Teori posibilitas - USD Repository

TEORI POSIBILITAS

Skripsi Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun oleh: Nama : Andreana Ika Nurinasari

NIM : 02 3114 017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

POSSIBILITY THEORY

Thesis Presented as Partial Fulfillment to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics Study Program

By Name : Andreana Ika Nurinasari

Student Number: 02 3114 017

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2007

DIA membuat segala sesuatu indah pada waktunya….

Skripsi ini ku persembahkan untuk : Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa menyertaiku.

Albertus Galih suami, teman, sahabat dan segala – galanya, terimakasih untuk cinta, perhatian dan segala dukungan moral maupun spiritualnya,

I love u so much. Bapak dan ibuku tercinta Atas kasih sayang, nasehat, semangat dan doanya.

Adik – adikku Adit dan Siska Terimakasih buat semuanya.

Kegagalan adalah suatu keberhasilan yang tertunda….

ABSTRAK

Salah satu bentuk ketidakpastian yang berasal dari informasi yang tidak sempurna adalah apakah elemen tertentu dari himpunan semesta X termasuk dalam suatu himpunan bagian dari X atau tidak. Oleh karena itu, kita memerlukan suatu ukuran yang menunjukkan derajat sejauh mana informasi yang tersedia mendukung evidensi atau kepercayaan bahwa elemen tersebut termasuk dalam himpunan bagian itu atau tidak. Ukuran seperti itu disebut ukuran kabur. Di dalam kerangka teori ukuran kabur terdapat teori evidensi dan teori posibilitas, yang pada mulanya dikembangkan secara intuitif dengan menggunakan himpunan kabur. Teori-teori tersebut kemudian dikembangkan dengan pendekatan aksiomatis yang menempatkan teori posibilitas dalam kerangka ukuran kabur dan teori evidensi.

ABSTRACT

One form of uncertainty, which results from information deficiency, is the ambiguity whether a particular element of a universe X belongs to the subset of X or not. So we need a measure to indicate the degree to which the available information supports the evidence or belief that the element belongs to the subset or not. This measure is called fuzzy measure. In the framework of fuzzy measure theory, there are evidence theory and possibility theory which initially were intuitively developed in terms of fuzzy sets. Those theories are then axiomatically developed which placed the possibility theory in the framework of fuzzy measure and evidence theory.

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Bapa Yang Maha Pengasih atas limpahan kasihNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan ini perkenankanlah penulis menghaturkan terima kasih yang sebesar – besarnya kepada pihak yang telah memberikan bantuan ini, antara lain:

1. Romo Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen pembimbing yang telah dengan sabar membimbing dan mendampingi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terima kasih Romo…… 2. Bapak Y. G. Hartono, S.Si, M.Sc selaku Kepala Program Studi Matematika.

3. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si, terimakasih atas masukan – masukannya.

4. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik atas segala bimbingan dan perhatian yang diberikan kepada penulis.

5. Romo Ir. Gregorius Heliarko S.J., S.S., B.S.T., M.A., M.Sc selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

6. Segenap Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika atas segala ilmu, bimbingan, perhatian yang penulis dapatkan selama menimba ilmu di bangku kuliah ini.

7. Segenap karyawan Universitas Sanata Dharma khususnya perpustakaan Paingan atas segala pelayanan yang telah diberikan 8. Mas galih terimakasih atas segala cinta, kesabaran, dukungan, perhatian dan doa yang selalu menyertaiku.

9. Bapak Ibuku yang tercinta atas segala kasih sayang, dukungan, bimbingan, perhatian, dan doa yang senantiasa selalu menyertaiku.

10. Adik – adikku Adit dan Siska terima kasih buat semua yang telah kalian berikan.

11. Saudara - saudara sepupuku Dek Dian, Dek Nana, dll termakasih atas segala dukungan yang telah diberikan.

12. Teman – teman seperjuanganku di Matematika 2002: Priska (thanks buat semuanya ya…), Retno (ayo Ret, kamu pasti bisa..), Lili, Vida, Lia, Ijup, Aan, Galih, Bani, Markus, Taim, Lenta, Debby, Felix, Tato, Archy, Ika, Cia, Aning, Dani, Rita, Nunung, Asih, Desy, Wuri, Deon, Palma terimakasih atas kebersamaannya selama ini. Dan juga kakak – kakak dan adik – adik atas segala bantuannya.

