T1 662011012 Full text
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
MODIFIED GSTAR MODEL TO DETERMINE THE OBJECTIVE FUNCTION
OPTIMIZATION OF CORN PRODUCTION IN BOYOLALI REGENCY
Oleh:
Priska Dwi Apriyanti
662011012
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna
memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2015
i
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR
Yang bertanda tangan di bawah ini,
Nama
:
Priska Dwi Apriyanti
NIM
:
662011012
Program Studi :
Matematika
Fakultas
:
Sains dan Matematika, Universitas kristen Satya Wacana
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, Judul:
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
yang dibimbing oleh:
1. Dr. Hanna Arini Parhusip
2. Dra. Lilik Linawati, M.Kom
adalah benar-benar hasil karya saya.
Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau
gagasan orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk
rangkaian kalimat atau gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya
sendiri tanpa memberikan pengakuan pada penulis atau sumber aslinya.
Salatiga, 20 Januari 2015
Yang memberi pernyataan
Priska Dwi Apriyanti
ii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademika Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW), saya yang bertanda
tangan di bawah ini
Nama
:
Priska Dwi Apriyanti
NIM
:
662011012
Program Studi :
Matematika
Fakultas
:
Sains dan Matematika, Universitas kristen Satya Wacana
Jenis Karya
:
Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak
bebas royalty non-eksklusif (non-exclusive free right) atas karya ilmiah saya yang
berjudul:
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
beserta perangkat yang ada (jika perlu).
Dengan hak bebas royalty non-eksklusif ini, UKSW berhak menyimpan,
mengalihmediakan/mengalihformatkan mengelola dalam bentuk pangkalan data, merawat,
mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis,
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di: Salatiga
Pada tanggal: 20 Januari
2015
Yang menyatakan,
Priska Dwi Apriyanti
Mengetahui,
Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Hanna Arini Parhusip
Dra. Lilik Linawati, M.Kom
iii
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
MODIFIED GSTAR MODEL TO DETERMINE THE OBJECTIVE FUNCTION
OPTIMIZATION OF CORN PRODUCTION IN BOYOLALI REGENCY
Oleh:
Priska Dwi Apriyanti
662011012
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna
memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains (Matematika)
Disetujui oleh,
Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Hanna Arini Parhusip
Dra. Lilik Linawati, M.Kom
Diketahui oleh,
Kaprogdi
Disahkan oleh,
Dekan
Dr. Bambang Susanto, MS
Dr. Surya Satriya Trihandaru, M.Sc.,
nat.
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2015
iv
MOTTO
“Tuhan berjalan di depan mereka, pada siang hari dalam tiang awan untuk menuntun
mereka di jalan, dan pada waktu malam dalam tiang api untuk menerangi mereka,
sehingga mereka dapat berjalan siang dan malam.”
― (Kel 13:21)
“No pain, no gain”
―Jane Fonda
“The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make
complicated things simple.”
― Stan Gudder (Mathematician)
PERSEMBAHAN
Karya ini ku persembahkan untuk:
Keluarga Tercinta
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas anugrah-Nya, penulis dapat
menyelesaikan skripsi sebagai prasyarat menyelesaikan Studi Strata 1 pada Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama. Makalah yang pertama berjudul
“Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Produksi Optimal Jagung di Kabupaten
Boyolali” yang telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional VIII tahun 2014, yang
diselenggarakan Universitas Negeri Semarang pada tanggal 08 November 2014.
Kemudian makalah yang kedua ditulis dengan judul “Penerapan Model GSTAR
Termodifikasi untuk Menentukan Fungsi Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9
Kecamatan di Kabupaten Boyolali”.
Dalam penyusunan naskah makalah diatas tidak terlepas dari bantuan dan dorongan
dari berbagai pihak yang memungkinkan makalah ini terselesaikan. Maka pada kesempatan
kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih atas segala bantuan, bimbingan dan
dukungan kepada :
1. Dr. Bambang Susanto, MS, selaku Kepala Program Studi Matematika Fakultas
Sains dan Matematika.
2. Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc, selaku dosen pembimbing utama, terimakasih
atas bimbingan, ide dan masukan kepada Penulis.
3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom, selaku dosen pembimbing pendamping, terimakasih
atas bimbingan dan koreksi yang diberikan.
4. Dosen pengajar, Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung Mahatma, M.Kom., Didit
Budi Nugroho, D.Sc, Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si, serta Pak Edi sebagai
Laboran FSM.
5. Bpk Daniel Suhir dan Ibu Rustinah atas dorongan, doa dan motivasi yang tak
ternilai bagi penulis. Terimakasih juga sudah menemani saat penulis sedang
menyelesaikan tugas akhir ini serta untuk semua kerja keras Ayah dan Ibu sampai
penulis dapat menyelesaikan jenjang perguruan tinggi.
6. Kakak tercinta, Daud Eko dan Arum Pramusinta terimakasih untuk dukungan
yang telah diberikan.
vi
7. Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2011, Titis, Minyuu, Ebi, Daivi,
Raffen, Dwi dan Kevin. Terimakasih atas kebersamaan dan ketabahan dalam
menjalani perkuliahan.
8. Teman-teman FSM Angkatan 2011, Yodi, Hera, Yaya, Happy, Ode, Arin, Hizkia,
Aji, Ferry, dkk. Terimakasih telah menemani penulis dalam suka dan duka.
9. Teman-teman sepermainan, Maria Merdeka, Christina Wolter, Ananda Sindora,
Ranitia Cuk, Fitria Nonnik, Vicky Pong, Nesya Artika, Maya Bonita.
Terimakasih untuk dukungan, cercaan, makian, semangat, kebersamaan yang
telah kita lewati bersama.
Dan semua pihak yang membantu dalam proses pembuatan skripsi yang tidak dapat
penulis sebutkan satu persatu, terimakasih atas bantuan dan semangatnya. Semoga Tuhan
membalas bantuan yang telah diberikan dengan anugrah yang melimpah.
Harapan penulis, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membaca. Akhir kata, penulis ucapkan terimakasih. Tuhan Memberkati.
Salatiga, Januari 2015
Penulis
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................................... i
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR............................................. ii
PERNYATAAN BEBAS ROYALTY DAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... iii
LEMBAR PENGESAHAN ....................................................................................................... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN.............................................................................................. v
KATA PENGANTAR ............................................................................................................... vi
DAFTAR ISI ........................................................................................................................... viii
ABSTRAK ................................................................................................................................. x
PENDAHULUAN .................................................................................................................... xii
MAKALAH
PERTAMA
MAKALAH KEDUA
: Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Produksi
Jagung Optimal di Kabupaten Boyolali
: Penerapan Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan
Fungsi Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9 Kecamatan
di Kabupaten Boyolali
LAMPIRAN-LAMPIRAN ....................................................................................................... xv
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data Asli Produksi Jagung di Kabupaten Boyolali ............................................. L.1
Lampiran 2. Data luas Lahan Kritis (ha) di Kabupaten Boyolali ............................................ L.2
Lampiran 3. Data Luas Lahan Panen (ha) di Kabupaten Boyolali .......................................... L.3
Lampiran 4. Data Curah Hujan (mm) di Kabupaten Boyolali ................................................ L.4
Lampiran 5. Plot trend analysis untuk data di lokasi Kecamatan Kemusu, Wonosegoro, dan
Juwangi .................................................................................................................................... L.5
Lampiran 6. Plot trend analysis untuk data di lokasi Kecamatan Klego, Andong, dan Simo L.6
Lampiran 7. Cara menggunakan lembar kerja Ms.Excel 2007 untuk optimasi ...................... L.7
Lampiran 8. Kode Matlab untuk estimasi model GSTAR Termodifikasi di lokasi
Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk ............................................................................... L.11
Lampiran 9. Kode Matlab untuk estimasi parameter Box-Cox pada 9 kecamatan di
Kabupaten Boyolali ............................................................................................................... L.17
Lampiran 10. Sertifikat Seminar Nasional Matematika VIII tahun 2014, 08 November,
Semarang ............................................................................................................................... L.19
ix
ABSTRAK
Model GSTAR Termodifikasi merupakan modifikasi model GSTAR Standar dengan
penambahan variabel lain yang dianggap berpengaruh. Menggunakan data produksi jagung
(ton), luas lahan kritis (ha), luas lahan panen (ha), dan curah hujan (mm) akan ditentukan
estimasi parameter model GSTAR Standar dan GSTAR Termodifikasi. Berdasarkan hasil
penelitian pada makalah 1 untuk lokasi di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk, model
GSTAR Termodifikasi dipilih sebagai model terbaik karena estimasi parameter yang tidak
signifikan pada model GSTAR Standar menjadi signifikan. Berdasarkan model GSTAR
Termodifikasi diperoleh bahwa hasil optimasi produksi jagung di Kecamatan Cepogo yang
lebih besar dari maksimal data asli sedangkan di Kecamatan Ampel dan Musuk lebih kecil
dari maksimal data asli. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan solusi menunjukkan
bahwa pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan pengoptimal global, sedangkan di
Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1 pengoptimal yang disebut sebagai
pengoptimal lokal. Penelitian dilanjutkan pada makalah 2, model GSTAR Termodifikasi
akan diterapkan pada data produksi jagung (ton), luas lahan panen (ha), dan curah hujan
(mm) pada 9 Kecamatan di Kabupaten Boyolali. Hasil estimasi parameter model GSTAR
menunjukkan semua parameter signifikan menurut uji-t dengan 5% . Hasil optimasi
menunjukkan yang berada pada interval data asli hanya produksi jagung di Kecamatan
Boyolali, sedangkan pada kecamatan lain lebih besar dari maksimal data asli. Akan tetapi
hasil secara keseluruhan berbeda dengan maksimal data asli dengan nilai error kurang dari
10%. Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan selain Kecamatan
Boyolali dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per tahun.
Kata Kunci: GSTAR Standar, GSTAR Termodifikasi,optimasi.
x
ABSTRACT
GSTAR Modified is a modification GSTAR Standard with the addition of other variables
that are considered influential. Using the data corn production (tonnes), the critical land
area (hectare), crop land area (hectare), and precipitation (mm) will be determined
parameter estimation GSTAR Standard and Modified GSTAR. Based on the research
results of the paper 1 for locations in the sub-district Ampel, Cepogo, and Musuk, GSTAR
Modified chosen as the best model because estimation of the parameters is not significant
at GSTAR Standard becomes significant. Based on Modified GSTAR found that corn
production optimization results in sub-district Cepogo greater than the maximum original
data while in sub-district Ampel and Musuk smaller than the maximum original data. The
results of the analysis to test optimal solution shows that the optimizer in sub-district
Musuk is a global optimizer, while in District Ampel and Cepogo there are more than 1
optimizer which is referred to a local optimizer. Research continued on the paper 2,
GSTAR Modified be applied to data corn production (tonnes), crop land area (hectare), and
precipitation (mm) at 9 sub-district in Boyolali Regency. The results of parameter
estimation GSTAR shows that all parameters are significant according to the t-test with
5% . The results show that only corn production in the sub-district Boyolali whose
optimization result is in the interval of the original data, while in other districts larger than
the maximum of the original data. However, the overall result is different from the original
data with a maximum error rate of less than 10%. From the calculation results indicate for
every sub-district except sub-district of Boyolali can increase corn production by 50 tons
per year.
Key words: GSTAR Standard, Modified GSTAR, Optimation
xi
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai data yang tidak hanya
mengandung keterkaitan dengan data pada waktu sebelumnya, tetapi juga mempunyai
keterkaitan dengan lokasi. Untuk memperoleh model peramalan dengan data demikian
dapat digunakan model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) (Suhartono,
2006). Variabel yang dipakai dalam model GSTAR tidak bervariasi sedangkan untuk
keperluan optimasi diperlukan variabel yang bervariasi sehingga perlu dilakukan
modifikasi. Sebagai contoh penambahan variabel , luas lahan kritis (ha), luas lahan panen
(ha), dan curah hujan (mm) dalam penyusunan model GSTAR karena variabel tersebut
dianggap berpengaruh untuk produksi jagung.
Makalah 1 menjelaskan tentang pemilihan model terbaik untuk data produksi
jagung hibrida (ton), luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis (ha), dan
curah hujan (mm) di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk antara model GSTAR
Standar dengan GSTAR Termodifikasi (Apriyanti dkk, 2014). Model terbaik tersebut
digunakan dalam penyusunan fungsi tujuan model program linier untuk keperluan
optimasi. Perhitungan pada makalah 1 dibatasi menggunakan software Matlab R2009a dan
hanya pada 3 kecamatan, yaitu Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk.
Penelitian dilanjutkan dalam makalah 2 untuk menentukan nilai optimal produksi
jagung pada 9 kecamatan di Boyolali yang memproduksi jagung sebagai produk andalan
dalam kurun waktu 6 tahun (2008 s/d 2013). Model GSTAR Termodifikasi digunakan
dalam penyusunan makalah 2 dengan menghilangkan variabel lahan kritis, karena untuk
lokasi lain luas lahan kritis cukup kecil sehingga dianggap tidak berpengaruh. Analisa
diutamakan menggunakan Ms.Excel 2007 agar hasil penelitian dapat dimanfaatkan dengan
mudah untuk semua kalangan, khususnya dinas pemerintah terkait.
