Pemodelan matematika pada sistem pembangkit listrik tenaga air - USD Repository

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM

PEMBANGKIT LISTRIK TENAGA AIR

Skripsi

  

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

  

Oleh

Julius Sigit Wicaksono

NIM : 993114015

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

  

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  MATHEMATICAL MODELLING OF HYDROELECTRIC POWER GENERATION SYSTEM Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathemathics Study Program

  By Julius Sigit Wicaksono

Student Number : 993114015

STUDY PROGRAM OF MATHEMATHICS

DEPARTMENT OF MATHEMATHICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

  

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Di Balik Setiap Batu Penghalang Pasti Ada Hikmat Yang Tersembunyi Dan Selalu Ada Pelajaran Yang Mematangkan Mental. Hadapi Dengan Berani Setiap Batu Penghalang (Wisdom to Success )

SKRIPSI INI KUPERSEMBAHKAN UNTUK KEDUA ORANG TUA KU

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  

Yogyakarta, Agustus 2007

Penulis

Julius Sigit Wicaksono

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ABSTRAK Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air pada bendungan digerakkan oleh suatu generator. Agar generator dapat digerakkan maka diperlukan tinggi yang sesuai pada bendungan tersebut.

  Dengan mengasumsikan dua bendungan seperti dua sistem bejana, maka

model matematika pada dua sistem bejana tersebut adalah

₂ ⎛ ⎞

  λ d h ( t ) dh ( t ) h h ( t ) ^{2 2 2 K} = D , dengan ^{1 + 2 adalah tinggi air pada sistem bejana}

• ₂

  2 ξ ω ω n h ( t ) _{n 2} ⎜⎜ ⎟⎟ dt dt A A

  ⎝ ^{1 2 ⎠} h yang terletak dibawahnya, ξ adalah rasio peredam yang baru, adalah tinggi air _D yang sesuai pada sistem bejana, ω adalah frekwensi alami yang baru, dan _n A , A adalah luas penampang sistem bejana. _{1 2} Penyelesaian pada dua bejana ini memiliki tiga kemungkinan nilai rasio peredam baru yang terjadi, yaitu ξ = 1 , ξ < 1 , dan < ξ < 1 . Untuk menjamin waktu yang dibutuhkan untuk meredamkan gejolak air seperti kelebihan air tidak terlalu lama, maka nilai rasio peredam baru yang sesuai adalah < ξ < 1 .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

ABSTRACT

Hydroelectric Power Generation System of dam is generated by a generator.

  

In order to generate a generator, it’s needed a desired demand of the water level of the

dams.

  By assuming two dams like two-vessel system, the mathematical model of ₂ ⎛ λ K ⎞ d h ( t ) dh ( t ) _{2 2}

₂

₁ h h ( t ) two-vessel system is , where denotes the + + _{2 n}

2 ξ ω ω n h ( t ) = D

₂ ² ⎜⎜ ⎟⎟ dt dt A A

  ⎝ ^{1 2 ⎠}

water level of the lower vessel system, ξ denotes the new damping ratio, h denotes

_D

the desired demand of the water level, ω denotes the new natural frequency, and

_n

  A , A _{1 2 denotes the uniform cross-sectional of the two-vessel system.}

  There are three cases of the solution of this two-vessel system, depending of ξ = 1 , ξ < 1 , < ξ <

  1

the new damping ratio such as and . In order to ensure the settling-

down time such as overshoot is not too large, then the appropriate value of the new

  < ξ <

  1 damping ratio is .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dengan telah selesainya penulisan skripsi yang berjudul “Pemodelan

Matematika Pada Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air ”, saya mengucapkapkan

puji dan syukur atas berkat dan rahmat yang Tuhan Yang Maha Esa.

  Terutama juga saya mengucapkan terima kasih kepada dosen pembimbing

saya, Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, yang dengan sabar dan penuh perhatian

membantu saya dalam penulisan ini.

