Strategi Penyelesaian Program Stokastik Tak Linier Non Parametrik

STRATEGI PENYELESAIAN PROGRAM STOKASTIK TAK LINIER NON PARAMETRIK
TESIS Oleh EVI YANTI LUBIS 077021056/MT
SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2009
Universitas Sumatera Utara

STRATEGI PENYELESAIAN PROGRAM STOKASTIK TAK LINIER NON PARAMETRIK
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana
Universitas Sumatera Utara
Oleh
EVI YANTI LUBIS 077021056/MT
SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2009
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: STRATEGI PENYELESAIAN PROGRAM STOKASTIK TAK LINIER NON PARAMETRIK
: Evi Yanti Lubis : 077021056 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Ketua

(Dr. Sutarman, M.Sc) Anggota

Ketua Program Studi,

Direktur,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 29 Mei 2009

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 29 Mei 2009
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Sutarman, M.Sc
2. Dr. Tulus, M.Si 3. Drs. Sawaluddin, MIT

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Program stokastik menjeleskan suatu ketidakpastian yang direpsentasikan secara clasik dengan menggunakan kelompok distribusi parameter. Kemudian parameter biasanya ditaksir bersama-sama dengan nilai optimal masalah. Akan tetapi, kesalahan mengatakan variabel acak utama kerap kali menghasilkan hasil yang didak realitis bila tidak banyak diketahui tentang distribusi sebenarnya. Diajukan untuk mengatasi kesulitan ini dengan memperkenalkan pendekatan nonparametrik di mana mengganti penaksiran parameter distribusi dengan penaksiruan fungsi distribusi kumulatif (CDF). Tesis ini mengajukan algoritma praktis agar tujuan ini dapat tercapai dengan menggunakan representasi monoton dari invers CDF marginal dan globalisasi daerah kepercayaan berbasis proyeksi. Aplikasi algoritma baru ini pada teori pilihan diskrit akhirnya dibahas, baik dengan data hasil simulasi maupun dalam konteks aplikasi keuangan praktis yang terkait dengan intervensi Bank of Japan dibursa saham luar negeri. Kata kunci : Program stokastik, ketidakpastian, parameter.
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT This thesis consider a class of stochastic programming models where the uncertainty is classically represented using parametric distributions families. The parameters are then usually estimated together with the optimal value of the problem. Howevwr, misspecification of the underlying random variabels often leads to irrealistic results whwn little is known about their true distributions. We propose to overcome this difficulty by introducing a nonparametric approach where we replace the estimated Comulatif Distribution Function (CDF). A pratical algorithm is discribed which achieves this goal by using a monotonic spline representation of the inverse marginal CDFs and a projection based trust-region globalization. Application of the new algorithm to discrete choice theory are finally discussed, both with simulated data and in the context of a practical financial application related to interventions of the bank of japan in the foreign exchange market. Keywords : Stochastic programming, uncertainty, parametric.
ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah Subhanahu wa Ta’ala, Tuhan semesta alam, yang senantiasa mencurahkan shalawat dan salam atas kekasihnya Rasulullah Muhammad Shalallahu ’alaihi wa Sallam, beserta keluarga dan sahabatnya dan orangorang yang mengikuti sunnahnya hingga hari kebangkitan.
Terima kasih tiada hentinya, kepada Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah memberikan kesempatan sehingga penulis dapat menyelesaikan kuliah dan tesis dengan judul ”Super Efisiensi Data Envelopment Analysis dalam Kinerja Lingkungan” tepat pada waktu yang ditentukan. Tesis ini merupakan salah satu syarat dalam menyelesaikan kuliah di Program Studi Magister Matematika Program Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara Medan.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih dan penghargaan kepada: Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.A(K) selaku rektor Universitas Sumatera Utara.
Prof. Ir. T. Chairun Nisa, B, M.Sc, selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika. Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan dosen atas bimbingan dan petunjuk yang diberikan selama perkuliahan dan penulisan tesis.
iii
Universitas Sumatera Utara

Dr. Sutarman, M.Sc, selaku dosen pembimbing II, atas bimbingan dan petunjuk yang diberikan selama perkuliahan, penulisan dan perbaikan tesis ini.
Seluruh staff pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara atas bimbingan dan petunjuk serta ilmu pengetahuan yang

Seluruh keluarga, khususnya kepada suami: Deri Tato. Anakku tercinta: Rivi Dzaki, M. Hamka Said yang telah memberi semangat dan doa. Ayahanda Zulkarnain Lubis, Ibunda tercinta Hayati. Adik dan kakak yang selalu memberi dukungan dan doa untuk keberhasilan penulis.
Semua teman-teman mahasiswa edukator 07 serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Tidak lupa terima kasi untuk Misiani, S.Si selaku staff administrasi Program Studi Magister Matematika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan terbaik kepada penulis.
Medan, Mei 2009 Penulis,
Evi Yanti Lubis
iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

A. Data Pribadi

Nama

: Evi Yanti Lubis

Tempat/tanggal lahir : Medan/22 Maret 1981

Jenis kelamin

: Perempuan

Agama

: Islam

Alamat rumah

: Jln. B. Zein Hamid Gg. sempurna No. 53 Medan

Riwayat Pendidikan

1989-1995 1995-1997 1997-1999 1999-2004

: SD Negeri 060900 : SMP Negeri 2 Medan : SMA Negeri 13 Medan : FMIPA UNIMED Medan

C. Pengalaman Kerja

2004-2005 2004-2005 2005- Sekarang

: Staff Pengajar SMK Cipta Karya Medan : Staff Pengajar SMA Swasta Medan Putri : Staff Pengajar SMA Swasta Al-Azhar Medan

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 4 4 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORITIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Pendekatan Nonparametrik . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Metode Daerah-Kepercayaan untuk Penaksiran Efisien . . . 3.3 Percobaan Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BAB 4 PENYELESAIAN PROGRAM STOKASTIK TAK LINIER . . 4.1 Aplikasi Pada Bidang Keuangan . . . . . . . . . . . . . .

