ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION Alfira Mulya Astuti
Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012, Hal. 40-56 ©
β eta 2012
β eta p-ISSN: 2085-5893 / e-ISSN: 2541-0458
ESTIMASI DAN PENGUJIAN HIPOTESIS
GEOGRAPHICALLY WEIGHTED REGRESSION
Alfira Mulya Astuti
1 Abstrak: Salah satu analisis statistika yang menghubungkan variabel
respon dengan variabel bebas yaitu metode regresi. Hasil keluaran
(output) dari metode ini adalah estimasi dari parameter yang
menghubungkan variabel bebas dan variabel respon. Masalah utama
dari metode ini adalah jika metode ini diterapkan pada data spatial.
Untuk mengatasi permasalahan pada data spatial maka metode
statistik yang akan digunakan adalah Geographically Weighted
Regression (GWR), yaitu model yang menggunakan faktor geografis
sebagai variabel bebas yang dapat mempengaruhi variabel respon.
Estimasi pada model GWR dengan pendekatan MLE menghasilkan
estimator yang sama dengan pendekatan Weighted Least Square (WLS)
yang sudah umum digunakan. Namun pendekatan ini tidak dapat
digunakan secara langsung untuk menaksir estimator varians.
Kata Kunci: Metode Regresi; Geographically Weighted Regression (GWR)
A.PENDAHULUAN
Metode regresi merupakan metode statistik yang paling umum digunakan. Metode regresi yaitu metode yang menghubungkan variabel respon dengan variabel bebas dengan hasil keluaran (output) utamanya adalah estimasi dari parameter yang membentuk suatu model tertentu (Draper dan Smith, 1992). Masalah utama dari metode ini adalah jika metode ini diterapkan pada data spatial, dimana metode Ordinary Least
Square (OLS) untuk estimasi parameter model regresi dengan asumsi error
identik independen dan berdistribusi normal yang harus dipenuhi, maka akan diperoleh satu model taksiran untuk semua data. Hal inilah yang menyebabkan ketidaksesuaian model pada data spatial. 1 IAIN Mataram, Mataram, Indonesi
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
…
Data spatial merupakan data pengamatan bila melibatkan informasi koordinat lokasi pengambilan data di samping data mengenai peubah- peubah yang sedang diamati. Analisis terhadap data spatial memerlukan perhatian lebih dibandingkan dengan analisis data nonspatial, khususnya ketika menggunakan regresi. Salah satu hal yang harus mendapat perhatian pada penanganan data spatial adalah kemungkinan munculnya heterogenitas spatial. Heterogenitas spatial muncul karena kondisi data di lokasi yang satu dengan lokasi yang lain tidak sama, baik dari segi geografis, keadaan sosial- budaya maupun hal-hal lain yang melatarbelakanginya. Salah satu dampak yang ditimbulkan dari munculnya heterogenitas spasial adalah parameter regresi bervariasi secara spasial atau disebut juga terjadi nonstasioneritas spasial pada parameter regresi.
Pada regresi OLS (Ordinary Least Square) diasumsikan bahwa nilai duga parameter regresi akan tetap (konstan), artinya parameter regresi bernilai sama untuk setiap titik di dalam wilayah penelitian (parameter global). Bila terjadi heterogenitas spasial pada parameter regresi, maka informasi yang tidak dapat ditangani oleh metode regresi OLS akan ditampung sebagai galat. Bila kasus semacam itu terjadi, regresi OLS menjadi kurang mampu dalam menjelaskan fenomena data yang sebenarnya. Untuk mengantisipasi munculnya heterogenitas spasial pada parameter regresi, regresi OLS dikembangkan menjadi Geographically
Weighted Regression (GWR). Pada GWR, parameter regresi diasumsikan
bervariasi secara spasial. Melalui penggunaan GWR akan dapat diketahui variasi spasial dalam nilai duga parameter, sehingga interpretasi yang berbeda dan berharga dapat diperoleh untuk setiap titik lokasi yang diteliti.
Banyaknya variabel prediktor memungkinkan akan terjadinya pelanggaran asumsi tentang tidak adanya multikolinieritas dalam data. Oleh karena itu diperlukan suatu metode untuk mereduksi beberapa variabel yang tidak signifikan terhadap responnya. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode stepwise GWR.
