I. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi
yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan
diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua.
Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan
diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom.
Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan
persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan
variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.
Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa
bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan
diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang
terjadi secara periodik. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan
menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi
periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan
solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan
software Mathematica 6. 2.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode
Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde
dua.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk
umum
, ,
F x y y ′ ′′ =
dimana y diturunkan terhadap x , dy
y dx
′ = ,
2 2
d y y
dx ′′ =
. [Farlow, 1994]
Definisi 2. Persamaan Diferensial Takotonom
Persamaan orde dua
,
y
y V x y
′′ − ∇ =
disebut persamaan diferensial takotonom dimana
[ ]
: 0,
n
V T
× →
kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya
dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,
1 2
, ,
,...,
y n
V V
V V x y
y y
y ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∇ = ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
T
[Ji Shi,2006]
Definisi 3. Solusi Periodik
Anggap bahwa
x t
= Φ
adalah solusi periodik untuk persamaan
;
n
x f x
x D
= ∈
⊂
dan terdapat bilangan positif
T, sedemikian sehingga
t T
t Φ +
= Φ
untuk maka
n
t ∀ ∈
t Φ
disebut solusi periodik dari
x t
= Φ
dengan periode T. Jika
t Φ
memiliki periode T, maka
t Φ
juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka
disebut periodik-T. [Verhulst, 1990]
I. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung sebuah fungsi
yang tak diketahui dengan satu atau lebih turunannya [Stewart, 2003]. Persamaan
diferensial dapat dibedakan menurut ordenya, salah satunya persamaan diferensial orde dua.
Selain itu, berdasarkan keeksplisitan variabel bebas dalam persamaannya, persamaan
diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial otonom dan takotonom.
Persamaan diferensial otonom secara eksplisit tidak memuat variabel bebas, sedangkan
persamaan diferensial takotonom memuat variabel bebas. Variabel bebas merupakan
variabel yang tidak bergantung pada variabel lain.
Persamaan diferensial takotonom orde dua dapat diaplikasikan ke dalam beberapa
bidang, salah satunya bidang fisika. Contoh aplikasi dalam bidang fisika adalah persamaan
diferensial untuk memodelkan gerak sistem mekanik yang mendapat gaya eksternal yang
terjadi secara periodik. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
persamaan diferensial takotonom orde dua yang memiliki kondisi batas periodik akan
menghasilkan suatu solusi periodik. Metode Carathéodory digunakan untuk mencari solusi
periodik persamaan diferensial takotonom orde dua tersebut. Untuk menggambarkan
solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde dua digunakan bantuan
software Mathematica 6. 2.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mempelajari penggunaan metode
Carathéodory untuk mencari solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom orde
dua.
II. LANDASAN TEORI
Definisi 1. Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan diferensial orde dua adalah persamaan diferensial yang memiliki bentuk
umum
, ,
F x y y ′ ′′ =
dimana y diturunkan terhadap x , dy
y dx
′ = ,
2 2
d y y
dx ′′ =
. [Farlow, 1994]
Definisi 2. Persamaan Diferensial Takotonom
Persamaan orde dua
,
y
y V x y
′′ − ∇ =
disebut persamaan diferensial takotonom dimana
[ ]
: 0,
n
V T
× →
kontinu dan periodik di x dengan periode T dan fungsinya
dapat diturunkan dan turunannya kontinu di y,
1 2
, ,
,...,
y n
V V
V V x y
y y
y ⎛
⎞ ∂
∂ ∂
∇ = ⎜
⎟ ∂
∂ ∂
⎝ ⎠
T
[Ji Shi,2006]
Definisi 3. Solusi Periodik
Anggap bahwa
x t
= Φ
adalah solusi periodik untuk persamaan
;
n
x f x
x D
= ∈
⊂
dan terdapat bilangan positif
T, sedemikian sehingga
t T
t Φ +
= Φ
untuk maka
n
t ∀ ∈
t Φ
disebut solusi periodik dari
x t
= Φ
dengan periode T. Jika
t Φ
memiliki periode T, maka
t Φ
juga memiliki periode 2T, 3T, .... Jika T adalah periode terkecil maka
disebut periodik-T. [Verhulst, 1990]
Definisi 4. Nilai Batas
Jika kondisi tambahan untuk persamaan diferensial yang diberikan menghubungkan
dua atau lebih nilai x, kondisinya disebut kondisi batas atau nilai batas.