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 12 16 19 23 26 31 33

vi
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1 Kalibrasi atas data hasil simulasi . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Kalibrasi data simulasi kasus 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Keputusan Bank of japan 1991-2004 . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 Variabel bebas koefisien relatif . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Program stokastik menjeleskan suatu ketidakpastian yang direpsentasikan secara clasik dengan menggunakan kelompok distribusi parameter. Kemudian parameter biasanya ditaksir bersama-sama dengan nilai optimal masalah. Akan tetapi, kesalahan mengatakan variabel acak utama kerap kali menghasilkan hasil yang didak realitis bila tidak banyak diketahui tentang distribusi sebenarnya. Diajukan untuk mengatasi kesulitan ini dengan memperkenalkan pendekatan nonparametrik di mana mengganti penaksiran parameter distribusi dengan penaksiruan fungsi distribusi kumulatif (CDF). Tesis ini mengajukan algoritma praktis agar tujuan ini dapat tercapai dengan menggunakan representasi monoton dari invers CDF marginal dan globalisasi daerah kepercayaan berbasis proyeksi. Aplikasi algoritma baru ini pada teori pilihan diskrit akhirnya dibahas, baik dengan data hasil simulasi maupun dalam konteks aplikasi keuangan praktis yang terkait dengan intervensi Bank of Japan dibursa saham luar negeri. Kata kunci : Program stokastik, ketidakpastian, parameter.
i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT This thesis consider a class of stochastic programming models where the uncertainty is classically represented using parametric distributions families. The parameters are then usually estimated together with the optimal value of the problem. Howevwr, misspecification of the underlying random variabels often leads to irrealistic results whwn little is known about their true distributions. We propose to overcome this difficulty by introducing a nonparametric approach where we replace the estimated Comulatif Distribution Function (CDF). A pratical algorithm is discribed which achieves this goal by using a monotonic spline representation of the inverse marginal CDFs and a projection based trust-region globalization. Application of the new algorithm to discrete choice theory are finally discussed, both with simulated data and in the context of a practical financial application related to interventions of the bank of japan in the foreign exchange market. Keywords : Stochastic programming, uncertainty, parametric.
ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Program stokastik mempunyai peranan penting dalam bidang matematika, dimana permasalahn tersebut dapat berupa ketidakpastian penyelesaian pada suatu distribusi atau bahkan peranan dari suatu distribusi yang lebih luas. Berdasarkan dari hasil dan ketidakpastian penyelesaian dalam suatu masalah distribusi, berbagai solusi penaksiran yang telah di kemukakan akan diurut dari nilai kemungkinan terkecil kenilai kemungkinan yang sebenarnya. Bagaimanapun, sifat dari program stokastik akan menjadi cukup sulittergantung pada berbagai pilihan pada distribusi-distribusi yang melibatkan variabel acak. Terutama untuk beberapa kelas pada permasalahan estimasi dimana terdapat satu tujuan untuk menetapkan suatu harga dari suatu penaksiran dimana hasil penaksiran tersebut berbeda-beda, Ronald at al(1990). Meskipun penaksiran tesebut mempunyai kemungkinan untuk mengestimasi parameter-parameter pada distribusi yang telah diketahui, distribusi-distribusi yang telah dipilih tersebut sering menjadi hambatan, dan mungkin akan berpengaruh lebih besar dengan adanya pengelompokan asumsi-asumsi dan akan lebih mudah untuk menghitungnya dibandingkan dengan kebenaran yang ada pada permasalahan.
Teknik nonparametrik merupakan pembahasan penting dalam bidang statistik, dimana teknik tersebut dapat digunakan dalam menyelesaikan suatu ketidakpastian yang mendasari sebuah distribusi yang cukup sulit dengan melakukan penaksiran fungsi distribusi kumulatif dan densitas probabilitasnya.
1
Universitas Sumatera Utara

2
Satu dari cara yang digunakan adalah distribusi empiris, yang termasuk kedalam program stokastik, dimana sebuah penaksiran pada fungsi distribusi kumulatif dibentuk dari realisasi observasi untuk variabel acak, hanya jika nilai kebenaran dari distribusi tersebut tidak diketahui, Divroye(1986). Untuk program stokastik standar dimana variabel acak dispesifikasikan dengan standar distribusi parametrik, ini juga diasumsikan pada permasalahan ini bahwa distrubusi dasar yang meliputi variabel acak yang dapat diestimasi selama tahap permulaan, terutama pada optimisasi. Asumsi ini muncul dan dapat digunakan berbagai aplikasi.
Ditunjuk bentuk umum program stokastik (SP)
min(E[f(x, ξ)])
x∈X
dimana X adalah himpunan yang terdapat di Rn, ξ adalah sebuah variabel acak pada besar m yang didefinisikan sebagai ruang probabilitas Ξ, F, P ), dan g adalah sebuah fungsi dari R ke R. Untuk lebih sederhananya, bahwa X adalah diditerministik.
Adapun bentuk model nonparametrik Black-Holes, misalnya untuk penyelesaian persamaan diperensial stokastik adalah
ds(t) = µs(t)dt + σs(t)dw(t)
dimana w(t) adalah proses Wiener, µ sebagai suatu parameter yang tidak diketahui σ diinterprestasikan sebagai nilai pengembalian yang diharapkan per unit waktu.
Universitas Sumatera Utara

3
Terdapat tiga penyelesaian untuk program stokastik tak linier nonparametrik. Salah satunya adalah dengan melakukan penaksiran nonparametrik, Ronald at al (1990) misalkan, jika terdapat m komponen pada ξ secara terpisah, pada suatu harga asumsi kebebasan diantaranya. Sebagai akibatnya, dan hanya dapat menjelaskan dari variabel acak tak bervariasi yang dianggap lebih sederhana dibandingkan dengan kasus dengan variabel acak bervariasi. Jika X adalah suatu variabel acak tak bervariasi yang diketahui, suatu teknik mudah digunakan untuk menghasilan penjelasan dari distribusi itu sendiri yang mengandung sampel suatu distribusi serupa di [0, 1], yang kemudian didefenisikan dengan U [0.1], dan kemudian diaplikasikan kefungsi distribusi kumulatif Fx−1, sehingga Sx = {Fx−1(U ), U ∼ U [0, 1]}, dimana Sx adalah gambaran himpunan sampel dari variabel acak X. Ini juga diasumsikan bahwa terdapat F −1x, jika distribusi X diketahui. Metode ini dikenal sebagai teknik pengembalian atau dikembalikan kepada variabel acak, Defroye(1986).
Yang kedua adalah metode trust-region, conn at al (2000) untuk estimasi efisien juga merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk penyelesaian program stokastik. Jika terdapat satu koefisien nonparametrik, ζ mendefenisikan v variabel yang dibutuhkan. Maka ζ selanjutnya disebut order-simplex. Dan ke tiga merupakan metode numerik yang juga dapat diaplikasikan dalam penyelesaian program stokastik.
1.2 Perumusan Masalah
Mengembangkan metode penyelesaian yang dipergunakan untuk penyelesaian program tak linier untuk dapat dipakai dalam menyelesaikan program stokastik tak linier nonparametrik.
Universitas Sumatera Utara

4 1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah menentukan dan memaparkan berbagai strategi penyelesaian atau pendekatan-pendekatan yang dapat digunakan dalam program stokastik tak linier nonparametrik. Sehingga dalam suatu permasalahan distribusi yang tidak diketahui kepastiannya, dapat diselesaikan dengan ketiga cara yang telah disebutkan sebelumnya, yaitu penaksiran nonparametrik, metode trust-region untuk estimasi efisien dan metode numerik.
1.4 Manfaat Penelitian Dengan adanya strategi penyelesaian pada program stokastik tak linier non-
parametrik diharapkan dapat memberi manfaat untuk menyelesaikan suatu distribusi yang tidak diketahui kepastian penyelesaiannya sehingga diperoleh suatu nilai dari permasalahan distribusi tersebut.
1.5 Metodologi Penelitian Dalam penelitian ini akan dibahas tentang:
1. Program stokastik tak linier nonparametrik 2. Penjelasan tingkat ketiga strategi penyelesaian stokastik tak linier 3. Penaksiran non parametrik 4. Metode trust-region untuk estimasi efisien 5. Metode numerik untuk program stokastik
Universitas Sumatera Utara