2.
Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :
Bagaimana menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali
dengan model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier.
Bagaimana menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali
dengan model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier menggunakan
Ms.Excel 2007.
xii
3.
Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah :
Menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali dengan
model GSTAR dan metode program linier.
Menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali dengan
model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier menggunakan
Ms.Excel 2007
4.
Batasan Masalah
i. Data yang digunakan merupakan data produksi jagung hibrida (ton), luas lahan
kritis (ha), luas lahan panen (ha) dan curah hujan (mm) yang didapat dari Badan
Pusat Statistik (BPS) Kabupaten Boyolali.
ii. Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R2009a dan Ms.Excel 2007.
5.
Manfaat Penelitian
Untuk mengetahui nilai produksi jagung dalam kurun waktu tertentu yang dapat
digunakan sebagai acuan dalam meningkatkan produksi jagung di lokasi
tertentu.
Bagi dinas terkait dapat menghitung nilai produksi jagung optimal di lokasi
yang telah ditentukan dengan workbook Ms.Excel 2007 yang menjadi hasil
penelitian ini.
6.
Simpulan
Berdasarkan makalah (Apriyanti dkk, 2014a) dan (Apriyanti dkk, 2014b) dapat
disimpulkan:
Model GSTAR Termodifikasi lebih bagus dibandingkan dengan GSTAR standard
karena parameter yang tidak signifikan pada GSTAR standard menjadi signifikan
pada GSTAR Termodifikasi
Hasil optimasi menunjukkan produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel,
Cepogo, dan Musuk berturut-turut sebesar
23.501,31 ton, 15.935,47 ton, dan
16.551,27 ton dengan hasil optimal di Ampel dan Musuk berada pada selang data
asli. Dengan kata lain, dengan memperhatikan curah hujan dan luas lahan, hasil
penelitian dapat mengusulkan hasil optimasi jagung yang diperoleh selama 5 tahun
untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil optimal Cepogo masih dianalisis lebih
lanjut. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan solusi menunjukkan bahwa
xiii
pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan solusi dari metode program linier,
sedangkan di Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1 pengoptimal
yang disebut sebagai pengoptimal lokal
Kecamatan Boyolali dengan nilai error kurang dari 10%.
Hasil optimal produksi jagung (ton) lebih besar dari maksimal data asli kecuali di
Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan pada penelititan ini
selain Kecamatan Boyolali dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per
tahun.
Penggunaan Ms.Excel 2007 sebagai alat pengolah data belum dapat digunakan
untuk menguji menguji stasioneritas data dalam variansi sehingga dilakukan
menggunakan Matlab R2009a
xiv
MAKALAH 1
(Telah diseminarkan pada Seminar Nasional VIII tahun 2014, 08 November, Semarang)
15
1
lokasi. Untuk memperoleh model peramalan dengan data demikian dapat
digunakan model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) (Suhartono, 2006).
Model GSTAR Standard akan diterapkan untuk meramalkan data produksi jagung di
Kabupaten Boyolali, kemudian dievaluasi apakah model tersebut cocok sebagai model
peramalan. Selain model GSTAR standard disusun pula model GSTAR Termodifikasi
yang menunjukkan keterkaitan antara produksi jagung dengan luas lahan dan curah hujan.
Hasil model GSTAR standard dan hasil model GSTAR Termodifikasi akan dibandingkan
sehingga diperoleh model terbaik yang akan digunakan untuk menentukan produksi jagung
yang optimal dalam kurun waktu tertentu.
B. Tinjauan Pustaka
Pada GSTAR standard beberapa asumsi perlu dipenuhi untuk dapat memperoleh
model yang tepat, misalnya data harus stasioner dalam variansi dan rata-rata (Borovkova,
dkk, 2002). Transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan untuk menguji
kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Asumsi lain yang perlu dipenuhi adalah
residual harus white noise yang dapat dideteksi dengan Uji L-jung Box Pierce setelah
model GSTAR standard diperoleh. Apabila asumsi stasioneritas data telah dipenuhi maka
dapat dilanjutkan ke penyusunan model GSTAR standard dan estimasi parameter dengan
metode kuadrat terkecil. Hasil estimasi parameter diuji signifikansinya dengan
menggunakan uji-t yang menghasilkan parameter-parameter signifikan. Proses pemenuhan
asumsi hingga estimasi parameter tersebut juga diterapkan untuk model GSTAR
termodifikasi sehingga diperoleh hasil GSTAR standard dan hasil GSTAR termodifikasi
yang kemudian dibandingkan. Model terbaik akan dijadikan fungsi tujuan yang
diselesaikan dengan metode program linier.
Uji Stasioneritas
Dalam analisa data time series X t t 1,...,N diperlukan asumsi stasioneritas dalam
variansi E ( X t ) dan rata-rata E ( Xt ) dimana nilai variansi (σ2) dan rata-rata ( ) tidak
berubah (konstan) untuk semua waktu, secara matematis dituliskan pada persamaan (1).
E ( X t ) untuk semua t
(1)
2
E ( X t2 ) 2 untuk semua t
Menurut Wei (2006:80) stasioneritas dalam variansi dan stasioneritas dalam ratarata dapat dijelaskan sebagai berikut
1. Stasioneritas dalam variansi
Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur data
dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan. Stasioneritas
dalam variansi dapat dilihat dari estimasi lambda yang dihasilkan oleh transformasi
Box Cox pada persamaan (2). Jika estimasi lambda mendekati 1 maka data dikatakan
stasioner dalam variansi, jika estimasi lambda tidak mendekati 1 maka perlu dilakukan
transformasi Box-Cox pada data agar data stasioner dalam variansi.
Yi 1
, 0
Wi
, i 1,2,..., n
ln(Y ), 0
i
(2)
dengan,
Wi = data ke-i hasil transformasi
Yi = data ke-i yang akan ditransformasi
2
λ = parameter Box-Cox
2. Stasioneritas dalam rata-rata
Stasioneritas dalam rata-rata ditunjukkan dengan plot data trend analysis yang
menggambarkan fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan,
tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dilihat dari hasil trend
analysis, data dikatakan stasioner jika trend linear mendekati sejajar dengan sumbu
horizontal, namun jika tidak sejajar dengan sumbu horizontal maka perlu dilakukan
differencing pada data.
Pengujian Residual White Noise
Residual white noise adalah residual mengikuti distribusi identik independen (iid)
yang dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error -nya. Uji
korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag.
Langkah-langkah pengujian korelasi residual, yaitu :
Ho
: 1 2 3 ... K 0
: k 0, k 1,2,..., K
dengan k adalah koefisien autokorelasi residual periode k. Statistik uji yaitu
Ljung Box Pierce dengan taraf signifikansi sebesar 5%. Rumus uji Ljung Box-Pierce
(Wei,2006:153) didefinisikan pada persamaan (3).
K
ˆ 2
(3)
Q K T (T 2) k
k 1 T k
dengan,
Ha
QK
T
K
ˆ k
: statistik uji Ljung Box-Pierce
: banyaknya data
: banyaknya periode yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
Kriteria keputusan yaitu tolak Ho jika QK > (2a , d , f ) tabel, artinya residual tidak
white noise atau memiliki korelasi antar lag.
Model GSTAR Standard
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) pertama kali
diperkenalkan oleh Borovkova, Lopuhaa, dan Ruchjana (2002) sebagai generalisasi dari
model Space Time Autoregressive (STAR). Perbedaan yang cukup mendasar antara
GSTAR dan STAR terletak pada asumsi karakteristik lokasi. Pada model STAR
penyusunan model terbatas pada variabel dengan karakteristik lokasi yang seragam
(homogen), sedangkan model GSTAR penyusunan model dapat dilakukan apabila
memiliki karakteristik lokasi yang beranekaragam (heterogen). Menurut Borovkova,dkk
(2002) model GSTAR dapat dituliskan pada persamaan (4).
Z (t ) ( k 0 k1W ) Z (t k ) e(t )
p
k 1
(4)
dengan
Z(t) = variabel pengganti data pada waktu t
p
= orde spasial
k 0 = diag ( k10 ,..., kn0 ) dan k1 = diag ( k11 ,..., kN1 ) merupakan parameter model
W
= bobot (weigth) yang dipilih untuk memenuhi wii 0 dan
1 j
wij 1
3
Matriks model GSTAR untuk penggunakan 3 lokasi yang berbeda pada orde waktu
dan orde spasial 1 disajikan pada persamaan (5) (Faizah & Setiawan, 2013).
0 Z1 (t 1) 11 0 0 0 w12 w13 Z1 (t 1) e1 (t )
Z1 (t ) 10 0
Z (t ) 0
0 Z2 (t 1) 0 21 0 w21 0 w23 Z2 (t 1) e2 (t )
20
2
Z3 (t ) 0
0 30 Z3 (t 1) 0 0 31 w31 w32 0 Z3 (t 1) e3 (t )
(5)
Bobot lokasi yang dipakai dalam penelitian ini adalah bobot lokasi seragam dan
invers jarak. Penentuan nilai bobot untuk bobot lokasi seragam wij 1 n i dengan ni
merupakan banyaknya lokasi yang berdekatan dengan lokasi ke-i, sedangkan bobot lokasi
invers jarak dihitung menggunakan jarak sebenarnya antar lokasi. Untuk contoh kasus pada
Gambar 1, perhitungan bobot untuk jarak dari lokasi A ke lokasi B dengan metode invers
jarak adalah
*
WAB
WAB
WAC
1
d AB
1
,
3
*
WAB
*
*
WAC
WAB
*
WAC
*
*
WAC
WAB
*
WAC
1
d AC
1
3 1
1 1 4
3
3
1
4
1 1
3
1
1
B
3
A
2
1
C
Gambar 1. Contoh peta lokasi
GSTAR Termodifikasi
GSTAR termodifikasi adalah modifikasi GSTAR standard, modifikasi dilakukan
dengan mengganti variasi lokasi pada GSTAR standard dengan variasi faktor produksi.
GSTAR termodifikasi ini telah digunakan untuk mengetahui banyaknya produksi padi
optimal yang bergantung pada curah hujan dan proporsi luas lahan panen dibandingkan
luas lahan kritis di tiap lokasi (Parhusip, 2014). Pada penelitian tersebut menghasilkan
model GSTAR Termodifikasi dimana bobot lokasi merupakan parameter regresi klasik,
sedangkan penelitian pada makalah ini bobot lokasi tetap sama dengan GSTAR standard
namun karakteristik lokasi diganti dengan variasi faktor produksi, yaitu curah hujan dan
proporsi luas lahan panen dibandingkan luas lahan kritis. Dalam GSTAR standard jumlah
produksi jagung di lokasi i (i=1,2,3) pada waktu t bergantung pada jumlah produksi jagung
di lokasi yang sama pada waktu sebelumnya (t-1) dan lokasi lain pada waktu t-1,
sedangkan GSTAR termodifikasi ketergantungan pada lokasi lain tersebut diganti dengan
variasi faktor produksi yaitu curah hujan dan proporsi luas lahan panen dibandingkan luas
lahan kritis di tiap lokasi. Berdasarkan persamaan matriks (5) modifikasi dilakukan dengan
melakukan penggantian variabel Zi(t-1) menjadi proporsi luas lahan panen dibandingkan
dengan luas lahan kritis (Yi(t)) dan curah hujan (Ri(t)), sehingga diperoleh persamaan yang
baru yaitu seperti pada persamaan (6), (7), dan (8).
Z1 (t ) 10 Z1 (t 1) 11 (W12Y1 (t ) W13 R1 (t )) e(t )
Z 2 (t ) 20 Z 2 (t 1) 21 (W21Y2 (t ) W23 R2 (t )) e(t )
Z 3 (t ) 30 Z 3 (t 1) 31 (W31Y3 (t ) W32 R3 (t )) e(t )
(6)
(7)
(8)
4
dengan parameter yang diestimasi adalah (10 20 30 11 21 31 )' . Parameter
tersebut diestimasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yang dibahas pada
subbab selanjutnya.
Penaksiran Parameter dan Uji Signifikansi Parameter pada Model GSTAR
Estimasi parameter model GSTAR yaitu (10 20 30 11 21 31 )' dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yang diformulasikan pada
persamaan (9).
X ' X 1 X ' Y
(9)
dengan struktur data untuk estimasi parameter model GSTAR(11) di 3 lokasi dijabarkan
pada persamaan matriks (10) (Faizah & Setiawan,2013).
10
20
(
1
)
0
0
(
1
)
0
0
Z
t
F
t
(
)
Z
t
e1t
1 1
1
30 e t
Z (t ) 0
0
0
0
Z 2 (t 1)
F 2 (t 1)
2
2
11
Z 3 (t ) 0
0
0
0
Z 3 (t 1)
F 3(t 1) e 3 t
21
31
(10)
Parameter yang diperoleh tersebut diuji signifikansinya dengan Uji-t. Langkahlangkah pengujian parameter, yaitu
Ho
: ki 0 , k = 1,2,3 dan i = 0,1
: ki 0 , k = 1,2,3 dan i = 0,1
Ha
ki
ki adalah parameter dan
S ( ki ) , dimana
Statistik uji :
t hitung
S (ki ) adalah standar error
parameter. Kriteria pengujian dengan α = 5% adalah tolak Ho jika |thitung| > ttabel , artinya
parameter signifikan.
