan biaya dengan demand penumpang yang terdapat di
setiap kota pada setiap hari sebagai acuannya.
Skenario 1
Pada Tabel 3 terlihat bahwa pada bus kelas Eksekutif yang berkapasitas 24 orang
terjadi ketidakseimbangan banyaknya penumpang tujuan Solo dan Jakarta. Hal ini
memungkinkan terdapat bus perpal atau dengan kata lain di salah satu kota tidak
semua bus akan berangkat.
Selain itu untuk memenuhi kebutuhan bus di suatu kota diberangkatkan pula bus
deadhead dari terminal di kota lain. Bus akan berangkat dalam keadaan kosong ke
terminal di kota tujuan.
Tabel 3 Banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif trayek Jakarta - Solo dan
Solo - Jakarta selama 7 hari
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Tujuan Jakarta
112
85
119
89
80
110
158
Tujuan Solo
89
105
104
116
155
78
107
Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO dapat dilihat di Lampiran 1 dan
Lampiran 2. Hasil komputasi Skenario 1 dengan software LINGO 11.0
diperlihatkan di Tabel 4.
Tabel 4 Banyaknya bus kelas Eksekutif trayek Jakarta - Solo dan Solo - Jakarta
di setiap kota selama 7 hari
Di Kota Jakarta
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Bus
yang
tersedia
6
6
6
7
6
3
5
Di Kota Solo
Busberangkat
Bus
perpal
Bus
deadhead
4
4
4
5
6
3
5
1
2
2
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Bus
yang
tersedia
6
6
6
5
6
9
7
Busberangkat
Bus
perpal
Bus
deadhead
5
4
5
4
3
5
6
1
2
1
1
3
4
1
0
0
0
0
0
0
0
Pada hari pertama, di kota Solo terdapat 6 bus untuk memenuhi kebutuhan bus,
namun hanya diberangkatkan 5 bus sehingga 1 bus lainnya perpal. Kemudian,
dapat diperhatikan bahwa bus deadhead terdapat di hari pertama di kota Jakarta
menuju kota Solo sebab terjadi ketidakseimbangan jumlah bus di kedua kota
10
tersebut. Hal ini memungkinkan bus akan berangkat kosong (deadhead) sebanyak
1 bus dari kota Jakarta untuk memenuhi kebutuhan di kota Solo. Ilustrasi
perjalanan bus selama 7 hari diberikan pada Gambar 1.
Keterangan:
Bus-berangkat :
Bus perpal
:
Bus deadhead :
Kota Solo
:
Kota Jakarta :
Gambar 1 Alur pergerakan bus pada Skenario 1
Skenario 2
Pada skenario ini akan ditunjukkan terdapat bus tambahan yang akan
diberangkatkan apabila kebutuhan bus lebih banyak dari banyaknya bus yang
tersedia di suatu kota dan tidak memungkinkan terjadinya bus deadhead dari
terminal di kota lain karena tidak ada armada yang tersedia.
Kemudian akan diperlihatkan pula bus deadhead akan terjadi apabila terdapat
kekurangan armada bus di satu kota. Hal ini disebabkan karena kebutuhan bus
yang lebih banyak dari jumlah bus yang tersedia. Banyaknya penumpang bus
kelas Super Top yang akan menjadi input dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Banyaknya penumpang bus kelas Super Top trayek Jakarta - Solo dan
Solo - Jakarta selama 7 hari
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Tujuan Jakarta
25
21
23
19
33
30
49
Tujuan Solo
30
25
35
25
47
31
30
Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO dapat dilihat di Lampiran 3 dan
Lampiran 4. Hasil komputasi Skenario 2 dengan software LINGO 11.0
diperlihatkan di Tabel 6. Pada hari kelima, di kota Jakarta membutuhkan 3 bus
namun yang tersedia hanya 2 bus, yang berasal dari 1 bus-berangkat dan 1 bus
deadhead dari kota Solo. Hal ini memungkinkan penyewaan 1 bus tambahan yang
11
digunakan untuk memenuhi kebutuhan bus di kota Jakarta. Ilustrasi perjalanan
bus selama 7 hari diberikan pada Gambar 2.
Tabel 6 Banyaknya bus kelas Super Top trayek Jakarta - Solo dan Solo - Jakarta
di setiap kota selama 7 hari
Di Kota Jakarta
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Bus
yang
tersedia
2
2
2
2
2
2
2
Di Kota Solo
Busberangkat
Bus
deadhead
Bus
tambahan
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Bus
yang
tersedia
2
2
2
2
2
2
2
Busberangkat
Bus
deadhead
Bus
tambahan
2
2
2
1
2
2
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Keterangan:
Bus-berangkat :
Bus perpal
:
Bus deadhead :
Bus tambahan :
Kota Solo
:
Kota Jakarta :
Gambar 2 Alur pergerakan bus pada Skenario 2
Skenario 3
Pada skenario ini akan dijadwalkan keberangkatan bus di setiap kelas secara
keseluruhan selama 14 hari yang akan meminimumkan biaya dengan banyaknya
penumpang yang terdapat di setiap kota pada setiap harinya sebagai acuan.
Banyaknya penumpang dan bus yang berangkat untuk setiap kelas yang tidak
menggunakan model matematika selama 14 hari dapat dilihat di Tabel 7 dan 8.
Data tersebut di diambil dari sub agen dan agen PO Raya yang berada di Jakarta
dan Solo, pada tanggal 11 sampai dengan 24 Febuari 2013, dengan biaya
keberangkatan setiap bus ialah Rp. 1.250.000.
12
Tabel 7 Banyaknya penumpang yang berangkat dari Jakarta ke Solo dan Solo ke
Jakarta selama 14 hari untuk setiap kelas bus
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Super
Top
25
21
23
19
33
30
49
19
21
29
30
28
32
54
Tujuan Jakarta
Eksekutif
Eksekutif
28
112
46
85
30
119
32
89
24
80
33
110
41
158
69
114
40
93
38
78
36
88
56
108
44
113
21
160
68
Eksekutif
32
35
36
50
49
45
48
63
37
41
48
40
49
45
62
Super
Top
30
25
35
25
47
31
30
28
18
26
35
42
33
28
Tujuan Solo
Eksekutif
Eksekutif
28
89
15
105
43
104
27
116
28
155
72
78
38
107
49
110
27
84
39
108
36
102
34
156
74
103
51
90
29
Eksekutif
32
39
41
45
44
62
39
46
40
47
23
41
63
46
44
Tabel 8 Banyaknya bus yang diberangkatkan dalam waktu 14 hari sebelum
menggunakan model matematika
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jumlah
Super
Top
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
30
Tujuan Jakarta
Eksekutif
Eksekutif
28
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
86
30
Eksekutif
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
Super
Top
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
30
Tujuan Solo
Eksekutif
Eksekutif
28
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
86
30
Eksekutif
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
(Sumber: PO Raya)
Akan dibandingkan banyaknya bus yang berangkat sebelum dan sesudah
dimasukkan kedalam model matematika. Hal ini dilakukan sebagai upaya untuk
mengetahui seberapa efisien penjadwalan yang telah dirumuskan, sehingga dapat
diterapkan pada penjadwalan bus di PO Raya.
