Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku
ix
SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU
PIPIN URIP KURNIASIH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ix
ABSTRAK
PIPIN URIP KURNIASIH. Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku. Dibimbing oleh
TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
kotak, yang terdiri dari
Sudoku merupakan suatu permainan logika dalam bentuk
baris, kolom dan mini grid. Dalam permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan
angka dari sampai . Pada permainan ini, pemain bermain dengan cermat karena pada setiap
kolom maupun baris, tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula dengan mini grid, tidak boleh
ada angka yang berulang.
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa untuk mengetahui banyaknya kemungkinan Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.
Grup simetri Sudoku merupakan kumpulan solusi Sudoku yang mengalami operasi grup
simetri. Operasi grup simetri merupakan operasi permutasi yang terdiri dari permutasi nilai,
permutasi stack, permutasi band, permutasi kolom pada stack, ataupun permutasi baris pada band.
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh dari hasil operasi grup simetri
yang dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh dapat
dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.
Kata kunci: grup simetri sudoku, isomorfik, sudoku tereduksi
ix
ABSTRACT
PIPIN URIP KURNIASIH. Reduced Sudoku and Sudoku Symmetry Group. Supervised by
TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD ILYAS.
square games consisting rows, columns and mini
Sudoku is a logic game in form of
grids. In this game, the square is filled by numbers from 1 to . At this game, the player plays the
game precisely because each cell in a row or column should have a unique number. The mini grid
should have no repeated numbers.
This research proves that to determine the number of the isomorphic Sudoku solutions from
given Sudoku solutions can be calculated using reduced Sudoku.
Sudoku symmetry group is a collection of Sudoku solutions that is experienced symmetry
group operations. Symmetry group operation is an operation permutation consisting permutation
values, stack permutations, permutations band, column permutations on the stack, or row
permutations of the band. The isomorphic Sudoku solutions from reduced Sudoku can be obtained
from symmetry group operation imposed on Sudoku reduced. The total possible Sudoku solutions
calculated from the number of given reduced Sudoku.
Keywords: isomorphic, reduced sudoku, sudoku symmetry group
ix
SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU
PIPIN URIP KURNIASIH
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi
Nama
NIM
Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku
Pipin Urip Kurniasih
G54080018
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing IT
Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si.
NIP. 19740915 1999032001
MUhaLlvas, S.si, M.Sc
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
0,
Dr.'B,erlian Setiawaty, MS .
NIP': 19650505 '1989032004
r23 OCT 2013
Tanggal Lulus
................ ....................... ... ............... ....
ix
Judul Skripsi : Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku
Nama
: Pipin Urip Kurniasih
NIM
: G54080018
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 19740915 199903 2 001
Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus
: ............................................................
ix
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam tetap
tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi rahmat bagi seluruh alam.
Selama menyelesaikan karya ilmiah ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan,
motivasi, dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya.
Bapak dan Ibu serta keluarga tercinta yang telah memberikan kasih sayang, semangat,
motivasi dan doa.
Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah sabar
membimbing penulis serta memberikan ilmu, semangat, motivasi dan doa.
Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc. selaku dosen pembimbing II yang memberikan ilmu,
semangat, motivasi dan doa.
Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran, semangat
dan doa.
semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan.
semua staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan, dukungan dan doa.
Nur Apriandini, Novaria Yusri, Maya Widyastiti dan Aisyah Noor Rafi’ah yang telah
memberikan semangat, dukungan, motivasi dan doa.
Rahmalia Yuliarni dan Dimas Enggar Satria, teman-teman seperjuangan yang telah
memberikan semangat, motivasi dan doa.
teman-teman Matematika 45 dan adik-adik Matematika 46.
keluarga besar Racana Surya Tirta Kencana - Inggita Puspa Kirana, UKM Pramuka IPB.
keluarga besar School of Universe
teman-teman kosan Wisma Shinta, kosan Abunawas dan kosan Ibu Sri.
semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Penulis sangat menghargai
segala kritik dan saran yang membangun. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu
pendidikan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2013
Pipin Urip Kurniasih
ix
RIWAYAT HIDUP
Pipin Urip Kurniasih dilahirkan di Banyumas pada tanggal 9 April 1990. Penulis merupakan
anak kedua dari pasangan Bapak Sunarji dan Ibu Sutinah.
Pada tahun 2002 penulis bersekolah di SMP Negeri 1 Wangon. Kemudian, pada tahun 2005
penulis melanjutkan pendidikan di SMA Negeri Jatilawang. Pada tahun 2008 penulis diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor melalui jalur USMI (Undangna Seleksi Masuk IPB).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif dalam keanggotaan LDK Al
Hurriyyah sebagai anggota Divisi Organisasi dan Kesekretariatan periode 2008-2009. Penulis juga
pernah aktif dalam organisasi kepanduan, yaitu Racana Inggita Puspa Kirana, UKM Pramuka IPB
sebagai bendahara (periode 2009-2010) dan ketua (periode 2010-2011).
ix
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................viii
DAFTAR TABEL .................................................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................... ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................................................ 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................................................ 1
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi 1 (Sudoku) ......................................................................................................... 1
2.2 Definisi 2 (Permutasi) ..................................................................................................... 5
2.3 Definisi 3 (Operasi Permutasi) ........................................................................................ 9
III PEMBAHASAN
3.1 Sudoku Tereduksi ......................................................................................................... 12
3.2 Grup Simetri Sudoku .................................................................................................... 15
3.3 Isomorfik....................................................................................................................... 16
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan ....................................................................................................................... 19
4.2 Saran ............................................................................................................................. 19
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 19
LAMPIRAN ............................................................................................................................. 20
ix
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Bagian-bagian Sudoku..............................................................................................................
. .....................................................................................................................................
2
3 Contoh Pengisian Sudoku berukuran
..............................................................................
4
.......................................................................................................................................
........................................................................................................................................
5
6
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
7
8
........................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
9
10
.................................................................................................................................
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
11
12
13
14
15
16
17
18
19
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
3
3
4
4
4
4
4
4
4
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
. ...............................................................................................................................
Sudoku berukuran
...........................................................................................................
Banyak permutasi nilai. ............................................................................................................
Banyak permutasi band. ...........................................................................................................
Banyak permutasi stack ............................................................................................................
Banyak permutasi kolom pada stack 1 .....................................................................................
Banyak permutasi kolom pada stack .......................................................................................
Banyak permutasi baris pada band 1. .......................................................................................
Banyak permutasi baris pada band . .........................................................................................
..........................................................................................
Sudoku tereduksi berukuran 9
Sudoku hasil permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada Sudoku tereduksi ...............................
Sudoku hasil permutasi stack (stack 2 ditukar dengan stack 3) . ..............................................
Sudoku hasil permutasi kolom pada stack. ...............................................................................
hasil permutasi band (band 2 ditukar dengan band 3)..............................................................
Sudoku hasil permutasi baris pada band ..................................................................................
Sudoku isomorfik dari Sudoku tereduksi (gambar 34) .............................................................
........................................................................................................
Nilai-nilai di dalam
Nilai-nilai di dalam
meningkat. ...............................................................................
Nilai-nilai di dalam
meningkat. ..............................................................................
.......................................................................................................
. .....................................................................................................
Sudoku tereduksi. .....................................................................................................................
...........................................................................................................
Sudoku berukuran
Sudoku tereduksi berukuran
...........................................................................................
5
5
5
5
5
5
6
6
7
7
7
8
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
13
14
14
15
15
15
18
ix
49 Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi (Gambar 48 (i)) ....................................... 18
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Operasi permutasi grup simetri Sudoku ............................................................................... 16
2
Operasi permutasi pada Sudoku tereduksi ........................................................................... 17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1.
Lampiran 1........................................................................................................................... 20
1
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sudoku merupakan suatu permainan
logika dalam bentuk
kotak, yang terdiri
dari baris, kolom dan mini grid. Dalam
permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus
diisi dengan angka dari
sampai
.
Permainan sudoku umumnya dimainkan dalam
ukuran
. Sudoku tersebut memiliki 9
baris, 9 kolom dan 9 mini grid yang berukuran
. Dalam memainkan Sudoku ini, kotakkotak yang tersedia harus diisi dengan angka
dari 1 sampai 9. Meskipun hanya memasukkan
angka-angka ke dalam kotak, namun
permainan ini membutuhkan kecermatan dan
ketelitian yang lebih tinggi. Hal itu
dikarenakan pada setiap kolom maupun baris,
tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula
dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang
berulang.
Untuk mengetahui banyaknya Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki, dapat dilakukan dengan cara mencari
satu per satu dari semua kemungkinan yang
ada. Cara tersebut efektif dilakukan jika
Sudoku yang dimiliki berukuran kecil.
Namun, jika Sudoku yang dimiliki berukuran
besar, maka cara tersebut tidak efektif lagi
untuk digunakan sehingga harus ada cara lain
untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
Pada karya ilmiah ini, akan digunakan
Sudoku
tereduksi
untuk
mengetahui
banyaknya Sudoku yang isomorfik terhadap
Sudoku yang dimiliki. Sumber utama karya
ilmiah ini ialah artikel yang ditulis Jones,
Perkins & Roach pada tahun 2012.
1.2 Tujuan
Karya ilmiah ini bertujuan untuk
mengetahui bahwa banyaknya kemungkinan
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa
definisi yang digunakan untuk membahas
penelitian ini.
Definisi 1 (Sudoku)
stack
grid
Mini grid
band
Gambar 1 Bagian-bagian Sudoku
Sudoku merupakan suatu permainan
dalam bentuk
kotak, yang terdiri dari
mini grid yang berukuran
, di mana
. Sudoku yang seperti itu
dilambangkan
dengan
.
Band
merupakan mini grid baris pada Sudoku dan
stack merupakan mini grid kolom pada
Sudoku. Sudoku terdiri dari
band yang
masing-masing tersusun atas
mini grid
horizontal dan terdiri dari
stack yang
masing-masing tersusun atas
mini grid
vertikal. Dalam permainan Sudoku, kotakkotak yang tersedia harus diisi dengan angka
dari
sampai
dengan ketentuan sebagai
berikut: pada setiap kolom maupun baris, tidak
boleh ada angka yang sama, begitu pula
dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang
berulang.
Keterangan:
menyatakan banyaknya baris pada
mini grid
menyatakan banyaknya kolom pada
mini grid
menyatakan Sudoku berukuran
yang memiliki mini grid berukuran
baris dan kolom.
menyatakan banyaknya baris atau
banyaknya kolom pada Sudoku,
dimana merupakan hasil perkalian
baris dengan
kolom pada mini
grid.
Contoh Sudoku berukuran
menyatakan Sudoku berukuran
terdiri dari 4 mini grid yang berukuran
.
