MULTIPLE KOSNITA MENGGUNAKAN CIRCUMCENTER MELALUI EXCENTER

  Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp MULTIPLE KOSNITA MENGGUNAKAN CIRCUMCENTER

MELALUI EXCENTER

  1

  2

  3

  4 Sylvi Karlia , Mashadi , M. D. H. Gamal , Hasriati

  1 Pendidikan Matematika PPs Universitas Riau 2,3,4

  Universitas Riau

  

e-mail : syl.karlia@ymail.com

Abstract

  

Kosnita’s Theorem is constructed with the circumcenter of the triangle. The lines joining

the vertices A, B, and C of given triangle ABC with the circumcenters of the triangles

BCO, CAO, and ABO (O is the circumcenter of , respectively, are congcurrent. In

this paper, it can be co nstructed Kosnita’s point using the excenters of the triangle,

following modification of the circumcenter or orthocenter in several case. Then, if this

point linked to excenter, the lines congcurrent in one point. An interesting case for

Kosnita’ Theorem named Multiple Kosnita. In the process of proving this congcurrent is

only use the concept of congruency and other concepts in trigonometry. So, it’s very simple and easily for high school students to understood this problems.

  Keywords: Kosnita’ Theorem, circumcenter, excenter

  

Abstrak

Pengkonstruksian Teorema Kosnita secara umum berdasarkan circumcenter, yakni

menunjukkan kekongkurensi tiga garis yang dihubungkan dari titik sudut masing-

masing ke circumcenter dan (O circumcenter ). Pada

makalah ini akan dikonstruksi titik Kosnita dengan menggunakan ketiga excenter (titik

pusat lingkaran singgung luar) segitiga, berdasarkan circumcenter atau orthocenter dalam

berbagai kasus. Kemudian akan ditunjukkan konkurensi dari perpotongan ketiga garis

yang melalui excenter dan masing-masing titik Kosnita. Hasilnya terdapat 3 (tiga)

konstruksi Multiple Kosnita yang kongkuren, yaitu circumcenter-circumcenter,

orthocenter-circumcenter, dan orthocenter-centroid. Proses pembuktiannya akan

menggunakan konsep geometri sederhana, yaitu konsep kekongruenan segitiga sehingga

mudah dipahami oleh siswa SMP dan SMA.

  Kata kunci: Teorema Kosnita, circumcenter, excenter

  Segitiga adalah bangun datar kan satu titik pada segitiga dengan sisi yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan dihadapannya dan membagi sisi mempunyai tiga buah sudut. Pada tersebut menjadi dua bagian sama sebarang segitiga terdapat bermacam- panjang secara tegak lurus. Titik macam garis istimewa, seperti garis potong ketiga garis sumbu dalam bagi sudut, garis berat dan garis tinggi. sebuah segitiga inilah yang disebut Garis sumbu dalam sebuah segitiga dengan circumcenter, yang merupakan adalah garis lurus yang menghubung- titik pusat lingkaran luar dari segitiga Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  seperti yang dikemukakan dalam (Mashadi, 2015) dan (Nurahmi, 2015).

  Di bidang geometri salah satu teorema yang membahas tentang segitiga dan circumcenter adalah Teorema Kosnita yang dibahas dalam (Grinberg, 2003; Patrascu, 2010; Villiers, 1995). Teorema tersebut awalnya ditemukan oleh Cezar Cosnita pada tahun 1941. Selain itu (Patrascu, 2010) membahas kembali teorema pada tahun 2010 untuk mengenang 100 tahun kelahiran Cosnita.

  segitiga yang diberi judul tulisannya dengan “A Dual to

  incenter

  Kosnita tersebut dibuat oleh matema- tikawan dunia, salah satunya adalah Villiers dengan menggunakan gene- ralisasi Fermat-Torricelli yang ditulis dalam (Villiers, 1995; Villiers, 2009). Villiers juga mengembangkan teorema Kosnita ini dengan menggunakan

Kosnita’s Theorem” (Villiers, 1996)

  jika dihubungkan secara berturut-turut maka AA

  Teorema Kosnita berlaku pada sebuah segitiga sebarang. Misalkan dari sebuah dibuat

