Pencarian Jalur Perpendek Pada Jaringan Stokastik

PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA JARINGAN STOKASTIK
TESIS
Oleh AZISKHAN 107021021/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA JARINGAN STOKASTIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika Pada Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh AZISKHAN 107021021/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: PENCARIAN JALUR TERPENDEK PADA JARINGAN STOKASTIK
: AZISKHAN : 107021021 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr.Saib Suwilo,MSc) Ketua

(Prof.Dr.Tulus,M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 11 Agustus 2012

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal: 11 Agustus 2012
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Dr.Saib Suwilo,MSc Anggota : 1. Prof.Dr.Tulus,M.Sc
2. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul,M.Sc 3. Dr. Sutarman, M.Sc
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Parameter-parameter jaringan secara umum, seperti jumlah node dan panjang busur transisi dari node sumber kenode tujuan (sink ). Untuk memperoleh panjang jalur minimal dalam jaringan tidak lengkap didefinisikan sabagai suatu jalur terpendek probabilistik. Ketika panjang busur antar node diberikan dalam bentuk variable acak dalam sebuah jaringan tidak lengkap, maka akan diperoleh suatu jaringan stokastik sering mengalami kemandulan (ambiguitas) akibat dari hukum probabilitas. Beberapa penulis telah membahas pencarian lintasan terpendek pada jaringan dengan panjang busur variabel acak. Umumnya hanya himpunan dari node tengah (intermediate) yang dipilih sesuai dengan hukum probabilitas yang dapat digunakan untuk lengkap. Pada tesis ini, perhitungan panjang minimal dalam jarring stokastik tidak lengkap diperjalanan waktu antara node diperkenankan untuk didistribusikan ke variable acak eksponensial, dirumuskan sebagai masalah pemrograman linear.
Kata kunci: Jaringan Stokastik, Jaringan tidak lengkap, Variabel Acak,Panjang busur,Panjang minimum yang diharapkan,Pemrograman linear.
i Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Common network parameters, such as number of nodes and arc lengths are frequently subjected to ambiguity as a result of probability law. A number of authors have discussed the calculation of the shortest path in networks with random variable arc lengths. Generally, only a subset of intermediate nodes chosen in accordance with a given probability law can be used to transition from source node to sink node. The determination of a priori path of the minimal length in an incomplete network is de?ned as a probabilistic shortest path problem. When arc lengths between nodes are randomly assigned variables in an incomplete network the resulting network is known as an incomplete stochastic network. In this paper, the computation of minimal length in incomplete stochastic networks, when travel times between nodes are allowed to be exponentially distributed random variables, is formulated as a linear programming problem. Keyword: Stochastic networks, Incomplete network, Random variable, Arc length,
Minimum expected length,Linear programming.
ii Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT penulis panjatkan atas limpahan rahmat dan karunia-Nya atas terselesaikannya penulisan tesisini yang berjudul ”Pencarian Jalur Perpendek Pada Jaringan Stokastik”.
Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada: Bapak Prof. Dr.Ir.A.Rahim Matondang.M.SIE, Selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara yang sudah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika disekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara. Bapak Prof. DR. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara dan selaku Anggota Komisi Pembimbing yang telah membantu dalam penyelesaian tesis ini. Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara yang telah memberikan motivasi kepada penulis. Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, selaku Ketua Komisi Pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan bimbingan kepada penulis. Bapak Dr. Saib Suilo, M. Sc, dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M. Sc, selaku Pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan bimbingan kepada penulis’ Rektor UR, dan Dekan FMIPA-UR, dan Ketua Jurusan Matematika FMIPA-UR yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk melanjutkan Pendidikan di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara.
Bantuan Dana Pendidikan dari UR Fakultas MIPA dan Jurusan yang telah memberikan bantuan dana baik untuk pendidikan mau penelitian selama penulis menempuh pendidikan di sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatra Utara. Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematik Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatra Utara. Yang telah membimbing dan membantu selama penulis menempuh pendidikan.
Seluruh keluargaku tercinta,istriku Nurhalina, Ibu Siti Aisyah, kakak-kakak (Asnimar dan Murni) dan adik-adik (Faisal; Ir. Devi Lidia Alinis, M.Si; Ir. Dicky Amrizal; Deasy Aklima) dan juga anak-anak ku yang tersayang (Aznurryandi, SE; Yum Titania, S.Pi; dan Eral Lidansya) yang senantiasa mendukung dan men-
iii Universitas Sumatera Utara

doakan untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini. Kepada semua teman-teman dan semua pihak yang tidak dapat disebutkan
namanya satu persatu penulis ucapkan terima kasih dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan tepat waktu. Tidak lupa terima kasih untuk ibu Misyani, A. Md., selaku staff administrasi Program Studi Magister Matematika sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatra Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.
Penulis telah berusaha sekuat tenaga untuk menyempurnakan tesis ini, kritik dan saran guna perbaikan penulis terima dengan senang hati. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi yang membutuhkannya.
Medan, Penulis, Aziskhan

iv Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Aziskhan lahir di Pekanbaru Tahun 1954, anak ke-5 dari lima bersaudara ayah H. St. Syair(alm) dan Ibu Hj. Kasuma (almh). Menamatkan Sekolah SD. Negeri 9 Pekanbaru tahun 1968, Sekolah Tehnik Negeri (STN) tahun 1971, Sekolah Tehnik Menengah (STM) Negeri 3 Tahun 1974 jurusan Mesin. Tahun 1976 kuliah di jurusan matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau (UNRI) Pekan Baru dengan gelar sarjana muda, kemudian memperoleh gelar sarjana Matematika tahun 1985. Sekaligus tahun 1985 menjadi staf pengajar di Jurusan Matematika Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Pekanbaru hingga sekarang. Menikah dengan Nurhalina tahun 1985 dikaruniai seorang putri dan dua putra. Tahun 2011 mengikuti pendidikan Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, Medan.
v Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i ii iii v vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2 2

