Algoritma untuk Dekomposisi Digraph Berbobot dengan Aplikasi Analisis Sikus Kehidupan pada Biota

ALGORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIGRAPH BERBOBOT
DENGAN APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN PADA
BIOTA

SKRIPSI

SRI RAFIQOH
060803003

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010

Universitas Sumatera Utara

ALGORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIGRAPH BERBOBOT
DENGAN APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN PADA
BIOTA

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana
Sains

SRI RAFIQOH
060803003

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2010
Universitas Sumatera Utara

i
PERSETUJUAN

Judul
Kategori

Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas

: ALGORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIGRAPH BERBOBOT DENGAN APLIKASI
ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN PADA BIOTA
: SKRIPSI
: SRI RAFIQOH
: 060803003
: SARJANA (S1) MATEMATIKA
: MATEMATIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA

Medan, September 2010
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2

Pembimbing 1

Dr. Saib Suwilo, MSc.
NIP. 19640109 198803 1 004

Dra. Mardiningsih, MSi
NIP.19630405 198811 2 001

Diketahui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,

Dr. Saib Suwilo, MSc
NIP. 19640109 198803 1 004

Universitas Sumatera Utara

ii
PERNYATAAN

ALGORITMA UNTUK DEKOMPOSISI DIGRAPH BERBOBOT DENGAN
APLIKASI ANALISIS SIKLUS KEHIDUPAN PADA BIOTA

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan,

September 2010

SRI RAFIQOH
060803003

Universitas Sumatera Utara

iii
PENGHARGAAN

Dengan puji dan syukur kepada Allah SWT, karena berkat dan rahmatNya
sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ” Algoritma untuk
Dekomposisi Digraph Berbobot dengan Aplikasi Analisis Sikus Kehidupan pada Biota” ini dengan baik.
Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak menerima bantuan dan masukan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara. Bapak Dr. Saib Suwilo,
M.Sc, dan Bapak Henry Rani S, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU Medan.
2. Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku dosen pembimbing I dan Bapak Dr. Saib
Suwilo, M.Sc, selaku dosen pembimbing II yang telah memberi dukungan
moral, motivasi dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan
penelitian ini.
3. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
4. Bapak M. Buyung Akhir dan Ibunda Rohimah tercinta serta Uwakku Hj.
Aziah dan Kakakku Hj. Purwati yang selalu memberikan dukungan moril dan materiel maupun doa yang tiada hentinya kepada penulis, serta
keponakan-keponakanku tersayang Mutiara Qisthina Hanif dan Nindita Qisthina Hanif yang selalu mendoakan penulis dalam penyelesaian skripsi ini.
Tak lupa, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat-sahabatku
tersayang yang selalu ada dalam setiap suasana baik suka dan duka Aghni Syahmarani dan Rina Widyasari atas perhatian, dukungan, dan motivasi dalam pengerjaan skripsi ini. Terima kasih juga buat rekan-rekan dilab yaitu Bang Santri,

Bang Toni, Bang Radhi, Bang Andhika dan Mizwar. Teman-teman seperjuanganku anak Murni’06 Nurul, Ria, dan Mandra. Serta buat anak-anak stambuk
’06, Mahater, Tria, Linda, serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan
satu-persatu. Juga kepada Mul Kanul Arief yang telah membantu penulis dalam
proses penulisan skripsi ini, Rion Siboro, Priskilla Ginting yang selalu berbagi cerita dalam proses penyelesaian skripsi ini serta adik-adik stambuk 2007, 2008, dan
2009, terima kasih atas dukungannya. Semoga Allah SWT memberikan balasan
atas jasa-jasa mereka yang telah diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, untuk itu
penulis meminta saran dan kritik yang membangun dari pembaca sekalian.
Universitas Sumatera Utara

iv
Akhir kata penulis mengucapkan terima kasih atas perhatiannya, semoga
tulisan ini berguna bagi yang membutuhkan.

Medan, Agustus 2010
Penulis,

Sri Rafiqoh

Universitas Sumatera Utara

iv
ABSTRAK

Dalam ekologi, analisis siklus kehidupan dapat direpresentasikan dengan digraph.
Digraph yang demikian disebut digraph siklus kehidupan yang selanjutnya digraphdigraph tersebut dapat diubah ke dalam matriks-matriks yang berhubungan yaitu
matriks elastisitas dan matriks sensitivitas. Dalam penelitian ini digraph yang
digunakan adalah digraph berbobot. Partisi suatu matriks elastisitas yang digunakan untuk menghitung kontribusi terpisah dari suatu siklus hidup ke laju
pertumbuhan populasi ekuivalen dengan dekomposisi suatu digraph siklus kehidupan pada populasi. Penelitian ini akan memformulasikan suatu metode dalam
proses dekomposisi sehingga mampu mendekomposisikan digraph-digraph siklus
hidup yang kompleks menjadi siklus kehidupan individu yang bermakna.

Universitas Sumatera Utara

v
ALGORITHM FOR A DECOMPOSITION OF WEIGHTED
DIGRAPHS WITH APPLICATIONS TO LIFE CYCLE ANALYSIS
IN BIOTA

ABSTRACT

In ecology, life cycle analysis can be represented by a digraph. Such digraph called
life cycle digraph later on the digraph can be changed to the correspond matrix,
sensitivity and elasticity matrix. This research used the weighted digraph. Partitioning of the elasticity matrix is used to quantify the separate contributions of life
cycle to population growth rate, is equivalent to a weighted life cycle digraph decomposition. This research results a decomposition method which can decompose
the complex life cycle digraph to be useful life cycle individual.

Universitas Sumatera Utara

vi
DAFTAR ISI

Halaman
PERSETUJUAN

i

PERNYATAAN

ii

PENGHARGAAN

iii

ABSTRAK

iv

ABSTRACT

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR GAMBAR

vii

BAB
1. PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.

1

Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tinjauan Pustaka
Tujuan Penelitian
Manfaat Penelitian
Metodologi Penelitian

1

3
4
7
7
7

2. LANDASAN TEORI
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.

8

Graph Berarah (Digraph)
Digraph Terhubung
Digraph Siklus Kehidupan
Matriks Model Populasi
Loop Analysis
Dekomposisi Loop

8
14
16
17
20
23

3. HASIL UTAMA

25

3.1. Algoritma untuk Dekomposisi Digraph Berbobot dengan
Aplikasi Analisis Siklus Kehidupan pada Biota
3.2. Analisis Siklus Kehidupan pada Caretta caretta
4. KESIMPULAN DAN RISET LANJUTAN
4.1. Kesimpulan
4.2. Riset Lanjutan
DAFTAR PUSTAKA

25
32
40
40
40
41

Universitas Sumatera Utara

vii
DAFTAR GAMBAR

Gambar
1.1

Halaman
Contoh digraph siklus kehidupan dengan tiga verteks dan empat
arc.

2

Suatu digraph siklus kehidupan tiga tahap suatu organisme dengan dua pilihan untuk proses reproduksi, awal atau akhir (D).

5

1.3

Loop reproduksi awal (D1 ).

5

1.4

Loop reproduksi akhir (D2 ).