5 6. Contoh aplikasi metode penyelesaian program stokastik tak linier nonpara-
metrik
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
Gallant dan Tauchen (1989), dalam penulisannya menjelaskan suatu metode yang berhubungan dengan sebuah aplikasi penentuan harga, dan mengalami suatu perbaikan harga. Estimasi menggunakan prosedur kemungkinan nilai maksimum pada sebuah perluasan dengan suatu model strategi pilihan yang ditentukan dengan titik kemungkinan yang ada.
pada penulisan Robinson (1983), dia menyatakan disaat data mempunyai perbedaan, deviasi terbesar dari syarat utama, diakomodasikan dan dibandingkan keestimasi kernel. Yang menggunakan metode SNP (seminonparametric), yang membentuk sebuah model parametrik sebagai penaksiran pada proses. Hussey (1989) pada penulisan disertasinya menjelaskan bahwa nilai kecocokan yang cenderung menaik dan strategi gangguan juga berperan. Hussey menggunakan metode SNP dalam konjungsi dengan metode kernel kemasalah struktur non linier pada suatu data industri.
Modifikasi-modifikasi bentuk yang dicapai adalah cukup kaya secara akurat untuk mengaproksimasikan densitas dari kelas besar yang mencakup densitas dengan lemak, ekor mirip t, densitas dengan ekor yang lebih sempit dari pada Guasian, dan densitas miring (Gallant dan Nyehkan, 1987).
ARCH Klasik (Engle 1982) memiliki suatu cara yang tergantung pada fungsi linier dari residual lagged kuadrat. Persi SNP dari ARCH lebih mirip dengan sugesi-sugesi Nelson(1989)dan Davidian dan Caroll (1987).
6
Universitas Sumatera Utara

7 Eksistensi terhadap adaptasi yang lebih baik untuk metode proses hetorokedastik kondisional yang jelas seperti data angka pertukaran telah dikembangkan oleh Gallant at al (1989). Gallant at al(1990) menggambarkan fitter untuk menghilangkan interaksi yang tidak relefan, yang dibutuhkan dalam polinomial Hermite tingkat tinggi.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3 LANDASAN TEORITIS

Perhatikan program stokastik (SP) umum

min g(E[f(xξ)])
a∈X

(3.1)

dimana X adalah suatu himpunan kompak dalam Rn, ξ adalah vektor random berukuran m yang didefenisikan atas ruang pronabilitas (Ξ, F, P ) dan g adalah fungsi dari RkeR. Untuk penyederhanaan, disini diasumsikan bahwa X dengan deterministik. Yang penting, tidak mengasumsikan bahwa proyeksi efesien secara perhitungan atas himpunan layak ini ada tersedia (contoh yang biasa adalah bila X mendefenisikan batas sederhana atas komponen-komponen x). Asumsikan kemulusan dan regularitas diberikan dibawah ini, tetapi tidak mengharuskan konfeksitas fungsi tujuan. Karena (1) biasanya tidak bisa diselesaiakan secara analitik, perhatikan proses penyelesaian yang didasarkan pada aproksimasi rata-rata sampel (SAA), yang dibentuk pengambilan sampel atas ξ.

min gˆ (x) de f g fˆR (x)
x∈X
dimana fˆR(x) didefenisikan sebagai

(3.2)

fˆR(x) = 1 R

R

f (x, ξr)

r=1

untuk R pengambilan acak. Untuk menjamin konsistensi rumusan ini, diberikan

asumsi berikut:

8
Universitas Sumatera Utara

9

A.0 Pengambilan acak {ξq}q∞=1 terdistribusi bebas dan identik. A.1 Untuk setiap −P ξ, fungsi f(., ξ) terdeferensialkan kontiniu untuk S.

A.2 Himpunan f(x, ξ), x ∈ Xdidominasi oleh fungsi terintegralkan−P K(ξ), yaitu Ep(K) sehingga dan |f(x, ξ)| ≤ K(ξ) untuk semua x ∈ X dan setiap −P ξ.

A.3

Masing-masing

komponen

gradient

∂ ∂|x|l

f (x,

ξ)(1,

.

.

.

,

n),

x

∈

X,

didominasi

oleh fungsi terintegralkan −P .

A.4 Fungsi g terdiferensialkan kontinu dua kali dalam pertanyaannya.

A.3 Memungkinkan mengaplikasikan hasil-hasil Robinstein dan Shapiro,
halaman 71 menyimpulkan bahwa ekspektasi fungsi nilai E[f(x, ξ)] terdiferen-
sialkan kontinu atas X, dan bahwa ekspetasi perubahan gradient bisa saling diper-
tukarkan dalam rumus gradien. Amati juga bahwa A.0-A.2 secara bersama-sama
mengimplikasikan eksitensi hukum uniform bilangan besar (ULLN) atas S untuk aproksimasi fˆR(x) dari f (x) : sup |fˆR(x) − f (x)| → 0 hampir pasti jika R → ∞,
x∈X
yang pada gilirannya memungkinkan sehingga dapat menyimpulkan sifat berikut.
proposi 1 Dengan asumsi A.0-A.2, A.4 kita peroleh hukum uniform bilangan besar sup |gfˆR(x) − g(f (x))| → jika R → ∞
x∈X
Bukti. Misalkan ε > 0. Menurut kontinuitas g()˙, diperoleh bahwa terdapat
δ > 0 sedemikian sehingga |z1 − z2| < δ mengaplikasikan bahwa |g(z1) − g(z2)| < ε. Dari ULLN atas fˆ()˙ untuk f()˙, di peroleh bahwa terdapat Rδ untuk semua R ≥ Rδ, untuk semua x dalam X, |fˆR(x) − f (x)| < δ hampir pasti, dan karena itu |g(fˆR(x)) − g(f (x))| hampir pasti.

