Simulasi pada Masalah Kebangkrutan Penjudi - UNS Institutional Repository

  

SIMULASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI

oleh

DWI ARDIAN SYAH

M0112024

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan

memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

  

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2017

  

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul SIMULASI PADA

MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI belum pernah diajukan untuk memperoleh

gelar kesarjanaan pada suatu perguruan tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga

belum pernah ditulis atau dipublikasikan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis

diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.

  Surakarta, Juli 2017 Dwi Ardian Syah ABSTRAK Dwi Ardian Syah, 2017. SIMULASI PADA MASALAH KEBANGKRUTAN PENJUDI.

  Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret.

  

Perubahan nilai modal dari waktu ke waktu pada masalah kebangkrutan penjudi

mengikuti proses stokastik. Pada masalah kebangkrutan penjudi diberikan asumsi ba-

tasan pemain sebanyak 2 penjudi yaitu A dan B, serta permainan ditinjau dari salah

satu penjudi yaitu penjudi A. Dimulai dengan modal awal sebanyak k dan modal total

sebanyak N , penjudi dapat menang atau kalah pada permainan selanjutnya dengan

nilai probabilitas p dan q. Probabilitas penjudi memperoleh atau kehilangan seluruh

modal disebut probabilitas absorpsi, dan nilai harapan dari banyaknya permainan sam-

pai penjudi menang total atau bangkrut disebut ekspektasi banyaknya permainan.

  

Tujuan penelitian ini adalah menyimulasikan dan menginterpretasikan masalah ke-

bangkrutan penjudi dengan menentukan nilai probabilitas kemenangan p, probabili-

tas kekalahan q, dan modal awal k. Pada penelitian ini ditentukan nilai probabilitas

p = q = 0.5, p = 0.4 dan p = 0.6 dengan diberikan k = 60. Hasil dari penelitian ini

adalah, jika p = q = 0.5 maka kemungkinan penjudi A dapat menang total adalah lebih

besar (kemungkinan bangkrut lebih kecil) serta bermain lebih sedikit untuk mempero-

leh seluruh modal, jika nilai p = 0.4 maka kemungkinan penjudi A menang total lebih

kecil (kemungkinan bangkrut lebih besar) serta bermain lebih banyak untuk mempe-

roleh seluruh modal, dan jika nilai p = 0.6 maka kemungkinan penjudi A menang total

lebih besar (kemungkinan bangkrut lebih kecil) serta bermain lebih sedikit untuk mem-

peroleh seluruh modal. Berdasarkan hasil analisis simulasi, dapat disimpulkan bahwa

probabilitas menang total atau kebangkrutan penjudi A, serta ekspektasi banyaknya

permainan yang dilakukan dipengaruhi oleh nilai p dan q, serta k yang diberikan.

  Kata kunci: kebangkrutan penjudi, probabilitas absorpsi, ekspektasi banyaknya perma- inan, simulasi.

  

ABSTRACT

Dwi Ardian Syah, 2017. SIMULATION OF GAMBLER’S RUIN PROBLEM. Fa- culty of Mathematics and Natural Sciences. Universitas Sebelas Maret. The changes amounts of the capital in the gambler’s ruin problem in a certain

time follow the stochastic process. In the gambler’s ruin problem, there are only two

gambler’s considered, that are A and B. The games are focused on the capital changes of

gambler A. Started from the initial capital of k and the total capital of N , the gambler

may win or lose on the next game with the probability of p and q. The probability of

the gambler in gaining or losing the total of capital is called the absorption probability,

and the expected value of the numbers of games until the gambler is totally wins or

ruins is called the expected duration.

  The aims of the research are to simulate and to interpret the gambler’s ruin problem

by determining the winning probability p, losing probability q, and the initial capital

k . In this research, the value of probability was given by p = q = 0.5, p = 0.4 and p = 0.6, with k = 60. The research results for the games are, if the value of p = q = 0.5

then the winning probability of gambler A would be higher (the ruin probability would

be lower) as well as playing less duration for gaining the total of capital, if the value of

p

  = 0.4 then the winning probability of gambler A would be lower (the ruin probability

would be higher) as well as playing much duration for gaining the total of capital, and

if the value of p = 0.6 then the winning probability of gambler A would be higher

(the ruin probability would be lower) as well as playing less duration for gaining the

total of capital. Based on the analysis simulation results, it can be concluded that the

probability of the totally wins or ruins of gambler A, as well as the expected duration,

depends on the given value of p, q, and k.

