Makalah 1 (Y.D. Sumanto)

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 3, 113 - 121, Desember 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
EKUIVALENSI INTEGRAL BOCHNER DENGAN INTEGRAL
MCSHANE KUAT UNTUK FUNGSI DENGAN NILAI DI DALAM
RUANG BANACH
Y.D. Sumanto
Jurusan Matematika FMIPA UNDIP
Abstrak
Integral McShane fungsi-fungsi bernilai real ekuivalen dengan
Integral Lebesque, namun untuk fungsi bernilai vektor tidak
selalu demikian. Dapat ditunjukkan bahwa Integral Bochner
(Integral Lebesque untuk fungsi bernilai vektor) ekuivalen
dengan Integral McShane kuat.
Kata kunci : Integral McShane, Integral McShane kuat, Integral
Bochner.
1. PENDAHULUAN
Integral McShane fungsi-fungi dengan nilai di dalam suatu Ruang
Banach didefinisikan sejalan dengan Integral McShane fungsi-fungsi bernilai
real, yaitu dengan menggantikan tanda nilai mutlak

.

dengan tanda

. . Gordon, 1994, menunjukkan bahwa Integral McShane ekuivalen

norm

dengan Integral Lebesque.
Dalam tulisan ini akan didefinisikan Integral McShane Kuat dan
ditunjukkan bahwa Integral Bochner ekuivalen dengan Integral McShane
Kuat.
Dalam tulisan ini

a, b

merupakan interval tertutup di dalam garis

real, X ruang Banach dengan norm

. . Fungsi-fungsi di dalam tulisan

ini dengan domain bilangan real dan dengan nilai di dalam X.

Fungsi

f : a, b  X dikatakan kontinu absolut kuat pada a, b jika untuk setiap
bilangan

 > 0 terdapat  > 0 sehingga jika

u k , v k  : k  1, 2, ... , n
113

Ekuivalensi Integral Bochner … (Y. D. Sumanto)
__________________________________________________________________
barisan

 v
n

k 1

k

interval

, uk  

tak

saling

tumpang

tindih

 f v  - f u 
n

berlaku

k

k 1

k



di

dalam

a, b

dengan

.

Fungsi f : a, b  X dikatakan terintegral Bochner pada a, b jika
dan hanya jika ada fungsi-fungsi kontinu absolut kuat F pada a, b dengan
F(x) = f(x) hampir di mana-mana pada

a, b .

Dalam hal ini derivatif F

adalah derivatif Frechet.
2. PEMBAHASAN
Berikut ini didefinisikan Integral McShane untuk fungsi bernilai
vektor.
Definisi 1
Fungsi f : a, b  X dikatakan terintegral McShane pada a, b jika
terdapat vektor A  X sehingga untuk setiap bilangan  > 0 tedapat fungsi
positif  pada

a, b

sehingga jika

x k , u k , v k  : k  1, 2, ... , n

dengan a =

u k , v k   x k - x k , x k  x k 

u1  v1  u 2  v 2 ... u n  v n  b dan
berlaku
n

 f x v
k 1

Himpunan

k

k

 uk  - A

pasangan titik interval

Definisi 1 disebut partisi -fine pada



.

x k , u k , v k  

a, b ,

seperti

dalam

dan vektor A  X dalam

definisi tersebut adalah tunggal dan disebut nilai integral f pada

a, b

dan

ditulis

A  M 

b

a

f.

Koleksi semua fungsi berniali vektor terintegral McShane pada a, b
ditulis Ma, b , X.

114

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 3, 113 - 121, Desember 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Sejalan

dengan

Integral

McShane

fungsi

bernilai

real

dapat

ditunjukkan bahwa :
1.

Jika f, g

Ma, b , X, maka f



Ma f  g   Ma
b

2.

a

b

cf  c M 

b

a

b



g

Ma, b , X

dan c skalar, maka c f  Ma, b , X dan

f.

f  Ma, b , X , maka f  Mc, d , X untuk setiap

Jika

dan

g

a

Jika f, g  Ma, b , X 

Ma
3.

f  M 

b

+

c, d



a, b .
4.

Jika

f

Ma

b

Ma, b , X



f  M 

c

a

f  M 

b

c

dan



c

a, b ,

maka

f.