Metode Program Linier
Program linier adalah model yang tersusun dari variabel-variabel keputusan yang
membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala (Taylor, 2008). Program linier dapat
menyelesaikan model fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) yang
berhubungan secara linier, sebagai contoh model yang terbentuk dari GSTAR
Termodifikasi. Model GSTAR Termodifikasi akan dijadikan fungsi tujuan yang
memaksimalkan produksi jagung di tiap lokasi dalam kurun waktu tertentu. Fungsi tujuan
permasalahan program linier secara umum dituliskan pada persamaan (11) dengan kendala
pada persamaan (12).
Maks atau Min : Z i 1 c i X i untuk i = 1,2,3,…,N
N
N
i 1
(11)
a i X i bi atau ≥ bi atau = bi dan X j 0
(12)
dengan
Z
= Fungsi tujuan
Xi
= Variabel keputusan i
5
= Koefisien dari variabel keputusan ke-i
= Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala ke-i
= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i
Untuk menguji keoptimalan solusi program linier, analisa dilakukan dengan
menggeser posisi optimal sebesar ±ΔX, ±ΔY, dan ±ΔR, dimana ΔX, ΔY, dan ΔR dipilih
berturut sebagai standard deviasi dari produksi jagung dalam kurun 4 tahun (X), luas lahan
panen dibandingkan dengan luas lahan kritis (Y), dan curah hujan (R). Artinya analisa
dilakukan dengan membuat daerah kelayakan yang cukup kecil di sekitar
ci
ai
bi
z * x*
y*
r*
T
, dengan x*, y*, dan r * , berturut adalah solusi optimal variabel
keputusan yang diperoleh dari metode program linier. Sebut persekitaran dari z * adalah
T
T
T
( x * ) x* X y* r * , x* y* Y r * , x* y* r * R
(13)
persekitaran tersebut digunakan untuk menguji keoptimalan nilai fungsi. Jika hasil yang
diperoleh di persekitarannya lebih kecil dari hasil yang diperoleh dengan metode program
linier maka pengoptimal dapat dikatakan pengoptimal global. Jika tidak maka disebut
pengoptimal lokal.
C. Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah penelitian yang digunakan yaitu :
1.
Identifikasi data awal
Data awal dalam penelitian ini adalah data produksi jagung, curah hujan, luas lahan
panen jagung, dan luas lahan kritis yang diperoleh dari BPS Kabupaten Boyolali berupa
data tahunan dari tahun 2008 s/d 2012. Berdasarkan data BPS dengan n = 5 dibangkitkan
himpunan data dengan n = 100 untuk keperluan pembuatan model dengan asumsi data
tersebut merupakan variasi data masing-masing variabel sepanjang 2008 s/d 2012. Dari
data yang telah dibangkitkan tersebut ditentukan statistika deskriptif, seperti disajikan pada
Tabel 1 untuk lokasi Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk.
Tabel 1. Statistika deskriptif data lahan kritis, curah hujan, dan produksi jagung di
Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Lokasi
Ampel
Cepogo
Musuk
2.
Variabel
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
N
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Mean
20171
6822,5
2639
246,32
31091
2332,1
1382,1
226,97
7720
3414,6
5066,6
226,99
Min
1430
6737,5
1724,1
0,15
15957
2270,7
900,6
0,01
6776
3393,2
823,5
0,0003
Maks
41789
6915,6
3872
666,7
45647
2388,7
1959,9
1014,9
8935
3436,2
8032,6
795
Stdev
7483,3
35,35
433,3
178,1
5159
20,36
244
196,3
388,3
7,31
1574,7
215,82
Menentukan 3 kecamatan sebagai 3 lokasi dalam model GSTAR, yaitu Kecamatan
Ampel, Cepogo, dan Musuk.
6
3.
Uji Stasioner data yang merupakan syarat umum pemodelan time series
Sebelum berlanjut ke proses pembentukan model, perlu dilakukan uji stasioneritas
data dalam variansi dan rata-rata sebagai syarat umum pemodelan time series. Untuk
menguji apakah data sudah stasioner dalam variansi digunakan transformasi Box-Cox
menggunakan persamaan (2). Nilai estimasi lambda untuk setiap variabel disajikan pada
Tabel 2.
Tabel 2. Nilai estimasi lambda untuk setiap variabel
Lokasi
Ampel Cepogo Musuk
Data
Produksi Jagung
0,95
1,12
0,91
Luas Lahan Panen
-0,28
-0,60
-1,27
Luas Lahan Kritis
0,30
0,66
1,26
Curah Hujan
0,49
0,39
0,41
Dari Tabel 2 diketahui bahwa nilai estimasi lambda bervariasi dari -1,27 s/d 1,26.
Dalam kasus ini data yang akan ditransformasi tidak hanya data dengan nilai estimasi
lambda kurang dari 1 tetapi setiap variabel dengan harapan model menjadi semakin bagus.
Setelah data distasionerkan dalam variansi, maka dapat dilanjutkan ke uji stasioner dalam
rata-rata dengan trend analysis. Dari plot data trend analysis diperoleh bahwa trend
mendekati sejajar dengan sumbu horizontal sehingga tidak perlu dilakukan differencing
untuk semua variabel. Plot data trend analysis dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Plot data trend analysis untuk data produksi jagung (baris ke-1), luas lahan
(bariske-2) dan curah hujan (baris ke-3) di Kecamatan Ampel (kolom ke-1), Cepogo
(kolom ke-2), dan Musuk (kolom ke-3).
4. Melakukan transformasi data :
i.
Stasioneritas data menggunakan persamaan (2) jika data tidak stasioner
dalam variansi dan differencing jika data tidak stasioner dalam rata-rata
ii. Mengubah data berdimensi menjadi tak berdimensi
7
Z
Zˆ k k , k 1,2,3
Zk
dimana :
Zˆ k = variabel ke-k tanpa dimensi
(14)
Z k = variabel ke-k berdimensi
5.
6.
7.
8.
Z k = rata-rata variabel ke-k
Menyusun model GSTAR standard dan menyelesaikan
Menyusun model GSTAR termodifikasi dan menyelesaikan
Membandingkan hasil model GSTAR standard dan hasil model GSTAR
termodifikasi, kemudian dipilih hasil terbaik
Menganalisis data untuk menentukan hasil produksi jagung optimal di tiap
kecamatan berdasarkan data jagung tahun 2008 s/d 2012, dengan metode program
linier.
Diselesaikan menggunakan fungsi linprog() pada Matlab R2009a
Menyelidiki keoptimalan nilai fungsi tujuan berdasarkan data asli dengan
cara menyatakan data hasil optimasi dalam data yang berdimensi
menggunakan persamaan (2)
D. Hasil dan Pembahasan
GSTAR Standard
Dengan data produksi jagung yang telah stasioner dalam variansi dan rata-rata akan
dilakukan penyusunan model GSTAR standard bobot lokasi seragam dan invers jarak.
Bobot lokasi seragam dan invers jarak berturut-turut dituliskan sebagai berikut
0,4390 0,5610
0
0 0,5 0,5
0
0,6970 .
w 0,5 0 0,5 dan w 0,3030
0,3571 0,6429
0
0,5 0,5 0
Sebelum melakukan estimasi parameter, data dihilangkan dimensinya
menggunakan rumus pada persamaan (10). Dimensi dari data dihilangkan untuk keperluan
optimasi yang akan dilakukan pada bagian selanjutnya dalam penelitian ini. Hasil estimasi
parameter model GSTAR standard untuk data produksi jagung dan hasil uji statistik
parameter dituliskan pada Tabel 3.
Tabel 3. Estimasi parameter model GSTAR standard untuk data produksi jagung
Hasil estimasi dengan bobot lokasi
Parameter
ttabel
Kesimpulan
Seragam
thit
Invers Jarak
thit
1 0
0,1376
0,8579
0,1379
0,8753
1,98
Tidak signifikan
20
0,7058
2,3169
0,3228
0,8803
1,98
Tidak signifikan
30
1,0805
4,4902
1,0802
3,9484
1,98
Signifikan
0,8608
5,0501
0,8616
5,1418
1,98
Signifikan
11
21
0,2759
0,9125
0,6654
1,8083
1,98
Tidak signifikan
31
-0,0809 0,3457
-0,0807
0,3014
1,98
Tidak signifikan
Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa parameter 10 dan 20 tidak signifikan karena
nilai thit < ttabel, sehingga parameter tersebut dapat dihilangkan pada model. Hal ini
menunjukkan bahwa produksi jagung di Kecamatan Ampel dan Cepogo pada waktu t tidak
bergantung waktu t-1. Parameter 21 yang menunjukkan ketergantungan produksi jagung
di Cepogo dengan lokasi lain pada waktu t-1 juga tidak signifikan, sehingga model
8
GSTAR standard untuk produksi jagung di Cepogo tidak cocok sebagai model untuk
peramalan.
GSTAR Termodifikasi
Data yang digunakan untuk membentuk model GSTAR Termodifikasi ini adalah
data produksi jagung, curah hujan dan proporsi lahan panen dibandingkan dengan lahan
kritis di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk. Hasil estimasi parameter model GSTAR
Termodifikasi untuk data produksi jagung yang bergantung pada curah hujan dan proporsi
lahan panen dibandingkan dengan lahan kritis disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Estimasi parameter model GSTAR Termodifikasi
Hasil estimasi
dengan bobot
Parameter
ttabel
Kesimpulan
lokasi
Seragam
thit
1 0
0,6836
6,2522
1,98
Signifikan
20
0,9279
7,7411
1,98
Signifikan
30
1,0112
9,7989
1,98
Signifikan
1,98
Signifikan
11
0,2556
2,3330
21
0,0507
0,4616
1,98
Tidak signifikan
31
1,98
Tidak signifikan
-0,0130 0,1482
Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa parameter 21 dan 31 tidak signifikan terhadap
model, sedangkan parameter lain signifikan. Untuk keperluan optimasi nilai estimasi
parameter akan tetap digunakan pada model GSTAR Termodifikasi, sehingga persamaan
(6), (7), dan (8) menjadi,
Z1 (t ) 0,6836Z1 (t 1) 0,1278Y1 (t ) 0,1278R1 (t ) e(t )
Z2 (t ) 0,9279Z2 (t 1) 0,02535Y2 (t ) 0,02535R2 (t ) e(t )
Z3 (t ) 1,0112Z3 (t 1) 0,0065Y3 (t ) 0,0065R3 (t ) e(t )
(15)
(16)
(17)
Pengujian Residual White Noise
Asumsi residual white noise merupakan asumsi pada GSTAR yang harus dipenuhi
untuk memperoleh model yang bagus. Hasil pengujian white noise pada GSTAR standard
dan GSTAR Termodifikasi dituliskan pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil pengujian white noise untuk GSTAR standard dan GSTAR modifikasi
Jenis GSTAR
GSTAR Standard
Produksi Jagung
Ampel
Residual white noise
Cepogo
Residual white noise
Musuk
Residual tidak white noise
GSTAR Termodifikasi
Residual white noise
Residual white noise
Residual white noise
Dari Tabel 5 diketahui bahwa model yang memenuhi asumsi GSTAR adalah model
GSTAR Termodifikasi karena model untuk data produksi jagung di tiap lokasi memiliki
residual yang white noise.
9
Optimasi Produksi Jagung di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Untuk melakukan optimasi dengan metode program linier perlu disusun fungsi
tujuan dan kendala yang berpengaruh. Fungsi tujuan pada penelitian ini disusun
berdasarkan model GSTAR Termofikasi yang telah diperoleh, sedangkan kendala yang
berpengaruh adalah curah hujan optimal untuk pertumbuhan jagung dan rata-rata proporsi
luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan
Musuk. Fungsi tujuan dan kendala tersebut dituliskan sebagai berikut,
Fungsi tujuan :
Z1 0,6836 X1 0,1278Y1 0,1278R1
Z2 0,9279 X2 0,02535Y2 0,02535R2
Z3 1,0112 X3 0,0065Y3 0,0065R3
(18)
(19)
(20)
dengan,
Xk
= Produksi jagung di lokasi k dalam kurun waktu 4 tahun
Yk
= Luas lahan di lokasi k dalam kurun waktu 5 tahun
Rk
= Curah hujan di lokasi k dalam kurun waktu 5 tahun
k
= 1,2,3 dimana 1 = Ampel, 2 = Cepogo, dan 3 = Musuk.
Kendala :
1. Curah hujan optimal untuk pertumbuhan jagung berada pada interval 85 – 200
mm, interval tersebut ditransformasi menjadi data tanpa dimensi pada Tabel 5.
Tabel 5. Interval curah hujan optimal tiap lokasi
Lokasi
Ampel Cepogo Musuk
Batas
Batas Bawah
0,3451 0,3745 0,3184
Batas Atas
0,812
0,8812 0,7491
Dari Tabel 5 dapat disusun kendala curah hujan di setiap lokasi yang dituliskan
pada persamaan (20), (21), dan (22)
0,3451 R1 0,812
(21)
(22)
0,3745 R2 0,8812
0,3184 R3 0,7491
(23)
2. Rata-rata luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis di lokasi
Ampel Cepogo dan Musuk berturut-turut kurang dari 0,9912; 0,9899; dan
0,9587.