13
Tabel 9 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Solo ke Jakarta sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jumlah
Super Top
Sebelum Sesudah
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
30
26
Eksekutif
Sebelum Sesudah
6
5
6
4
6
5
6
4
6
3
6
5
7
6
6
5
6
4
6
3
6
4
6
5
6
5
7
6
86
64
Eksekutif-28
Sebelum Sesudah
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
30
25
Eksekutif-32
Sebelum Sesudah
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
27
Tabel 10 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Jakarta ke Solo sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
Hari
Super Top
Sebelum Sesudah
Eksekutif
Sebelum Sesudah
Eksekutif-28
Sebelum Sesudah
Eksekutif-32
Sebelum Sesudah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
6
6
6
6
7
6
6
6
6
6
6
7
6
6
4
4
4
5
6
3
5
5
4
5
4
6
4
4
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
Jumlah
30
27
86
63
30
23
28
27
Dari penghitungan pada LINGO 11.0 diperoleh hasil, yaitu terdapat 282
bus-berangkat, 8 bus deadhead dan 8 bus tambahan serta fungsi objektifnya
adalah 377300 (dalam ribu rupiah). Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO
dapat dilihat di Lampiran 5 dan 6, sedangkan hasil program dalam bentuk tabel
14
perbandingan keberangkatan bus sebelum dan sesudah menggunakan model dapat
dilihat pada Tabel 9 dan 10. Berdasarkan data tersebut perusahaan otobus akan
menghemat biaya sebesar 69.100.000 rupiah atau 15.48% dari biaya sebelumnya
karena total bus yang berangkat sebelum menggunakan model matematik pada
karya ilmiah ini adalah 336 keberangkatan bus reguler dan 12 keberangkatan bus
tambahan dengan total biaya 446.400.000 rupiah karena biaya keberangkatan
setiap bus di PO Raya ialah Rp. 1.250.000.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah penjadwalan keberangkatan bus dan pengadaan bus deadhead
merupakan hal yang penting karena dapat berpengaruh pada biaya operasional
perusahaan otobus. Jumlah penumpang yang tidak seimbang membuat
penggunaan bus deadhead menjadi salah satu alternatif dalam usaha perusahaan
otobus mengefisiensikan biaya keberangkatan bus. Hal-hal yang harus
diperhatikan dalam menyelesaikan masalah ini ialah penentuan jumlah busberangkat, bus perpal, bus deadhead dan bus tambahan yang jumlahnya
disesuaikan dengan jumlah penumpang pada hari tersebut. Masalah penjadwalan
ini dapat diformulasikan dengan integer programming dan diselesaikan dengan
LINGO 11.0.
Saran
Pada karya tulis ini telah dibahas mengenai masalah penentuan busberangkat, bus perpal, bus deadhead dan bus tambahan yang beroperasi di satu
trayek. Akan lebih baik apabila penelitian ini dikembangkan dengan masalah yang
lebih kompleks, yaitu masalah penentuan bus-berangkat, bus deadhead dan bus
tambahan yang terintegrasi dengan beberapa trayek di suatu perusahaan otobus.
DAFTAR PUSTAKA
Bedworth DD, Bailey JE. 1986. Integrated Production Control
System:Management, Analysis, Design. New York (US): John Wiley & Sons.
Furth PG. 1985. Alternating Deadheading in Bus Route Operations.
Transportation Science 19(1): 13-28.
Garfinkel, RS & Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York (US):
John Wiley & Sons.
Hasan MK. & Hammad AAA. 2010. Intercity bus scheduling for the Saudi public
transport company to maximize profit and yield additional revenue. Service
Science & Management 3(3): 373-382.
Heizer J, Render B. 2010. Manajemen Operasi. Ed ke-9. Sungkono C,
penerjemah. Jakarta (ID): Salemba Empat. Terjemahan dari: Operations
Management.
Morton TE, Pentico DW. 1993. Heuristics Scheduling System. New York (US):
John Wiley & Sons.
15
Lampiran 1
Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat dalam
meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 1.
SETS:
kota_asal/1,2/:x;
perjalanan/1..7/:y;
bus(kota_asal,perjalanan):A,B,C,D,E,F,G;
ENDSETS
DATA:
D= @ole('excel-1.xlsx','DEMAND');
@ole('excel1.xlsx','BUS_BERANGKAT','BUS_PERPAL','BUS_DEADHEAD','BUS_YANG_TERS
EDIA','BUS_TAMBAHAN','TOTAL_BUS_BERANGKAT')=A,B,C,E,F,G;
ENDDATA
Min = @SUM(bus(i,j):1250*A + 900*C + 2200*F );
!kendala 1: Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus
harus lebih besar atau sama dengan persentase banyaknya penumpang
yang diinginkan;
@FOR(bus(i,j):24*G >= 0.9*D);
!kendala 2: Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan busperpal di kota satu akan sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang
akan pergi ke kota lain dan bus-perpal di kota tersebut di hari
berikutnya;
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)C(2,j)- C(1,j+1))= 0);
B(1,j+1)+
A(2,j)-
A(1,j+1)
+
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)C(1,j) - C(2,j+1))=0);
B(2,j+1)+
A(1,j)-
A(2,j+1)+
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)- B(1,1)+ A(2,j)- A(1,1) + C(2,j) C(1,1))= 0);
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)- B(2,1)+ A(1,j)- A(2,1)+ C(1,j) C(2,1)) =0);
!kendala 3: Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah
penjumlahan dari dari bus-berangkat dan bus-deadhead dari kota
lain serta bus-perpal dari kota tersebut di hari sebelumnya;
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)+ A(2,j)+ C(2,j))= E(1,j+1));
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j): B(2,j)+ A(1,j)+ C(1,j))= E(2,j+1));
16
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)+ A(2,j)+ C(2,j))= E(1,1));
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)+ A(1,j)+ C(1,j))= E(2,1));
!kendala 4: Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari
tertentu adalah jumlah seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan
otobus;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J)+ E(1,J))= 12);
!kendala 5: Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau
sama dengan bus yang akan berangkat;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):A(1,J)+C(1,J))= 0.9*D);
@FOR(bus(i,j,k)|k#EQ#4:32*G >= 0.9*D);
!kendala 2: Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan busperpal di kota satu akan sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang
akan pergi ke kota lain dan bus-perpal di kota tersebut di hari
berikutnya;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)B(1,j+1,k)+
A(1,j+1,k) + C(2,j,k)- C(1,j+1,k))= 0));
A(2,j,k)-
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)B(2,j+1,k)+
A(2,j+1,k)+ C(1,j,k) - C(2,j+1,k))=0));
A(1,j,k)-
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)- B(1,1,k)+ A(2,j,k)- A(1,1,k) +
C(2,j,k) - C(1,1,k))= 0));
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)C(1,j,k) - C(2,1,k))=0));
B(2,1,k)+
A(1,j,k)-
A(2,1,k)+
24
!kendala 3: Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah
penjumlahan dari dari bus-berangkat dan bus-deadhead dari kota
lain serta bus-perpal dari kota tersebut di hari sebelumnya;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)+
E(1,j+1,k)));
A(2,j,k)+
C(2,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):
E(2,j+1,k)));
B(2,j,k)+
A(1,j,k)+
C(1,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)+
E(1,1,k)));
A(2,j,k)+
C(2,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)+
E(2,1,k)));
A(1,j,k)+
C(1,j,k))=
!kendala 4: Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari
tertentu adalah jumlah seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan
otobus;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,1)+ E(1,J,1))= 4);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,2)+ E(1,J,2))= 12);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,3)+ E(1,J,3))= 4);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,4)+ E(1,J,4))= 4);
!kendala 5: Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau
sama dengan bus yang akan berangkat;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):A(1,J,k)+C(1,J,k))
STRATEGI ALTERNATING DEADHEADING:
STUDI KASUS PO RAYA
RAZONO AGALL CAHYADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Model Penjadwalan
Keberangkatan Bus dengan Strategi Alternating Deadheading: Studi Kasus PO
Raya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Razono Agall Cahyadi
NIM G54062681
ABSTRAK
RAZONO AGALL CAHYADI. Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan
Strategi Alternating Deadheading: Studi Kasus PO Raya. Dibimbing oleh AMRIL
AMAN dan FARIDA HANUM.