[Rice Strange, 1994]
Definisi 5. Kalkulus Variasi
Kalkulus variasi adalah salah satu teori matematika yang berhubungan dengan
masalah optimisasi yang meliputi memaksimumkan atau meminimumkan nilai
sebuah integral. Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
, ,
b a
I y x y x
y x
′ =
∫
L dx
dengan
dy y
dx ′ =
dan
[ ]
1
, y x
C a b
∈
. Fungsi
diasumsikan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu terhadap semua
argumennya. L
Untuk pembahasan selanjutnya ditetapkan . Sehingga bentuk integral di atas
dapat diubah menjadi 0,
a b
= = T
, ,
T
I y x y x
y x
′ =
∫
L dx
dengan
[ ]
1
0, y x
C T
∈
. Masalah selanjutnya adalah memilih fungsi
y x
dalam
[ ]
1
0, C
T
dengan syarat T dan kedua titik ujung peubah
y x
ditetapkan yaitu dan
y = y
T
y T y
=
, agar
I y
optimum maksimum atau minimum [Wan, 1995]
Definisi 6. Fungsi Lagrangian
Bentuk integral yang dipakai dalam kalkulus variasi adalah
, ,
T
I y x y x
y x
′ =
∫
L dx
dengan
dy y
dx ′ =
dan
[ ]
1
0, y x
C T
∈
. Bentuk
, ,
x y x y x
′ L
disebut fungsi Lagrangian.
[Wan, 1995]
Definisi 7. Panjang atau Norm Vektor
Panjang atau norm dari suatu vektor
1 2
, ,...,
n
x x x
x =
di dalam didefinisikan
sebagai
n
2 2
2 1
2
...
n
x x
x
x
= +
+ +
. Rumus diatas dinamakan norm Euclidean.
[Mathews, 1992]
Definisi 8. Hasil kali dalam
Misalkan x dan y merupakan vektor berukuran m, hasil kali dalam dari vektor x dan y adalah
1 1
2 2
1
, .
,
m m
m i
i i
.. x y
x y x y
x y x y
x y
=
= +
+ + =
∑
Suatu vektor juga merupakan suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom. Oleh karena
itu, persamaan diatas dapat ditulis menjadi
1 1
2 2
... .
m m
x y x y
x y x y
= +
+ +
T
[Beezer, 2006]
Definisi 9. Himpunan konveks dan Fungsi Konveks
Misalkan
n
C ⊂
adalah himpunan vektor. Maka C disebut sebagai himpunan konveks
jika untuk semua , x x
C ∈ terdapat
[ ]
0,1
λ
∈
maka
1 x
x C
λ λ
′ −
+ ∈
. Misalkan f merupakan fungsi dengan peubah x
yang terdefinisi pada himpunan konveks C. Maka f disebut sebagai fungsi konveks jika f
memenuhi persamaan
1 1
f x
x f x
f x
λ λ
λ λ
′ ′
− +
≤ − +
. Jika f memiliki turunan kedua, maka f disebut
sebagai fungsi konveks jika dan hanya jika
2
0, f x
x C
∇ ≥ ∀ ∈
dan merupakan strictly convex jika
2
0, f x
x ∇
∀ ∈C
. [Hanum, 2006]
Definisi 10. Persamaan Euler-Lagrange
Persamaan
f d
f y
dx y
∂ ∂
− =
′ ∂
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
disebut persamaan Euler-Lagrange dengan fungsi Lagrangian
, , f x y y′
. [Simmons, 1991]
Definisi 11. Persamaan Euler-Lagrange Pada Kalkulus Variasi
Penjelasan tentang persamaan ini diringkaskan dari buku Differential Equations
with Applications and Historical Notes Second Edition [Simmons, 1991].
