SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009

  

SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2008

TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2009

Prestasi itu diraih bukan didapat !!!

SOLUSI SOAL

  

Bidang Mat emat ika

Bagian Pert ama "W e a r e th e fir s t o f th e fa s te s t o n li n e s o lu ti o n o f m a th e m a ti c s " 2009

  [ w w w . i n u g z c a k e p . w o r d p r e s s . c o m ] Page 1

BAGIAN PERTAMA

  3

  ⋅ 251 1. 2008 = 2

  Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = (3 + 1)(1 + 1) ∴ Banyaknya pembagi posit if dari 2008 = 8.

  10 ! 2.

  = 151200 Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA adalah

  3 ! 2 ! 2 ! ⋅ ⋅

  Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan syarat kedua T berdekat an adalah

  9 !

  sama dengan banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMAIKA, yait u = 30240

  3 ! ⋅ 2 !

  Banyaknya cara menyusun huruf -huruf MATEMATIKA dengan kedua T t idak berdekat an adal ah = 151200 − 30240 = 120960. ∴ Banyaknya cara menyusun = 120960.

  • a b 3. Karena 0 < b < a maka akan bernil ai posit if .
  • 2 2 2 ab a b a b 2 ab 6 ab + + + + 2 ab ⎛ ⎞

      = = =

      2 ⎜ ⎟ 2 2

      2 ab a b − 2 ab abab

    • 6

      ⎝ ⎠

    • a b

      ∴

      =

      2 ab 4.

      Misalkan segit iga ABC dimaksud adalah sepert i pada gambar berikut Misalkan j uga AC = b

      ⋅ AC ⋅ 12 = ½ ⋅ AB ⋅ 4 [ ABC] = ½ b ⋅ 12 = AB ⋅ 4 AB = 3b Misalkan j uga BC = a dan panj ang garis t inggi dari A adalah x dengan x bilangan asl i.

      [ ABC] = ½ ⋅ a ⋅ x = ½ ⋅ 4 ⋅ 3b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) a x = 12b

      Ada dua kemungkinan pemahaman t erhadap pert anyaan pada soal. i) Yang dit anyakan adalah maks (x, 4, 12).

      Akan dibukt ikan bahwa x ≤ 12 sehingga panj ang maksimum dari garis t inggi segit iga ABC adalah 12. Andaikan bahwa x > 12.

      ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) Dari persamaan (1) akan didapat bahwa a < b Pada segit iga siku-siku ACF j el as bahwa AC = b > AF Karena AB = 3b maka FB > 2b Pada segit iga siku-siku BCF berlaku bahwa BC > FB Karena BC = a < b sedangkan FB > 2b maka ket aksamamaan t idak mungkin t erj adi.

      Kont radiksi dengan pengandaian awal. Jadi, x ≤ 12. Maka panj ang maksimum garis t inggi segit iga ABC adalah 12. ii)

      Yang dit anyakan adalah panj ang maksimum dari garis t inggi yang ket iga dari segit iga ABC

    • Andaikan 3b adalah sisi t erpanj ang

      Berdasarkan ket aksamaan segit iga berlaku 3b < a + b Maka 2b < a Berdasarkan persamaan (1) maka a x < 6a Jadi, x < 6

      12

    • Jika x = 5 maka a = b

      5 2 2 2 2 ⎛ ⎞ 12 169 2 2 AC + BC = < AB b b = + b

      ⎜ ⎟

      5

      25 ⎝ ⎠

      Jadi, j ika x = 5 maka segit iga BC t umpul . Tidak memenuhi bahwa segit iga ABC lancip. Jika x = 4 maka a = 3b * Segit iga ABC sama kaki dengan BC = AB = 3b Karena AB adalah sisi t erpanj ang maka segit iga BC lancip.

    • Andaikan a adalah sisi t erpanj ang

      3b < a xa = 12b < 4a x < 4 Karena x ≤ 4 maka t idak perlu lagi mencari nilai x maksimum. Jadi, panj ang maksimum garis t inggi yang ket iga dari segit iga ABC adalah 4. ∴ Dari dua kemungkinan ini Penulis lebih cenderung pada kemungkinan pert ama yang sesua dengan kat a-kat a pada soal. Panj ang maksimum garis t inggi dari segit iga ABC adalah 12.

      5. Misalkan persamaan garis t ersebut adalah y = mx + c Misalkan j uga garis memot ong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) dengan p adalah bilangan prima dan q adalah bil angan bul at posit if .