Penjadwalan keberangkatan bus merupakan salah satu hal yang penting
dalam pengelolaan perusahaan otobus untuk menekan biaya operasional. Masalah
penjadwalan ini diformulasikan sebagai suatu model linear integer programming.
Model ini bertujuan untuk mengatur banyaknya bus yang akan diberangkatkan
dari masing-masing kota untuk memenuhi permintaan transportasi. Strategi yang
digunakan untuk mengatur penjadwalan bus yaitu strategi deadheading. Strategi
deadheading merupakan strategi penjadwalan bus yang dilakukan apabila terjadi
ketidakseimbangan akan banyaknya penumpang di suatu kota dan adanya
keterbatasan bus yang beroperasi. Model penjadwalan dengan deadheading ini
merupakan salah satu upaya untuk menurunkan frekuensi keberangkatan bus
sehingga dapat meningkatkan efisiensi biaya operasional.
Kata kunci: penjadwalan bus, linear integer programming, alternating
deadheading
ABSTRACT
RAZONO AGALL CAHYADI. Bus Departure Scheduling Model with
Alternating Deadheading Strategy: Case Study in PO Raya. Supervised by
AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
Bus Departure scheduling is one of important aspects in managing a bus
company in order to minimize the operational cost. This scheduling is formulated
as a linear integer programming model. The purpose of this model is to arrange
buses from each city to meet transportation demand. The strategy of the model is
to develop bus scheduling using deadheading. The deadheading strategy will be
used if there is an unbalancy in the number of buses operated in one or more
cities. The model with deadheading is one of efforts to minimize the frequency of
bus departure in order to increase efficiency of the bus operation.
Keywords: bus scheduling, linear integer programming, alternating deadheading
MODEL PENJADWALAN KEBERANGKATAN BUS DENGAN
STRATEGI ALTERNATING DEADHEADING:
STUDI KASUS PO RAYA
RAZONO AGALL CAHYADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan Strategi
Alternating Deadheading: Studi Kasus PO Raya
Nama
: Razono Agall Cahyadi
NIM
: G54062681
Disetujui oleh
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Judul Skripsi: Model Penjadwalan Keberangkatan Bus dengan Strategi
Alternating Deadheading: Studj Kasus PO Raya
: Razono Agall Cahyadi
Nama
: G5406268I
NTM
Disetujui oleh
J
." v
Dr Ir Amril Aman, MSc
Pembimbing I
Tanggal Lulus : '
16 JAN 2014
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan atas segala karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga
tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1 Ayahanda Ignatius Sutrisno dan Ibunda Budi Suryani, beserta kakak Dian
Eka Permadi dan Marlyta Galih Kusuma serta Mamak Maryanah dan Titah
Putri Utami yang telah memberikan dukungan, semangat, pengorbanan,
nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya,
2 Dr Ir Amril Aman, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi serta Drs Prapto Tri
Supriyo, MKom masing-masing sebagai dosen pembimbing I, dosen
pembimbing II, serta dosen Penguji Luar atas semua ilmu, kesabaran,
motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini,
3 Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya,
4 Manajemen PO Raya yaitu Bapak Nata Laksana, Bapak Brata Laksana,
Bapak Prapto dan Bapak Marjani serta teman-teman komunitas fans Raya
(Rofik, Joko, Ito, Wahyu, Andi, Arif) atas semua bantuannya.
5 Matematika 43 (Arif, Faisal, Fardan, David), Matematika 44 (Imam dan
Imah), Matematika 45 (Dini, Nova, Dina, Gita), dan teman lain yang tidak
dapat disebutkan satu persatu atas dukungan dan kebersamaannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2014
Razono Agall Cahyadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
LANDASAN TEORI
2
Penjadwalan
2
Integer Programming (IP)
2
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
3
Strategi Alternating Deadheading
3
Bus Malam Antarkota Antarprovinsi
3
Formulasi Masalah
5
STUDI KASUS
6
Formulasi Model Matematika
7
Pengujian Model
8
SIMPULAN DAN SARAN
14
Simpulan
14
Saran
14
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
RIWAYAT HIDUP
39
DAFTAR TABEL
1 Kelas Bus
2 Biaya Keberangkatan
3 Banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif trayek Jakarta – Solo dan
Solo – Jakarta Selama 7 hari
4 Banyaknya bus kelas Eksekutif trayek Jakarta – Solo dan Solo – Jakarta
Selama 7 hari
5 Banyaknya penumpang bus kelas Super Top trayek Jakarta – Solo dan
Solo – Jakarta Selama 7 hari
6 Banyaknya bus kelas Super Top trayek Jakarta – Solo dan Solo – Jakarta
Selama 7 hari
7 Banyaknya penumpang yang berangkat dari Jakarta ke Solo dan Solo ke
Jakarta selama 14 hari untuk setiap kelas bus
8 Banyaknya bus yang diberangkatkan dalam waktu 14 hari sebelum
menggunakan model matematika
9 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Solo ke Jakarta sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
10 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Jakarta ke Solo sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
7
7
9
9
10
11
12
12
13
13
DAFTAR GAMBAR
1 Alur pergerakan bus pada Skenario 1
2 Alur pergerakan bus pada Skenario 2
10
11
DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 1
2 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 1
3 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 2
4 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 2
5 Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat
dalam meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 3
6 Detail Hasil Komputasi LINGO 11.0 Skenario 3
15
16
19
20
23
25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Bus merupakan transportasi darat yang menjadi salah satu alternatif bagi
warga yang akan berpergian dari satu tempat ke tempat lain, baik di dalam kota
maupun ke luar kota. Moda transportasi ini masih menjadi primadona bagi
sebagian warga karena mudah, terjangkau dan cepat. Banyak di antara penyedia
jasa transportasi (perusahaan otobus) dalam kota, antarkota dalam provinsi,
antarkota antarprovinsi yang bersaing untuk menjadi pilihan utama bagi para
penumpangnya. Oleh karena itu, setiap perusahaan otobus berlomba-lomba untuk
memberikan pelayanan (servis) terbaik kepada para penumpangnya. Servis yang
diberikan pun beragam, mulai dari harga tiket yang lebih murah, pengadaan servis
makan, hingga fasilitas lainnya yang dapat digunakan di dalam bus, seperti
penyediaan sarana hiburan hingga toilet yang biasanya diberikan oleh perusahaan
otobus antarkota antarprovinsi. Tetapi, di tengah upaya untuk memberikan servis
tersebut, sebagian besar perusahaan otobus menghadapi beberapa kendala, di
antaranya yang paling sering ditemui yaitu inefisiensi biaya operasional yang
harus dikeluarkan oleh pihak perusahaan otobus.