  AB , sehingga diperoleh titik I, H,

  AC , E c

  BC , E b

  circumcenter segitiga E a

  adalah diawali dengan membuat

  center . Cara mengkonstruksinya

  Pada makalah ini teorema Kosnita dikembangkan lagi, yaitu dari ketiga excenter segitiga dihubungkan ke titik sudut lainnya sehingga membentuk segitiga excentral. Misal- kan segitiga yang terbentuk adalah ∆E a BC , ∆E b AC , ∆E c AB . Kemudian dikonstruksi titik Kosnita mengguna- kan modifikasi circumcenter-circum-

  Beberapa teori mengenai kekongkurenan segitiga dan pembuk- tiannya telah banyak dibahas diantaranya oleh (Mashadi, 2015; Mashadi, 2015; Mashadi, 2016; Nurahmi, 2015). Pada sebarang ∆ABC dapat dibentuk lingkaran singgung luar segitiga, dan titik pusatnya disebut excenter. Dalam (Mashadi, 2015) disebutkan bahwa lingkaran singgung pada suatu ∆ABC adalah lingkaran yang menyinggung sebuah sisi segitiga dan perpanjangan dua sisi lainnya. Pada sebuah ∆ABC terdapat tiga buah lingkaran singgung, yaitu lingkaran singgung yang menying- gung sisi , lingkaran singgung yang menyinggung sisi dan lingkaran singgung yang menyinggung sisi .

  Sedangkan titik Kosnita dinamakan oleh Rigby dalam tulisannya (Rigby, 1997).

  circumcenter- nya. Kemudian ditarik

  1 , BB 1 , dan CC 1 kongkuren.

  dari masing-masing titik sudut dan ke circumcenter O, sehingga terbentuk , , dan . Dari ketiga segitiga ini dibentuk lagi masing-masing circumcenter- nya, yakni titik A

  segitiga Adapun bukti dari teorema

  1 , B 1 , dan C 1 . Kemudian

  ini disebut dengan titik Kosnita. Sebagaimana yang diilustrasikan pada Gambar 1. Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  1

  , dan CC

  1

  , BB

  1

  Titik potong ketiga garis AA

  Gambar 1. Teorema Kosnita pada

  dan G. Kemudian ditarik dari masing- a BG , a CG , dan ∆E ∆E ∆BCG. masing titik sudut E a , B, dan C ke Dari ketiga segitiga ini dibentuk lagi

  circumcenter

  G, sehingga terbentuk

  Gambar 2. Multiple Kosnita menggunakan circumcenter melalui excenter

  Jika berbicara tentang Kosnita, maka kekongkurenan ketiga garis adalah hal yang harus ditunjukkan. Ide

  Teorema Menelaus dalam pembuktian kekongkurenan ketiga (Mashadi, 2016) dan (Nurahmi, 2015) garis telah banyak dibahas sebelum- dikatakan bahwa jika , dan nya seperti dalam oleh (Mashadi,

  2015; Mashadi, 2015; Mashadi, 2016; masing-masing adalah titik pada sisi Nurahmi, 2015). , dan pada . Maka

  Dalam (Mashadi, 2015; garis , dan adalah segaris Mashadi, 2015; Mashadi, 2016; jika dan hanya jika Nurahmi, 2015) dinyatakan bahwa teorema Ceva terdiri dari tiga kasus yaitu kasus 1 menjelaskan tiga buah garis yang berpotongan di satu titik yang berada di dalam segitiga. Jika , Teorema Ceva dan teorema dan masing-masing adalah titik Menelaus merupakan teorema yang digunakan untuk menunjukkan eksis- pada sisi , dan pada . tensi kokolinearitas dan kekongku-

  Maka garis , dan adalah renan dari beberapa buah garis. Pada kongkuren (bertemu di satu titik) jika proses pembuktiannya menggunakan dan hanya jika konsep geometri sederhana yaitu

  Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  konsep kesebangunan, kekongruenan, ketiga segitiga ini dibentuk lagi luas segitiga, dan phytagoras sehingga masing-masing circumcenter-nya, mudah dipahami oleh siswa SMP dan yakni titik O, P, dan L. Kemudian SMA. jika dihubungkan secara berturut- turut maka E a L , BP, dan CO

  

METODE berpotongan di titik K a . (Gambar 4)

3.