BAB 2 PROGRAM STOKASTIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 Pengertian Program Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Jalur Terpendek Pada jaringan acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Jaringan Tak Lengkap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Program Stokastik Dua Tahap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap . . . . . . . . . 2.6 Program Stokastik Tahap Ganda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Pengertian pembentukan pohon skenario . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 6 7 10 16 23

BAB 3 PEMODELAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Rancangan pemodelan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Algorima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Formulasi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 29

vii Universitas Sumatera Utara

3.3.1 Algoritma Skenario generasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 35 36

viii Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Parameter-parameter jaringan secara umum, seperti jumlah node dan panjang busur transisi dari node sumber kenode tujuan (sink ). Untuk memperoleh panjang jalur minimal dalam jaringan tidak lengkap didefinisikan sabagai suatu jalur terpendek probabilistik. Ketika panjang busur antar node diberikan dalam bentuk variable acak dalam sebuah jaringan tidak lengkap, maka akan diperoleh suatu jaringan stokastik sering mengalami kemandulan (ambiguitas) akibat dari hukum probabilitas. Beberapa penulis telah membahas pencarian lintasan terpendek pada jaringan dengan panjang busur variabel acak. Umumnya hanya himpunan dari node tengah (intermediate) yang dipilih sesuai dengan hukum probabilitas yang dapat digunakan untuk lengkap. Pada tesis ini, perhitungan panjang minimal dalam jarring stokastik tidak lengkap diperjalanan waktu antara node diperkenankan untuk didistribusikan ke variable acak eksponensial, dirumuskan sebagai masalah pemrograman linear.
Kata kunci: Jaringan Stokastik, Jaringan tidak lengkap, Variabel Acak,Panjang busur,Panjang minimum yang diharapkan,Pemrograman linear.
i Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Common network parameters, such as number of nodes and arc lengths are frequently subjected to ambiguity as a result of probability law. A number of authors have discussed the calculation of the shortest path in networks with random variable arc lengths. Generally, only a subset of intermediate nodes chosen in accordance with a given probability law can be used to transition from source node to sink node. The determination of a priori path of the minimal length in an incomplete network is de?ned as a probabilistic shortest path problem. When arc lengths between nodes are randomly assigned variables in an incomplete network the resulting network is known as an incomplete stochastic network. In this paper, the computation of minimal length in incomplete stochastic networks, when travel times between nodes are allowed to be exponentially distributed random variables, is formulated as a linear programming problem. Keyword: Stochastic networks, Incomplete network, Random variable, Arc length,
Minimum expected length,Linear programming.
ii Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Penggunaan dari persoalan jalur terpendek dapat dijumpai pada sebahagian besar bidang optimasi kombinatorial. Pencarian jalur dengan panjang minimal pada jaringan tidak lengkap dapat didefinisikan sebagai persoalan jalur terpendek probabilistik. Apabila panjang busur antara node dipilih sebagai variabel acak disebuah jaringan tidak lengkap maka jaringan yang dihasilkan disebut sebagai jaringan stokastik tak lengkap. Persoalan jalur terpendek ini dengan panjang busur tertentu telah dikaji secara intensif sehingga diperolehnya sejumlah algoritma efisien, Bellman(1954), Dijkstra(1959), Dreyfus(1964). Dalam jaringan deterministik sejumlah node, panjang busur dan lain-lain didefinisikan terlebih dahulu sebelum persoalan optimasi diselesaikan. Oleh karenanya, sejumlah algoritma efektif dapat digunakan untuk persoalan jalur terpendek. Namun ada situasi dimana terdapat satu atau lebih parameter-parameter jaringan yang merupakan variabel acak.
Persoalan jalur terpendek dalam jaringan dengan panjang busur variabel acak, merupakan penghitungan fungsi distribusi dari sumber ke tujuan yang dapat dipilih untuk digunakan dalam mencari jalur terpendek, dengan pertimbangan aliran maksimum yang berkapasitas bebas dan terdistribusi secara indentik. Beberapa persoalan jaringan terpendek dalam jaringan stokastik lengkap (perjalan waktu dan kecepatan) dipilih untuk menjadi suatu variabel acak dan memiliki aplikasi praktis dibanyak situasi yang diperlihatkan, dimana ada jaringan busur mewakili jalan-jalan kota dan nodenya merupakan persimpangan. Jika suatu perjalanan dilakukan dari suatu kota s menuju kota t, yang waktu perjalanan antara node i dan j dimana nilainya sagat bervariasi. Kemudian penggunaan Aeronautika pada daerah-daerah bandara dan daerah geogrfis yang tak mungkin dilalui karena kawasan meliter ataupun kondisi cuaca. Modifikasi pesawat yang harus melintasi perbatasan yang situasinya tak terduga, bisa membuat biaya menjadi mahal kalau tidak diperhitungkan dengan tepat. Maka metode ini bisa juga dipakai untuk menghitung rute alternative dalam meminimalkan biaya.
Universitas Sumatera Utara1

2
1.2 Perumusan Masalah

Ketika salah satu parameter lebih dari sebuah jaringan yang tak lengkap yang diizinkan untuk variabel acak, maka jaringan yang dihasilkan dikenal sebagai jaringan stokastik tidak lengkap, untuk memperoleh panjang jalur yang diharapkan minimal diketahui sebagai jalur terpndek pada jaringan stokastik tak lengkap. Ada sebahagian literatur yang menangani ketidak pastian ini, terbatas pada analisis masalah dengan asumsi jarak acak antara node dalam jaringan jaringan stokastik lengkap. Akibatnya ada kebutuhan untuk pengenalan metodologi untuk menghitung panjang diharapkan minimum dan distribusi dari node sumber kenode tujuan pada jaringan stokastik tak lengkap, ketika salah satu komponen dari panjang busur (perjalan waktu atau kecepatan) diizinkan sebagai variabel acak.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari jalur terpendek pada jaringan stokastik tak lengkap.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi kebidang aeronautika, logisti, komunikasi, transportasi umum, tehnik sipil, mekanik dan listrik. Pada sebuah metode yang dipilih untuk pencarian jalur terpendek. , serta menjadi acuan bagi peneliti lainnya dalam melakukan penelitian yang sama ataupun lebih kompleks lagi.
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian yang dilakukan adalah bersifat literatur kepustakaan dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal, memahami penelitian-penelitian yang telah pernah dilakukan oleh peneliti lain yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan, dan selanjutnya menjelaskan model-model yang digunakan dalam program stokastik dalam membuat perencanaan untuk penyelesaian persoalan yang berbentuk program Linier.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 PROGRAM STOKASTIK