Inefisiensi biaya operasional dapat disebabkan oleh penjadwalan
keberangkatan bus yang tidak sesuai sehingga hal ini akan menimbulkan
ketidakseimbangan biaya operasional. Biaya yang terlalu besar dikeluarkan tidak
sebanding dengan jumlah penumpang yang diangkut menyebabkan perusahaan
otobus tidak memperoleh keuntungan yang sesuai dan dapat memperburuk
kondisi finansial perusahaan otobus tersebut.
Salah satu alternatif yang dapat membantu mengurangi biaya operasional
suatu perusahaan otobus ialah dengan alternating deadheading. Alternating
deadheading adalah alternatif penjadwalan keberangkatan bus yang tidak
mengangkut penumpang dari terminal awal, tetapi tujuan keberangkatannya ialah
untuk memenuhi permintaan penumpang yang tinggi di suatu terminal yang tidak
terangkut oleh bus-bus yang telah diberangkatkan. Sebagian besar perusahaan
otobus belum melakukan sistem penjadwalan dengan alternating deadheading,
sebab hal tersebut belum cukup umum bagi perusahaan otobus di Indonesia.
Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang berjudul Intercity bus
scheduling for the Saudi public transport company to maximize profit and yield
additional revenue oleh Mohamad K. Hasan dan Ahmad A. Al Hammad pada
tahun 2010.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini ialah menyusun model penjadwalan
keberangkatan bus dengan mengadakan bus deadhead untuk menentukan
penjadwalan yang lebih efisien dan menerapkannya pada penjadwalan bus di PO
Raya.
2
LANDASAN TEORI
Dalam membuat model optimisasi penjadwalan keberangkatan bus
diperlukan pemahaman beberapa istilah, di antaranya mengenai penjadwalan dan
integer programming (IP).
Penjadwalan
Definisi Penjadwalan
Menurut Morton dan Pentico (1993) penjadwalan adalah proses
pengorganisasian, pemilihan dan penetapan penggunaan sumberdaya dalam
rangka melaksanakan semua aktivitas yang diperlukan untuk memperoleh hasil
yang diinginkan pada sesuatu yang telah direncanakan, dengan batasan waktu dan
hubungan antaraktivitas dan sumberdaya tertentu.
Tujuan Penjadwalan
Menurut Bedworth dan Bailey (1986) beberapa tujuan penjadwalan, ialah
1 meningkatkan utilitas atau kegunaan sumberdaya,
2 mengurangi total waktu proses seluruh pekerjaan (makespan),
3 mengurangi rata-rata banyaknya pekerjaan yang menunggu untuk diproses
oleh suatu sumberdaya,
4 meminimumkan keterlambatan pemenuhan suatu job.
Kriteria Optimisasi Penjadwalan
Menurut Heizer dan Render (2010), kriteria optimisasi dalam proses
penjadwalan dapat dikelompokkan menjadi tiga bagian.
1 Kriteria yang berkaitan dengan waktu
Beberapa kriteria yang terkait dengan waktu ialah minimisasi rata-rata flow
time, minimisasi makespan, dan minimisasi tardiness.
2 Kriteria yang berkaitan dengan biaya
Kriteria ini lebih menekankan pada unsur biaya dan kurang atau bahkan tidak
memperhatikan kriteria waktu yang ada sehingga dengan suatu penjadwalan
produksi tertentu diharapkan biaya yang minimum.
3 Kriteria gabungan
Beberapa kriteria optimalitas dapat digabung dan dapat dikombinasi sehingga
menjadi multikriteria.
Integer Programming (IP)
Menurut Garfinkel dan Nemhauser (1972) integer programming (IP) adalah
suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan
bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut
dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa
integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). IP dengan semua
variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.
3
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Bab ini akan membahas tentang strategi alternating deadheading, bus
malam antarkota antarprovinsi kemudian dilanjutkan dengan formulasi
matematika terhadap permasalahan tersebut
Strategi Alternating Deadheading
Pada karya ilmiah ini akan diterapkan strategi pengaturan jadwal
keberangkatan bus dengan alternating deadheading. Dalam (Furth, 1985)
alternating deadheading ialah pengaturan jadwal keberangkatan bus dengan
memperhitungkan bus yang tidak mengangkut penumpang dari terminal awal (bus
deadhead), agar dapat mengangkut penumpang di terminal-terminal lainnya yang
tidak terangkut oleh bus reguler. Adanya bus deadhead dapat membantu
perusahaan otobus meningkatkan keuntungan perusahaan maupun kepuasan
penumpang terhadap pelayanan yang diberikan.
Alternating deadheading ini akan dibutuhkan pada saat demand armada
bus tidak seimbang. Dengan strategi ini dimungkinkan untuk dilakukan
penyesuaian suplai armada bus terhadap permintaan bus di satu kota. Beberapa
bus harus berangkat dalam keadaan kosong ke terminal tujuan untuk memenuhi
demand penumpang yang lebih besar di kota lain. Bus tersebut akan bebas
menggunakan jalur tercepat yang tersedia, untuk mengangkut penumpang yang
belum terangkut di terminal yang kekurangan armada. Pada strategi alternating
deadheading, banyaknya penumpang yang berangkat dari terminal di kota awal ke
terminal di kota tujuan dan banyaknya bus yang tersedia akan menjadi
pertimbangan untuk menentukan banyaknya bus yang akan diberangkatkan.
Saat ini berbagai perusahaan otobus antarkota antarprovinsi belum
menggunakan strategi alternating deadheading. Perusahaan otobus masih
menggunakan sistem konvensional, yakni memberangkatkan busnya dari terminal
keberangkatan. Namun, apabila terjadi lonjakan penumpang maka pihak
perusahaan otobus tidak lagi memiliki bus yang siap melakukan perjalanan. Pada
akhirnya, perusahaan otobus tidak dapat memaksimalkan keuntungan yang
seharusnya dapat diperoleh.