  Dengan cara yang sama, dikons-

  b c

  Pada penelitian ini peneliti truksi juga pada ∆E AC , ∆E AB membahas Multiple Kosnita yang sehingga diperoleh titik K b dan K

  c.

  berkaitan dengan circumcenter pada (Gambar 5) segitiga dan menggunakan excenter.

  4. Kemudian ditarik garis dari titik Adapun langkah-langkah pengkon- ke , titik ke , titik ke struksiannya sebagai berikut:

  . Akan ditunjukkan garis , 1. , dibuat

  Diberikan sebarang , dan kongkuren di titik dan . Kemu-

  S , yang merupakan circumcenter

  dian hubungkan ketiga excenter ∆ABC. (Gambar 6) sehingga terbentuk ,

  Sebelumnya, akan ditunjukkan , dan .

  circumcenter dari ∆ABG, ∆AHC, dan

  ∆BCI adalah sama. Kemudian jika 2. dikonstruksi titik circumcenter dari ∆ABG, ∆AHC, dan

  Kemudian

  Kosnita menggunakan modifikasi

  ∆BCI adalah sama, maka akan

  circumcenter -circumcenter. ditunjukkan circumcenter dari ∆ABC Diawali dengan membuat circum- juga sama. center segitiga E a BC , E b AC , E c AB , Dari langkah-langkah di atas,

  sehingga diperoleh titik I, H, dan pembuktian kekongkurenan di satu

  G . Kemudian ditarik dari masing- titik pada Multiple Kosnita ini akan a

  masing titik sudut E , B, dan C ke digunakan konsep kekongruenan dan

  circumcenter I, sehingga terbentuk kesebangunan pada segitiga dan a BI , a CI , dan

  ∆E ∆E ∆BCI. Dari

  Gambar 3. Excenter ∆ABC Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp Gambar 4. Kosnita menggunakan circumcenter a BC

  pada ∆E Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

Gambar 5. Multiple Kosnita menggunakan circumcenter melalui excenter

  

Gambar 6. Ketiga garis yang ditarik melalui excenter ke Kosnita

  teorema Menelaus yang mudah dipahami oleh siswa SMP dan SMA. Adapun untuk pembelajarannya meng- gunakan aplikasi Geogebra.

  Misalkan E a , E b , E c adalah

  excenter pada sebarang . Selan-

  jutnya dihubungkan ketiga excenter ini sehingga terbentuk . Multiple Kosnita terbentuk dari perpotongan ketiga garis yang ditarik dari masing-masing titik sudut A, B, dan ke circum-

  center segitiga , , dan

  , dengan G adalah circumcenter . Titik terbentuk dari perpotongan ketiga garis yang ditarik dari masing-masing titik sudut A, C, dan ke circumcenter segitiga

  , , dan , dengan H adalah circumcenter . Titik terbentuk dari perpotongan ketiga garis yang ditarik dari masing-masing titik sudut B, C, dan ke

  circumcenter segitiga , , dan

  , dengan I adalah circumcenter .

  Multiple Kosnita menggu- nakan circumcenter yang melalui

  excenter pada segitiga penulis nyata-

  kan dalam teorema sebagai berikut:

  Teorema (Multiple Kosnita menggunakan circumcenter melalui excenter

  ). Jika , dan adalah Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

excenter pada sebarang , dan dan kongkuren di circumcenter

, dan masing-masing titik .

  Kosnita menggunakan circumcenter-

  Bukti: Untuk menunjukkan circumcenter dari

  , dan maka garis , dan kongkuren di satu titik. Dalam hal ini titik cukup

  Gambar 7. Titik L adalah circumcenter

  ∆ABG Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp Gambar 8. Titik L, , dan H segaris pada

  Gambar 9. L circumcenter

  ditunjukkan bahwa L adalah

  1. Akan dibuktikan circumcenter

circumcenter dari , dan adalah

  sama, serta proses pembuktiannya Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  menggunakan konsep kekongruenan segitiga.