2.1 Pengertian Program Stokastik
Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas. Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel x1 + x2 + x3 + ... + xn. Sebagai contoh xi menyatakan produksi ke − i dari n produk. Bentuk umum program matematikanya adalah :
min f (x1, x2, x3 · · · ,xn)

Kendala:

g1(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0 g2(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0
... ≤ ...
gm(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0 x1, x2, x3, . . . , xn ∈ X.

(2.1.1)

dimana X adalah himpunan bilangan real non negatif.

Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program matematika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:

a. Pada program matematika deterministik, data koefisien adalah bilanganbilangan yang diketahui (tertentu).
Universitas Sumatera Utara3

4
b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.
Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengandung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w ∈ W . Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.
Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :
1. Recourse Models (Model Rekursif)
2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)
Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah keputusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) sebagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sebagai model Recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(ω) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi dari x. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari ω. Formulasi dua tahapnya adalah

min f1(x) + nilaiharapan[f2(y(ω), ω)]
Kendala:

g1(x), · · · , gm(x) ≤ 0 h1(x, y(w)) ≤ 0, ∀ω ∈ W ... ≤ ... hk(x, y(w)) ≤ 0, ∀ω ∈ W
x ∈ X, y(ω) ∈ Y.

(2.1.2)

Universitas Sumatera Utara

5
Himpunan kendala h1, h2, · · · , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(ω). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap ω ∈ W yang mungkin.Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubahubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.
Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.
Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut :
min f (x1, x2, x3 · · · , xn)
Kendala:
P r[g1(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0, · · · , gm(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0] ≥ α ... ≤ ... (2.1.3)
h1(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0 h2(x1, x2, x3 · · · , xn) ≤ 0
x1, x2, x3, . . . , xn ∈ X
2.2 Jalur Terpendek Pada jaringan acak
Persoalan yang ada pada jalur terpendek yaitu merupakan suatu persoalan dimana bilangan acak digunakan sebagai koefisien (data)dalam menentukan panjang busur Steele (1995), Martin (1965). Membicarakan persoalan bilangan
Universitas Sumatera Utara

6
acak pada panjang jalur ataupun lintasan, tidak akan terlepas dari persoalan stokastik. Hal-hal yang akan dibahas bagaimana menyajikan suatu tehnik untuk menghitung fungsi distribusi dari panjang jalur sumber ke panjang jalur tujuan. Dapat digunakan untuk menghitung jalur terpendek, yang diarahkan ke suatu jaringan acyclic yang panjang busurnya memiliki jangkauan terbatas. Bereanu (1966)merumuskan masalah program linear stokastik dengan fungsi objective sebagai koefisien acak. Studi ini memberikan penyelesaian yang memerlukan pengetahuan tentang dasar probabilitas yang optimal. Grimmett dan Welsh (1982), mempetimbangkan aliran maksimum dalam jaringan dengan kapasitas distribusi yang independent (bebas) dan identik. Dan juga menemukan Teorema limit untuk kasus-kasus dimana jaringan graph lengkap dan cabang pohon. Frieze, Grimmett, dan Andretta(1985) bersama teman-temannya dengan pendekatan masing-masing memeriksa situasi dimana panjang busur adalah variabel acak, dan jalur dengan probabilitas maksimum yang terpendek adalah tetap.
2.3 Jaringan Tak Lengkap
Ketika menganalisa lintasan terpendek antara node sumber s ke node tujuan t didalam suatu jaringan lengkap dengan masing-masing panjang busur, selama perhitungan pada himpunan bagian node tengah dapat digunakan mulai dari sumber s ke tujuan,t, himpunan bagian panjang jalur dapat dihitung secara hukum probabilitas. Sehingga suatu lintasan dibangun dengan memberikan masalah secara instan, dan barisan node didefinisikan sebagai lintasan yang hanya boleh dilalui node. Analisis lintasan apriori yang diharapkan sebagai panjang minimum, dapat didefinisikan sebagai persoalan lintasan terpendek probabilistik. Jaillet (1992). Ketika suatu parameter dari jaringan tidak lengkap dipilih sebagai variable acak, kemudian hasilnya diketahui sebagai jaringan stokastik tidak lengkap, dan persoalan ini ditemukan sebagai lintasan minimum, maka diharapkan panjang yang diketahui bisa dipilih sebagai persoalan lintasan terpendek jaringan stokastik tidak lengkap. Sebagian literature ada yang mengatasi ketidak jelasan ini untuk persoalan analisis dengan asumsi jarak acak diantara node pada jaringan stokastik tidak lengkap, Kulkarni (1986), Martin (1965), Frank (1969. Sebagai hasilnya dibutuhkan suatu pengenalan metodologi (formula model)untuk menghitung panjang minimal dan diharapkan distribusi dari node sumber s ke node tujuan tdalam jaringan stokastik tidak lengkap, sebagai satu komponen dari
Universitas Sumatera Utara

7 panjang busur (travel time or speed) antara node dipilih sebagai variable acak,

2.4 Program Stokastik Dua Tahap

Banyak persoalan perencanaan dan manajemen yang mengandung resiko dan ketidakpastian dibahas dan diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Persoalan stokastik dengan kompensasi dari divergensi pada sistem dengan kendala mempunyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor deterministik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.