22
Sudoku ini memiliki 2 band yang masingmasing tersusun atas 2 mini grid horizontal
dan terdiri dari 2 stack, yang masing-masing
tersusun atas 2 mini grid vertikal.
menyatakan grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran baris dan kolom yang
terletak pada band stack .
menyatakan banyaknya baris pada
mini grid
menyatakan banyaknya kolom pada
mini grid
menyatakan banyaknya baris atau
banyaknya kolom pada Sudoku , di
mana
merupakan hasil perkalian
baris dengan kolom pada mini
grid.
menyatakan band
menyatakan stack
menyatakan baris pada mini grid
menyatakan kolom pada mini grid
4
stack
Mini grid
2
2
4
band
Gambar 2
Dalam permainan Sudoku berukuran
, kotak-kotak yang tersedia harus diisi
dengan angka 1 sampai 4. Pada setiap kolom,
baris, maupun mini grid, tidak boleh ada
angka yang berulang. Beberapa contoh
pengisian Sudoku berukuran
dapat
dilihat pada gambar 3.
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
Seluruh mini grid pada Sudoku berukuran
,
menyatakan mini grid berukuran
terletak pada band stack .
4
2
3
1
,
2
2
4
1
3
2
3
2
1
4
Gambar
3
3
2
4
1
4
1
2
3
2
3
1
4
2
4
3
1
1
4
2
3
Gambar 4
band
1
3
4
2
2
Contoh Pengisian
berukuran
Sudoku
2
Setelah mengetahui definisi sudoku,
stack dan band, selanjutnya akan dijelaskan
tentang definisi mini grid dan grid. Mini grid
dilambangkan dengan
dan grid
. Berikut akan
dilambangkan dengan
diberikan contoh
dan
merupakan mini grid yang terletak pada
stack .
.
Keterangan:
menyatakan mini grid berukuran
baris dan
kolom, terletak pada
band stack .
Gambar 5
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
33
menyatakan grid yang terletak pada
2
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
Gambar 6
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
Gambar 10
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
Gambar 7
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
2
Gambar 11
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 8
Seluruh grid pada Sudoku berukuran
,
menyatakan grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid berukuran
yang terletak pada band stack .
Gambar 12
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
menyatakan grid yang terletak pada
Gambar 9
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
4
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 13
Gambar 17
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 14
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
Gambar 18
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
4
Gambar 15
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
2
Gambar 19
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
4
menyatakan grid yang terletak pada
Gambar 16
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
55
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 20
Gambar 24
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 21
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 25
Untuk Sudoku berukuran
,
sampai
pelabelannya sama seperti
pelabelan pada Sudoku
.
(Majumder et al 2006)
Gambar 22
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Definisi 2 (Permutasi)
Permutasi adalah susunan yang dibentuk dari
sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau
seluruhnya.
Contoh operasi permutasi
Berikut diilustrasikan operasi permutasi
pada Sudoku berukuran
.
Gambar 23
6
6
Gambar 26 Sudoku berukuran
Permutasi nilai
Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku
berukuran
, dapat dituliskan sebagai
berikut.
Misal:
A menyatakan banyaknya kemungkinan nilai
pada kotak 1.
B menyatakan banyaknya kemungkinan nilai
pada kotak 2.
C menyatakan banyaknya
pada kotak 3.
D menyatakan banyaknya
pada kotak 4.
E menyatakan banyaknya
pada kotak 5.
F menyatakan banyaknya
pada kotak 6.
G menyatakan banyaknya
pada kotak 7.
H menyatakan banyaknya
pada kotak 8.
I menyatakan banyaknya
pada kotak 9.
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
adalah
Kotak 9
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 8
Kotak 3
Gambar 27 Banyak permutasi nilai
Kotak 4
Kotak 5
Permutasi band
Banyaknya permutasi band pada Sudoku
berukuran
, dapat dituliskan sebagai
berikut.
Misal:
J menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 1.
K menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 2
L menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 3
Kotak 7
Kotak 6
adalah
87
3 kemungkinan
2 kemungkinan
1 kemungkinan
Gambar 28 Banyak permutasi band
M1 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada kolom 1 stack 1.
M2 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai padakolom 2 stack 1
M3 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai padakolom 3 stack 1
Permutasi stack
adalah
stack 1
3 kemungkinan 2 kemungkinan 1 kemungkinan
Gambar 29 Banyak permutasi stack
Banyaknya permutasi stack pada
Sudoku berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
M menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 1.
N menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 2
O menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 3
adalah
Kolom 1
Kolom 2
Kolom 3
Gambar 30 Banyak permutasi kolom pada
stack 1
Permutasi kolom pada stack
Banyaknya permutasi stack 1 pada
Sudoku berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
98
stack 1
stack 2
stack 3
Gambar 31 Banyak permutasi kolom pada
stack
Banyaknya permutasi kolom pada stack
1 telah diketahui. Untuk menghitung
banyaknya permutasi kolom pada stack 2
dan stack 3, dapat dilakukan langkah yang
sama seperti langkah pada stack 1. Dengan
melakukan langkah yang sama, banyaknya
permutasi kolom pada stack 2 diperoleh
dan permutasi kolom pada stack 3 diperoleh
.
Karena permutasi semua kolom pada
setiap stack telah diketahui, berarti dapat
dihitung banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku berukuran
. Banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku tersebut
dapat diperoleh dari hasil perkalian
banyaknya permutasi kolom pada setiap
stack.
Banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
Misal:
S menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 1.
T menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 2.
U menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 3.
Permutasi baris pada band
Pada Sudoku berukuran
, terdapat
3 band. Pemain dapat menghitung
banyaknya permutasi band tersebut.
Setelah semua band telah terisi, pemain
dapat menghitung banyaknya permutasi
band pada Sudoku berukuran
tersebut. Banyaknya permutasi band 1 dapat
dihitung dari hasil perkalian banyaknya
kemungkinan yang dimiliki setiap baris
band 1.
Banyaknya permutasi band 1 tersebut,
dapat dituliskan sebagai berikut.
Misal:
J1 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 1 band 1.
J2 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 2 band 1
J3 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 3 band 1
adalah
Banyaknya permutasi baris pada band 1
telah
diketahui.
Untuk
menghitung
banyaknya permutasi baris pada band 2 dan
band 3, dapat dilakukan langkah sama
seperti langkah pada band 1. Dengan
melakukan langkah yang sama, banyaknya
permutasi baris pada band 2 diperoleh
dan permutasi baris pada band 3 diperoleh
.
9
10
3
2
1
band 1
Gambar 32 Banyak permutasi baris pada band 1
3
band 1
2
1
3
band 2
2
1
3
2
band 3
1
Gambar 33 Banyak permutasi baris pada band
Karena permutasi semua baris pada
setiap band telah diketahui, berarti dapat
dihitung banyaknya permutasi baris pada
seluruh band di dalam Sudoku berukuran
. Banyaknya permutasi baris pada
seluruh band di dalam Sudoku tersebut
dapat diperoleh dari hasil perkalian
banyaknya permutasi baris pada setiap band.
Banyaknya permutasi baris pada seluruh
band di dalam Sudoku tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut.
Misal:
V menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 1.
W menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 2.
X menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 3.
(Itaketo 2010)
Definisi 3 (Operasi Grup Simetri)
Operasi grup simetri merupakan operasi
permutasi yang terdiri dari permutasi nilai,
permutasi stack, permutasi band, permutasi
kolom pada stack, ataupun permutasi baris
pada band.
Di bawah ini diberikan contoh Sudoku
yang dibentuk oleh operasi permutasi nilai
(2,4,6,8) (1,3,5,7,9), permutasi band,
permutasi stack, permutasi kolom pada stack
dan permutasi baris pada band
yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Beberapa
langkah yang digunakan dalam contoh
tersebut adalah sebagai berikut.
Diketahui Sudoku tereduksi berukuran
pada gambar 34.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
2
5
8
3
6
9
1
4
7
3
6
9
1
4
7
2
5
8
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
4
7
1
6
9
3
4
7
1
5
8
2
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
7
1
4
9
3
6
7
1
4
8
2
5
Gambar 34 Sudoku tereduksi berukuran
9
11
10
Permutasi nilai
Dari Sudoku tereduksi di atas, lakukan
permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada
Sudoku tereduksi. Nilai 2 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 4. Nilai 4
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
6. Nilai 6 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 8. Nilai 8 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 2. Nilai 1
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
3. Nilai 3 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 5. Nilai 5 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 7. Nilai 7
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
9. Nilai 9 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 1.
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
Gambar 35 Sudoku hasil permutasi nilai
(2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada
Sudoku tereduksi
Permutasi stack
Setelah melakukan permutasi nilai,
selanjutnya lakukan permutasi stack. Tukar
stack 2 dengan stack 3.
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
Gambar 36 Sudoku hasil permutasi stack
(stack 2 ditukar dengan stack
3)
Permutasi kolom pada stack
Setelah melakukan permutasi stack,
kemudian, lakukan permutasi kolom pada
stack.
Pindahkan nilai-nilai kolom pada stack 2
(kolom 1 ke kolom 2, kolom 2 ke kolom 3,
kolom 3 ke kolom 1). Kemudian, tukar
kolom pada stack 3 (tukar kolom 1 dengan
kolom 2).
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
1
5
8
9
3
6
2
4
7
9
3
6
2
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
9
3
6
7
2
4
8
1
5
6
9
3
6
9
3
7
2
4
8
1
5
8
1
5
6
9
3
7
2
4
Gambar 37 Sudoku hasil permutasi kolom
pada stack.
12
11
Permutasi band
Selanjutnya, lakukan permutasi pada
band (tukar band 2 dengan band 3).
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
1
5
8
9
3
6
2
4
7
9
3
6
2
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
9
3
6
7
2
4
8
1
5
6
9
3
6
9
3
7
2
4
8
1
5
8
1
5
6
9
3
7
2
4
3
6
9
5
8
1
4
7
2
4
7
2
3
6
9
5
8
1
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
2
4
7
9
3
6
9
3
6
1
5
8
2
4
7
2
4
7
9
3
6
1
5
8
7
2
4
6
9
3
8
1
5
6
9
3
8
1
5
7
2
4
8
1
5
7
2
4
6
9
3
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
2
4
7
9
3
6
9
3
6
1
5
8
2
4
7
2
4
7
9
3
6
1
5
8
7
2
4
6
9
3
8
1
5
5
8
1
2
4
7
3
9
6
1
5
8
7
2
4
9
6
3
9
3
6
8
1
5
2
7
4
2
4
7
6
9
3
1
8
5
7
2
4
3
6
9
8
5
1
6
9
3
5
8
1
7
4
2
8
1
5
4
7
2
6
3
9
Setelah dilakukan permutasi nilai,
permutasi band, permutasi stack, permutasi
kolom pada stack dan permutasi baris pada
band yang dikenakan pada Sudoku tereduksi
di atas, akhirnya diperoleh Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku tereduksi.