      Karena garis memot ong sumbu X di (p, 0) dan sumbu Y di (0, q) maka persamaan garis t ersebut

      q + adalah y = − x c . p

      q

      y = − x q p

    • Garis mel al ui (0, q) maka c = q. Jadi persamaan garis t ersebut adalah

      Karena garis melalui (4, 3) maka berlaku −4q + pq

      3p = −3. Tidak memenuhi q bulat posit if.

    • Jika p genap maka p = 2 sehingga q =

      Jika p ganj il maka p − 4 ganj il. Nilai p − 4 yang mungkin memenuhi adalah ±1 at au ±3. * − 4 = −1 maka p = 3 dan q = −9. Tidak memenuhi q bulat posit if.

      Jika p - Jika p − 4 = 1 maka p = 5 dan q = 15. Jadi persamaan garis adalah y = −3x + 15 yang - melalui t it ik (4, 3) Jika p − 4 = −3 maka p = 1 yang t idak memenuhi bahwa p adalah bilangan prima. - Jika p − 4 = 3 maka p = 7 dan q = 7. Jadi persamaan garis adalah y = −x + 7 yang melalui - t it ik (4, 3)

      Persamaan garis yang memenuhi adalah y = −3x + 15 dan y = −x + 7. ∴ Banyaknya garis yang memenuhi ada 2. o

      ∠BAC = 45 6. Perhat ikan gambar. Diket ahui dari soal .

      Misalkan luas segit iga ABC = [ ABC] Dengan dalil pit agoras didapat : 2 2

      ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) AC = AD + 4 2 2 AB = AD + 9 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

      Persamaan (2) j uml ahkan dengan (1) didapat 2 2 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

      AB + AC = 2AD + 13 [ ABC] = ½ BC ⋅ AD

      2 ABC [ ]

      ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Karena BC = 5 maka AD =

      5 Pada segit iga ABC berlaku 2 2 2 o 2 2 o

      BC = AB + AC − 2 AB AC cos 45 = AB + AC − 2 AB AC sin 45 2 − 4[ABC] ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) 25 = 2 AD + 13

      Subt it usikan persamaan (4) ke (5) 2

    8 ABC

      [ ] 12 = − 4 [ ABC ]

      25

      − 15) = 0 (2[ ABC] + 5)([ ABC] Maka [ ABC] = 15 ∴ Luas segit iga ABC adalah 15.

      

    2

    2 2

      7. Persamaan t ersebut dapat diubah menj adi (3x + 1)(y − 10) = 507 = 3 ⋅ 13 2 2 Karena 3x + 1 bulat posit if maka y − 10 j uga bilangan bulat posit if. Fakt or posit if dari 507 ada 6 yait u 1, 3, 13, 39, 169 dan 507. 2 2 − 10 adalah fakt or dari 507 maka y y = 11, 13, 23, 49, 179 at au 517 dan yang merupakan 2 bilangan kuadrat sempurna hanya 49. Maka y = 49.

      Sehingga 3x + 1 = 13. 2 2 3x y = 12 x 49 = 588.

      tan 45 ° − tan 30 ° 8. tan 15 ° = tan ( 45 ° − 30 ° ) =

    • 1 tan

      45 ° tan 30 °

      1 1 −

      3

      3

      3

    • 3 −

      3

      3 tan 15 ° = = ⋅

      1

      3

      3

      3

      3 + +

      1

    • 1

      3 ⋅

      3

      3

      ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

      tan 15 ° =

      2

    3 Dengan dalil cosinus

    • 3

      a b sin ∠ A a

      sehingga

      2

      

    3

    = = = + sin ∠ A sin ∠ B sin ∠ B b

      sin ∠ A =

      2 3 sin ∠ B ( ) o o

    • ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2)

      Karena ∠C = 60 maka ∠A = 120 − ∠B o o o ∠A = sin (120 − ∠B) = sin 120 ∠B − cos 120 ∠B sin cos sin

      1

      1

      2 + + 3 sin ∠ B = 3 cos ∠ B sin ∠ B ( )

      2

      2

      3

      1 ⎞ ⎛ + 3 sin ∠ B =

      3 cos ∠ B ⎜ ⎟

      2

      2 ⎝ ⎠ 3 o tan B tan

      15 ∠ = =

    • 3

      2

      3 o

      ∴ Besarnya sudut B adalah 15 .

      9. Karena banyaknya siswa = 100 orang sedangkan banyaknya siswa kelas II 50% lebih banyak dari siswa kelas III maka banyaknya siswa kelas II yang mengikut i seleksi = 60 orang sedangkan siswa kelas III = 40 orang.