5

2.1

Graph D(4, 6)

9

2.2

(a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat

14

2.3

Gambar digraph siklus kehidupan Campanula americana. Ada
tiga tahap yang dilewati yaitu S = biji-biji yang dormant, R =
pembungaan, F = individu yang sudah berbunga.

17

Gambar digraph siklus kehidupan Caretta caretta dengan laju
pertumbuhan populasi λ=0.945

32

L1 =1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1. Loop ini menyatakan kemampuan Caretta caretta melewati lima tahap dalam kehidupannya.

34

D1 , digraph setelah terdekomposisi satu kali yaitu diperoleh cycle
L1 .

34

L2 =1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 1. Kemampuan Caretta caretta
untuk tetap bertahan hidup sampai tahap beremigrasi.

35

D2 , digraph setelah terdekomposisi dua kali yaitu diperoleh cycle
L2 .

35

L3 =1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 1. Caretta caretta mampu
bertahan hidup melalui semua tahap hingga tahap kemampuan
bereproduksi di usia yang dewasa.

36

D3 , digraph setelah terdekomposisi tiga kali yaitu diperoleh cycle
L3 .

36

loop-loop yang merupakan selfloop dari digraph siklus kehidupan Caretta caretta masing-masing L4 L5 L6 L7 menyatakan kemampuan Caretta caretta untuk tetap bertahan pada satu tahap
tertentu.

37

1.2

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

3.7
3.8

Universitas Sumatera Utara

iv
ABSTRAK

Dalam ekologi, analisis siklus kehidupan dapat direpresentasikan dengan digraph.
Digraph yang demikian disebut digraph siklus kehidupan yang selanjutnya digraphdigraph tersebut dapat diubah ke dalam matriks-matriks yang berhubungan yaitu
matriks elastisitas dan matriks sensitivitas. Dalam penelitian ini digraph yang
digunakan adalah digraph berbobot. Partisi suatu matriks elastisitas yang digunakan untuk menghitung kontribusi terpisah dari suatu siklus hidup ke laju
pertumbuhan populasi ekuivalen dengan dekomposisi suatu digraph siklus kehidupan pada populasi. Penelitian ini akan memformulasikan suatu metode dalam
proses dekomposisi sehingga mampu mendekomposisikan digraph-digraph siklus
hidup yang kompleks menjadi siklus kehidupan individu yang bermakna.

Universitas Sumatera Utara

v
ALGORITHM FOR A DECOMPOSITION OF WEIGHTED
DIGRAPHS WITH APPLICATIONS TO LIFE CYCLE ANALYSIS
IN BIOTA

ABSTRACT

In ecology, life cycle analysis can be represented by a digraph. Such digraph called
life cycle digraph later on the digraph can be changed to the correspond matrix,
sensitivity and elasticity matrix. This research used the weighted digraph. Partitioning of the elasticity matrix is used to quantify the separate contributions of life
cycle to population growth rate, is equivalent to a weighted life cycle digraph decomposition. This research results a decomposition method which can decompose
the complex life cycle digraph to be useful life cycle individual.

Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh
individu-individu dalam populasi berkaitan dengan perubahan tahap-tahap dalam
kehidupan. Suatu model demografik terdiri dari tahap-tahap dan transisi-transisi
antar tahap-tahap tersebut yang mendeskripsikan tentang masa depan suatu individu yang diistilahkan dengan pertumbuhan, kemampuan bertahan hidup, dan
proses reproduksi pada rentang waktu berturut-turut (Wardle, 1998). Karena siklus kehidupan tersebut selalu melibatkan tahapan-tahapan yang demikian (kelahiran, kematian, dan transisi-transisi antar setiap tahap), maka diperlukan suatu
metode untuk membandingkan kontribusi-kontribusi relatif dari bentuk-bentuk
sejarah kehidupan yang berbeda ke laju pertumbuhan populasi sehingga menghasilkan seperangkat loop yang disebut dengan analisis loop (van Groenendael et.
al, 1994). Untuk siklus kehidupan yang kompleks, sulit untuk menemukan semua
loop yang bermakna dalam siklus kehidupan sehingga diperlukan metode yang
relevan.
Dalam ilmu matematika, dikenal istilah tentang graph, yaitu suatu istilah
yang menyatakan representasi dari objek-objek diskrit dan hubungan antara objekobjek tersebut. Pada kenyataannya suatu siklus kehidupan individu dalam suatu
populasi pada ekologi adalah suatu objek diskrit sehingga untuk mempermudah
proses pemahaman terhadap siklus kehidupan itu siklus tersebut direpresentasikan
dalam suatu digraph siklus kehidupan.

Universitas Sumatera Utara

2
Suatu digraph siklus kehidupan adalah suatu gambaran secara grafikal mengenai siklus kehidupan suatu populasi. Verteks-verteks pada digraph menggambarkan tahap-tahap pada kehidupan, garis penghubung (disebut arc) dari verteks
j ke verteks i mengindikasikan bahwa suatu individu pada tahap j diwaktu t dapat
mengkontribusi individu ke tahap i pada waktu t + 1. Representasi lain dari digraph siklus kehidupan tersebut adalah matriks, yaitu matriks proyeksi populasi.
Elemen ke (i, j) pada matriks populasi tidak nol. Oleh karena itu ada hubungan
antara suatu matriks proyeksi populasi n tahap dengan suatu digraph siklus kehidupan n verteks dimana arc penghubung menghubungkan verteks-verteks yang
berkaitan ke elemen-elemen tidak sama dengan nol pada matriks proyeksi (Sun
dan Wang, 2007). Hal ini dapat dilihat pada contoh gambar berikut:

11, 8
 3, 2
t6
-t
36

17, v2


-t6
47
v
3

17
v1
Gambar 1.1 : Contoh digraph siklus kehidupan dengan tiga verteks dan empat
arc.
Siklus kehidupan suatu populasi dapat direpresentasikan dalam digraph berbobot. Digraph-digraph tersebut selanjutnya direpresentasikan dalam matriksmatriks yang dapat digunakan untuk mengukur kontribusi terhadap laju pertumbuhan populasi jika matriks-matriks tersebut dipartisi. Partisi matriks-matriks ini
menghasilkan sekumpulan loop yang bermakna dalam siklus kehidupan. Proses
ini ekuivalen dengan dekomposisi digraph berbobot yang menggambarkan siklus
kehidupan. Secara Biologi, dekomposisi itu mengilustrasikan dan memperkirakan
kontribusi-kontribusi siklus kehidupan yang berbeda-beda dari individu ke laju
pertumbuhan populasi (Casswel, 2001; van Groenendael, 1994; Wardle, 1998).
Riset tentang dekomposisi telah dilakukan dan telah memperoleh suatu metode. Wardle (1998) menemukan metode pendekatan sistematik yaitu metode spanUniversitas
Sumatera Utara
ning tree. Mulai dengan suatu base tree yang memiliki n nodes
dan dihubungkan