Sudoku tersebut ditunjukkan pada gambar
40.
Permutasi baris pada band
Setelah dilakukan permutasi band,
kemudian lakukan permutasi baris pada
band. Pindahkan nilai-nilai baris pada band
2 (baris 1 ke baris 2, baris 2 ke baris 3, baris
3 ke baris 1). Kemudian, tukar baris pada
band 3 (tukar baris 2 dengan baris 3).
4
7
2
3
6
9
5
8
1
4
7
2
9
3
6
5
1
8
Gambar 39 Sudoku hasil permutasi baris
pada band.
Gambar 38 Sudoku hasil permutasi band
(band 2 ditukar dengan band 3).
3
6
9
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
4
2
7
6
9
3
8
1
5
7
2
4
8
1
5
7
2
4
6
9
3
3
6
9
1
5
8
4
2
7
4
7
2
9
3
6
5
1
8
5
8
1
2
4
7
3
9
6
1
5
8
7
2
4
9
6
3
9
3
6
8
1
5
2
7
4
2
4
7
6
9
3
1
8
5
7
2
4
3
6
9
8
5
1
6
9
3
5
8
1
7
4
2
8
1
5
4
7
2
6
3
9
Gambar 40 Sudoku isomorfik dari
Sudoku tereduksi (gambar 34)
(Jones & Perkins 2012)
13
12
III PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini akan membahas
tentang Sudoku tereduksi dan Grup Simetri
Sudoku dengan beberapa ilustrasinya.
3.1 Sudoku tereduksi
Sudoku tereduksi,
adalah
Sudoku yang mengikuti sifat-sifat berikut :
1. Nilai-nilai di dalam
adalah
bentuk
dari
hasil
perhitungan
.
2. Untuk setiap mini grid
, untuk
nilai-nilai dari
,
untuk
meningkat.
3. Untuk setiap mini grid
, untuk
nilai-nilai dari
,
untuk
meningkat.
4. Nilai dari
nilai dari
untuk
.
5. Nilai dari
nilai dari
untuk
.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Gambar 41 Nilai-nilai di dalam
Selanjutnya,
Keterangan:
menyatakan Sudoku tereduksi
berukuran
yang
memiliki mini grid berukuran
baris dan kolom.
Contoh Sudoku tereduksi berukuran
ditunjukkan sebagai berikut.
1.
Nilai-nilai di dalam
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack adalah bentuk dari hasil
perhitungan
.
Pada
perhitungan
, grid yang terletak
pada baris kolom pada mini grid
yang terletak pada band stack
bernilai
1.
Pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 2. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 3.
2.
pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 4. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 5. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 6.
Kemudian,
pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 7. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack
bernilai 8. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 9.
Nilai-nilai di dalam
, dapat
dilihat pada gambar 41.
Untuk setiap
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack , untuk
nilainilai di dalam
, grid yang
14
13
pada mini grid yang terletak pada
band stack .
Nilai-nilai
di
dalam
meningkat,
juga
akan
mengakibatkan
.
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom
pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom
pada mini grid yang
terletak pada band stack .
terletak pada baris kolom pada mini
grid berukuran
yang terletak
pada band stack , untuk
meningkat.
Karena
nilai-nilai di
dalam
meningkat,
sehingga
mengakibatkan
. Grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack
nilainya lebih kecil dari grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack .
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
meningkat
meningkat
4 5 6 7 8 9
Gambar 42 Nilai-nilai di dalam
3.
Untuk setiap
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack untuk
nilainilai di dalam
, grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid berukuran
yang terletak
pada
band stack
untuk
meningkat.
Karena
nilai-nilai di
dalam
meningkat,
sehingga
mengakibatkan
. Grid yang
meningkat
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack
nilainya lebih kecil dari grid yang
terletak pada baris
kolom
pada
mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack .
15
14
2
5
8
3
6
9
meningkat
meningkat
Gambar 43 Nilai-nilai di dalam
Nilai-nilai
di
meningkat,
juga
mengakibatkan
dalam
akan
meningkat
pada mini grid berukuran
terletak pada band stack .
.
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack .
4.
Berlaku
,
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid berukuran
yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack
, untuk
.
Pada Sudoku berukuran
,
berlaku
. Grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
4
yang
7
Gambar 44
5.
Berlaku
,
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid berukuran
yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran
yang terletak pada
band
stack ,
untuk
.
Pada Sudoku berukuran
,
berlaku
. Grid
16
15
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack .
2
Gambar 47 Sudoku berukuran
Untuk mengetahui banyaknya grup
simetri Sudoku berukuran
dapat
diperoleh dari hasil perkalian order masingmasing permutasi berikut.
3
Permutasi nilai
Gambar 45
Contoh Sudoku tereduksi ditunjukkan
pada gambar 46.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
2
5
8
3
6
9
1
4
7
3
6
9
1
4
7
2
5
8
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
4
7
1
6
9
3
4
7
1
5
8
2
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
7
1
4
9
3
6
7
1
4
8
2
5
Permutasi band
Permutasi stack
Gambar 46 Sudoku tereduksi
3.2 Grup Simetri Sudoku
Grup simetri Sudoku merupakan
kumpulan solusi Sudoku yang mengalami
operasi grup simetri. Banyaknya grup
simetri Sudoku dapat diperoleh dari hasil
perkalian banyaknya permutasi nilai,
permutasi band, permutasi stack, permutasi
kolom pada stack dan permutasi baris pada
band.
Berikut
berukuran
diberikan
.
contoh
Permutasi kolom pada stack
Permutasi baris pada band
Sudoku
Dari pembahasan di atas, jika terdapat
nilai,
band,
stack, kolom pada
stack, dan
baris pada
band maka
masing-masing permutasi yang dikenakan
pada Sudoku tersebut dapat dilihat pada
Tabel 1.
17
16
Tabel 1 Operasi permutasi grup simetri
Sudoku
Operasi Permutasi
Banyaknya
Permutasi nilai
Permutasi band
Permutasi stack
Permutasi kolom pada stack
Permutasi baris pada band
Dari tabel di atas dapat diperoleh lema
berikut.
Lema 1
Misal
diberikan
Sudoku
berukuran
dengan nilai, band, stack,
kolom pada stack dan baris pada band
maka banyaknya grup simetri Sudoku dapat
dihitung dari
.
3.3 Isomorfik
Isomorfik merupakan hubungan antara
Sudoku yang belum dikenai operasi grup
simetri dengan Sudoku yang telah dikenai
operasi grup simetri. Sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh
dari hasil operasi grup simetri yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Permutasi
pada Sudoku tereduksi diasumsikan bahwa
mini grid yang terletak pada band 1 stack 1
hanya dikenai permutasi nilai.
Banyaknya masing-masing permutasi
pada Sudoku tereduksi dapat dituliskan
sebagai berikut.
Permutasi nilai
Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku
tereduksi berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
Aa menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 1.
Bb menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 2.
Cc menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 3.
Dd menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 4.
Ee menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 5.
Ff menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 6.
Gg menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 7.
Hh menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 8.
Ii menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 9.
Permutasi band
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi band maka banyaknya permutasi
band diperoleh sebagai berikut.
Permutasi stack
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi stack maka banyaknya permutasi
stack diperoleh sebagai berikut.
Permutasi kolom pada stack
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi kolom pada stack, maka
banyaknya permutasi stack diperoleh dari
perkalian permutasi kolom pada stack 2 dan
permutasi kolom pada stack 3. Banyaknya
permutasi kolom pada stack diperoleh
sebagai
berikut.
Permutasi kolom pada band
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi
kolom
padaband,
maka
banyaknya permutasi band diperoleh dari
perkalian permutasi baris pada band 2 dan
permutasi baris pada band 3. Banyaknya
permutasi baris pada band diperoleh sebagai
berikut.
Dari pembahasan di atas, jika pemain
memiliki nilai, band, stack, kolom
pada stack dan baris pada
band
maka masing-masing permutasi yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi tersebut
dapat dilihat pada Tabel 2.
1718
Tabel 2 Operasi permutasi pada Sudoku
tereduksi
Operasi Permutasi
Banyaknya
Permutasi nilai
Permutasi band
Permutasi stack
Permutasi baris pada band
2
Permutasi kolom pada stack
|
Teorema
| adalah banyaknya sudoku
Jika |
tereduksi berukuran
yang memiliki
mini grid berukuran
, di mana
| diperoleh dari
, maka |
|
|
|
|
Bukti:
Berdasarkan
Dari tabel di atas dapat diperoleh lema
berikut.
Lema 2
Misal
diberikan
Sudoku
berukuran
dengan nilai, band, stack,
kolom pada stack dan baris pada band
maka banyaknya grup simetri Sudoku
tereduksi dapat dihitung dari
.
Dengan menggunakan Lema 2, total
Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari
banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.
Total perhitungan tersebut dapat dituliskan
sebagai berikut.
|
Jadi, |
diperoleh
Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku awal.
Dengan menggunakan perhitungan (1),
di mana
, total Sudoku yang
diperoleh dapat dihitung dari banyaknya
Sudoku tereduksi yang dimiliki. Total
perhitungan tersebut, secara matematis dapat
dituliskan sebagai berikut.
|
|
|
|
(1)
|
|
|
|
|
|
|
|.
|
|
|
Lema
|
|
|
|
2
|
|
18
18
Sehingga terbukti bahwa untuk mengetahui
banyaknya kemungkinan Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki,
dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
Terbukti
Untuk memahami teorema tersebut,
diberikan ilustrasi berikut ini. Pada Sudoku
tereduksi berukuran
, terdapat
beberapa kemungkinan sebagai berikut.
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
(i)
1
3
2
4
2
4
3
1
(ii)
1
3
2
4
2
4
1
3
3
2
4
1
4
1
3
2
(iii)
Gambar 48 Sudoku tereduksi berukuran
Jadi, banyaknya kemungkinan yang
terjadi pada Sudoku tereduksi berukuran
adalah 3. Kemungkinan tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
|
|
Sebelum menghitung menggunakan
Sudoku tereduksi, terlebih dahulu dihitung
banyaknya grup simetri Sudoku. Banyaknya
grup simetri Sudoku berukuran
dapat
dituliskan sebagai berikut.
Dari perhitungan di atas, diketahui
bahwa terdapat 1536 sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku yang dimiliki. Namun,
setelah dicari satu per satu, ada Sudoku yang
memiliki nilai-nilai dengan letak yang sama
(gambar 49).