  Selain itu saya juga mengucapkan seluruh dosen dan staf sekretariat Fakultas

Sains Dan Teknologi dalam pelayanan membantu saya selama kuliah di Sanata

Dharma.

  Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan

memperoleh gelar sarjana sains program studi matematika Fakultas Sains Dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma.

  Saya selaku penulis skripsi ini, menyadari masih jauh dari sempurna, oleh

sebab itu saya mengharapkan masukan dari semua pihak untuk lebih sempurnanya

tulisan skripsi ini.

  Yogyakarta, Juli 2007 Penulis

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR ISI

  

Halaman

HALAMAN JUDUL............................................................................................ i HALAMAN JUDUL............................................................................................ ii HALAMAN PERSETUJUAN............................................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN.............................................................................. iv HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... v PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. vi ABSTRAK ........................................................................................................... vii ABSTRACT......................................................................................................... viii KATA PENGANTAR ......................................................................................... ix DAFTAR ISI........................................................................................................ x DAFTAR TABEL................................................................................................ xiii DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xv

  BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1 A. Latar Belakang ......................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah .................................................................................... 2 C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 2 D. Manfaat Penulisan.................................................................................... 3 E. Metode Penulisan ..................................................................................... 3

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 4

  BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERE NTIAL DAN DERET BINOMIAL ....................................................... 6 A. Pemodelan Matematika............................................................................ 6 B. Persamaan Diferensial.............................................................................. 7

  1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan.................................. 11

  2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu ........................................... 12

  3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua............................................ 13

  4. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua ..................................... 21

  C. Deret Binomial Dan Penerapannya.......................................................... 29

  1. Usaha Dan Energi .............................................................................. 30

  2. Fluida ................................................................................................. 31

  3. Persamaan Kontinuitas....................................................................... 33

  4. Persamaan Bernoulli .......................................................................... 34

  5. Teorema Torricelli ............................................................................. 35

  

BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJANA .. 39

A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air ....................................................... 44

  1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana ......... ........ 49

  2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 50

  B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air ................................................... 51

  1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana ................. 58

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana .............. 60

  

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJANA .... 67

A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya..................................................................................................... 68 B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya..................................................................................................... 79 C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan ................................ 99

BAB V PENUTUP.............................................................................................. 109

A. Kesimpulan .............................................................................................. 109 B. Saran......................................................................................................... 110

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 111

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DAFTAR TABEL

Tabel 2.3.1 Tabel Diferensial Metode Tak Tentu .................................... 20Tabel 3.1.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Aliran Air yang Masuk Sema kin Besar ..............................................................................

  46 Tabel 3.1.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

  47 Tabel 3.1.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ............. 49

λ

Tabel 3.1.4 Tinggi Air Untuk Luas ( ) Semakin Besar.............................. 50

  53

  ( q − q ) Tabel 3.2.1 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Semakin Besar.....

  1 Tabel 3.2.2 Berkurangnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

  54 ( q − q ) Tabel 3.2.3 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Semakin Besar....

  55

  1 Tabel 3.2.4 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......................................................................................

  55 Tabel 3.2.5 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air ................................... 57 q

Tabel 3.2.6 Tinggi Air Untuk ( ) Semakin Besar.................................... 59

  1 Tabel 3.2.7 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar Semakin Besar......................................................................................

  60 Tabel 3.2.8 Bertambahnya Tinggi Air Untuk Kontanta Toricelli Semakin

Besar........................................................................................ 61

Tabel 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 73

Tabel 4.1.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis.................................................

  75 Tabel 4.1.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air

Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 78

Tabel 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...................................... 82Tabel 4.2.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis.................................................

  85 Tabel 4.2.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air

Untuk Kasus Diredam Berkurang ........................................ 87

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.3.4.1 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Teredam .................. 27 Gambar 2.3.4.2 Jarak Pegas Untuk Kasus Getaran Tak Teredam ...........

