Analisis periodik pada faktorisasi grup abelian dengan order 33,34 dan 35

ABSTRAK
RIZKY SUSTI NINGRUM. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order
,
dan
. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI
MAS’OED.
Misalkan merupakan grup abelian berhingga dan
merupakan bilangan bulat. Grup
…
setidaknya satu dari himpunan
disebut -good jika dari tiap-tiap faktorisasi
periodik. Ini berarti terdapat
sehingga
. Jika tidak ada yang
bagian
periodik, maka disebut n-bad. Grup merupakan totally good jika n-good untuk semua nilai n
dengan
dan
yang mungkin. Karya ilmiah ini akan menganalisis 3-grup dengan order
dengan
dan

selanjutnya
dengan
. Pada
, selain itu 3-grup dengan
adalah totally good, 3-grup dengan
akhirnya, hasil menunjukkan bahwa 3-grup dengan order
order adalah 3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order adalah 4-good.
Kata kunci : faktorisasi, abelian, periodik.

ABSTRACT
RIZKY SUSTI NINGRUM. Periodic Analysis on the Factorization of Abelian Group of Order
,
and
. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI
MAS’OED.
Let
be a finite abelian group and
be an integer. A group
is -good if from each
… , it follows that at least one of the subsets

is periodic, in the sense
factorization
= . Otherwise, is said to be n-bad. On the other
that there exists
, such that
hand, is totally good if it is n-good for all possible values of n. In this paper we analyze a 3with
and
, another 3-group of order
with
and
, and
group of order
with
. The results show that the 3-group of order
is totally
also a 3-group of order
is 3-good but 2-bad, and the 3-group of order is 4-good.
good, the 3-group of order
Keywords : factorization, abelian, periodic.

I PENDAHULUAN

Latar Belakang
Berawal dari definisi grup periodik yaitu
misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di
sehingga .
, maka
disebut grup periodik dan disebut periode
dari . Serta fakta bahwa grup abelian
berhingga memiliki faktorisasi di bawah
operasi perkalian sehingga apabila
…
merupakan faktorisasinya maka
setiap unsur
dapat difaktorkan dalam
...
dengan
.
bentuk
Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu

apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya
ada satu faktornya yang periodik, jika tidak
ada yang periodik maka disebut n-bad, dan
apabila selalu n-good untuk setiap nilai
yang mungkin disebut totally good.
Kemudian hal-hal tersebut di atas
menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan
…
sembarang faktorisasi dari
grup G, untuk setiap nilai yang mungkin,
apakah grup
selalu n-good? Sehingga
merupakan totally good? atau justru n-bad?
Masalah yang dibahas di dalam karya
ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3grup berorder , dan . Adapun untuk 3akan dibahas untuk semua
grup berorder
nilai yang mungkin, yaitu
dan
.
dan

tidak
Sedangkan 3-grup berorder
dibahas untuk semua nilai yang mungkin,
yakni hanya
dan
untuk yang beruntuk yang berorder .
order , lalu
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk
menganalisis faktorisasi grup abelian pada

dan .
beberapa 3-grup dengan order ,
Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa
merupakan totally
3-grup dengan order
merupakan 3good, 3-grup dengan order
good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order
merupakan 4-good.
Sistematika Penulisan

Metode penulisan karya ilmiah ini adalah
studi pustaka yang materinya diambil dari
jurnal yang berjudul “The Factorization of
Abelian Group” oleh Khalid Amin tahun
1999.
Karya ilmiah ini terdiri dari tujuh bagian.
Bagian pertama berisi pendahuluan yang
terdiri atas latar belakang, batasan masalah,
tujuan, metode dan sistematika penulisan.
Bagian kedua adalah landasan teori yang
menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini yang
mencakup definisi-definisi, notasi, contoh,
sifat-sifat serta beberapa teorema dari
berbagai literatur yang dapat digunakan
sebagai landasan untuk mengembangkan
teorema dan lema lain di pembahasan
nantinya. Bagian ketiga berisi pembahasan
dan hasilnya berupa pembuktian-pembuktian
teorema dan lema berkenaan dengan
faktorisasi grup abelian berhingga yaitu 3,

dan
, serta
grup dengan order
perlakuannya dalam beberapa 3-grup dengan
tipe grup yang berbeda di beberapa kasus.
Bagian keempat berisi kesimpulan dan saran.
Bagian kelima adalah daftar pustaka dan
bagian keenam merupakan lampiran-lampiran
yang berisi pembuktian sifat dan teorema pada
landasan teori.

II LANDASAN TEORI
Himpunan dan Himpunan Bagian
Definisi Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek.
(Kurtz, 1992)
Himpunan dilambangkan dengan huruf
kapital seperti
, , , … , . Sedangkan

obyek dilambangkan dengan , , , … , .
Definisi Himpunan Bagian
Himpunan dikatakan himpunan bagian

dari himpunan
jika setiap anggota
merupakan anggota .
(Kurtz, 1992)
Notasi pada Himpunan
anggota himpunan .
bukan anggota himpunan .
himpunan bagian dari .
Setiap anggota himpunan .
Ada anggota himpunan .
anggota himpunan kecuali
.

I PENDAHULUAN

Latar Belakang

Berawal dari definisi grup periodik yaitu
misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di
sehingga .
, maka
disebut grup periodik dan disebut periode
dari . Serta fakta bahwa grup abelian
berhingga memiliki faktorisasi di bawah
operasi perkalian sehingga apabila
…
merupakan faktorisasinya maka
setiap unsur
dapat difaktorkan dalam
...
dengan
.
bentuk
Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu
apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya
ada satu faktornya yang periodik, jika tidak
ada yang periodik maka disebut n-bad, dan

apabila selalu n-good untuk setiap nilai
yang mungkin disebut totally good.
Kemudian hal-hal tersebut di atas
menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan
…
sembarang faktorisasi dari
grup G, untuk setiap nilai yang mungkin,
apakah grup
selalu n-good? Sehingga
merupakan totally good? atau justru n-bad?
Masalah yang dibahas di dalam karya
ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3grup berorder , dan . Adapun untuk 3akan dibahas untuk semua
grup berorder
nilai yang mungkin, yaitu
dan
.
dan
tidak
Sedangkan 3-grup berorder
dibahas untuk semua nilai yang mungkin,

yakni hanya
dan
untuk yang beruntuk yang berorder .
order , lalu
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk
menganalisis faktorisasi grup abelian pada