3
dengan n − 1 edge yang tidak memuat loop. Loop sendiri terbentuk dengan
menambahkan edge ke base tree. Metode spanning tree tersebut akan menghasilkan
sekumpulan cycle-cycle yang independen. Akan tetapi, metode spanning tree ini
akan menimbulkan dua masalah. Pertama, untuk digraph yang cukup rumit biasanya sulit bahkan hampir tidak mungkin untuk menemukan suatu tree yang
span-nya memuat sekumpulan cycle tanpa arah yang berlawanan. Wardle sendiri
menyatakan jika cycle memuat arah yang berlawanan maka tidak mewakili siklus
kehidupan individu-individu organisme, yang artinya hal tersebut bertentangan
dengan interpretasi secara biologi. Kedua, setiap tree yang merentang sekumpulan cycle yang fix; pasangan cycle-cycle yang mungkin penting untuk tujuan perbandingan mungkin tidak kelihatan di sekumpulan cycle yang sama.
Karena masih adanya kendala-kendala pada hasil Wardle maka pada tahun
2007 Sun dan Wang menentukan suatu metode baru. Sun dan Wang mengemukakan suatu metode dekomposisi melalui suatu algoritma pendekatan teori
graph. Digraph didekomposisi menjadi dua bagian, bagian pertama merupakan
sekumpulan cycle sederhana yang tidak memuat arah berlawanan dan terdiri dari
arc-arc dengan bobot yang sama. Bagian kedua adalah subgraph-subgraph tanpa
cycle-cycle sederhana seperti yang terdapat sebelumnya. Karena algoritma untuk
dekomposisi ini tidak tunggal maka perlu dilakukan riset lanjutan sehingga dapat
ditentukan cycle-cycle mana yang lebih berarti yang seharusnya menjadi prioritas
utama untuk dipilih. Pada penelitian ini akan ditentukan suatu metode dekomposisi melalui pendekatan algoritma untuk mendekomposisi digraph berbobot terhubung. Riset utama akan difokuskan untuk menemukan algoritma yang relevan
sehingga menghasilkan sekumpulan cycle yang bermakna dalam analisis siklus kehidupan.
1.2 Perumusan Masalah
Bagaimana cara menentukan sekumpulan cycle yang bermakna dalam siklus kehidupan yaitu sekumpulan cycle yang dapat diinterperetasikan dengan baik secara

Universitas Sumatera Utara

4
biologi.
1.3 Tinjauan Pustaka
Berikut akan diberikan kajian pustaka mengenai graph, digraph, maupun hal-hal
yang berkaitan dengan analisis siklus kehidupan.
1.3.1 Digraph.
Istilah-istilah mengenai digraph diambil dari Brualdi dan Ryser (1991). Suatu digraph adalah himpunan titik-titik yang tidak kosong yang unsurnya disebut nodes
atau verteks, dan himpunan garis-garis berarah yang menghubungkan verteksverteks tersebut disebut arc.
Suatu digraph berbobot (D, W ) adalah suatu digraph D yang memiliki bobot
numerik yang ditandai pada setiap directed edgenya. Digraph-digraph berbobot
memiliki suatu representasi matriks sebagai berikut:
dari verteks


w11
 w21
ke verteks 
 ...

wn1

w12
w22
..
.
wn2

...
...
..
.
...


w1n
w2n 
.. 
. 

wnn

wij adalah bobot arc dari verteks vi ke verteks vj .
Suatu cycle atau simple cycle adalah suatu perjalanan tertutup dari barisan arcarc di D yang menghubungkan verteks vi1 , vi2, ..., vik, vi1 secara berurutan, vi1 , vi2 ,
..., vik masing-masing berbeda kecuali verteks awal dan verteks akhir. Dalam
tulisan ini, simple cycle atau cycle diistilahkan dengan loop sebagaimana diambil
dari literatur-literatur ekologi.
1.3.2 Dekomposisi Analisis Siklus Kehidupan dalam Ekologi.
Secara Biologi dekomposisi menggambarkan dan menghitung kontribusi-kontribusi
berbeda dari siklus kehidupan individu ke laju pertumbuhan populasi. Sedangkan
secara matematis dekomposisi disini didefinisikan sebagai partisi atau pembagian

Universitas Sumatera Utara

5
dari matriks-matriks representasi digraph berbobot menjadi submatriks-submatriks yang apabila disatukan akan membentuk digraph siklus kehidupan itu sendiri.
Akan tetapi dekomposisi bukanlah satu-satunya cara untuk menghitung kontribusi-kontribusi berbeda dari siklus kehidupan. van Groenendael (1994) sebelumnya telah menemukan analisis loop (loop analysis) sebagai metode yang sesuai untuk membagi matriks-matriks elastisitas untuk menentukan kontribusi-kontribusi
yang dimaksud. Analisis loop berimplikasi pada suatu kalkulasi kontribusi relatif
dari loop sejarah kehidupan ke kemampuan berdasarkan elastisitas elemen-elemen
transisi matriks proyeksi. Berikut diberikan contoh gambar analisis loop seperti
yang dikemukakan oleh van Groenendael.
10
35


 
6
1
2
3


45
10 

Gambar 1.2 : Suatu digraph siklus kehidupan tiga tahap suatu organisme dengan
dua pilihan untuk proses reproduksi, awal atau akhir (D).


6
- 2
1

35 

35

Gambar 1.3 : Loop reproduksi awal (D1 ).
10


6
1 - 2 - 3

10 
10 

Gambar 1.4 : Loop reproduksi akhir (D2 ).

Berdasarkan gambar (1.2), (1.3), dan (1.4) diketahui bahwa D = D1 ∪ D2 , yang
artinya dekomposisi merupakan partisi digraph menjadi subgraph-subgraph yang
jika dihubungkan dengan matriks, matriks-matriks tersebut diubah menjadi submatriks-submatriks.
Langkah dasar dalam analisis loop adalah mempertimbangkan elastisitas
Universitasseperti
Sumatera
Utara
dalam konteks alasan yang mendasari struktur sejarah kehidupan
yang

6
ditunjukkan oleh graph siklus kehidupan (Caswell, 1989). Suatu karakteristik
penting dari graph ini adalah kenyataan bahwa graph siklus kehidupan tersebut
dapat didekomposisi menjadi sekumpulan loop, masing-masing kontribusi tersebut
berhubungan dengan eigenvalue dominan pada matriks proyeksi yang berkaitan
pada suatu penambahan cara yang sederhana (de Kroon, 1987; Caswell, 1989).
Dasar matematik dari kalkulasi elastisitas loop didasarkan pada dua sifat
berikut (van Groenendael et. al, 1994):

1. Untuk setiap tahap pada graph siklus hidup, jumlah elastisitas dari transisi
yang masuk sama dengan jumlah elastisitas transisi yang keluar. Transisi
masuk dan transisi keluar sama dengan definisi derajat verteks pada graf
berarah yang menyatakan bahwa derajat masuk (id(vi )) sama dengan derajat
keluar (od(vi ))
n
X
i=1

id(vi ) =

n
X

od(vi ).

i=1

2. Elastisitas suatu loop sama dengan karakteristik elastisitas dikali oleh jumlah
transisi-transisi pada loop.

Suatu langkah penting dari analisis loop adalah bahwa analisis loop tersebut merupakan langkah dasar untuk mendekomposisi graph siklus kehidupan suatu populasi
menjadi sekumpulan siklus kehidupan yang diikuti oleh individu-individu populasi.
1.3.3 Sensitivitas Demografik dan Analisis Elastisitas.
Sensitivitas demografi berarti sensitivitas λ (pertumbuhan populasi) untuk berubah pada laju demografik yang partikular. Sensitivitas mengukur pengaruh λ dari
perubahan simpangan yang absolut dari suatu laju vital relatif yang partikular
ke perubahan laju vital yang lainnya. Suatu tambahan dari analisis sensitivitas
adalah analisis elastisitas, yang menilai sensitivitas proporsional λ ke dalam suatu
laju yang vital.
Universitas Sumatera Utara

