Memahami Rataan Hitung Mean

STATISTIKA PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data serta penafsirannya. TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Siswa dapat menentukan rataan, median dan modus. 2. Siswa dapat memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan. 3. Siswa dapatmenentukan simpangan rata-rata dan simpangan baku. 4. Siswa dapat menentukan ragamvarian. KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :  Ukuran pemusatan : Rataan, Modus, Median.  Ukuran letak : Kuartil dan Desil.  Ukuran Penyebaran : Jangkauan, Simpangan Kuartil, Variansi dan Simpangan Baku. II. Uraian materi dan contoh

A. Memahami Rataan Hitung Mean

1. Rataan Hitung dari data tunggal n x = ∑ x i i=1 Contoh: Tentukan rataan hitung dari data: 9 8 4 12 6 9 5 3 Jawab: x = ∑ x i = 1 9+8+4+12+6+9+5+3 8 = 7 2. Rataan hitung dari data berkelompok x = keterangan : x i = titik tengah interval kelas ke i fi = frekuensi interval kelas ke i Contoh : Diketahui distribusi frekuensi : Nilai Frekuensi 41 -50 51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 2 5 14 10 6 2 Tentukan rataan hitung dari table diatas. Jawab: Nilai Frekuensi fi Titik tengah xi Fi .xi 41 -50 51 -60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 2 5 14 10 6 2 45,5 … … … … … 91 … … … … … … … x = = … B. Menentukan rataan hitung dengan rataan sementara 1. Dengan simpangan rata-rata Langkah-langkah : a. pilih rattan sementara x s dapat diambil dari salah satu titik tengah b. Tentukan simpangan d i dari tiap-tiap nilai x i terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus d i = x i - x s c. Rataan sesungguhnya yang dicari dapat dihitung menggunakan rumus : x = xs + fi . di ∑ fi Contoh : Lengkapilah daftar distribusi frekuensi di bawah ini. Kemudian hitunglah rataan hitungnya dengan mengambil rataan sementara xs = 162 T badan cm f x i d i = x i - x s f i . d i 152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 – 169 170 – 172 173 - 175 6 13 12 22 10 11 4 2 153 … … 162 … … … … -9 … … … … … … … … … … … … … ∑f = 80 ∑ = … X = x s + fi.di . ∑ fi = 162 + … = … 2. Dengan pengkodean u i Langkah-langkah : a. pilih rattan sementara x s dapat diambil dari salah satu titik tengah b. Tentukan kode u i dari tiap-tiap nilai x i terhadap rataan sementara yang dipilih, dengan rumus u i = x i - x s p c. Rataan sesungguhnya yang dicari dapat dihitung menggunakan rumus : x = xs + fi . ui . p ∑ fi Keterangan : ui = 0, ± 1, ± 2, … P = panjang interval kelas Contoh : Dengan menggunakan table distribusi frekuensi pada contoh di atas, hitunglah rataan hitung dengan cara pengkodean. T badan cm f x i ui = di f i . u i p 152 – 154 155 – 157 158 – 160 161 – 163 164 – 166 167 – 169 170 – 172 173 - 175 6 13 12 22 10 11 4 2 153 … … 162 … … … … -3… … … … … … … … … … … … … ∑f = 80 ∑ = … X = x s + fi.ui . p ∑ fi = 162 + … = … C. Menentukan modus median dan kuartil. 1. Modus Modus adalah nilai datum yang paling banyak munculatau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar. Contoh : Diketahui nilai ulangan matematika 10 siswa sbb: 5 6 6 6 7 8 8 8 9 10 Jawab: Modus Mo = 6 dan 8 Modus dat kelompok ditentukan dengan rumus Mo = L + d 1 . p d 1 + d 2 Keterangan : Mo = Modus L = Tb = tepi bawah kelas modus d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya. P = panjang interval kelas Contoh : Tentukan modus dari data daftar distribusi frekuensi di bawah ini. Nilai Frekuensi 50 – 54 6 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 9 12 15 20 10 8 ∑ f = 80 Jawab : Kelas Modus 70 -74 L = Tb = 69,5 di = 20 -15 = 5 d 2 = 20 – 10 = 10 p = 5 Mo = 69,5 + 5 . 