dan .
beberapa 3-grup dengan order ,
Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa
merupakan totally
3-grup dengan order
merupakan 3good, 3-grup dengan order
good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order
merupakan 4-good.
Sistematika Penulisan
Metode penulisan karya ilmiah ini adalah
studi pustaka yang materinya diambil dari
jurnal yang berjudul “The Factorization of
Abelian Group” oleh Khalid Amin tahun
1999.
Karya ilmiah ini terdiri dari tujuh bagian.
Bagian pertama berisi pendahuluan yang
terdiri atas latar belakang, batasan masalah,
tujuan, metode dan sistematika penulisan.
Bagian kedua adalah landasan teori yang
menjadi dasar penulisan karya ilmiah ini yang
mencakup definisi-definisi, notasi, contoh,
sifat-sifat serta beberapa teorema dari
berbagai literatur yang dapat digunakan
sebagai landasan untuk mengembangkan
teorema dan lema lain di pembahasan
nantinya. Bagian ketiga berisi pembahasan
dan hasilnya berupa pembuktian-pembuktian
teorema dan lema berkenaan dengan
faktorisasi grup abelian berhingga yaitu 3,
dan
, serta
grup dengan order
perlakuannya dalam beberapa 3-grup dengan
tipe grup yang berbeda di beberapa kasus.
Bagian keempat berisi kesimpulan dan saran.
Bagian kelima adalah daftar pustaka dan
bagian keenam merupakan lampiran-lampiran
yang berisi pembuktian sifat dan teorema pada
landasan teori.

II LANDASAN TEORI
Himpunan dan Himpunan Bagian
Definisi Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah obyek.
(Kurtz, 1992)
Himpunan dilambangkan dengan huruf
kapital seperti
, , , … , . Sedangkan
obyek dilambangkan dengan , , , … , .
Definisi Himpunan Bagian
Himpunan dikatakan himpunan bagian

dari himpunan
jika setiap anggota
merupakan anggota .
(Kurtz, 1992)
Notasi pada Himpunan
anggota himpunan .
bukan anggota himpunan .
himpunan bagian dari .
Setiap anggota himpunan .
Ada anggota himpunan .
anggota himpunan kecuali
.

Contoh Himpunan
, , , , , ,
Himpunan
kecuali nol.
dibaca himpunan
Definisi Operasi Biner
Operasi biner pada himpunan S adalah
suatu fungsi
ke S yang membawa ,
ke
, bersifat tunggal.
(Aliatiningtyas, 2006)
Definisi Prima dan Komposit
Suatu bilangan bulat
dikatakan
prima jika hanya dapat dibagi oleh 1 dan p.
Jika tidak, maka p dikatakan komposit.
(Menezes et all, 1997)
Grup,
Subgrup,
Eksponen,
Periodik dan Replaceable

Order,

Definisi Grup
Grup , adalah himpunan tak kosong
tertutup di bawah operasi biner
yang
memenuhi aksioma-aksioma berikut:
1. Operasi biner bersifat assosiatif
, ,
,(
) c=
2. Terdapat unsur identitas kiri dan kanan
,
,
3. Terdapat unsur invers kiri dan kanan
,
¹
,
¹
¹
(Fraleigh, 1997)
Pada pembahasan berikutnya operasi
diganti sebagai operasi perkalian.
Sifat-sifat Grup
1. Unsur identitas di grup tunggal.
2. Penyelesaian tunggal untuk sembarang
.
Bukti Sifat-sifat Grup (lihat lampiran1).
Contoh Grup
0}, prima di
Himpunan bilangan
bawah operasi perkalian.
Himpunan bilangan , , , di bawah
operasi penjumlahan.
Definisi Produk Langsung
Misalkan grup dan ,
himpunan bagian dari . Grup disebut produk langsung
dari , jika
|
,
.
Berdasarkan definisi tersebut diperoleh
misalkan
grup dan , himpunan bagian
,…,
. Jika produk
dari dengan
.
langsung dari , maka
(Aliatiningtyas, 2006 dan Amin, 1999)

Definisi Faktorisasi
himpunan bagian
Misalkan
grup,
… . Perkalian
…
dan
dikatakan faktorisasi dari , jika setiap unsur
di
dapat difaktorkan secara khas (unik)
...
dengan
.
dalam bentuk
memuat
Jika setiap himpunan bagian
unsur identitas maka faktorisasinya disebut
faktorisasi normal.
(Amin, 1999)
Berdasarkan dua definisi di atas diperoleh
hubungan antara produk langsung dan faktorisasi yaitu misalkan grup yang merupakan
produk langsung dari
dan
, maka
berdasarkan definisi produk langsung
,
,
sehingga
. Jika untuk
,
;
,
tersebut unik
maka
merupakan faktorisasi dari .
Secara umum dapat ditulis, misalkan
…
maka
,
,
sehingga
… . Jika
…,
…
unik maka
.….
merupakan faktorisasi dari .
Akibatnya faktorisasi juga merupakan
produk langsung namun sebaliknya produk
langsung belum tentu merupakan faktorisasi.
Contoh Produk langsung dan Faktorisasi
, , , , , ,
Misalkan
terdapat
, ,
dan
, , .
Masing-masing merupakan himpunan bagian
dari dan berlaku
, , . , , ,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
, , , , , , , , , , ,
, , , , ,
.
Atau
, , ,
, , ,
, , , , ,

, , ,
, , ,

, , ,
, , ,

.
Juga dapat diperoleh bahwa untuk
,
,
,
sehingga
, berikut penjabarannya:
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,

. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
Akan tetapi karena
yaitu , , ,
yang faktornya tidak unik maka produk
langsung
tersebut
bukan
merupakan
faktorisasi.
Adapun untuk contoh produk langsung
yang juga merupakan faktorisasi adalah
sebagai berikut.
, , , , , ,
Misalkan
, ,
dan
, , masing-masing
merupakan himpunan bagian dari
dan
berlaku
, , . ,
,
,
,
,
,
, , , , ,
.
Atau
,
,
,
,
, , , , ,

,

,

.
Juga dapat diperoleh untuk
,
,
,
sehingga
.
berikut penjabarannya:
. ;
,
. ;
,
. ;
,
. ;
,
1.5;
,
. ;
,
Setiap
bisa dibentuk dalam
yang unik dengan
,
maka
merupakan faktorisasi dari grup .
Eksponen
Jika grup dengan unsur identitas dan
serta
bilangan bulat positif, maka
didefinisikan:
…
(sebanyak kali)
1.
…
(sebanyak kali)
2.
3.
(Fraleigh, 1997)
Hukum Eksponen
Jika
grup,
bulat, maka berlaku:
1.
2.

,

dan

bilangan

(Aliatiningtyas, 2006)
Bukti Hukum Eksponen (lihat lampiran 2).