      2 Misalkan skor rat a-rat a kelas III adal ah x maka skor rat a-rat a kelas II adalah x.

      3

      2

    • 60 ⋅ x

      40 ⋅ x

      3 100 = 100

      x = 125 ∴ Skor rat a-rat a siswa kelas III adalah 125.

      10. Misalkan panj ang AD = x dan panj ang AE = y

      1

      5

      12 Luas (5)(12) = 30 dan sin A = sert a cos A =

      ∆ABC =

      2

      13

      13

      1 Luas xy sin A = 15. Maka xy = 78.

      ∆ADE =

      2 Sesuai dalil cosinus pada 2 2 2 ∆ADE maka : 2 2 DE = x + y − 2xy cos A = x + y − 144

      Dengan AM-GM maka 2 DE ≥ 2xy − 144 = 12 2 DE akan minimum sama dengan 12 j ika x = y =

      78

      ∴ DE minimum =

      2

      3

      11. Misalkan ke-4 akar t ersebut adalah x 4 3 2 1 , x 2 , x 3 dan x 4 dengan x 1 =

      2 dan x 2 = 2008 = 2 502 .

      x + ax + bx + cx + d = (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x − x 3 ) (x − x 4 ) = 0 −a yang merupakan bilangan rasional. Maka ada 2 kemungkinan nilai x x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 dan x 4 .

      − −

    • x 3 = p

      2 2 502 dan x 4 = q unt uk p dan q bilangan rasional.

      x 1 x 2 x 3 x 4 = d yang merupakan bilangan rasional.

      = bilangan rasional unt uk p, q rasional

      2 2 502 p − 2 − 2 502 ( ) q ( )( )( ) − − = bilangan rasional.

      4 p 251 4 251 2008

    2 Maka t idak ada p rasional yang memenuhi

    • x 3 = p −

      2 dan x

    4 = q − unt uk p dan q bilangan rasional.

      2 502

      x 1 x 2 x 3 x 4 = d yang merupakan bilangan rasional.

      2 2 502 p − 2 q − 2 502 = bilangan rasional ( )( )( )( )

    • − − = bilangan rasional 4 pq 251 2008 p

      2 4 q 502 4016

      − − Kesamaan di at as akan t erpenuhi hanya j ika p = q = 0 sehingga x 4 3 2 3 =

      2 dan x 4 = 2008

      x + ax + bx + cx + d = (x − 4 3 2 2 2 ) (x − 2008 ) (x + 2 4 2 ) (x + 2008 ) 2 − 2)(x − 2008) = x − 2010x x + ax + bx + cx + d = (x + 4016

      Maka a = 0, b = −2010, c = 0 dan d = 4016 − 2010 + 0 + 4016 a + b + c + d = 0

      ∴ Nilai a + b + c + d adalah 2006.

    12. Misalkan [ ABC] menyat akan luas ∆ABC.

    • AB ACBC
    • 2

      2

      2 Berdasarkan dalil cosinus, cos ∠A = . 2 2

      2 ⋅ ABAC

      2 2 2 2 cos AB ACBC AB ACBC + + ∠ A

        Maka ct g ∠A = = =

        sin A 2 ⋅ ABAC ⋅ sin ∠ A

        4 ABC ∠ [ ] Dengan cara yang sama didapat : 2 2 2 2 2 2 AB BCAC AC BCAB

        ct g ∠B = dan ct g ∠C =

        4 [ ABC ] 2 2 2 4 [ ABC ] AB AC BC + +

        16

        ct g ∠A + ct g ∠B + ct g ∠C = =

      4 ABC

        4 [ ] ∴ ct g ∠A + ct g ∠B + ct g ∠C = 4. 2

        13. + 4 f (x) = x 2 2 f (xy) = x y + 4 2 f (y − x) = (y − x) + 4 2 f (y + x) = (y + x) + 4 − x) = f(y + x) f (xy) + f (y 2 2 2 2 x y + 4 + (y − x) + 4 = (y + x) + 4 2 2 2 2 2 2

        − 2xy + 4 = y x y + y + x + x + 2xy 2 2 x y + 4 = 4xy 2 − 2)

        (xy = 0 Jadi xy = 2 Dengan ket aksamaan AM-GM maka

      • x y ≥ 2 xy =

        2

        2

        ∴ Nilai minimum dari x + y adalah

        2

        2 14. Jelas bahwa n harus genap. y x1 x2 xk

        Misalkan n = 2 ⋅ p ⋅ p ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ p dengan p unt uk i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k semuanya bilangan prima ganj il 1 2 k i dan x i unt uk i = i, 2, ⋅⋅⋅, k semuanya bilangan bulat t ak negat if sert a y asli.