5 5+15 = 69,5 + 1,25 = 70,75 2. Median, kuartil dan desil Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan. Quartil ada 3 yaitu : Q 1 k artil bawah, 2 Median , Q3 kuartil atas Dapat diperoleh dengan rumus : Qi = Li + i 4 n - ∑ f i . p Fi Ket : Li = tepi bawah yang memuat kuartil bawah Qi ∑f = jumlah frekuensi sebelumquartil bawah Qi fi = frekuensi kelas yang memuat kuarti bawah Qi i = 1,2,3 Contoh : Dari table distribusi frekuensi di bawah ini tentukan Q 1 , Median atau Q 2 dan Q 3 . Nilai frekuensi F kumulatif 15 – 19 20 - 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 3 6 10 15 8 3 9 19 34 42 40 – 44 45 – 49 5 3 47 50 ∑ f = 50 Jawab : Q 1 terletak pada data ke ¼ . 50 = 12,5 yaitu pada kelas 25 – 29. Q 1 = 24,5 + 12,5 – 910 . 5 = 24,5 + 1,75 = 26,75 Q 2 terdapat pada data ke ½ . 50 = 25 yaitu pada kelas 30 -34. Q 2 = 29,5 + 15 – 1915 . 5 = 29,5 + … =… Q 3 = … + … = … Desil adalah suatu nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak setelah data diurutkan. Cara menentukan Desil: a. Untuk data tunggal, dapat ditentukan dengan : D i = in + 110 b. Untuk data kelompok, dapat ditentukan dengan : D i = L i + i10 n – f k f i . p L i = tepi bawah kelas F k = frekuensi kumulatif sebelum kelas D i F i = frekuensi kelas D i Contoh : Tentukan D 2 dan D 7 dari data berikut 3 4 10 5 7 6 5 6 7 4 7 7 10 6 Jawab : Data diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil sampai yang terbesar : 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 10 D 2 teletak pada urutan nilai ke 212+110 = 2,6 D 2 = x 2 + 0,6 x 3 -x 2 = 4 + 0,6 4 -4 = 4 + 0 = 4 D 7 terletak pada urutan nilai ke 712+110 =9,1 D 7 = x9 + 0,1 x10 – x9 = 7 + 0,1 7-7 = 7 + 0 = 7 Contoh untik data kelompok. Tentukan Desil ke 7 dari data dibawah ini Nilai Frekuensi 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 6 9 12 15 20 10 8 ∑ f = 80 Jawab: Nilai Frekuensi F kumulatif 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 6 9 12 15 20 10 8 6 15 27 42 62 72 80 D 7 terletak pada data ke 710 x 80 = 56. Kelas D 7 pada interval 70 – 74 F k = 42 F 7 = 20 D 7 = 69,5 + 56 – 42 . 5 20 = 69,5 + 3,5 = 73 D. Menentukan Simpangan Rata-rata, Ragam, Simpangan Baku. 1. Simpangan Rata-rata Deviasi Rata-rata a. Untuk data tunggal SR = ∑| xi – x | n b. Untuk data kelompok SR = ∑ Fi | xi – x | ∑fi Ket : xi = ukuran data ke i x = rataan hitung |…| = nilai mutlak 2. Ragam Varian 1. Ragam data tunggal S 2 = ∑ x i – x 2 n 2. Ragam data kelompok S 2 = ∑ f i x i – x 2 ∑f i 3. Simpangan Baku Deviasi Standart Simpangan baku adalah akar pangkat dua dari nilai ragam yang memilikisatuan yang sama dengan data. S = √ S 2 1. Untuk data tunggal S = √∑ x i – x 2 n 2. Untuk data kelompok S = √∑ f i x i – x 2 ∑f i III. Latihan 1. Hasil ulangan matematika dari 15 siswa sbb: 9 7 6 8 9 7 6 4 5 6 8 7 7 8 5 Tentukan nilai rata rata dari data diatas 3. Tabel di bawah ini menunjukkan nilai matematika di suatu kelas. Nilai Frekuensi 40 – 46 47 – 53 54 – 60 61 – 67 68 – 74 75 – 81 82 – 88 2 5 7 10 8 6 2 Tentukan : a Nilai rata –rata dengan menggunakan rumus data kelompok b Nilai rata –rata dengan menggunakan rataan sementara c Nilai rata –rata dengan menggunakan coding d Q 1 dan Q 3 e Median atau Q 2 3. Deengan menggunakan data pada table no 2 , tentukan: a. Simpangan Rata-rata b. RagamVarian c. Simpangan Baku IV. Tes Formatif 1 Terlampir V. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA MA XI A IPA, Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008 Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMAMA kelas XI IPA semester gasal, Klaten, Viva Pakarindo, 2007 Simangunsong Wilson, Matematika dasar, Jakarta: Erlangga, 2005 MATEMATIKA MODUL 3 PELUANG KELAS : XI IPA SEMESTER : I SATU Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN 1 Bone-Bone | Luwu Utara | Sulsel http:meetabied.wordpress.com PELUANG PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 1. Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalaam pemecahan masalah. 2. Menentukan ruang sample suatu percobaan 3. Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsiraanya. TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Siswa dapat menyusun aturan perkalian, permutasi dan kombinasi 2. Siswa dapat menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi. 3. Siswa dapat menentukan banyak kemungkinan kejadian dari berbagai situasi. 4. Siswa dapat menuliskan himpunan kejadian dari suatu percobaan . 5. Siswa dapat menentukan peluang kejadian melalui percobaan. 6. Siswa dapat menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis. KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar :  Peluang :  Aturan perkalian  Permutasi dan  Kombinasi  Ruang sampel  Peluang kejadian. II. Uraian materi dan contoh KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan adalah metode untuk menghitung berapa banyak cara yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan. Ada 3 kaidah pencacahan yaitu 1. Aturan pengisian tempat yang tersedia 2. Permutasi 3. Kombinasi Aturan pengisian tempat yang tersedia Contoh Dora mempunyai dua topi berwarna merahm dan hijauh, dan mempunyai 3 sepatu warna birub, kuningk, dan coklatc. Berapa pasang topi dan sepatu yang bisa Dora pasangkan untuk di pakai? Jawab: a. Dengan diagram pohon b. Dengan tabel c. Dengan pasangan berurutan d. Dengan aturan pengisian tempat yang tersedia FAKTORIAL  Definisi: Untuk setiap n bil asli didefinisikan: n = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n-1 x n atau n = n x n-1 x … x 4 x 3 x 2 x 1 n dibaca “n faktorial” 0 = 1 demikian juga 1 = 1 Contoh: 1. 3 = 3 x 2 x 1 = 6 Permutasi Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia ditulis Prn atau nPr yang tersedia ditulis Prn atau nPr adalah banyak cara menyusun adalah banyak cara menyusun r unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nPr = n n-r Contoh 1 Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah…. Penyelesaian •banyak calon pengurus 5  n = 5 •banyak pengurus yang akan dipilih 3  r = 3 nPr = n n-r 5 P 3 = 5 = 5x4x3x2x1 5-3 2x1 = 60 cara Contoh 2 Banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka yang dibentuk dari angka-angka 3, 4, 5, 6, 7, dan 8, di mana setiap angka hanya boleh digunakan satu kali adalah…. Penyelesaian •banyak angka = 6  n = 6 •bilangan terdiri dari 3 angka  r = 3 nPr = n n-r 6 P 3 = 6 = 6x5x4x3x2x1 6-3 3x2x1 = 120 cara Kombinasi Kombinasi r unsur dari n unsur yang tersedia ditulis Crn atau nCr adalah banyak cara mengelompokan r unsur yang diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia. Rumus: nCr = n . n-r r Contoh 1 Seorang siswa diharuskan mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan . Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah…. Penyelesaian • mengerjakan 6 dari 8 soal, tetapi nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan • berarti tinggal memilih 2 soal lagi dari soal nomor 5 sampai 8 • r = 2 dan n = 4 • 4 C 2 = 4 . = 4x3x2x1 = 6 cara 4-2 2 2x1 . 2x1 Contoh 2 Dari sebuah kantong yang berisi10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah…. Penyelesaian • mengambil 4 bola merah dari 10 bola merah  r = 4, n = 10 10 C 4 = 10 = 10 10-4 4 6 4 = 10x9x8x7x6 = 210 6 4 • mengambil 2 bola putih dari 8 bola putih  r = 2, n = 8 8 C 2 = 8 . = 8x7x6 . 8-2 2 6 2 = 28 • Jadi banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah 10C4 x 8C2 = 7.3.10 x 7.4 = 5880 cara Peluang atau Probabilitas Peluang atau nilai kemungkinan adalah perbandingan antara kejadian yang diharapkan muncul dengan banyaknya kejadian yang mungkin muncul. Bila banyak kejadian yang diharapkan muncul dinotasikan dengan nA, dan banyaknya kejadian yang mungkin muncul ruang sampel = S dinotasikan dengan nS maka Peluang kejadian A ditulis PA = nA nS Contoh 1 Peluang muncul muka dadu nomor 5 dari pelemparan sebuah dadu satu kali adalah…. Penyelesaian: n5 = 1 dan nS = 6  yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Jadi P5 = n5 = 1 nS 6 Contoh 2 Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila sebuah kelereng diambil dari dalam kantong maka peluang terambilnya kelereng merah adalah Penyelesaian: • Kejadian yang diharapkan muncul yaitu terambilnya kelereng merah ada 4  nmerah = 4 • Kejadian yang mungkin muncul yaitu terambil 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru  nS = 4 + 3 = 7 • Jadi peluang kelereng merah yang terambil adalah Pmerah = n merah nS Pmerah = 4 7 Contoh 3 Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang terambilnya kelereng merah adalah…. Penyelesaian: • Banyak kelereng merah = 7 dan biru = 3  jumlahnya = 10 • Banyak cara mengambil 3 dari 7  7 C 3 = 7 7-3 3 = 7x6x5x4 4 3 = 35 Banyak cara mengambil 3 dari 10  10 C 3 = 10 10-3 3 = 10x9x8x7 7 3 = 120 • Peluang mengambil 3 kelereng merah sekaligus = 7 C 3 10 C 3 = 35 120 = 7 24 Komplemen Kejadian • Nilai suatu peluang antara 0 sampai dengan 1  0 ≤ pA ≤ 1 • PA = 0  kejadian yang tidak mungkin terjadi • PA = 1  kejadian yang pasti terjadi • PA 1 = 1 – PA A 1 adalah komplemen A Contoh 1 Sepasang suami istri mengikuti keluarga berencana. Mereka berharap mempunyai dua anak. Peluang paling sedikit mempunyai seorang anak laki-laki adalah … Penyelesaian: • kemungkinan pasangan anak yang akan dimiliki: keduanya laki-laki, keduanya perempuan atau 1 laki- laki dan 1 perempuan  nS = 3 • Peluang paling sedikit 1 laki-laki = 1 – peluang semua perempuan = 1 – 1 = 2 3 3 Contoh 2 Dalam sebuah keranjang terdapat50 buah salak, 10 diantaranya busuk. Diambil 5 buah salak. Peluang paling sedikit mendapat sebuah salak tidak busuk adalah…. Penyelesaian: • banyak salak 50, 10 salak busuk • diambil 5 salak  r = 5 • nS = 50 C 5 • Peluang paling sedikit 1 salak tidak busuk = 1 – peluang semua salak busuk = 1 – Kejadian Saling Lepas Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas maka peluang kejadian A atau B adalah PA atau B = PA + PB Contoh 1 Dari satu set kartu bridge tanpa joker akan diambil dua kartu joker akan diambil dua kartu kemudian kartu tersebut dikembalikan. Peluang terambilnya kartu as atau kartu king