  ∆ABG, ∆AHC, dan ∆BCI, maka

  melalui P berpotongan dengan garis di titik Q.

  c . Tarik garis sejajar

  dan L terletak pada sisi K

  c

  terletak pada sisi PK

  K a

  sehingga memotong E a E b di titik sehingga terbentuk . E a terletak pada perpanjangan sisi .

  L segaris. Perpanjang garis E c K c

  Akan ditunjukkan E a , K a , dan

  L segaris, serta E c , K c , dan L segaris.

  dan berpotongan di titik menggunakan teorema Menelaus. Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa titik E a , K a , dan L segaris, E b , K b , dan

  3. Akan dibuktikan ketiga garis ,

  L juga merupakan circumcenter . Seperti terlihat pada Gambar 8.

  circumcenter dan . Jadi, jika L adalah circum- center

  Pada gambar 7, misalkan L adalah circumcenter ∆ABG, sehingga

  diperoleh bahwa titik sudut A, B dan C berjarak sama ke L, yaitu titik ketiga

  2. Akan dibuktikan L adalah circumcenter dari . Dari bukti 1

  Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan L adalah circumcenter . Jadi, L adalah circum- center dan .

  Terbukti bahwa L circumcenter .

  Berdasarkan teorema Menelaus, maka titik L, , dan H segaris. Oleh karena itu, sehingga diperoleh .

  diperoleh , yang mengakibatkan Dari , mengakibatkan Sehingga diperoleh

  U . Seperti pada Gambar 8, sehingga

  berpotongan dengan garis di titik

  . Tarik garis sejajar melalui

  . Pandang . H terletak pada perpanjangan sisi . L terletak pada sisi dan terletak pada sisi

  . Akan ditunjukkan bahwa titik dan H segaris. Perpanjang garis K c L dan K c sehingga memotong HC di titik

  Akan ditunjukkan L, , dan H segaris. Ambil titik tengah garis AC. Sehingga . Akibatnya

  AL = BL = GL . Akan dibuktikan L circumcenter .

  Seperti pada Gambar 9, sehingga diperoleh , yang mengakibatkan Dari , mengakibatkan Sehingga diperoleh Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145 Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  Berdasarkan teorema Menelaus, maka titik E a , K a dan L segaris.

  menggunakan circumcenter-circum-

  15 (1 & 2): 1-13.

  Journal Mathematics Sciences .

  Mashadi, Gemawati, S., Hasriati & Herlinawati, H. 2015. Semi excircle of quadrilateral. JP

  Pekanbaru: UR Press.

  D. Grinberg. 2003. On the Kosnita point and the reflection triangle. Forum Geometri- corum . 3. 105-111. Mashadi. 2015. Geometri Lanjut.

  konstruksi yang kongkuren. Kemudian dari kekongkurenan ini dapat mengakibatkan orthologic antara segitiga excentral dengan segitiga Kosnita, serta kolinearitas beberapa titik.

  center melalui excenter menghasilkan

  nita dengan multiple Kosnita

  Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan titik E b , K b , L dan E c , K c

  Pengembangan teorema Kos-

  Gambar 10. E a , K a , L segaris pada SIMPULAN

  circumcenter .

  terbukti bahwa garis , dan adalah kongkuren di

  L adalah circumcenter Jadi,

  kongkuren di L. Berdasarkan bukti 2,

  L segaris. Jadi, E a K a , E b K b dan E c K c

  Mashadi, Gemawati, S., Hasriati & Januarti, P. 2015. Some result Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145

Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp

  on excircle of quadrilateral. JP

Journal Mathematics Sciences .

14 (1 & 2): 41-56. Mashadi. 2016. Pengajaran Mate- matika . Riau: UR Press. Nurahmi. 2015. Pengembangan

  

teorema Ceva dan teorema

. Menelaus pada segiempat

  Tesis. Pekanbaru: Universitas Riau.

  I. Patrascu. 2010. O generalizare a teoremei lui Cosnita.

  

Smarandhace Nations Journal .

  1: 102-103. M. D. Villiers. 2009. From the Fermat point to the Villiers points of a triangle. Proceedings of the

  

15th Annual AMESA Congress

  (pp. 1-8). University of Free State, Bloemfontein. Vol I. No. 2, Maret 2017, hlm. 135 - 145

Available online at www.jurnal.una.ac.id/indeks/jmp