Distribusi Normal Bivariat BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS

Carilah G z dengan menghitung ∫ − ∞ ∞ [ ∂ H x , z ∂ z ] 2 dx

2.5 Distribusi Normal Bivariat

Mari kita selidiki fungsi f x , y = 1 2 π σ 1 σ 2 √ 1− ρ x e − q 2 ;−∞x∞;−∞ y ∞ dengan σ 1 ¿ 0 , σ 2 0 ;−1 ρ1 q= 1 1−ρ 2 [ x −μ 1 σ 1 2 − 2 ρ x−μ 1 y −μ 2 σ 1 σ 2 + x−μ 2 σ 2 2 ] Kita akan menunjukkan bahwa 1. fx,y adalah fdp bersama 2. X adalah N μ 1 , σ 1 2 dan Y adalah N μ 2 , σ 2 2 3. ρ adalah koefisien korelasi dari X dan Y. Suatu fdp bersama dari bentuk ini disebut fdp normal bivariat dan peubah acak X dan Y dikatakan mempunyai distribusi normal bivariat. Bahwa fungsi tidak negatif fx,y secara nyata fdp bersama dapat dilihat sebgaia berikut. Tentukan f 1 x melalui f 1 x = ∫ ¿ ∞ ∞ f x , y dy Sekarang 1− ρ 2 q= [ x−μ 1 σ 1 2 − 2 ρ x −μ 1 y−μ 2 σ 1 σ 2 + x−μ 2 σ 2 2 ] = y−b σ 2 2 + 1−ρ 2 x−μ 1 σ 1 2 Di mana b=μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 . Jadi f 1 x = ¿ exp [ − x −μ 1 2 2σ 1 2 ] σ 1 √ 2 π ∫ − ∞ ∞ exp { − y−b 2 2 [ 2 σ 2 2 1− ρ 2 ] } σ 2 √ 1− ρ 2 √ 2 π dy Karena maksud dari integrasi, integran dari integral dalam pernyataan untuk f 1 x dan dipertimbangkan sebagai fdp normal dengan rataan b dan variansi σ 2 2 1−ρ 2 . Berarti integral ini sama dengan satu dan f 1 x = ¿ exp [ − x −μ 1 2 2σ 1 2 ] σ 1 √ 2 π ;−∞x∞ Karena ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f x , y dydx= ∫ − ∞ ∞ f 1 x dx=1 fungsi tidak negatif fx,y adalah fdp dari dua peubah acak jenis kontinu X dan Y. sesuai dengan itu f 1 x adalah fdp marginal dari X, dan X dilihat menjadi N μ 1 , σ 1 2 . Dengan cara seperti itu bahwa Y adalah N μ 2 , σ 2 2 . Selanjutnya dari pengebangan di atas f x , y =f 1 x { 1 σ 2 √ 1−ρ 2 √ 2 π exp [ − y −b 2 2 σ 2 2 1− ρ 2 ] } di mana b=μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 Sesuai dengan itu , factor kedua dalam ruas kanan persamaan di atas adalah fdp bersyarat dari Y,diberikan X = x adalah normal dengan rataan μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 dan variansi σ 2 2 1−ρ 2 .Jadi dengan distribusi normal bivariat,rataan bersyarat dari Y, diberikan X = x, adalah linear dalam x dan diberikan oleh E [ Y ∨x ] = μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 Karena koefisian x dalam rataan bersyarat linear E [ Y ∨x ] ini adalah ρ σ 2 σ 1 dan karena σ 1 dan σ 2 mewakili simpangan baku,dalam kenyataan bilangan ρ ada, koefisien korelasi X dan Y Dalam cara yang serupa kita dapat menunjukkan distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y adalah distribusi normal N μ 1 + ρ σ 1 σ 2 x−μ 2 , σ 1 2 1− ρ 2 Contoh 1 Misalkan kita andaikan bahwa dalam suatu populasi pasangan perkawinan tertentu, X 1 tinggi suami dan X 2 tinggi istri mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter μ 1 = 5,8 kaki , μ 2 = 5,3 kaki , σ 1 = σ 2 = 0,2 kaki dan ρ=0,6 kaki Fpm bersyarat dari X 2 diberikan X 1 = 6,3 adalah normal dengan rataan 5,3 + 0,66,3 -5,8 = 5,6. Dan simpangan baku 0,2 √ 1−0,36=0,16. Sesuai dengan itu diberikan bahwa tinggi suami adalah 6,3 kaki, peluang bahwa isterinya mempunyai tinggi antdapat ara 5,28 dan 5,92 kaki adalah P 5,28X 2 5,92∨ X 1 = 6,3 = ϕ 2 − ϕ − 2 = 0,954 Interval 5,28,s,92 dapat beralasan sebagai interval prediksi 95,4 untuk tinggi istri diberikan X 1 = 6,3 Fpm distribusi normal bivariat dapat ditentukan sebagai berikut. Kita