Diasumsikan fungsi
y x
yang meminimumkan integral
2 1
, ,
x x
I f x y y dx
=
∫
′ 1
Akan dihasilkan persamaan diferensial untuk
y x
dengan membandingkan nilai I yang sesuai untuk pendekatan fungsi
y x
. Ide utamanya yaitu
y x
memberikan nilai minimum untuk I, I akan bertambah jika
y x
diubah-ubah. Perubahan ini disusun sebagai berikut.
Misalkan
x
η adalah sembarang fungsi
dengan diketahui
x
η
′′
fungsi kontinu dan
1 2
x x
η η
= =
2 Jika
α adalah parameter, kemudian
y x y x
x
αη
= +
3 menggambarkan kelompok satu parameter
dari fungsi
y x
. Penyimpangan vertikal dari kurva pada kelompok satu parameter berasal
dari kurva
y x
yang meminimumkan I yaitu
x
αη , ditunjukkan pada gambar
berikut.
Gambar 1 Penyimpangan vertikal kurva yx
1
x
y
2
x
x
1 1
, x y
x
x
η
y x
2 2
, x y
x αη
y x y x
x αη
= +
Maksud dari persamaan 3 bahwa untuk setiap kelompok pada tipe ini, yaitu untuk
masing-masing nilai pada fungsi
x
η ,
fungsi
y x
yang meminimumkan I termasuk kelompok satu parameter dan sesuai
dengan nilai parameter α = .
Dengan
x
η tetap,
y x y x
x
αη
= +
dan
y x
y x
x
αη
′ ′
′ =
+
disubstitusikan ke integral 1, dan diperoleh fungsi dari
α
2 1
, ,
x x
I f x y y
α ′
=
∫
dx
[ ]
2 1
, ,
x x
f x y x x
y x x
dx αη
αη ′
′ =
+ +
∫
4 Saat
α = , persamaan 3 menghasilkan
y x y x
=
, dan karena
y x
meminimumkan integral, diketahui bahwa
I
α harus minimum saat α =
. Dengan
kalkulus dasar, kondisi penting untuk meminimumkan adalah menjadi nolkan
turunan
I
α
′
saat α =
yaitu
I ′ =
. Turunan
I
α
′
dapat dihitung dengan menurunkan persamaan 4
2 1
, ,
x x
I f x y
α α
∂ ′
= ∂
∫
y dx ′
. 5
Dengan rangkaian cara untuk menurunkan fungsi dari beberapa variabel diperoleh
, , f
x f
y f
y f x y y
x y
y
α α
α α
′ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
′ = +
+ ′
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ f
f x
x y
y
η η
∂ ∂
′ =
+ ′
∂ ∂
. Jadi persamaan 5 dapat ditulis
2 1
x x
f f
I x
y y
α η
η ∂
∂ ′
= +
′ ∂
∂
⎡ ⎢
⎥ ⎣
∫
x dx
′
⎤ ⎦
. 6
I ′ =
, jadi letakkan α =
pada persamaan 6 menghasilkan
2 1
x x
f f
x x
dx y
y η
η ∂
∂ ′
+ ′
∂ ∂
⎡ ⎤
⎢⎣ ⎦
∫
=
⎥
. 7 Pada persamaan ini turunan
x
η
′
muncul bersama dengan fungsi
x
η .