Andaikan terdapat persoalan berikut :

min(C, X) A0X = B0 AX = B
X ≥0

(2.4.1) (2.4.2) (2.4.3) (2.4.4)

dimana:

C = {cij} , j = 1, 2, 3 · · · m B = (bi), i = 1, 2, 3 · · · m B0 = (bk0), k = 1, 2, 3 · · · m A0 = ak0j , k = 1, 2, 3 · · · m, j = 1, 2, 3 · · · m A = akj , k = 1, 2, 3 · · · m, j = 1, 2, 3 · · · m.

Universitas Sumatera Utara

8

Andaikan elemen dari matiks A = A(ω), vektor B = B(ω) dan C = C(ω) bernilai acak. Maka untuk proses acak penyelesaian dari persoalan (2.4.1)–(2.4.4) akan dibagi menjadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministik X0 yang memenuhi kondisi (2.4.2). Pada tahap kedua ditentukan spesikasi ω0 dari setiap kejadian acak yang bersamaan (sesuai)dengan nilai A(ω0) dan B(ω0). Hitung divergensi B(ω0) = A(ω0)X0 yang muncul pada kondisi (2.4.3) setelah realisasi ω0 ∈ Ω. definisikan vektor konpensasi Y ≥ 0 yang sesuai dengan hubungan berikut:

D(ω0Y (ω0) = B(ω0) − A(ω0)X0,

(2.4.5)

dimana D = dij , i = 1, 2, 3, . . . , n adalah matriks kompensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergntung pada pemilihan rencana pendahuluan X0.

Perhatikan persoalan program matematika berikut: Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y (ω) berdimensi n1, ω ∈ Ω yang menghasilkan;

mXinEω

C(ω), X) + min(H, Y (ω))

Y

Kendala:

A0X = B0 A(ω)X + D(ω)Y (ω) = B(ω), ω ∈ Ω X ≥ 0, Y (ω) ≥ 0.

(2.4.6)
(2.4.7) (2.4.8) (2.4.9)

H adalah vektor penalti yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor Y (ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi matematika setelah ditentukan rencana awal X0, kita pilih komponen vektor Y (ω) dengan cara menjamin penalti minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektor X0, perlu menyelesaikan persoalan;

min(H, Y (ω))|D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X0, Y (ω) ≥ 0
Y

(2.4.10)

Universitas Sumatera Utara

9

Persoalan (2.4.10) akan mempunyai banyak rencana, vektor Y (ω) tidak dapat ditentukan pada tiap ω ∈ W yang menjamin penemuhan kondisi (2.4.8). persoalan (2.4.6)–(2.4.9) dikenal sebagai persoalan program stokastik dua tahap dan persoalan (2.4.10) adalah persoalan tahap kedua.

Model dan pendekatan dari penyelesaian persoalan program stokastik (dina-

mik) dua tahap dapat digunakan untuk perspektitif perencanaan dan operasional

manajemen, karena selalu terdapat keacakan yang mempengaruhi yang sudah di-

rencanakan dan sistem manajemen (pelaksanaan). Model dua tahap juga kurang

sensintif terhadap perubahan pada parameter dari kondisi persoalan, yang me-

nyebabkan lebih stabil. Akibatnya vektor dapat diterima untuk rencana tahap

pertama yang diperlukan untuk setiap ω ∈ W , terdapat vektor Y ≥ 0 sedemikian

hingga,

D(ω)Y (ω) = B(ω) − A(ω)X

(2.4.11)

Andaikan kendala tambahan yang disebutkan secara implisit pada (2.4.11) muncul pada tahap kedua dari persoalan yang dihasilkan; dan andaikan kondisi yang ditentukan pada vektor non-negatif X dari persamaan (2.4.7) sudah ditentukan.
Andaikan himpunan K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} didefinisikan oleh kendala yang sudah ditentukan tetapi
K2 = {X : ∀ω ∈ Ω, ∃Y ≥ 0, A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω)}
didefinisikan oleh kendala yang dihasilkan. Maka himpunan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan vektor X yang layak/memenuhi persoalan (2.4.6)–(2.4.9). Jika X ∈ K, maka vektor X memenuhi kendala yang sudah ditentukan A0X = B, X ≥ 0 dan disamping itu, persoalan tahap kedua (2.4.3) akan memiliki banyak rencana.
Untuk perhitungan lanjutan diperlukan hasil berikut :

Teorema 2.1 . Himpunan K dengan vektor X pada persoalan program stokastik dua tahap adalah konveks.

Bukti. K = K1 ∩ K2 tetapi K1 = {X : A0 = B0, X ≥ 0} adalah konveks. Definisikan untuk ω ∈ Ω tertentu (yang ditentukan) himpunan K2ω = {X|∃Y (ω) ≥ 0}
Universitas Sumatera Utara

10

sedemikian hingga A(ω)X = B(ω) − D(ω)Y (ω) adalah konveks. Hal ini menyatakan bahwa K2 = ∩ω∈ΩK2ω dan K = K1 ∩ K2 adalah himpunan konveks sebagai pertolongan himpunan konveks.

2.5 Analisis Persoalan Program Stokastik Dua Tahap

Himpunan K dari rencana pendahuluan untuk persoalan program stokastik dua tahap secara implisit telah ditentukan. Pada kasus generalisasi tidak diketahui bagaimana untuk mengkonstruksi himpunan K2. Untuk beberapa kasus parsial, dimana sangat penting untuk banyak aplikasi, himpunan K2 mirip dengan Rn. Diasumsikan bahwa rank dari matriks D adalah sama dengan m, kecuali (2.4.8) dapat disubstitusikan untuk relasi ekivalen pada p baris, sehingga:

OY = B − AX,

dimana O adalah vektor berisi nol berdimensi m dan p adalah banyaknya baris bergantung pada D. Asumsikan bahwa rank dari matrik D yang berdimensi mxn adalah sama dengan m dan m kolom pertama adalah linier independen.