13. Berbagai pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuannya.

Walaupun telah diusahakan sebaik mungkin namun dalam penulisan ini skripsi ini tentu masih banyak kekurangan, kekeliruan dan masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun demi kemajuan yang akan dating.

Semoga skripsi ini dapat memberikan tambahan wawasan dan pengetahuan bagi pembaca.

Yogyakarta, ………………... 2007

Penulis

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL………………………………………………………………. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………………... ii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………………….. iii HALAMAN PERSEMBAHAN…………………………………………………... iv HALAMAN MOTTO…………………………………………………………….. v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………….. vi HALAMAN ABSTARK………………………………………………………….. vii HALAMAN ABSTRACK………………………………………………………… viii KATA PENGANTAR…………………………………………………………….. ix DAFTAR ISI………………………………………………………………………. xi

BAB I PENDAHULUAN………………………………………………………… 1 A. Latar Belakang Masalah………………………………………………. 1 B. Perumusan Masalah…………………………………………………… 4 C. Pembatasan Masalah…………………………………………………... 4 D. Tujuan Penulisan………………………………………………………. 4 E. Manfaat Penulisan……………………………………………………... 4 F. Metode Penulisan………………………………………………………. 5 G. Sistematika Penulisan…………………………………………………... 5 BAB II TEORI HIMPUNAN KABUR…………………….……………………… 7 A. Himpunan Kabur………………………….……………………………. 7 B. Operasi pada Himpunan Kabur………………………………................ 11 C. Relasi Kabur……………………………………………………………. 16 D. Proposisi Kabur………………………………………………………… 17 BAB III TEORI POSIBILITAS…………………………………………………… 20 A. Pendekatan Intuitif Posibilitas………………………………………….. 20 B. Pendekatan Aksiomatis Posibilitas………………………………………22 1. Ukuran Kabur………………………………………………… 23

2. Teori Evidensi………………………………………………… 25 3.

Teori Posibilitas………………………………………………. 43

BAB IV PENUTUP………………………………………………………………………… 65 A. Kesimpulan…………………………………………………………… 65 B. Saran………………………………………………………………….. 67

DAFTAR TABEL

Tabel 3.2.2.1 Kombinasi tingkat evidensi dari dua sumber yang berbeda……… 32Tabel 3.2.2.2 Badan Evidensi…………………………………………………… 38Tabel 3.2.2.3 Badan Evidensi Marginal…………………………………………. 39Tabel 3.2.2.4 Hubungan antara pemetaan dasar, ukuran kepercayaan, dan ukuran posibilitas…………………………………………………………. 43

DAFTAR GAMBAR

~ A′

Gambar 2.1.2.1 Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur …………….. 14

~ A B

Gambar 2.1.2.2 Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur ~ ∩ ………… 14

~ A B

Gambar 2.1.2.3 Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur ~ ∪ ………… 15

Gambar 3.2.3.1a Barisan lengkap himpunan-himpunan bagian tersarang dari X.... 50 Gambar 3.2.3.1b Ukuran posibilitas yang didefinisikan pada X………………… 50

Gambar 3.2.3.2 Badan evidensi tersarang marginal…………………………… 57Gambar 3.2.3.3 Badan evidensi tersarang bersama…………………………… 58Gambar 3.2.3.4 Distribusi posibilitas marginal………………………………… 59Gambar 3.2.3.5 Fungsi dasar bersama…………………………………………... 60

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Teori himpunan kabur pertama kali diperkenalkan oleh Prof. L.A. Zadeh

pada tahun 1965. Teori ini berlandaskan pada himpunan kabur yang dipakai untuk menyelesaikan suatu permasalahan optimasi yang memuat kekaburan dalam perumusannya. Teori himpunan kabur merupakan perluasan dari teori himpunan klasik atau tegas. Himpunan tegas A didefinisikan dengan menggunakan suatu fungsi

χ yang nilainya dalam {0,1}. Fungsi keanggotaan dari himpunan A _A didefinisikan sebagai berikut : 1 jika x ∈ A

⎧ ( x ) =

χ _{A ⎨} jika x ∉ A ⎩

Keunggulan dari teori himpunan kabur adalah kemampuannya memodelkan secara lebih mendekati kenyataan. Sebab dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan nyata diubah ke dalam bahasa matematis supaya mempermudah penyelesaiannya dan kemudian penyelesaian tersebut dikembalikan ke dalam permasalahan nyata. Salah satu cara pemodelannya adalah penentuan fungsi keanggotaan himpunan kabur dimana setiap anggota mempunyai derajat keanggotaan. Fungsi keanggotaan dari suatu himpunan kabur _~

Ã dalam semesta X adalah pemetaan μ dari X ke selang tertutup [0,1], yaitu : _A

µ(Ã)

→ [0,1] Teori himpunan kabur adalah alat yang dapat digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan dalam proses ukuran untuk memperoleh penyelesaian yang sesuai dengan realita.