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(i) Sudoku hasil operasi permutasi
baris pada band 1
4
2
3
1
(ii)
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
Sudoku hasil operasi permutasi
baris pada band 2 dan permutasi
stack
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(iii) Sudoku hasil operasi permutasi
kolom pada stack 1 dan stack 2,
permutasi baris pada band 1,
permutasi stack dan permutasi
band
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(iv) Sudoku hasil operasi permutasi
kolom pada stack 1 dan stack 2,
permutasi baris pada band 2, dan
permutasi band
Gambar 49 Sudoku yang isomorfik
terhadap
Sudoku
tereduksi (Gambar 48
(i))
Misal Sudoku pada gambar 48 (i)
dikenai operasi permutasi. Dari gambar 49,
diketahui ada Sudoku yang sama. Sehingga
dari total 1536 Sudoku hasil operasi
permutasi, hanya ada 96 Sudoku yang
berbeda.
Sudoku-sudoku
tersebut
ditunjukkan pada lampiran 1.
Untuk mendapatkan 96 Sudoku seperti
pada lampiran 1, dapat digunakan cara lain
yang lebih efektif, yaitu dengan melakukan
operasi permutasi pada Sudoku tereduksi
dengan asumsi bahwa mini grid yang
terletak pada band 1 stack 1 hanya dikenai
19
19
permutasi nilai. Dari semua operasi
permutasi yang dilakukan, banyaknya grup
simetri Sudoku tereduksi dapat dituliskan
sebagai berikut.
Setelah melakukan perhitungan di atas,
penulis dapat menghitung banyaknya
Sudoku yang mungkin terjadi dari ketiga
Sudoku tereduksi yang dimiliki. Jika setiap
Sudoku yang tereduksi memiliki 96 Sudoku
isomorfik, maka banyaknya Sudoku yang
mungkin terjadi adalah
.
Dengan kata lain, Sudoku berukuran
memiliki 288 Sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku yang dimiliki.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa
untuk mengetahui banyaknya kemungkinan
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
Grup
simetri
Sudoku
merupakan
kumpulan solusi Sudoku yang mengalami
operasi grup simetri. Operasi grup simetri
merupakan operasi permutasi yang terdiri dari
permutasi nilai, permutasi stack, permutasi
band, permutasi kolom pada stack, ataupun
permutasi baris pada band. Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat
diperoleh dari hasil operasi grup simetri yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total
kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh
dapat dihitung dari banyaknya Sudoku
tereduksi yang dimiliki.
4.2 Saran
Karya ilmiah ini telah membahas
perhitungan banyaknya kemungkinan Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki
menggunakan Sudoku tereduksi. Bagi yang
berminat membuat karya ilmiah tentang
Sudoku dapat mengangkat tentang algoritma,
pewarnaan, maupun pengisian Sudoku
menggunakan
matematika
diskret.
DAFTAR PUSTAKA
Itaketo UT. 2010. Application of the
Principles
of
Permutation
and
Combination (in Mathematics) in
Telecommunications.
International
Journal of Engineering Science and
Technology. 2(10):2963-2967.
Jones SK, Perkins S, Roach PA. 2012. The
Structure of Reduced Sudoku Grid and
the
Sudoku
Symmetry
Group.
International
Journal
of
Combinatorics.doi:10.1155/2012/760310.
Majumder Abhishek et al. 2010. The Game of
Sudoku-Advanced Backtrack Approach.
International Journal of Computer
Science
and
Network
Security.
10(8):255-258.
20
20
Lampiran 1
2
4
3
1
3
1
2
4
4
2
1
3
1
3
4
2
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
1
4
3
4
1
3
2
3
2
4
1
1
4
2
3
2
3
1
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
2
1
3
4
4
3
1
2
1
2
4
3
3
4
2
1
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
4
2
1
1
2
4
3
4
3
1
2
2
1
3
4
4
1
2
3
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
2
4
3
1
3
1
2
4
1
3
4
2
4
2
1
3
2
1
4
3
4
3
2
1
3
4
1
2
1
2
3
4
3
2
1
4
4
1
2
3
1
4
4
1
2
3
3
2
3
4
1
2
1
2
3
4
2
1
4
3
4
3
2
1
4
1
3
2
3
2
4
1
2
3
1
4
1
4
2
3
2
4
1
3
3
1
4
2
1
3
2
4
4
2
3
1
2
1
3
4
4
3
1
2
3
4
2
1
1
2
4
3
3
2
1
4
4
1
2
3
1
4
3
2
2
3
4
1
3
4
2
1
1
2
4
3
2
1
3
4
4
3
1
2
4
1
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
1
4
3
2
3
2
1
4
4
1
2
3
2
3
4
1
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
4
1
2
3
3
2
1
4
1
4
3
2
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
2
4
3
4
3
1
2
2
1
3
4
3
4
2
1
1
4
2
3
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
2
4
1
2
3
1
4
4
1
3
2
3
2
4
1
1
4
2
3
3
2
4
1
1
4
2
3
2
3
1
4
4
1
3
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
1
4
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
4
1
2
3
4
1
2
3
2
3
4
1
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
4
3
2
3
2
1
4
3
2
1
4
1
4
3
2
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
4
3
4
1
1
2
3
2
2
1
2
3
3
4
1
4
2
3
3
2
4
1
2
3
1
4
4
1
3
2
4
1
3
2
2
3
1
4
3
2
4
3
1
4
2
1
2
3
1
4
4
1
3
2
1
4
2
3
3
2
4
1
3
2
4
1
1
4
2
3
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
3
4
4
1
2
1
3
2
1
2
2
3
4
3
21
21
4
2
1
3
1
3
4
2
2
4
3
1
3
1
2
4
1
4
2
3
2
3
1
4
4
1
3
2
3
2
4
1
2
3
1
4
1
4
2
3
3
2
4
1
4
1
3
2
1
3
4
2
4
2
1
3
3
1
2
4
2
4
3
1
3
1
2
4
2
4
3
1
1
3
4
2
4
2
1
3
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
3
2
1
4
4
1
2
3
1
3
2
4
4
2
3
1
3
1
4
2
2
4
1
3
3
1
4
2
2
4
1
3
1
3
2
4
4
2
3
1
4
2
1
3
1
3
4
2
3
1
2
4
2
4
3
1
1
4
2
3
2
3
1
4
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
4
1
3
2
3
2
4
1
1
3
4
2
4
2
1
3
2
4
3
1
3
1
2
4
3
1
2
4
2
4
3
1
4
2
1
3
1
3
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
3
1
4
2
2
4
1
3
1
4
3
2
2
3
4
1
3
2
1
4
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
3
2
4
1
2
3
3
2
1
4
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
3
1
4
2
3
1
4
2
2
4
1
3
4
2
3
1
1
3
2
4
3
4
2
1
2
1
3
4
4
3
1
2
1
2
4
3
4
3
1
2
1
2
4
3
3
4
2
1
2
1
3
4
2
1
3
4
3
4
2
1
1
2
4
3
4
3
1
2
2
4
1
3
1
3
2
4
4
2
3
1
3
1
4
2
3
1
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
4
1
2
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
4
3
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
2
1
4
3
2
1
4
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
4
3
1
1
3
4
2
4
2
1
3
3
1
2
4
3
1
2
4
4
2
1
3
1
3
4
2
2
4
3
1
3
4
2
1
2
1
3
4
1
2
4
3
4
3
1
2
4
3
1
2
1
2
4
3
2
1
3
4
3
4
2
1
2
1
3
4
3
4
2
1
4
3
1
2
1
2
4
3
2
4
1
3
1
3
2
4
3
1
4
2
4
2
3
1
3
1
4
2
4
2
3
1
2
4
1
3
1
3
2
4
3
4
1
2
2
1
4
3
1
2
3
4
4
3
2
1
4
3
2
1
1
2
3
4
2
1
4
3
3
4
1
2
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
1
2
3
4
2
4
3
1
1
3
4
2
3
1
2
4
4
2
1
3
3
1
2
4
4
2
1
3
2
4
3
1
1
3
4
2
22
22
1
2
3
4
3
4
1
2
2
1
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
2
3
1
3
1
4
2
2
4
1
3
1
3
2
4
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
1
2
4
3
3
4
2
1
2
1
3
4
4
3
1
2
4
3
1
2
2
1
3
4
3
4
2
1
1
2
4
3
4
2
1
3
3
1
2
4
2
4
3
1
1
3
4
2
1
3
4
2
2
4
3
1
3
1
2
4
4
2
1
3
1
2
3
4
3
4
1
2
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
1
2
3
4
3
4
1
2
4
2
3
1
3
1
4
2
1
3
2
4
2
4
1
3
1
3
2
4
2
4
1
3
4
2
3
1
3
1
4
2
1
2
4
3
3
4
2
1
4
3
1
2
2
1
3
4
4
3
1
2
2
1
3
4
1
2
4
1
3
4
2
3
4
2
1
3
3
1
2
4
1
3
4
2
2
4
3
1
1
3
4
2
2
4
3
1
4
2
1
3
3
1
2
4
SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU
PIPIN URIP KURNIASIH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
ix
ABSTRAK
PIPIN URIP KURNIASIH. Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku. Dibimbing oleh
TEDUH WULANDARI MAS’OED dan MUHAMMAD ILYAS.
kotak, yang terdiri dari
Sudoku merupakan suatu permainan logika dalam bentuk
baris, kolom dan mini grid. Dalam permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus diisi dengan
angka dari sampai . Pada permainan ini, pemain bermain dengan cermat karena pada setiap
kolom maupun baris, tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula dengan mini grid, tidak boleh
ada angka yang berulang.
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa untuk mengetahui banyaknya kemungkinan Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku tereduksi.
Grup simetri Sudoku merupakan kumpulan solusi Sudoku yang mengalami operasi grup
simetri. Operasi grup simetri merupakan operasi permutasi yang terdiri dari permutasi nilai,
permutasi stack, permutasi band, permutasi kolom pada stack, ataupun permutasi baris pada band.
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh dari hasil operasi grup simetri
yang dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh dapat
dihitung dari banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.
Kata kunci: grup simetri sudoku, isomorfik, sudoku tereduksi
ix
ABSTRACT
PIPIN URIP KURNIASIH. Reduced Sudoku and Sudoku Symmetry Group. Supervised by
TEDUH WULANDARI MAS’OED and MUHAMMAD ILYAS.
square games consisting rows, columns and mini
Sudoku is a logic game in form of
grids. In this game, the square is filled by numbers from 1 to . At this game, the player plays the
game precisely because each cell in a row or column should have a unique number. The mini grid
should have no repeated numbers.
This research proves that to determine the number of the isomorphic Sudoku solutions from
given Sudoku solutions can be calculated using reduced Sudoku.
Sudoku symmetry group is a collection of Sudoku solutions that is experienced symmetry
group operations. Symmetry group operation is an operation permutation consisting permutation
values, stack permutations, permutations band, column permutations on the stack, or row
permutations of the band. The isomorphic Sudoku solutions from reduced Sudoku can be obtained
from symmetry group operation imposed on Sudoku reduced. The total possible Sudoku solutions
calculated from the number of given reduced Sudoku.