7
1.4 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan sekumpulan loop yang bermakna dalam
siklus kehidupan dengan pendekatan matematis, yaitu algoritma yang didasarkan
pada teori graph sehingga dapat diinterpretasikan dengan baik secara biologi.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam teori graph khususnya aplikasi teori graph ini dalam bidang Biologi sehingga diharapkan dapat mempermudah pekerjaan yang biasa dilakukan oleh para ahli ekologi.
1.6 Metodologi Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan. Untuk menentukan suatu metode baru dalam proses dekomposisi dilakukan pendekatan sebagai berikut:

1. Mempelajari literatur-literatur yang berkaitan dengan graph siklus kehidupan, analisis loop, serta literatur-literatur yang berkaitan dengan penelitian
ini.
2. Menentukan matriks transisi dan matriks elastisitas berdasarkan graph siklus
kehidupan (yang merupakan digraph berbobot) yang diketahui serta menentukan λ untuk mengetahui laju pertumbuhan populasi.
3. Mendekomposisi graph siklus kehidupan menjadi sekumpulan loop yang bermakna (tidak memuat arah berlawanan).
4. Menentukan algoritma untuk proses dekomposisi digraph berbobot yang
menggambarkan siklus kehidupan hingga menjadi sekumpulan loop yang
bermakna dalam siklus kehidupan, yaitu sekumpulan loop yang dapat diinterpretasikan dengan baik secara biologi.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diperlihatkan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian
ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab
berikutnya. Teori tersebut mencakup pengertian dari digraph, contoh digraph,
dan aplikasi digraph pada analisis siklus kehidupan.

2.1 Graph Berarah (Digraph)
Suatu graph berarah (digraph) D adalah himpunan berhingga tak kosong V bersama
suatu himpunan A yang terdiri dari pasangan berurut dengan unsur di V . Sehingga berdasarkan uraian di atas suatu digraph D terdiri dari dua himpunan yaitu:

1. Himpunan berhingga tak kosong V . Unsur dari V disebut verteks dari D.
2. Himpunan A yang merupakan himpunan bagian dari pasangan tak berurut
dari unsur-unsur di V . Unsur dari A disebut arc dari D (Chartrand dan
Lesniak, 1986 ).

Digraph D dengan himpunan verteks V dan himpunan arc A dinotasikan dengan
D(V, A). Andaikan vi dan vj adalah dua verteks di D. Suatu arc vi , vj atau juga
dapat dinotasikan dengan vi → vj adalah suatu arc di D yang menghubungkan vi
dan vj .
Contoh 1 : Himpunan verteks V = {v1, v2, v3, v4} bersama dengan himpunan arc
A = {v1 → v2, v1 → v4, v2 → v3 , v3 → v4, v3 → v1, v4 → v2 } adalah suatu digraph
dengan 4 verteks dan 6 arc, dinotasikan dengan D(4, 6).
Universitas Sumatera Utara

9
Suatu digraph biasanya direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap
verteks pada digraph tersebut direpresentasikan sebagai suatu titik atau lingkaran
kecil dan setiap arc (vi → vj ) yang terdapat dalam digraph itu direpresentasikan
sebagai suatu garis berarah dari vi ke vj . Representasi grafis digraph pada contoh
1 diperlihatkan seperti gambar (2.1) dibawah ini.
t
@
6
@
@ v2
R
@
-t

v1

v4

t
I
@
@
@

@t

v3
Gambar 2.1 : Graph D(4, 6)

Suatu representasi lain dari suatu digraph D dapat dituliskan dalam bentuk
matriks adjacency sebagai berikut:
aij =



1,
0

jika terdapat arc dari verteks j ke i
jika sebaliknya

maka untuk digraph pada gambar (2.1) di atas memiliki representasi matriks sebagai berikut:



0
 1
 0
1

0
0
1
0

1
0
0
1


0
1 
0 
0

Suatu digraph berbobot adalah suatu pasangan (V, w) dimana V adalah suatu himpunan berhingga verteks-verteks dan w adalah suatu fungsi yang memetakan setiap pasangan verteks (x, y) ke nilai integer positif atau tak berhingga (∞).
Fungsi w disebut fungsi bobot dan nilainya dapat diinterpretasikan sebagai suatu
harga, jarak, atau waktu, dan lain sebagainya dalam bentuk fungsi sebagai berikut
w : V (D) → R. Digraph berbobot memiliki representasi matriks sebagai berikut:

Universitas Sumatera Utara

10



w11
 w21
ke verteks 
 ...

wn1

w12
w22
..
.
wn2

dari verteks

...
w1n
...
w2n 
.. 
..
.
. 
...
wnn

Andaikan u, v ∈ V . Suatu walk dari u ke v dinotasikan dengan (u, v). Suatu
walk dari u ke v disingkat sebagai uv-walk atau luv (untuk selanjutnya dipakai
notasi (luv )). Suatu walk dari u ke v yang panjangnya m adalah suatu barisan arc
dalam bentuk
(u = v0, v1), (v1, v2), ..., (vm−2, vm−1 ), (vm−1 , vm = v)
(Chartrand dan Lesniak, 1986 ). Walk di atas juga dapat direpsentasikan sebagai
berikut
u = v0 → v1 → v2 · · · vm−1 → vm = v
(Chartrand dan Lesniak, 1986). Suatu path puv adalah suatu luv tanpa ada perulangan verteks kecuali mungkin verteks awal dan verteks akhir dan panjangnya
dinotasikan dengan `(puv ). Suatu cycle adalah path dengan verteks awal sama dengan verteks akhir atau dengan perkataan lain cycle adalah path tertutup. Selain
beberapa istilah yang telah ditunjukkan di atas, masih ada beberapa istilah lain
yang berkaitan dengan digraph yang akan dijelaskan pada bagian-bagian berikut.
2.1.1 Nilai Eigen (Eigenvalue).
Misalkan A adalah suatu matriks n×n . Suatu skalar λ disebut sebagai suatu nilai
eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor tak nol x sehingga
Ax = λx
Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk
(A − λI)x = 0.

(2.1)

Jadi λ adalah nilai eigen dari A jika dan hanya jika persamaan (2.1) memiliki
Universitas
Sumatera
Utara
suatu penyelesaian nontrivial. Himpunan penyelesaian terhadap
persamaan
(2.1)

11
adalah N (A − λI)x yang merupakan ruang bagian dari Rn . Jadi, jika λ adalah
nilai eigen dari A, maka N(A − λI) 6= {0} dan sembarang vektor tak nol dalam
N(A − λI) adalah vektor eigen milik λ. Ruang bagian N (A − λI) dinamakan
ruang eigen yang berhubungan dengan nilai eigen λ.
Persamaan (2.1) akan mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan hanya jika
A − λI singular, atau secara ekuivalen
det(A − λI) = 0.