Definisi Order Grup
Jika grup berhingga (grup yang jumlah
anggotanya berhingga), banyaknya unsur dari
disebut order grup . Dinotasikan dengan
simbol | |.
(Pinter, 1990)
Teorema 2.1 (Order Grup)
Misalkan
grup dan ,
himpunan
bagian dari dengan setiap unsur di tidak
ada yang sama dengan setiap unsur di dan
merupakan faktorisasi dari
.
| |
,| |
jika hanya jika | |
.
(Amin, 1999)
Bukti Teorema 2.1 (lihat lampiran 3).
Definisi Grup Abelian
Suatu grup
dengan operasi biner
disebut grup abelian jika dan hanya jika
operasi biner
bersifat komutatif yaitu,
,
,
.
(Fraleigh, 1997)
Definisi Subgrup
Misal
grup dan
,
disebut
subgrup dari
jika
merupakan grup di
bawah operasi biner yang sama dengan
operasi biner pada .
(Fraleigh, 1997)
Sifat-sifat Subgrup
1. Subgrup adalah himpunan tak kosong.
2.
subgrup
jika hanya jika ,
.
maka
3.
.
(Durbin, 1992 dan Connel, 1999)
Bukti sifat subgrup (lihat lampiran 4).
Contoh Subgrup
Misal grup abelian dan bilangan bulat
, untuk
positif, maka
|
suatu
merupakan subgrup dari .
(Beachy, 2000)
Definisi Order Unsur
Misalkan grup dan
, order unsur
adalah bilangan bulat positif
minimal
sehingga ⁿ
. Dinotasikan dengan simbol
| |. Jika tidak ada bilangan demikian, maka
dikatakan order unsur tak hingga atau nol.
Aliatiningtyas, 2006).
Jika bilangan prima maka disebut order
kuasa prima dari .
(Fraleigh, 1997).

Definisi Subgrup Siklik
Misal
grup,
subgrup .
disebut
subgrup siklik jika
, , ², … ,
,
disebut unsur pembangun dari
dan
| |
bilangan bulat dengan
.
(Amin, 1999)
Teorema 2.2 (Grup Abelian Berhingga)
Setiap grup abelian dengan unsur
pembangun berhingga dapat dijadikan sebagai
produk langsung dari subgrup siklik yang
berhingga.
(Schreier dan Sperner, 1955)
Teorema 2.3 (Order Unsur)
Misal grup dan
,
1. Jika | |
maka ⁰, ¹, ², . . . , ⁿ ¹
semuanya berbeda.
jika dan
2. Jika | |
, maka
hanya jika kelipatan .
Bukti sifat order unsur (lihat lampiran 5).
Definisi p-grup
Grup
disebut p-grup jika setiap unsur
non-identitas di
mempunyai order kuasa
prima .
(Fraleigh, 1997)
Definisi Grup Bertipe
Suatu grup
dikatakan memiliki tipe
jika merupakan produk
,...,
,
langsung dari grup siklik dengan order
dengan adalah prima.
,...,
,
(Amin, 1999)
Contoh Subgrup Siklik, Grup Bertipe, grup dan Order Kuasa Prima
Misalkan
grup
, , , , , .
Terdapat dan subgrup siklik dari ,
, ,
, ,
,
,
Jika merupakan produk langsung dari dan
maka berlaku,
, ,
,
,
,
,
, , , , ,

,

,

Sehingga
. Oleh karena | |
dan
| |
, maka
grup bertipe (3,2) dengan
| |
.
.
Grup di sini merupakan contoh 3-grup
karena setiap unsur non-identitas di yaitu 2
dan 4 mempunyai order kuasa prima 3.
Sedangkan grup merupakan 2-grup karena

setiap unsur non-identitas di
mempunyai order kuasa prima 2.

yaitu 6

Teorema 2.4
Setiap grup dengan order prima adalah
siklik dan
,
,
.
(Aliatiningtyas, 2006)
Bukti (lihat lampiran 6).
Teorema 2.5
Misalkan
grup berhingga,
jika
| |
maka | |
.
(Aliatiningtyas,2006)
Bukti (lihat lampiran 7).
Definisi Subgrup Normal
Misalkan
grup dan
subgrup dari ,
jika
dan
berlaku
¹
maka disebut subgrup normal dari G. Atau
.
,
(Fraleigh, 1997)
Teorema 2.6
Setiap subgrup dari grup abelian adalah
normal.
(Aliatiningtyas, 2006)
Bukti:
Misalkan grup dan
subgrup dari
Karena
abelian maka untuk setiap
dan
berlaku,

Sehingga terbukti

.

normal.

Definisi Subgrup Sejati
Misalkan G grup dan
subgrup ,
disebut subgrup sejati
apabila
tidak
sama dengan unsur identitas di
dan
tidak sama dengan .
(Aliatiningtyas, 2006)
Grup Faktor
Misalkan
grup dan
subgrup normal
dari
dan himpunan / adalah sebagai
berikut :
/
|
dan didefinisikan operasi
pada / ,
.
.
(Fraleigh, 1997)
Unsur
disebut koset-koset dari .
Teorema 2.7
Himpunan / adalah grup dan disebut
grup faktor.
Bukti (lihat lampiran 8).

Teorema 2.8
Jika grup Abelian maka grup factor /
juga Abelian.
Bukti:
.

. .
Maka terbukti / abelian.

Teorema 2.9
Misalkan
subgrup dari
korespondensi satu-satu dari
.
Bukti (lihat lampiran 9).

. Maka ada
ke koset kiri

Teorema Lagrange
Misalkan grup hingga, subgrup dari .
Maka order dari membagi order dari .
Bukti (lihat lampiran 10).
Definisi Subgrup Simulate
Misalkan grup, subgrup . Subgrup
.
disebut simulate jika
, ,…, | |
Jika
maka
subgrup siklik yang
dibangun oleh . Tetapi tidak demikian
halnya jika sebaliknya (
. Sehingga
diperoleh bahwa subgrup siklik juga
merupakan simulate namun sebaliknya simulate belum tentu siklik.
(Amin, 1999)
Contoh Subgrup Simulate
Misalkan
grup
, , , , , . Subgrup
= , ,
, , merupakan subgrup simulate dengan
.