Dalam kehidupan, kita sering berjumpa dengan gejala kekaburan. Ambil suatu contoh. Dalam suatu kelas seorang guru menyuruh para siswanya yang mempunyai sepeda untuk mengangkat tangannya. Maka dalam seketika kelas itu terbagi menjadi dua kelompok (himpunan) secara tegas, yaitu kelompok para siswa yang mengangkat tangannya (mempunyai sepeda) dan kelompok para siswa yang tidak mengangkat tangannya (tidak mempunyai sepeda). Lain halnya dengan contoh tentang suatu bentuk percobaan kejahatan yang belum tentu kesalahan dari tersangka. Himpunan orang-orang yang bersalah dalam kejahatan dan himpunan orang-orang yang tidak bersalah, dianggap mempunyai batasan-batasan yang sangat jelas. Di dalam contoh kedua ini, yang diperhatikan bukan derajat dimana tersangka bersalah melainkan derajat dimana bukti-bukti menunjukkan keanggotaan tersangka di dalam himpunan orang-orang yang bersalah maupun dalam himpunan orang-orang yang tidak bersalah. Bersalah di sini mengandung unsur ketidaktegasan karena bersalah menurut pandangan orang yang satu dengan yang lain bisa berbeda. Bukti-bukti yang sempurna akan menunjukkan pada keanggotaan penuh di dalam suatu himpunan dan hanya satu dari himpunan ini.

Tetapi, bukti yang sempurna jarang ditemukan. Untuk melihat jenis ketidakpastian akan ditunjuk suatu nilai pada suatu himpunan. Nilai ini menunjukkan derajat bukti atau kepastian dari keanggotaan dalam himpunan. Nilai ini dikenal dengan istilah ukuran kabur. Pada teori yang sudah kita kenal, suatu angka ditunjukkan pada masing-masing elemen dari himpunan universal, yang berarti derajat keanggotaannya dalam suatu himpunan khusus dengan batas-batas yang tidak jelas (kabur). Sebaliknya, ukuran kabur menunjuk suatu nilai dalam interval [0,1] pada masing-masing himpunan tegas dari himpunan universal yang berarti derajat kepercayaan atau kepastian dari suatu elemen khusus x yang ada dalam himpunan itu.

Ketidakpastian adalah fokus utama dari teori posibilitas. Konsep pokok dari teori posibilitas adalah distribusi posibilitas. Guna mendefinisikan distribusi probabilitas lebih dahulu kita akan mengenal pembatasan kabur. Ambil x adalah suatu variabel linguistik dan Ã adalah suatu himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A. Maka proposisi kabur x adalah A dapat diinterpretasikan sebagai pembatasan kabur pada x dan pembatasan ini dikarakteristikan dengan _~ fungsi keanggotaan ( x ) . Dengan kata lain, kita dapat menginterpretasikan _~ μ _A

( x ) sebagai derajat posibilitas dengan x = u. Sebagai contah, misalkan x adalah μ _A umur seseorang dan Ã adalah himpunan kabur muda. Orang itu adalah muda (x adalah A) maka μ ( _A 30 ) dapat diinterpretasikan sebagai derajat posibilitas bahwa umur orang itu adalah 30.

Dari masalah ukuran tersebut, kita dapat membuat model matematika yang sesuai dengan permasalahan yang melibatkan unsur-unsur tidak tegas di dalamnya, kemudian mencari solusi atau penyelesaian dari model matematika yang telah dibuat.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, pokok-pokok permasalahan yang akan dibahas dalam penulisan ini adalah sebagai berikut : Bagaimana membuat model yang cocok untuk masalah ukuran posibilitas yang erat hubungannya dengan teori himpunan kabur?