0 Y1 0,9912
(24)
0 Y2 0,9899
(25)
0 Y3 0,9587
(26)
Persamaan (18), (19), dan (20) kemudian dioptimasi dengan fungsi linprog()
pada MATLAB. Hasil dari optimasi yang diperoleh berupa data produksi jagung optimal di
tiap lokasi yang disajikan pada Tabel 6.
10
Tabel 6. Produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Data Produksi Jagung Asli
Produksi Jagung Optimal
(ton)
Lokasi
Tidak
Berdimensi
Min
Max
Berdimensi
(ton)
Ampel
0,777041
23.350
12.574
42.777
Cepogo
1,376937
15.919
9.001
13.158
Musuk
1,026836
16.603
14.926
17.037
Hasil optimal produksi jagung yang tidak berdimensi dapat dilihat pada kolom tak
berdimensi pada Tabel 5. Data tersebut harus dikembalikan dimensinya dengan
mengalikan hasil optimal produksi jagung tak berdimensi dan rata-rata produksi jagung di
masing-masing lokasi, sehingga diperoleh hasil optimal produksi jagung yang berdimensi.
Untuk memperoleh optimal data berdimensi yang dituliskan pada Tabel 6 perlu dilakukan
pengembalian data yang telah ditransformasi pada tahap uji stasioneritas menggunakan
persamaan (2) dengan ≠ 0, diperoleh
1/
Yi Wi 1 , i 1,2,...
Hasil optimasi menunjukkan bahwa hasil optimal untuk Ampel dan Musuk berada
pada selang data asli, sedangkan hasil optimasi Cepogo tidak pada interval data. Dengan
kata lain, hasil penelitian dapat mengusulkan hasil optimasi jagung yang diperoleh selama
5 tahun untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil optimal Cepogo masih dianalisis lebih
lanjut.
Analisis hasil optimasi
Analisa dilakukan dengan menyusun domain persekitaran pengoptimal. Domain
persekitaran didefinisikan pada persamaan (13). Fungsi tujuan dihitung pada titik-titik
domain tersebut. Hasil analisa untuk solusi optimal tanpa dimensi yang telah diperoleh
disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7. Produksi optimal jagung tak berdimensi di tiap lokasi dengan
penggeseran posisi optimal
Persekitaran
Ampel
Cepogo
Musuk
*
*
* T
1,4784
1,6464
1,0231
x X y r
T
0,9756
1,3512
0,9236
x* X y* r *
*
*
* T
1,2747
1,5038
0,9729
x y X r
*
*
* T
1,1766
1,4955
0,9736
x y X r
T
1,2747
1,5038
0,9729
x* y* r * X
T
*
*
*
1,1766
1,4955
0,9736
x y r X
Hasil optimal tak berdimensi pada Tabel 7 dibandingkan dengan hasil optimal tak
berdimensi pada Tabel 8 diperoleh bahwa di Kecamatan Musuk hasil optimal terbaik
adalah solusi dengan metode program linier karena hasil optimal di daerah persekitarannya
lebih kecil, sedangkan untuk Kecamatan Cepogo masih terdapat titik-titik persekitaran
yang dapat mengoptimalkan nilai fungsi. Demikian pula di Kecamatan Ampel yang
memiliki hasil optimal lebih dari satu, disebut sebagai pengoptimal lokal yang ditunjukkan
pada Gambar 3 dimana ll adalah hasil program linier sedangkan warna lain hasil
persekitaran. Histogram untuk hasil optimal tak berdimensi di Tabel 7 dan 8 disajikan pada
Gambar 3.
11
Gambar 3. Histogram hasil optimal tak berdimensi di Kecamatan Ampel (kiri), Cepogo
(tengah), dan Musuk (kanan)
E. Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bagian sebelumnya GSTAR standard dan GSTAR
termodifikasi dengan bobot lokasi seragam dan invers jarak di Kecamatan Ampel, Cepogo,
dan Musuk. Model GSTAR standard tidak cocok untuk meramalkan data produksi jagung
di Cepogo, karena parameter model tidak signifikan menurut Uji-t. Model GSTAR
Termodifikasi lebih bagus dibandingkan dengan GSTAR standard karena parameter yang
tidak signifikan pada GSTAR standard menjadi signifikan pada GSTAR Termodifikasi.
Hasil optimasi menunjukkan produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan
Musuk berturut-turut sebesar 23.501,31 ton, 15.935,47 ton, dan 16.551,27 ton dengan
hasil optimal di Ampel dan Musuk berada pada selang data asli. Dengan kata lain, dengan
memperhatikan curah hujan dan luas lahan, hasil penelitian dapat mengusulkan hasil
optimasi jagung yang diperoleh selama 5 tahun untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil
optimal Cepogo masih dianalisis lebih lanjut. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan
solusi menunjukkan bahwa pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan solusi dari
metode program linier, sedangkan di Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1
pengoptimal yang disebut sebagai pengoptimal lokal.
F. Daftar Pustaka
[1] Borovkova S.A., Lopuhaa H.P., Ruchjana B.N. 2002. Generalized STAR model
with experimental weights. Proceedings of the 17th International Workshop on
Statistical Modeling, 8-12 Juli 2002. Chania.
[2] Faizah L.A, Setiawan. 2013. Pemodelan Inflasi di Kota Semarang, Yogyakarta,
dan Surakarta dengan pendekatan GSTAR. Jurnal Sains dan Seni Pomits Vol 2,
No2, (2013) 2337-3520 (2301-92.8X Print)
[3] Nugroho. 2011. Alternatif Rehabilitasi Lahan Kritis Dengan Tanaman
Karabenguk (Mucuna Pruriens (L.) Dc.). Jurnal Politeknosains Vol. X No. 2.
[4] Parhusip H.A., Edi S.W.M, Prasetyo S.Y.J. 2014. Analisa Data Pemodelan
Untuk Ilmu Sosial & Sains. Salatiga : Penerbit Tisara Grafika.
[5] Parhusip, H.A dan Winarso, M.E. 2014 Analisa Data Iklim Boyolali Dengan
Regresi Klasik dan Metode GSTAR. Prosiding Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika. Universitas PGRI Ronggolawe. 24 Mei 2014.
[6] Ruchjana, B.N. 2002. Pemodelan Kurva Produksi Minyak Bumi Menggunakan
Model Generalisasi STAR. Forum Statistika dan Komputasi. IPB : Bogor.
[7] Suhartono., Subanar. 2006. The Optimal Determination of Space Weight in
GSTAR Model by using Cross-correlation Inference. JOURNAL OF
QUANTITATIVE METHODS : Journal Devoted to The Mathematical and
Statistical Application in Various Fields.
12
[8]
Taylor III, Bernard W. 2008. Introduction To Management Science. Jakarta:
Salemba Empat.
[9]
Wei W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.
USA: Temple University.
13
MAKALAH 2
(belum dipublikasikan)
0
Penerapan Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Fungsi
Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9 Kecamatan di Kabupaten
Boyolali
Priska Dwi Apriyanti1), Hanna Arini Parhusip2), Lilik Linawati3)
1)2)3)
Progdi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1)
[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]
Abstrak
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) dapat digunakan untuk
peramalan data time series yang memiliki keterkaitan antar lokasi pada waktu sebelumnya.
Asumsi yang perlu dipenuhi dalam model GSTAR adalah data harus stasioner dalam
variansi dan rata-rata. Grafik transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan untuk
mengetahui kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Estimasi parameter model
GSTAR Termodifikasi untuk menentukan fungsi tujuan pada optimasi produksi jagung
menggunakan data produksi jagung (ton), luas lahan (ha), dan curah hujan (mm) pada 9
Kecamatan di Kabupaten Boyolali diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil. Parameterparameter tersebut digunakan untuk menyusun fungsi tujuan program linier pada tahap
optimasi. Pengolahan data pada penelitian ini dibatasi menggunakan Ms.Excel 2007,
namun untuk pengujian stasioneritas dalam variansi digunakan Matlab R2009a. Hasil
optimasi menunjukkan hanya produksi jagung di Kecamatan Boyolali yang lebih kecil dari
maksimal data asli, sedangkan pada kecamatan lain lebih besar dari maksimal data asli.
Hasil secara keseluruhan menunjukkan bahwa produksi jagung (hasil perhitungan) berbeda
dengan maksimal data produksi jagung pada data asli dengan nilai error kurang dari 10%.
Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan selain Kecamatan Boyolali
dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per tahun.
Kata Kunci – GSTAR Termodifikasi, differencing , transformasi Box-Cox, optimasi
A. Pendahuluan
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) dapat digunakan untuk
peramalan data time series yang memiliki keterkaitan antar lokasi pada waktu sebelumnya
(Suhartono, 2006). Model GSTAR Termodifikasi merupakan modifikasi model GSTAR
Standar dengan penambahan variabel lain yang dianggap berpengaruh. Apriyanti, dkk
(2014) telah menerapkan model GSTAR Standar dan GSTAR Termodifikasi berdasarkan
data produksi jagung (ton), luas lahan kritis (ha), luas lahan panen (ha), dan curah hujan
(mm) di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk di Kabupaten Boyolali. Diantara kedua
model tersebut dipilih model GSTAR Termodifikasi sebagai model terbaik karena
parameter yang tidak signifikan pada model GSTAR Standar menjadi signifikan pada
model GSTAR Termodifikasi. Pada makalah ini akan diterapkan model GSTAR
Termodifikasi berdasarkan data produksi jagung (ton), luas lahan panen (ha), dan curah
hujan (mm) pada 9 kecamatan di Kabupaten Boyolali dari tahun 2008 s.d 2013. Data
1
tersebut digunakan untuk memperoleh estimasi parameter model GSTAR Termodifikasi
yang selanjutnya dijadikan fungsi tujuan dalam tahap optimasi.
Asumsi yang perlu dipenuhi dalam model GSTAR adalah data harus stasioner
dalam variansi dan rata-rata. Grafik transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan
untuk mengetahui kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Dalam penelitian ini
akan digunakan Ms.Excel 2007 sebagai alat bantu pengolah data, dengan harapan model
GSTAR Termodifikasi dapat diterapkan oleh lebih banyak orang karena Ms.Excel 2007
lebih dikenal masyarakat umum.
B. Penyusunan Parameter Fungsi Tujuan
Differencing
Data time series dikatakan stasioner dalam rata-rata apabila garis trend linear pada
plot trend analysis mendekati sejajar dengan sumbu horizontal, jika trend linear belum
mendekati sejajar maka data dikatakan tidak stasioner dalam rata-rata (Wei,2006). Salah
satu cara untuk menghapus non-stasioneritas dalam rata-rata adalah dengan metode
differencing (Makridakis, 1988) yang didefinisikan pada persamaan (1), yaitu
Yt ' Yt Yt 1
(1)
'
dimana Yt adalah data setelah dilakukan differencing, Yt adalah data pada waktu ke-t, dan
Yt 1 adalah data pada waktu ke t-1. Jumlah data Yt ' hanya akan sebanyak n-1 dengan n
merupakan jumlah data asli, karena differencing pada data waktu t=1 tidak mungkin
dilakukan.
Transformasi Box-Cox
Transformasi Box-Cox adalah transformasi pangkat pada variabel tak bebas dimana
variabel tak bebasnya bernilai positif (Yati dkk, 2013). Transformasi ini pertama kali
diungkapkan oleh Box dan Cox (1964) yang dituliskan pada persamaan (2), yaitu
Yi 1
, 0
Wi
, i 1,2,..., n
ln(Y ), 0
i
dengan,
Wi = data ke-i hasil transfor
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
MODIFIED GSTAR MODEL TO DETERMINE THE OBJECTIVE FUNCTION
OPTIMIZATION OF CORN PRODUCTION IN BOYOLALI REGENCY
Oleh:
Priska Dwi Apriyanti
662011012
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna
memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2015
i
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR
Yang bertanda tangan di bawah ini,
Nama
:
Priska Dwi Apriyanti
NIM
:
662011012
Program Studi :
Matematika
Fakultas
:
Sains dan Matematika, Universitas kristen Satya Wacana
Menyatakan dengan sesungguhnya bahwa tugas akhir, Judul:
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
yang dibimbing oleh:
1. Dr. Hanna Arini Parhusip
2. Dra. Lilik Linawati, M.Kom
adalah benar-benar hasil karya saya.
Di dalam laporan tugas akhir ini tidak terdapat keseluruhan atau sebagian tulisan atau
gagasan orang lain yang saya ambil dengan cara menyalin atau meniru dalam bentuk
rangkaian kalimat atau gambar serta simbol yang saya aku seolah-olah sebagai karya saya
sendiri tanpa memberikan pengakuan pada penulis atau sumber aslinya.