Definisi Periodik
Misalkan
grup,
himpunan bagian
disebut periodik jika terdapat unsur (nonidentitas) di
sehingga .
dan
disebut periode dari .
(Amin,1999)

Contoh Periodik
, , , , ,
dan
Grup
himpunan bagian
, , ,
disebut
periodik dengan periode , karena 6 (unsur
non identitas di ) yang menyebabkan
, , ,
,
,
,
, , ,

Grup n-good, Totally good dan n-bad
Definisi n-good
Grup merupakan grup abelian berhingga
dan
merupakan bilangan bulat. Grup
disebut n-good, jika dari tiap-tiap faktorisasi
. .….
setidaknya satu dari himpunan bagian periodik.
(Amin, 1999)
Definisi n-bad
Grup merupakan grup abelian berhingga
dan
merupakan bilangan bulat. Grup
disebut n-bad, jika terdapat faktorisasi
dengan semua himpunan
,...
bagian tidak ada yang periodik.
(Amin, 1999)
Definisi Totally Good
Grup merupakan grup abelian berhingga
dan
merupakan bilangan bulat. Grup
disebut totally good, jika n-good untuk semua
nilai yang mungkin.
(Amin, 1999)
Contoh Grup n-good
, , , . Berikut
Grup
Tabel 1 yang menyajikan daftar produk langsung dari himpunan bagian yang mungkin terbentuk serta hasilnya (faktorisasi atau bukan).
Tabel 1 Produk Langsung dari Himpunan
Bagian yang Mungkin Terbentuk
, untuk
.
di
=
B/F
B
,
, , ,
F
,
,
, , ,
F
,
, , ,
B
,
, , ,
,
B
, , ,
F
,
, , ,
F
,
,
, , ,
B
,
, , ,
,
B
, , ,
B
,
,
, , ,
F
,
, , ,
,
F
, , ,
F
,
,
, , ,
,
F
, , ,
,
B
,
, , ,

Keterangan tabel.
B: Bukan Faktorisasi (karena
dan tidak unik).
F: Faktorisasi (karena
dapat dibentuk dalam
dengan
,
yang unik.

Jadi faktorisasi yang mungkin terjadi ada
delapan faktorisasi. Sebagai berikut,
1.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
2.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
3.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
4.
, ,
,
periodik karena ada
Himpunan bagian
yang
mengakibatkan
,
,
.
5.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
6.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
7.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang mengakibatkan
.
,
,
8.
, ,
,
Himpunan bagian
periodik karena ada
yang
mengakibatkan
,
,
.
Oleh karena setidaknya terdapat satu dari
tiap-tiap faktorisasi untuk
yang
periodik maka grup merupakan 2-good.
Contoh Grup n-bad
, , , , , , terdaMisalkan
pat
,
dan
, ,
keduanya
merupakan himpunan bagian
dan berlaku
,
, ,
,
,
,
,
,
, , , , ,

Dikarenakan
dapat dibentuk dalam
yang unik dengan
,
maka
merupakan faktorisasi dari .
Himpunan bagian tidak periodik karena
tidak ada
yang mengakibatkan
. Demikian pula halnya dengan
himpunan bagian
tidak ada
yang mengakibatkan
. Oleh karena itu
grup merupakan grup 2-bad.

Teorema 2.10
Misalkan
grup abelian berhingga yang
memiliki subgrup sejati yang bertipe , .
Jika order dari grup faktor / komposit
maka 2- bad.
(Amin, 1999)
Contoh Grup Totally good
, , , . Berikut
Grup
daftar produk langsung dari himpunan bagian
, untuk
yang mungkin terbentuk di
serta hasilnya (faktorisasi atau bukan
faktorisasi).
Tabel 2 Produk Langsung dari Himpunan
Bagian yang Mungkin Terbentuk
, untuk
.
di
Hasil
B/F
,
,
. . , . . ,
. , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
,
,
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
,
,
. . , . . ,
, , ,
2.2.1,2.3.1}
[F]
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[F]
. . , . .
,
,
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
,
,
. . , . . ,
, , ,
[B]
. . , . .
. . , . . ,
, , ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . . }
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
3.3.4,3.4.4}
. . , . . ,
. . , . .

[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]

,

,

,

,

. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
4.2.3,4.4.3}
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .

Keterangan tabel.
B: Bukan Faktorisasi (karena
F: Faktorisasi (karena
dengan
,
,

, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]

dan tidak unik).
dapat dibentuk dalam
yang unik.

Berdasaran tabel di atas dapat dilihat
terdapat 24 faktorisasi. Perhatikan bahwa
tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu yang
periodik, yaitu
,
dan
. . Keduanya
periodik dengan periode 4. Oleh sebab itu
grup merupakan 3-good.
Pada contoh n-good sebelumnya, telah
ini
ditunjukkan pula bahwa grup
merupakan 2-good. Dengan demikian telah
ditunjukkan bahwa
2-good dan 3-good
sehingga merupakan totally good.

III PEMBAHASAN
Semua grup
yang terdapat pada
pembahasan
merupakan
grup
abelian
berhingga. Pada bagian pembahasan ini yang
akan dibahas berupa faktorisasi 3-grup dengan
order , dan .
Untuk membuktikan 3-grup dengan
adalah totally good diperlukan beberapa
lema-lema berikut.

Lema 3.1.1
Misalkan
,
subgrup dari . Jika
faktorisasi dari dan | |
, maka
atau periodik.
Bukti :
Misalkan

, ,

(1)

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . . }
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
3.3.4,3.4.4}
. . , . . ,
. . , . .

[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]

,

,

,

,

. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
4.2.3,4.4.3}
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .
. . , . . ,
. . , . .

Keterangan tabel.
B: Bukan Faktorisasi (karena
F: Faktorisasi (karena
dengan
,
,

, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[B]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]
, , ,
[F]

dan tidak unik).
dapat dibentuk dalam
yang unik.

Berdasaran tabel di atas dapat dilihat
terdapat 24 faktorisasi. Perhatikan bahwa
tiap-tiap faktorisasi setidaknya ada satu yang
periodik, yaitu
,
dan
. . Keduanya
periodik dengan periode 4. Oleh sebab itu
grup merupakan 3-good.
Pada contoh n-good sebelumnya, telah
ini
ditunjukkan pula bahwa grup
merupakan 2-good. Dengan demikian telah
ditunjukkan bahwa
2-good dan 3-good
sehingga merupakan totally good.

III PEMBAHASAN
Semua grup
yang terdapat pada
pembahasan
merupakan
grup
abelian
berhingga. Pada bagian pembahasan ini yang
akan dibahas berupa faktorisasi 3-grup dengan
order , dan .
Untuk membuktikan 3-grup dengan
adalah totally good diperlukan beberapa
lema-lema berikut.

Lema 3.1.1
Misalkan
,
subgrup dari . Jika
faktorisasi dari dan | |
, maka
atau periodik.
Bukti :
Misalkan

, ,

(1)

Kalikan (1) dengan
(2)
Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh
(3)
Gunakan (3) dan fakta bahwa
faktorisasi dari .
, ,
[dari (3)]
, ,

Akibatnya
sehingga diperoleh,
i).
Oleh karena
unsur non-identitas di
maka menurut definisi
merupakan
periodik.
Atau,
ii).
Ini diperoleh dari
[ abelian]
[Assosiatif]
Jika
dan unsur non-identitas di
maka menurut definisi
merupakan
periodik.
Berdasarkan dua kemungkinan tersebut di
atas maka terbukti salah satu dari
atau
periodik

Atau lebih umum dapat ditulis sebagai
berikut.
Lema 3.1.2
Misalkan
maka salah satu dari
periodik.