Universitas Sumatera Utara

10
Dari A.3 dan A.4, dengan cara yang sama dapat ditetapkan ULLN antara derivatif parsil SAA dan tujuan yang sebenarnya. Konvergensi orde-satu (yaitu konvergensi barisan penyelesaian-penyelesaian orde-satu dari (20 ke suatu penyelesaian orde-satu (1) kemudian bisa diperoleh dari ketaksamaan variasional stokastik, sebagaimana dipresentasikan dalam Gurkan dkk. perhatikan pemetaan Φ : Rn × Ξ → Rn dan multifungsi Γ : Rn → Rn. Andaikan bahwa diperoleh fungsi yang terdefinisi dengan jelas φ(x) := h(EP II [Φ(x, ξ)]). dapat disebut dengan

φ(x) ∈ Γ(x)

(3.3)

sebagai persamaan tergeneralisir yang sebenarnya atau berlebihan ekspektasi dan katakan suatu titik x∗ ∈ Rm adalah penyelesaina dari (3a0 jika φ(x∗) ∈ Γ(x∗). Jika {ξ, . . . , ξR} adalah sampel acak, disebut

ϕˆR (x) ∈ Γ (x) sebagai persamaan terbeneralisir SAA, di mana

(3.4)

R
φˆR(x) = h R−1 Φ(x, ξi)
i=1
Di notasikan S∗ dan SR∗ masing-masing himpunan (semua)penyelesaian dari
persamaan tergeneralisir yang sebenarnya (3) dan persamaan tergeneralisir SAA
(4). Di rotasikan dengan d(x, A := sup D(x, B), Penyimpangan himpunan A dari
x∈A
himpunan B. Kemudian diperoleh hasil berikut (Shapiro yang buktinya tidak
tergantung pada bentuk eksplisit dari φ(x) dan φˆR(x):

Universitas Sumatera Utara

11
Teorema 1Misalkan S adalah himpunan bagian kompak dari Rm sedemikian sehingga S∗ ⊂ S. Asumsikan bahwa
(a.) Multifungsi Γ(x) tertutup, yaitu jika x(k) → x, y(k) ∈ Γ(xk) dan y(k) → y maka y ∈ Γ(x),
(b.) Pemetaan φ(x) kontinu atas S, (c.) Hampir pasti ∅ = SR∗ ⊆ S untuk R yang cukup besar dan, (d.) φˆR(x) konvergen ke φ(x) hampir pasti sama dengan S jika R → ∞. Maka
D(SR∗ , S∗ → hampir pasti jika R → ∞.
Bila X konveks, dapat kita defenisikan bahwa −∇xg(x∗) termasuk dalam kerucut normal pada X di x∗, yang dinotasikan dengan NX (x∗). Maka teorema 1 memungkinkan bukti mudah atas konvergensi hampir pasti orde-satu. Perhatikan pilihan Γ(·) = NX (cdot); φ(∗) termasuk dalam Γ(∗) jika dan hanya jika
(φ(x∗), u − x∗) ≤ 0, ∀u ∈ X
Dengan mengikuti Shapiro [40], di sebut ketaksamaan varisonal sedemikian sebagai ketaksamaan varisional stokastik dan di catat bahwa asumsi (a) dari teorema 3.1 selalu berlaku dalam kasus ini. Misalkan S∗ dan SR∗ masing-masing merupakan himpunan titik kritis orde-satu dari persamaan tergeneralisir yang sebenarnya (3.) dan dari persamaan tergeneralisir SAA (3.4). Maka berdasarkan A.0-A.4, di peroleh bahwa φ(x) = −∇xg(x), dan bahwa φ(x) adalah vektor kontinu atas X, yang menghasilkan asumsi (b). Asumsikan (d) hasil dari ULLN,
Universitas Sumatera Utara

12
sementara A.1 dan kekompakan dari X menjamin asumsi (c) dengan menetapkan S = X. Dengan demikian Teorema 3.1 menjamin kritikalitas orde-satu dalam limit R → ∞, hampir pasti. Konvergensi orde-dua lebih sulit secara berarti untuk dibuktikan, namun demikian bisa disimpulkan secara deduksi berdasarkan asumsi-asumsi tambahan seperti dalam Bastian dkk.
3.1 Pendekatan Nonparametrik
Sewaktu menangani masalah (3.1) dan (3.2), kerapkali membuat perkiraan secara implisit atas distribusi vektor acak ξ untuk menghasikan pengambilan yang dibutuhkan dalam membentuk SAA. Di dalam prakteknya, ini biasanya menimbulkan masalah, seperti yang akan di tunjukan dibawah ini. Namun jika tetap menyatakan ketidakpastian di dalam masalah yang ditangani dengan menggunakan variabel acak dalam model tersebut, khususnya denga menghindari spesifik atas bentuknya.
Pengamatan pertama adalah bisa memperhatikan masing-masing ke m komponen dari ξ secara terpisah, berupa asumsi saling ketergantungan diantaranya. Sebagai akibatnya, harus menarik dari variabel acak univariat lebih sederhana daripada menangani kasus multivariat. Jika X adalah variabel acak univariat (dikatahui), suatu teknik dikenalkan untuk menghasilakn pengambilan distribusi yang terdiri dari pengambilan sampel distribusi uniform atas [0, 1], untuk selanjutnya dinotasikan dengan U [0, 1] dan mengaplikasikan invers fungsi distribusi kumulatif FX−1 untuk pengambilan ini:
SX = {Fx−1(u), u ∼ u[0, 1]}
Universitas Sumatera Utara

13
di mana SX menyatakan himpunan sampel yang diambil dari variabel acak X. Biasanya diasumsikan bahwa FX−1 ada (atau setidaknya bisa diaproksimasi dengan baik), jika distribusi dari X dikatahui.
Metode ini dikenal sebagai teknik invers dalam literatur pembuatan bilangan acak yang juga populer dalam konteks metode reduksi variansi. Penggunaan invers fungsi distribusi kumulatif juga lebih diajukan sebelumnya dalam penafsiran nonparametrik standar oleh Hora dkk. Untuk menegaskan ide ini, dimasukan asumsikan bahwa A.5 komponen-komponen dari ξ adalah bebas. Ulasan di atas kemudiam mengaplikasikan bahwa bisa memperoleh pengambilan yang diperlukan dari distribusi variabel acak ξ jika dapat menaksir untuk masing-masing komponen X suatu invers fungsi distribusi kumulatif FX−1 dengan sifat-sifat bahwa
a. FX−1 : [0, 1] → R b. FX−1 adalah naik monoton, jika membatasi diri pada variat kontinu, 1. FX−1 adalah kontinu.
Dengan kata lain, harus menaksiran fungsi riil kontinu yang domainnya adalah [0,1], dan mana yang baik monoton. Mungkin ada yang mengajukan bahwa pendekatan ini memiliki keuntungan dalam generalitas dan efesiensi, karena menaksir kepadatan sebagai pengganti FX−1 hanya akan berarti fungsi daripada derivatifnya. Untuk membatasi pilihan tersebut lebih lanjut, bisa juga mengajukan asumsi tambahan berikut ;
A.6 Masing-masing komponen dari variabel acak ξ kontinu dan mempunyai pendukung terbatas.
Universitas Sumatera Utara