B. TINJAUAN PUSTAKA
Metode regresi yang merupakan metode yang memodelkan 1 2 p hubungan antara variabel respon (y) dan variabel bebas (x , x , ... , x ).
Model regresi linier secara umum dinyatakan dengan
eta : Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
41
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis… y x x x
...
1
1
2 2 p p
Jika diambill sebanyak n pengamatan, maka model di atas dapat ditulis sebagai: p
y x i k ik i
k
1
(2.1) dengan i = 1, 2, ... , n ; k = 1, 2, ... , p ; adalah parameter
, ,...,
1 p
model dan adalah error yang diasumsikan identik, , ,..., n
1
2
independen, dan berdistribusi Normal dengan mean nol dan varians
2
konstan . Pada model ini, hubungan antara variabel bebas dan variabel
respon dianggap konstan pada setiap lokasi geografis. Estimator dari parameter model didapat dari persamaan T T 1
ˆ
X X X y β
(2.2) dengan
β : vektor dari parameter yang ditaksir berukuran n x (p+1) X : matrik data berukuran n x (p+1) dari variabel bebas yang elemen
pada kolom pertama bernilai 1
y : vektor observasi dari variabel respon berukuran (n x 1) k : banyaknya variabel bebas (k = 1, 2, ... , p)
2.1 Model GWR
Metode GWR adalah suatu teknik yang membawa kerangka dari model regresi sederhana menjadi model regresi yang terboboti (Fotheringham, et al., 2002) p
y u , v u , v x , i i i k i i ik i k
1
(2.3) dengan
y i : pengamatan pada lokasi ke-i (i = 1, 2, ... , n)
(u i ,v i ) : koordinat longitude latitude dari titik ke-i pada suatu lokasi geografis. k (u i ,v i ): realisasi dari fungsi kontinyu k (u,v) pada titik ke-i
eta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
42 |
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
… : error yang diasumsikan identik, independen, dan berdistribusi i
2 Normal dengan mean nol dan varians konstan
Dengan demikian setiap nilai parameter dihitung pada setiap titik lokasi georafis. Jadi setiap titik lokasi geografis mempunyai nilai parameter regresi yang berbeda-beda. Hal ini menghasilkaan variasi pada nilai parameter regresi di suatu kumpulan wilayah geografis. Jika nilai parameter regresi konstan pada tiap-tiap wilayah geografis, maka model GWR adalah model global. Artinya tiap-tiap wilayah geografis mempunyai model yang sama. Hal ini merupakan kasus spesial dari GWR.
2.2 Estimasi parameter model GWR
Pada model GWR diasumsikan bahwa data observasi yang dekat dengan titik ke-i mempunyai pengaruh yang besar pada estimasi dari k
(ui,vi) dari pada data yang berada jauh dari titik ke-i. Esensi yang bisa diambil dari hal tersebut adalah persamaan diatas mengukur hubungan model pada semua titik ke-i. Lokal parameter k (ui,vi) diestimasi menggunakan WLS (Leung, 2000). Pada GWR sebuah observasi diboboti dengan nilai yang berhubungan dengan titik ke-i. Bobot wij, untuk j = 1,2, . . . ,n, pada tiap lokasi (ui,vi) diperoleh sebagai fungsi yang kontinyu dari jarak antara titik ke-i dan titik data lainnya. Misal matriks berikut merupakan matriks dari lokal parameter
u , v u , v ... u , v
β β β p
1
1
1
1
1
1
1
. . . . . .
B
. . .
u , v u , v ... u , v
β n n β n n β p n n
1
(2.4)
Estimasi tiap baris adalah dengan persamaan berikut: T T
1 ˆ ( i )
X W ( i )
X X W ( i ) y
(2.5) dengan
X = matrik data dari variabel bebas y = vektor variabel respon W(i) = matriks pembobot eta
: Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
43
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
= diag [w i1 , w i2 , ... , w in ] (2.6)
Estimasi dari (2.5) merupakan estimasi dari least square tetapi matriks pembobot tidak konstan, sehingga W(i) dihitung untuk tiap i dan ij
w mengindikasikan kedekatan atau bobot tiap titik data dengan lokasi i.
Hal ini yang membedakan GWR dengan tradisional WLS yang mempunyai matrik bobot yang konstan.