Dari 3 dan 4 di atas diperoleh bahwa untuk setiap interval u, v 

a, b

terdapat vektor

M u

v

F(u,v) =

diperoleh integral tak tentu fungsi f pada

f

di dalam X. Dari sini

a, b ,

yaitu untuk setiap t 

a, b
Ft   M  f .
t

a

Fungsi f : a, b  X tersebut disebut fungsi primitif f pada a, b .
Berikut ini didefinisikan Integral McShane Kuat.
Definisi 2
Fungsi

a, b ,

f : a, b  X dikatakan terintegral McShane kuat pada

jika f  Ma, b , X dan untuk setiap bilangan  > 0 terdapat fungsi

positif  pada a, b sehingga
n


k 1

f x k v k - u k  - Fu k , v k  

115

Ekuivalensi Integral Bochner … (Y. D. Sumanto)
__________________________________________________________________

x k , u k , v k  : k  1, 2, ... , n pada



untuk setiap partisi -fine

Fu k , v k   Fv k  - Fu k , k  1, 2, ..., n.

Dalam hal ini

a, b
S Ma, b , X ,

Koleksi semua fungsi terintegral McShane kuat pada
S Ma, b , X.

dengan

 Ma, b , X.

f

a, b .

Jelas

Berikut

bahwa
ini

jika

akan

f



ditunjukkan

bahwa

jika

ditulis
maka
f



S Ma, b , X, maka f terintegral Bochner.
Theorema 3
Jika f  S Ma, b , X dengan primitif F, maka F kontinu absolut
kuat pada a, b .
Bukti
Diberikan sebarang bilangan  > 0, maka terdapat fungsi positif 
pada a, b sehingga

f x k v k - u k  - Fu k , v k  

n


k 1

untuk

setiap

partisi



-fine

2

x k , u k , v k  : k  1, 2, ... , n

pada

a, b .

Karena a, b kompak, maka dengan Theorema Heine-Borel terdapat koleksi
berhingga interval terbuka x k - x k , x k  x k  k  1, 2, ..., n,
dengan

x1  x2  . . .  n n

a, b   x k - x k ,
n

sehingga

x k  x k 

k 1

dan x k -1 - x k -1 , x k -1  x k -1 
Diambil
dan

1 

- x k 1 , x k 1  x k 1 

kosong.

  min 1 , 2  . Diambil koleksi interval tak saling tumpang tindih

dua

x k - x k ,
116

k 1

1
min  x k  : 1  k  n  ,  2 
2maks f x k  :1  k  n  1
2

 u k , v k  : 1  k
Ada

 x

 n dengan

kemungkinan

x k  x k 

n

 v
k 1

k

- uk    .

hubungan

antara

u k , v k 

dengan

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 3, 113 - 121, Desember 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________

u k , v k 

1. ada k sehingga



x k - x k ,

x k  x k 

2. ada k dan

ck 

x k - x k ,

u k , c k 
c k , v k 

yang memenuhi

Jika

a   , b    : 1 
k
j

x k  x k 

 x

k 1

- x k 1 , x k 1  x k 1 



x k - x k ,

x k  x k 



x k 1 - x k 1 ,

x k 1  x k 1 

j  rk  menyatakan interval u k , c k  , c k , v k  yang

k
j

termuat di dalam x k - x k , x k  x k  , maka
Selanjutnya diperoleh

 Fv  - Fu 
n

k 1

k

k

n

rk 

 

 

 

 

  F b jk  - F a jk 
k 1 j1
n

rk 

  F b jk  - F a jk 
k 1 j1

rk 



  f x k  b jk  - a jk 
n



- f x k  b jk  - a jk 





k 1 j1




2
2

 maks  f x k  : 1  k  n 


2

n

 v
k 1

k

- uk 



Jadi F kontinu absolut kuat.
Theorema 4
Jika f  S Ma, b , X
hampir di mana-mana pada

dengan primitif F, maka F (x) = f (x)

a, b .

Bukti
Diambil A himpunan t 

a, b

sehingga F (t) tidak mempunyai

darivatif atau F (t)  F (t). Akan ditunjukkan bahwa

μ A  dengan μ A 

ukuran luar A. Karena f  S Ma, b , X, maka untuk setiap

 < 0
117

Ekuivalensi Integral Bochner … (Y. D. Sumanto)
__________________________________________________________________

a, b

-fine pada

partisi

a, b

 pada

terdapat fungsi positif

- u k  - Fu k - v k 

n

Tanpa

t  

lim

k 

k

k

mengurangi

sifat

0 untuk t 

a, b .

sehingga untuk setiap

k

x k , u k , v k k 1
n

berlaku

 f x v
k 1



sehingga jika

t 

umum



diambil

k

t 

t 



dan

Diambil t  A, maka ada ηt   0

terdapat

u k  t, t 

k

t 

sehingga

Fu k  - Ft  - f t u k - t   ηt u k - t 
atau terdapat v k  t -

k

t , t 

sehingga

Ft  - Fv k  - f t t - v k   ηt t - v k 
Namakan

1

A n  t  A :  t   
n

n = 1, 2,

… ,



maka

A

n

 A.