(2.2)

Jika determinan pada persamaan (2.2) diuraikan, akan kita dapatkan suatu polinom berderajat n dalam peubah λ.
p(λ) = det(A − λI).

(2.3)

Polinom ini disebut polinom karakteristik (characteristic polynomial) dan persamaan (2.3) disebut persamaan karakteristik (characteristic equation) untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen dari A (Horn dan Johnson, 1985 ).
2.1.2 Pohon (Tree).
Definisi. Pohon adalah suatu graph terhubung yang tidak memiliki sirkuit.
Proposisi. Anggap G adalah suatu graph. Pernyataan berikut ekuivalen.

(1). G adalah tree.
(2). G terhubung dan tak memuat cycle.
(3). Diantara dua verteks sebarang di G pasti ada suatu path.

Bukti: (1)⇒ (2): Karena suatu cycle adalah suatu sirkuit, pernyataan (1) berakibat ke pernyataan (2).
(2)⇒ (3): Jika ada dua path berbeda P1 , P2 dari beberapa verteks v ke verteks
Universitas
Sumatera Utara
lain, w, kemudian walk tertutup v ke v diperoleh dengan mengikuti
verteks-verteks

12
dari P1 dan kemudian P2 pada order yang berlawanan akan memuat sebuah cycle,
kontradiksi dengan (2).
(3)⇒(1): Karena ada suatu path antara dua verteks sebarang di G, pastilah G
terhubung. Selanjutnya, G tidak memuat sirkuit. Sebaliknya, itu akan memuat
sebuah cycle dan sebuah cycle akan menentukan dua path antara dua verteks
sebarang pada graph tersebut.
Implikasi-implikasi yang terbentuk adalah
(1)⇒(2)⇒(3)⇒(1)
memberikan keekuivalenan antara (1), (2), dan (3), (Goodaire dan Parmenter,
1998).
Pohon yang terdiri atas satu verteks disebut pohon yang menyusut atau pohon
yang mengalami degenerasi atau pohon yang trivial.
2.1.3 Pohon Perentang (Spanning Tree).
Definisi. Suatu edge e ∈ EG adalah suatu bridge dari graph G jika G − e memiliki komponen terhubung yang lebih banyak dari G, yaitu jika c(G − e) > c(G).
Definisi. Suatu (spanning tree) dari suatu graph G terhubung adalah suatu subgraph yang merupakan suatu tree dan memuat semua verteks di G (Goodaire dan
Parmenter, 1998).

Teorema 2.1 Setiap graph terhubung memiliki suatu spanning tree, oleh karena
itu suatu spanning graph adalah tree.

Bukti: Anggap H ⊆ G adalah suatu spanning subgraph terhubung minimal,
ada suatu spanning subgraph terhubung dari G sedemikian hingga H − e tidak
terhubung untuk setiap e ∈ EH . Subgraph yang demikian diperoleh dari G dengan
menghapus nonbridges seperti pada langkah berikut:

(a.) Anggap H0 = G.

Universitas Sumatera Utara

13
(b.) Untuk i ≥ 0 anggap Hi+1 = Hi − ei , dimana ei bukanlah suatu bridge, Hi+1
adalah suatu spanning subgraph dari Hi dan sekaligus dari G.
(c.) H = Hk jika hanya bridges yang tetap ada.
Berdasarkan pernyataan yang menyatakan bahwa suatu graph terhubung adalah
tree jika dan hanya jika semua edges adalah bridges, maka H adalah suatu tree
(Harju, 2007).
Suatu edge dalam suatu spanning tree disebut cabang (branch) sedangkan
edge yang tidak terdapat pada spanning tree tersebut tapi terdapat pada graph
semula disebut tali hubung (chord). Graph yang tidak terdapat pada pohon
perentang disebut cotree. Pada graph terhubung dengan m buah sisi dan n buah
verteks terdapat n−1 buah cabang dan m−n+1 buah tali. Himpunan tali hubung
dengan verteks yang bersisian dengannya disebut komplemen pohon. Untuk graph
terhubung G dengan n buah verteks dan m buah sisi, kita dapat menghitung jumlah cabang dan tali hubungnya (chord ) dengan rumus sebagai berikut:
jumlah cabang = n − 1
jumlah tali hubung (chord) = m − n + 1
Jumlah cabang pada pohon perentang dari sebuah graph G disebut rank graph
G, dan jumlah tali hubung (chord) pada graph G disebut nullity graph G. Dapat
dilihat bahwa
rank + nullity = jumlah sisi graph G
(Goodaire dan Parmenter, 1998).
2.1.4 Gabungan Graph (Union ) dan Join Graph.
Ada banyak cara untuk mengkombinasikan graph-graph hingga menghasilkan suatu graph baru. Berikut akan diberikan beberapa operasi biner yang didefinisikan
pada graph, sebelumnya asumsikan G1 dan G2 adalah dua graph yang himpunan
verteksnya disjoint.

Universitas Sumatera Utara

14
Gabungan (Union) G = G1 ∪ G2 memiliki V (G) = V (G1 ) ∪ V (G2 ) dan
E(G) = E(G1 ) ∪ E(G2 ), jika suatu graph G terdiri dari n ≥ 2. Join G = G1 +
G2 memiliki V (G) = V (G1 ) ∪ V (G2 ) dan E(G) = E(G1 ) ∪ E(G2 ) ∪ {uv|u ∈
V (G1 ) dan v ∈ V (G2 )} (Chartrand dan Lesniak, 1986).
2.2 Digraph Terhubung
Suatu digraph dikatakan terhubung jika untuk setiap sebarang dua verteksnya
terhubung oleh suatu arc. Dalam tulisan ini yang dibicarakan adalah digraph terhubung kuat mengingat matriks proyeksi populasi adalah suatu matriks nonnegatif
dan diasumsikan bahwa matriks proyeksi populasi tersebut irreducible (Adams,
2008).
Definisi Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan verteks u dan v di D terdapat suatu uv − walk dan vu − walk.
Berikut akan diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat beserta matriks adjacency-nya.

t

-t
@
CO
Rt
@
v7 t C
A


C
A C


A C


 v4
v6 AU t C
t



A C
A C

A..C


U t

A

v1

t
-t
@
C
Rt
@
v7 t C


A
C


A
C


A C
 v4
U
A
v6 t C
t



A C
A C

A CW


U t

A

v2

v1

v3

v5

v2

v3

v5

(a)
(b)
Gambar 2.2 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat






A=




0
1
0
0
0
0
1

0
0
1
0
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0

1
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0

0
0
0
0
0
1
0















B=




0
1
0
0
1
0
1

0
0
1
0
0
0
0

0
0
0
1
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0

0
0
0
0
0
0
0

0
0
0
0
1
0
0

0
0
0
0
0
1
0










Universitas Sumatera Utara

15
A adalah matriks untuk digraph terhubung kuat sedangkan B adalah matriks
untuk digraph tidak terhubung kuat.
Definisi Matriks A berorder n disebut reducible jika dengan permutasi yang simultan pada barisnya kita memperoleh suatu matriks berbentuk


A1 O
A21 A2



dimana A1 dan A2 adalah matriks bujur sangkar berorder paling tidak 1. Jika A
tidak reducible maka A disebut irreducible. Matriks berorder satu adalah matriks
irreducible.