x
η
′
dapat dieliminasi dengan mengintegralkan bagian
kedua,
2 2
2 1
1 1
x x
x x
x x
f f
d f
x dx x
x dx
y y
dx η
η η
∂ ∂
′ =
− ′
′ ∂
∂ y
∂ ′
∂
⎡ ⎤
⎛ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎞
⎣ ⎦
⎝
∫ ∫
⎠
2 1
x x
d f
x dx
dx y
η ∂
= − ′
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
karena persamaan 2. Persamaan 7 dapat ditulis dalam bentuk
2 1
x x
f d
f x
y dx
y η
∂ ∂
dx −
= ′
∂ ∂
⎡ ⎛
⎞⎤ ⎜
⎟ ⎢
⎥ ⎣
⎝ ⎠⎦
∫
. 8 Penarikan kesimpulan pada masalah ini
berdasarkan pada nilai tetap fungsi
x
η .
Meskipun demikian karena integral pada persamaan 8 harus menjadi nol untuk setiap
fungsi, disimpulkan bahwa pernyataan dalam tanda kurung juga harus sama dengan nol.
Sehingga dihasilkan
f d
f y
dx y
∂ ∂
− =
′ ∂
∂
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
9 yang disebut sebagai persamaan Euler-
Lagrange.
Definisi 12. Fungsi Hamiltonian
Persamaan
, , ,
, , H x y s
s y F x y y
′ ′
= −
disebut sebagai fungsi Hamiltonian dengan
, , F x y y′
adalah fungsi Lagrangian dan
, ,
y
s F
x y y
′
′ =
. [Wan, 1995]
Definisi 13. Persamaan Hamiltonian- Jacobi
Untuk fungsi Hamiltonian
, , H x y s
, persamaan diferensial
disebut persamaan Hamiltonian-Jacobi dengan
, ,
y x
H x y
ϕ ϕ
+ =
, x y
ϕ adalah fungsi
:
n
ϕ
× →
. [Wan, 1995]
Lema 14
Misal
[ ]
: 0,
n
S T
× →
adalah fungsi yang dapat diturunkan dan turunannya kontinu
dan memenuhi
0, ,
, S
y S T y
= 0,
, ,
S S
y T y
x x
∂ ∂
= ∂
∂ ,
n
y ∈
sehingga syarat berikut dipenuhi 1 Untuk setiap
[ ]
, , 0,
,
n n
x y y T
′ ∈ ×
×
, ,
x y y′ ≥
L
2 Untuk setiap
[ ]
, 0,
n
x y T
∈ ×
, persamaannya
, , x y q
= L
mempunyai solusi
,
q q x y
= memenuhi
0, ,
q y
q T y =
. Misal
solusi dari
,
q q x y
=
, , x y q
= L
yang memenuhi
0, ,
q y
q T y =
. Jika
[ ]
: 0,
n
y T
→
solusi
, ,
y x
q x y x ′
=
[ ]
0, x
T ∈
10
y y
= T
11 kemudian
y x minimizer dari persamaan
min ,
y
I y
∈Ω
, ,
,
T
I y x y x
y x dx
′ =
∫
L maka
y x
adalah solusi periodik dari persamaan diferensial takotonom.
[bukti lihat Lampiran 1]
Teorema 15
Asumsikan bahwa
[ ]
: 0,
n
S T
× →
solusi dari persamaan Hamiltonian-Jacobi
, , ,
,
y
S x y
H x y S x y
x ∂
+ ∇
= ∂
dan
[ ]
: 0,
n
q T
× →
n
memenuhi
, , ,
,
q y
x y q x y S x y
∇ − ∇
= L
Jika
[ ]
: 0,
n
y T
→
solusi
, ,
y x
q x y x ′
=
[ ]
0, x
T ∈
12
y y T
=
13 kemudian
y x minimizer dari persamaan
min ,
y
I y
∈Ω
, ,
,
T
I y x y x
y x dx
′ =
∫
L maka
y x solusi periodik dari persamaan
diferensial takotonom. [bukti lihat Lampiran 1]
III. PEMBAHASAN
Kategori