VIBRACIONES UI

UNIDAD I.- CINEMÁTICA DE LA VIBRACIÓN.

INTRODUCCIÓN.
El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos oscilatorios de los cuerpos y a las
fuerzas asociadas con ellos.
Dado que los cuerpos poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar. La mayoría de las
máquinas y estructuras experimentan efectos vibratorios hasta cierto grado, y su diseño requiere
de la consideración de su comportamiento oscilatorio.
En general los efectos de las vibraciones son perjudiciales para el buen funcionamiento de una
máquina o de un elemento en particular de la misma, por lo que resulta muy importante
mantener niveles de vibración relativamente bajos para un funcionamiento favorable y prevenir
paros repentinos.
Un sistema vibratorio se puede comportar en forma lineal o en forma no lineal. Un sistema lineal
se rige por el principio de superposición y puede representarse mediante una ecuación
diferencial lineal.
Un sistema no lineal es muy difícil de analizar, sin embargo su conocimiento es deseable debido
a que todos los sistemas lineales tienden a volverse no lineales cuando crece la amplitud de la
vibración.
Clasificación de las vibraciones.
Existen dos clases generales de vibraciones:
a).- Vibraciones libres

b).- Vibraciones forzadas
La vibración libre ocurre cuando un sistema oscila bajo la acción de fuerzas inherentes al
sistema mismo (no existen fuerzas externas). La frecuencia de oscilación de este tipo de
sistemas se conoce como frecuencia natural, la cual depende de la rigidez y la distribución de la
masa del sistema.
La vibración forzada tiene lugar bajo la excitación de fuerzas externas. Los sistemas sujetos a
éste tipo de vibración, vibrarán a la frecuencia de excitación. Si ésta coincide con una de las
frecuencias naturales del sistema, se produce una situación de resonancia y ocurren
oscilaciones peligrosamente grandes.

1.1.- Grados de libertad (GL) de un sistema oscilatorio.
Es el número de coordenadas linealmente independientes que se requieren para describir su
movimiento. Por ejemplo
Una partícula libre en tres dimensiones tiene tres grados de libertad (3 GL).

Un cuerpo rígido en tres dimensiones tiene seis grados de libertad (6 GL).

Un cuerpo flexible posee un número infinito de grados de libertad, ya que posee un número
infinito de puntos.

1.2.- Movimiento armónico y su representación.
Este es el tipo de movimiento oscilatorio más simple, y se puede definir mediante la relación
x  Asent --------- (1.1)
en donde

A = amplitud de la oscilación (cm, pul, etc.)
 = frecuencia circular (rad/s)

f  2 --------------- (1.2) (frecuencia del movimiento armónico en cps o Hz)

  1 ------------------ (1.3) (período en segundos)

El movimiento armónico puede representarse como la proyección sobre una línea recta tal como
se representa en la siguiente figura:

Figura (1.2).- Movimiento armónico como proyección de un punto que se mueve en una
Circunferencia.
El movimiento armónico puede ser representado por medio de un vector
de magnitud A a


una velocidad angular constante . En la figura (1.2) el vector
puede darse en función de
sus proyecciones horizontal y vertical por
----------- (1.4)
Cuando el tiempo se mide desde la posición horizontal del vector
como punto de partida, la
proyección horizontal del vector se escribe como A cos t , y la proyección vertical como
Asent . Cualquiera de las dos proyecciones puede tomarse como representativas de un
movimiento armónico, sin embargo en muchas ocasiones se toma en cuenta la componente
Asent .
La velocidad y aceleración del movimiento armónico puede obtenerse simplemente por
diferenciación como sigue:
x  Asent
x&  A cos t   Asen t  2





&

x&  2 Asent   2 Asen  t   
Si graficamos las ecuaciones anteriores podemos observar que la velocidad y la aceleración
preceden a x en 90o y 180o respectivamente.

Posición

velocidad

aceleración

En forma vectorial se tiene lo siguiente:

Aunque el uso de vectores para visualizar movimientos armónicos es un criterio muy simple,
para cálculos numéricos no está bien adaptado debido a que es necesario descomponer los
vectores en sus componentes vertical y horizontal, resultando un método sumamente largo y
tedioso.
1.3.- Uso de fasores para la suma, resta, multiplicación y división de movimiento
armónico.
Un fasor es un vector en rotación bidimensional que se utiliza para representar una onda en
movimiento armónico simple. Una forma de representarlo es mediante números complejos.

r
Un vector X en el plano xy puede ser representado como un número complejo
r
X  a  jb

donde

j  1
r
a y b son las componentes de x y y de X respectivamente

Figura (1.3).- Representación de un número complejo.
r
Si A representa la magnitud del vector X , y  representa el argumento o ángulo entre el
r
vector y el eje x , entonces X puede ser expresado también como
r
X  A cos   jAsen  Ae j 
r
X  A(cos   jsen )  Ae j ------------ (1.5)