Teorema 2.2 Diketahui A suatu matriks berorder n. A disebut irreducible jika
dan hanya jika digraph D tersebut terhubung kuat.

Bukti : Pertama asumsikan bahwa A reducible. Selanjutnya himpunan verteks
V dari D dapat dibagi menjadi dua himpunan tak kosong V1 dan V2 sedemikian
hingga tidak ada arc dari suatu verteks di V1 ke suatu verteks di V2 . Jika a
adalah suatu verteks di V1 dan b adalah suatu verteks di V2 tidak ada walk yang
menghubungkan dari a ke b. Oleh karena itu D bukanlah suatu digraph terhubung
kuat.
Sekarang asumsikan bahwa D tidak terhubung kuat. Kemudian ada verteksverteks berbeda a dan b di D dimana tidak ada walk yang menghubungkan dari
a ke b. Anggap W1 terdiri dari b dan semua verteks D yang darinya terdapat
walk yang menghubungkan ke b, dan anggap W2 terdiri dari a dan semua verteks
yang menujunya terdapat walk yang menghubungkan dari a. Himpunan W1 dan
W2 tak kosong dan disjoint. Anggap W3 adalah himpunan yang setiap verteksnya
tidak berada di W1 maupun di W2 . Secara simultan permutasikan baris-baris
A sedemikian hingga baris-baris tersebut berhubungan ke verteks-verteks di W2
Universitas Sumatera Utara

16
pertama kali diikuti oleh hubungan lainnya ke verteks-verteks di W3 :
W2

W3

W1

W2  X11

W3 
 X21

W1 X31

X12

X13 

X23 


X33



X22
X32



Karena tidak ada walk yang menghubungkan dari a ke b maka tak ada arc dari
suatu verteks di W2 ke suatu verteks di W1 . Juga tak ada arc dari suatu verteks
c di W3 ke suatu verteks di W1 , karena arc yang demikian berimplikasi bahwa c
berada di W1 . Oleh karena itu X13 = O dan X23 = O, dan A reducible (Brualdy
dan Ryser, 1991).
2.3 Digraph Siklus Kehidupan
Siklus kehidupan adalah suatu rangkaian aktivitas secara alami yang dialami oleh
individu-individu dalam populasi berkaitan dengan perubahan-perubahan tahaptahap dalam kehidupan. Verteks-verteks pada digraph menggambarkan tahaptahap pada kehidupan, garis penghubung (disebut arc) dari verteks j ke verteks
i mengindikasikan bahwa suatu individu pada tahap j diwaktu t dapat mengkontribusi individu ke tahap i pada waktu t + 1.
Dalam suatu siklus kehidupan pasti ditemukan beberapa hal yang memiliki
pengaruh terhadap perkembangan suatu populasi. Pengaruh-pengaruh itu antara
lain berkenaan dengan masalah kelahiran, kematian, kemampuan bertahan hidup
hingga kepunahan. Pengaruh-pengaruh yang telah diuraikan di atas merupakan
suatu bentuk bagian dari demografi yang dapat digunakan untuk menghitung kontribusi terpisah dari tipe-tipe sejarah kehidupan yang berbeda dari pertumbuhan
populasi. Secara matematis, semua hal di atas dapat digambarkan dalam suatu
representasi grafis berupa graph berarah (digraph) dan berbobot, w : V (D) → R.
Suatu siklus kehidupan merupakan objek yang diskrit, sehingga siklus kehidupan
dapat direpresentasikan dalam suatu bentuk digraph yaitu digraph siklus kehiduUniversitas
pan sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar (2.3) berikut
ini: Sumatera Utara

17


St


-t

R


--t F
3 

Gambar 2.3 : Gambar digraph siklus kehidupan Campanula americana. Ada tiga
tahap yang dilewati yaitu S = biji-biji yang dormant, R = pembungaan, F =
individu yang sudah berbunga.
Digraph siklus kehidupan akan memiliki suatu representasi matriks. Matriksmatriks tersebut selanjutnya akan disebut dengan matriks proyeksi populasi, matriks sensitivitas dan matriks elastisitas. Matriks-matriks ini selanjutnya akan
dipartisi hingga akhirnya apabila diubah kembali ke dalam representasi digraph
menghasilkan cycle-cycle yang bermakna.
2.4 Matriks Model Populasi
Matriks model populasi dapat mengklasifikasikan siklus kehidupan baik menggunakan usia atau tahap-tahap dalam kehidupan yang dilaluinya. Model pengklasifikasian berdasarkan usia menyatakan dinamika populasi dengan membagi variabel usia yang kontinu menjadi stadium-stadium usia yang diskrit, masing-masing
dalam rentang yang sama. Model pengklasifikasian berdasarkan tahapan yang
dilaluinya biasanya lebih fleksibel, dan memungkinkan analisis untuk pola siklus
kehidupan yang lebih kompleks. Tahap-tahap tersebut mungkin menggambarkan status sosial (seperti keturunan dengan kemapanan), tahapan-tahapan yang
terus berkembang atau lokasi-lokasi yang renggang (seperti daerah dengan kualitas tinggi dengan daerah kualitas rendah). Transisi-transisi antar tahap-tahap
tersebut dikembangkan oleh laju vital yang menggambarkan proses-proses seperti
pertumbuhan, fertilitas, kemampuan bertahan hidup bahkan peluang menjadi suatu yang menghasilkan keturunan atau memperoleh suatu daerah dengan kualitas
tinggi. Berikut diberikan matriks-matriks yang berkaitan dengan gambar 1.1 yang
menggambarkan posisi setiap arc-nya yang merupakan matriks model populasi.

Universitas Sumatera Utara

18



1

2

3



1  0.2 0.6 1.1 



2
0.3
0
0




3 0 0.6 0.8
Matriks Transisi



1

2

3



1  3 3.2 11.8 



2
17
0
0




3 0 17
47
Matriks Elastisitas

Pada model matriks yang didasarkan pada tahap yang dilaluinya (stage based
matrix model), ukuran suatu populasi dihitung dari waktu t ke waktu t + 1 dengan mengalikan suatu matriks A dengan suatu vektor n (dalam hal ini n adalah
populasi mula-mula) dengan persamaan
n(t + 1) = A × n(t).