C. Batasan Masalah

Dalam penulisan ini, penulis membatasi suatu metode atau cara dalam teori himpunan kabur yang berkaitan masalah ukuran kabur yaitu dengan teori posibilitas. Dalam penulisan ini, penulis tidak akan membahas teori probabalitas.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan yang akan dicapai dalam penulisan ini adalah :

1. Merumuskan model matematika yang sesuai dengan pengukuran kabur yang melibatkan unsur-unsur yang tidak tegas.

2. Merumuskan penyelesaian ukuran kabur.

3. Menerapkan model matematika yang telah dibuat dalam satu masalah kongret di lingkungan kabur

E. Manfaat Penulisan

Tulisan ini diharapkan dapat berguna untuk menambah wawasan tentang matematika, terutama tentang posibilitas kabur suatu teori yang erat hubungannya dengan teori himpunan kabur.

F. Metode Penulisan

Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi pustaka yaitu dengan mempelajari beberapa materi yang berkaitan dengan pemakaian teori himpunan kabur dalam ukuran kabur.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang penulisan tentang masalah ukuran posibilitas. Tentang bagaimana masalah ketidakpastian yang merupakan fokus utama dari teori posibilitas. Selain itu, terdapat tujuan penulisan, metode penulisan dan manfaat penulisan bagi penulis. Selanjutnya diberikan pula sistematika penulisan dalam masalah ukuran posibilitas ini.

BAB II TEORI HIMPUNAN KABUR Bab ini berisi landasan teori dalam penulisan ini, yaitu teori himpunan kabur. Kemudian disinggung pula tentang operasi pada himpunan kabur dan relasi kabur.

BAB III TEORI POSIBILITAS Bab ini berisi tentang teori posibilitas baik melalui pendekatan intuitif maupun secara aksiomatis. Selain itu dibahas juga teori ukuran kabur dan teori evidensi, yang mendukung teori posibilitas.

BAB V PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dari penulisan tentang masalah ukuran kabur ini dan juga saran dari penulis bagi pembaca tulisan ini.

BAB II TEORI HIMPUNAN KABUR A. Himpunan Kabur Secara intuitif himpunan adalah suatu kumpulan atau koleksi obyek-

obyek (konkret maupun abstrak) yang mempunyai kesamaan sifat tertentu. Suatu himpunan haruslah terdefinisi secara tegas, dalam arti bahwa untuk setiap obyek selalu dapat ditentukan secara tegas apakah obyek tersebut merupakan anggota himpunan itu atau tidak. Dengan perkataan lain, untuk setiap himpunan terdapat batas yang tegas antara obyek-obyek yang merupakan anggota himpunan dan obyek-obyek yang tidak merupakan anggota dari himpunan tersebut. Oleh karenanya himpunan semacam itu seringkali juga disebut himpunan tegas. Himpunan tegas dapat dinyatakan dengan menggunakan fungsi karakteristik, yaitu suatu fungsi dari semesta X ke himpunan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta

X dapat dinyatakan dengan fungsi karakteristik χ : X _{A → {0,l}.}

1 jika x ∈ A ⎧

( x ) χ = _A

⎨ jika x ∉ A ⎩

~ Sedangkan himpunan kabur pada semesta X, dinotasikan dengan A , _~ _~ adalah suatu pemetaan μ : X → [0,1]. Dalam definisi tersebut, μ disebut juga _A _A

fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A , dan nilainya menyatakan derajat

keanggotaan unsur-unsur di dalam himpunan kabur A . Derajat keanggotaan sama

dengan 1, yaitu x ∈

X , menyatakan keanggotaan penuh

μ (x) = 1 untuk suatu _A ~

dengan 0, yaitu x ∈

X , menyatakan bahwa unsur x tersebut

μ (x) = 0 untuk suatu _A ~ sama sekali bukan anggota himpunan kabur A .

Definisi 2.1.1

~ Himpunan kabur A dalam X dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut

~ _~ _~ A = { ( x , μ ( x )) x ∈ _A X } , di mana μ adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur A~ . _A

~ Bila semesta X kontinu, maka himpunan kabur A dapat dinyatakan dengan

~ _~

A = μ ( x ) / x _x ∫ A ∈X

di mana lambang di sini bukan merupakan lambang operator integral,

∫

melainkan melambangkan keseluruhan x

X bersama dengan derajat keanggo-

∈

~ taannya di dalam himpunan kabur A . Jika semesta X adalah himpunan yang ~ diskret, maka himpunan kabur A dapat dinyatakan dengan

~ _~

A = ( x ) / x

_x ∑ μ _A

∈X

di mana lambang di sini bukan merupakan lambang operator jumlah,

∑

melainkan melambangkan keseluruhan x ∈

X bersama dengan derajat

~ keanggotaannya di dalam himpunan kabur A . Contoh 2.1.1 ~

Dalam semesta X = {1,2,3,4,5,6,7}, adalah himpunan "bilangan bulat yang dekat dengan empat". Maka himpunan kabur tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

~ _~ A ( x ) / x

= ∑ μ _x _A ∈X = 0,06/1 + 0,10/2 + 0,50/3 + 1/4 + 0,50/5 + 0,10/6 + 0,06/7.