  29 Gambar 2.3.2.1 Tekanan Hidrostatis di Titik A, B adalah sama .............

  33 Gambar 2.3.3.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................

  33 Gambar 2.3.5.1 Fluida yang Mengalir Pada Luas Penampang ................

  35 Gambar 3.1 Fungsi Konstan...............................................................

  40 Gambar 3.2 Fungsi Kecepatan ...........................................................

  41 Gambar 3.3 Fungsi Percepatan ..........................................................

  41 Gambar 3.4 Sistem Bendungan.......................................................... 42 Gambar 3.5 Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk.............................

  43 Gambar 3.6 Bejana dengan Aliran Air yang Masuk ..........................

  44 Gambar 3.1.1 Tinggi Air Bejana tanpa Aliran Air................................

  48 Gambar 3.1.2 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar......... 50

Gambar 3.1.3 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin Besar...............................................................................

  51 Gambar 3.2.1 Tinggi Air Bejana dengan Aliran Air.............................

  57 Gambar 3.2.2 Tinggi Air Bejana Untuk Aliran Air yang Keluar Sema kin Besar .......................................................................

  59 Gambar 3.2.3 Tinggi Air Untuk Luas Penampang Semakin Besar ......

  60 Gambar 3.2.4 Tinggi Air Bejana Untuk Kontanta Torricelli Semakin

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Gambar 3.2.5 Aliran Air yang Disesuaikan Pada Sistem Bejana .........

  62 Gambar 4.1 Dua Bejana tanpa Aliran Air yang Masuk .....................

  67 Gambar 4.2 Dua Bejana dengan Aliran air yang Masuk ...................

  67 Gambar 4.1.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ...............................

  74 Gambar 4.1.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis..........................................

  76 Gambar 4.1.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana tanpa Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berkurang .................................

  78 Gambar 4.2.1 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Berlebihan ..............................

  83 Gambar 4.2.2 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis ........................................

  85 Gambar 4.2.3 Tinggi Air Pada Dua Sistem Bejana dengan Aliran Air Untuk Kasus Diredam Kritis..........................................

  88 Gambar 4.2.4 Rasio Peredam < ξ < 1 ...............................................

  89 Gambar 4.2.5 Rasio Peredam , 1 < ξ < , 5 ...........................................

  89 Gambar 4.2.6 Rasio Peredam , 6 < ξ < , 9 ..........................................

  89 Gambar 4.2.7 Rasio Peredam ξ > 1 ....................................................

  90 Gambar 4.2.8 Rasio Peredam ξ = 1 ....................................................

  90 Gambar 4.2.9 Tinggi Air Pada Rasio Peredam ....................................

  91

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Gambar 4.2.10 Tinggi Air Untuk Kelebihan Dan Kekurangan Air Pada Dua Sistem Bejana ........................................................

  93 Gambar 4.2.11 Tinggi Air Maksimum Dan Minimum........................... 96 Gambar 4.2.12 Daerah Tinggi Air Maksimum Dan Stabil ....................

  98 Gambar 4.2.12 Perbandingan Persentase Tinggi Air Maksimum dengan Rasio Peredam...............................................................

  98 Gambar 4.3.1 Dua Bejana dengan Aliran Air yang Disesuaikan......... 100

Gambar 4.3.2 Cara Kerja Sensor Pada Dua Sistem Bejana ................. 101

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  1

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Bendungan mempunyai manfaat yang sangat berguna dalam kehidupan ini, salah satu manfaat dari bendungan adalah untuk pembangkit tenaga listrik. Faktor yang mempengaruhi besar atau kecilnya aliran air pada bendungan

  

adalah curah hujan dan besarnya aliran air sungai. Jika curah hujan tinggi dan aliran

air sungai besar, maka air pada bendungan akan besar, dan jika curah hujan rendah

dan aliran air sungai kecil, maka air pada bendungan akan kecil.