1
donde A  a 2  b 2 y   tan ba

1.3.1.- Operaciones con números complejos.
Dados los números complejos z1  a1  jb1  A1e j1 y z2  a2  jb2  A2e j 2 entonces
a).- z1 �z2  (a1 �a2 )  j (b1 �b2 )
b).- z1 gz2  (a1  jb1 )(a2  jb2 )  (a1a2  b1b2 )  j ( a1b2  a2b1 )  A1 A2 e j (1 2 )
c).-

z1
z2



a1  jb1
a2  jb2



( a1  jb1 )( a2  jb2 )

( a2  jb2 )( a2  jb2 )



( a1a2 b1b2 ) j ( a1b2 a2b1 )
a22 b22



A1
A2

e j (1  2 )

1.3.2.- Suma de movimientos armónicos.
Para sumar dos movimientos armónicos x1 (t )  A1 cos t y x2 (t )  A2 cos(t   ) de la
misma frecuencia circular, en donde A1 , A2 y  son valores conocidos, se pueden utilizar los
métodos siguientes:
a).- Usando relaciones trigonométricas:
x(t )  A cos(t   )  x1 (t )  x2 (t )

A(cos t cos   sent sen )  A1 cos t  A2 (cos t   ) 
( A cos  ) cos t  ( Asen ) sent  A1 cos t  A2 (cos  t cos   sen t sen ) ------- ( i )
De la relación ( i ) se obtienen las siguientes relaciones:
A cos   A1  A2 cos  ----------- ( ii )
Asen  A2 sen ------------------- ( iii )
Resolviendo el sistema anterior se obtienen los valores correspondientes de A y  .
b).- Usando vectores.
Para un valor arbitrario de t , los movimientos armónicos x1 (t ) y x2 (t ) pueden representarse
gráficamente como se muestra el la figura (1.4). Sumando vectorialmente los movimientos
armónicos representados por x1 (t ) y x2 (t ) , se obtiene el vector resultante dado por
x(t )  A cos(t   ) .

Figura (1.4).- Suma de movimientos armónicos.

c).- Usando números complejos

Los dos movimientos armónicos pueden ser representados en forma compleja por:
x1 (t )  Re �
A1e jt �
�

�-------------- ( iv )
v
x2 (t )  Re �
A2e j (t  ) �
�
�--------- ( )
La suma de x1 (t ) y x2 (t ) puede ser expresada como
x(t )  Re �
Ae j (t  ) �
�
�---------- (1.6)

Ejemplo 1.1.- Encontrar la suma de los movimientos armónicos x1 (t )  5cos(3t  1) y
x2 (t )  10 cos(3t  2) , utilizando
a).- Relaciones trigonométricas
b).- Suma de vectores
c).- Números complejos
Solución:
a).- x(t )  A cos(t   )  x1 (t )  x2 (t )  5cos(3t  1)  10cos(3t  2) 









�
A(cos 3t   )  5 �
cos 3t cos 1�180
 sen3t sen 1�180

 �
�
180  sen3t sen 2�
180 �
10 �
cos 3t cos 2�




�
�
A cos 3t cos   Asen3t sen  1.45648cos 3t  13.30031sen3t 









A cos   1.45648 ----------- ( i )
Asen  13.3001 -------------- ( ii )
Dividiendo ( ii ) entre ( i ) se obtiene
tan  

13.30031
1.45648

 9.1318    83.75o  180  83.75o  96.25o  1.68 rad

1.45648
En ( i ) se tiene que A  cos96.25o  13.38 

x(t )  13.38cos(3t  1.68)

b).- Representación vectorial:

Angulo entre x1 (t ) y x2 (t ) :   1.68  1  0.68 rad = 38.96o

c).- Usando números complejos.



x (t )  Re  10e


x(t )  Re  Ae
  Re  5e
x1 (t )  Re 5e j (3t 1)

j (3t  2)

2

j (3t  )

j (3t 1)

  Re  10e

j ( t 2)



--------- ( iii )

Desarrollando y resolviendo ( iii ) se obtiene



x(t )  Re 13.38e j (3t 1.68)



Cuando se suman dos movimientos armónicos, con frecuencias muy cercanas entre si, el
movimiento resultante representa un fenómeno conocido como “pulsación”. Por ejemplo, si
x1 (t )  X cos t y x2 (t )  X cos(   )t , donde  es una cantidad pequeña, la suma de
estos movimientos es
x(t )  x1 (t )  x2 (t )  X  cos t  cos(   )t  ----------------- (1.7)

Usando la relación cos A  cos B  2 cos

 A2 B  cos  A2B  , la ecuación (1.7) se puede escribir

como





x(t )  2 X cos 2t cos   2 ------------------- (1.8)