Definisi 2.1.2

~ ~

Pendukung dari suatu himpunan kabur A , yang dilambangkan dengan Pend( A ),

adalah himpunan tegas yang memuat semua unsur dari semesta yang mempunyai ~ derajat keanggotaan taknol dalam A , yaitu _~

Pend(A)= { x X μ ( x ) } .

∈ > _A Definisi 2.1.3

Tinggi (height) dari suatu himpunan kabur A , yang dilambangkan dengan

~ Tinggi( A ), didefinisikan sebagai

~ _~

Tinggi( A ) = sup ( x ) .

_X { μ } _A

∈ Definisi 2.1.4

Titik silang dari suatu himpunan kabur A adalah elemen dari semesta yang mem-

punyai derajat keanggotaan sama dengan 0,5.

Definisi 2.1.5

Teras (core) dari suatu himpunan kabur , yang dilambangkan dengan

Teras( A ), adalah himpunan semua unsur dari semestanya yang mempunyai

derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu ~ _~

Teras( A ) = x ∈ X ( x ) = 1 .

{ μ } _A Definisi 2.1.6

Pusat dari suatu himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut : Jika nilai purata

dari semua titik dimana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata tersebut. Jika nilai purata itu takhingga positif (negatif), maka pusat himpunan kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.

Contoh 2.1.2 ~

Untuk himpunan kabur A dalam Contoh 2.1.1.1 di atas : ~

Pend( A ) = {1,2,3,4,5,6,7}

Tinggi( A ) = 1

~ Titik silang dari A adalah 3 dan 5

Teras( A ) = {4}

~ Pusat dari A adalah 4.

Definisi 2.1.7

~ ~ Dua buah himpunan kabur A B dan dalam semesta X dikatakan sama, dengan

~ ~ lambang A = B , bila dan hanya bila _{~ ~}

( x ) ( x ) μ = μ _{A B} untuk setiap x

X .

∈ Definisi 2.1.8

~ ~ ~

Himpunan kabur A dan B disebut himpunan bagian dari himpunan kabur B , dengan lambang A ~ ⊆ B~ , bila dan hanya bila _{~ ~} μ ( x ) ≤ μ ( x ) _{A B} untuk setiap x ∈

X .

Contoh 2.1.3 Dalam semesta X = {l,2,3,4,5,6,7}

A = 0,06/1 + 0,10/2 + 0,50/3 + 1/4 + 0,50/5 + 0,10/6 + 0,06/7 dan

B = 0,10/2 + 0,4/3 + 1/4 + 0,5/5 + 0,1/6 Maka B ~ ⊆ A~ .

B. Operasi pada Himpunan Kabur

Komplemen dari himpunan tegas A dalam semesta X, dengan notasi A',

adalah himpunan semua anggota semesta yang bukan anggota himpunan A, yaitu

A' = x ∈ X x ∈ A .

{ }

Kalau himpunan tegas A adalah himpunan semua bilangan positif dalam semesta himpunan semua bilangan bulat, maka A' adalah himpunan semua bilangan bulat negatif atau nol.

Gabungan dua buah himpunan tegas A dan himpunan tegas B, dengan

notasi A ∪ B, adalah himpunan semua elemen dalam semesta yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, yaitu

A x x A x B .

∪ B = ∈ ∨ ∈

{ }

Irisan dua buah himpunan tegas A dan himpunan tegas B, dengan notasi

A ∩ B, adalah himpunan semua elemen semesta yang merupakan anggota him-

punan A dan sekaligus anggota himpunan B, yaitu

A ∩ B = x x ∈ A ∧ x ∈ B .

{ }

Karena fungsi keanggotaan suatu himpunan kabur adalah perampatan dari fungsi karakteristik himpunan tegas, maka operasi-operasi pada himpunan kabur dapat kita definisikan sesuai dengan operasi-operasi pada himpunan tegas.

~ ~ Misalkan A dan B adalah himpunan kabur dalam semesta X.

Definisi 2.2.1

Komplemen dari suatu himpunan kabur A adalah himpunan kabur A' dengan

fungsi keanggotaan _{~ ~} μ ( x ) = _{A ′ A} 1 − μ ( x ) untuk setiap x ∈

X .