mempunyai M t 1 ,t 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e t 1 x+t t y f x , y dydx = e t 1 x f 1 x [ ¿ ∫ − ∞ ∞ e t 2 y f 2∨1 y ∨x dy ] ∫ − ∞ ∞ ¿ untuk semua nilai t 1 dan t 2 . Integral dalam kurung adalah fpm dari fdp bersyarat f 2∨1 y∨x . Karena f 2∨1 y∨x adalah fdp normal dengan rataan μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 dan variansi σ 2 2 1−ρ 2 maka ∫ − ∞ ∞ e t 2 y f 2∨1 y ∨x dy =exp { t 2 [ μ 2 + ρ σ 2 σ 1 x−μ 1 ] + t 2 2 σ 2 2 1− ρ 2 2 } Sesuai dengan itu , M t 1 ,t 2 dapat ditulis dalam bentuk exp { t 2 μ 2 − t 2 ρ σ 2 σ 1 μ 1 + t 2 2 σ 2 2 1−ρ 2 2 } ∫ − ∞ ∞ exp [ t 1 + t 2 ρ σ 2 σ 1 x ] f 1 x dx Tetapi E e tx = exp [ μ 1 t+ t 2 σ 1 2 2 ] untuk semua nilai real t Seuai dengan itu , jika kita ambil t=t 1 + t 2 ρ σ 2 σ 1 , kita melihat bahwa M t 1 ,t 2 diberikan oleh exp { t 2 μ 2 − t 2 ρ σ 2 σ 1 μ 1 + t 2 2 σ 2 2 1−ρ 2 2 + μ 1 t 1 + t 2 ρ σ 2 σ 1 + σ 1 2 t 1 + t 2 ρ σ 2 σ 1 2 2 } atau ekuivalen M t 1 ,t 2 = exp [ μ 1 t 1 + μ 2 t 2 + 1 2 σ 1 2 t 1 2 + 2 ρ σ 1 σ 2 t 1 t 2 + σ 2 2 t 2 2 ] Berminat untuk memperhatikan bahwa fpm M t 1 ,t 2 koefisien korelasi diambil sama dengan nol,maka M t 1 ,t 2 = M t 1 , 0 M 0,t 2 Jadi X dan Y independen apabila ρ=0 . Jika sebaliknya M t 1 ,t 2 = M t 1 , 0 M 0,t 2 kita mempunyai e ρ σ 1 σ 2 t 1 t 2 = 1 . Karena masing-masing σ 1 2 dan σ 2 2 positif maka ρ=0 Teorema 3 Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan rataan μ 1 dan μ 2 variansi σ 1 2 dan σ 2 2 positif, dan koefisien korelasi ρ .Maka X dan Y independen jika dan hanya jika ρ=0 Soal –soal Latihan 2.5 1. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ 1 = 2,8 , μ 2 = 110, σ 1 2 = 0,16 , σ 2 2 = 100 dan ρ =0,6 Hitunglah a. P 106 y 124 b. P 106 y 124∨X=3,2 2. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ 1 = 3 , μ 2 = 1, σ 1 2 = 16 , σ 2 2 = 25 dan ρ =0,6. Tentukan peluang bahwa a. P 3 y 8 b. P 3 y 8∨ X=7 c. P −3 X 3 P −3X 3∨Y =−4 3. Jika M t 1 ,t 2 adalah fpm dari distribusi normal bivariat , hitung kovariansi dengan menggunakan rumus ∂ 2 M 0,0 ∂t 1 ∂t 2 = ∂ M 0,0 ∂ t 1 ∂ M 0,0 ∂ t 2 Sekarang ambil ψ t 1 ,t 2 = ln M t 1 , t 2 . Tunjukkan bahwa ∂ 2 ψ 0,0 ∂ t 1 ∂ t 2 memberikan langsung kovariansi ini. 4. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ 1 = 20 , μ 2 = 40, σ 1 2 = 4 , σ 2 2 = 4 dan ρ =0,6. Carilah interval terpendek sehingga 90 adalah peluang bersyarat bahwa Y ada dalam interval ini diberika X = 22 5. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan parameter berturut – turut μ 1 = 5 , μ 2 = 10, σ 1 2 = 1, σ 2 2 = 25 dan ρ Jika 4 Y 16∨X=5 =0,954 , tentukan ρ 6. Katakan koefisien korelasi antara tinggi suami dan istriadalah 0,70 atau rataan tinggi laki- laki 5kaki 10 inci dengan simpangan baku 2 inci dan rataan tinggi perempuan 5 kaki 4 inci dengan simpangan baku 1,5 inci . Andaikandintribusi normal bivariat .Berapa perkiraan terbaik tinggi perempuan yang mempunyai tinggi suami 6 kaki- Carilah interval prediksi 95 untuk tingginya. 7. Misalkan f x , y = 1 2 π exp [ − 1 2 x 2 + y 2 ] { 1+xy exp [ − 1 2 x 2 + y 2 − 2 ] } di mana ;−∞x∞;−∞ y ∞. Jika f x , y adalah fdp bersama tetapi bukan fdp normal bivariat . Tunjukkan bahwa secara nyata adalah fdp bersama dan masing-masing fdp marginal adalah normal. Jadi kenyataan bahwa dan masing-masing fdp marginal adalah normal tidak mengakibatkan fdp bersama adalah bivariat normal