Salatiga, 20 Januari 2015
Yang memberi pernyataan
Priska Dwi Apriyanti
ii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI
TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademika Universitas Kristen Satya Wacana (UKSW), saya yang bertanda
tangan di bawah ini
Nama
:
Priska Dwi Apriyanti
NIM
:
662011012
Program Studi :
Matematika
Fakultas
:
Sains dan Matematika, Universitas kristen Satya Wacana
Jenis Karya
:
Skripsi
demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada UKSW hak
bebas royalty non-eksklusif (non-exclusive free right) atas karya ilmiah saya yang
berjudul:
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
beserta perangkat yang ada (jika perlu).
Dengan hak bebas royalty non-eksklusif ini, UKSW berhak menyimpan,
mengalihmediakan/mengalihformatkan mengelola dalam bentuk pangkalan data, merawat,
mempublikasikan tugas akhir saya, selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis,
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di: Salatiga
Pada tanggal: 20 Januari
2015
Yang menyatakan,
Priska Dwi Apriyanti
Mengetahui,
Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Hanna Arini Parhusip
Dra. Lilik Linawati, M.Kom
iii
MODEL GSTAR TERMODIFIKASI UNTUK MENENTUKAN FUNGSI TUJUAN
PADA OPTIMASI PRODUKSI JAGUNG DI KABUPATEN BOYOLALI
MODIFIED GSTAR MODEL TO DETERMINE THE OBJECTIVE FUNCTION
OPTIMIZATION OF CORN PRODUCTION IN BOYOLALI REGENCY
Oleh:
Priska Dwi Apriyanti
662011012
TUGAS AKHIR
Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna
memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains (Matematika)
Disetujui oleh,
Pembimbing Utama
Pembimbing Pendamping
Dr. Hanna Arini Parhusip
Dra. Lilik Linawati, M.Kom
Diketahui oleh,
Kaprogdi
Disahkan oleh,
Dekan
Dr. Bambang Susanto, MS
Dr. Surya Satriya Trihandaru, M.Sc.,
nat.
FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
SALATIGA
2015
iv
MOTTO
“Tuhan berjalan di depan mereka, pada siang hari dalam tiang awan untuk menuntun
mereka di jalan, dan pada waktu malam dalam tiang api untuk menerangi mereka,
sehingga mereka dapat berjalan siang dan malam.”
― (Kel 13:21)
“No pain, no gain”
―Jane Fonda
“The essence of mathematics is not to make simple things complicated, but to make
complicated things simple.”
― Stan Gudder (Mathematician)
PERSEMBAHAN
Karya ini ku persembahkan untuk:
Keluarga Tercinta
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas anugrah-Nya, penulis dapat
menyelesaikan skripsi sebagai prasyarat menyelesaikan Studi Strata 1 pada Program Studi
Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama. Makalah yang pertama berjudul
“Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Produksi Optimal Jagung di Kabupaten
Boyolali” yang telah dipublikasikan dalam Seminar Nasional VIII tahun 2014, yang
diselenggarakan Universitas Negeri Semarang pada tanggal 08 November 2014.
Kemudian makalah yang kedua ditulis dengan judul “Penerapan Model GSTAR
Termodifikasi untuk Menentukan Fungsi Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9
Kecamatan di Kabupaten Boyolali”.
Dalam penyusunan naskah makalah diatas tidak terlepas dari bantuan dan dorongan
dari berbagai pihak yang memungkinkan makalah ini terselesaikan. Maka pada kesempatan
kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih atas segala bantuan, bimbingan dan
dukungan kepada :
1. Dr. Bambang Susanto, MS, selaku Kepala Program Studi Matematika Fakultas
Sains dan Matematika.
2. Dr. Hanna Arini Parhusip, M.Sc, selaku dosen pembimbing utama, terimakasih
atas bimbingan, ide dan masukan kepada Penulis.
3. Dra. Lilik Linawati, M.Kom, selaku dosen pembimbing pendamping, terimakasih
atas bimbingan dan koreksi yang diberikan.
4. Dosen pengajar, Dr. Adi Setiawan, M.Sc, Tundjung Mahatma, M.Kom., Didit
Budi Nugroho, D.Sc, Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si, serta Pak Edi sebagai
Laboran FSM.
5. Bpk Daniel Suhir dan Ibu Rustinah atas dorongan, doa dan motivasi yang tak
ternilai bagi penulis. Terimakasih juga sudah menemani saat penulis sedang
menyelesaikan tugas akhir ini serta untuk semua kerja keras Ayah dan Ibu sampai
penulis dapat menyelesaikan jenjang perguruan tinggi.
6. Kakak tercinta, Daud Eko dan Arum Pramusinta terimakasih untuk dukungan
yang telah diberikan.
vi
7. Teman-teman Progdi Matematika Angkatan 2011, Titis, Minyuu, Ebi, Daivi,
Raffen, Dwi dan Kevin. Terimakasih atas kebersamaan dan ketabahan dalam
menjalani perkuliahan.
8. Teman-teman FSM Angkatan 2011, Yodi, Hera, Yaya, Happy, Ode, Arin, Hizkia,
Aji, Ferry, dkk. Terimakasih telah menemani penulis dalam suka dan duka.
9. Teman-teman sepermainan, Maria Merdeka, Christina Wolter, Ananda Sindora,
Ranitia Cuk, Fitria Nonnik, Vicky Pong, Nesya Artika, Maya Bonita.
Terimakasih untuk dukungan, cercaan, makian, semangat, kebersamaan yang
telah kita lewati bersama.
Dan semua pihak yang membantu dalam proses pembuatan skripsi yang tidak dapat
penulis sebutkan satu persatu, terimakasih atas bantuan dan semangatnya. Semoga Tuhan
membalas bantuan yang telah diberikan dengan anugrah yang melimpah.
Harapan penulis, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membaca. Akhir kata, penulis ucapkan terimakasih. Tuhan Memberkati.
Salatiga, Januari 2015
Penulis
vii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................................... i
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS TUGAS AKHIR............................................. ii
PERNYATAAN BEBAS ROYALTY DAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... iii
LEMBAR PENGESAHAN ....................................................................................................... iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN.............................................................................................. v
KATA PENGANTAR ............................................................................................................... vi
DAFTAR ISI ........................................................................................................................... viii
ABSTRAK ................................................................................................................................. x
PENDAHULUAN .................................................................................................................... xii
MAKALAH
PERTAMA
MAKALAH KEDUA
: Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Produksi
Jagung Optimal di Kabupaten Boyolali
: Penerapan Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan
Fungsi Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9 Kecamatan
di Kabupaten Boyolali
LAMPIRAN-LAMPIRAN ....................................................................................................... xv
viii
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Data Asli Produksi Jagung di Kabupaten Boyolali ............................................. L.1
Lampiran 2. Data luas Lahan Kritis (ha) di Kabupaten Boyolali ............................................ L.2
Lampiran 3. Data Luas Lahan Panen (ha) di Kabupaten Boyolali .......................................... L.3
Lampiran 4. Data Curah Hujan (mm) di Kabupaten Boyolali ................................................ L.4
Lampiran 5. Plot trend analysis untuk data di lokasi Kecamatan Kemusu, Wonosegoro, dan
Juwangi .................................................................................................................................... L.5
Lampiran 6. Plot trend analysis untuk data di lokasi Kecamatan Klego, Andong, dan Simo L.6
Lampiran 7. Cara menggunakan lembar kerja Ms.Excel 2007 untuk optimasi ...................... L.7
Lampiran 8. Kode Matlab untuk estimasi model GSTAR Termodifikasi di lokasi
Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk ............................................................................... L.11
Lampiran 9. Kode Matlab untuk estimasi parameter Box-Cox pada 9 kecamatan di
Kabupaten Boyolali ............................................................................................................... L.17
Lampiran 10. Sertifikat Seminar Nasional Matematika VIII tahun 2014, 08 November,
Semarang ............................................................................................................................... L.19
ix
ABSTRAK
Model GSTAR Termodifikasi merupakan modifikasi model GSTAR Standar dengan
penambahan variabel lain yang dianggap berpengaruh. Menggunakan data produksi jagung
(ton), luas lahan kritis (ha), luas lahan panen (ha), dan curah hujan (mm) akan ditentukan
estimasi parameter model GSTAR Standar dan GSTAR Termodifikasi. Berdasarkan hasil
penelitian pada makalah 1 untuk lokasi di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk, model
GSTAR Termodifikasi dipilih sebagai model terbaik karena estimasi parameter yang tidak
signifikan pada model GSTAR Standar menjadi signifikan. Berdasarkan model GSTAR
Termodifikasi diperoleh bahwa hasil optimasi produksi jagung di Kecamatan Cepogo yang
lebih besar dari maksimal data asli sedangkan di Kecamatan Ampel dan Musuk lebih kecil
dari maksimal data asli. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan solusi menunjukkan
bahwa pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan pengoptimal global, sedangkan di
Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1 pengoptimal yang disebut sebagai
pengoptimal lokal. Penelitian dilanjutkan pada makalah 2, model GSTAR Termodifikasi
akan diterapkan pada data produksi jagung (ton), luas lahan panen (ha), dan curah hujan
(mm) pada 9 Kecamatan di Kabupaten Boyolali. Hasil estimasi parameter model GSTAR
menunjukkan semua parameter signifikan menurut uji-t dengan 5% . Hasil optimasi
menunjukkan yang berada pada interval data asli hanya produksi jagung di Kecamatan
Boyolali, sedangkan pada kecamatan lain lebih besar dari maksimal data asli. Akan tetapi
hasil secara keseluruhan berbeda dengan maksimal data asli dengan nilai error kurang dari
10%. Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan selain Kecamatan
Boyolali dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per tahun.
Kata Kunci: GSTAR Standar, GSTAR Termodifikasi,optimasi.
x
ABSTRACT
GSTAR Modified is a modification GSTAR Standard with the addition of other variables
that are considered influential. Using the data corn production (tonnes), the critical land
area (hectare), crop land area (hectare), and precipitation (mm) will be determined
parameter estimation GSTAR Standard and Modified GSTAR. Based on the research
results of the paper 1 for locations in the sub-district Ampel, Cepogo, and Musuk, GSTAR
Modified chosen as the best model because estimation of the parameters is not significant
at GSTAR Standard becomes significant. Based on Modified GSTAR found that corn
production optimization results in sub-district Cepogo greater than the maximum original
data while in sub-district Ampel and Musuk smaller than the maximum original data. The
results of the analysis to test optimal solution shows that the optimizer in sub-district
Musuk is a global optimizer, while in District Ampel and Cepogo there are more than 1
optimizer which is referred to a local optimizer. Research continued on the paper 2,
GSTAR Modified be applied to data corn production (tonnes), crop land area (hectare), and
precipitation (mm) at 9 sub-district in Boyolali Regency. The results of parameter
estimation GSTAR shows that all parameters are significant according to the t-test with
5% . The results show that only corn production in the sub-district Boyolali whose
optimization result is in the interval of the original data, while in other districts larger than
the maximum of the original data. However, the overall result is different from the original
data with a maximum error rate of less than 10%. From the calculation results indicate for
every sub-district except sub-district of Boyolali can increase corn production by 50 tons
per year.
Key words: GSTAR Standard, Modified GSTAR, Optimation
xi
PENDAHULUAN
1.
Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali dijumpai data yang tidak hanya
mengandung keterkaitan dengan data pada waktu sebelumnya, tetapi juga mempunyai
keterkaitan dengan lokasi. Untuk memperoleh model peramalan dengan data demikian
dapat digunakan model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) (Suhartono,
2006). Variabel yang dipakai dalam model GSTAR tidak bervariasi sedangkan untuk
keperluan optimasi diperlukan variabel yang bervariasi sehingga perlu dilakukan
modifikasi. Sebagai contoh penambahan variabel , luas lahan kritis (ha), luas lahan panen
(ha), dan curah hujan (mm) dalam penyusunan model GSTAR karena variabel tersebut
dianggap berpengaruh untuk produksi jagung.
Makalah 1 menjelaskan tentang pemilihan model terbaik untuk data produksi
jagung hibrida (ton), luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis (ha), dan
curah hujan (mm) di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk antara model GSTAR
Standar dengan GSTAR Termodifikasi (Apriyanti dkk, 2014). Model terbaik tersebut
digunakan dalam penyusunan fungsi tujuan model program linier untuk keperluan
optimasi. Perhitungan pada makalah 1 dibatasi menggunakan software Matlab R2009a dan
hanya pada 3 kecamatan, yaitu Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk.
Penelitian dilanjutkan dalam makalah 2 untuk menentukan nilai optimal produksi
jagung pada 9 kecamatan di Boyolali yang memproduksi jagung sebagai produk andalan
dalam kurun waktu 6 tahun (2008 s/d 2013). Model GSTAR Termodifikasi digunakan
dalam penyusunan makalah 2 dengan menghilangkan variabel lahan kritis, karena untuk
lokasi lain luas lahan kritis cukup kecil sehingga dianggap tidak berpengaruh. Analisa
diutamakan menggunakan Ms.Excel 2007 agar hasil penelitian dapat dimanfaatkan dengan
mudah untuk semua kalangan, khususnya dinas pemerintah terkait.
2.
Perumusan Masalah
Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :
Bagaimana menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali
dengan model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier.
Bagaimana menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali
dengan model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier menggunakan
Ms.Excel 2007.
xii
3.