…
atau

dan | |
,
atau .... atau

Bukti :
, , , dengan
dan
Misalkan
.
…
…
, ,
…
…
…
[1]
Kalikan dengan
…
…
…
[2]
Bandingkan (1) dan (2) sehingga diperoleh
…
…
…
…
[3]
…
Gunakan (3) dan fakta bahwa
faktorisasi dari .
…
…
, ,

…
…
…
…
…
…
[ abelian]
…
…
…
[dari (3)]
…
…
…
…
, ,
…
…
…
Akibatnya
sehingga diperoleh,
i).
Oleh karena
unsur non-identitas di
merupakan
maka menurut definisi
periodik.
Atau,
[Assosiatif]
…
ii).
dan unsur non-identitas di
Jika
merupakan
maka menurut definisi
periodik.
Atau (dan seterusnya hingga) atau
n).
Ini diperoleh dari
…
…
…
… [ abelian]
… [ abelian]
…
Dan seterusnya berlaku assosiatif sehingga
…
…
dan unsur non-identitas
Jika
merupakan
di maka menurut definisi
periodik.
Berdasarkan kemungkinan-kemungkinan
tersebut di atas maka terbukti salah satu dari
atau
atau …
periodik.
akan dilihat
Untuk 3-grup dengan order
dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu
kasus
dan
. Akan dibuktikan
bahwa 3-grup dengan order 3³ adalah totallygood.
Teorema 3.1.1
3-grup dengan order 3³ adalah totallygood.
Bukti:
ini terdapat dua
Pada 3-grup berorder
nilai yang mungkin yaitu
dan
.
Akan ditunjukkan : 2-good.
Untuk kasus
, terdapat dua tipe 3-grup
yang mungkin yaitu 3-grup
dengan order
, .
dan 3-grup bertipe
bertipe ,
Menurut definisi grup bertipe, 3-grup bertipe
merupakan produk langsung dari
,
. Maka
dan , dengan | |
dan | |
selanjutnya berdasarkan lema 3.1.1 salah satu
dari atau periodik.

Demikian halnya pada 3-grup bertipe
, ,
menurut definisi grup bertipe, grup bertipe
,
merupakan produk langsung dari
dan | |
. Oleh
dan , dengan | |
karena grup
abelian maka
.
Selanjutnya karena | |
maka berdasarkan
lema 3.1.1 terbukti bahwa salah satu dari
atau periodik. Dari penjelasan di atas jelas
bahwa grup merupakan 2-good. Terbukti.
Akan ditunjukkan : 3-good.
Pada 3-grup dengan order ,terdapat satu tipe
yang mungkin yaitu , , .
Menurut definisi grup bertipe 3-grup bertipe
, , merupakan produk langsung dari , ,
dan
dengan | | | | | |
. Maka
selanjutnya berdasarkan lema 3.1.2 terbukti
bahwa salah satu dari
atau
periodik.
Berdasarkan penjelasan di atas jelas bahwa
grup merupakan 3-good. Terbukti.
Berdasarkan dua pembuktian di atas maka
telah ditunjukkan bahwa ‐grup ⁺⁻ngan
merupakan 2-good dan 3-good
or⁺⁻r
sehingga merupakan totally good.
Selanjutnya untuk membuktikan 3-grup
adalah 2-bad tapi 3-good
dengan
diperlukan beberapa lema dan teorema
berikut.
Lema 3.2.1
Andaikan
faktorisasi dari dan
,
}. Maka
simulate,
, ,…,
merupakan periodik.
Bukti:
Adb: periodik.
Oleh karena simulate maka
.
, , ,…,
, ,

,

,…,

…
..(1)
Kalikan (1) dengan
Karena G abelian maka
…
…(2)
Bandingkan (1) dengan (2) sehingga diperoleh
…
…
[(Berdasarkan (1) dan (2)]
, , , ,…,
)
Sehingga
, unsur merupakan unsur
non-identitas di maka terbukti periodik.

Teorema 3.2.1
,
adalah prima, jika
Misalkan | |
terdapat
faktorisasi dari
dan
| |
,
dan
subgrup siklik. Maka
salah satu dari dan adalah periodik.
Bukti:
dan | |
maka
Oleh karena | |
| |
berdasarkan teorema 2.1 | |
.
Selanjutnya berdasarkan teorema 2.5 jika ,
keduanya siklik dan ordernya
maka
| | | |
. Kemudian menurut definisi
dan subrup
grup siklik
, , ,…,
siklik
pun dapat dituliskan sebagai
.
, , ,…,
Akan ditunjukkan dan periodik.
, , ,…,
, , ,…,
[| |
maka
]
, , ,…,
, , ,…,
Karena
dan unsur non-identitas di
sehingga terbukti periodik.
Juga berlaku,
, , ,…,
, , ,…,
[| |
maka
]
, , ,…,
, , ,…,

Karena
dan unsur non-identitas di
sehingga terbukti periodik.

akan dilihat
Untuk 3-grup dengan order
dari dua kasus yang mungkin terjadi yaitu
kasus
dan
. Akan dibuktikan
adalah 2-bad
bahwa 3-grup dengan order
tapi 3-good.
Teorema 3.2.2
3-grup dengan order
3-good.

adalah 2-bad tapi

Bukti:
Perhatikan bahwa pada kasus 3-grup
dengan order 3 , grup bertipe yang dibahas
, , .
, ,
,
,
adalah
Untuk kasus
, misalkan
,
ini hanya ada
untuk kasus dengan order
dan
dua tipe yang mungkin yaitu
,
,
. Ini berarti hanya terdapat dua
faktorisasi. Adapun untuk membuktikan 2bad hanya perlu ditunjukkan ada satu
faktorisasi yang memiliki faktor yang
semuanya tidak periodik.
i).
dengan | |
dan | |
Berdasarkan lema 3.1.1 terbukti salah satu
himpunan bagian atau periodik. Pada fak-

torisasi ini tidak dapat ditunjukkan bahwa
keduanya faktornya tidak periodik.
ii).
dengan | | | |
Diketahui bahwa
abelian berorder
dan mempunyai subgrup , akan ditunjukkan
bahwa
bertipe , . Diketahui
abelian
maka menurut teorema ada ,
subgrup
siklik dengan | | | |
dan
,
.
akibatnya bertipe , sehingga | |
Selanjutnya akan ditunjukkan | / |
komposit. Menurut teorema Lagrange,
| / |

| |

| |

maka benar bahwa

| / | komposit. Sehingga berdasarkan
teorema 2.10, terbukti bahwa
grup
merupakan 2-bad.
Sedangkan 3-grup dengan order 3 untu₂
₂asus
, tipe yang mungkin ( , , ,
, , dan (3,3, . Ambil saja yang pertaberarti terdapat
ma yaitu ( , ,
, | |
faktorisasi dari G dengan | |
| |
. Berdasarkan teorema 2.4 diketahui B
dan C siklik maka menurut lema 3.2.1 terbukti
bahwa salah satu dari
atau
adalah
dan
periodik. Analog dengan tipe ( , ,
karena
grup abelian, ketiga
tipe ( , ,
tipe tersebut dapat diselesaikan dengan cara
yang sama. Sehingga terbukti 3-grup dengan
order 3 adalah 3-good.

