Carilah G z dengan menghitung
∫
− ∞
∞
[
∂ H x , z ∂ z
]
2 dx
2.5 Distribusi Normal Bivariat
Mari kita selidiki fungsi f x , y =
1 2 π σ
1
σ
2
√
1− ρ
x
e
− q 2
;−∞x∞;−∞ y ∞ dengan
σ
1
¿ 0 , σ
2
0 ;−1 ρ1
q= 1
1−ρ
2
[
x −μ
1
σ
1 2
− 2 ρ
x−μ
1
y −μ
2
σ
1
σ
2
+ x−μ
2
σ
2 2
]
Kita akan menunjukkan bahwa 1. fx,y adalah fdp bersama
2. X adalah N μ
1
, σ
1 2
dan Y adalah N μ
2
, σ
2 2
3. ρ adalah koefisien korelasi dari X dan Y.
Suatu fdp bersama dari bentuk ini disebut fdp normal bivariat dan peubah acak X dan Y dikatakan mempunyai distribusi normal bivariat.
Bahwa fungsi tidak negatif fx,y secara nyata fdp bersama dapat dilihat sebgaia berikut. Tentukan f
1
x melalui f
1
x =
∫
¿ ∞
∞
f x , y dy Sekarang
1− ρ
2
q=
[
x−μ
1
σ
1 2
− 2 ρ
x −μ
1
y−μ
2
σ
1
σ
2
+ x−μ
2
σ
2 2
]
= y−b
σ
2 2
+ 1−ρ
2
x−μ
1
σ
1 2
Di mana b=μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
. Jadi
f
1
x = ¿
exp
[
− x −μ
1 2
2σ
1 2
]
σ
1
√
2 π
∫
− ∞
∞
exp
{
− y−b
2 2
[
2 σ
2 2
1− ρ
2
]
}
σ
2
√
1− ρ
2
√
2 π dy
Karena maksud dari
integrasi, integran dari integral dalam pernyataan untuk
f
1
x dan dipertimbangkan sebagai fdp normal dengan rataan b dan variansi σ
2 2
1−ρ
2
. Berarti integral ini sama dengan satu dan
f
1
x = ¿
exp
[
− x −μ
1 2
2σ
1 2
]
σ
1
√
2 π ;−∞x∞
Karena
∫
− ∞
∞
∫
− ∞
∞
f x , y dydx=
∫
− ∞
∞
f
1
x dx=1 fungsi tidak negatif fx,y adalah fdp dari dua peubah acak jenis kontinu X dan Y. sesuai dengan
itu f
1
x adalah fdp marginal dari X, dan X dilihat menjadi
N μ
1
, σ
1 2
. Dengan cara seperti itu bahwa Y adalah
N μ
2
, σ
2 2
. Selanjutnya dari pengebangan di atas
f x , y =f
1
x
{
1 σ
2
√
1−ρ
2
√
2 π exp
[
− y −b
2
2 σ
2 2
1− ρ
2
]
}
di mana b=μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
Sesuai dengan itu , factor kedua dalam ruas kanan persamaan di atas adalah fdp bersyarat dari Y,diberikan X = x adalah normal dengan rataan
μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
dan variansi σ
2 2
1−ρ
2
.Jadi dengan distribusi normal bivariat,rataan bersyarat dari Y, diberikan X = x, adalah linear dalam x dan diberikan oleh
E
[
Y ∨x
]
= μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
Karena koefisian x dalam rataan bersyarat linear E
[
Y ∨x
]
ini adalah
ρ σ
2
σ
1
dan karena
σ
1
dan σ
2
mewakili simpangan baku,dalam kenyataan bilangan
ρ
ada, koefisien korelasi X dan Y
Dalam cara yang serupa kita dapat menunjukkan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah distribusi normal N
μ
1
+ ρ
σ
1
σ
2
x−μ
2
, σ
1 2
1− ρ
2
Contoh 1
Misalkan kita andaikan bahwa dalam suatu populasi pasangan perkawinan tertentu, X
1
tinggi suami dan X
2
tinggi istri mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter μ
1
= 5,8
kaki , μ
2
= 5,3 kaki , σ
1
= σ
2
= 0,2 kaki dan ρ=0,6 kaki
Fpm bersyarat dari X
2
diberikan X
1
= 6,3 adalah normal dengan rataan 5,3 + 0,66,3 -5,8
= 5,6. Dan simpangan baku 0,2
√
1−0,36=0,16. Sesuai dengan itu diberikan bahwa tinggi suami adalah 6,3 kaki, peluang bahwa isterinya mempunyai tinggi antdapat ara 5,28 dan 5,92
kaki adalah
P 5,28X
2
5,92∨ X
1
= 6,3
= ϕ
2 −
ϕ −
2 =
0,954
Interval 5,28,s,92 dapat beralasan sebagai interval prediksi 95,4 untuk tinggi istri diberikan X
1
= 6,3
Fpm distribusi normal bivariat dapat ditentukan sebagai berikut. Kita mempunyai M
t
1
,t
2
=
∫
− ∞
∞
∫
− ∞
∞