Definisi 2.2.2

~ ~

Gabungan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan kabur A

~ ∪ B~ dengan fungsi keanggotaan _{~ ~ ~ ~} μ ( x ) = max{ μ ( x ), μ ( x )} _{A B A B}

∪

untuk setiap x ∈ X .

Definisi 2.2.3

~ ~

Irisan dua buah himpunan kabur A dan B adalah himpunan kabur A ~ ∩ B~ de-

ngan fungsi keanggotaan _{~ ~ ~ ~} μ ( x ) = min{ μ ( x ), μ ( x )} _{A B A B}

∩

untuk setiap x ∈ X .

Contoh 2.2.1 Diketahui dua buah himpunan kabur A dan B dengan fungsi keanggotaan sebagai berkut:

⎧ x −

⎪ _~

1 − untuk

1 ≤ x ≤

5 ( x ) =

μ _{A ⎨}

2 untuk x yang lain ⎪⎩ ⎧ x −

⎪ _~

1 − untuk

2 ≤ x ≤

μ ( x ) = _{B ⎨}

2 untuk x yang lain ⎪⎩ Maka grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A′ ~ adalah sebagai berikut

1 A

A′

~ ~ ∩

X Gambar 2.2.2 . Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur B A

A ~ B ~

B ~ A ~ ∩

~ ~ ∩ adalah sebagai berikut:

~ Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur B A

X A ~′

Gambar 2.2.1 . Grafik fungsi fungsi keanggotaan himpunan kabur

~ Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur A ~ ∪ adalah sebagai berikut: B

~ ~ A B

1 ~ ~ ∪ A B

Gambar 2.2.3 . Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur ~ ∪

A B

Contoh 2.2.2 Dalam semesta X ={ 1,2,3,4,5,6,7}

A = 0,6/1 + 0,1/2 + 0,5/3 + 1/4 + 0,5/5 + 0,1/6 + 0,6/7

~ B = 0,2/2 + 0,5/3 + 0,7/4 + 0,5/5.

Maka ~

A ' = 0,4/1 + 0,9/2 + 0,5/3 + 0,5/5 + 0,9/6 + 0,4/4 ~

B ' = 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,3/4 + 0,5/5 + 1/6 + 1/7 ~ ∪ B~ = 0,6/1 + 0,2/2 + 0,5/3 + 1/4 + 0,5/5 + 0,1/6 + 0,6/7

A A ~ ∩ B~ = 0,1/2 + 0,5/3 + 0,7/4 + 0,5/5.

C. Relasi Kabur Definisi 2.3.1

Relasi kabur (biner) R antara elemen-elemen di himpunan X dan elemen-elemen

di himpunan Y adalah suatu himpunan bagian kabur dari darab Cartesius X × Y, yaitu himpunan kabur : ~ _~

R = ( x , y ), ( x , y ) ( x , y ) X Y ) .

{ μ ∈ × } _R

Dengan melihat definsi relasi kabur di atas, dapat disimpulkan bahwa ~ _~ sebuah himpunan kabur A dalam semesta X dengan fungsi keanggotaan μ dapat _A dipandang sebagai sebuah relasi kabur uner.

Contoh 2.3.1 Misalkan X = {40, 87, 314} dan Y = {10, 36, 228}, kemudian didefinisikan relasi

~ kabur R , yaitu relasi "jauh lebih besar" antara elemen-elemen X dan Y. Maka ~ relasi tersebut dapat ditulis sebagai berikut: R = 0,3 / (40,10) + 0,1 / (40,36) +

0,5 / (87,10) + 0,3 / (87,36) + 0,9 / (314,10)+ 0,7 / (314,36) + 0,4 / (314,228). Atau dengan matriks relasi sebagai berikut: .

3 .

1 . ⎡ ⎤ ~ ⎢ ⎥ R = .

5 .

3 . .

⎢ ⎥ ⎢ . 9 . 7 . 4 ⎥ ⎣ ⎦

Definisi 2.3.2

~ ~

Bila R adalah suatu relasi kabur pada semesta X × Y, maka invers dari R , yang ~ -1 dinyatakan dengan R , adalah relasi kabur pada semesta Y × X dengan fungsi keanggotaan _~ ₋ _{1 ( y , x ) = ( x , y )} _~

μ μ _{R R} untuk setiap (y,x) ∈ Y × X.

