MODEL EPIDEMIC TYPE AFTERSHOCK SEQUENCE (ETAS )
MODEL EPIDEMIC TYPE AFTERSHOCK SEQUENCE
(ETAS )
oleh LIA SULISTYA RINI M0113026
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA
2017
PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul ”Model epi-
demic type aftershock sequence (ETAS )” belum pernah diajukan untuk mempe-
roleh gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Surakarta, November 2017 Lia Sulistya Rini
ABSTRAK
Lia Sulistya Rini, 2017. MODEL EPIDEMIC TYPE AFTERSHOCK
SEQUENCE (ETAS ). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Uni-
versitas Sebelas Maret.Proses stokastik merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dapat digunakan untuk memprediksi atau menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari-hari. Proses titik merupakan bagian dari proses stokas- tik yang dapat digunakan untuk menggambarkan peristiwa-peristiwa dalam pola tertentu. Salah satu kejadian yang dapat digambarkan dengan proses titik ada- lah gempa bumi. Gempa bumi dipandang sebagai koleksi acak titik-titik dalam suatu ruang, dimana masing-masing titik menyatakan waktu atau lokasi dari su- atu kejadian. Pada kejadian gempa bumi, sebuah gempa besar biasanya diikuti gempa lainnya atau gempa susulan. Model epidemic type aftershock sequence (ETAS ) merupakan model pada proses titik yang mempertimbangkan keterkait- an gempa satu dengan yang lainnya. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang fungsi intensitas bersyarat model ETAS, mengestimasi parameter fungsi intensitas bersyarat model ETAS, dan menerapkannya pada data gempa bumi di Jawa dan Sumatra.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa model ETAS dapat dinyatakan dengan fungsi intensitas bersyarat yang memiliki lima parameter dan mempertimbang- kan variabel waktu serta magnitudo. Estimasi parameter model ETAS pada data gempa bumi di Jawa dan Sumatra diperoleh dengan metode estimasi likelihood maksimum. Hasil estimasi parameter tersebut menunjukkan bahwa laju kegem- paan dasar di Sumatra lebih tinggi dibandingkan Jawa dan produktivitas gempa susulan di Jawa lebih tinggi dibandingkan Sumatra. Efisiensi gempa bumi de- ngan magnitudo tertentu menghasilkan gempa susulan di Sumatra lebih tinggi dibandingkan Jawa, skala waktu laju peluruhan gempa susulan di Sumatra lebih tinggi dibandingkan Jawa, dan laju peluruhan gempa susulan di Jawa lebih tinggi dibandingkan Sumatra.
Kata Kunci
: model ETAS, fungsi intensitas bersyarat, gempa bumi, magnitudo, estimasi likelihood maksimum.
ABSTRACT
Lia Sulistya Rini, 2017. EPIDEMIC TYPE AFTERSHOCK SEQUENCE (ETAS) MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Universitas Sebelas Maret.
Stochastic process is one field of study in mathematics that can be used to predict or explain a phenomena in everyday life. The point process is a part of a stochastic process that can be used to describe events in a particular pattern. One of the events that can be described by a point process is earthquake. The earthquake is seen as a random collection of points in a space, where each point represents the time or location of an event. In the event of an earthquake, a big earthquake is usually followed by other earthquakes or aftershocks. The epidemic type aftershock sequence (ETAS) model is a model of a point process that considers the relation of earthquake with each other. This research aims to reconstruct conditional intensity function of ETAS model, to estimate the parameters of the conditional intensity function of ETAS model, and apply it to earthquake data in Java and Sumatra.
The result shows that ETAS model can be expressed by conditional intensity function which has five parameters and considering time and magnitude varia- bles. ETAS model parameter estimation of earthquake data in Java and Sumatra was obtained by maximum likelihood estimation method. The estimation shows that the background rate in Sumatra is higher than Java and the productivity of aftershocks in Java is higher than Sumatra. The efficiency of the magnitude of an earthquake in generating its offspring in Sumatra is higher than Java, the time scale of decay rate of aftershocks in Sumatra is higher than Java, and the decay rate of aftershocks in Java is higher than Sumatra.
Keywords : ETAS model, conditional intensity function, earthquake, magnitu- de, maximum likelihood estimation.
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk ibu dan bapak saya.
MOTO
”Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila
kamu telah selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan
sungguh-sungguh (urusan) yang lain.”
(QS. Al Insyirah 5-7)
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT atas limpahan rahmat dan karunia-Nya se- hingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sholawat serta salam selalu di- haturkan kepada Nabi Muhammad SAW. Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada
1. Dr. Hasih Pratiwi, M.Si. sebagai Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
2. Drs. Santoso Budi Wiyono, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat.
Surakarta, November 2017 Penulis
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x DAFTAR TABEL
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2.2.1 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2.2.2 Proses Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2.3 Distribusi Magnitudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 IV PEMBAHASAN 13 4.1 Fungsi Intensitas Bersyarat Model ETAS . . . . . . . . . . . . . .
23 DAFTAR PUSTAKA
23 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 V PENUTUP 23 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 4.3.2 Data Gempa Bumi di Sumatra . . . . . . . . . . . . . . .
17 4.3.1 Data Gempa Bumi di Jawa . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 4.3 Penerapan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 4.2 Estimasi Parameter Fungsi Intensitas Bersyarat Model ETAS . .
10 III METODE PENELITIAN
6 2.2.4 Hukum Omori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 2.2.10 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.2.9 Metode Nelder-Mead Simplex . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.2.8 Metode Likelihood Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . .
8 2.2.7 Fungsi Log Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.2.6 Fungsi Intensitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 2.2.5 Model Tipe Epidemik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 DAFTAR TABEL 4.1 Estimasi parameter model ETAS data gempa bumi di Jawa . . .
18 4.2 Estimasi parameter model ETAS data gempa bumi di Sumatra .
20 DAFTAR GAMBAR 4.1 Plot magnitudo dan waktu data gempa bumi di Jawa . . . . . . .
19
4.2 Plot logaritma fungsi intensitas bersyarat model ETAS data gem- pa bumi di Jawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 4.3 Plot magnitudo dan waktu data gempa bumi di Sumatra . . . . .
21
4.4 Plot logaritma fungsi intensitas bersyarat model ETAS data gem- pa bumi di Sumatra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
DAFTAR NOTASI
: kejadian-kejadian sampai dengan waktu sebelum t T : panjang interval observasi h
(t|H t ) : fungsi distribusi kumulatif bersyarat f (t|H t ) : fungsi densitas probabilitas bersyarat
: estimator parameter F
ˆ θ
(M ) : frekuensi gempa bumi θ : parameter
: magnitudo L : fungsi likelihood log L : fungsi logaritma likelihood F
: interval waktu yang sempit M
N (t) : banyaknya kejadian yang terjadi selama waktu t t
: waktu t t i : waktu saat kejadian ke-i dengan i merupakan indeks dari 1, . . . , N M i
: ruang keadaan dengan d ≥ 1 λ : fungsi intensitas λ
(t) : laju gempa susulan dengan t waktu sejak awal mula gempa utama R d
: skala waktu laju peluruhan gempa susulan p : laju peluruhan gempa susulan n
: produktivitas gempa susulan α : efisiensi gempa bumi dengan magnitudo tertentu menghasilkan gempa susulan c
: laju kegempaan dasar K
M : batas bawah magnitudo µ
: magnitudo saat kejadian ke-i dengan i merupakan indeks dari 1, . . . , N
(t|H t ) : fungsi intensitas bersyarat H t