adalah…. Penyelesaian: • kartu bridge = 52  nS = 52 • kartu as = 4  nas = 4 • Pas = 452 • kartu king = 4  nking = 4 • Pking = 452 • Pas atau king = Pas + Pking = 452 + 452 = 852 Contoh 2 Sebuah dompet berisi uang logam 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah.Dompet yang lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah…. Penyelesaian • dompet I: 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan Pdompet I,ratusan = ½. 210 = 110 • dompet II: 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan. Pdompet II, ratusan = ½.34 = 38 • Jadi peluang mendapatkan uang logam ratusan rupiah Pratusan = 110 + 38 = 3880 = 1940 Kejadian Saling Bebas Kejadian A dan B saling bebas Jika keduanya tidak saling mempengaruhi PA dan B = PA x PB Contoh 1 Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putra dan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah…. Penyelesaian • banyak anggota putra 12 dan banyak anggota putri 18  nS = 12 + 18 = 30 • Pputra dan putri = Pputra x Pputri = 1230 x 1830 = Contoh 2 Peluang Amir lulus pada Ujian Nasional adalah 0,90. Sedangkan peluang Badu lulus pada Ujian Nasional 0,85. Peluang Amir lulus tetapi Badu tidak lulus pada ujian itu adalah… Penyelesaian: • Amir lulus  PAL = 0,90 • Badu lulus  PBL = 0,85 • Badu tidak lulus  PBTL = 1 – 0,85 = 0,15 • PAL tetapi BTL = PAL x PBTL = 0,90 x 0,15 = 0,135 Contoh 3 Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah…. Penyelesaian: • banyak kelereng merah = 6 dan biru = 4  jumlahnya = 10 • banyak cara mengambil 2 merah dari 6  r = 2 , n = 6  6 C 2 = 6 6-2 2 = 6x5x4 4 2 = 5.3 =15 banyak cara mengambil 1 biru dari 4 kelereng biru  r = 1, n = 4  4 C 1 = 4 • banyak cara mengambil 3 dari 10  nS = 10 C 3 = 120 Peluang mengambil 2 kelereng merah dan 1 biru = 15 x 4 120 Jadi peluangnya = ½ Contoh 4 Dari sebuah kotak yang berisi 5 bola merah dan 3 bola putih di- ambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya keduanya merah adalah Penyelesaian: • banyak cara mengambil 2 dari 8  8 C 2 = 8 8-2 2 = 28 banyak cara mengambil 2 dari5  5 C 2 = 5 5-2 2 = 10 • Peluang mengambil 2 bola merah sekaligus = 1028 = 514 III. Latihan Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar 1. Banyak cara menyusun pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara yang diambil dari 5 orang calon adalah…. 2. Dari sebuah kantong yang berisi10 bola merah dan 8 bola putih akan diambil 6 bola sekaligus secara acak. Banyak cara mengambil 4 bola merah dan 2 bola putih adalah…. 3. Dalam sebuah kantong terdapat 7 kelereng merah dan 3 kelereng biru . Bila tiga buah kelereng diambil sekaligus maka peluang terambilnya kelereng merah adalah…. 4. Anggota paduan suara suatu sekolah terdiri dari 12 putra dan 18 putri. Bila diambil dua anggota dari kelompok tersebut untuk mengikuti lomba perorangan maka peluang terpilihnya putra dan putri adalah…. 5. Dari sebuah kantong berisi 6 kelereng merah dan 4 kelereng biru diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 biru adalah…. IV. Tes Formatif 3 Terlampir V. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA MA XI A IPA, Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008 Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMAMA kelas XI IPA semester gasal, Klaten, Viva Pakarindo, 2007 Simangunsong Wilson, Matematika dasar, Jakarta: Erlangga, 2005 Tim Penyusun, Matematika SMA Program IPA, Klaten: CV Sahabat