Bus Malam Antarkota Antarprovinsi
Bus malam antarkota antarprovinsi merupakan angkutan darat yang
menghubungkan satu kota dengan kota yang lain di provinsi yang berbeda. Pada
umumnya perusahaan bus malam antarkota antarprovinsi memiliki beberapa
trayek. Pihak perusahaan otobus memilih memberangkatkan sejumlah busnya di
satu waktu yang hampir bersamaan pada sore hingga malam hari karena
pertimbangan kelancaran perjalanan dan jumlah penumpang yang lebih banyak di
waktu-waktu tersebut. Oleh karena itu setiap bus hanya melakukan maksimal satu
kali perjalanan setiap harinya dan bus akan diperiksa kelayakannya untuk
keberangkatan selanjutnya di depot perusahaan otobus.
Bus dibedakan menjadi bus reguler dan bus nonreguler.
Bus Reguler
Bus reguler merupakan bus yang armadanya dimiliki oleh perusahaan
otobus sendiri. Masalah penjadwalan keberangkatan bus reguler merupakan suatu
4
model pengaturan waktu perjalanan bus suatu perusahaan otobus yang diharapkan
dapat meminimalkan biaya operasional dengan mengatur jumlah keberangkatan
bus. Adapun jenis bus reguler berdasarkan keberangkatannya ialah bus-berangkat,
bus perpal dan bus deadhead.
1 Bus-berangkat
Bus-berangkat yaitu bus yang memiliki jadwal keberangkatan dari
terminal di satu kota ke terminal di kota lain untuk mengangkut penumpang dari
satu kota menuju kota lain. Bus akan berangkat apabila kuota minimum
penumpang telah terpenuhi. Banyaknya bus yang berangkat berdasarkan pada
penumpang di hari dan kota tertentu. Adapun biaya bus-berangkat dihitung dari
biaya bahan bakar, perawatan bus, penggajian awak bus, biaya konsumsi (apabila
disediakan), serta biaya lainnya.
2 Bus perpal
Istilah perpal diambil dari bahasa Belanda yaitu verval yang artinya bus
mengalami kerusakan/tidak berangkat. Bus perpal yaitu bus yang tidak
melakukan perjalanan dan hanya menginap di satu kota dikarenakan suatu hal,
misalkan mesin rusak, demand penumpang di kota tersebut tidak memenuhi
jumlah minimum penumpang bus-berangkat dan lain-lain. Pada kondisi ini bus
perpal tidak memiliki biaya karena tidak melakukan perjalanan.
3 Bus deadhead
Bus deadhead adalah bus yang berangkat tanpa mengangkut penumpang
dari terminal di kota awal dan akan melewati jalur tercepat untuk tiba di terminal
kota tujuan. Tujuan utama pemberangkatan bus deadhead ialah untuk memenuhi
kebutuhan pengangkutan penumpang di kota lain yang membutuhkan lebih
banyak bus.
Bus Nonreguler
Tingginya biaya perawatan dan penyediaan bus membuat perusahaan
otobus memiliki keterbatasan dalam hal kepemilikan unit bus. Keterbatasan unit
bus ini tidak akan bermasalah apabila demand bus kurang dari unit yang tersedia.
Namun apabila unit yang tersedia tidak mampu untuk memenuhi demand maka
salah satu cara untuk menyiasatinya ialah dengan menyewa bus dari perusahaan
otobus lainnya.
Bus-tambahan
Bus-tambahan yaitu bus nonreguler yang akan berangkat apabila
kebutuhan bus tidak dapat diakomodasi oleh bus reguler yang berada di kota
tersebut atau bus deadhead dari kota lain. Adapun biaya bus tambahan akan lebih
besar dibanding dengan biaya bus-berangkat karena terdapat tambahan biaya
seperti biaya penyesuaian kondisi kabin bus dan biaya penyewaan bus.
5
Formulasi Masalah
Untuk membatasi permasalahan penjadwalan keberangkatan bus, maka
digunakan beberapa asumsi antara lain:
1 satu siklus terdiri dari 14 hari (2 minggu),
2 tidak ada bus yang mengalami kerusakan,
3 jumlah bus yang dimiliki pihak otobus terbatas,
4 hanya terdapat satu terminal di setiap kota,
5 penentuan jumlah penumpang dilakukan dari data yang pernah ada.
Permasalahan penjadwalan bus tersebut dapat dinyatakan ke dalam bentuk
pemrograman linear integer.
Indeks
= kota asal keberangkatan
= hari keberangkatan
= kelas bus
= 1,2,…, ,
= 1,2,…, ,
= 1,2,…, .
Parameter
= biaya keberangkatan untuk bus-berangkat,
= biaya keberangkatan untuk bus deadhead,
= biaya keberangkatan untuk bus tambahan,
= kapasitas bus kelas ,
= jumlah bus yang dimiliki perusahaan otobus untuk bus kelas ,
= persentase keterangkutan penumpang,
= banyak penumpang di kota asal , hari , dan bus kelas .
Variabel Keputusan
= banyak bus yang dibutuhkan di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus perpal di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus yang terdapat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus-berangkat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus deadhead di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus tambahan di kota asal , hari , dan bus kelas .
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya keberangkatan
dengan mengatur banyaknya bus-berangkat, bus deadhead dan bus tambahan
sebagai berikut.
Minimumkan
.
6
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1 Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus harus lebih besar
atau sama dengan persentase banyaknya penumpang yang diinginkan.
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
2 Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan bus perpal di satu kota akan
sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang akan pergi ke kota lain dan bus
perpal di kota tersebut di hari berikutnya.
a2 jk b1 jk c2 jk a1( j 1) k b1( j 1)k c1( j 1)k
= 1 = 1,2,…,
= 1,2,…, ,
a1 jk b2 jk c1 jk a2( j 1) k b2( j 1) k c2( j 1) k
= 2 = 1,2,…,
= 1,2,…, .
3 Banyaknya bus yang ada di satu kota hari ini adalah penjumlahan dari busberangkat dan bus deadhead dari kota lain serta bus perpal dari kota tersebut
di hari sebelumnya.
a2 jk b1 jk c2 jk e1( j 1) k
= 1 = 1,2,…,
= 1,2,…, ,
a1 jk b2 jk c1 jk e2( j 1) k
= 2 = 1,2,…,
= 1,2,…, .
4 Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari tertentu adalah jumlah
seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan otobus.