14
Asumsi ini kerapkali realistis untuk kumpulan data praktis dan memiliki kelebihan dengan menghindari secara eksplisit keberadaan ekor yang kerapkali sulit untuk ditafsirkan.
Aproksimasi fungsi adalah bidang matematika besar, dan berbagai teknik bisa dipertimbangkan untuk masalah penaksiran FX−1. Dalam kasus tersebut, pilih menyatakan invers fungsi distribusi kumulatif yang diinginkan sebagai kombinasi linier berhingga dari pada beberapa fungsi dasar {lq, q =, . . . , v}, yang kontinu atas interval [0,1] untuk variabel kontinu, dimana kasus ini yakin bahwa pilihan basis yang cocok untuk tujuannya adalah pilihan B-spline. Pada umumnya, fungsi B-spline C(u) ber derajat p adalah polinomial sepotong-sepotong berderajat p, yang didefenisikan atas interval [a, b], yang bisa dinyatakan sebagai kombinasikan linier dari n + 1 fungsi basis Ni,p(u), sebagai berikut:

v
C(u) = PiNi,p(u)
i=0
Koefisien-koefisien p0, p1, . . . , Pv disebut titik-titik kontrol, dan u adalah vektor knot (u0 = 1, v1, . . . , um = b). Fungsi basis bisa dibentuk dengan perulangan
(atas derajat p) sebagai berikut:



 1 Ni,0 =

jika u ∈ [ui, ui+1)

 0 jika lainnya

Ni,p

=

u − ui ui+p − ui

Ni,p−1

(u)

+

ui+p+1 − u ui+p+1 − ui+1

Ni+1,p−1(u)

Sehingga v sama dengan m − p − 1. Ada beberapa jenis vektor knot, tetapi satu yang sangat tepat untuk tujuan adalah vektor knot nonperiodik (atau ter-

Universitas Sumatera Utara

tutup atau terbuka), yang berbentuk

15



U = a, . . . , a, up+1, . . . , b, . . . , b 
p+1 p+1

(3.5)

yaitu knot pertama dan terakhir mempunyai p + 1 pergandaan. Dimungkinkan menunjukan bahwa fungsi C(u) adalah p−1 kali terdiferensialkan kontinu. Dalam tulisan ini, akan mengkaji B-spline kubik, yaitu akan tetapkan p sama dengan 3, yang memberi invers fungsi distribusi kumulatif terdiferensialkan kontinu dua kali. Tetapi sifat yang paling penting dari B-spline dalam konteks tersebut adalah bahwa, dengan pilihan basis dan knot ini C(u) naik monoton jika titik-titik kontrol memiliki sifat yang sama, yaitu jika

P0 ≤ P1 ≤ . . . ≤ Pv
Seperti yang akan dijelaskan dalam bagian berikutnya, sifat ini dijamin secara algoritmik dalam prosedur penafsiran. Untuk penyederhanaan presentase, akan kita asumsikan bahwa semua variat acak adalah nonparametrik, sementara di dalam prakteknya (seperti dalam aplikasi riil), bisa mencampur distribusi parametrik dan distribusi nonparametrik. Kemudian masalah penaksiran nonparametrik adalah untuk menyelesaikan, untuk suatu R tetap,

min g
x∈X Pi,j

1 R

R

f (x, ξr)

r=1

dengan batasan tambahan bahwa, untuk j = 11, . . . , m,

(3.6)

P0j ≤ P1j ≤ . . . ≤ Pvj

(3.7)

Universitas Sumatera Utara

dan
v
|ξr|j = PijNi,p(ςr)
i=0
di mana ςr adalah pengambilan dari distribusi uniform [0,1].

16 (3.8)

3.2 Metode Daerah-Kepercayaan untuk Penaksiran Efisien
Untuk menyelesaikan program (2), dengan batasan bahwa titik-titik kontrol yang menggambarkan invers fungsi distribusi kumulatif adalah monoton, mula-mula substitusikan (8) dalam (6), yang menghasilakn fungsi tujuan (potensial nonkonveks) f(w)de f gˆ(x, P ) untuk meminimalkan terhadap wde f (x, P ) atas daerah layak X × C di mana C didefinisikan oleh

m
C = {(P0j, . . . , Pvj) sedekian hingga P0j ≤ P1j ≤ . . . ≤ Pvj }
i=1

(3.9)

Untungnya, tidak sulit membuktikan bahwa C adalah himpunan konveks, sehingga hasil konsistensi, terutama Teorema 1, bisa diaplikasikan, sepanjang juga mengasumsikan bahwa iterat tetap di dalam himpunan kompak. Jika hanya ada satu koefisien nonparametrik, C memdefenisikan v variabel terurut. Kemudian cas disebut orde-simplex.

Kunci algoritma adalah bahwa proyeksi pada orde-simplex bisa dilaksanakan dengan mudah dan efesien, karena beberapa algoritma efesien dengan kompleksotas O(n) dirancangan untuk tugas ini dan perluasannya pada pergandaan Cartesius mudah karena algoritma tersebut bisa diaplikasikan secara bebas atas setiap himpunan bagian variabel monoton.

Universitas Sumatera Utara

17
Karena operator proyeksi efesien pada X ×C mudah dibentuk dan kemudian bisa dieksploitasi dengan berhasil dalam penyelesaian masalah optimisasi nonlinier yang didefenisikan oleh (3.6) (dengan R tetap), (3.7)dan (3.9). Ini dicapai dengan algoritma daerah-kepercayaan terspesialisasi yang efesien secara perhitungan yang sekarang dinyatakan.
Algoritma 1: Algoritma daerah-kepercayaan terproyeksikan
Tahap 0. Inisialisasi. Titik awal w0 ∈ C dan jari-jari daerah-kepercayaan awal ∆0 diberikan. Konstanta η1, η2, γ1 dan γ2 juga diberikan dan memenuhi

0 < η1 ≤ η2 < 1dan0 < γ1, ≤ γ2 < 1

(3.10)

Hitung f (w0) dan tetapkan k = 0.
Tahap 1. Defenisi model. Bentuk model mk dalam daerah-kepercayaan Bk, yang didefinisikan sebagai

Bk = {wsedemikian hingga w − wk ≤ ∆k}
Tahap 2. Tahap perhitungan. Hitunglah tahap s(k) yang mereduksi secukupnya model m(k) dan sedemikian hingga w(k) + s(k) ∈ (X × C) ∩ Bk. Tahap 3. Penerimaan titik percobaan. Hitung f (w(k) + s(k)) dan definisikan

ρk

=

f (w(k)) mk (w(k) )

− −

f (w(k) + s(k)) mk(w(k) + s(k))

(3.11)

Jika ρ ≥ η1, maka defenisikan w(k+1) = w(k) + s(k): untuk lainnya definisikan w(k+1) = w(k).

Universitas Sumatera Utara

Tahap 4. Update jari-jari daerah kepercayaan.

18



 [∆k, ∞)

jika ρk η2

∆k+1 = [γ2∆k, ∆k] jika ρk ∈ [η1, η2)

 [γ1∆k, γ2∆k] jika ρk < η1

tambahkan k dengan 1 dan pergi ke Tahap 1.