Andaikan bahwa untuk setiap v ∈ Rn terdapat Y ≥ 0 sedemikian hingga :

DY = v.

(2.5.1)

Lema 2.1 (Kall, 1994) Jika asumsi di atas dipenuhi, maka D mempunyai paling sedikit (m + 1) kolom, yaitu : n ≥ (m + 1).

Teorema 2.2 (Kall, 1994) Karena sistem persamaan DY = v mempunyai pe-

nyelesaian non-negatif untuk setiap v ∈ Rn, maka hal ini cukup menunjukkan

bahwa terdapat penyelesaian non-negatif untuk sistem homogen dari persamaan

linier :

Dπ = 0

(2.5.2)

π lebih besar dari pada 0 untuk j = 1, 2, ..., m

Bukti. Sistem persamaan DY = v selalu mempunyai penyelesaian. Mula-mula, andaikan Yˆj = 0 untuk j = 1, 2, ..., mtetapi yang lainnya sama dengan nol.
Selanjutnya hubungan α (Dπ) + DYˆ = υ akan dipenuhi untuk sembarang α, jika diambil α yang cukup besar akan diperoleh penyelesaian non-negatif pada
Universitas Sumatera Utara

11

persamaan (2.5.1). Kondisi (2.5.2) sulit dibuktikan dengan ekspektasi beberapa kasus parsial.

Andaikan n menjadi sama dengan m = 1, maka kondisi cukup akan menjadi:

m+1
πjDj = 0,
j=1

karena jika πm+1 = 0 akan diperoleh dependen linier darim kolom pertama Dj, yang mana akan kontradiksi dengan fakta bahwa matriks D mempunyai rank m.

Konsekwensinya adalah πm+1 > 0, sehingga diperoleh :

m
−Dm+1 = πjDj,
j=1

πj

=

πˆj πˆj

Sistem di atas adalah persamaan linier yang hanya mempunyai satu penyelesaian. Jika positif maka K2 = Rn.

Kondisi Teorema 2.2 tidak cukup tetapi perlu, sedemikian hingga DY = v mempunyai penyelesaian cukup untuk keperluan pemecahan non-negatif dari DY = vtidak untuk setiap v ∈ Rm tetapi hanya untuk v = B − AX dengan setiap X ∈ K1ω ∈ W dan setiap ω ∈ W sehingga v jauh dari memenuhi untuk semua Rm.

Persoalan (2.4.1)–(2.4.4) dapat diinterpretasi sebagai perencanaan produksi, dimana A adalah matriks untuk metode teknologi dasar dan D adalah matriks untuk metode teknologi secara kebetulan pada penentuan varian yang mungkin untuk kompensasi pada divergensi di dalam sistem yang dikondisikan. Pada kasus kondisi dari Teorema 2.2 dapat diinterpretasikan dengan cara berikut. Sehingga untuk sembarang divergensi v ∈ Rm, kompensasi Y dapat diterima temuannya, yang dicukupkan oleh metode teknologi kebetulan menyatakan sebuah sistem tertutup, karena itu terdapat intensitas tidak nol, yang mana semua hasilnya dieksploitasikan oleh metode produksi tertentu dapat dikonsumsi oleh yang lainnya. Sebagai contoh : penjualan dan pembelian dipisahkan dengan baik.

Teorema 2.3 Karena persoalan (2.4.10) mempunyai penyelesaian yang berhingga, maka hal ini perlu dan cukup menunjukkan bahwa sistem pertidaksamaan
ZD ≤ H
Universitas Sumatera Utara

12
mempunyai penyelesaian
Pembuktian teorema diatas dapat dilihat dengan jelas pada teorema dualitas program linier yang diajukan oleh Dantzig (1959). Jika persoalan (2.4.10) dapat diselesaikan dan mempunyai penyelesaian optimal maka dualnya jiga dapat diselesaikan dan begitu juga sebaliknya. Kendala dari persoalan dual untuk (2.4.10) adalah kondisi (2.5.3)
Kondisi dari Teorema 2.3 memiliki kegunaan secara ekonomi. Sehingga biaya pada eksploitasi pada metode teknologi kebetulan dilikuidasi dari divergensi yang berhingga, karena itu cukup dan perlu terdapat sistem estimasi Z untuk menghasilkan metode teknologi kebetulan. Biaya produksi yang disebabkan oleh estimasi output pada metode teknologi yang ke-i tidak lebih tinggi pada eksploitasi dengan singular intensity dari pada pengeluaran pada eksploitasi dengan singular intensity.

Teorema 2.4 (Judin (1974)) Andaikan matriks D mempunyai m + 1 kolom dan memenuhi kondisi Teorema 2.2 yaitu :

m
−Dm+1 = πjDj, πj > 0, j = 1, 2, 3, · · · m
j+1

maka untuk pemenuhan kondisi Teorema 2.3 adalah syarat perlu dan cukup bahwa digantikan relasi (hubungan) berikut

m
πjhj + hm+1 ≥ 0, , , j = 1, 2, 3, · · ·
j=1

(2.5.3)

Bukti. Syarat perlu. Andaikan persoalan tahap kedua (2.4.10) dapat diselesaikan, maka kumpulan rencana dari masalah dual menjadi tidak kosong. Andaikan vektor Z0 memenuhi kondisi (2.5.3) persoalan dual yaitu :

Z0Dj ≤ hj, j = 1, 2, ..., m + 1,

(2.5.4)

karena itu, dengan πj > 0

mm

m

πjZ0Dj ≤ πjhj; Z0Dm+1 = − Z0πjDj

j=1 j=1

j

(2.5.5)

Universitas Sumatera Utara

13

disamping itu, kita dapatkan
m
Z0Dm+1 = − Z0πjDj ≤ hm+1
j=1
Dari kondisi (2.5.5) dan (2.5.6) diperoleh hasil (2.5.3) syarat cukup.