Keywords: isomorphic, reduced sudoku, sudoku symmetry group
ix
SUDOKU TEREDUKSI DAN GRUP SIMETRI SUDOKU
PIPIN URIP KURNIASIH
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi
Nama
NIM
Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku
Pipin Urip Kurniasih
G54080018
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing IT
Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si.
NIP. 19740915 1999032001
MUhaLlvas, S.si, M.Sc
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
0,
Dr.'B,erlian Setiawaty, MS .
NIP': 19650505 '1989032004
r23 OCT 2013
Tanggal Lulus
................ ....................... ... ............... ....
ix
Judul Skripsi : Sudoku Tereduksi dan Grup Simetri Sudoku
Nama
: Pipin Urip Kurniasih
NIM
: G54080018
Menyetujui
Pembimbing I
Pembimbing II
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 19740915 199903 2 001
Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus
: ............................................................
ix
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat dan salam tetap
tercurah kepada Nabi Muhammad SAW yang telah menjadi rahmat bagi seluruh alam.
Selama menyelesaikan karya ilmiah ini, penulis banyak mendapatkan bantuan, dukungan,
motivasi, dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan
terima kasih kepada:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Allah SWT atas segala nikmat dan karunia-Nya.
Bapak dan Ibu serta keluarga tercinta yang telah memberikan kasih sayang, semangat,
motivasi dan doa.
Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I yang telah sabar
membimbing penulis serta memberikan ilmu, semangat, motivasi dan doa.
Muhammad Ilyas, S.Si, M.Sc. selaku dosen pembimbing II yang memberikan ilmu,
semangat, motivasi dan doa.
Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran, semangat
dan doa.
semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu yang telah diberikan.
semua staf Departemen Matematika, terima kasih atas bantuan, dukungan dan doa.
Nur Apriandini, Novaria Yusri, Maya Widyastiti dan Aisyah Noor Rafi’ah yang telah
memberikan semangat, dukungan, motivasi dan doa.
Rahmalia Yuliarni dan Dimas Enggar Satria, teman-teman seperjuangan yang telah
memberikan semangat, motivasi dan doa.
teman-teman Matematika 45 dan adik-adik Matematika 46.
keluarga besar Racana Surya Tirta Kencana - Inggita Puspa Kirana, UKM Pramuka IPB.
keluarga besar School of Universe
teman-teman kosan Wisma Shinta, kosan Abunawas dan kosan Ibu Sri.
semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari sempurna. Penulis sangat menghargai
segala kritik dan saran yang membangun. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu
pendidikan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Agustus 2013
Pipin Urip Kurniasih
ix
RIWAYAT HIDUP
Pipin Urip Kurniasih dilahirkan di Banyumas pada tanggal 9 April 1990. Penulis merupakan
anak kedua dari pasangan Bapak Sunarji dan Ibu Sutinah.
Pada tahun 2002 penulis bersekolah di SMP Negeri 1 Wangon. Kemudian, pada tahun 2005
penulis melanjutkan pendidikan di SMA Negeri Jatilawang. Pada tahun 2008 penulis diterima di
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor melalui jalur USMI (Undangna Seleksi Masuk IPB).
Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif dalam keanggotaan LDK Al
Hurriyyah sebagai anggota Divisi Organisasi dan Kesekretariatan periode 2008-2009. Penulis juga
pernah aktif dalam organisasi kepanduan, yaitu Racana Inggita Puspa Kirana, UKM Pramuka IPB
sebagai bendahara (periode 2009-2010) dan ketua (periode 2010-2011).
ix
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR .............................................................................................................viii
DAFTAR TABEL .................................................................................................................. ix
DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................................... ix
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ................................................................................................................ 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................................................ 1
II TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi 1 (Sudoku) ......................................................................................................... 1
2.2 Definisi 2 (Permutasi) ..................................................................................................... 5
2.3 Definisi 3 (Operasi Permutasi) ........................................................................................ 9
III PEMBAHASAN
3.1 Sudoku Tereduksi ......................................................................................................... 12
3.2 Grup Simetri Sudoku .................................................................................................... 15
3.3 Isomorfik....................................................................................................................... 16
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan ....................................................................................................................... 19
4.2 Saran ............................................................................................................................. 19
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 19
LAMPIRAN ............................................................................................................................. 20
ix
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Bagian-bagian Sudoku..............................................................................................................
. .....................................................................................................................................
2
3 Contoh Pengisian Sudoku berukuran
..............................................................................
4
.......................................................................................................................................
........................................................................................................................................
5
6
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
7
8
........................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
9
10
.................................................................................................................................
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
11
12
13
14
15
16
17
18
19
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
3
3
4
4
4
4
4
4
4
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
. ................................................................................................................................
. ................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
. ...............................................................................................................................
Sudoku berukuran
...........................................................................................................
Banyak permutasi nilai. ............................................................................................................
Banyak permutasi band. ...........................................................................................................
Banyak permutasi stack ............................................................................................................
Banyak permutasi kolom pada stack 1 .....................................................................................
Banyak permutasi kolom pada stack .......................................................................................
Banyak permutasi baris pada band 1. .......................................................................................
Banyak permutasi baris pada band . .........................................................................................
..........................................................................................
Sudoku tereduksi berukuran 9
Sudoku hasil permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada Sudoku tereduksi ...............................
Sudoku hasil permutasi stack (stack 2 ditukar dengan stack 3) . ..............................................
Sudoku hasil permutasi kolom pada stack. ...............................................................................
hasil permutasi band (band 2 ditukar dengan band 3)..............................................................
Sudoku hasil permutasi baris pada band ..................................................................................
Sudoku isomorfik dari Sudoku tereduksi (gambar 34) .............................................................
........................................................................................................
Nilai-nilai di dalam
Nilai-nilai di dalam
meningkat. ...............................................................................
Nilai-nilai di dalam
meningkat. ..............................................................................
.......................................................................................................
. .....................................................................................................
Sudoku tereduksi. .....................................................................................................................
...........................................................................................................
Sudoku berukuran
Sudoku tereduksi berukuran
...........................................................................................
5
5
5
5
5
5
6
6
7
7
7
8
9
9
10
10
10
11
11
11
11
12
13
14
14
15
15
15
18
ix
49 Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku tereduksi (Gambar 48 (i)) ....................................... 18
DAFTAR TABEL
Halaman
1
Operasi permutasi grup simetri Sudoku ............................................................................... 16
2
Operasi permutasi pada Sudoku tereduksi ........................................................................... 17
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1.
Lampiran 1........................................................................................................................... 20
1
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sudoku merupakan suatu permainan
logika dalam bentuk
kotak, yang terdiri
dari baris, kolom dan mini grid. Dalam
permainan ini, kotak-kotak yang tersedia harus
diisi dengan angka dari
sampai
.
Permainan sudoku umumnya dimainkan dalam
ukuran
. Sudoku tersebut memiliki 9
baris, 9 kolom dan 9 mini grid yang berukuran
. Dalam memainkan Sudoku ini, kotakkotak yang tersedia harus diisi dengan angka
dari 1 sampai 9. Meskipun hanya memasukkan
angka-angka ke dalam kotak, namun
permainan ini membutuhkan kecermatan dan
ketelitian yang lebih tinggi. Hal itu
dikarenakan pada setiap kolom maupun baris,
tidak boleh ada angka yang sama, begitu pula
dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang
berulang.
Untuk mengetahui banyaknya Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki, dapat dilakukan dengan cara mencari
satu per satu dari semua kemungkinan yang
ada. Cara tersebut efektif dilakukan jika
Sudoku yang dimiliki berukuran kecil.
Namun, jika Sudoku yang dimiliki berukuran
besar, maka cara tersebut tidak efektif lagi
untuk digunakan sehingga harus ada cara lain
untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.
Pada karya ilmiah ini, akan digunakan
Sudoku
tereduksi
untuk
mengetahui
banyaknya Sudoku yang isomorfik terhadap
Sudoku yang dimiliki. Sumber utama karya
ilmiah ini ialah artikel yang ditulis Jones,
Perkins & Roach pada tahun 2012.
1.2 Tujuan
Karya ilmiah ini bertujuan untuk
mengetahui bahwa banyaknya kemungkinan
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa
definisi yang digunakan untuk membahas
penelitian ini.
Definisi 1 (Sudoku)
stack
grid
Mini grid
band
Gambar 1 Bagian-bagian Sudoku
Sudoku merupakan suatu permainan
dalam bentuk
kotak, yang terdiri dari
mini grid yang berukuran
, di mana
. Sudoku yang seperti itu
dilambangkan
dengan
.
Band
merupakan mini grid baris pada Sudoku dan
stack merupakan mini grid kolom pada
Sudoku. Sudoku terdiri dari
band yang
masing-masing tersusun atas
mini grid
horizontal dan terdiri dari
stack yang
masing-masing tersusun atas
mini grid
vertikal. Dalam permainan Sudoku, kotakkotak yang tersedia harus diisi dengan angka
dari
sampai
dengan ketentuan sebagai
berikut: pada setiap kolom maupun baris, tidak
boleh ada angka yang sama, begitu pula
dengan mini grid, tidak boleh ada angka yang
berulang.
Keterangan:
menyatakan banyaknya baris pada
mini grid
menyatakan banyaknya kolom pada
mini grid
menyatakan Sudoku berukuran
yang memiliki mini grid berukuran
baris dan kolom.
menyatakan banyaknya baris atau
banyaknya kolom pada Sudoku,
dimana merupakan hasil perkalian
baris dengan
kolom pada mini
grid.
Contoh Sudoku berukuran
menyatakan Sudoku berukuran
terdiri dari 4 mini grid yang berukuran
.
22
Sudoku ini memiliki 2 band yang masingmasing tersusun atas 2 mini grid horizontal
dan terdiri dari 2 stack, yang masing-masing
tersusun atas 2 mini grid vertikal.
menyatakan grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran baris dan kolom yang
terletak pada band stack .
menyatakan banyaknya baris pada
mini grid
menyatakan banyaknya kolom pada
mini grid
menyatakan banyaknya baris atau
banyaknya kolom pada Sudoku , di
mana
merupakan hasil perkalian
baris dengan kolom pada mini
grid.
menyatakan band
menyatakan stack
menyatakan baris pada mini grid
menyatakan kolom pada mini grid
4
stack
Mini grid
2
2
4
band
Gambar 2
Dalam permainan Sudoku berukuran
, kotak-kotak yang tersedia harus diisi
dengan angka 1 sampai 4. Pada setiap kolom,
baris, maupun mini grid, tidak boleh ada
angka yang berulang. Beberapa contoh
pengisian Sudoku berukuran
dapat
dilihat pada gambar 3.
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
Seluruh mini grid pada Sudoku berukuran
,
menyatakan mini grid berukuran
terletak pada band stack .