La gráfica de éste movimiento resultante se representa como sigue:

1.4.- Serie de Fourier aplicada al movimiento armónico.
1.4.1.- Movimiento periódico.
Un movimiento periódico tiene la propiedad de repetirse íntegramente después de un cierto
intervalo de tiempo llamado periodo del movimiento  . Todos los movimientos armónicos son
periódicos, pero no todos los movimientos periódicos son armónicos. Por ejemplo la figura que
se muestra a continuación, representa el movimiento de la ecuación
x(t )  a sent  a2 sen2t

Fourier demostró que éste tipo de movimiento puede ser representado mediante una serie de
senos y cosenos de la forma
x(t ) 

ao
2
a

 a1 cos t  a2 cos 2t  L  b1sent  b2sen 2t  L 
�

x(t )  2o  � an cos nt  bn sennt  -------------- (1.9)
n 1

en donde n  n ---------- (1.10)


2


------------ (1.11)

ao , an y bn son los coeficientes de Fourier, los cuales se determinan por



2
ao  2 �
x (t )dt ----------------------------- (1.12)
 2



2
an  2 �
x (t ) cos nt dt ----------------- (1.13)
2



2
bn  2 �
x (t ) sennt dt ------------------ (1.14)
 2

La serie anterior puede representarse también en términos de la función exponencial,
sustituyendo
cos nt 

1
2

sennt 

1
2

e 
e 


 --------- (b)

j

nt

 e  jnt -------- (a)

j

nt

 e  jnt

Sustituyendo (a) y (b) en (1.9) se obtiene:
x(t ) 
x(t ) 

�

 e







 e jnt  2nj e jnt  e  jnt 

�

ao
2

 � 12  an  jbn  e jnt  12  an  jbn  e  jnt 

n1
�

an
2

jnt

ao
2

b





n 1
�


n 1



x(t )  co  � cn e jnt  cne  jnt 

en donde

�

� cne j t
n

------------ (1.15)

n �

co  12 ao
cn 
cn 

1
2
1
2

 an  jbn 
 an  jbn 

Sustituyendo an y bn en cn encontramos que


2
cn  1 �
x(t )e jnt dt ----------------- (1.16)
 2

Podemos graficar los coeficientes de Fourier contra n , lo que da como resultado una serie de
líneas discretas que constituyen el llamado “espectro de Fourier” o espectro de frecuencias.
b

1
Generalmente se grafican el valor absoluto 2cn  an2  bn2 y la fase n  tan an .
n

1.4.2.- Terminología de las vibraciones.

Algunos términos importantes usados en vibraciones son:
Valor pico.- Indica generalmente el esfuerzo máximo que está sufriendo la parte vibrante.
Valor medio.- Indica un valor estático o estacionario. Se determina mediante la expresión
T

x  lim T1 �x(t )dt ----------- (1.17)
T �� 0

Valor cuadrático medio.- Se determina a partir del promedio de los valores cuadráticos,
integrando sobre el intervalo T del tiempo. Su expresión es
T

x 2  lim T1 �x 2 (t )dt --------- (1.18)
T �� 0

Valor de la raíz cuadrática media ( rms ).- Es la raíz cuadrada del valor medio cuadrado; esto
es
rms  x 2 -------------------------- (1.19)

Decibel.- Es una unidad de medida que se utiliza frecuentemente en vibraciones. Se le define
como una razón de potencias

  ------------- (1.20)
P

dB  10 log P1
2

En función de los desplazamientos la ecuación anterior de expresa como sigue:
dB  10 log

 

X1 2
X2

 20 log

 
X1
X2

Problema 1.2.- Para la función diente de sierra que se muestra a continuación, determinar:
a).- La serie de Fourier en forma trigonométrica.
b).- La serie de Fourier en forma exponencial.
c).- La rms de la onda mostrada.
d).- El espectro de amplitud.

Solución.- De la figura tenemos que   2 ,   2  1 , m  21 , x(t )  21 t .
a).- Forma trigonométrica:


2
ao  2 �
x(t )dt  22
2

 21 
�
0
2

tdt 

   t2  0

1 1
2 2 2

2

1


2
2
2
�
2
1
1 �t sen nt
an  2 �
x
(
t
)
cos

t
dt

t
cos
nt
dt

 1n � sen ntdt � 0
n
2 �
2 �n
 2
0
0
0
2
2 �
�






2
2
2
�
�
2
bn  2 �
x(t ) sennt dt  1 2 �t sen nt dt  1 2 � nt cos nt
 1n � cos ntdt �


2
0
0
2 0
2 �
�



bn   2 2 
2 n



1
1
2 2 n2

sennt



2
0



  n1

La serie trigonométrica de Fourier es

x(t )  12  1

�

�1n sen nt

n1

b).- Forma exponencial:


