B. Jenis-jenis Matriks 1) Matriks Baris (array) - Matriks

Matriks
A. Matriks
Definisi (Pengertian)
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam
suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di
dalam kurung biasa “ ( )” atau kurung siku “ [ ] “. Biasanya pelabelan suatu matriks
dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D , dst. Secara umum, diberikan
matriks A,
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 → Baris ke − 1
𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛 → Baris ke − 2
𝐴𝑚×𝑛 = 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛 → Baris ke − 3
⋮ ⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
[𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ] → Baris ke − 𝑚

𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ , menyatakan elemen matriks pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 ; 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑚;
𝑗 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛; 𝐴𝑚×𝑛 ; dimana 𝑚 menyatakan banyak baris matriks 𝐴 dan 𝑛 menyatakan

banyak kolom matriks 𝐴 serta 𝑚 × 𝑛 menyatakan ordo (ukuran) matriks 𝐴, yaitu baris dan
kolom matriks 𝐴. Ingat, 𝑚 menyatakan banyak baris matriks 𝐴 dan 𝑛 menyatakan banyak
kolom matriks 𝐴 Jadi, jika diperhatikan ordo suatu matriks, dapat diketahui banyaknya
elemen pada matriks itu.
B. Jenis-jenis Matriks
1) Matriks Baris (array)
Definisi (Pengertian)
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo
matriks seperti ini, 1 × 𝑛 dengan 𝑛 banyak kolom pada matriks tersebut.
𝐴1×𝑛 = [𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛 ]
Contoh :
𝐴1×3 = [1 2 3]
2) Matriks Kolom (vektor)
Definisi (Pengertian)
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks
kolom berordo 𝑚 × 1 dengan 𝑚 banyak baris pada matriks tersebut.
𝑎11
𝑎21
𝐴𝑚×1 = 𝑎31
⋮

[𝑎𝑚1 ]
Contoh :
1
𝐴3×1 = [2]
3

1

3) Matriks Persegi
Definisi (Pengertian)
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom
sama. Matriks ini memiliki ordo 𝑛 × 𝑛 ,maka 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 , ⋯ , 𝑎𝑛𝑛 disebut diagonal
utama.
𝐴𝑛×𝑛
Contoh :
𝐴3×3

1 2
= [4 5
7 8

3
6]
9

𝑎11
𝑎21
= 𝑎31
⋮
[𝑎𝑛1

𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑛2

𝑎13
𝑎23
𝑎33

⋮
𝑎𝑛3

⋯
⋯
⋯
⋱
⋯

𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑛𝑛 ]

4) Matriks Persegi Panjang
Definisi (Pengertian)
Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama
dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo 𝑚 × 𝑛.
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
𝐴𝑚×𝑛 = 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
[𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ]
Contoh :
1 2
3 4
𝐴3×4 = [5 6
7 8]
9 10 11 12

5) Matriks Segitiga Atas
Definisi (Pengertian)
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen dibawah diagonal
utama adalah nol.
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛

0 𝑎22 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛
𝑈𝑛 = 0
0 𝑎33 ⋯ 𝑎3𝑛
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
𝑎
[ 0
0 ⋯
𝑛𝑛 ]
0
Contoh :
1 2 3
𝑈3 = [0 5 6]
0 0 9

2

6) Matriks Segitiga Bawah
Definisi (Pengertian)
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal
utama adalah nol.
𝑎11
0
0 ⋯ 0
𝑎21 𝑎22
0 ⋯ 0
𝐿𝑛 = 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ⋯ 0
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
[𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 ]
Contoh :
1 0
𝐿3 = [4 5
7 8

0
0]
9

7) Matriks Diagonal
Definisi (Pengertian)
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama
dan dibawah diagonal adalah nol.
𝑎11 0
0 ⋯ 0
0 𝑎22
0 ⋯ 0
𝐷𝑛 = 0
0 𝑎33 ⋯ 0
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮

[ 0
0 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 ]
0
Contoh :
1 0 0
𝐷3 = [0 5 0]
0 0 9

8) Matriks Identitas
Definisi (Pengertian)
Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemennya adalah satu.
1 0 0 ⋯ 0
0 1 0 ⋯ 0
𝐼𝑛 = 0 0 1 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
[0 0 0 ⋯ 1]
Contoh :
1 0
𝐼3 = [0 1
0 0

0
0]
1

9) Matriks Nol
Definisi (Pengertian)
Matriks nol adalah yang semua elemennya adalah nol.
0 0 0 ⋯ 0
0 0 0 ⋯ 0
𝑂𝑛 = 0 0 0 ⋯ 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
[0 0 0 ⋯ 0]
3

Contoh :
0 0
𝑂3 = [0 0
0 0

0
0]
0

C. Transpos Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika matriks awal berordo m × n , maka transpos matriks berordo n × m .