  Pada umumnya bendungan yang digunakan untuk pembangkit listrik itu

terdiri dari satu bendungan, atau dua bendungan, dimana bendungan yang satu

terletak di atas bendungan yang lain.

  Agar dapat menggerakkan generator pada satu bendungan, diperlukan tinggi

yang sesuai pada bendungan, sedangkan pada dua bendungan diperlukan tinggi yang

sesuai pada bendungan yang terletak di atasnya.

  Dari sini muncul permasalahannya yakni bagaimana memperoleh ketinggian yang sesuai pada satu bendungan dan dua bendungan tersebut.

  Dalam penulisan ini akan dipaparkan model matematika pada Pembangkit

Listrik Tenaga Air pada satu bendungan dan dua bendungan. Untuk itu diperlukan

penyederhanaan masalah yaitu dianggap bahwa evaporasi dan faktor curah hujan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2 B. Rumusan Masalah

  1. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada sistem satu bejana ?

  2. Bagaimana model matematika untuk tinggi dan volume air pada sistem dua bejana ?

  3. Bagaimana model matematika agar diperoleh tinggi air yang sesuai pada sistem satu dan dua bejana ? C. Pembatasan Masalah

  Pembatasan masalah pada skripsi ini adalah:

  1. Bendungan yang dibahas hanya bendungan yang digunakan untuk Pembangkit Listrik Tenaga Air.

  2. Analisa lebih dalam mengenai ketinggian air pada sistem bejana hanya terbatas pada sistem dua bejana.

  3. Sistem yang menyerupai sistem dua bejana seperti pegas hanya dibahas seperlunya yaitu sistem satu pegas dengan input dianggap konstan.

  4. Penggunaan tentang teorema Torricelli hanya digunakan pada satu bejana.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  3

5. Sensor yang digunakan hanya terbatas untuk ketinggian air pada bejana.

  D. Manfaat Penulisan Manfaat yang diharapkan pada skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana

tinggi air yang sesuai pada sistem bejana yang terletak di bawahnya agar dapat

membangkitkan tenaga listrik.

  E. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam makalah ini adalah metode studi

pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang berkaitan Pemodelan Matematika Pada

  Sistem Pembangkit Listrik Tenaga Air.

  F. Tujuan Penulisan Tujuan penulisan ini adalah untuk memahami dan mempelajari bagaimana sistem dua bendungan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  4

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Manfaat Penulisan E. Metode Penulisan F. Tujuan Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENTIAL DAN DERET BINOMIAL A. Pemodelan Matematika B. Persamaan Diferensial

  

2. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan

  3. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

  4. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

  5. Penerapan Persamaan Diferensial Orde Dua

C. Deret Binomial Dan Penerapannya

  1. Usaha Dan Energi

  2. Fluida

  3. Persamaan Kontinuitas

  5

  4. Persamaan Bernoulli

  5. Teorema Torricelli

BAB III PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM SATU BEJA NA A. Sistem Satu Bejana tanpa Aliran Air

  

1. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana

  2. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana

B. Sistem Satu Bejana dengan Aliran Air

  

1. Pengaruh Aliran Air Masuk Pada Ketinggian Air Bejana

  

2. Pengaruh Luas Penampang Pada Ketinggian Air Bejana

  3. Pengaruh Konstanta Torriceli Pada Ketinggian Air Bejana

  

BAB IV PEMODELAN MATEMATIKA PADA SISTEM DUA BEJA

NA A. Sistem Dua Bejana tanpa Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya B. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Masuk Pada Sistem Bejana di Atasnya

C. Sistem Dua Bejana dengan Aliran Air Disesuaikan

BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II PEMODELAN MATEMATIKA DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN DERET BINOMIAL A. Pemodelan Matematika Model adalah gambaran suatu objek yang disusun berdasarkan tujuan

  tertentu, dan objeknya dapat berupa suatu sistem, suatu perilaku sistem, ataupun suatu proses tertentu.