  Keywords: gambler’s ruin, absorption probability, expected duration, simulation.

  

MOTO

”Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Sesungguhnya bersama

kesulitan ada kemudahan. Maka apabila engkau telah selesai (dari sesuatu

urusan), tetaplah bekerja keras (untuk urusan yang lain), dan hanya kepada

Tuhanmulah engkau berharap.”

  

Q.S. Al-Insyirah

94 : 5-8

  

PERSEMBAHAN

  Karya tulis ini kupersembahkan untuk ibu, ayah dan kakak tercinta yang telah memberikan segalanya, serta teman-teman yang selalu berbagi dalam suka dan duka.

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT atas segala nikmat, rahmat, dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bantuan, arahan, dan bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak berikut ini.

  1. Dra. Respatiwulan, M.Si., sebagai Pembimbing I, yang telah memberikan bimbingan materi, arahan, saran, dan motivasi,

  2. Vika Yugi Kurniawan, S.Si., M.Sc., sebagai Pembimbing II, yang telah mem- berikan bimbingan dalam penulisan skripsi, saran, dan motivasi,

  3. Aditya Candra Laksmana, S.Si., atas kerja sama, saran dan dukungan yang diberikan dalam pengerjaan skripsi, dan 4. seluruh pihak yang telah membantu dalam kelancaran skripsi ini.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih terdapat kekurangan, baik dari segi materi maupun penulisan. Oleh karena itu, bagi pembaca yang tertarik pa- da topik skripsi ini, dapat memperbaiki kekurangan tersebut. Semoga skripsi ini bermanfaat.

  Surakarta, Juli 2017 Penulis

DAFTAR ISI

  HALAMAN JUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i PENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii PERNYATAAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv ABSTRACT

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x DAFTAR TABEL

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii DAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

  I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 II LANDASAN TEORI 3 2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 2.2 Landasan Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 2.2.1 Proses Stokastik dan Rantai Markov Waktu Diskrit . . . .

  4 2.2.2 Probabilitas Transisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 2.2.3 Masalah Kebangkrutan Penjudi . . . . . . . . . . . . . . .

  6

  2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 III METODE PENELITIAN

  12 IV PEMBAHASAN 13 4.1 Konsep Masalah Kebangkrutan Penjudi . . . . . . . . . . . . . . .

  13 4.2 Algoritme Permainan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13 4.3 Simulasi Permainan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 V PENUTUP 22 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 DAFTAR PUSTAKA

  23 LAMPIRAN

  24 DAFTAR TABEL

  4.1 Hasil a ^k dan b ^k serta τ ^k apabila p = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . .

  15 4.2 Hasil a k dan b k serta τ k apabila p = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . .

  17

  4.3 Hasil a ^k dan b ^k serta τ ^k apabila p = 0.6 . . . . . . . . . . . . . . .

  19 DAFTAR GAMBAR

  4.1 Plot flowchart untuk menyimulasikan masalah kebangkrutan penjudi 14

  4.2 Plot banyaknya modal yang diperoleh serta ekspektasi banyaknya permainan pada k = 50, k = 40 dan k = 60 dengan p = 0.5 . . . .

  16

  4.3 Plot banyaknya modal yang diperoleh serta ekspektasi banyaknya permainan pada k = 50, k = 40 dan k = 60 dengan p = 0.4 . . . .

  18

  4.4 Plot banyaknya modal yang diperoleh serta ekspektasi banyaknya permainan pada k = 50, k = 40 dan k = 60 dengan p = 0.6 . . . .

  20

DAFTAR NOTASI

  k : modal awal penjudi

  N : modal total penjudi p : probabilitas kemenangan q : probabilitas kekalahan a

  k

  : probabilitas absorpsi bangkrut dengan modal awal k b

  k

  : probabilitas absorpsi menang total dengan modal awal k a

  kn

  : probabilitas absorpsi bangkrut permainan ke-n dengan modal awal k b

  kn

  : probabilitas absorpsi menang total permainan ke-n dengan modal awal k τ k : ekspektasi banyaknya permainan dengan modal awal k n : permainan ke-n X n : variabel random dari modal ke-n, untuk n = 0,1,. . . ,N S : ruang sampel T

  : himpunan indeks yang menyatakan waktu i : state ketika modal sebesar i j : state ketika modal sebesar j p

  ji

  : probabilitas transisi state i ke state j t : waktu a : parameter dari persamaan difference b : konstanta dari persamaan difference