𝐴𝑚×𝑛

𝑎11
𝑎21
= 𝑎31
⋮
[𝑎𝑚1

𝑎12
𝑎22
𝑎32
⋮
𝑎𝑚2

𝑎13
𝑎23
𝑎33
⋮
𝑎𝑚3

⋯ 𝑎1𝑛
⋯ 𝑎2𝑛
⋯ 𝑎3𝑛
⋮
⋱
⋯ 𝑎𝑚𝑛 ]

𝑎11
𝑎12
= 𝑎13
⋮
[𝑎1𝑚

𝑎21
𝑎22
𝑎23
⋮
𝑎2𝑚

𝑎31
𝑎32
𝑎33
⋮
𝑎3𝑚

⋯
⋯
⋯
⋱
⋯

jika dan hanya jika

𝐴𝑇𝑛×𝑚
Contoh:

1 2
𝐴 = [4 5
7 8

3
1
6] jika dan hanya jika 𝐴𝑇 = [2
3
9

4 7
5 8]
6 9

𝑎𝑛1
𝑎𝑛2
𝑎𝑛3
⋮
𝑎𝑛𝑚 ]

D. Kesamaan Matriks
Definisi (Pengertian)
Dua Matriks dikatakan sama A = B jika dan hanya jika :
 Ordo matriks 𝐴 sama dengan ordo Matriks 𝐵 .
 Setiap elemen yang seletak pada Matriks 𝐴 dan Matriks 𝐵 mempunyai nilai
yang sama, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , untuk setiap 𝑖 dan 𝑗 .
4𝑎 8
4
12
Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [ 6 −1 −3𝑏] dan Matriks 𝐵 = [ 6
5 3𝑐
9
5
Jika 𝐴 = 𝐵, maka 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ⋯
Jawab: 4𝑎 = 12
12
𝑎=
4
𝑎=3
−3𝑏 = 3𝑎
−3𝑏 = 3(3)
−3𝑏 = 9
9
𝑏=
−3
𝑏 = −3
3𝑐 = 𝑏
3𝑐 = −3

4

8
4
−1 3𝑎 ].
𝑏
9

−3

𝑐=
3
𝑐 = −1

Jadi, 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 + (−3) + (−1) = 3 − 3 − 1 = −1

E. Operasi Matriks
1) Penjumlahan Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan
Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara
menjumlahkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak.
Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dijumlahkan.
𝐴+𝐵
2 1 2
1 3 1
Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2 0]. Tentukan
3 0 5
1 5 0
𝐴 + 𝐵!
Jawab:
2+1 1+3 2+1
𝐴 + 𝐵 = [1 + 0 0 + 2 4 + 0]
3+1 0+5 5+0
3 4 3
𝐴 + 𝐵 = [1 2 4 ]
4 5 5

3 4 3
Jadi, 𝐴 + 𝐵 = [1 2 4]
4 5 5

2) Pengurangan Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka pengurangan
Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara
mengurangkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak.
Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dikurangkan.
𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵)
2 1 2
1 3 1
Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2 0]. Tentukan
3 0 5
1 5 0
𝐴 − 𝐵!
Jawab:
2−1 1−3 2−1
𝐴 − 𝐵 = [1 − 0 0 − 2 4 − 0]
3−1 0−5 5−0
1 −2 1
𝐴 − 𝐵 = [1 −2 4]
2 −5 5

5

1 −2 1
Jadi, 𝐴 − 𝐵 = [1 −2 4]
2 −5 5

3) Perkalian Matriks
a) Perkalian Matriks dengan Bilangan Real
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 adalah suatu Matriks dan 𝑘 adalah Bilangan Real, maka 𝑘𝐴 adalah
suatu Matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian 𝑘
dengan elemen-elemen pada Matriks 𝐴.
𝑘𝐴 = 𝑘 ⋅ 𝐴
2
Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1
3
Jawab:
2 1 2
𝑘𝐴 = 2 [1 0 4]
3 0 5
2⋅2 2⋅1
𝑘𝐴 = [2 ⋅ 1 2 ⋅ 0
2⋅3 2⋅0

4 2
𝑘𝐴 = [2 0
6 0

4 2
Jadi, 𝑘𝐴 = [2 0
6 0

4
8]
10

1 2
0 4] dan 𝑘 = 2. Tentukan 𝑘𝐴!
0 5

2⋅2
2 ⋅ 4]
2⋅5

4
8]
10

b) Perkalian Matriks dengan Matriks
𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1)
𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2)

maka dari sistem persamaan linier dua variabel ter sebut dapat dibentuk
perkalian matriks, yaitu:
𝑎11
[𝑎