Tujuan Penelitian
Tujuan dalam penelitian ini adalah :
Menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali dengan
model GSTAR dan metode program linier.
Menentukan nilai optimal produksi jagung di Kabupaten Boyolali dengan
model GSTAR Termodifikasi dan metode program linier menggunakan
Ms.Excel 2007
4.
Batasan Masalah
i. Data yang digunakan merupakan data produksi jagung hibrida (ton), luas lahan
kritis (ha), luas lahan panen (ha) dan curah hujan (mm) yang didapat dari Badan
Pusat Statistik (BPS) Kabupaten Boyolali.
ii. Penghitungan menggunakan alat bantu Matlab R2009a dan Ms.Excel 2007.
5.
Manfaat Penelitian
Untuk mengetahui nilai produksi jagung dalam kurun waktu tertentu yang dapat
digunakan sebagai acuan dalam meningkatkan produksi jagung di lokasi
tertentu.
Bagi dinas terkait dapat menghitung nilai produksi jagung optimal di lokasi
yang telah ditentukan dengan workbook Ms.Excel 2007 yang menjadi hasil
penelitian ini.
6.
Simpulan
Berdasarkan makalah (Apriyanti dkk, 2014a) dan (Apriyanti dkk, 2014b) dapat
disimpulkan:
Model GSTAR Termodifikasi lebih bagus dibandingkan dengan GSTAR standard
karena parameter yang tidak signifikan pada GSTAR standard menjadi signifikan
pada GSTAR Termodifikasi
Hasil optimasi menunjukkan produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel,
Cepogo, dan Musuk berturut-turut sebesar
23.501,31 ton, 15.935,47 ton, dan
16.551,27 ton dengan hasil optimal di Ampel dan Musuk berada pada selang data
asli. Dengan kata lain, dengan memperhatikan curah hujan dan luas lahan, hasil
penelitian dapat mengusulkan hasil optimasi jagung yang diperoleh selama 5 tahun
untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil optimal Cepogo masih dianalisis lebih
lanjut. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan solusi menunjukkan bahwa
xiii
pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan solusi dari metode program linier,
sedangkan di Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1 pengoptimal
yang disebut sebagai pengoptimal lokal
Kecamatan Boyolali dengan nilai error kurang dari 10%.
Hasil optimal produksi jagung (ton) lebih besar dari maksimal data asli kecuali di
Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan pada penelititan ini
selain Kecamatan Boyolali dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per
tahun.
Penggunaan Ms.Excel 2007 sebagai alat pengolah data belum dapat digunakan
untuk menguji menguji stasioneritas data dalam variansi sehingga dilakukan
menggunakan Matlab R2009a
xiv
MAKALAH 1
(Telah diseminarkan pada Seminar Nasional VIII tahun 2014, 08 November, Semarang)
15
1
lokasi. Untuk memperoleh model peramalan dengan data demikian dapat
digunakan model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) (Suhartono, 2006).
Model GSTAR Standard akan diterapkan untuk meramalkan data produksi jagung di
Kabupaten Boyolali, kemudian dievaluasi apakah model tersebut cocok sebagai model
peramalan. Selain model GSTAR standard disusun pula model GSTAR Termodifikasi
yang menunjukkan keterkaitan antara produksi jagung dengan luas lahan dan curah hujan.
Hasil model GSTAR standard dan hasil model GSTAR Termodifikasi akan dibandingkan
sehingga diperoleh model terbaik yang akan digunakan untuk menentukan produksi jagung
yang optimal dalam kurun waktu tertentu.
B. Tinjauan Pustaka
Pada GSTAR standard beberapa asumsi perlu dipenuhi untuk dapat memperoleh
model yang tepat, misalnya data harus stasioner dalam variansi dan rata-rata (Borovkova,
dkk, 2002). Transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan untuk menguji
kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Asumsi lain yang perlu dipenuhi adalah
residual harus white noise yang dapat dideteksi dengan Uji L-jung Box Pierce setelah
model GSTAR standard diperoleh. Apabila asumsi stasioneritas data telah dipenuhi maka
dapat dilanjutkan ke penyusunan model GSTAR standard dan estimasi parameter dengan
metode kuadrat terkecil. Hasil estimasi parameter diuji signifikansinya dengan
menggunakan uji-t yang menghasilkan parameter-parameter signifikan. Proses pemenuhan
asumsi hingga estimasi parameter tersebut juga diterapkan untuk model GSTAR
termodifikasi sehingga diperoleh hasil GSTAR standard dan hasil GSTAR termodifikasi
yang kemudian dibandingkan. Model terbaik akan dijadikan fungsi tujuan yang
diselesaikan dengan metode program linier.
Uji Stasioneritas
Dalam analisa data time series X t t 1,...,N diperlukan asumsi stasioneritas dalam
variansi E ( X t ) dan rata-rata E ( Xt ) dimana nilai variansi (σ2) dan rata-rata ( ) tidak
berubah (konstan) untuk semua waktu, secara matematis dituliskan pada persamaan (1).
E ( X t ) untuk semua t
(1)
2
E ( X t2 ) 2 untuk semua t
Menurut Wei (2006:80) stasioneritas dalam variansi dan stasioneritas dalam ratarata dapat dijelaskan sebagai berikut
1. Stasioneritas dalam variansi
Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur data
dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan. Stasioneritas
dalam variansi dapat dilihat dari estimasi lambda yang dihasilkan oleh transformasi
Box Cox pada persamaan (2). Jika estimasi lambda mendekati 1 maka data dikatakan
stasioner dalam variansi, jika estimasi lambda tidak mendekati 1 maka perlu dilakukan
transformasi Box-Cox pada data agar data stasioner dalam variansi.
Yi 1
, 0
Wi
, i 1,2,..., n
ln(Y ), 0
i
(2)
dengan,
Wi = data ke-i hasil transformasi
Yi = data ke-i yang akan ditransformasi
2
λ = parameter Box-Cox
2. Stasioneritas dalam rata-rata
Stasioneritas dalam rata-rata ditunjukkan dengan plot data trend analysis yang
menggambarkan fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan,
tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dilihat dari hasil trend
analysis, data dikatakan stasioner jika trend linear mendekati sejajar dengan sumbu
horizontal, namun jika tidak sejajar dengan sumbu horizontal maka perlu dilakukan
differencing pada data.
Pengujian Residual White Noise
Residual white noise adalah residual mengikuti distribusi identik independen (iid)
yang dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error -nya. Uji
korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag.
Langkah-langkah pengujian korelasi residual, yaitu :
Ho
: 1 2 3 ... K 0
: k 0, k 1,2,..., K
dengan k adalah koefisien autokorelasi residual periode k. Statistik uji yaitu
Ljung Box Pierce dengan taraf signifikansi sebesar 5%. Rumus uji Ljung Box-Pierce
(Wei,2006:153) didefinisikan pada persamaan (3).
K
ˆ 2
(3)
Q K T (T 2) k
k 1 T k
dengan,
Ha
QK
T
K
ˆ k
: statistik uji Ljung Box-Pierce
: banyaknya data
: banyaknya periode yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
Kriteria keputusan yaitu tolak Ho jika QK > (2a , d , f ) tabel, artinya residual tidak
white noise atau memiliki korelasi antar lag.
Model GSTAR Standard
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) pertama kali
diperkenalkan oleh Borovkova, Lopuhaa, dan Ruchjana (2002) sebagai generalisasi dari
model Space Time Autoregressive (STAR). Perbedaan yang cukup mendasar antara
GSTAR dan STAR terletak pada asumsi karakteristik lokasi. Pada model STAR
penyusunan model terbatas pada variabel dengan karakteristik lokasi yang seragam
(homogen), sedangkan model GSTAR penyusunan model dapat dilakukan apabila
memiliki karakteristik lokasi yang beranekaragam (heterogen). Menurut Borovkova,dkk
(2002) model GSTAR dapat dituliskan pada persamaan (4).
Z (t ) ( k 0 k1W ) Z (t k ) e(t )
p
k 1
(4)
dengan
Z(t) = variabel pengganti data pada waktu t
p
= orde spasial
k 0 = diag ( k10 ,..., kn0 ) dan k1 = diag ( k11 ,..., kN1 ) merupakan parameter model
W
= bobot (weigth) yang dipilih untuk memenuhi wii 0 dan
1 j
wij 1
3
Matriks model GSTAR untuk penggunakan 3 lokasi yang berbeda pada orde waktu
dan orde spasial 1 disajikan pada persamaan (5) (Faizah & Setiawan, 2013).
0 Z1 (t 1) 11 0 0 0 w12 w13 Z1 (t 1) e1 (t )
Z1 (t ) 10 0
Z (t ) 0
0 Z2 (t 1) 0 21 0 w21 0 w23 Z2 (t 1) e2 (t )
20
2
Z3 (t ) 0
0 30 Z3 (t 1) 0 0 31 w31 w32 0 Z3 (t 1) e3 (t )
(5)
Bobot lokasi yang dipakai dalam penelitian ini adalah bobot lokasi seragam dan
invers jarak. Penentuan nilai bobot untuk bobot lokasi seragam wij 1 n i dengan ni
merupakan banyaknya lokasi yang berdekatan dengan lokasi ke-i, sedangkan bobot lokasi
invers jarak dihitung menggunakan jarak sebenarnya antar lokasi. Untuk contoh kasus pada
Gambar 1, perhitungan bobot untuk jarak dari lokasi A ke lokasi B dengan metode invers
jarak adalah
*
WAB
WAB
WAC
1
d AB
1
,
3
*
WAB
*
*
WAC
WAB
*
WAC
*
*
WAC
WAB
*
WAC
1
d AC
1
3 1
1 1 4
3
3
1
4
1 1
3
1
1
B
3
A
2
1
C
Gambar 1. Contoh peta lokasi
GSTAR Termodifikasi
GSTAR termodifikasi adalah modifikasi GSTAR standard, modifikasi dilakukan
dengan mengganti variasi lokasi pada GSTAR standard dengan variasi faktor produksi.
GSTAR termodifikasi ini telah digunakan untuk mengetahui banyaknya produksi padi
optimal yang bergantung pada curah hujan dan proporsi luas lahan panen dibandingkan
luas lahan kritis di tiap lokasi (Parhusip, 2014). Pada penelitian tersebut menghasilkan
model GSTAR Termodifikasi dimana bobot lokasi merupakan parameter regresi klasik,
sedangkan penelitian pada makalah ini bobot lokasi tetap sama dengan GSTAR standard
namun karakteristik lokasi diganti dengan variasi faktor produksi, yaitu curah hujan dan
proporsi luas lahan panen dibandingkan luas lahan kritis. Dalam GSTAR standard jumlah
produksi jagung di lokasi i (i=1,2,3) pada waktu t bergantung pada jumlah produksi jagung
di lokasi yang sama pada waktu sebelumnya (t-1) dan lokasi lain pada waktu t-1,
sedangkan GSTAR termodifikasi ketergantungan pada lokasi lain tersebut diganti dengan
variasi faktor produksi yaitu curah hujan dan proporsi luas lahan panen dibandingkan luas
lahan kritis di tiap lokasi. Berdasarkan persamaan matriks (5) modifikasi dilakukan dengan
melakukan penggantian variabel Zi(t-1) menjadi proporsi luas lahan panen dibandingkan
dengan luas lahan kritis (Yi(t)) dan curah hujan (Ri(t)), sehingga diperoleh persamaan yang
baru yaitu seperti pada persamaan (6), (7), dan (8).
Z1 (t ) 10 Z1 (t 1) 11 (W12Y1 (t ) W13 R1 (t )) e(t )
Z 2 (t ) 20 Z 2 (t 1) 21 (W21Y2 (t ) W23 R2 (t )) e(t )
Z 3 (t ) 30 Z 3 (t 1) 31 (W31Y3 (t ) W32 R3 (t )) e(t )
(6)
(7)
(8)
4
dengan parameter yang diestimasi adalah (10 20 30 11 21 31 )' . Parameter
tersebut diestimasi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yang dibahas pada
subbab selanjutnya.
Penaksiran Parameter dan Uji Signifikansi Parameter pada Model GSTAR
Estimasi parameter model GSTAR yaitu (10 20 30 11 21 31 )' dapat
diselesaikan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil yang diformulasikan pada
persamaan (9).
X ' X 1 X ' Y
(9)
dengan struktur data untuk estimasi parameter model GSTAR(11) di 3 lokasi dijabarkan
pada persamaan matriks (10) (Faizah & Setiawan,2013).
10
20
(
1
)
0
0
(
1
)
0
0
Z
t
F
t
(
)
Z
t
e1t
1 1
1
30 e t
Z (t ) 0
0
0
0
Z 2 (t 1)
F 2 (t 1)
2
2
11
Z 3 (t ) 0
0
0
0
Z 3 (t 1)
F 3(t 1) e 3 t
21
31
(10)
Parameter yang diperoleh tersebut diuji signifikansinya dengan Uji-t. Langkahlangkah pengujian parameter, yaitu
Ho
: ki 0 , k = 1,2,3 dan i = 0,1
: ki 0 , k = 1,2,3 dan i = 0,1
Ha
ki
ki adalah parameter dan
S ( ki ) , dimana
Statistik uji :
t hitung
S (ki ) adalah standar error
parameter. Kriteria pengujian dengan α = 5% adalah tolak Ho jika |thitung| > ttabel , artinya
parameter signifikan.