(2.5.6)

Andaikan (2.5.3) digantikan oleh fungsi tujuan pada persoalan tahap kedua (2.4.10) yang tidak berkendala pada himpunan rencana, maka himpunan rencana persoalan dual untuk persoalan tahap kedua adalah kosong.

Z|ZD ≤ H = ∅

(2.5.7)

Dari linear independen vektor-vektor D1, D2, ..., Dm jika mengikuti sistem ;

ZDj = hj, j = 1, 2, ..., m,

(2.5.8)

hanya mempunyai penyelesaian Z0, karena persamaan (2.5.7) diperoleh

Z0Dm+1 > hm+1,

(2.5.9)

Dari kondisi teorema dan persamaan (2.5.8), (2.5.9) diperoleh
mm
Z0Dm+1 = − Z0πjDj = − πjhj > hm+1
j=1 j=1
yang mana kontradiksi dengan kondisi (2.5.3) sehingga teorema dipenuhi.

Kondisi (2.5.3) menguntungkan secara ekonomi pada persoalan penjadwalan. Andaikan metode teknologi berbentuk sistem tertutup, maka biaya dari exploitasi metode accindetal output yang bertujuan kompensasi divergensi akan berhingga, jika tidak mungkin mendapatkan keuntungan dari rezim yang tidak jalan dari pekerjaan (jika persamaan (2.5.2) dapat dipenuhi). Dalam pekerjaan yang diajukan oleh Kall (1964) ditunjukan bahwa kondisi analog yang hilang dari keuntungan juga tergantikan dalam kasus ketika n > m + 1, tetapi kondisi ini hanya syarat perlu.

Perhatikan sebuah deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua tahap pada (2.4.6)–(2.4.9) dan tunjukkan bahwa persoalan (2.4.6)–(2.4.9) adalah persoalan program konveks. Dual untuk persoalan tahap kedua (2.4.10) adalah ;

(Z, B − AX) → max ZD ≤ H.

(2.5.10) (2.5.11)

Universitas Sumatera Utara

14
Andaikan penyelesaian persoalan (2.4.10) ada dan berhingga, maka terdapat penyelesaian berhingga untuk persoalan (2.5.10)–(2.5.11) dan nilai optimal untuk keduanya telah dikerjakan oleh Dantzig (1956). Definisikan nilai fungsi sebagai . Dapat diperoleh bahwa (X, A, B) menjadi titik maksimum (2.5.10) yang dicapai dengan kondisi (2.5.11) untuk X, A, B yang ditetapkan. Sehingga untuk sembarang X1 dan X2 nilai ekstrimum fungsi tujuan (2.5.10) adalah berhingga, diperoleh ;
Z(αX1 + (1 − α)X2, B)(B − A(αX1 + (1 − α)X2) = Z(αX1 + (1 − α)X2, A, B)[α(B − AX1) + (1 − α)(B − AX2)] ≤
αZ(X1, A, B)(B − AX1) + (1 − α)Z(X2, A, B)(B − AX2)
Andaikan ∅ adalah fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen, maka adalah fungsi konveks, karena kombinasi non-negatif fungsi konveks adalah fungsi konveks. Dari konveksitas fungsi tujuan mengikuti kontinuitas pada setiap titik dalam dari himpunan konveks K. Oleh karena itu dibuktikan oleh pernyataan berikut.
Teorema 2.5 Deterministik ekivalen untuk persoalan program stokastik dua-tahap (2.4.6)–(2.4.9) adalah persoalan program konveks. Pernyataan selanjutnya memberikan dasar teori untuk mengkonstruksi pendekatan numerik pada penyelesaian persoalan dua-tahap. Perhatikan metode untuk menyelesaikan persoalan dua tahap diperlukan penggunaan hubungan (persamaan) fungsi dasar untuk ∅(X) dan menyediakan kondisi differensiabel ∅(X). Pada bagian ini akan digunakan fungsi dasar untuk fungsi konveks F (µ) pada titik µ0 ∈ M , untuk fungsi linear L, jika F (µ) − F (µ0 ≥ (L, µ, −µ0) untuk setiapµ ∈ M . Hal ini dapat dilihat pada Judin (1974) dan Kall (1994).
Teorema 2.6 Fungsi
E {C − Z∗(A, B, X0)A} = {C(ω) − Z∗[A(ω), B(ω), X0]A(ω)} dp
Ω
adalah dasar untuk fungsi tujuan dari persoalan deterministik ekivalen pada titik X0 ∈ K.
Di dalam pembahasan yang dikerjakan oleh Kall (1994) telah didemonstrasikan bahwa jika ukuran peluang pada ruang A, B kontinu absolut relatif terhadap ukuran lebesque pada ruang A, B dan kondisi tertentu dipenuhi maka fungsi
Universitas Sumatera Utara

15

tujuan ∅(X) yang merupakan persoalan deterministik ekivalen adalah kontinu differensiabel setiap tempat pada himpunan K.
Untuk investigasi kondisi optimalitas rencana X pada persoalan tahap pertama, dibutuhkan vektor CX = E[C − Z∗(A, B, X)A] dan bentuk linear Lx = (Cx1, X) = E[C − Z∗(A, B, X)A]. Judin (1974) mengajukan formulasi kondisi perlu untuk optimalitas pada rencana X di dalam persoalan program stokastik dua tahap.

Teorema 2.7 Jika X∗ adalah rencana deterministik untuk persoalan dua tahap maka untuk sembarang X ∈ K,

LX (X∗) ≤ LX (X).

(2.5.12)

Bukti. Andaikan X∗ adalah rencana optimal tetapi X rencana yang diterima untuk persoalan dua tahap. Dapat diperoleh : ∅(X∗) ≤ ∅(X)

E(CX∗ + Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≤ E(CX + Z∗(A, B, X)(B − AX))

(2.5.13)

E(Z∗(A, B, X∗)(B − AX∗)) ≥ E(Z∗(A, B, X)(B − AX)).