  Sistem adalah suatu himpunan beserta relasi antara unsur-unsurnya yang

  disusun berdasarkan tujuan tertentu. Misalnya rumah sakit, yang merupakan suatu sistem yang bertujuan untuk merawat orang sakit, den bagian dari rumah sakit tersebut harus mendukung tujuan merawat orang sakit.

  Tujuan penyusunan model dibedakan tiga kategori yaitu :

  a) Guna mengenali keadaan, sifat, atau perilaku sistem dengan cara mencari keterkaitan antara unsur-unsurnya. Model seperti ini adalah

  model keterkaitan .

  b) Guna mengadakan pendugaan (prediksi) untuk memperbaiki keadaan objek, yang disebut model pendugaan.

  c) Guna mengadakan optimisasi bagi objek. Modelnya disebut model optimisasi .

  Manfaat model adalah untuk memperoleh gambaran yang lebih jelas

  mengenai suatu objek tanpa merusak ataupun mengganggu objek yang aslinya, yang dapat dilakukan dengan cara eksperimen pada model tersebut. Hal ini dapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  dilihat jika dilakukan eksperimen langsung ke objeknya , maka mempunyai resiko yang sangat merugikan.

  Langkah–langkah Penyusunan Model Matematika a) Identifikasi Masalah.

  Sebelum menyusun model matematika adalah mengidentifikasi masalahnya terlebih dahulu, yang mempunyai batasan-batasan tertentu yang dikenal dengan penyederhanaan masalah..

  b) Perumusan Masalah.

  Model tersebut dirumuskan dengan simbol atau lambang yang dapat dalam matematika baik peubahnya maupun relasi-relasinya.

  c) Selesaikan Masalah.

  Menyelesaikan perumusan masalah secara matematika.

  d) Menafsirkan Masalah.

  Model harus ditafsir lagi yakni apakah model tersebut sudah sesuai dengan yang diharapkan atau tidak ? apakah model tersebut sudah baik atau tidak? Jikalau tidak, kembali ke langkah semula, sehingga diperoleh model yang sesuai atau baik seperti yang diinginkan.

  e) Pelaksanaan Model.

  Model dapat digunakan untuk memperoleh atau mencapai tujuan semula.

B. Persamaan Diferensial

  Persamaan Diferensial Orde atau Tingkat n adalah persamaan yang biasa

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  nya ditulis dalam bentuk _{' '' ( n ) (n )}

F ( x , y , y , y ,..., y ) =

dimana y , menyatakan turunan y terhadap x yang sebanyak n kali, dan F _{' '' ( n )} adalah suatu fungsi dengan peubah–peubah x , y , y , y ,..., y .

  Orde Persamaan Diferensial adalah orde derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan.

  Contoh 2.2.1 _' Bentuk persamaan diferensial orde satu adalah F ( x , y , y ) = .

  Persamaan Diferensial Biasa Orde n disebut linear dalam y jika

  persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk

  

−

^{1 )}

¹

• a ( x ) y a ( x ) y ... a ( x ) y a ( x ) y = f ( x )
^{( n ) ( n} + + + _{n n} − _{1 1} Dengan a , a ,..., a dan f adalah fungsi yang kontinu pada suatu interval _{1 n} x dan a ( x ) pada interval tersebut. _n ≠ .

  Contoh 2.2.2 _{'' ' 2} Persamaan y y y x adalah persamaan diferensial orde dua yang linear.

• =

  Untuk membuktikan suatu fungsi merupakan suatu penyelesaian diferensial tersebut, harus dibuktikan apakah fungsi tersebut bila diturunkan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  sebanyak n kali merupakan persamaan diferensial itu sendiri atau ruas kanan dan ruas kiri dari persamaan diferensial tersebut adalah sama.

  Contoh 2.2.3 _{2 2} Buktikan bahwa x + y = _' 9 adalah penyelesaian persamaan diferensial x + yy = ?

  Penyelesaian _{2 2 '}

  Jika 9 x + y = diturunkan terhadap x, maka diperoleh _{' '} 2 x + yy 2 = .