Metode Program Linier
Program linier adalah model yang tersusun dari variabel-variabel keputusan yang
membentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala (Taylor, 2008). Program linier dapat
menyelesaikan model fungsi tujuan (memaksimalkan atau meminimalkan) yang
berhubungan secara linier, sebagai contoh model yang terbentuk dari GSTAR
Termodifikasi. Model GSTAR Termodifikasi akan dijadikan fungsi tujuan yang
memaksimalkan produksi jagung di tiap lokasi dalam kurun waktu tertentu. Fungsi tujuan
permasalahan program linier secara umum dituliskan pada persamaan (11) dengan kendala
pada persamaan (12).
Maks atau Min : Z i 1 c i X i untuk i = 1,2,3,…,N
N
N
i 1
(11)
a i X i bi atau ≥ bi atau = bi dan X j 0
(12)
dengan
Z
= Fungsi tujuan
Xi
= Variabel keputusan i
5
= Koefisien dari variabel keputusan ke-i
= Koefisien dari variabel keputusan dalam kendala ke-i
= Sumber daya yang tersedia dalam kendala ke-i
Untuk menguji keoptimalan solusi program linier, analisa dilakukan dengan
menggeser posisi optimal sebesar ±ΔX, ±ΔY, dan ±ΔR, dimana ΔX, ΔY, dan ΔR dipilih
berturut sebagai standard deviasi dari produksi jagung dalam kurun 4 tahun (X), luas lahan
panen dibandingkan dengan luas lahan kritis (Y), dan curah hujan (R). Artinya analisa
dilakukan dengan membuat daerah kelayakan yang cukup kecil di sekitar
ci
ai
bi
z * x*
y*
r*
T
, dengan x*, y*, dan r * , berturut adalah solusi optimal variabel
keputusan yang diperoleh dari metode program linier. Sebut persekitaran dari z * adalah
T
T
T
( x * ) x* X y* r * , x* y* Y r * , x* y* r * R
(13)
persekitaran tersebut digunakan untuk menguji keoptimalan nilai fungsi. Jika hasil yang
diperoleh di persekitarannya lebih kecil dari hasil yang diperoleh dengan metode program
linier maka pengoptimal dapat dikatakan pengoptimal global. Jika tidak maka disebut
pengoptimal lokal.
C. Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah penelitian yang digunakan yaitu :
1.
Identifikasi data awal
Data awal dalam penelitian ini adalah data produksi jagung, curah hujan, luas lahan
panen jagung, dan luas lahan kritis yang diperoleh dari BPS Kabupaten Boyolali berupa
data tahunan dari tahun 2008 s/d 2012. Berdasarkan data BPS dengan n = 5 dibangkitkan
himpunan data dengan n = 100 untuk keperluan pembuatan model dengan asumsi data
tersebut merupakan variasi data masing-masing variabel sepanjang 2008 s/d 2012. Dari
data yang telah dibangkitkan tersebut ditentukan statistika deskriptif, seperti disajikan pada
Tabel 1 untuk lokasi Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk.
Tabel 1. Statistika deskriptif data lahan kritis, curah hujan, dan produksi jagung di
Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Lokasi
Ampel
Cepogo
Musuk
2.
Variabel
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
Produksi Jagung (ton)
Luas Lahan Panen (ha)
Luas Lahan Kritis (ha)
Curah Hujan (mm)
N
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
100
Mean
20171
6822,5
2639
246,32
31091
2332,1
1382,1
226,97
7720
3414,6
5066,6
226,99
Min
1430
6737,5
1724,1
0,15
15957
2270,7
900,6
0,01
6776
3393,2
823,5
0,0003
Maks
41789
6915,6
3872
666,7
45647
2388,7
1959,9
1014,9
8935
3436,2
8032,6
795
Stdev
7483,3
35,35
433,3
178,1
5159
20,36
244
196,3
388,3
7,31
1574,7
215,82
Menentukan 3 kecamatan sebagai 3 lokasi dalam model GSTAR, yaitu Kecamatan
Ampel, Cepogo, dan Musuk.
6
3.
Uji Stasioner data yang merupakan syarat umum pemodelan time series
Sebelum berlanjut ke proses pembentukan model, perlu dilakukan uji stasioneritas
data dalam variansi dan rata-rata sebagai syarat umum pemodelan time series. Untuk
menguji apakah data sudah stasioner dalam variansi digunakan transformasi Box-Cox
menggunakan persamaan (2). Nilai estimasi lambda untuk setiap variabel disajikan pada
Tabel 2.
Tabel 2. Nilai estimasi lambda untuk setiap variabel
Lokasi
Ampel Cepogo Musuk
Data
Produksi Jagung
0,95
1,12
0,91
Luas Lahan Panen
-0,28
-0,60
-1,27
Luas Lahan Kritis
0,30
0,66
1,26
Curah Hujan
0,49
0,39
0,41
Dari Tabel 2 diketahui bahwa nilai estimasi lambda bervariasi dari -1,27 s/d 1,26.
Dalam kasus ini data yang akan ditransformasi tidak hanya data dengan nilai estimasi
lambda kurang dari 1 tetapi setiap variabel dengan harapan model menjadi semakin bagus.
Setelah data distasionerkan dalam variansi, maka dapat dilanjutkan ke uji stasioner dalam
rata-rata dengan trend analysis. Dari plot data trend analysis diperoleh bahwa trend
mendekati sejajar dengan sumbu horizontal sehingga tidak perlu dilakukan differencing
untuk semua variabel. Plot data trend analysis dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2. Plot data trend analysis untuk data produksi jagung (baris ke-1), luas lahan
(bariske-2) dan curah hujan (baris ke-3) di Kecamatan Ampel (kolom ke-1), Cepogo
(kolom ke-2), dan Musuk (kolom ke-3).
4. Melakukan transformasi data :
i.
Stasioneritas data menggunakan persamaan (2) jika data tidak stasioner
dalam variansi dan differencing jika data tidak stasioner dalam rata-rata
ii. Mengubah data berdimensi menjadi tak berdimensi
7
Z
Zˆ k k , k 1,2,3
Zk
dimana :
Zˆ k = variabel ke-k tanpa dimensi
(14)
Z k = variabel ke-k berdimensi
5.
6.
7.
8.
Z k = rata-rata variabel ke-k
Menyusun model GSTAR standard dan menyelesaikan
Menyusun model GSTAR termodifikasi dan menyelesaikan
Membandingkan hasil model GSTAR standard dan hasil model GSTAR
termodifikasi, kemudian dipilih hasil terbaik
Menganalisis data untuk menentukan hasil produksi jagung optimal di tiap
kecamatan berdasarkan data jagung tahun 2008 s/d 2012, dengan metode program
linier.
Diselesaikan menggunakan fungsi linprog() pada Matlab R2009a
Menyelidiki keoptimalan nilai fungsi tujuan berdasarkan data asli dengan
cara menyatakan data hasil optimasi dalam data yang berdimensi
menggunakan persamaan (2)
D. Hasil dan Pembahasan
GSTAR Standard
Dengan data produksi jagung yang telah stasioner dalam variansi dan rata-rata akan
dilakukan penyusunan model GSTAR standard bobot lokasi seragam dan invers jarak.
Bobot lokasi seragam dan invers jarak berturut-turut dituliskan sebagai berikut
0,4390 0,5610
0
0 0,5 0,5
0
0,6970 .
w 0,5 0 0,5 dan w 0,3030
0,3571 0,6429
0
0,5 0,5 0
Sebelum melakukan estimasi parameter, data dihilangkan dimensinya
menggunakan rumus pada persamaan (10). Dimensi dari data dihilangkan untuk keperluan
optimasi yang akan dilakukan pada bagian selanjutnya dalam penelitian ini. Hasil estimasi
parameter model GSTAR standard untuk data produksi jagung dan hasil uji statistik
parameter dituliskan pada Tabel 3.
Tabel 3. Estimasi parameter model GSTAR standard untuk data produksi jagung
Hasil estimasi dengan bobot lokasi
Parameter
ttabel
Kesimpulan
Seragam
thit
Invers Jarak
thit
1 0
0,1376
0,8579
0,1379
0,8753
1,98
Tidak signifikan
20
0,7058
2,3169
0,3228
0,8803
1,98
Tidak signifikan
30
1,0805
4,4902
1,0802
3,9484
1,98
Signifikan
0,8608
5,0501
0,8616
5,1418
1,98
Signifikan
11
21
0,2759
0,9125
0,6654
1,8083
1,98
Tidak signifikan
31
-0,0809 0,3457
-0,0807
0,3014
1,98
Tidak signifikan
Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa parameter 10 dan 20 tidak signifikan karena
nilai thit < ttabel, sehingga parameter tersebut dapat dihilangkan pada model. Hal ini
menunjukkan bahwa produksi jagung di Kecamatan Ampel dan Cepogo pada waktu t tidak
bergantung waktu t-1. Parameter 21 yang menunjukkan ketergantungan produksi jagung
di Cepogo dengan lokasi lain pada waktu t-1 juga tidak signifikan, sehingga model
8
GSTAR standard untuk produksi jagung di Cepogo tidak cocok sebagai model untuk
peramalan.
GSTAR Termodifikasi
Data yang digunakan untuk membentuk model GSTAR Termodifikasi ini adalah
data produksi jagung, curah hujan dan proporsi lahan panen dibandingkan dengan lahan
kritis di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk. Hasil estimasi parameter model GSTAR
Termodifikasi untuk data produksi jagung yang bergantung pada curah hujan dan proporsi
lahan panen dibandingkan dengan lahan kritis disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Estimasi parameter model GSTAR Termodifikasi
Hasil estimasi
dengan bobot
Parameter
ttabel
Kesimpulan
lokasi
Seragam
thit
1 0
0,6836
6,2522
1,98
Signifikan
20
0,9279
7,7411
1,98
Signifikan
30
1,0112
9,7989
1,98
Signifikan
1,98
Signifikan
11
0,2556
2,3330
21
0,0507
0,4616
1,98
Tidak signifikan
31
1,98
Tidak signifikan
-0,0130 0,1482
Dari Tabel 4 dapat dilihat bahwa parameter 21 dan 31 tidak signifikan terhadap
model, sedangkan parameter lain signifikan. Untuk keperluan optimasi nilai estimasi
parameter akan tetap digunakan pada model GSTAR Termodifikasi, sehingga persamaan
(6), (7), dan (8) menjadi,
Z1 (t ) 0,6836Z1 (t 1) 0,1278Y1 (t ) 0,1278R1 (t ) e(t )
Z2 (t ) 0,9279Z2 (t 1) 0,02535Y2 (t ) 0,02535R2 (t ) e(t )
Z3 (t ) 1,0112Z3 (t 1) 0,0065Y3 (t ) 0,0065R3 (t ) e(t )
(15)
(16)
(17)
Pengujian Residual White Noise
Asumsi residual white noise merupakan asumsi pada GSTAR yang harus dipenuhi
untuk memperoleh model yang bagus. Hasil pengujian white noise pada GSTAR standard
dan GSTAR Termodifikasi dituliskan pada Tabel 5.
Tabel 5. Hasil pengujian white noise untuk GSTAR standard dan GSTAR modifikasi
Jenis GSTAR
GSTAR Standard
Produksi Jagung
Ampel
Residual white noise
Cepogo
Residual white noise
Musuk
Residual tidak white noise
GSTAR Termodifikasi
Residual white noise
Residual white noise
Residual white noise
Dari Tabel 5 diketahui bahwa model yang memenuhi asumsi GSTAR adalah model
GSTAR Termodifikasi karena model untuk data produksi jagung di tiap lokasi memiliki
residual yang white noise.
9
Optimasi Produksi Jagung di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Untuk melakukan optimasi dengan metode program linier perlu disusun fungsi
tujuan dan kendala yang berpengaruh. Fungsi tujuan pada penelitian ini disusun
berdasarkan model GSTAR Termofikasi yang telah diperoleh, sedangkan kendala yang
berpengaruh adalah curah hujan optimal untuk pertumbuhan jagung dan rata-rata proporsi
luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan
Musuk. Fungsi tujuan dan kendala tersebut dituliskan sebagai berikut,
Fungsi tujuan :
Z1 0,6836 X1 0,1278Y1 0,1278R1
Z2 0,9279 X2 0,02535Y2 0,02535R2
Z3 1,0112 X3 0,0065Y3 0,0065R3
(18)
(19)
(20)
dengan,
Xk
= Produksi jagung di lokasi k dalam kurun waktu 4 tahun
Yk
= Luas lahan di lokasi k dalam kurun waktu 5 tahun
Rk
= Curah hujan di lokasi k dalam kurun waktu 5 tahun
k
= 1,2,3 dimana 1 = Ampel, 2 = Cepogo, dan 3 = Musuk.
Kendala :
1. Curah hujan optimal untuk pertumbuhan jagung berada pada interval 85 – 200
mm, interval tersebut ditransformasi menjadi data tanpa dimensi pada Tabel 5.