(2.5.14)

Kurangkan (2.5.14) dari (2.5.13), dan diambil Z∗(A, B, X∗) sebagai rencana optimal untuk masalah dual dan diperoleh hasil (2.5.12).

Melalui pekerjaan yang diajukan oleh Efimov (1970) dan Judin (1974) dipe-

roleh bahwa kemungkinan untuk membuat kegunaan secara ekonomi pada kondisi

(2.5.12). Vektor Z∗(A, B < X) adalah penyelesaian masalah dual untuk persoalan

dua tahap dan merupakan vektor estimasi untuk produk jarang (kurang) atau ber-

lebihan pada intensitas X dari metode teknologi setelah matriks teknologi A dan

vektor permintaan B yang di realisasikan. Estimasi ini mendefinisikan pengaruh

dari nilai divergensi pada pengeluaran untuk likuidasi ekonomi dari divergensi.

Nilai

m
aijZi∗(A, B, X) − Cj
i=1

menunjukkan keuntungan dari eksploitasi pada metode teknologi dengan intensi-

tas singular, dengan perkiraan parameter persoalan direalisasikan sebagai elemen

matriks A dan komponen vektor B dan C, tetapi estimasi produk dihitung untuk

Universitas Sumatera Utara

16
kasus di dalam eksploitasi metode teknologi yang dikerjakan dengan intensitas X. Jika vektor X∗ mendefinisikan rencana awal optimal untuk persoalan program dua tahap, rekaptulasi keuntungan rata-rata pada intensitas X∗ selama penggunaan metode produksi teknologi dihitung pada optimasi optimal yang tidak lebih kecil dari rekapitulasi keuntungan rata-rata yang dihitung pada estimasi optimal untuk sembarang rencana lain X yang dibolehkan.
Akan diformulasi tanpa pembuktian teorema pada kondisi cukup dan perlu dari optimalitas untuk rencana persoalan program stokastik dua tahap.

Teorema 2.8 Andaikan X∗ titik internal (dala) dari himpunan K, tetapi sebuah fungsi objektif (X) pada persoalan deterministik ekivalen terhadap persoalan dua tahap yang diferensiabel di dalam neighbourhood dari titik X∗. Maka persoalan dual Z∗(A, B, X∗) sedemikian hingga

CX∗ = E[C − Z∗(A, B, X∗)A] = 0

(2.5.15)

Jika dan hanya jika X∗ adalah penyelesaian persoalan dua tahap (Judin, 1974).

2.6 Program Stokastik Tahap Ganda
Persoalan program stokastik dinamik digeneralisasi oleh kasus dua tahap. Banyak persoalan praktis yang berupa perencanaan, perancangan dan manajemen tidak dapa digambarkan dengan bantuan model statis. Perencanaan dengan periode waktu yang panjang berkembang pada sistem ekonomi, kontrol operasional pada peralatan militer, regulasi pada proses teknologi dan persoalan lain yang termasuk pada parameter acak dan mengharuskan deskripsi untuk penggunaan model probabilistik dinamik. Untuk model bertujuan, metode program stokastik tahap ganda seringkali digunakan. Model program stokastik tahap ganda dan metode untuk realisasi secukupnya bergantung pada informasi mengenai nilai parameter di dalam kondisi persoalan, yang mana memiliki waktu untuk membuat keputusan selanjutnya. Terdapat persoalan dinamik yang mana tiap-tiap tahap berurutan disyaratkan untuk melengkapi kompensasi divergensi yang dikondisikan oleh kondisi realisasi persoalan dan oleh pembuatan keputusan tercepat (tahap sebelumnya). Pada masalah yang lain disyaratkan bahwa tiap-tiap tahap peluang yang memenuhi kendala tidak melebih nilai tertentu yang diberikan sebelumnya
Universitas Sumatera Utara

17
atas ekspektasi matematika pada fungsi dari divergensi di dalam kondisi yang dibatasi oleh bilangan yang diberikan atau nilai dari fungsi pada parameter acak yang direalisasikan pada tahap sebelumnya.
Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang dapat dimodelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk berikut yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) jika oleh momen pembuatan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak (termasuk kondisi) yang dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak dapat dikondisikan dan kondisi kendala. Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diperoleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penyelesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyelesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputuan
Konstruksi model probabilistik dinamik dan melaksanakan metode untuk realisasi yang ditampilkan akan sangat sulit. Pada bagian ini akan diberikan beberapa persoalan yang berisi model matematika untuk persoalan tahap ganda dan prosedur untuk mengkonstruksi penyelesaiannya.
Untuk perhitungan selanjutnya dan analisis persoalan program stokastik tahap ganda, didefinisikan konsep yang diberikan berikut ini. Andaikan terdapat tahap ke-i yaitu Ωi, i = 0, 1, ..., n untuk beberapa ruang kejadian elementer ωi, dimana Ω0 berisi satu elemen ω0. Andaikan Ωk adalah descartian product Ωi, i = 1, 2, ..., k; ωk = (ω1, ..., ωk), Ωn = Ω dan andaikan pada Ω diberikan ukuran probabilistik p yang didefinisikan dengan cara : jika A ⊂ Ωk maka pk(A) = p(AxΩk+1x...xΩn). Diperkenalkan ruang probabilistik (Ω, , P ) dengan
berkaitan dengan σ − algebra, definisikan Pk sebagai kondisi ukuran probabi-
Universitas Sumatera Utara

listik pada Ωk

18

Pk (A|ω k−1

∈

B)

=

Pk(AxB) Pk(ΩkxB)

Untuk sembarang A ⊂ Ωk, B ⊂ Ωk−1.

Variabel Xk dinyatakan sebagai descartian product Xi, i = 1, 2, . . . , k; Xk = (x1, . . . , xk) ∈ Xk, Xn ≡ X dimana X0, X1, . . . , Xn adalah barisan himpunan dari struktur sembarang Xk ∈ Xk, k = 0, 1, . . . , n dan himpunan X termasuk satu titik
X0.