  2 x + yy ₂ 2 = dapat ditulis menjadi x + yy = . Sehingga terbukti bahwa _{2 '}

  x + y = 9 adalah penyelesaian dari persamaan diferensial x + yy = .

  Definisi 2.2.1

  a) Suatu keluarga berparameter n dari penyelesaian persamaan diferensial orde n disebut penyelesaian umum dari persamaan diferensial jika semua penyelesaian persamaan diferensial dapat diperoleh dari keluarga berparameter n.

  b) Suatu penyelesaian persamaan diferensial orde n yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan menentukan nilai parameter n disebut dengan .

  penyelesaian khusus Contoh 2.2.4 _{x 2 x}

  Misalkan y C e C e x adalah penyelesaian umum dari persamaan diferen = _{1 2} + +

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  '' '

  sial y 3 y 2 y 2 x 3 . Untuk mendapatkan penyelesaian khusus dari

• = − persamaan dferensial tersebut dapat dicari dengan cara memilih nilai konstanta

  C dan C , yaitu dengan mengambil C

  10 dan C 3 , maka _{1 x 2 2 x 1} = = ₂

  y =

  10 e 3 e x + +

  Masalah nilai awal terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan

  diferensial yang juga memenuhi persyaratan _{' '}

  y x = y y x = y

( ) ( )

  Masalah nilai batas terdiri dari pencarian penyelesaian y dari persamaan

  diferensial yang juga memenuhi persyaratan _{' '}

  y ( ) x = y y ( ) x = y ₁ Contoh 2.2.5 _{'' '}

  Jika persamaan diferensial y 3 y 2 y 2 x 3 dengan menggunakan masalah

• = − _{'' '} nilai awal di atas dan masalah nilai batas dari persamaan y

  3 y 2 y 2 x

  3

• = − mempunyai penyelesaian khusus yaitu ( ) dan (

  1 ) . Untuk

  y = y = ²

  1 , maka C e C e 1 . = y = + C = = y = = − _{1 2 1 2} Sehingga diperoleh

• x , , maka C , dan untuk x

  1 C = − C = . _{1 2 2} e − e Maka penyelesaian khususnya adalah

  1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

1. Persamaan Diferensial Orde Satu Terpisahkan

  Persamaan diferensial terpisahkan dari persamaan diferensial orde

  satu adalah suatu persamaan diferensial orde satu dimana bentuk

  dy dx dapat difaktorkan sebagai fungsi x kali fungsi y. Dengan

  perkataan lain bahwa persamaan diferensial orde satu tersebut dapat ditulis dalam bentuk

  dy = g ( x ) h ( y ) (2.2.1.1) dx

  Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial orde tersebut, haruslah dipisahkan sebagai antara fungsi x dan fungsi y secara terpisah, sehingga persamaan (2.2.1.1) dapat ditulis sebagai

  dy

  = g ( x ) dx (2.2.1.2)

  h ( y )

  Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

  dy

  = + g ( x ) dx C (2.2.1.3)

  ∫ ∫

  ( )

  h y

  Persamaan (2.2.1.3) adalah penyelesaian persamaan diferensial

  orde satu yang dapat dipisahkan. Dengan menggunakan teknik

  pengintergralan maka persamaan (2.2.1.3) ini dapat diselesaikan asalkan fungsi dari g ( x ), h ( y ) diketahui.