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
5 Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau sama dengan bus yang
akan dioperasikan.
eijk aijk cijk
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
6 Banyaknya bus yang dibutuhkan setiap hari di setiap kota adalah penjumlahan
dari banyaknnya bus-berangkat dan bus tambahan.
aijk fijk gijk
= 1,2,…,
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
7 Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
= 1,2,…,
= 1,2,…, .
aijk , bijk , cijk , eijk , f ijk , gijk 0 = 1,2,…,
STUDI KASUS
Studi kasus yang dilakukan oleh penulis pada karya ilmiah ini yaitu pada
perusahaan otobus RAYA dengan data yang dipergunakan ialah data pada tanggal
11 sampai dengan 24 Februari 2013. Keberangkatan bus yang dibahas ialah
keberangkatan bus yang melayani 2 kota di pulau Jawa. Kota tersebut ialah Solo
dan Jakarta. PO RAYA membagi 4 kelas bus di dalam setiap perjalanannya yaitu
kelas Super Top yang memiliki kapasitas 18 penumpang, Eksekutif yang memiliki
kapasitas 24 penumpang, Eksekutif-28 yang memiliki kapasitas 28 penumpang
dan Eksekutif-32 yang memiliki kapasitas 32 penumpang. Perusahaan ingin
menentukan berapa banyak bus yang berangkat dan berapa banyak bus yang tidak
berangkat berdasarkan data jumlah penumpang yang ada setiap 14 hari.
7
Formulasi Model Matematika
Indeks
= kota asal keberangkatan
= hari keberangkatan
= kelas bus
= 1,2,
= 1,2,…, 14,
= 1,2, 3, 4.
Parameter
= biaya keberangkatan untuk bus-berangkat,
= biaya keberangkatan untuk bus deadhead,
= biaya keberangkatan untuk bus tambahan,
= kapasitas bus kelas ,
= jumlah bus yang dimiliki perusahaan otobus untuk bus kelas ,
= persentase keterangkutan penumpang,
= banyak penumpang di kota asal , hari , dan bus kelas .
Dalam studi kasus ini terdapat 2 kota asal keberangkatan dengan = 1
adalah kota Solo dan = 2 adalah kota Jakarta, 14 hari keberangkatan dan 4 kelas
bus serta persentase keterangkutan penumpang sebesar = 90.
Tabel 1 Kelas bus
Kelas bus
1
2
3
4
Super Top
Eksekutif
Eksekutif-28
Eksekutif-32
Kapasistas bus
18
24
28
32
Jumlah bus
4
12
4
4
Tabel 2 Biaya keberangkatan
Jenis bus
Bus-berangkat
Bus deadhead
Bus tambahan
Biaya keberangkatan
1.250.000
900.000
2.200.000
Variabel Keputusan
= banyak bus yang dibutuhkan di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus perpal di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus yang terdapat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus-berangkat di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus deadhead di kota asal , hari , dan bus kelas ,
= banyak bus tambahan di kota asal , hari , dan bus kelas .
8
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan biaya keberangkatan
dengan mengatur banyaknya bus-berangkat, bus deadhead dan bus tambahan
sebagai berikut.
Minimumkan
Kendala
Kendala pada permasalahan ini ialah sebagai berikut:
1 Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus harus lebih besar
atau sama dengan persentase banyaknya penumpang yang diinginkan.
= 1,2
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
2 Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan bus perpal di satu kota akan
sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang akan pergi ke kota lain dan busperpal di kota tersebut di hari berikutnya.
a2 jk b1 jk c2 jk a1 j 1k b1 j 1k c1 j 1k
a1 jk b2 jk c1 jk a2 j 1k b2 j 1k c2 j 1k
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
3 Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah penjumlahan dari busberangkat dan bus deadhead dari kota lain serta bus perpal dari kota tersebut
di hari sebelumnya.
a1 jk b2 jk
a2 jk b1 jk
c1 jk
c2 jk
e2 j
e1 j
1k
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
4 Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari tertentu adalah jumlah
seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan otobus.
e1 jk e2 jk uk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
5 Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau sama dengan bus yang
akan dioperasikan.
e1 jk
e2 jk
1k
a1 jk c1 jk
a2 jk c2 jk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
6 Banyaknya bus yang dibutuhkan setiap hari di setiap kota adalah penjumlahan
dari banyaknya bus-berangkat dan bus tambahan.
a1 jk f1 jk g1 jk
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
a2 jk f 2 jk g 2 jk
7 Kendala ketaknegatifan memastikan bahwa:
aijk , bijk , cijk , eijk , f ijk , gijk 0
= 1,2
= 1,2,…, 14
= 1,2, 3, 4.
Pengujian Model
Model ini akan diujikan pada beberapa skenario menggunakan data
demand penumpang yang diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0.
Pada Skenario 1 akan ditunjukkan terdapat bus-berangkat dan bus perpal di satu
kota, kemudian akan ditunjukkan pula terdapat bus deadhead yang berangkat dari
satu kota menggunakan data banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif selama 7
hari, pada Skenario 2 akan ditunjukkan terdapat bus tambahan yang disediakan
untuk berangkat di satu kota, kemudian akan ditunjukkan pula terdapat bus
9
deadhead dengan tujuan apabila terdapat kekurangan bus di satu kota
menggunakan data banyaknya penumpang bus kelas Super Top selama 7 hari, dan
pada Skenario 3 akan dijadwalkan keberangkatan bus secara keseluruhan selama
14 hari yang meminimalkan biaya dengan demand penumpang yang terdapat di
setiap kota pada setiap hari sebagai acuannya.
Skenario 1
Pada Tabel 3 terlihat bahwa pada bus kelas Eksekutif yang berkapasitas 24 orang
terjadi ketidakseimbangan banyaknya penumpang tujuan Solo dan Jakarta. Hal ini
memungkinkan terdapat bus perpal atau dengan kata lain di salah satu kota tidak
semua bus akan berangkat.
Selain itu untuk memenuhi kebutuhan bus di suatu kota diberangkatkan pula bus
deadhead dari terminal di kota lain. Bus akan berangkat dalam keadaan kosong ke
terminal di kota tujuan.
Tabel 3 Banyaknya penumpang bus kelas Eksekutif trayek Jakarta - Solo dan
Solo - Jakarta selama 7 hari
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Tujuan Jakarta
112
85
119
89
80
110
158
Tujuan Solo
89
105
104
116
155
78
107
Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO dapat dilihat di Lampiran 1 dan
Lampiran 2. Hasil komputasi Skenario 1 dengan software LINGO 11.0
diperlihatkan di Tabel 4.
Tabel 4 Banyaknya bus kelas Eksekutif trayek Jakarta - Solo dan Solo - Jakarta
di setiap kota selama 7 hari
Di Kota Jakarta
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Bus
yang
tersedia
6
6
6
7
6
3
5
Di Kota Solo
Busberangkat
Bus
perpal
Bus
deadhead
4
4
4
5
6
3
5
1
2
2
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
Bus
yang
tersedia
6
6
6
5
6
9
7
Busberangkat
Bus
perpal
Bus
deadhead
5
4
5
4
3
5
6
1
2
1
1
3
4
1
0
0
0
0
0
0
0
Pada hari pertama, di kota Solo terdapat 6 bus untuk memenuhi kebutuhan bus,
namun hanya diberangkatkan 5 bus sehingga 1 bus lainnya perpal. Kemudian,
dapat diperhatikan bahwa bus deadhead terdapat di hari pertama di kota Jakarta
menuju kota Solo sebab terjadi ketidakseimbangan jumlah bus di kedua kota
10
tersebut. Hal ini memungkinkan bus akan berangkat kosong (deadhead) sebanyak
1 bus dari kota Jakarta untuk memenuhi kebutuhan di kota Solo. Ilustrasi
perjalanan bus selama 7 hari diberikan pada Gambar 1.