Selain menghasilkan estimasi parameter lokal untuk tiap-tiap lokasi geografis, GWR juga menghasilkan versi lokal untuk seluruh standar regression pada seluruh lokasi geografis misalnya ukuran goodness of fit. Hal ini dapat memberikan informasi pada pemahaman aplikasi dari model dan untuk penelitian lebih lanjut apakah diperlukan penambahan variabel independen pada model GWR. Hal yang penting lainnya adalah titik dimana parameter lokal diestimasi dengan model GWR tidak memerlukan titik dimana data diambil. Estimasi dari parameter dapat didapat dari semua lokasi geografis. Dengan demikian, pada sistem dengan data titik lokasi geografis yang besar, estimasi model GWR dari lokal parameter.
2.3 Pembobotan model GWR
Peran pembobot pada model GWR sangat penting karena nilai pembobot ini mewakili letak data observasi satu dengan lainnya. Oleh karena itu, sangat dibutuhkan ketepatan cara pembobotan (Chasco, et al., 2007). Skema pembobotan pada GWR dapat menggunakan beberapa metode yang berbeda, salah satu metode pembobotan yang biasa digunakan adalah kernel Gaussian dan fungsi pembobotan bisquare (Bocci, et al., 2006). Fungsi bisquare untuk menghitung titik ke-M yang terdekat adalah: 2 2
[1 ij / b) ] , jika j adalah salah satu titik ke-M yang
- – (d terdekat dari itik
w ij =
(2.7) ke-i , untuk lainnya dengan b adalah jarak titik ke-M yang terdekat dan d ij merupakan jarak
2
2 Euclidean . d ( u u ) ( v v ) ij i j i j eta
Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012 44 |
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
…
Kriteria untuk penentuan nilai M yang tepat dapat diperoleh dengan pendekatan least square yaitu dengan menggunakan kriteria cross-
validation n
2 CV y y ˆ ( b ) i i i
- 1
(2.8) dengan i* adalah nilai dugaan untuk y i dengan pengamatan ≠ i dan y ˆ ( b )
- i pada titik ke-i diabaikan dalam proses kalibrasinya.
2.4 Maximum Likelihood Estimator dan Statistik Uji
Sejauh ini metode Maximum Likelihood Estimator (MLE) merupakan metode estimasi yang umum digunakan (Casella dan Berger, 1990). Jika kita memiliki sampel x 1 , x 2 , ... , x n yang iid dari populasi yang berdistribusi
, fungsi likelihood-nya didefinisikan sebagai: f ( x | ,..., ) k
1 n L x L x x f x
( | ) ( ,..., | ,..., ) ( | ,..., )
1 k 1 n i 1 k i
1
(2.9) Jika fungsi likelihood dapat diturunkan terhadap , maka akan i diperoleh penyelesaian atau estimasi parameter-parameter
( ,..., ) k
1
dengan memaksimumkan fungsi:
L x i k
( | ) , 1 ,...,
i (2.10)
MLE berhubungan dengan metode Likelihood Ratio Test (LRT) dalam penentuan statistik uji. LRT dapat diperoleh dari proses pembagian:
L ( )
L ( )
(2.11) ˆ
L L dan
dengan )
: himpunan parameter di bawah hipotesis nol (H : himpunan parameter di bawah populasi L(
) : fungsi likelihood di bawah H
eta : Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
45
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
L( ) : fungsi likelihood di bawah populasi Keputusan tolak H jika .
1 C.
PEMBAHASAN
1.1 Estimasi parameter GWR
Metode GWR adalah suatu teknik yang membawa kerangka dari model regresi sederhana menjadi model regresi yang terboboti (persamaan 2.3). Asumsi yang digunakan pada model ini adalah error berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi konstan. Leung, 2000 menggunakan pendekatan Weighted Least Square (WLS) dalam mengestimasi parameter.