4
2
3
1
,
2
2
4
1
3
2
3
2
1
4
Gambar
3
3
2
4
1
4
1
2
3
2
3
1
4
2
4
3
1
1
4
2
3
Gambar 4
band
1
3
4
2
2
Contoh Pengisian
berukuran
Sudoku
2
Setelah mengetahui definisi sudoku,
stack dan band, selanjutnya akan dijelaskan
tentang definisi mini grid dan grid. Mini grid
dilambangkan dengan
dan grid
. Berikut akan
dilambangkan dengan
diberikan contoh
dan
merupakan mini grid yang terletak pada
stack .
.
Keterangan:
menyatakan mini grid berukuran
baris dan
kolom, terletak pada
band stack .
Gambar 5
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
33
menyatakan grid yang terletak pada
2
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
Gambar 6
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
Gambar 10
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
Gambar 7
merupakan mini grid yang terletak pada
band stack .
2
Gambar 11
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 8
Seluruh grid pada Sudoku berukuran
,
menyatakan grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid berukuran
yang terletak pada band stack .
Gambar 12
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
menyatakan grid yang terletak pada
Gambar 9
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
4
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 13
Gambar 17
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 14
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
Gambar 18
2
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
4
Gambar 15
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
4
2
Gambar 19
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
2
4
menyatakan grid yang terletak pada
Gambar 16
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
55
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 20
Gambar 24
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 21
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Gambar 25
Untuk Sudoku berukuran
,
sampai
pelabelannya sama seperti
pelabelan pada Sudoku
.
(Majumder et al 2006)
Gambar 22
menyatakan grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack .
Definisi 2 (Permutasi)
Permutasi adalah susunan yang dibentuk dari
sekumpulan objek yang dipilih sebagian atau
seluruhnya.
Contoh operasi permutasi
Berikut diilustrasikan operasi permutasi
pada Sudoku berukuran
.
Gambar 23
6
6
Gambar 26 Sudoku berukuran
Permutasi nilai
Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku
berukuran
, dapat dituliskan sebagai
berikut.
Misal:
A menyatakan banyaknya kemungkinan nilai
pada kotak 1.
B menyatakan banyaknya kemungkinan nilai
pada kotak 2.
C menyatakan banyaknya
pada kotak 3.
D menyatakan banyaknya
pada kotak 4.
E menyatakan banyaknya
pada kotak 5.
F menyatakan banyaknya
pada kotak 6.
G menyatakan banyaknya
pada kotak 7.
H menyatakan banyaknya
pada kotak 8.
I menyatakan banyaknya
pada kotak 9.
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
kemungkinan nilai
adalah
Kotak 9
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 8
Kotak 3
Gambar 27 Banyak permutasi nilai
Kotak 4
Kotak 5
Permutasi band
Banyaknya permutasi band pada Sudoku
berukuran
, dapat dituliskan sebagai
berikut.
Misal:
J menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 1.
K menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 2
L menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada band 3
Kotak 7
Kotak 6
adalah
87
3 kemungkinan
2 kemungkinan
1 kemungkinan
Gambar 28 Banyak permutasi band
M1 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada kolom 1 stack 1.
M2 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai padakolom 2 stack 1
M3 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai padakolom 3 stack 1
Permutasi stack
adalah
stack 1
3 kemungkinan 2 kemungkinan 1 kemungkinan
Gambar 29 Banyak permutasi stack
Banyaknya permutasi stack pada
Sudoku berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
M menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 1.
N menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 2
O menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada stack 3
adalah
Kolom 1
Kolom 2
Kolom 3
Gambar 30 Banyak permutasi kolom pada
stack 1
Permutasi kolom pada stack
Banyaknya permutasi stack 1 pada
Sudoku berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
98
stack 1
stack 2
stack 3
Gambar 31 Banyak permutasi kolom pada
stack
Banyaknya permutasi kolom pada stack
1 telah diketahui. Untuk menghitung
banyaknya permutasi kolom pada stack 2
dan stack 3, dapat dilakukan langkah yang
sama seperti langkah pada stack 1. Dengan
melakukan langkah yang sama, banyaknya
permutasi kolom pada stack 2 diperoleh
dan permutasi kolom pada stack 3 diperoleh
.
Karena permutasi semua kolom pada
setiap stack telah diketahui, berarti dapat
dihitung banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku berukuran
. Banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku tersebut
dapat diperoleh dari hasil perkalian
banyaknya permutasi kolom pada setiap
stack.
Banyaknya permutasi kolom pada
seluruh stack di dalam Sudoku tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
Misal:
S menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 1.
T menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 2.
U menyatakan banyaknya permutasi kolom
pada stack 3.
Permutasi baris pada band
Pada Sudoku berukuran
, terdapat
3 band. Pemain dapat menghitung
banyaknya permutasi band tersebut.
Setelah semua band telah terisi, pemain
dapat menghitung banyaknya permutasi
band pada Sudoku berukuran
tersebut. Banyaknya permutasi band 1 dapat
dihitung dari hasil perkalian banyaknya
kemungkinan yang dimiliki setiap baris
band 1.
Banyaknya permutasi band 1 tersebut,
dapat dituliskan sebagai berikut.
Misal:
J1 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 1 band 1.
J2 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 2 band 1
J3 menyatakan banyaknya kemungkinan
kelompok nilai pada baris 3 band 1
adalah
Banyaknya permutasi baris pada band 1
telah
diketahui.
Untuk
menghitung
banyaknya permutasi baris pada band 2 dan
band 3, dapat dilakukan langkah sama
seperti langkah pada band 1. Dengan
melakukan langkah yang sama, banyaknya
permutasi baris pada band 2 diperoleh
dan permutasi baris pada band 3 diperoleh
.
9
10
3
2
1
band 1
Gambar 32 Banyak permutasi baris pada band 1
3
band 1
2
1
3
band 2
2
1
3
2
band 3
1
Gambar 33 Banyak permutasi baris pada band
Karena permutasi semua baris pada
setiap band telah diketahui, berarti dapat
dihitung banyaknya permutasi baris pada
seluruh band di dalam Sudoku berukuran
. Banyaknya permutasi baris pada
seluruh band di dalam Sudoku tersebut
dapat diperoleh dari hasil perkalian
banyaknya permutasi baris pada setiap band.
Banyaknya permutasi baris pada seluruh
band di dalam Sudoku tersebut dapat
dituliskan sebagai berikut.
Misal:
V menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 1.
W menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 2.
X menyatakan banyaknya permutasi baris
pada band 3.
(Itaketo 2010)
Definisi 3 (Operasi Grup Simetri)
Operasi grup simetri merupakan operasi
permutasi yang terdiri dari permutasi nilai,
permutasi stack, permutasi band, permutasi
kolom pada stack, ataupun permutasi baris
pada band.
Di bawah ini diberikan contoh Sudoku
yang dibentuk oleh operasi permutasi nilai
(2,4,6,8) (1,3,5,7,9), permutasi band,
permutasi stack, permutasi kolom pada stack
dan permutasi baris pada band
yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Beberapa
langkah yang digunakan dalam contoh
tersebut adalah sebagai berikut.
Diketahui Sudoku tereduksi berukuran
pada gambar 34.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
2
5
8
3
6
9
1
4
7
3
6
9
1
4
7
2
5
8
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
4
7
1
6
9
3
4
7
1
5
8
2
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
7
1
4
9
3
6
7
1
4
8
2
5
Gambar 34 Sudoku tereduksi berukuran
9
11
10
Permutasi nilai
Dari Sudoku tereduksi di atas, lakukan
permutasi nilai (2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada
Sudoku tereduksi. Nilai 2 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 4. Nilai 4
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
6. Nilai 6 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 8. Nilai 8 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 2. Nilai 1
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
3. Nilai 3 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 5. Nilai 5 pada Sudoku
tereduksi diganti menjadi nilai 7. Nilai 7
pada Sudoku tereduksi diganti menjadi nilai
9. Nilai 9 pada Sudoku tereduksi diganti
menjadi nilai 1.
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
Gambar 35 Sudoku hasil permutasi nilai
(2,4,6,8) (1,3,5,7,9) pada
Sudoku tereduksi
Permutasi stack
Setelah melakukan permutasi nilai,
selanjutnya lakukan permutasi stack. Tukar
stack 2 dengan stack 3.
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
Gambar 36 Sudoku hasil permutasi stack
(stack 2 ditukar dengan stack
3)
Permutasi kolom pada stack
Setelah melakukan permutasi stack,
kemudian, lakukan permutasi kolom pada
stack.
Pindahkan nilai-nilai kolom pada stack 2
(kolom 1 ke kolom 2, kolom 2 ke kolom 3,
kolom 3 ke kolom 1). Kemudian, tukar
kolom pada stack 3 (tukar kolom 1 dengan
kolom 2).
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
9
3
6
2
4
7
1
5
7
2
4
7
1
5
8
9
3
8
1
5
8
9
3
6
2
4
6
6
9
3
7
2
4
8
1
5
7
2
4
8
1
5
6
9
3
8
1
5
6
9
3
7
2
4
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
1
5
8
9
3
6
2
4
7
9
3
6
2
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
9
3
6
7
2
4
8
1
5
6
9
3
6
9
3
7
2
4
8
1
5
8
1
5
6
9
3
7
2
4
Gambar 37 Sudoku hasil permutasi kolom
pada stack.
12
11
Permutasi band
Selanjutnya, lakukan permutasi pada
band (tukar band 2 dengan band 3).
3
6
9
4
7
2
5
8
1
4
7
2
5
8
1
3
6
9
5
8
1
3
6
9
4
7
2
1
5
8
9
3
6
2
4
7
9
3
6
2
4
7
1
5
8
2
4
7
1
5
8
9
3
6
7
2
4
8
1
5
6
9
3
6
9
3
7
2
4
8
1
5
8
1
5
6
9
3
7
2
4
3
6
9
5
8
1
4
7
2
4
7
2
3
6
9
5
8
1
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
2
4
7
9
3
6
9
3
6
1
5
8
2
4
7
2
4
7
9
3
6
1
5
8
7
2
4
6
9
3
8
1
5
6
9
3
8
1
5
7
2
4
8
1
5
7
2
4
6
9
3
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
2
4
7
9
3
6
9
3
6
1
5
8
2
4
7
2
4
7
9
3
6
1
5
8
7
2
4
6
9
3
8
1
5
5
8
1
2
4
7
3
9
6
1
5
8
7
2
4
9
6
3
9
3
6
8
1
5
2
7
4
2
4
7
6
9
3
1
8
5
7
2
4
3
6
9
8
5
1
6
9
3
5
8
1
7
4
2
8
1
5
4
7
2
6
3
9
Setelah dilakukan permutasi nilai,
permutasi band, permutasi stack, permutasi
kolom pada stack dan permutasi baris pada
band yang dikenakan pada Sudoku tereduksi
di atas, akhirnya diperoleh Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku tereduksi.
Sudoku tersebut ditunjukkan pada gambar
40.