Dalam uraian ini, nilai layak untuk konstanta-konstanta dari (3.10) misalnya diberikan oleh

η1 = 0, 01, η2 = 0, 9danγ1 = γ2 = 0, 5

tetapi nilai lainnya bisa dipilih. pilih norm Euclidean dalam defenisi Bk. Akhirnya

diikuti praktek yang biasa dan didefinisikan model mk merupakan fungsi kuadratik

dengan tipe

mk (w(k)

+

s)

=

f (w(k))

+

∇wf (w(k))Ts

+

1 2

sT

Hk

s,

di mana Hk adalah Hessian ∇w2 wf (w(k)) atau aproksimasinya. Dalam percobaan tersebut, digunakan aproksimasi SR1, apakah itu aproksimasi BFGS dengan keberhasilan serupa.
Jika ρk ≥ η∇1 dalam tahap 1, iterasi k disebut berhasil karena titik kandidat w(k) + s(k) diterima; dalam hal lain iterasi dinyatakan tidak berhasil dan titik baru ditolak. Jika ρk ≤ ∇η2, persesuaian antara model dan fungsi sangat baik, dan iterasi tersebut sangat berhasil. kemudian ini menunjukan peningkatan jari-jari daerah-kepercayaan, seperti dalam tahap 4, untuk memungkinkan tahap yang lebih panjang pada iterasi berikutnya.

Universitas Sumatera Utara

19
Tahap s(k) dihitung dengan usaha pertama untuk mengidentifikasi batasan aktif dengan meminimalkan model sepanjang path gradient hasil proyeksi (dengan menggunakan proyeksi total pada X × C).
3.3 Percobaan Numerik
Melakukan percobaan algoritma yang diajukan dalam konteks teori pilihan diskrit, khususnya dibidang masalah logit campuran. Ini merupakan perkembangan belakangan ini dalam teori dan sekarang ini digunakan dalam berbagai konteks, misalnya politik, marketing, transportasi dan keuangan, untuk menjelaskan perilaku orang/keluarga/perusahaan yang menyatakan pilihannya antara sekumpulan hingga alternatip. Dalam kerangka ini, heterogenitas citarasa pada populasi ditampung dengan menggunakan model parametrik yang variabel acaknya mempunyai distribusi dengan bentuk fungsional fasefisik. Dalam sebagian besar aplikasi yang dipublikasikan hingga saat ini, distribusi yang dipilih adalah distribusi normal. Akan tetapi, penggunaan distribusi tanpa batas(seperti distribusi normal) tampaknya tidak dapat pada sejumlah kasus, terutama bila sifat-sifat tertentu diasumsikan dinilai positip(atau negatip) oleh semua individu.
Untuk mencegah kesulitan ini, model-model belakangan ini menggunakan distribusi dengan batas, yang kerapkali diperoleh sebagai transformasi normal sederhana. Train dan Sonnier menetapkan model logit campuran dengan distribusi lognormal, distribusi normal dihapus dan distribusi Johnson Sb yang dibatasi di kedua sisi. Pendekatan nonparametrik terbatas atau pendekatan semiparametrik juga ada diajukan. Seperti model logit campuran titik massa, model campuran GEF diskrit atas himpunan berhingga titk-titik pendukung yang berbeda, teknik kepadatan nonparametrik yang didasarkan pada polinomial Legendre. Karena
Universitas Sumatera Utara

20
itu, asumsi pendukung A.6 dengan batasan bisa dianggap tepat, karena perilaku ekstrim, yang bersesuaian dengan nilai (absolut) X yang sangat besar, biasanya kurang mendapat sambutan Juga perlu dicatat bahwa jika penggunaan distribusi normal diketahui mempermudah proses penaksiran, namun kegagalan dalam konvergensi ada dilaporkan untuk distribusi tanpa batas atau distribusi nonparametrik, dan juga kesulitan yang ditimbulkan keberadaan yang banyak maksimum lokal. Dalam aplikasi berikutnya, kumpulan i individu, dimana setiap individu i harus memilih satu alternatif di dalam himpunan berhingga Ai. Asosiasikan utilitas Uij pada setiap alternatip Aj dari Ai, sebagai dipersepsikan oleh individu i. Sejalan dengan teori ekonometrik yang diterima, juga diasumsikan bahwa individu yang bertujuan memaksimalkan utilitasnya, tetapi utilitas ini tidak diamati sepenuhnya.
Kemudian teknik standar adalah mendekomposisikan utilitas Uij dalam jumlah bagian terukur deterministik Vij (β), dimana β adalah vektor yang akan ditaksir dan bagian acak yang tidak diamati εij. Maka Probabilitas bahwa individu i memilih alternatip j diberikan oleh:

Pij(β) = P [Vij (β) + εij ≥ Vik(β) + εik, ∀Ak ∈ Ai]
Rumusan probabilitas tentu saja tergantung pada pilihan distribusi untuk εij . Bila εij diasumsikan tidak tergantung dan berdistribusi Gumbel indentik antara individu-individu dan alternatip-alternatip, diperoleh rumus probabilitas logit tradisional

Pij =

eVij (β ) eAi Vij
k=1

(β)

def

Lij

(β

)

(3.12)

Universitas Sumatera Utara

21
Dalam kerangka logit campuran, diasumsikan bahwa β adalah vektor konstanta, tetapi menganggapnya sebagai vektor acak dengan fungsi distribusi kumulatif FB(β) sehingga probabilitas pada ruas kiri dari (3.12) sekarang bersyarat atas realisasi β, dan probabilitas tak bersyarat menjadi

Pij = EB[Lij(β)] =

Lij (β )dPB (β )

(3.13)

Karena biasanya tidak bisa menaksir β secara langsung, diasumsikan bahwa ini dapat dinyatakan sebagai B = b(Γ, θ), di mana Γ adalah suatu vektor acak dan θ suatu vektor parameter-parameter konstan, yang lagi-lagi akan ditaksir.
Dalam bentuk lain, di asumsikan famili distribusi untuk B yang diparameterisasikan oleh θ. Jika secara tradisi vektor β kontinu, dapat ditulus (3.13) sebagai

Pij(θ) = Lij (γ, θ)φ(γ, θ)dγ
di mana π(γ, θ) adalah kepadatan B dengan vektor parameter θ.
Dalam kasus bila individu yang sama bisa menyatakan beberapa pilihan, maka untuk setiap individu di amati barisan pilihan yi = (ji1, . . . , jiT i), yang dapat diasumsikan berkorelasi. (Kasus sedemikian disebut sebagai ”data panel”).
Cara mudah mengakomodir situasi ini Adalah mengasumsikan heterogenitas hanya ada pada tingkat populasi, tetapi tidak ada pada tingkat individu. Maka probabilitas mengamati pilihan individu diberikan oleh produk probabilitas logit Liju (Train [41]):

Universitas Sumatera Utara

22

Piyi (θ) =

Ti
Lijit (γ, θ) ϕ (γ, θ) dγ
t=1

Kemudian vektor dari parameter-parameter yang tidak diketahui θ ditaksir dengan memaksimalkan fungsi log-likelihood, yaitu dengan menyelesaikan masalah