Untuk 3-grup dengan order 3 adalah 4good.
Teorema 3.3.1
Jika grup

memiliki tipe

, , ,

maka grup

merupakan 4-good.

Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
merupakan 4, , , ,
good. Tipe yang mungkin adalah
, , , ,
, , , . Namun
, , , ,
karena
grup abelian maka semua tipe
tersebut sama, sehingga hanya perlu satu tipe
saja yang diperiksa. Terdapat dua cara untuk
membuktikan teorema ini, berikut pembuktiannya,
i). Cara Pertama
Misalkan
merupakan
, | | | |
faktorisasi , dengan | |
| |
, dimisalkan pula
sehingga
faktorisasinya
menjadi
(abelian) dan menurut
teorema grup dengan order prima adalah
siklik maka
siklik dan juga simulate.
Sehingga berdasarkan lema 3.2.1 terbukti
bahwa
periodik. Akibatnya
terbukti 4-good.

ii). Cara Kedua.
Misalkan
merupakan
,| | | |
faktorisasi , dengan | |
| |
, Oleh karena
merupakan grup
abelian maka
. Oleh
karena | |
maka menurut lema 3.1.2
salah satu dari
atau
atau
periodik
sehingga terbukti bahwa
merupakan 4good.

,

IV KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dari pembahasan di atas dapat disimdengan tipe
pulkan bahwa 3-grup berorder
, , , ,
adalah 2-good dan 3-good
sehingga merupakan Totally good karena ngood untuk semua nilai n yang mungkin.
dengan tipe
Sedangkan 3-grup berorder
, ,
merupakan 3-good
, ,
,
,
tapi 2-bad. Adapun 3-grup berorder dengan
, , , merupakan 4-good.
tipe

Saran
Pada karya ilmiah ini, terdapat nilai n yang
tidak dibahas diantaranya 3-grup berorder
untuk kasus
serta 3-grup berorder
untuk kasus
dan
sehingga
penulis menyarankan dapat dikaji lebih lanjut
oleh pihak lain atau dapat dikembangkan lagi
untuk p-grup dengan bilangan prima p lain
yang ditinjau dari berbagai kasus nilai yang
mungkin dengan tipenya masing-masing.

torisasi ini tidak dapat ditunjukkan bahwa
keduanya faktornya tidak periodik.
ii).
dengan | | | |
Diketahui bahwa
abelian berorder
dan mempunyai subgrup , akan ditunjukkan
bahwa
bertipe , . Diketahui
abelian
maka menurut teorema ada ,
subgrup
siklik dengan | | | |
dan
,
.
akibatnya bertipe , sehingga | |
Selanjutnya akan ditunjukkan | / |
komposit. Menurut teorema Lagrange,
| / |

| |

| |

maka benar bahwa

| / | komposit. Sehingga berdasarkan
teorema 2.10, terbukti bahwa
grup
merupakan 2-bad.
Sedangkan 3-grup dengan order 3 untu₂
₂asus
, tipe yang mungkin ( , , ,
, , dan (3,3, . Ambil saja yang pertaberarti terdapat
ma yaitu ( , ,
, | |
faktorisasi dari G dengan | |
| |
. Berdasarkan teorema 2.4 diketahui B
dan C siklik maka menurut lema 3.2.1 terbukti
bahwa salah satu dari
atau
adalah
dan
periodik. Analog dengan tipe ( , ,
karena
grup abelian, ketiga
tipe ( , ,
tipe tersebut dapat diselesaikan dengan cara
yang sama. Sehingga terbukti 3-grup dengan
order 3 adalah 3-good.

Untuk 3-grup dengan order 3 adalah 4good.
Teorema 3.3.1
Jika grup

memiliki tipe

, , ,

maka grup

merupakan 4-good.

Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
merupakan 4, , , ,
good. Tipe yang mungkin adalah
, , , ,
, , , . Namun
, , , ,
karena
grup abelian maka semua tipe
tersebut sama, sehingga hanya perlu satu tipe
saja yang diperiksa. Terdapat dua cara untuk
membuktikan teorema ini, berikut pembuktiannya,
i). Cara Pertama
Misalkan
merupakan
, | | | |
faktorisasi , dengan | |
| |
, dimisalkan pula
sehingga
faktorisasinya
menjadi
(abelian) dan menurut
teorema grup dengan order prima adalah
siklik maka
siklik dan juga simulate.
Sehingga berdasarkan lema 3.2.1 terbukti
bahwa
periodik. Akibatnya
terbukti 4-good.

ii). Cara Kedua.
Misalkan
merupakan
,| | | |
faktorisasi , dengan | |
| |
, Oleh karena
merupakan grup
abelian maka
. Oleh
karena | |
maka menurut lema 3.1.2
salah satu dari
atau
atau
periodik
sehingga terbukti bahwa
merupakan 4good.

,

IV KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Dari pembahasan di atas dapat disimdengan tipe
pulkan bahwa 3-grup berorder
, , , ,
adalah 2-good dan 3-good
sehingga merupakan Totally good karena ngood untuk semua nilai n yang mungkin.
dengan tipe
Sedangkan 3-grup berorder
, ,
merupakan 3-good
, ,
,
,
tapi 2-bad. Adapun 3-grup berorder dengan
, , , merupakan 4-good.
tipe

Saran
Pada karya ilmiah ini, terdapat nilai n yang
tidak dibahas diantaranya 3-grup berorder
untuk kasus
serta 3-grup berorder
untuk kasus
dan
sehingga
penulis menyarankan dapat dikaji lebih lanjut
oleh pihak lain atau dapat dikembangkan lagi
untuk p-grup dengan bilangan prima p lain
yang ditinjau dari berbagai kasus nilai yang
mungkin dengan tipenya masing-masing.

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI
GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 33, 34 DAN 35

RIZKY SUSTI NINGRUM

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

DAFTAR PUSTAKA
Aliatiningtyas, N. 2006. Diktat Struktur
Aljabar.
Bogor:
Departemen
Matematika Institut Pertanian
Bogor.
Amin, K. The Factorization of Abelian
Groups.
Acta
Mathematica
Academiae
Paedagogicae
Nyiregyha-ziensis 15 (1999), 9-18.
Beachy, J. A. 2000. Abstrac Algebra: A Study
Guide for Beginner. Illionis:
Waveland Press, Inc..
Connell, E. H. 1999. Elements of Abstract and
Linear
Algebra.
Florida:
Departement
of
Mathematics
University of Miami.
Durbin, J. R. 1992. Modern Algebra 3-rd
Edition. Newyork: John Wiley &
Sons, Inc..