Permutasi baris pada band
Setelah dilakukan permutasi band,
kemudian lakukan permutasi baris pada
band. Pindahkan nilai-nilai baris pada band
2 (baris 1 ke baris 2, baris 2 ke baris 3, baris
3 ke baris 1). Kemudian, tukar baris pada
band 3 (tukar baris 2 dengan baris 3).
4
7
2
3
6
9
5
8
1
4
7
2
9
3
6
5
1
8
Gambar 39 Sudoku hasil permutasi baris
pada band.
Gambar 38 Sudoku hasil permutasi band
(band 2 ditukar dengan band 3).
3
6
9
5
8
1
4
7
2
3
6
9
1
5
8
4
2
7
6
9
3
8
1
5
7
2
4
8
1
5
7
2
4
6
9
3
3
6
9
1
5
8
4
2
7
4
7
2
9
3
6
5
1
8
5
8
1
2
4
7
3
9
6
1
5
8
7
2
4
9
6
3
9
3
6
8
1
5
2
7
4
2
4
7
6
9
3
1
8
5
7
2
4
3
6
9
8
5
1
6
9
3
5
8
1
7
4
2
8
1
5
4
7
2
6
3
9
Gambar 40 Sudoku isomorfik dari
Sudoku tereduksi (gambar 34)
(Jones & Perkins 2012)
13
12
III PEMBAHASAN
Karya ilmiah ini akan membahas
tentang Sudoku tereduksi dan Grup Simetri
Sudoku dengan beberapa ilustrasinya.
3.1 Sudoku tereduksi
Sudoku tereduksi,
adalah
Sudoku yang mengikuti sifat-sifat berikut :
1. Nilai-nilai di dalam
adalah
bentuk
dari
hasil
perhitungan
.
2. Untuk setiap mini grid
, untuk
nilai-nilai dari
,
untuk
meningkat.
3. Untuk setiap mini grid
, untuk
nilai-nilai dari
,
untuk
meningkat.
4. Nilai dari
nilai dari
untuk
.
5. Nilai dari
nilai dari
untuk
.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Gambar 41 Nilai-nilai di dalam
Selanjutnya,
Keterangan:
menyatakan Sudoku tereduksi
berukuran
yang
memiliki mini grid berukuran
baris dan kolom.
Contoh Sudoku tereduksi berukuran
ditunjukkan sebagai berikut.
1.
Nilai-nilai di dalam
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack adalah bentuk dari hasil
perhitungan
.
Pada
perhitungan
, grid yang terletak
pada baris kolom pada mini grid
yang terletak pada band stack
bernilai
1.
Pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 2. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 3.
2.
pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 4. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 5. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 6.
Kemudian,
pada
perhitungan
, grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack
bernilai 7. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack
bernilai 8. Pada
perhitungan
, grid yang terletak pada baris
kolom pada mini grid yang terletak
pada band stack bernilai 9.
Nilai-nilai di dalam
, dapat
dilihat pada gambar 41.
Untuk setiap
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack , untuk
nilainilai di dalam
, grid yang
14
13
pada mini grid yang terletak pada
band stack .
Nilai-nilai
di
dalam
meningkat,
juga
akan
mengakibatkan
.
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom
pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom
pada mini grid yang
terletak pada band stack .
terletak pada baris kolom pada mini
grid berukuran
yang terletak
pada band stack , untuk
meningkat.
Karena
nilai-nilai di
dalam
meningkat,
sehingga
mengakibatkan
. Grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack
nilainya lebih kecil dari grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack .
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
meningkat
meningkat
4 5 6 7 8 9
Gambar 42 Nilai-nilai di dalam
3.
Untuk setiap
, mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack untuk
nilainilai di dalam
, grid yang
terletak pada baris kolom pada mini
grid berukuran
yang terletak
pada
band stack
untuk
meningkat.
Karena
nilai-nilai di
dalam
meningkat,
sehingga
mengakibatkan
. Grid yang
meningkat
terletak pada baris kolom pada mini
grid yang terletak pada band stack
nilainya lebih kecil dari grid yang
terletak pada baris
kolom
pada
mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack .
15
14
2
5
8
3
6
9
meningkat
meningkat
Gambar 43 Nilai-nilai di dalam
Nilai-nilai
di
meningkat,
juga
mengakibatkan
dalam
akan
meningkat
pada mini grid berukuran
terletak pada band stack .
.
Grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack . Grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris kolom pada mini grid yang
terletak pada band stack .
4.
Berlaku
,
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid berukuran
yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran
yang terletak pada
band stack
, untuk
.
Pada Sudoku berukuran
,
berlaku
. Grid
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
4
yang
7
Gambar 44
5.
Berlaku
,
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid berukuran
yang
terletak pada band stack nilainya
lebih kecil dari grid yang terletak pada
baris
kolom
pada mini grid
berukuran
yang terletak pada
band
stack ,
untuk
.
Pada Sudoku berukuran
,
berlaku
. Grid
16
15
yang terletak pada baris
kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack nilainya lebih kecil dari
grid yang terletak pada baris kolom
pada mini grid yang terletak pada
band stack .
2
Gambar 47 Sudoku berukuran
Untuk mengetahui banyaknya grup
simetri Sudoku berukuran
dapat
diperoleh dari hasil perkalian order masingmasing permutasi berikut.
3
Permutasi nilai
Gambar 45
Contoh Sudoku tereduksi ditunjukkan
pada gambar 46.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
2
5
8
3
6
9
1
4
7
3
6
9
1
4
7
2
5
8
4
7
1
5
8
2
6
9
3
5
8
2
6
9
3
4
7
1
6
9
3
4
7
1
5
8
2
7
1
4
8
2
5
9
3
6
8
2
5
9
3
6
7
1
4
9
3
6
7
1
4
8
2
5
Permutasi band
Permutasi stack
Gambar 46 Sudoku tereduksi
3.2 Grup Simetri Sudoku
Grup simetri Sudoku merupakan
kumpulan solusi Sudoku yang mengalami
operasi grup simetri. Banyaknya grup
simetri Sudoku dapat diperoleh dari hasil
perkalian banyaknya permutasi nilai,
permutasi band, permutasi stack, permutasi
kolom pada stack dan permutasi baris pada
band.
Berikut
berukuran
diberikan
.
contoh
Permutasi kolom pada stack
Permutasi baris pada band
Sudoku
Dari pembahasan di atas, jika terdapat
nilai,
band,
stack, kolom pada
stack, dan
baris pada
band maka
masing-masing permutasi yang dikenakan
pada Sudoku tersebut dapat dilihat pada
Tabel 1.
17
16
Tabel 1 Operasi permutasi grup simetri
Sudoku
Operasi Permutasi
Banyaknya
Permutasi nilai
Permutasi band
Permutasi stack
Permutasi kolom pada stack
Permutasi baris pada band
Dari tabel di atas dapat diperoleh lema
berikut.
Lema 1
Misal
diberikan
Sudoku
berukuran
dengan nilai, band, stack,
kolom pada stack dan baris pada band
maka banyaknya grup simetri Sudoku dapat
dihitung dari
.
3.3 Isomorfik
Isomorfik merupakan hubungan antara
Sudoku yang belum dikenai operasi grup
simetri dengan Sudoku yang telah dikenai
operasi grup simetri. Sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku tereduksi dapat diperoleh
dari hasil operasi grup simetri yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Permutasi
pada Sudoku tereduksi diasumsikan bahwa
mini grid yang terletak pada band 1 stack 1
hanya dikenai permutasi nilai.
Banyaknya masing-masing permutasi
pada Sudoku tereduksi dapat dituliskan
sebagai berikut.
Permutasi nilai
Banyaknya permutasi nilai pada Sudoku
tereduksi berukuran
, dapat dituliskan
sebagai berikut.
Misal:
Aa menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 1.
Bb menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 2.
Cc menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 3.
Dd menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 4.
Ee menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 5.
Ff menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 6.
Gg menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 7.
Hh menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 8.
Ii menyatakan banyaknya kemungkinan
perubahan nilai pada kotak 9.
Permutasi band
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi band maka banyaknya permutasi
band diperoleh sebagai berikut.
Permutasi stack
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi stack maka banyaknya permutasi
stack diperoleh sebagai berikut.
Permutasi kolom pada stack
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi kolom pada stack, maka
banyaknya permutasi stack diperoleh dari
perkalian permutasi kolom pada stack 2 dan
permutasi kolom pada stack 3. Banyaknya
permutasi kolom pada stack diperoleh
sebagai
berikut.
Permutasi kolom pada band
Karena band 1 stack 1 tidak dikenai
permutasi
kolom
padaband,
maka
banyaknya permutasi band diperoleh dari
perkalian permutasi baris pada band 2 dan
permutasi baris pada band 3. Banyaknya
permutasi baris pada band diperoleh sebagai
berikut.
Dari pembahasan di atas, jika pemain
memiliki nilai, band, stack, kolom
pada stack dan baris pada
band
maka masing-masing permutasi yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi tersebut
dapat dilihat pada Tabel 2.
1718
Tabel 2 Operasi permutasi pada Sudoku
tereduksi
Operasi Permutasi
Banyaknya
Permutasi nilai
Permutasi band
Permutasi stack
Permutasi baris pada band
2
Permutasi kolom pada stack
|
Teorema
| adalah banyaknya sudoku
Jika |
tereduksi berukuran
yang memiliki
mini grid berukuran
, di mana
| diperoleh dari
, maka |
|
|
|
|
Bukti:
Berdasarkan
Dari tabel di atas dapat diperoleh lema
berikut.
Lema 2
Misal
diberikan
Sudoku
berukuran
dengan nilai, band, stack,
kolom pada stack dan baris pada band
maka banyaknya grup simetri Sudoku
tereduksi dapat dihitung dari
.
Dengan menggunakan Lema 2, total
Sudoku yang diperoleh dapat dihitung dari
banyaknya Sudoku tereduksi yang dimiliki.
Total perhitungan tersebut dapat dituliskan
sebagai berikut.
|
Jadi, |
diperoleh
Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku awal.
Dengan menggunakan perhitungan (1),
di mana
, total Sudoku yang
diperoleh dapat dihitung dari banyaknya
Sudoku tereduksi yang dimiliki. Total
perhitungan tersebut, secara matematis dapat
dituliskan sebagai berikut.
|
|
|
|
(1)
|
|
|
|
|
|
|
|.
|
|
|
Lema
|
|
|
|
2
|
|
18
18
Sehingga terbukti bahwa untuk mengetahui
banyaknya kemungkinan Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki,
dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
Terbukti
Untuk memahami teorema tersebut,
diberikan ilustrasi berikut ini. Pada Sudoku
tereduksi berukuran
, terdapat
beberapa kemungkinan sebagai berikut.