  Contoh 2.2.1 x

  Selesaikan dy = ?

  dx y

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Penyelesaian

  Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan diferensial dan mengintegralkan kedua ruas , maka diperoleh

  y dy = x dx

  1 ₂

  1 ₂

  y x C

  = +

  2

  2 ^{2 1}

• y = ± x C , C = C
_{1 1 2}

2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu

  

Persamaan diferensial linear orde satu adalah persamaan yang

  dapat ditulis dalam bentuk

  dy

• P ( x ) y Q ( x ) (2.2.2.1)

  =

  dx

  Dengan P dan Q adalah fungsi yang kontinu pada selang yang diberikan. Untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial linear orde satu tersebut kedua ruas dikalikan

  I (x ) yang sering disebut sebagai faktor pengintergralan. _{P ( x ) dx}

  ∫

  I ( x ) = e (2.2.2.2)

  Bentuk umum penyelesaian dari persamaan diferensial linear orde satu yang linear, yaitu

  − P ( x ) dx P ( x ) dx

  ⎛ ⎞ ∫ ∫

• y = e Q ( x ) e C (2.2.2.3) ⎜ ⎟

  ∫

  ⎝ ⎠ Persamaan (2.2.2.3) adalah bentuk umum penyelesaian persamaan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  diselesaikan dengan teknik pengintergralan asalkan fungsi dari ( ), ( ) diketahui.

  P x Q x Contoh 2.2.2.1 dy

  1

• Selesaikan y = 3 x ?

  dx x Penyelesaian

  1 Faktor pengintegralan

  I ( x )

  = , sehingga _{1 dx}

x

_{ln x} ∫ _x

  I ( x ) = e = e = x

  Dikalikan kedua ruas dengan x, maka

  dy

• x y 3x
² dx d ₂

  =

  ( ) xy = 3x dx

  Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh ^{2 − 1}

• y = x x C dy

  1

• Sehingga penyelesaian y = 3 x adalah

  dx x ^{2 − 1}

  =

• y x x C .

3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

  Persamaan Diferensial Linear Orde Dua adalah persamaan yang

  dapat ditulis dalam bentuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  2 d y dy

• P ( x ) Q ( x ) y = R ( x ) (2.2.3.1)

  dx dx

  atau '' ( ) ' ( ) ( ) (2.2.3.2)

  y P x y Q x y = R x

• dimana P ( x ), Q ( x ), R ( x ) adalah suatu fungsi

  R (x ) terbagi atas dua yaitu R ( x ) = dan R ( x ) ≠ , seperti yang diuraikan berikut ini.

  Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen adalah

  persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ₂

  d y dy P ( x ) Q ( x ) y R ( x ) (2.2.3.3)

• = =

  dx dx Persamaan diferensial linear orde dua yang nonhomogen adalah

  persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk ₂

  d y dy P ( x ) Q ( x ) y R ( x ) (2.2.3.4)

• = ≠

  dx dx

  Di dalam penerapan fungsi R (x ) sering disebut sebagai input (masukan). Jika R ( x ) berarti tidak ada input dan R ( x )

  = ≠ berarti ada input.

  Contoh 2.2.3.1 _{2 3} xy '' x y '

• 2 x y =

  4 x adalah persamaan diferensial linear orde dua, ₂ karena dapat ditulis y '' xy '

• 2 x y =

  4 , dan diketahui bahwa

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  R ( x )

  4 , maka persamaan tersebut adalah persamaan diferensial = yang nonhomogen.

  Teorema 2.2.3.1

• Jika diketahui persamaan nonhomogen y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y = R ( x ) dengan P ( x ), Q ( x ), R ( x ) adalah fungsi yang kontinu pada interval

  [ b a , ] . Jika x adalah sembarang titik pada interval [ b a , ] , dan jika

  y , y ' adalah sembarang bilangan , maka persamaan homogen

  mempunyai penyelesaian tunggal y (x ) pada interval [ b a , ] sedemikian hingga y ( x ) = y dan y ' ( x ) = y ' .

  Untuk membuktikan teorema ini sangatlah sukar, akan tetapi pembuktian ini banyak dijumpai dalam buku yang lebih lanjut, salah satunya diferential equation karangannya Shepley Ross dibab 10, yang dibuktikan dengan teorema lipschit. Didalam teorema ini menjamin keberadaan dan keunikan suatu solusi masalah nilai awal.