Tabel 5. Interval curah hujan optimal tiap lokasi
Lokasi
Ampel Cepogo Musuk
Batas
Batas Bawah
0,3451 0,3745 0,3184
Batas Atas
0,812
0,8812 0,7491
Dari Tabel 5 dapat disusun kendala curah hujan di setiap lokasi yang dituliskan
pada persamaan (20), (21), dan (22)
0,3451 R1 0,812
(21)
(22)
0,3745 R2 0,8812
0,3184 R3 0,7491
(23)
2. Rata-rata luas lahan panen dibandingkan dengan luas lahan kritis di lokasi
Ampel Cepogo dan Musuk berturut-turut kurang dari 0,9912; 0,9899; dan
0,9587.
0 Y1 0,9912
(24)
0 Y2 0,9899
(25)
0 Y3 0,9587
(26)
Persamaan (18), (19), dan (20) kemudian dioptimasi dengan fungsi linprog()
pada MATLAB. Hasil dari optimasi yang diperoleh berupa data produksi jagung optimal di
tiap lokasi yang disajikan pada Tabel 6.
10
Tabel 6. Produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk
Data Produksi Jagung Asli
Produksi Jagung Optimal
(ton)
Lokasi
Tidak
Berdimensi
Min
Max
Berdimensi
(ton)
Ampel
0,777041
23.350
12.574
42.777
Cepogo
1,376937
15.919
9.001
13.158
Musuk
1,026836
16.603
14.926
17.037
Hasil optimal produksi jagung yang tidak berdimensi dapat dilihat pada kolom tak
berdimensi pada Tabel 5. Data tersebut harus dikembalikan dimensinya dengan
mengalikan hasil optimal produksi jagung tak berdimensi dan rata-rata produksi jagung di
masing-masing lokasi, sehingga diperoleh hasil optimal produksi jagung yang berdimensi.
Untuk memperoleh optimal data berdimensi yang dituliskan pada Tabel 6 perlu dilakukan
pengembalian data yang telah ditransformasi pada tahap uji stasioneritas menggunakan
persamaan (2) dengan ≠ 0, diperoleh
1/
Yi Wi 1 , i 1,2,...
Hasil optimasi menunjukkan bahwa hasil optimal untuk Ampel dan Musuk berada
pada selang data asli, sedangkan hasil optimasi Cepogo tidak pada interval data. Dengan
kata lain, hasil penelitian dapat mengusulkan hasil optimasi jagung yang diperoleh selama
5 tahun untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil optimal Cepogo masih dianalisis lebih
lanjut.
Analisis hasil optimasi
Analisa dilakukan dengan menyusun domain persekitaran pengoptimal. Domain
persekitaran didefinisikan pada persamaan (13). Fungsi tujuan dihitung pada titik-titik
domain tersebut. Hasil analisa untuk solusi optimal tanpa dimensi yang telah diperoleh
disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7. Produksi optimal jagung tak berdimensi di tiap lokasi dengan
penggeseran posisi optimal
Persekitaran
Ampel
Cepogo
Musuk
*
*
* T
1,4784
1,6464
1,0231
x X y r
T
0,9756
1,3512
0,9236
x* X y* r *
*
*
* T
1,2747
1,5038
0,9729
x y X r
*
*
* T
1,1766
1,4955
0,9736
x y X r
T
1,2747
1,5038
0,9729
x* y* r * X
T
*
*
*
1,1766
1,4955
0,9736
x y r X
Hasil optimal tak berdimensi pada Tabel 7 dibandingkan dengan hasil optimal tak
berdimensi pada Tabel 8 diperoleh bahwa di Kecamatan Musuk hasil optimal terbaik
adalah solusi dengan metode program linier karena hasil optimal di daerah persekitarannya
lebih kecil, sedangkan untuk Kecamatan Cepogo masih terdapat titik-titik persekitaran
yang dapat mengoptimalkan nilai fungsi. Demikian pula di Kecamatan Ampel yang
memiliki hasil optimal lebih dari satu, disebut sebagai pengoptimal lokal yang ditunjukkan
pada Gambar 3 dimana ll adalah hasil program linier sedangkan warna lain hasil
persekitaran. Histogram untuk hasil optimal tak berdimensi di Tabel 7 dan 8 disajikan pada
Gambar 3.
11
Gambar 3. Histogram hasil optimal tak berdimensi di Kecamatan Ampel (kiri), Cepogo
(tengah), dan Musuk (kanan)
E. Simpulan
Berdasarkan pembahasan pada bagian sebelumnya GSTAR standard dan GSTAR
termodifikasi dengan bobot lokasi seragam dan invers jarak di Kecamatan Ampel, Cepogo,
dan Musuk. Model GSTAR standard tidak cocok untuk meramalkan data produksi jagung
di Cepogo, karena parameter model tidak signifikan menurut Uji-t. Model GSTAR
Termodifikasi lebih bagus dibandingkan dengan GSTAR standard karena parameter yang
tidak signifikan pada GSTAR standard menjadi signifikan pada GSTAR Termodifikasi.
Hasil optimasi menunjukkan produksi jagung optimal di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan
Musuk berturut-turut sebesar 23.501,31 ton, 15.935,47 ton, dan 16.551,27 ton dengan
hasil optimal di Ampel dan Musuk berada pada selang data asli. Dengan kata lain, dengan
memperhatikan curah hujan dan luas lahan, hasil penelitian dapat mengusulkan hasil
optimasi jagung yang diperoleh selama 5 tahun untuk Ampel, dan Musuk, sedangkan hasil
optimal Cepogo masih dianalisis lebih lanjut. Hasil analisa untuk menguji keoptimalan
solusi menunjukkan bahwa pengoptimal di Kecamatan Musuk merupakan solusi dari
metode program linier, sedangkan di Kecamatan Ampel dan Cepogo terdapat lebih dari 1
pengoptimal yang disebut sebagai pengoptimal lokal.
F. Daftar Pustaka
[1] Borovkova S.A., Lopuhaa H.P., Ruchjana B.N. 2002. Generalized STAR model
with experimental weights. Proceedings of the 17th International Workshop on
Statistical Modeling, 8-12 Juli 2002. Chania.
[2] Faizah L.A, Setiawan. 2013. Pemodelan Inflasi di Kota Semarang, Yogyakarta,
dan Surakarta dengan pendekatan GSTAR. Jurnal Sains dan Seni Pomits Vol 2,
No2, (2013) 2337-3520 (2301-92.8X Print)
[3] Nugroho. 2011. Alternatif Rehabilitasi Lahan Kritis Dengan Tanaman
Karabenguk (Mucuna Pruriens (L.) Dc.). Jurnal Politeknosains Vol. X No. 2.
[4] Parhusip H.A., Edi S.W.M, Prasetyo S.Y.J. 2014. Analisa Data Pemodelan
Untuk Ilmu Sosial & Sains. Salatiga : Penerbit Tisara Grafika.
[5] Parhusip, H.A dan Winarso, M.E. 2014 Analisa Data Iklim Boyolali Dengan
Regresi Klasik dan Metode GSTAR. Prosiding Seminar Nasional Matematika
dan Pendidikan Matematika. Universitas PGRI Ronggolawe. 24 Mei 2014.
[6] Ruchjana, B.N. 2002. Pemodelan Kurva Produksi Minyak Bumi Menggunakan
Model Generalisasi STAR. Forum Statistika dan Komputasi. IPB : Bogor.
[7] Suhartono., Subanar. 2006. The Optimal Determination of Space Weight in
GSTAR Model by using Cross-correlation Inference. JOURNAL OF
QUANTITATIVE METHODS : Journal Devoted to The Mathematical and
Statistical Application in Various Fields.
12
[8]
Taylor III, Bernard W. 2008. Introduction To Management Science. Jakarta:
Salemba Empat.
[9]
Wei W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods.
USA: Temple University.
13
MAKALAH 2
(belum dipublikasikan)
0
Penerapan Model GSTAR Termodifikasi untuk Menentukan Fungsi
Tujuan pada Optimasi Produksi Jagung di 9 Kecamatan di Kabupaten
Boyolali
Priska Dwi Apriyanti1), Hanna Arini Parhusip2), Lilik Linawati3)
1)2)3)
Progdi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana
Jalan Diponegoro No. 52-60, Salatiga
1)
[email protected] 2)[email protected] 3)[email protected]
Abstrak
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) dapat digunakan untuk
peramalan data time series yang memiliki keterkaitan antar lokasi pada waktu sebelumnya.
Asumsi yang perlu dipenuhi dalam model GSTAR adalah data harus stasioner dalam
variansi dan rata-rata. Grafik transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan untuk
mengetahui kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Estimasi parameter model
GSTAR Termodifikasi untuk menentukan fungsi tujuan pada optimasi produksi jagung
menggunakan data produksi jagung (ton), luas lahan (ha), dan curah hujan (mm) pada 9
Kecamatan di Kabupaten Boyolali diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil. Parameterparameter tersebut digunakan untuk menyusun fungsi tujuan program linier pada tahap
optimasi. Pengolahan data pada penelitian ini dibatasi menggunakan Ms.Excel 2007,
namun untuk pengujian stasioneritas dalam variansi digunakan Matlab R2009a. Hasil
optimasi menunjukkan hanya produksi jagung di Kecamatan Boyolali yang lebih kecil dari
maksimal data asli, sedangkan pada kecamatan lain lebih besar dari maksimal data asli.
Hasil secara keseluruhan menunjukkan bahwa produksi jagung (hasil perhitungan) berbeda
dengan maksimal data produksi jagung pada data asli dengan nilai error kurang dari 10%.
Dari hasil perhitungan menunjukkan untuk tiap kecamatan selain Kecamatan Boyolali
dapat meningkatkan produksi jagung sebesar 50 ton per tahun.
Kata Kunci – GSTAR Termodifikasi, differencing , transformasi Box-Cox, optimasi
A. Pendahuluan
Model Generalized Space Time Auto Regressive (GSTAR) dapat digunakan untuk
peramalan data time series yang memiliki keterkaitan antar lokasi pada waktu sebelumnya
(Suhartono, 2006). Model GSTAR Termodifikasi merupakan modifikasi model GSTAR
Standar dengan penambahan variabel lain yang dianggap berpengaruh. Apriyanti, dkk
(2014) telah menerapkan model GSTAR Standar dan GSTAR Termodifikasi berdasarkan
data produksi jagung (ton), luas lahan kritis (ha), luas lahan panen (ha), dan curah hujan
(mm) di Kecamatan Ampel, Cepogo, dan Musuk di Kabupaten Boyolali. Diantara kedua
model tersebut dipilih model GSTAR Termodifikasi sebagai model terbaik karena
parameter yang tidak signifikan pada model GSTAR Standar menjadi signifikan pada
model GSTAR Termodifikasi. Pada makalah ini akan diterapkan model GSTAR
Termodifikasi berdasarkan data produksi jagung (ton), luas lahan panen (ha), dan curah
hujan (mm) pada 9 kecamatan di Kabupaten Boyolali dari tahun 2008 s.d 2013. Data
1
tersebut digunakan untuk memperoleh estimasi parameter model GSTAR Termodifikasi
yang selanjutnya dijadikan fungsi tujuan dalam tahap optimasi.
Asumsi yang perlu dipenuhi dalam model GSTAR adalah data harus stasioner
dalam variansi dan rata-rata. Grafik transformasi Box-Cox dan trend analysis diperlukan
untuk mengetahui kestasioneran data dalam variansi dan rata-rata. Dalam penelitian ini
akan digunakan Ms.Excel 2007 sebagai alat bantu pengolah data, dengan harapan model
GSTAR Termodifikasi dapat diterapkan oleh lebih banyak orang karena Ms.Excel 2007
lebih dikenal masyarakat umum.
B. Penyusunan Parameter Fungsi Tujuan
Differencing
Data time series dikatakan stasioner dalam rata-rata apabila garis trend linear pada
plot trend analysis mendekati sejajar dengan sumbu horizontal, jika trend linear belum
mendekati sejajar maka data dikatakan tidak stasioner dalam rata-rata (Wei,2006). Salah
satu cara untuk menghapus non-stasioneritas dalam rata-rata adalah dengan metode
differencing (Makridakis, 1988) yang didefinisikan pada persamaan (1), yaitu
Yt ' Yt Yt 1
(1)
'
dimana Yt adalah data setelah dilakukan differencing, Yt adalah data pada waktu ke-t, dan
Yt 1 adalah data pada waktu ke t-1. Jumlah data Yt ' hanya akan sebanyak n-1 dengan n
merupakan jumlah data asli, karena differencing pada data waktu t=1 tidak mungkin
dilakukan.
Transformasi Box-Cox
Transformasi Box-Cox adalah transformasi pangkat pada variabel tak bebas dimana
variabel tak bebasnya bernilai positif (Yati dkk, 2013). Transformasi ini pertama kali
diungkapkan oleh Box dan Cox (1964) yang dituliskan pada persamaan (2), yaitu
Yi 1
, 0
Wi
, i 1,2,..., n
ln(Y ), 0
i
dengan,
Wi = data ke-i hasil transfor