Pada penulisan ini akan digunakan pendekatan MLE dalam estimasi parameternya. Langkah awal dari pendekatan tersebut adalah dengan membentuk likelihood sebagai berikut: 2 n 2 L y f y
( , | ) ( | , ) β k i β k
i n 1 p 2
1 1
y u v u v x
exp , , i i i k i i ik (3.1) 2 2 i k 1 1 2 2
n p 2 n / 2 n / 2 2
1 y u v u v x
2 exp , , i i i k i i ik 2
k 1 2 i 1
Faktor letak geografis merupakan faktor pembobot pada model GWR. Faktor ini memiliki nilai yang berbeda untuk setiap daerah yang menunjukkan sifat lokal pada model. Oleh karena itu pembobot diberikan pada bentuk likelihood untuk mendapatkan model lokal GWR.
n /
2 n /
2
2
2
exp w L ( , | y ) w 2 exp w
i j β k i j i j
( ) ( ) ( )
n
p2
1 exp y u , v u , v x
i i i k i i ik
2
k
1
2 i
1
n n /
2 / 2 k
- 2
2
n p
2
1 exp w y u , v u , v x i ( j ) i i i k i i ik
2
k
1 2 i
1
(3.2)
eta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
46 |
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
…
Setelah diperoleh bentuk likelihood yang terboboti (L*) kemudian dilakukan operasi logaritma natural pada model tersebut untuk memudahkan operasi matematik sehingga diperoleh estimasi parameternya. n p 2
1 ln L ( , | y ) ln
k i j i i i k i i ik
2 exp w y u , v 2 u , v x n * / 2 2 n / 2 2
( ) i k 1 2 1
n p 2 n n 2
1 w y u v u v x ln(
2 ) ln( ) , , i ( j ) i i i k i i ik
2
k 1 2
2
2 i
1 n n 21 ln( 2 ) ln( ) Q 2 (3.3)
2
2 2
dengan n p
2
w y u v u v x
Q , , i ( j ) i i i k i i ik
k
1
i 1 T
y
X W y
X
β ( i ) ( i ) β ( i ) Estimasi parameter diperoleh dengan memaksimalkan bentuk lnL* yaitu mendifferensialkan terhadap setiap parameternya.
1.1.1 Estimasi parameter (i ) β
Estimasi parameter
β diperoleh dengan mendifferensialkan (i )
persamaan (3.3) terhadap 2 β dengan penjabaran sebagai berikut: (i ) *
ln L ( , | y ) Q k T T
( i ) ( i ) T
y X ( i ) W ( i ) y X ( i ) β β
T i T T T T T T ( )
y W ( i ) y y W ( i ) X ( i ) ( i )
X W ( i ) y ( i )
X W ( i ) X ( i ) β β β β
T T T T ( i )
X W y
X W y
X W
X ( i ) ( i ) 2 ( i ) ( i ) T T β
X W i y
X W i X i T T 2 ( )
2 ( ) β ( )
2 X W ( i ) X ( i )
2 X W ( i ) y
β
(i ) T T
1 ˆ
adalah
( i )
X W ( i )
X X W ( i ) y β
(3.4) Setelah diperoleh estimator
β maka akan dicari sifat-sifat dari estimator (i ) eta : Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
47
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
Karena ) (
sehingga dapat dikatakan bahwa ) (
β
Var i Lim n
~
) ( ˆ
(i β dan
β merupakan penaksir tak bias )
ˆ i
β merupakan penaksir yang konsisten.
Lim Lim i Var Lim CC CC β
T n i i i n T n n p n y y
2 ~ 2 ~ ~
1
) ( ˆ
) 1 ( ˆ
) ( ˆ i β penaksir yang efisien.
ˆ i
Maka T
E i i E i i i E T T T T T T β
X β
X X W
X W y
X X W
X W y
X X W
X β W
1 i i i i
Estimasi parameter
1
1
ˆ
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
2 dengan penjabaran sebagai berikut:
diperoleh dengan mendifferensialkan persamaan (3.3) terhadap
2
CC harus sekecil mungkin agar
48 | eta
1
ˆ
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
1
1
1
1
2
1
1
2
Var i i i i Var i i i Var CC W
2
estimator tak bias untuk ) (i β .