Andaikan mk diberikan sebagai fungsi vektor pada ϕk(ωkXk) berdimensi

untuk setiap ωk ∈ Ωk, Xk ∈ Xk, k = 1, ..., n dan juga untuk setiap ω ∈ Ω pa-

da himpunan X fungsi ϕ0(ωnXn). Masukkan himpunan acak Gk0 = Gk0(ωk) dan bk(ωk−1)mk fungsi vektor. Bk berdimensi acak dari ωk−1 (dibatasi dan terukur)

dinyatakan sebagai ruang Banach yang termasuk pada fungsi vektor berdimen-

si bk(ωk−1)

k i=1

mi

.

Akhirnya,

Ewk(U (ωk)|ωk−1)

menyatakan kondisi

ekspektasi

matematika U (ωk) dibawah perkiraan realisasi ωk−1 yang diketahui.

Andaikan dibahas model berbeda pada persoalan program stokastik tahap ganda dengan menggunakan notasi yang diperkenalkan di atas. Andaikan terdapat persoalan program stokastik tahap ganda :

Eϕ0 = (ωn, Xn) → inf, Eϕk = (ωk, Xk) ≥ bk, Xk ∈ Gk, k = 1, 2, ..., n.

(2.6.1) (2.6.2) (2.6.3)

Untuk memformulasi persoalan secara lengkap, diperlukan titik luar apakah kendalah yang tidak dapat dikondisikan atau kondisional, apakah penyelesaian persoalan ditentukan dengan strategi murni atau strategi campuran, dan di dalam kelas fungsi yang terukur atau distribusi yang akan mendapatkan penyelesaian. Persoalan praktisnya akan bergantung pada makna isi, penyelesaian pada tiaptiap tahap dapat dihitung sebagai vektor deterministik atau sebagai rule-function pada penyelesaian dari realisasi dan parameter acak yang diobservasi dari kondisi, atau sebagai distribusi menentukan distribusi kontinu Xk dengan perkiraan informasi yang diperlukan mengenai nilai yang direalisasikan data initial acak yang diperoleh model konkrit untuk persoalan dan struktur informasinya ditentukan

Universitas Sumatera Utara

19

oleh keputusan selanjutnya. Di dalam syarat-syarat yang diajukan oleh Ermolyev (1970), hasil-hasil persoalan stokastik tahap ganda dari rangkaian tipe - pengamatan - keputusan - pengamatan - ... - keputusan Keputusan - pengamatan keputusan - ... - keputusan Andaikan dibahas bermacam-macam model persoalan program stokastik tahap ganda yang menggunakan klasifikasi yang diberikan oleh Judin (1972). Persoalan stokastik tahap ganda dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan adalah

ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf,
Ωn xX n
ϕk(ωk, Xk)dFωk,Xk ,
Ωk xX k
Xk ∈ Gk, k = 1, 2, ..., n.

(2.6.4) (2.6.5) (2.6.6)

Pemilihan beberapa kelas yang paling menarik untuk aplikasi dari sejumlah struktur informasi yang merupakan persyaratan persoalan program tahap ganda dengan kendala kondisional. Model kongkrit dari (2.6.1) –(2.6.3) pada kasus persoalan dengan kendala kondisional, diselesaikan dengan strategi campuran adalah :

ϕ0(ωn, Xn)dFωn,Xn → inf,
Ωn xX n
ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωdFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1),
Ωk xX k
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, ..., n.

(2.6.7) (2.6.8) (2.6.9)

Penyelesaian persoalan akan menjadi himpunan fungsi distribusi .Biasanya untuk mengatakan persoalan diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan kemudian jika didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan parameter acak k, distribusi yang ditentukan kemudian bergantung pada Xk − 1 dan k. Dikatakan bahwa persoalan yang diselesaikan dengan distribusi yang ditentukan sebelumnya, jika didefinisikan setelah realisasi dan pengamatan k − 1 tetapi sebelum pengamatan k, distribusi yang ditentukan sebelumnya bergantung pada Xk − 1 dan k − 1.
Jika persoalan tahap ganda dengan kendala kondisional diselesaikan dengan strategi murni, model konkrit (3.30) - (3.32) akan menjadi :

Universitas Sumatera Utara

20

ϕ0(ωn, Xn)dFωn → inf,
Ωn ×X n
ϕk(ωk, Xk)dFωk|ωk−1 ≥ bk(ωk−1),
Ωk ×X k
Xk ∈ Gk(ωk), k = 1, 2, ..., n.

(2.6.10) (2.6.11) (2.6.12)

Fungsi Xk dari parameter acak yang direalisasikan dan diamati pada kondisi dari persoalan merupakan penyelesaian. Persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan kemudian jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan k; aturan-aturan yang ditentukan kemudian untuk penyelesaian sedemikian hingga Xk = Xk(k). Dikatakan bahwa persoalan diselesaikan dengan aturan yang ditentukan sebelumnya jika keputusan dibuat setelah realisasi dan pengamatan k − 1, tetapi sebelum pengamatan k. Pada kasus aturan sebelumnya :

Xk = Xk(k − 1)

Biasanya, persoalan (2.6.7) –(2.6.9) atau (2.6.10)–(2.6.12) dikenal sebagai persoalan stokastik tahap ganda dengan rigid model, jika kondisi (2.6.8) atau (2.6.11) tidak dihadirkan, keputusan tiap-tiap tahap dibuat setelah observasi kondisi dan keputusan pada tahap sebelumnya.

Relasi tertentu yang dimiliki antara determinasi domain untuk persoalan dengan kendala yang tidak dapat dikondisikan dan kendala yang dapat dikondisikan. Pernyataan berikut akan menggeneralisasi hasil yang diperoleh, yang telah dikerjakan oleh Eismer (1971) untuk persoalan stokastik tahap ganda parsial linear. Pernyataan yang berikut diambil dari Judin (1974).

Andaikan U adalah himpunan penyelesaian yang layak untuk persoalan stokastik tahap ganda deng