Keterangan:
Bus-berangkat :
Bus perpal
:
Bus deadhead :
Kota Solo
:
Kota Jakarta :
Gambar 1 Alur pergerakan bus pada Skenario 1
Skenario 2
Pada skenario ini akan ditunjukkan terdapat bus tambahan yang akan
diberangkatkan apabila kebutuhan bus lebih banyak dari banyaknya bus yang
tersedia di suatu kota dan tidak memungkinkan terjadinya bus deadhead dari
terminal di kota lain karena tidak ada armada yang tersedia.
Kemudian akan diperlihatkan pula bus deadhead akan terjadi apabila terdapat
kekurangan armada bus di satu kota. Hal ini disebabkan karena kebutuhan bus
yang lebih banyak dari jumlah bus yang tersedia. Banyaknya penumpang bus
kelas Super Top yang akan menjadi input dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Banyaknya penumpang bus kelas Super Top trayek Jakarta - Solo dan
Solo - Jakarta selama 7 hari
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Tujuan Jakarta
25
21
23
19
33
30
49
Tujuan Solo
30
25
35
25
47
31
30
Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO dapat dilihat di Lampiran 3 dan
Lampiran 4. Hasil komputasi Skenario 2 dengan software LINGO 11.0
diperlihatkan di Tabel 6. Pada hari kelima, di kota Jakarta membutuhkan 3 bus
namun yang tersedia hanya 2 bus, yang berasal dari 1 bus-berangkat dan 1 bus
deadhead dari kota Solo. Hal ini memungkinkan penyewaan 1 bus tambahan yang
11
digunakan untuk memenuhi kebutuhan bus di kota Jakarta. Ilustrasi perjalanan
bus selama 7 hari diberikan pada Gambar 2.
Tabel 6 Banyaknya bus kelas Super Top trayek Jakarta - Solo dan Solo - Jakarta
di setiap kota selama 7 hari
Di Kota Jakarta
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Bus
yang
tersedia
2
2
2
2
2
2
2
Di Kota Solo
Busberangkat
Bus
deadhead
Bus
tambahan
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
Bus
yang
tersedia
2
2
2
2
2
2
2
Busberangkat
Bus
deadhead
Bus
tambahan
2
2
2
1
2
2
2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Keterangan:
Bus-berangkat :
Bus perpal
:
Bus deadhead :
Bus tambahan :
Kota Solo
:
Kota Jakarta :
Gambar 2 Alur pergerakan bus pada Skenario 2
Skenario 3
Pada skenario ini akan dijadwalkan keberangkatan bus di setiap kelas secara
keseluruhan selama 14 hari yang akan meminimumkan biaya dengan banyaknya
penumpang yang terdapat di setiap kota pada setiap harinya sebagai acuan.
Banyaknya penumpang dan bus yang berangkat untuk setiap kelas yang tidak
menggunakan model matematika selama 14 hari dapat dilihat di Tabel 7 dan 8.
Data tersebut di diambil dari sub agen dan agen PO Raya yang berada di Jakarta
dan Solo, pada tanggal 11 sampai dengan 24 Febuari 2013, dengan biaya
keberangkatan setiap bus ialah Rp. 1.250.000.
12
Tabel 7 Banyaknya penumpang yang berangkat dari Jakarta ke Solo dan Solo ke
Jakarta selama 14 hari untuk setiap kelas bus
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Super
Top
25
21
23
19
33
30
49
19
21
29
30
28
32
54
Tujuan Jakarta
Eksekutif
Eksekutif
28
112
46
85
30
119
32
89
24
80
33
110
41
158
69
114
40
93
38
78
36
88
56
108
44
113
21
160
68
Eksekutif
32
35
36
50
49
45
48
63
37
41
48
40
49
45
62
Super
Top
30
25
35
25
47
31
30
28
18
26
35
42
33
28
Tujuan Solo
Eksekutif
Eksekutif
28
89
15
105
43
104
27
116
28
155
72
78
38
107
49
110
27
84
39
108
36
102
34
156
74
103
51
90
29
Eksekutif
32
39
41
45
44
62
39
46
40
47
23
41
63
46
44
Tabel 8 Banyaknya bus yang diberangkatkan dalam waktu 14 hari sebelum
menggunakan model matematika
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jumlah
Super
Top
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
30
Tujuan Jakarta
Eksekutif
Eksekutif
28
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
86
30
Eksekutif
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
Super
Top
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
30
Tujuan Solo
Eksekutif
Eksekutif
28
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
7
3
6
2
6
2
86
30
Eksekutif
32
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
(Sumber: PO Raya)
Akan dibandingkan banyaknya bus yang berangkat sebelum dan sesudah
dimasukkan kedalam model matematika. Hal ini dilakukan sebagai upaya untuk
mengetahui seberapa efisien penjadwalan yang telah dirumuskan, sehingga dapat
diterapkan pada penjadwalan bus di PO Raya.
13
Tabel 9 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Solo ke Jakarta sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
Hari
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Jumlah
Super Top
Sebelum Sesudah
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
30
26
Eksekutif
Sebelum Sesudah
6
5
6
4
6
5
6
4
6
3
6
5
7
6
6
5
6
4
6
3
6
4
6
5
6
5
7
6
86
64
Eksekutif-28
Sebelum Sesudah
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
30
25
Eksekutif-32
Sebelum Sesudah
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
28
27
Tabel 10 Perbandingan banyak bus yang berangkat dari Jakarta ke Solo sebelum
dan sesudah menggunakan model matematika
Hari
Super Top
Sebelum Sesudah
Eksekutif
Sebelum Sesudah
Eksekutif-28
Sebelum Sesudah
Eksekutif-32
Sebelum Sesudah
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
6
6
6
6
7
6
6
6
6
6
6
7
6
6
4
4
4
5
6
3
5
5
4
5
4
6
4
4
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
Jumlah
30
27
86
63
30
23
28
27
Dari penghitungan pada LINGO 11.0 diperoleh hasil, yaitu terdapat 282
bus-berangkat, 8 bus deadhead dan 8 bus tambahan serta fungsi objektifnya
adalah 377300 (dalam ribu rupiah). Sintaks dan detail hasil komputasi LINGO
dapat dilihat di Lampiran 5 dan 6, sedangkan hasil program dalam bentuk tabel
14
perbandingan keberangkatan bus sebelum dan sesudah menggunakan model dapat
dilihat pada Tabel 9 dan 10. Berdasarkan data tersebut perusahaan otobus akan
menghemat biaya sebesar 69.100.000 rupiah atau 15.48% dari biaya sebelumnya
karena total bus yang berangkat sebelum menggunakan model matematik pada
karya ilmiah ini adalah 336 keberangkatan bus reguler dan 12 keberangkatan bus
tambahan dengan total biaya 446.400.000 rupiah karena biaya keberangkatan
setiap bus di PO Raya ialah Rp. 1.250.000.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah penjadwalan keberangkatan bus dan pengadaan bus deadhead
merupakan hal yang penting karena dapat berpengaruh pada biaya operasional
perusahaan otobus. Jumlah penumpang yang tidak seimbang membuat
penggunaan bus deadhead menjadi salah satu alternatif dalam usaha perusahaan
otobus mengefisiensikan biaya keberangkatan bus. Hal-hal yang harus
diperhatikan dalam menyelesaikan masalah ini ialah penentuan jumlah busberangkat, bus perpal, bus deadhead dan bus tambahan yang jumlahnya
disesuaikan dengan jumlah penumpang pada hari tersebut. Masalah penjadwalan
ini dapat diformulasikan dengan integer programming dan diselesaikan dengan
LINGO 11.0.