Fraleigh, J. B. 1997. A First Course in
Abstract Algebra. United States of
America:
Addison
Wesley
Publishing Company.
Kurtz, D. P. 1992. Fondation of Abstract
Mathematics. Newyork: McGrowHil, Inc.
Menezes, A. P. Vanoorschoot and Svanstone.
1997. Handbook of Applied
Cryptography. Newyork: CRC
Publishing Company.
Pinter, C. C. 1990. A Book of Abstract
Algebra
2-edition.
Newyork:
McGraw
Hill
Publishing
Company.
Schreier O. Sperner E., 1955. Modern Algebra
and Matrix Theory. Newyork: Chelsea
Publishing Company

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI
GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 33, 34 DAN 35

RIZKY SUSTI NINGRUM

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011

ABSTRAK
RIZKY SUSTI NINGRUM. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order
,
dan
. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI
MAS’OED.
Misalkan merupakan grup abelian berhingga dan
merupakan bilangan bulat. Grup
…
setidaknya satu dari himpunan
disebut -good jika dari tiap-tiap faktorisasi
periodik. Ini berarti terdapat
sehingga
. Jika tidak ada yang
bagian
periodik, maka disebut n-bad. Grup merupakan totally good jika n-good untuk semua nilai n
dengan
dan
yang mungkin. Karya ilmiah ini akan menganalisis 3-grup dengan order
dengan
dan
selanjutnya
dengan
. Pada
, selain itu 3-grup dengan
adalah totally good, 3-grup dengan
akhirnya, hasil menunjukkan bahwa 3-grup dengan order
order adalah 3-good tapi 2-bad dan 3-grup dengan order adalah 4-good.
Kata kunci : faktorisasi, abelian, periodik.

ABSTRACT
RIZKY SUSTI NINGRUM. Periodic Analysis on the Factorization of Abelian Group of Order
,
and
. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI
MAS’OED.
Let
be a finite abelian group and
be an integer. A group
is -good if from each
… , it follows that at least one of the subsets
is periodic, in the sense
factorization
= . Otherwise, is said to be n-bad. On the other
that there exists
, such that
hand, is totally good if it is n-good for all possible values of n. In this paper we analyze a 3with
and
, another 3-group of order
with
and
, and
group of order
with
. The results show that the 3-group of order
is totally
also a 3-group of order
is 3-good but 2-bad, and the 3-group of order is 4-good.
good, the 3-group of order
Keywords : factorization, abelian, periodic.

ANALISIS PERIODIK PADA FAKTORISASI
GRUP ABELIAN DENGAN ORDER 33, 34 DAN 35

RIZKY SUSTI NINGRUM

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
BOGOR
2011

Judul
Nama
NRP

: Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan order
dan
: Rizky Susti Ningrum
: G54063460

Menyetujui,
Pembimbing I

Pembimbing II

Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S.
NIP. 19610104 198803 2 002

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si
NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui:
Ketua Departemen

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

,

PRAKATA
Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT, berkat nikmat dan karunia-Nya sehingga
skripsi ini dapat diselesaikan dengan lancar. Skripsi yang berjudul “Analisis Periodik pada
Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33, 34dan 35” ini merupakan syarat untuk menyelesaikan
studi di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut
Pertanian Bogor.
Dalam penulisan skripsi ini, penulis tidak dapat bekerja sendiri tanpa bantuan dari pihakpihak tertentu yang terkait tulisan ini. Untuk itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih
kepada :
1. Dra. Nur Aliatiningtyas, M.S. dan Teduh Wulandari, M.Si., selaku dosen pembimbing I
dan II serta dosen penguji atas ilmu serta kesabaran dalam membimbing dan
mengarahkan penulis. Serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji bagi penulis.
2. Orang tua tercinta (Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati) dan Bapak Drs. H. Sudarto
dan Dra. Hj. Asminiwaty atas kasih sayang, cinta, dukungan baik moril maupun materi,
perhatian dan do’a yang selalu diberikan.
3. Asto Hadiyoso, S. Tp, suami yang senantiasa memotivasi tanpa jenuh.
4. Semua dosen dan staff Departemen Matematika atas bantuan dan ilmu-ilmu yang telah
disampaikan dengan ikhlas.
5. Para pembahas dan seluruh mahasiswa yang bersedia menyaksikan seminar penulis.
6. Tiwi, Nikky, Tami, Izmi, Muti, Ka Asti, Danti, Bang Ravi serta seluruh keluarga lainnya
atas do’a, semangat, motivasi dan cinta.
7. Nailah, Ratih, Yulya, Elis, Ophie, Pandu dan Rio Al-Azhar, untuk persahabatan yang
pernah terbina dan bantuannya baik moril maupun materi.
8. Teman-teman Matematika 43 (Desi, Cici, Ecka,Subro, Syahrul, Slamet, Lina, Narsih,
Ace, NS, Elly, Ratna, Nia, Nidya, Cupid, Sendy, Nanu, Erny, Rias, Suci, semuanya) atas
dukungannya selama ini.
9. Kakak kelas Matematika 41 dan 42 (Ka Amin, Ka Rofa, Mba Siti, Mba Titi, Mba Tia, Ka
Illi, Ka Vera, Ka Dian, Ka Oby, Ka Iput, Ka Sapto, Ka Warno, Ka Ridwan, Ka Eko, Ka
Acidll), serta mbak-mbak S2 atas informasi, ilmu-ilmu yang telah disampaikan serta
kesediannya dalam meminjamkan buku-buku.
10. Adik kelas Matematika 44.
11. Sahabat-sahabat OMDA Sampant atas semangat, motivasi dan do’anya.
12. Para pejuang dan adik-adik Birena Alhurriyyah IPB.
13. Teman-teman dan Alumni UKM Forces IPB.
14. Sahabat-sahabat Forum Lingkar Pena Bogor.
15. Semua pihak yang belum tersebutkan namanya yang telah membantu terselesaikannya
skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat member kontribusi positif dalam dunia pendidikan khususnya
matematika dan semoga dapat menjadi ilmu yang bermanfaat bagi pembaca semuanya.
Bogor, 2011
Rizky Susti Ningrum