2
cn  1 �
x(t )e  jnt dt  21
 2

cn 

2  jnt
te
dt  1
 21  �
0
4

�

2 �
�



j
2 n

La serie de Fourier en forma exponencial es

x(t ) 

j
2



2
t e  jnt
jn
0

�

� 1n e jnt

n �



1 2 e  jnt dt �

�
jn 0

�

�

c).- Cálculo de la rms .
x(t )  21 t � x 2 (t )  1 2
4
1 T x 2 (t ) dt
x��T 0

x 2  lim

�

rms  x 2 

 21

1
3

d).- Espectro de amplitud.
2cn  n1
n

2cn

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

0.31831
0.15951
0.10610
0.07957
0.06366
0.05305
0.04547
0.03978
0.03536
0.03183

Espectro de amplitud

2 1
0 4 2

�

t 2 dt 

 

2
1 1 t3
3 3
8
0

 13

1.5.- Diagnóstico de fallas en la maquinaria rotatoria a partir del registro de la vibración.
La finalidad de un diagnóstico es la de establecer las causas de una vibración. Para tal fin, la
información que se obtiene por medio de sensores deberá ser comparada con mediciones de
referencia o con características de fenómenos vibratorios conocidos. Por medio de las
mediciones y el análisis de las vibraciones, tenemos un método no destructivo y de costo
efectivo de diagnóstico para establecer condiciones de falla.
Algunas fallas que pueden detectarse mediante un análisis de vibraciones son:
a).- Ausencia de lubricación.
b).- Ejes flexionados.
c).- Alabes rotos.
d).- Daño o desalineamiento de transmisiones flexibles.
e).- Cojinetes dañados o desgastados.
f).- Excentricidad.
g).- Corrosión por frotamiento.
h).- Montaje incorrecto.
i).- Componentes inseguros.
J).- Aflojamiento mecánico.
k).- Inicios de cavitación.
l).- Engranes desgastados o dañados.
m).- Desbalance estático o dinámico.
n).- Presencia de cuerpos sólidos (transmisión de fluidos).
En el análisis de vibraciones, la frecuencia es la clave para diagnosticar fuentes de vibración. Al
caracterizar una fuente de vibración se debe conocer la naturaleza del fenómeno que causa esa
vibración. Es fundamental establecer un modelo para conocer los síntomas que caracterizan un
determinado problema, los cuales se comprueban con la evidencia experimental.
El proceso de diagnóstico involucra un análisis de señales que puede ir desde una medición
simple de amplitudes rms , hasta un análisis espectral que incluya posiblemente trazos en forma
de onda con extensión a formas más sofisticadas de procesamiento de señales en un rango de
conceptos físico-matemáticos.
Los defectos que se pueden presentar durante la rotación de un eje, y que son posibles de
detectar mediante un análisis orbital son:
a).- Fase orbital de un eje.
b).- Vórtice y/o chicoteo de aceite.
c).- Eje con precarga.
d).- Frotamiento o chicoteo seco.

En la tabla siguiente se muestra un diagnóstico de defectos en ejes por medio de sensores de
proximidad. El uso de un transductor de proximidad con un osciloscopio puede indicarnos
algunos defectos típicos debidos a la rotación de un eje.

CAUSA
Desequilibrio

AMPLITUD
Es proporcional
al desequilibrio

Desalineamiento Grande en la
de coples y dirección axial,
chumaceras
50% o más de la
vibración radial
Chumaceras en Inestable. Usar
mal estado del la medición de
tipo antifricción
velocidad si es
posible
Muñones
Generalmente
excéntricos
no es grande
Engranes
Es baja. Usar la
defectuosos o medición
de
ruido en los velocidad si es
mismos
posible
Desajuste
mecánico

Fuerzas
aerodinámicas
o hidráulicas
Fuerzas
reciprocantes

1xRPM
Generalmente
1xRPM. En
ocasiones 2 y
3 veces RPM
Muy alta. Es
muchas veces
un múltiplo de
las RPM
1xRPM
2XRPM

FASE
Marca de
referencia
simple
Sencilla,
doble o triple
Errática
Marca
sencilla
Errática

Dos marcas
de
2xRPM
referencia.
Ligeramente
errática
1,2,3,4 xRPM Una o dos,
de las bandas dependiendo
de
la
frecuencia
1xRPM o 1 o Marca simple
se 2xfrecuencia
o rotatoria
el sincrónica
de

---------------------

Bandas
de Errática
accionamiento
o pulsativa
defectuosas

Eléctrica

FRECUENCIA

Desaparece
cuando
desconecta
suministro
energía

---------------------

---------------------

1xRPM
o
número
de
aspas
de ----------------ventilador o
de impelentes
xRPM
1,2 y múltiplos
mayores
----------------xRPM