~ ~

Matriks dari invers relasi kabur R , yaitu R , adalah transpose dari matriks dari ~ relasi R .

D. Proposisi Kabur

Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu

predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur. Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan kabur. Nilai kebenaran dari suatu pemyataaan kabur disajikan dengan suatu bilangan real dalam selang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari pernyataan kabur itu. Bentuk umum dari proposisi kabur adalah

x adalah A

di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik dari x. Misalkan proposisi kabur "x adalah A" dilambangkan dengan ) dengan τ ( p )), maka

p(x), dan derajat kebenaran dari p( x ( x _~ ( p )) = ( x ) .

τ ( x μ _A Contoh 2.4.1 Dalam proposisi kabur

Badan anak itu gemuk

Predikat "gemuk" dapat dikaitkan dengan himpunan kabur S dengan fungsi _~ keanggotaan μ . Derajat kebenaran dari pernyataan kabur _S

Badan anak yang beratnya 90 kg itu adalah gemuk

sama dengan dereajat keanggotaan 90 kg dalam himpunan kabur " gemuk", _~ misalnya μ (90) = 0,8. _S

Predikat "benar" adalah suatu predikat kabur yang dapat dinyatakan ~ dengan suatu himpunan kabur B , dengan derajat keanggotaan bilangan real dalam

~ ~ semesta [0,1], sedangkan predikat "salah" adalah S = B '.

Definisi 2.4.1

~ Fungsi keanggotaan himpunan kabur B tersebut didefinisikan sebagai fungsi identitas, yaitu _~

( x ) = x μ _B untuk setiap x [0,1], di mana x adalah derajat kebenaran suatu pernyataan kabur.

∈ Definisi 2.4.2

~ ~

Fungsi keanggotaan himpunan kabur S = B ' adalah _{~ ~} (x) = k ( (x)) = k(x)

μ μ _{S B} untuk setiap x ∈ [0,1], di mana k adalah suatu komplemen kabur.

Contoh 2.4.2 Dalam contoh 2.1.4.1 pernyataan kabur

Badan anak yang beratnya 90 kg itu adalah gemuk

mempunyai derajat kebenaran 0,8. Maka pernyataan kabur

"Badan anak yang beratnya 90 kg itu adalah gemuk" adalah benar

mempunyai derajat kebenaran ( 80 ) = , 8 .

μ _B

BAB III TEORI POSIBILITAS A. Pendekatan Intuitif Posibilitas Tidak lama setelah Zadeh memperkenalkan teori himpunan kabur pada

akhir tahun enam puluhan, ia mengembangkan konsep posibilitas secara intuitif melalui penelitiannya yang dipublikasikan dalam artikel yang berjudul "Fuzzy

Sets as a Basic for a Theory of Possibility" pada tahun 1978. Sesuai judul

karangannya itu, Zadeh membangun teori posibilitas atas dasar teori himpunan kabur. Teori posibilitas adalah teori yang melengkapi teori probabilitas dalam menangani masalah - masalah yang berhubungan dengan ketidakpastian. Misalkan

x adalah suatu variabel dalam semesta U dan A adalah himpunan kabur dalam U

_{~ ~}

dengan fungsi keanggotaan μ , di mana μ ( x ) menyatakan derajat keanggotaan _{A A} elemen x ∈ U dalam himpunan kabur A. Maka predikat kabur A dalam proposisi

"x adalah A " dapat diinterpretasikan sebagai suatu pembatasan kabur pada variabel x.

Definisi 3.1.1

~ Diberikan himpunan kabur A dalam U dan proposisi "x adalah A", maka distribusi posibilitas yang berkaitan dengan x, yang dinyatakan dengan notasi x ,

~ secara numerik didefinisikan sama dengan fungsi keanggotaan A , yaitu _~ untuk setiap x ∈ U.

Contoh 3.1.1 Himpunan kabur "bilangan bulat kecil" didefinisikan sebagai

A = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + 0.2/6.

Maka distribusi posibilitas yang berkaitan dengan x jika diketahui bahwa "x

adalah bilangan bulat kecil” secara numerik adalah

x = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + 0.2/6.

Posibilitas bahwa x adalah 3, jika diberikan "x adalah bilangan bulat kecil”, _~ adalah 0.8, yaitu x (3) =

π μ (3) = 0.8. _A Definisi 3.1.2

Jika C adalah himpunan tegas dalam semesta U dan adalah distribusi posibilitas

π x

yang berkaitan dengan x, maka ukuran posibilitas dari C, yang dinotasikan dengan

Pos (C), yang menyatakan posibilitas bahwa "x adalah anggota C" didefinisikan

sebagai berikut

Pos x (C) = sup min π ( u ) .