        Karena sal ah sat u f akt or dari n adal ah 2 maka semua bil angan genap ≤ n t idak akan relat if prima

        n

        dengan n. Banyaknya bilangan genap ≤ n ada t epat sebanyak dan banyaknya bilangan ganj il

        2 n kurang dari n j uga ada sebanyak .

        2

        < n dengan i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k j uga merupakan fakt or dari n yang Tet api unt uk semua 1 < p i mengakibat kan semua 1 < p i < n dengan i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k t idak akan relat if prima dengan n.

        n

        Maka agar t erpenuhi ada t epat bilangan kurang dari n dan relat if prima t erhadap n maka n

        2 t idak boleh memiliki f akt or ganj il selain 1. Jadi p = 1 unt uk semua i = 1, 2, ⋅⋅⋅, k. y i Maka n = 2 unt uk suat u bilangan asl i y. y < 2008. Jadi y ≤ 10.

        Karena n < 2008 maka 2 Maka nilai n yang memenuhi adalah 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. ∴ Banyaknya bilangan bulat posit if n yang memenuhi ada 10.

        2 15. ) akan berderaj at 2n.

        Misalkan f (x) berderaj at n maka f (x 3 x f (x) akan berderaj at n + 3. 2 3

      • Jika n > 3 maka 2n > n + 3 sehingga f(x ) − x f (x) akan berderaj at 2n > 6. Jadi, t anda kesamaan t idak mungkin t erj adi.
      • 2 3<
      • Jika n = 3 maka f(x

        ) dan x f (x) akan berderaj at sama yait u 6 sehingga masih dimungkinkan f (x ) − x f (x) akan berderaj at 3. 3 2 3 6 3 3 3 − 2 maka f(x − x − 2) − x − 2) = 2(x − 1) yang memenuhi. Jika f (x) = x ) f (x) = (x (x 2 3

      • Jika n &lt; 3 maka 2n &lt; n + 3 sehingga f(x ) − x f (x) akan berderaj at n + 3. Karena ruas kanan berderaj at 3 maka n = 0.

        ∴ Deraj at f(x) adalah 3.

        16. Banyaknya cara memilih 2 orang dari 20 orang = 20 C 2 = 190. 20 Banyaknya kemungkinan t anggal lahir dari 20 orang = 365 .

        365 ⋅ 364 ⋅ 363 ⋅ L ⋅ 347 ⋅

      1 Peluang = C

        20 220 365 190 ⋅ 365 !

        ∴ Peluang dari soal = 20 dengan t anda “ ! ” menyat akan f akt orial.

        346 ! ⋅ 365 17.

        Ada dua kemungkinan j umlah ket iga bilangan t ersebut genap

      • Ket iga bilangan t ersebut semuanya genap

        1004 ⋅ 1003 ⋅ 1002 C 1004 3 167

        6 Peluang = = = 2008 2007 2006 ⋅ ⋅ 2008 C 1338 3

        6

      • Ada sat u bilangan genap dan dua lainnya ganj il

        1004 ⋅ 1003 1004 ⋅ 1004 CC 502 1 1004 2

        2 = = 2008 ⋅ 2007 ⋅ 2006 2008 C 1338 3

        6 502

        Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap = 167 +

        1338 1338

        1

        ∴ Peluang j umlah ket iga bilangan t ersebut genap =

        2

        ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ 18. 10 = 4 + ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ ⏐B⏐ − ⏐A ∩ B⏐ = 6 Jelas bahwa 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ ⏐A⏐ sehingga 0 ≤ ⏐A ∩ B⏐ ≤ 4.

        ≤ ⏐B⏐ ≤ 10 Jadi 6 Karena ⏐B⏐ bulat t ak negat if maka ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 at au 10.

        ∴ ⏐B⏐ = 6, 7, 8, 9 atau 10.

      9 Luas segit iga ABC = ½

        75 20.

        1

        3

        ⎛ = + = 1004 1004 2 1004 1 1004 1004

        ⎛

        ⎛

        4 k k k

        L

        ( ) ∑

        Dengan binom Newt on didapat

        2

        3

        ∴ Luas segit iga ABC =

        75

        2

        ⋅ (BD + CD) ⋅ AD =

        2

        6 CD = sehingga CD =

        8

        6

        AD CD BD AD =

        19. Misalkan ∠DAB = ∠ACD = α ct g α =

      • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝
      • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

        3

      • ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝

        2 1004

        1 1004 3 1004

        3 1004 1004

        3

        ⎝ ⎛ = ⎟⎟

        = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

        ∴ = 2

        ∑ =

        ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

        ⎝ ⎛ 1004 1004 3 k k k 2008 .

        ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