  Contoh 2.2.3.2

  Carilah solusi dari y '' + y = y ( ) = dan y ' ( ) = 1 ?

  Penyelesaian

  Solusi dari y '' + y = adalah y = sin x , y = cos x dan ₁ + y = c cos x c sin x dimana c , c adalah sembarang konstanta. _{2 1 2}

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dari ketiga penyelesaian tersebut hanya y sin x yang memenuhi =

  y ( ) = dan y ' ( ) =

  1 . Sehingga menurut teorema 1 , penyelesaian dari y '' + y = , jika diketahui y ( ) = dan

  y ' ( )

  1 adalah y sin x = =

  Teorema 2.2.3.2

  Jika y adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari persamaan _g homogen, dan y penyelesaian khusus yang diperoleh dari _{p g p} + persamaan nonhomogen, maka y y adalah penyelesaian umum persamaan nonhomogen yang diperoleh dari persamaan yang homogen.

  Bukti

  Misalkan y adalah penyelesaian umum persamaan diferensial orde

• dua yang homogen, maka y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y = R ( x ) . Diketahui bahwa y adalah penyelesaian umum yang diperoleh dari _g persamaan diferensial orde dua yang homogen, sehingga

  y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y dan y penyelesaian khusus yang _{g g g p} + + = diperoleh dari persamaan diferensial orde dua yang nonhomogen,

  sehingga ) y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y R ( x . _{p p p} + + =

  = _{g p}

• Akan dibuktikan y y y , yaitu akan dibuktikan bahwa ruas

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

   y ( y y )' ' P ( x )( y y )' Q ( x )( y y )

  = _{g p g p g p} + + + + + _{g g g p p p} + = + + + + ( y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y ) ( y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y )

  = =

• R ( x ) R ( x ) .

  Teorema 2.2.3.3

  Jika y ( x ) dan y ( x ) adalah penyelesaian dari persamaan yang _{1 2}

• homogen, maka c y ( x ) c y ( x ) juga merupakan penyelesaian
_{1 1 2 2} persamaan yang homogen untuk sembarang konstanta c dan c . _{1 2} Bukti

  y ( x ) dan y ( x ) adalah penyelesaian dari persamaan yang _{1 2 1 1} + + homogen , maka y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y = dan _{1 2} + + y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y = . _{2 2 1 1} + Akan dibuktikan bahwa c y ( x ) c y ( x ) juga merupakan _{2 2} penyelesaian persamaan yang homogen , maka _{1 1 2 2 1 1} + + + + + ( c y c y )' ' P ( x )( c y c y )' Q ( x )( c y c y ) = _{2 2 1 1 2 2 1 1 2 2} + + + + + c y '' c y '' P ( x ) c y ' P ( x ) c y ' Q ( x ) c y Q ( x ) c y = _{1 1 2 2 1 1 2 2 1 1} + + + + + c ( y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y ) c ( y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y ) = _{1 1 2 2 2 2 1} + c ( ) c ( ) = . ₂

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

• Persamaan c y ( x ) c y ( x ) pada teorema 2.2.3.3 disebut
_{1 1 2 2} sebagai kombinasi linear dari persamaan y ( x ) dan y ( x ) . _{1 2} Sehingga teorema 2.2.3.3 menyatakan setiap kombinasi linear dari penyelesaian y ( x ) dan y ( x ) pada persamaan yang homogen _{1 2} juga merupakan penyelesaian.

  

Persamaan diferensial linear orde dua yang homogen yaitu

• y '' P ( x ) y ' Q ( x ) y = misalkan ) P ( x ), Q ( x adalah p , q maka

  y '' py ' qy

• = _{mx mx}

  Persamaan karakteristiknya adalah y e maka y ' me , dan _{'' 2 mx} = =

  y m e , sehingga

  = _{2 mx mx} ( m pm q ) e = + + ₂ Karena e ≠ + + , maka ( m pm q ) = . Dengan rumus kuadrat diperoleh ₂

  p p

  4 q − ± −