_{u U}

∈

Definisi 3.1.3

~ Jika A adalah suatu himpunan kabur dalam U, dan adalah distribusi posibilitas

x π

~ ~ yang berkaitan dengan x, maka ukuran posibilitas dari A , dengan notasi Pos x ( A ), ~ yang menyatakan posibilitas bahwa " x adalah A ", didefinisikan sebagai berikut

~ _~

Pos x ( A ) = sup min{ ( u ), ( u )} .

_{u U} μ x _{A π}

∈

Contoh 3.1.2 Lihat contoh 3.1.1

x = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.6/4 + 0.4/5 + 0.2/6

dan himpunan tegas C = {3,4,5}. Maka ukuran posibilitas (C) adalah π

Pos x (C) = sup min ( u )

_{u {}

_{3 ,} _{4 ,} _{5 }} _x

∈

= max [0.8, 0.6, 0.4] = 0.8.

B. Pendekatan Aksiomatis Posibilitas

Selanjutnya akan dibahas teori posibilitas yang dibangun dengan pendekatan aksiomatis dalam kerangka teori yang lebih luas yaitu ukuran kabur.

Zadeh mengakui bahwa pendekatan intuitif yang dipakainya dalam mengembangkan teori posibilitas itu tidak sepenuhnya dapat diandalkan. la menyarankan diadakannya penelitian lanjutan untuk mengembangkan pendekatan aksiomatis yang akan meletakkan teori posibilitas itu di atas dasar matematis yang lebih kokoh. Pendekatan terakhir ini menempatkan teori posibilitas dalam kerangka ukuran kabur dan teori evidensi.

1. Ukuran kabur Definisi 3.2.1.1

Andaikan X adalah suatu himpunan semesta pembicaraan dan P(X) adalah keluarga semua himpunan bagian dari X. Suatu ukuran kabur adalah suatu fungsi

g : P(X)

→ [0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1. g (φ ) = 0 dan g (X) = 1 (syarat batas)

2. Untuk setiap A,B ∈ P(X), bila A ⊆ B, maka g (A) ≤ g (B) (sifat monoton) Untuk himpunan semesta takhingga ditambahkan syarat :

⊂ ... adalah barisan naik himpunan - himpunan dalam P(X),

1 ⊂ A

3. Bila A

∞

maka lim g i ) = g( i ). (sifat kontinyu dari U A _i ( A

→ ∞ _{i =1}

bawah)

1 ⊃ A 2 ⊃ ... adalah barisan turun himpunan - himpunan dalam P(X),

4. Bila A

∞

maka ) lim g ( A ) = g ( i . (sifat kontinyu _i _i

I A

→ ∞ _{i =} ₁

dari atas) Bilangan g(A) untuk suatu himpunan A ∈P(X) menyatakan derajat kepastian berdasarkan keterbatasan informasi yang tersedia bahwa suatu elemen tertentu dari X adalah anggota himpunan A tersebut. Dalam hal ini informasi yang tersedia tidak memungkinkan untuk memperoleh kepastian sepenuhnya mengenai keanggotaan elemen tersebut dalam himpunan A. Sebagai contoh, misalnya kita akan mencoba untuk mendiagnosa penyakit seorang pasien. Lebih sederhananya, kita akan mencoba untuk menentukan apakah pasien ini termasuk himpunan orang-orang penderita pneumonia, bronchitis, emphysema, atau penyakit panas biasa. Pemeriksaan fisik dapat membantu seorang dokter untuk mendiagnosa penyakit namun ini kurang meyakinkan. Sebagai contoh, kita menetapkan nilai yang tinggi yaitu 0,75 untuk bronchitis dan nilai yang lebih rendah untuk kemungkinan yang lain, seperti 0,45 untuk pneumonia dan emphysema dan 0 untuk penyakit panas biasa. Di sini kita berhadapan dengan jenis ketidakpastisan yang secara fundamental berbeda dengan ketidakpastian yang muncul sebagai akibat kaburnya suatu istilah (predikat) yang kita pakai untuk membicarakan sesuatu. Syarat batas menyatakan bahwa elemen yang sedang kita bicarakan pasti tidak merupakan anggota himpunan kosong dan pasti merupakan anggota dari semesta pembicaraan.

Teori posibilitas - USD Repository