1I

max LL (θ) = max θ θI

In Piyi (θ)

i=1

(3.14)

di mana yi adalah vektor pilihan-pilihan alternatif yang diambil oleh individu i. Seperti yang ditegaskan dalam Bastin et al. [6],(3.14) bisa dipandang sebagai perluasan dari (3.1), dan SAA yang bersesuaian adalah

max LLR (θ) = max 1 θ θI

I

In SPiRyi (θ) dimana

i=1

S PiRyi

(θ)

=

1 R

R

Ti
Lijit (γri , θ)

ri=1 t=1

(3.15)

dan R adalah jumlah pengambilan acak γr1 . Program SAA (3.15) dapat diselesaikan secara langsung dengan algoritma 1, dengan menggunakan bentuk minimisasi ekuivalen SLLR(θ). Di gunakan vektor nol sebagai titik total dalam percobaan.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4 PENYELESAIAN PROGRAM STOKASTIK TAK LINIER
Pertama disahkan prosedur penaksiran atas data hasil simulasi. Berharap untuk memperbaikinya dan menemukan distribusi utama, dan membandingkannya dengan penaksiran parametrik awal. Dalam percobaan simulasi tersebut, diambil populasi sintetik yang terdiri dari 2000 individu, yang masing-masing memberikan satu pengamatan. Rancangan tersebut berisi empat alternatif, yang berdistribusi normal dengan parameter-parameter N (0, 5; 1) dan tiga variabel bebas, satu normal, satu lognormal dan satu spline. Parameter-parameter yang digunakan untuk distribusi ini diberikan dalam tabel 4.1. Kemudian ditaksir empat model, satu dengan menggunakan kelompok distribusi yang tepat, satu dibentuk hanya dengan normal, satu dibentuk hanya dengan lognormal, satu hanya menggunakan spline.
Dalam prosedur penaksiran, X = Rn, agar sesuai dengan teori yang dikembangkan, di asumsikan bahwa vektor lengkap iterate-iterate tetap didalam satu himpunan. Di pilih 5 titik knot berjarak sama per aproksimasi spline, yaitu dengan memperhitungkan pengulangan dalam bentuk (3.5), dipilih
U = {0, 0, 0, 0, 0, 25, 0, 5, 75, 1, 1, 1, 1}
Hal terburuk diperoleh bila semua distribusi diasumsikan lognormal, dimana sebaiknya lognormal tidak dapat memuat koefisien negatif. Penggunaan normal memberikan kombinasi yang baik, sekalipun tidak dapat menyatakan fakta bahwa koefisien yang bersesuaian dengan lognormal dalam spesifikasi awal seharusnya positif. Ini sesuai dengan hasil yang dipaparkan dalam pembahasan
23
Universitas Sumatera Utara

24

lainnya, terutama dalam Train dan Weeks. Speksifikasi model yang hanya diben-

tuk atas spline mengungguli semua model lainnya dalam bentuk nilai optimal

log-likelihood dan telah mendekati hasil yang diperoleh dengan spesifikasi yang

tepat. Akan tetapi, perbedaannya adalah pada akurasi pengambilan sampel, jadi

tidak ada kesimpulan kuat yang bisa dicapai, tetapi tidak bisa mengesampingkan

kesesuaian atas data sampel. Konvergensi numerik dengan hanya-spline lebih

lambat jika yang diinginkan hanya speksifikasi. Tetapi, hal ini juga tidak karena

kedua parameter pertama melannggar Asumsi A.6

Normal Lognormal
Spline Log-likelihood

Tabel 4.1 Kalibrasi atas data hasil simulasi

Koefisien Model Normals Lognormals

Nyata Sebenarnya

0.0(µ)

0.025

0.013

-26.369

2.0(s)

2.200

2.069

16.648

0.0(µ) 1.0(s)

0.0322 0.880

1.262 0.924

-0.600 0.884

-15.0 -3.0 -0.5 0.0 0.5 3.0 15.0
-

-6.157 -6.157 0.134 0.6091 0.6091 0.6091 27.076 -1.213

0.135

-28.532

24.780942 2.213.822

-1.216

-1.268

Splines
-16.783 -1.125 -1.125 1.439 1.439 7.163 -2.520 1.331 1.331 1.331 1.356 2.038 3.088 -6.086 -6.086 -0.0184 0.644 0.644 0.644 25.865 -1.212

Pengamatan yang sama bisa dilakukan pada tabel. 4.1 yang menjelaskan persesuaian antara fungsi distribusi kumulatif yang gsebenarnya dan taksiran yang berbeda-beda. Model lognormal semua berkinerja buruk bahkan untuk variabel

Universitas Sumatera Utara

25
kedua, sementara model terbaik, seperti yang diperkirakan, adalah model yang dispesifikasi dengan tepat, yang biasanya tidak ada dalam percobaan. model normal semua mencapai persesuaian yang baik, kecuali atas variabel terakhir.
Persesuaian untuk parameter berdistribusi lognormal lebih baik daripada yang diperkirakan, adalah model yang dispesifikasi denga tepat, yang biasanya tidak adadalam percobaan. Model normal semua mencapai persesuai yang baik, kecuali atas variabel terakhir.
Persesuaian untuk parameter berdistribusi lognormal lebih baik daripada yang diperkirakan, satu-satunya masalah adalah tidak terbatasnya jumlah mata uang dalam bentuk negatif, walaupun spesifikasi spline yang sebenarnya dibatasi. Model spline semuanya bisa dipandang sebagai kesepakatan bila tidak mempunyai informasi tentang distribusi yan sebenarnya. Persesuaian dengan parameter pertama dan ketiga sangat baik, sementara model memuat esensiparameter kedua, dengan cara yang lebih baik dari pada dengan model lognormal.
Akan tetapi, temuan-temuan ini harus diteliti lebih lanjut, karena denga konstruksi dua hari parameter adalah simetris, seperti halnya distribusi normal. Kondisi swdemikian mendukung distribusi normal, tetapi diharapkan sebaliknya terjadi bila distribusi sangat asimetrik.
Hal ini mendorong untuk merancang percobaan kedua, dimana sekarang digunakan dua variabel bebas, satu lognormal dan satu spline, untuk parameterparameter yang dipilih dapat menjamin normal asimetri. seperti yang digambarkan dalam tabel 4.2. semua model normal berkinerja buruk bila dibandingkan dengan formulasi lainnya, sementara model lognormal bisa diterima. Spesifikasi yang sebenarnya lebih baik, tetapi model spiline memberikan nilai yang baik.
Universitas Sumatera Utara

26

Distribusi Lognormal
Spline
Log-likelihood

Tabel 4.2 Koefisien
Nyata 0.5(µ) 2.0(σ)
-1.0 -0.5 0.0 0.5 3.0 12.0 15.0
-

Kalibrasi data simulasi kasus 2

Model Normals Lognormals

Sebenarnya

-0.40642264 1.209

-0.360

18.074.374

1.278

1.625

-0.564 -0.564 -0.564 1.456 1.863 13.454 13.454 -1.100

1.526 2.024

-0.831 32.983.643

-1.108

-1.103

Splines
-0.337 -0.337 0.222 1.151 1.151 3.446 27.123 -0.543 -0.543 -0.543 1.317 2.246 13.240 13.240 -1.099

Kedua kasus ini menunjukan bahwa sebuah contoh parameter dapat memberi penjelasan yang baik tentang taksiran-taksiran yang ada, tetapi juga dapat sebuah kesalahan dari ketelitian yang memberikan hasil yang sangat buruk, suatu parameter tidak dapat mewakili keseluruhan dari hasil yang diharapkan karenadalam setiap percobaan selalu terdapat kekurangan yakni ketidakjelasan data.