e
t
1
x+t
t
y
f x , y dydx
= e
t
1
x
f
1
x [ ¿
∫
− ∞
∞
e
t
2
y
f
2∨1
y ∨x dy ]
∫
− ∞
∞
¿ untuk semua nilai
t
1
dan t
2
. Integral dalam kurung adalah fpm dari fdp bersyarat f
2∨1
y∨x . Karena f
2∨1
y∨x adalah fdp normal dengan rataan
μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
dan variansi σ
2 2
1−ρ
2
maka
∫
− ∞
∞
e
t
2
y
f
2∨1
y ∨x dy =exp
{
t
2
[
μ
2
+ ρ
σ
2
σ
1
x−μ
1
]
+ t
2 2
σ
2 2
1− ρ
2
2
}
Sesuai dengan itu ,
M t
1
,t
2
dapat ditulis dalam bentuk exp
{
t
2
μ
2
− t
2
ρ σ
2
σ
1
μ
1
+ t
2 2
σ
2 2
1−ρ
2
2
}
∫
− ∞
∞
exp
[
t
1
+ t
2
ρ σ
2
σ
1
x
]
f
1
x dx
Tetapi E e
tx
= exp
[
μ
1
t+ t
2
σ
1 2
2
]
untuk semua nilai real t
Seuai dengan itu , jika kita ambil t=t
1
+ t
2
ρ σ
2
σ
1
, kita melihat bahwa M t
1
,t
2
diberikan oleh
exp
{
t
2
μ
2
− t
2
ρ σ
2
σ
1
μ
1
+ t
2 2
σ
2 2
1−ρ
2
2 +
μ
1
t
1
+ t
2
ρ σ
2
σ
1
+ σ
1 2
t
1
+ t
2
ρ σ
2
σ
1 2
2
}
atau ekuivalen M
t
1
,t
2
= exp
[
μ
1
t
1
+ μ
2
t
2
+ 1
2 σ
1 2
t
1 2
+ 2 ρ σ
1
σ
2
t
1
t
2
+ σ
2 2
t
2 2
]
Berminat untuk memperhatikan bahwa fpm M t
1
,t
2
koefisien korelasi diambil sama dengan nol,maka
M t
1
,t
2
= M
t
1
, 0 M
0,t
2
Jadi X dan Y independen apabila
ρ=0
. Jika sebaliknya M
t
1
,t
2
= M
t
1
, 0 M
0,t
2
kita mempunyai e
ρ σ
1
σ
2
t
1
t
2
= 1 . Karena masing-masing σ
1 2
dan σ
2 2
positif maka
ρ=0
Teorema 3
Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan rataan μ
1
dan μ
2
variansi
σ
1 2
dan σ
2 2
positif, dan koefisien korelasi ρ .Maka X dan Y independen jika dan hanya jika
ρ=0
Soal –soal Latihan 2.5
1. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ
1
= 2,8 , μ
2
= 110,
σ
1 2
= 0,16 , σ
2 2
= 100 dan ρ =0,6 Hitunglah
a. P 106 y 124
b. P 106 y 124∨X=3,2
2. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut
μ
1
= 3
,
μ
2
= 1, σ
1 2
= 16 , σ
2 2
= 25 dan
ρ
=0,6. Tentukan peluang bahwa a.
P 3 y 8
b. P 3 y 8∨ X=7
c. P −3 X 3 P −3X 3∨Y =−4
3. Jika M t
1
,t
2
adalah fpm dari distribusi normal bivariat , hitung kovariansi dengan menggunakan rumus
∂
2
M 0,0 ∂t
1
∂t
2
= ∂ M 0,0
∂ t
1
∂ M 0,0 ∂ t
2
Sekarang ambil
ψ t
1
,t
2
= ln M
t
1
, t
2
. Tunjukkan bahwa ∂
2
ψ 0,0 ∂ t
1
∂ t
2
memberikan langsung kovariansi ini.
4. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ
1
= 20 , μ
2
= 40,
σ
1 2
= 4 , σ
2 2
= 4 dan ρ =0,6. Carilah interval terpendek sehingga 90 adalah peluang bersyarat bahwa Y ada dalam interval ini diberika X = 22
5. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut
μ
1
= 5
,
μ
2
= 10, σ
1 2
= 1, σ
2 2
= 25 dan
ρ
Jika 4 Y 16∨X=5 =0,954 , tentukan
ρ
6. Katakan koefisien korelasi antara tinggi suami dan istriadalah 0,70 atau rataan tinggi laki- laki 5kaki 10 inci dengan simpangan baku 2 inci dan rataan tinggi perempuan 5 kaki 4
inci dengan simpangan baku 1,5 inci . Andaikandintribusi normal bivariat .Berapa perkiraan terbaik tinggi perempuan yang mempunyai tinggi suami 6 kaki- Carilah
interval prediksi 95 untuk tingginya.
7. Misalkan f x , y = 1
2 π exp
[
− 1
2 x
2
+ y
2
]
{
1+xy exp
[
− 1
2 x
2
+ y
2
− 2
]
}
di mana
;−∞x∞;−∞ y ∞.
Jika f x , y adalah fdp bersama tetapi bukan fdp normal bivariat . Tunjukkan bahwa secara nyata adalah fdp bersama dan masing-masing fdp
marginal adalah normal. Jadi kenyataan bahwa dan masing-masing fdp marginal adalah normal tidak mengakibatkan fdp bersama adalah bivariat normal