21

𝑎12 𝑥
𝑏1
𝑎22 ] [𝑦] = [𝑏2 ]

Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 adalah Matriks berordo 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah Matriks berordo
𝑟 × 𝑛, maka hasik kali 𝐴𝐵 adalah Matriks 𝐶 berordo 𝑚 × 𝑛 yang elemenelemennya ditentukan sebagai berikut

𝑎11
𝑎21
Jika 𝐴 = [
⋮
𝑎𝑚1

𝑎12
𝑎22
⋮
𝑎𝑚2

⋯ 𝑎1𝑟
𝑏11
⋯ 𝑎2𝑟
𝑏
] dan 𝐵 = [ 21
⋮
⋱
⋮
𝑎
⋯
𝑏𝑟1
𝑚𝑟
6

𝑏12
𝑏22
⋮
𝑏𝑟2

⋯ 𝑏1𝑛
⋯ 𝑏2𝑛
],
⋮
⋱
⋯ 𝑏𝑟𝑛

(𝑎11 𝑏11 ) + (𝑎12 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟1 )
21 𝑏11 ) + (𝑎22 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟1 )
⋮
(𝑎𝑚1 𝑏11 ) + (𝑎𝑚2 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟1 )

maka 𝐴𝐵 = [ (𝑎

(𝑎11 𝑏12 ) + (𝑎12 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟2 )
(𝑎21 𝑏12 ) + (𝑎22 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟2 )
⋮
(𝑎𝑚1 𝑏12 ) + (𝑎𝑚2 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟2 )

⋯ (𝑎11 𝑏1𝑛 ) + (𝑎12 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟𝑛 )
⋯ (𝑎21 𝑏1𝑛 ) + (𝑎22 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟𝑛 )
]
⋮
⋱
⋯ (𝑎𝑚1 𝑏1𝑛 ) + (𝑎𝑚2 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟𝑛 )

2 1 2
1 3
Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2
3 0 5
1 5
Tentukan 𝐴𝐵!
Jawab:
2 1 2 1 3 1
𝐴𝐵 = [1 0 4] [0 2 0]
3 0 5 1 5 0

1
0].
0

(2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 1) (2 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (2 ⋅ 5) (2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 0)
𝐴𝐵 = [(1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 1) (1 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (4 ⋅ 5) (1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 0)]
(3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 1) (3 ⋅ 3) + (0 ⋅ 2) + (5 ⋅ 5) (3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 0)

2 + 0 + 2 6 + 2 + 10 2 + 0 + 0
𝐴𝐵 = [1 + 0 + 4 3 + 2 + 20 1 + 0 + 0]
3 + 0 + 5 9 + 0 + 25 3 + 0 + 0

4 18
𝐴𝐵 = [5 25
8 34

4 18
Jadi, 𝐴𝐵 = [5 25
8 34

2
1]
3

2
1]
3

F. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks
1) Determinan Matriks
Definisi (Pengertian)
Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal:
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
Jika 𝐴 = [
], maka det 𝐴 = |
| atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐 𝑑
𝑐 𝑑
𝑎11 𝑎12
𝑎11 𝑎12
(𝐴)
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
],
maka
det
=
|
𝑎
𝑎
𝑎 | atau
21

22

21

det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12

2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4

22

1
], maka carilah det (𝐴) !
4

2 1
|
det (𝐴) = |
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5

Jadi, det (𝐴) = 5

2) Adjoin Matriks
Definisi (Pengertian)
Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (𝐴) = [𝐴], misal:
7

Jika 𝐴 = [

𝑎
𝑐

𝑏
𝑑
], maka adj (𝐴) = [
𝑑
−𝑐

𝑎11
Jika 𝐴2×2 = [𝑎
21

−𝑏
]
𝑎

𝑎12
𝑎22
(𝐴)
],
maka
adj
=
[
𝑎22
−𝑎21

2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4

−𝑎12
𝑎11 ]

1
], maka carilah adj (𝐴) !
4

4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2

Jadi, adj (𝐴) = [

4 −1
]
−3 2

3) Invers Matriks
Definisi (Pengertian)
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka
dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1.
Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks
yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
𝐴−1 =

1
[adj
det (𝐴)

(𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0

2
Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [
3
2 1
]
Jawab:
𝐴=[
3 4

1
], maka carilah A−1 !
4

2 1
|
det (𝐴) = |
3 4
= (2)(4) − (3)(1)
=8−3
=5
4 −1
]
adj (𝐴) = [
−3 2

1
[adj (𝐴)]
det (𝐴)
1 4
−1
]
= [
5 −3
2
4
1
−
5
= [ 3 2 5]
−
5

𝐴−1 =

Jadi, 𝐴−1 = [

4
5

−

5

3
5

−

2
5

1
5

]

8