Saran
Pada karya tulis ini telah dibahas mengenai masalah penentuan busberangkat, bus perpal, bus deadhead dan bus tambahan yang beroperasi di satu
trayek. Akan lebih baik apabila penelitian ini dikembangkan dengan masalah yang
lebih kompleks, yaitu masalah penentuan bus-berangkat, bus deadhead dan bus
tambahan yang terintegrasi dengan beberapa trayek di suatu perusahaan otobus.
DAFTAR PUSTAKA
Bedworth DD, Bailey JE. 1986. Integrated Production Control
System:Management, Analysis, Design. New York (US): John Wiley & Sons.
Furth PG. 1985. Alternating Deadheading in Bus Route Operations.
Transportation Science 19(1): 13-28.
Garfinkel, RS & Nemhauser GL. 1972. Integer Programming. New York (US):
John Wiley & Sons.
Hasan MK. & Hammad AAA. 2010. Intercity bus scheduling for the Saudi public
transport company to maximize profit and yield additional revenue. Service
Science & Management 3(3): 373-382.
Heizer J, Render B. 2010. Manajemen Operasi. Ed ke-9. Sungkono C,
penerjemah. Jakarta (ID): Salemba Empat. Terjemahan dari: Operations
Management.
Morton TE, Pentico DW. 1993. Heuristics Scheduling System. New York (US):
John Wiley & Sons.
15
Lampiran 1
Sintaks LINGO 11.0 untuk masalah penentuan banyaknya bus berangkat dalam
meminimumkan biaya operasional untuk Skenario 1.
SETS:
kota_asal/1,2/:x;
perjalanan/1..7/:y;
bus(kota_asal,perjalanan):A,B,C,D,E,F,G;
ENDSETS
DATA:
D= @ole('excel-1.xlsx','DEMAND');
@ole('excel1.xlsx','BUS_BERANGKAT','BUS_PERPAL','BUS_DEADHEAD','BUS_YANG_TERS
EDIA','BUS_TAMBAHAN','TOTAL_BUS_BERANGKAT')=A,B,C,E,F,G;
ENDDATA
Min = @SUM(bus(i,j):1250*A + 900*C + 2200*F );
!kendala 1: Banyaknya tempat yang tersedia untuk penumpang di bus
harus lebih besar atau sama dengan persentase banyaknya penumpang
yang diinginkan;
@FOR(bus(i,j):24*G >= 0.9*D);
!kendala 2: Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan busperpal di kota satu akan sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang
akan pergi ke kota lain dan bus-perpal di kota tersebut di hari
berikutnya;
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)C(2,j)- C(1,j+1))= 0);
B(1,j+1)+
A(2,j)-
A(1,j+1)
+
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)C(1,j) - C(2,j+1))=0);
B(2,j+1)+
A(1,j)-
A(2,j+1)+
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)- B(1,1)+ A(2,j)- A(1,1) + C(2,j) C(1,1))= 0);
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)- B(2,1)+ A(1,j)- A(2,1)+ C(1,j) C(2,1)) =0);
!kendala 3: Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah
penjumlahan dari dari bus-berangkat dan bus-deadhead dari kota
lain serta bus-perpal dari kota tersebut di hari sebelumnya;
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)+ A(2,j)+ C(2,j))= E(1,j+1));
@FOR(perjalanan(j)|j#LE#6:
@SUM(perjalanan(j): B(2,j)+ A(1,j)+ C(1,j))= E(2,j+1));
16
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j)+ A(2,j)+ C(2,j))= E(1,1));
@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#7:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j)+ A(1,j)+ C(1,j))= E(2,1));
!kendala 4: Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari
tertentu adalah jumlah seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan
otobus;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J)+ E(1,J))= 12);
!kendala 5: Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau
sama dengan bus yang akan berangkat;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):A(1,J)+C(1,J))= 0.9*D);
@FOR(bus(i,j,k)|k#EQ#4:32*G >= 0.9*D);
!kendala 2: Banyaknya bus yang datang dari kota lain dan busperpal di kota satu akan sama jumlahnya dengan banyaknya bus yang
akan pergi ke kota lain dan bus-perpal di kota tersebut di hari
berikutnya;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)B(1,j+1,k)+
A(1,j+1,k) + C(2,j,k)- C(1,j+1,k))= 0));
A(2,j,k)-
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)B(2,j+1,k)+
A(2,j+1,k)+ C(1,j,k) - C(2,j+1,k))=0));
A(1,j,k)-
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)- B(1,1,k)+ A(2,j,k)- A(1,1,k) +
C(2,j,k) - C(1,1,k))= 0));
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)C(1,j,k) - C(2,1,k))=0));
B(2,1,k)+
A(1,j,k)-
A(2,1,k)+
24
!kendala 3: Banyaknya bus yang ada di kota satu hari ini adalah
penjumlahan dari dari bus-berangkat dan bus-deadhead dari kota
lain serta bus-perpal dari kota tersebut di hari sebelumnya;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)+
E(1,j+1,k)));
A(2,j,k)+
C(2,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#LE#13:
@SUM(perjalanan(j):
E(2,j+1,k)));
B(2,j,k)+
A(1,j,k)+
C(1,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(1,j,k)+
E(1,1,k)));
A(2,j,k)+
C(2,j,k))=
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j)|j#EQ#14:
@SUM(perjalanan(j):B(2,j,k)+
E(2,1,k)));
A(1,j,k)+
C(1,j,k))=
!kendala 4: Semua bus yang terdapat di seluruh kota pada hari
tertentu adalah jumlah seluruh bus yang dimiliki oleh perusahaan
otobus;
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,1)+ E(1,J,1))= 4);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,2)+ E(1,J,2))= 12);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,3)+ E(1,J,3))= 4);
@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):E(2,J,4)+ E(1,J,4))= 4);
!kendala 5: Bus yang ada di suatu kota harus lebih banyak atau
sama dengan bus yang akan berangkat;
@FOR(kelas(k):@FOR(perjalanan(j):
@SUM(perjalanan(j):A(1,J,k)+C(1,J,k))