RIWAYAT HIDUP
RIZKY SUSTI NINGRUM, lahir di Kisaran, Asahan, Sumatera utara 11 Mei 1988, anak
pertama dari enam bersaudara puteri pasangan Bapak Suyatno, Sp dan Ibu Suratmiyati.Penulis
menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-kanak Dharmawanita Kisaran pada tahun 1994, Sekolah
Dasar di SDN. 017973 Kisaran pada tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama Negeri 1
Kisaran pada tahun 2003, Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Kisaran pada tahun 2006 dan
diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) pada
tahun yang sama, kemudian masuk ke Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor padatahun 2007. Kemudian tepat pada tanggal 17
September 2010, penulis melangsungkan pernikahan dengan Asto Hadiyoso, S.TP di Kisaran,
Sumatera Utara.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah mengajar bimbingan belajar MahasiswaAsing
Malaysia untuk mata kuliah Pengantar Matematika di tahun 2007 dan Kalkulus di Tahun 2008.
Penulis juga menjadi pengajar di bimbingan belajar baik berkelompok maupun privat bagi
mahasiswa TPB IPB untuk mata kuliah Pengantar Matematika dan Kalkulus di tahun 2007 dan
2008, pengajar privat di Bimbingan Kharisma Prestasi Tamansari Persada Bogor di tahun 2010.
Selain itu, penulis aktif sebagai pengajar sekaligus pembina di Bimbingan Remaja dan Anak-anak
(Birena) Alhurriyyah IPB (2006-2010) dan Anggota aktif serta pengurus Unit Kegiatan
Mahasiswa Forum for Scientific Student (UKM Forces) IPB (2006-2007) serta menjadi sekretaris
Organisasi Mahasiswa Daerah Serumpun Mahasiswa Peduli Asahan dan Tanjung Balai (OMDA
Sampant) pada tahun 2008-2009. Penulis juga pernah menjadi pengurus Mushola Al-Izzah Asrama
Puteri IPB A3 (2006) dan bendahara Lingkar Muslim Matematika (Limit) IPB pada tahun 2007,
bendahara umum Birena (2010), Asisten mata kuliah Pendidikan Agama Islam (2010) dan pada
tahun 2010-2011aktif di Forum Lingkar Pena (FLP) cabang Bogor serta pengajar di Bimbingan
Belajar Kharisma prestasi Bogor.

DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ....................................................................................................viii
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... ix
DAFTAR TABEL .............................................................................................. ix
I PENDAHULUAN
Latar Belakang ................................................................................................................ 1
Tujuan .............................................................................................................................. 1
Sitematika Penulisan ........................................................................................................ 1

II LANDASAN TEORI
Himpunan ........................................................................................................................ 1
Operasi Biner ................................................................................................................... 2
Prima dan Komposit ......................................................................................................... 2
Grup…………….…………………………………………...……………..................... .. 2
Produk Langsung .............................................................................................................. 2
Faktorisasi ........................................................................................................................ 2
Eksponen .......................................................................................................................... 3
Order Grup ....................................................................................................................... 3
GrupAbelian ..................................................................................................................... 3
Subgrup ............................................................................................................................ 3
Order Unsur ...................................................................................................................... 3
Subgrup Siklik .................................................................................................................. 4
p-grup .............................................................................................................................. 4
Grup Bertipe ..................................................................................................................... 4
Subgrup Normal ............................................................................................................... 4
Subgrup Sejati .................................................................................................................. 4
Grup Faktor ...................................................................................................................... 4
Teorema Lagrange ............................................................................................................ 5
Subgrub Simulate ............................................................................................................ 5
Periodik ............................................................................................................................ 5
n-good............................................................................................................................... 5
n-bad................................................................................................................................. 5
Totally good...................................................................................................................... 5

III PEMBAHASAN
Lema 3.1.1. Grup yang memiliki faktor periodik untuk
........................................ 8
Lema 3.1.2. Grup yang memiliki faktor periodik ............................................................. 8
Teorema 3.1.1. 3-grup berorder merupakan totally good ............................................ 9
Lema 3.2.1. Hubungan simulate dengan periodik ............................................................ 9
Teorema 3.2.1.Hubungan siklik dengan periodik ............................................................. 9
Teorema 3.2.2. 3-grup berorder merupakan 3-good tapi 2-bad ................................. 10
Teorema 3.3.1. 3-grup berorder merupakan 4-good .................................................. 10

IV KESIMPULAN DAN SARAN.................................................................... 10
DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 11
LAMPIRAN ...................................................................................................... 12

DAFTAR TABEL
Tabel 1. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di

untuk

........................................................................................................................................... 5
Tabel2. Produk Langsung dari Himpunan Bagian yang Mungkin Terbentuk di

untuk

........................................................................................................................................... 6

DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Bukti Sifat-Sifat Grup ........................................................................................... 12
Lampiran 2. Bukti Hukum Eksponen ........................................................................................ 12
Lampiran 3. Bukti Teorema 2.1 (Order Grup) .......................................................................... 13
Lampiran 4. Bukti Sifat-Sifat subgrup ...................................................................................... 13
Lampiran 5. Bukti Teorema 2.3 (Order Unsur) ......................................................................... 14
Lampiran 6. Bukti Teorema 2.4 ................................................................................................ 14
Lampiran 7. Bukti Teorema 2.5 ................................................................................................ 14
Lampiran 8. Bukti Teorema 2.7 .............................................................................................. 15
Lampiran 9. Bukti Teorema 2.9 .............................................................................................. 15
Lampiran 10. Bukti Teorema Lagrange .................................................................................... 15

I PENDAHULUAN

Latar Belakang
Berawal dari definisi grup periodik yaitu
misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di
sehingga .
, maka
disebut grup periodik dan disebut periode
dari . Serta fakta bahwa grup abelian
berhingga memiliki faktorisasi di bawah
operasi perkalian sehingga apabila
…
merupakan faktorisasinya maka
setiap unsur
dapat difaktorkan dalam
...
dengan
.
bentuk
Muncul tiga istilah yakni, n-good yaitu
apabila dari tiap-tiap faktorisasi setidaknya
ada satu faktornya yang periodik, jika tidak
ada yang periodik maka disebut n-bad, dan
apabila selalu n-good untuk setiap nilai
yang mungkin disebut totally good.
Kemudian hal-hal tersebut di atas
menimbulkan pertanyaan berikut, misalkan
…
sembarang faktorisasi dari
grup G, untuk setiap nilai yang mungkin,
apakah grup
selalu n-good? Sehingga
merupakan totally good? atau justru n-bad?
Masalah yang dibahas di dalam karya
ilmiah ini hanya meliputi pembahasan pada 3grup berorder , dan . Adapun untuk 3akan dibahas untuk semua
grup berorder
nilai yang mungkin, yaitu
dan
.
dan
tidak
Sedangkan 3-grup berorder
dibahas untuk semua nilai yang mungkin,
yakni hanya
dan
untuk yang beruntuk yang berorder .
order , lalu
Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk
menganalisis faktorisasi grup abelian pada

dan .
beberapa 3-grup dengan order ,
Pada karya ilmiah ini akan ditunjukkan bahwa
merupakan totally