(2.4)

Matriks model populasi adalah suatu tipe matriks transisi untuk proses Markov.
Eigenvalue λ pada matriks proyeksi populasi merupakan istilah untuk laju pertumbuhan dalam populasi, yaitu eigenvalue yang diperoleh setelah tahapan-tahapan
yang dilalui mencapai kestabilan dimana nilai λ tetap dari satu waktu ke waktu
berikutnya setelah sebelumnya dilakukan proses menghitung λ secara berulangulang.
Setiap entri pada matriks transisi berkaitan dengan matriks Leslie yang
biasanya menggunakan parameter usia untuk mengklasifikasikan individu serta
berdasarkan kelamin untuk model demografiknya sedangkan matriks elastisitas
biasanya dinyatakan dalam persentasi. Pada analisis siklus kehidupan, matriks
elastisitas dapat dianggap sebagai suatu jumlah konservatif yang alurnya melewati digraph siklus kehidupan (bobot pada setiap arc-nya).
#
"
F1 F2 F3
P1 0 0
0 P2 P3
Matriks Leslie

Fx = kesuburan spesifik berdasarkan usia pada tahap x

Universitas Sumatera Utara

19
Px = peluang bertahan hidup spesifik berdasarkan usia pada tahap x
2.4.1 Matriks Sensitivitas dan Matriks Elastisitas.
Matriks elastisitas merupakan matriks yang tersusun dari elemen-elemen yang
menggambarkan sensitivitas proporsional dari λ yang berkaitan dengan elemenelemen pada matriks proyeksi populasi. Matriks transisi menyatakan peluang perpindahan tahap-tahap dalam siklus kehidupan dari satu tahap ke tahap berikutnya atau menyatakan parameter-parameter siklus kehidupan seperti tingkat kemampuan untuk bertahan hidup, laju pertumbuhan dan laju kelahiran individuindividu. Perubahan-perubahan kecil yang terjadi pada elemen-elemen matriks
transisi tersebut akan berpengaruh terhadap λ. Untuk mengetahui seberapa jauh
perubahan-perubahan itu berpengaruh dilakukan analisis sensitivitas (dalam hal
ini matriks diubah ke dalam matriks sensitivitas) dengan persamaan:
sij =

vi wj
< wv >

(2.5)

dimana,
sij = entri pada matriks sensitivitas.
w = right eigenvector (vektor dimana tahap yang dilalui telah stabil).
v = left eigenvector (vektor nilsi reproduktif).
vi = elemen ke i dari vektor nilai reproduktif.
wj = elemen ke j dari vektor dimana tahap yang dilalui telah stabil.
< wv >= vektor produk w dan v.
Sensitivitas proporsional disebut sebagai nilai elastisitas. Analisis elastisitas mengestimasi pengaruh dari suatu perubahan proporsional pada laju vital
pertumbuhan populasi. Hubungan antara s dan e adalah (Caswell, 2001):
eij =

aij
sij .
λ

(2.6)

dimana,
eij = entri pada matriks elastisitas.
aij = entri pada matriks model populasi.

Universitas Sumatera Utara

20
Elastisitas total (jumlah elemen-elemen di matriks elastisitas) adalah 1, atau 100%
(Sun dan Wang, 2007). Sebagai tambahan, elastisitas diamati pada setiap tahap
adalah:
n
X
j=1

eij =

n
X

eji ∀i...n.

(2.7)

j=1

Dengan perkataan lain, matriks elastisitas memenuhi sifat flow conservation (Sun
dan Wang, 2007).
Dalam analisis siklus kehidupan, elastisitas dapat dipandang sebagai suatu
jumlah konservatif yang mengalir melalui digraph siklus kehidupan. Ketika populasi yang digambarkan oleh digraph siklus kehidupan itu didekomposisi menjadi
siklus-siklus yang menggambarkan alur kehidupan yang diikuti oleh organismeorganisme individu yang berbeda, elastisitas total dari setiap siklus kehidupan
menggambarkan sensitivitas proporsional dari laju pertumbuhan populasi λ ke
alur kehidupan partikular. Dengan perkataan lain, elastisitas dapat digunakan
untuk menggambarkan kontribusi relatif dari alur hidup alternatif ke variasi-variasi
dalam laju pertumbuhan populasi (Sun dan Wang, 2007).
2.5 Loop Analysis
Suatu model demografik terdiri dari tahapan-tahapan dan transisi-transisi antar
tahap-tahap tersebut yang menggambarkan nasib suatu individu dalam istilahistilah yang biasa disebut dengan pertumbuhan, kemampuan bertahan hidup,
reproduksi dalam suatu interval waktu yang berturut-turut. Tahap-tahap dan
transisi-transisi masing-masing digambarkan dalam verteks dan arc pada digraph
siklus kehidupan. Suatu demografik digraph siklus kehidupan menyatakan bahwa
transisi-transisi adalah peluang suatu individu berpindah secara tak langsung dari
satu tahap ke tahap berikutnya (Wardle, 1998).
Analisis loop mengkombinasikan antara elemen-elemen matriks dan analisis
graph. Loop diturunkan langsung dari struktur atau hubungan-hubungan antar
Universitasloop
Sumatera
Utara
verteks dalam digraph. Suatu interpretasi secara biologi mengenai
menya-

21
takan bahwa loop-loop tersebut menahan arah yang sama sebagai aliran individuindvidu dari satu tahap ke tahap berikutnya melalui siklus kehidupan. Analisis
loop merupakan suatu tipe analisis sensitivitas untuk suatu model demografik
(Wardle, 1998). Elastisitas atau sensitivitas proporsional (de Kroon et.al, 1986)
dihitung dari matriks elemen transisi dan nilai-nilai elastisitas tersebut nantinya
akan menjadi bobot pada arc suatu digraph siklus kehidupan.
Jumlah elastisitas untuk suatu transisi yang masuk ke suatu verteks sama
dengan jumlah elastisitas suatu transisi yang meninggalkan suatu verteks. Kekekalan elastisitas pada suatu verteks ini berimplikasi bahwa elastisitas-elastisitas
menggambarkan aliran dalam suatu jumlah yang tetap pada suatu digraph. Akan
tetapi, pada kenyataannya individu-individu dalam suatu siklus kehidupan tidak
kekal, beberapa dari individu-individu tersebut mungkin mati dan meninggalkan
sistem tersebut. Oleh karena itu, karena elastisitas-elastisitas menggambarkan
kontribusi elemen-elemen matriks yang terpisah untuk menigkatkan laju pertumbuhan populasi, elastisitas-elastisitas tersebut harus melakukan hal yang demikian
sehingga melalui efek-efek individu akhirnya melengkapi siklus kehidupan (Wardle,
1998).
Sebagai akibat dari kekekalan elastisitas pada suatu verteks, setiap loop
memiliki suatu elastisitas karakteristik yang didefinisikan sebagai elastisitas-elastisitas elemen-elemen transisi yang tunggal ke loop tersebut. Selanjutnya, setiap
elemen matriks elastisitas adalah jumlah elastisitas-elastisitas karakteristik yang
terdiri dari elemen-elemen tersebut. Terakhir, elastisitas loop adalah jumlah elastisitas-elastisitas karakteristik pada setiap langkah dalam loop (ekuivalen dengan
elastisitas karakteristik dikali dengan jumlah langkah dalam loop). Untuk proses ini, elastisitas loop dijumlahkan dan berjumlah 100% (van Groenendael et.al,
1994). Oleh karena itu, elastisitas total dapat didekomposisi menjadi sekumpulan elastisitas-elastisitas loop yang menggambarkan path-path yang diikuti oleh
individu-individu pada populasi (Wardle, 1998).