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
3
1
4
2
4
2
1
3
(i)
1
3
2
4
2
4
3
1
(ii)
1
3
2
4
2
4
1
3
3
2
4
1
4
1
3
2
(iii)
Gambar 48 Sudoku tereduksi berukuran
Jadi, banyaknya kemungkinan yang
terjadi pada Sudoku tereduksi berukuran
adalah 3. Kemungkinan tersebut
dapat dituliskan sebagai berikut.
|
|
Sebelum menghitung menggunakan
Sudoku tereduksi, terlebih dahulu dihitung
banyaknya grup simetri Sudoku. Banyaknya
grup simetri Sudoku berukuran
dapat
dituliskan sebagai berikut.
Dari perhitungan di atas, diketahui
bahwa terdapat 1536 sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku yang dimiliki. Namun,
setelah dicari satu per satu, ada Sudoku yang
memiliki nilai-nilai dengan letak yang sama
(gambar 49).
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(i) Sudoku hasil operasi permutasi
baris pada band 1
4
2
3
1
(ii)
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
Sudoku hasil operasi permutasi
baris pada band 2 dan permutasi
stack
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(iii) Sudoku hasil operasi permutasi
kolom pada stack 1 dan stack 2,
permutasi baris pada band 1,
permutasi stack dan permutasi
band
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
(iv) Sudoku hasil operasi permutasi
kolom pada stack 1 dan stack 2,
permutasi baris pada band 2, dan
permutasi band
Gambar 49 Sudoku yang isomorfik
terhadap
Sudoku
tereduksi (Gambar 48
(i))
Misal Sudoku pada gambar 48 (i)
dikenai operasi permutasi. Dari gambar 49,
diketahui ada Sudoku yang sama. Sehingga
dari total 1536 Sudoku hasil operasi
permutasi, hanya ada 96 Sudoku yang
berbeda.
Sudoku-sudoku
tersebut
ditunjukkan pada lampiran 1.
Untuk mendapatkan 96 Sudoku seperti
pada lampiran 1, dapat digunakan cara lain
yang lebih efektif, yaitu dengan melakukan
operasi permutasi pada Sudoku tereduksi
dengan asumsi bahwa mini grid yang
terletak pada band 1 stack 1 hanya dikenai
19
19
permutasi nilai. Dari semua operasi
permutasi yang dilakukan, banyaknya grup
simetri Sudoku tereduksi dapat dituliskan
sebagai berikut.
Setelah melakukan perhitungan di atas,
penulis dapat menghitung banyaknya
Sudoku yang mungkin terjadi dari ketiga
Sudoku tereduksi yang dimiliki. Jika setiap
Sudoku yang tereduksi memiliki 96 Sudoku
isomorfik, maka banyaknya Sudoku yang
mungkin terjadi adalah
.
Dengan kata lain, Sudoku berukuran
memiliki 288 Sudoku yang isomorfik
terhadap Sudoku yang dimiliki.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Karya ilmiah ini membuktikan bahwa
untuk mengetahui banyaknya kemungkinan
Sudoku yang isomorfik terhadap Sudoku yang
dimiliki dapat dihitung menggunakan Sudoku
tereduksi.
Grup
simetri
Sudoku
merupakan
kumpulan solusi Sudoku yang mengalami
operasi grup simetri. Operasi grup simetri
merupakan operasi permutasi yang terdiri dari
permutasi nilai, permutasi stack, permutasi
band, permutasi kolom pada stack, ataupun
permutasi baris pada band. Sudoku yang
isomorfik terhadap Sudoku tereduksi dapat
diperoleh dari hasil operasi grup simetri yang
dikenakan pada Sudoku tereduksi. Total
kemungkinan solusi Sudoku yang diperoleh
dapat dihitung dari banyaknya Sudoku
tereduksi yang dimiliki.
4.2 Saran
Karya ilmiah ini telah membahas
perhitungan banyaknya kemungkinan Sudoku
yang isomorfik terhadap Sudoku yang dimiliki
menggunakan Sudoku tereduksi. Bagi yang
berminat membuat karya ilmiah tentang
Sudoku dapat mengangkat tentang algoritma,
pewarnaan, maupun pengisian Sudoku
menggunakan
matematika
diskret.
DAFTAR PUSTAKA
Itaketo UT. 2010. Application of the
Principles
of
Permutation
and
Combination (in Mathematics) in
Telecommunications.
International
Journal of Engineering Science and
Technology. 2(10):2963-2967.
Jones SK, Perkins S, Roach PA. 2012. The
Structure of Reduced Sudoku Grid and
the
Sudoku
Symmetry
Group.
International
Journal
of
Combinatorics.doi:10.1155/2012/760310.
Majumder Abhishek et al. 2010. The Game of
Sudoku-Advanced Backtrack Approach.
International Journal of Computer
Science
and
Network
Security.
10(8):255-258.
20
20
Lampiran 1
2
4
3
1
3
1
2
4
4
2
1
3
1
3
4
2
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
1
4
3
4
1
3
2
3
2
4
1
1
4
2
3
2
3
1
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
2
1
3
4
4
3
1
2
1
2
4
3
3
4
2
1
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
4
2
1
1
2
4
3
4
3
1
2
2
1
3
4
4
1
2
3
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
2
4
3
1
3
1
2
4
1
3
4
2
4
2
1
3
2
1
4
3
4
3
2
1
3
4
1
2
1
2
3
4
3
2
1
4
4
1
2
3
1
4
4
1
2
3
3
2
3
4
1
2
1
2
3
4
2
1
4
3
4
3
2
1
4
1
3
2
3
2
4
1
2
3
1
4
1
4
2
3
2
4
1
3
3
1
4
2
1
3
2
4
4
2
3
1
2
1
3
4
4
3
1
2
3
4
2
1
1
2
4
3
3
2
1
4
4
1
2
3
1
4
3
2
2
3
4
1
3
4
2
1
1
2
4
3
2
1
3
4
4
3
1
2
4
1
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
1
4
3
2
3
2
1
4
4
1
2
3
2
3
4
1
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
4
1
2
3
3
2
1
4
1
4
3
2
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
2
4
3
4
3
1
2
2
1
3
4
3
4
2
1
1
4
2
3
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
3
2
4
1
2
3
1
4
4
1
3
2
3
2
4
1
1
4
2
3
3
2
4
1
1
4
2
3
2
3
1
4
4
1
3
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
1
4
3
2
3
2
1
4
2
3
4
1
4
1
2
3
4
1
2
3
2
3
4
1
3
2
1
4
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
1
4
3
2
3
2
1
4
3
2
1
4
1
4
3
2
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
4
3
4
1
1
2
3
2
2
1
2
3
3
4
1
4
2
3
3
2
4
1
2
3
1
4
4
1
3
2
4
1
3
2
2
3
1
4
3
2
4
3
1
4
2
1
2
3
1
4
4
1
3
2
1
4
2
3
3
2
4
1
3
2
4
1
1
4
2
3
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
3
4
4
1
2
1
3
2
1
2
2
3
4
3
21
21
4
2
1
3
1
3
4
2
2
4
3
1
3
1
2
4
1
4
2
3
2
3
1
4
4
1
3
2
3
2
4
1
2
3
1
4
1
4
2
3
3
2
4
1
4
1
3
2
1
3
4
2
4
2
1
3
3
1
2
4
2
4
3
1
3
1
2
4
2
4
3
1
1
3
4
2
4
2
1
3
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
1
4
3
2
2
3
4
1
4
1
2
3
3
2
1
4
2
3
4
1
1
4
3
2
3
2
1
4
4
1
2
3
1
3
2
4
4
2
3
1
3
1
4
2
2
4
1
3
3
1
4
2
2
4
1
3
1
3
2
4
4
2
3
1
4
2
1
3
1
3
4
2
3
1
2
4
2
4
3
1
1
4
2
3
2
3
1
4
3
2
4
1
4
1
3
2
2
3
1
4
1
4
2
3
4
1
3
2
3
2
4
1
1
3
4
2
4
2
1
3
2
4
3
1
3
1
2
4
3
1
2
4
2
4
3
1
4
2
1
3
1
3
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
3
1
4
2
2
4
1
3
1
4
3
2
2
3
4
1
3
2
1
4
4
1
2
3
2
3
4
1
1
4
3
2
4
1
2
3
3
2
1
4
1
3
2
4
4
2
3
1
2
4
1
3
3
1
4
2
3
1
4
2
2
4
1
3
4
2
3
1
1
3
2
4
3
4
2
1
2
1
3
4
4
3
1
2
1
2
4
3
4
3
1
2
1
2
4
3
3
4
2
1
2
1
3
4
2
1
3
4
3
4
2
1
1
2
4
3
4
3
1
2
2
4
1
3
1
3
2
4
4
2
3
1
3
1
4
2
3
1
4
2
4
2
3
1
1
3
2
4
2
4
1
3
3
4
1
2
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
4
3
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
2
1
4
3
2
1
4
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
3
2
1
2
4
3
1
1
3
4
2
4
2
1
3
3
1
2
4
3
1
2
4
4
2
1
3
1
3
4
2
2
4
3
1
3
4
2
1
2
1
3
4
1
2
4
3
4
3
1
2
4
3
1
2
1
2
4
3
2
1
3
4
3
4
2
1
2
1
3
4
3
4
2
1
4
3
1
2
1
2
4
3
2
4
1
3
1
3
2
4
3
1
4
2
4
2
3
1
3
1
4
2
4
2
3
1
2
4
1
3
1
3
2
4
3
4
1
2
2
1
4
3
1
2
3
4
4
3
2
1
4
3
2
1
1
2
3
4
2
1
4
3
3
4
1
2
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
1
2
3
4
2
4
3
1
1
3
4
2
3
1
2
4
4
2
1
3
3
1
2
4
4
2
1
3
2
4
3
1
1
3
4
2
22
22
1
2
3
4
3
4
1
2
2
1
4
3
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
1
2
3
4
4
2
3
1
3
1
4
2
2
4
1
3
1
3
2
4
1
3
2
4
2
4
1
3
3
1
4
2
4
2
3
1
1
2
4
3
3
4
2
1
2
1
3
4
4
3
1
2
4
3
1
2
2
1
3
4
3
4
2
1
1
2
4
3
4
2
1
3
3
1
2
4
2
4
3
1
1
3
4
2
1
3
4
2
2
4
3
1
3
1
2
4
4
2
1
3
1
2
3
4
3
4
1
2
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
1
2
3
4
3
4
1
2
4
2
3
1
3
1
4
2
1
3
2
4
2
4
1
3
1
3
2
4
2
4
1
3
4
2
3
1
3
1
4
2
1
2
4
3
3
4
2
1
4
3
1
2
2
1
3
4
4
3
1
2
2
1
3
4
1
2
4
1
3
4
2
3
4
2
1
3
3
1
2
4
1
3
4
2
2
4
3
1
1
3
4
2
2
4
3
1
4
2
1
3
3
1
2
4