Diperoleh

bahwa

t, u k 

dan

n 1

v k , t 
atas

k =1, 2, … merupakan liput Vitali dari An , maka untuk  > 0 di

terdapat

v k , u k kr 1

sehingga

μ A n  
dengan u k  a k atau
maka

 u
r

k 1

k

, vk  

,

v k  a k dan a k  A n . Karena u k  v k

a k , v k , a k  : 1 

k  r merupakan partisi -fine.

Jadi

μ A n  


 u
r

k 1
r



k

Fu k  - Fu k  - f a n u k - v k 
η a n 

k 1

 n
Jadi
118

- vk  



μ A n   0 , yang berarti

μ A  0.





a k 

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 3, 113 - 121, Desember 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
Dari

kedua

theorema

di

depan

diperoleh

bahwa

jika

f



S Ma, b , X, maka f terintegral Bochner pada a, b .
Fungsi f : a, b  X terintegral Bochner pada a, b jika terdapat
fungsi sederhana

w n x  pada a, b sehingga lim w n x   f x  h.d. pada

a, b

f x  - w n x   0 . Integral Bochner f pada a, b adalah

dan lim

n 



b

a

n 



b



f  lim

n 

a

b

a

wn

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa jika f terintegral Bochner maka f
terintegral McShane kuat.
Theorema 5
Jika f terintegral Bochner pada

a, b ,

maka f  S Ma, b , X .

Bukti
Diketahui f terintegral Bochner pada

w n x  pada

fungsi sederhana
pada

a, b



lim

dan

n 

a, b

a, b ,

maka terdapat barisan
lim w n x   f x  h.d.

sehingga

n 

f x  - w n x   0 . Mudah ditunjukkan bahwa

b

a

untuk setiap bilangan  > 0 terdapat bilangan asli N 1 sehingga jika n, m 

N 1 berlaku



w n x  - w m x  

b

a

.

Untuk  > 0 tersebut terdapat barisan berhingga interval tak saling
tumpang

a k , b k  : 1 

tindih

k  r

dengan

a  a 1  b1  a 2  b 2  . . .  a r  b r  b sehingga

 W a
r

n

k 1

dengan

Wn u, v  

k

, b k  - Wm a k , b k  

 w x , n
v

u

n

 1, 2 , . . . .

119

Ekuivalensi Integral Bochner … (Y. D. Sumanto)
__________________________________________________________________
lim w n x   f x 

Karena

untuk setiap x 

a, b

a, b ,

maka tanpa mengurangi arti

bilangan

 > 0 di depan terdapat

h.d. pada

n 

dan untuk

bilangan asli N, sehingga jika n  N 2 , maka berlaku

w n x  - f x  
Dapat ditunjukkan bahwa setiap fungsi sederhana terintegral McShane kuat.
 > 0

Oleh karena itu, untuk

a, b ,

di atas terdapat fungsi positif

 (x k , a k , b k  : 1 

sehingga jika

k  r partisi

n

-fine pada

n

pada

a, b

berlaku

 w x b
r

n

k 1

Untuk setiap n = 1, 2, . . .

k

n

k

- ak

x  

-

n 1

Wn a k , b k  

x  x   a, b.

■
Dari sini diperoleh

bahwa untuk setiap n  N berlaku

 W a
r

n

k 1

k

, b k  - Fa k , b k 

Selanjutnya diambil n  N dan

 (x k , a k , b k  : 1 

partisi -fine

 f x b
r

k

k 1

k

x  

n

k  r pada



■

x 

pada a, b , maka untuk

a, b

diperoleh

- a k  - Fa k , b k 

  f x k b k - a k  - w n x k b k - a k    w n x k b k - a k  - Wn a k , b k  
r

r

k 1

k 1

 W a
r

k 1

n

k

, b k  - Fa k , b k 

  f x k  - w n x k  b k - a k  
r



k 1



b - a  

2





Jadi f  S Ma, b , X.
Dari Theorema 3, 4, dan 5 diperoleh bahwa f  S Ma, b , X , jika
dan hanya jika f terintegral Bochner pada
120

a, b .

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 4. No. 3, 113 - 121, Desember 2001, ISSN : 1410-8518
__________________________________________________________________
DAFTAR PUSTAKA
1. Congxin, W U dan Xiaobo Yao, A Riemann-Type Definition of the
Bochner Integra, Journal of Mathematical Study : Xiamen, China, 1994.
2. Gordon, Russell A, The Integrals of Lebesque, Denjoy, Perron, and
Henstock, American Mathematical Society, USA, 1994.……..

121