Universitas Sumatera Utara

22
Metode umum dari analisis loop demografik ditemukan oleh van Groenendael
et.al (1994) yang melibatkan empat langkah sebagai berikut:
1. Bentuk suatu digraph siklus kehidupan dan matriks proyeksi populasi.
2. Hitung nilai elastisitas dari matriks berdasarkan persamaan (2.6).
3. Dekomposisi digraph siklus kehidupan menjadi loop-loop yang tak bercabang
sedemikian hingga semua transisi termasuk setidaknya satu kali ke beberapa loop (van Groenendael et.al, 1994). Elastisitas karakteristik loop sama
dengan elastisitas elemen-elemen yang tunggal ke loop tersebut.
4. Elastisitas loop diperoleh dengan mengalikan elastisitas karakteristiknya dengan jumlah elemen-elemen transisi yang terdapat di loop. Jumlah total
elastisitas loop sama dengan 1 (Wardle, 1998).
2.5.1 Menentukan Banyaknya Loop.
Jumlah loop pada suatu digraph siklus kehidupan ekuivalen dengan nulitas L,
L=b−n+c
b = Jumlah arc pada digraph;

n = Jumlah verteks; c = Komponen (suatu

subset digraph terhubung yang memuat jumlah maksimal arc). Untuk demografik
digraph siklus kehidupan nilai c selalu 1 karena setiap tahap suatu siklus kehidupan
dapat dicapai dari setidaknya i tahap lainnya.
2.5.2

Menentukan Sekumpulan Loop-Loop Independen dalam Suatu

Digraph Siklus Kehidupan.
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengidentifikasi suatu tree dari digraph.
Karena ada suatu path tunggal antara sebarang dua verteks pada suatu tree,
panambahan suatu chord (edge pada cotree) ke tree menghasilkan suatu loop yang
termuat dalam digraph yang dihasilkan. Oleh karena itu, suatu loop adalah hasil
dari tree ditambah dengan sebuah chord dari cotree yang bersesuaian. SelanUniversitas
Utara
jutnya, setiap chord pada cotree mendefinisikan sebuah loop
dengan Sumatera
suatu cara

23
yang tunggal. Jumlah loop akan berhubungan dengan jumlah chord pada cotree
(Wardle, 1998).
2.5.3 Menghitung Elastisitas Loop.
Nilai elastisitas adalah bobot-bobot di arc dalam digraph, dan elastisitas pada
chord mendefinisikan elastisitas karakteristik dari loop. Karena sifat kekekalan
elastisitas pada suatu verteks menyatakan bahwa peluang yang memasuki suatu
verteks sama dengan elastisitas yang meninggalkan verteks tersebut. Oleh karena
itu, elastisitas karakteristik juga mendefinisikan elastisitas semua arc dalam loop
(Wardle, 1998).
2.6 Dekomposisi Loop
Anggap A adalah suatu matriks proyeksi populasi berorder n. Untuk menghindari terjadinya kasus trivial atau kasus terdegenerasi, asumsikan n ≥ 2. Matriks
tersebut merupakan matriks nonnegatif dan akan diasumsikan juga bahwa matriks
tersebut tidak tereduksi, meskipun tidak selalu primitif. Laju pertumbuhan populasi berhingga λ adalah eigenvalue real dominan dari A. Eigenvalue real dominan
adalah nilai eigen λ1 yang memenuhi |λ1 | > |λi | untuk i = 2, 3, .., n. Suatu benda
yang berhubungan dengan A adalah suatu digraph siklus kehidupan berorder n,
yang setiap verteksnya berhubungan dengan kelas-kelas usia atau tahapan dalam
suatu kehidupan populasi dan arc nya berhubungan dengan transisi dari satu kelas
ke kelas berikutnya. Anggap 1, 2, 3, ..., n sebagai verteks-verteks di D, ada suatu
arc (i, j) yang berarah dari verteks i ke verteks j jika dan hanya jika aj,i > 0.
Anggap E(D) sebagai himpunan arc dengan m = |E(D)|. Karena A tak tereduksi, maka A terhubung kuat (Adams, 2008).
Suatu loop di D dengan panjang k adalah suatu barisan tak kosong (i1, i2),
(i2, i3), ..., (ik , il) dari arc-arc dimana verteks-verteks i1, i2 , ...ik berbeda. Anggap
L(D) = {L1 , L2 , ..., Ll} sebagai himpunan semua loop di D dengan l = |L(D)| dan
anggap li sebagai panjang dari loop Li dengan i = 1, 2, ..., l. Definisikan suatu
Universitas
Sumatera
Utara
dekomposisi loop di D sebagai suatu fungsi g : L(D) → R yang
memberi
tanda ke

24
setiap loop Lk suatu bilangan nonnegatif g(Lk ) yang memenuhi ej,i =

P

g(Lk )

Lk ∃(i,j)

untuk setiap (i, j) ∈ E(D). Bilangan g(Lk ) adalah karakteristik elastisitas dari Lk
yaitu lk g(Lk ). Oleh karena itu elastisitas karakteristik tersebut bisa saja bernilai
0 (Adams, 2008).

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
HASIL UTAMA

Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang
diperoleh berdasarkan penjelasan-penjelasan yang telah dipaparkan pada bab-bab
sebelumnya. Hasil utama dari penelitian ini yaitu algoritma untuk dekomposisi
digraph berbobot dengan aplikasi analisis siklus kehidupan pada ekologi.
3.1 Algoritma untuk Dekomposisi Digraph Berbobot dengan Aplikasi
Analisis Siklus Kehidupan pada Biota
Input: Digraph berbobot terhubung dan repesentasi matriks dari digraph tersebut.
Output: Cycle-cycle tanpa arah berlawanan.
Berdasarkan hasil yang diperoleh oleh Sun dan Wang (2007), maka diperoleh algoritma sebagai berikut:
1. Diketahui sebuah digraph berbobot terhubung beserta representasi matriks
berbobotnya yang merupakan matriks elastisitas W = (wij ).
2. Tentukan semua cycle yang mungkin, kemudian cari cycle tanpa arah berlawanan dengan catatan cycle dicari melalui suatu titik tertentu yang merupakan titik awal dan akhir. Proses ini dapat dipaparkan sebagai berikut:
a. Tentukan suatu verteks sebagai verteks awal sekaligus verteks akhir,
anggap v1 dengan syarat setidaknya ada satu arc dari v1 dan setidaknya
ada satu arc menuju v1.
b. Pilih i1 sebagai verteks yang akan dikunjungi dengan syarat ada arc
dari verteks awal ke verteks i1 (v1 → vi1 , wi1 ,1 > 0).
c. Jika terdapat arc dari verteks vi1 ke v1, maka suatu cycle telah diteUniversitas
Utara
lainSumatera
yang akan
mukan yaitu v1 → vi1 → v1. Selanjutnya, cari verteks

26
dikunjungi berikutnya dari v1 ke {v2, ..., vn} \ {vi1 }, yakni suatu verteks
i2 sedemikian hingga ada arc dari vi1 ke vi2 (wi2 ,i1 > 0).
d. Jika tidak terdapat arc dari vi1 ke setiap vj (wj,i1 = 0), kembali ke
langkah b untuk memilih i1 yang lain dari v1 sehingga ada arc dari v1
ke vi1 tersebut (wi1 ,1 > 0) dan lanjutkan langkah-langkah berikutnya.
e. Jika terdapat arc dari verteks vi2 ke v1 maka suatu cycle ditemukan
yaitu v1 → vi1 → vi2 → v1. Ulangi langkah c untuk menentukan
verteks lain yang mungkin bisa dikunjungi (masih dengan verteks awal
dan verteks akhir yang sama yaitu v1),