β merupakan
) ( ˆ i
tersebut. Untuk menunjukkan sifat ke-takbias-an dari estimator diperoleh dengan cara berikut: Pembuktian di atas menunjukkan bahwa estimator
Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
T TT T T T
TT T T T
T T T T T T T i i i i i i i iX X W
2 ) ( ˆ
2
Var i CC CC β
T T
X C
X X W
1 T T i i
W
) ( ) (
dengan
X β
X W
X
X WX W y
X X W
X X W X y W
X W
X X W
X W
X X W
X W
X X W
1.1.2 Estimasi parameter
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
2
2
n n L y k
2 2 *
2
2
2
2
2
2
2 ) | , ( ln
1 ) ln(
2
1
2
Q ) (
… eta
2 Q
2
2 Q
2
W
ˆ (3.5) dengan
) ( ) ( ) ( ) (
1
1 n n x i i x T T T n T T T i
X
X WSecara umum untuk semua pengamatan dapat ditulis dalam bentuk:
X W
X
X WX S
Dari persamaan (12) dapat diperoleh
y S
I Sy y y y ε
ˆ ˆ
Nilai jumlah kuadrat error-nya adalah:
: Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
Sy y
2
Oleh sebab itu, penaksir
Q
Q
) ( n n n
sehingga dari persamaan diatas diperoleh estimasi parameter
2 adalah: n
Q ˆ
2
. Namun penaksir tersebut merupakan penaksir
49
2 dihitung dengan sifat kelokalan model GWR.
Pada model GWR estimasi untuk tiap pengamatan ke-i ( i
y ˆ ) adalah
sebagai berikut:
W y
X X W
X β
) ( ) ( ) (
ˆ ˆ
1 i i x i x y T T T i T i i
2 yang bersifat global, sehingga hal ini tidak akan memiliki arti pada model GWR.
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
I ε S y y
(3.8) Dari persamaan (3.7) dan (3.8) maka persamaan (3.6) dapat dimodifikasi menjadi:
ε S
I S
I S I y y S y y I y y S
2 ε ε ε ε ε ε ε ε ε T T T E E
I S y I y S I y S I y S
I ε ε ε ε ε ε
T T T T T T T T E E E E
E E
E E SSE)) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( (
) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ
E E E Var
2
50 | eta
(3.6) Persamaan (3.6) juga dapat dimodifikasi dengan memperhatikan asumsi- asumsi pada model GWR yaitu:
Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
S y
I S I y S y I y S
I ε ε
T T T T
SSE ˆ ˆ
) ( ˆ
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ˆ ( ) (
) ˆ ( ) ˆ (
X i i
X E E E E β β y y y y ε
(3.7) Varians error-nya yaitu:
(3.9)
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis. T T …
E ( SSE ) E I S I S ε ε
T T
E tr
I S I S ε ε T
T
E tr
I S
I S
ε ε
T T T T T
tr
I I
I S S I S S E ( )
ε ε T T
2
tr
I S S S S T
2
n 2 tr ( S ) tr ( S S )
(3.10) Dari persamaan (3.9) diperoleh bahwa
SSE
2
2
dan diperoleh penaksir
E yang
T
S S S n
2 tr ( ) tr ( ) tak bias adalah:
SSE
2
ˆ * T
n tr S tr S S
2 ( ) ( ) (3.11)
1.2 Pengujian Hipotesis
Pada tahap pengujian hipotesis akan digunakan metode LRT dengan menggunakan hasil yang telah diperoleh pada sub bab sebelumnya. Uji hipotesis yang pertama dilakukan adalah pengujian model secara serentak untuk menguji signifikansi dari faktor geografis yang merupakan inti dari model GWR. Bentuk hipotesisnya adalah:
H :
( u , v ) k k i i k 1 , 2 , ..., p
(tidak ada pengaruh faktor geografis pada model) H 1 : paling tidak ada satu k i i k ( u , v ) (ada pengaruh faktor geografis pada model)
Setelah terbentuk hipotesis maka langkah selanjutnya adalah
2
menentukan himpunan parameter dibawah H ( ): = { } dan
β , k
membentuk fungsi likelihood dibawah H (L( )) yang sama dengan persamaan (4.1). Kemudian dilanjutkan pada langkah penentuan
1
2
himpunan parameter dibawah H ( ): = { u v } dan
β ( , ), k i i
pembentukan fungsi likelihood dibawah H 1 (L( )) sesuai dengan persamaan (3.2).
eta : Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
51
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
Pada sub bab sebelumnya telah diperoleh estimasi untuk tiap parameter baik di bawah H maupun H 1 . Dari hasil estimasi tersebut maka disubtitusikan yang memaksimumkan fungsi likelihood baik di bawah H maupun H 1. Langkah selanjutnya adalah menentukan statistik uji model
GWR dengan pendekatan LRT, berdasar pada uji F, yang dapat digunakan untuk membandingkan model GWR dan model regresi global. Uji ini berdasarkan hasil SSE dibagi dengan banyak derajat bebas yang efektif
2
(persamaan 3.10) yang mendekati distribusi dengan derajat bebas
banyak derajat bebas yang efektif. Secara matematis dituliskan sebagai berikut:
SSE / n ( p
1 ) SSE / df
1 F T SSE n tr S tr S S SSE / df
/ 2 ( ) ( )
1
1
2
(3.12) hit Tolak H jika F > F α;(df1;df2) atau P_value < α.