4.1 Aplikasi Pada Bidang Keuangan
Algoritma yang dikembangkan diaplikasikan pada masalah keuangan tentang intervensi bank pusat dan dinamika di pasar devisa (FX). Mengintervensi pasar FX merupakan proses yang kompleks. Baru-baru ini, beberapa tulisan penelitian mengkaji faktor-faktor yang menentukan intervensi.
Kesimpulan utama adalah bahwa intervensi cenderung dilakukan untuk mengatasi penyimpangan besar nilai tukarnilai mata uang dari masa sebelumnya.

Universitas Sumatera Utara

27

Eksistensi non-intervensi juga telah dipaparkan, yang menunjukan bahwa Bank of Japan (BoJ), yang melakukan intervensi atas pasar FX lebih dari 300 kali sejak awal tahun 1990-an, dan memegang peranan utama dalam melakukan operasi berskala sangat besar.

Data yang digunakan untuk analisa dikumpulkan dari website Kementerian

Keuangan Jepang (di mana data tersebut tersedia untuk publik) Periode april

1991 hingga September 2004. Untuk setiap intervensi, tanggal yang tepat, jum-

lah mata uang yang terlihat diketahui; database memuat data untuk total 3497

hari dagang resmi. Dalam situasi tertentu di mana intervensi dimungkinkan, ada

empat hasil yang mungkin dari keputusan bank sentral: tidak ada intervensi-

nitervensi publik, intervensi rahasia yang terdeteksi pasar (lihat tabel 4.3 sebagai

rincian tentang keputusan BoJ adalah periode 1991-2004).

Tabel 4.3 Keputusan Bank of japan 1991-2004

Hari dagang Intervensi Publik Tidak terdekteksi Terdeteksi

3497 342 212

74

56

Kembali diperoleh X = Rn dalam kasus ini. Seperti halnya untuk data hasil simulasi, pilih 5 titik knot berjarak sama per aproksimasi spline.
Model pilihan diskrit digunakan untuk menganalisa keputusan BoJ, untuk menentukan faktor-faktor yang mempengaruhi intervensi atas pasar FX dan jenisjenisnya. keempat hasil yang dinyatakan membentuk himpunan alternatip yang tersedia untuk BoJ. Variabel didaftarkan dalam tabel 4.4. Koefisien relatif ditaksir sebagai sepesifikasi pada suatu alternatif. Untuk deskripsi prosedur yang lengkap untuk menghitung variabel ini, lebih lengkap dipaparkan dalam Beine dkk.
Hasil penaksiran model dipaparkan dalam tabel 4.3, di mana membandingkan ketiga formulasi model. Taksiran koefisien dan tingkat signifikasinya dila-

Universitas Sumatera Utara

28
porkan untuk (a) model logit, (b) model logit campuran dengan komponen kesalahan dan parameter acak atas variabel ”jumlah” (diasumsikan berdistribusi normal), (c) logit campuran dengan komponen kesalahan dan parameter acak atas ”jumlah”dengan distribusi nonparametrik (B-Spline).
Komponen kesalahan dispesifikasi di sini untuk menjelaskan korelasi antar alternatif yang berbagai rahasia dalam intervensi bank sentral. Kesesuaian model meningkat secara signifikan dari formulasi logit ke formulasi logit campuran: penggunaan B-spline juga menghasilkan peningkatan nilai hasil log-likelihood. Dinyatakan bahwa variabel yang signifikan tetap mempunyai tanda yang sama atas ketiga spesifikasi yang berbeda dan bahwa variabel tersebut sesuai dengan perkiraan para analisa keuangan. Komponen kesalahan dilaporkan signifikan, yang menegaskan hipotesa korelasi antara alternatip-alternatip yang berbagi komponen kesalahan ini. Penafsiran ekonomis rinci atas hasil-hasil yang diperoleh jelas dipaparkan dalam Beine dkk, kemudian difokuskan perhatian pada apa yang terjadi pada variabel ”jumlah”.
Khususnya, bankir pusat memaparkan bahwa intervensi besar jauh lebih besar kemungkinannya terdeteksi. Koefisien variabel jumlah yang memegang peranan yang signifikan dalam setiap keputusan intervensi ditemukan positip dalam formulasi logit (seperti yang diperkirakan).
Bila koefisien yang sama diandaikan berdistribusi normal sebagian besar (53%) keputusan intervensi dicirikan oleh nilai negatip dari parameter ”jumlah”. Untuk mengatasi masalah ini diadopsilah distribusi nonparametrik, yang menghasilkan koefisien berbatas positip dalam interval [0,01, 1,88].
Model spline juga menginformasikan bahwa sebagian besar waktu (70%), jumlah yang diinvestasikan terkait dengan parameter rendah, seperti yang dia-
Universitas Sumatera Utara

29

jukan model logit sebelumnya, walaupun faktor ini lebih penting pada sepertiga

waktu. Dari sudut pandang parameter ”jumlah” rendah ini, layak kiranya berpikir

apakah model logit campuran berkinerja baik hanya karena komponen kesalahan.

Tabel 4.4 Variabel bebas koefisien relatif

W (tidak ada keputusan intervensi)

Jangka pendek Jangka menengah

Tingkat absolut penyimpangan nilai tukar jangka pendek (%) Tingkat absolut i penyimpangan nilai tukar jangka

Tak bersesuaian Pernyataan

menengah (%) Tingkat absolut ketaksesuaian nilai tukar (%) 1 jika otoritas mengeluarkan pernyataan yang menyatakan ketidak nyamanan dengan nilai tukar atau mene-

gaskan/membahas intervensi pada hari operasi

Intervensit−1 RVt−1

1 jika ada intervensi resmi sehari sebelumnya Nilai tukar merealisasikan perubahan hari sebelumnya, ditaksir di akhir hari kerja.

Z(proses publik)

Kecondongan

1 jika intervensi berusaha membalikkan trend nilai tukar belakangan ini

Laporan sebelumnya 1 jika intervensi yang dideteksi berakhir berhasil

Inkonsistensi

1 jika arah intervensi tidak sesuai dengan penurunan

nilai tukar

Jumlah pernyataan Jumlah intervensi verbal dari otoritas yang

mengisyaratkan ketidak-nyamanan denga nilai tukar

dalam 5 hari sebelum intervensi

X(proses deteksi)

Jumlah

Jumlah yang diinvesatasikan dalam intervensi setiap

hari

Persetujuan

1