Jika pada pengujian model secara serentak diperoleh keputusan tolak H , maka langkah selanjutnya adalah melakukan uji parsial dengan hipotesis:
H : untuk k yang diberikan (k = 1, 2, ..., p)
... 1 k 2 k nk
(tidak ada perbedaan yang signifikan antara satu daerah dengan daerah lainnya) H 1 : paling tidak ada satu yang berbeda
( i ik 1 , 2 ,..., n )
(ada perbedaan yang signifikan antara satu daerah dengan daerah lainnya) Untuk melakukan pengujian di atas maka ditentukan terlebih dahulu varians sampel yang dinotasikan sebagai n n
2
1 1 ˆ ˆ
V k ik ik n i n i
1
1
(3.13) dengan (i = 1, 2, ..., n) diperoleh dari persamaan (3.4).
ˆ ik k
Langkah selanjutnya adalah menentukan distribusi dari V di bawah T
ˆ ˆ ˆ ˆ
H . Misalkan dan J merupakan matriks n x n
β k 1 k 2 k nk
yang semua elemennya adalah 1, maka persamaan (3.12) dapat ditulis dengan:
eta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
52 |
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis. T …
1
1
ˆ ˆ
V
I J k k k β β n n
(3.14)
Di bawah H semua (i = 1, 2, ..., n) sama, sehingga dapat ik diasumsikan bahwa:
ˆ ˆ ˆ E ( ) E ( ) E ( ) k k nk k
1
2
(3.15)
ˆ
Secara umum dapat ditulis
E ( ) k k
1
(3.16) T
1
1 Dari persamaan (3.16) dan
1
I J serta
I J 1 , maka
n n k V dapat ditulis sebagai: T
1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ
V E k β k β k β k β k
I J E n n
(3.17)
Misalkan e k merupakan vektor yang elemennya bernilai 1 untuk elemen ke-k dan 0 untuk lainnya, maka diperoleh:
T T T T
1
ˆ
e i e
X W i
X X W i y ik k k β ( ) ( ) ( ) T ˆ ˆ ˆ ˆ
By β k 1 k 2 k nk
(3.18) dengan T T T
1
e k
X W (
1 )
X X W (
1 )
B *
1
T T T e k
X W ( n )
X X W ( n )
(3.19)
Subtitusi persamaan (3.18) ke persamaan (3.17) maka akan diperoleh:
eta : Vol. 2 No. 1 (Mei) 2012
53
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis…
1 T T
1
V y * * E y B k
I J B y E y n n T
1 T 1
* B *
I J B ε ε
n n
(3.20)
2
dengan dan
ε berdistribusi Normal dengan mean nol dan varians
1 T
1 merupakan matriks semi definit positif.
B
I J B n n
Kemudian dengan menggunakan pendekatan yang sama pada pembahasan sebelumnya, maka akan ditentukan:
T
1 T 1
E ( V ) E B
I J B k ε ε
n n
T T
1 1
E tr ε B
I J B ε
n n
1 T
1 T
E tr B
I J B ε ε
n n
1 T T 1
tr B
I J B E ( ε ε )
n n
1 T 1
2
tr B
I J B
n n
(3.21)
2
2 Distribusi dari E(V k )/ akan mendekati dengan derajat bebas
1 T 1
tr B I J B .
n n
Selanjutnya untuk menghitung nilai statistik uji adalah berdasar
2
pada uji F yang merupakan rasio antara dua distribusi yaitu
1 T 1
V / tr B k
I J B
n n
F
1
2
ˆ *
eta Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012
54 |
Astuti, Estimasi dan Pengujian Hipotesis.
… V / * df k
1 F
1
2 ˆ *
(3.22)
2
ˆ F
- dengan sesuai dengan persamaan (3.11). Tolak H jika F 1-hit >
α;(df*1;df2) atau P_value < α.