soal untuk angkatan 2010 ms word

SALINLAH BACAAN BERIKUT INI KE DALAM KE DALAM BAHASA
MICROSOFT OFFICE WORD.

Salah satu pokok bahasan mata kuliah yang ada di program srudi matematika
adalah persamaan diferensial. Apakah diferensial dan bagaiamana penjabarannya. Bacalah
dengan seksama bacaan dibawah ini.
Persamaan Diferensial (PD)
Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada

pembahasan sebelumnya, terlihat bahwa jika y  f (x) maka dihasilkan turunan fungsi
dy
 f ' ( x). Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu
dx

dalam bentuk

persamaan yang memuat turunan (derevative).
Misal

y  sin 2 2 x diperoleh

dy
 4 sin 2 x cos 2 x
dx

atau

( 4 sin 2 x cos 2 x ) dx  dy  0.

Demikian halnya jika f ( x, y )  0 maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan
dalam bentuk diferensial,
d ( y )  d (cos

yaitu dy dan dx. Misal





 xdy
ydx 

xy )  0 atau dy  sin xy 
 0.

 2 xy 2 xy 



y  cos xy  0

diperoleh

Berdasarkan contoh-contoh tersebut, tampak bahwa turunan suatu fungsi membentuk
persamaan yang memuat derevative atau diferensial.
Selanjutnya perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini.
1. 2 x dx  3 dy  0
2.

dy
 3  2x
dx

3.

dy
 2 xy  4 x
dx

4.

d 2 y dy

 2y  0
dx 2 dx

5.

d3y d2y

 4y  0
dx 3 dx 2

6.

 y ' '2  ( y ' ) 3  3 y  x 2

7. y ' '   y '  y '
3

Micosoft Office word 2007-

1

8.

9.

z
z
zx
0

x
y

2z 2z
 2  x2  y
2
x
y

10. x

z
z
y
z
x
y

Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, juga memuat tanda turunan
(derevative)

dy
atau memuat tanda diferensial dy atau dy. Sehingga persamaan yang
dx

memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial.

Definisi:
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit
satu turunan atau diferensial dari suatu FUNGSI YANG BELUM DIKETAHUI.
Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa,
misalnya

dy
maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial biasa, sebaliknya jika
dx

turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya

z

z
dan
, maka persamaannya
y
x

dinamakan persamaan diferensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan
persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan
persamaan diferensial parsial.
Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial
dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan
diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut,
sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi
dalam persamaan diferensial yang diberikan.
Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.

1. 2 xdx  3dy  0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan
tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan berpangkat satu.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini.
2.

dy
 3  2 x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
dx
Micosoft Office word 2007-

2

3.

dy
 2 xy  4 x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
dx

4.

d 2 y dy

 2 y  0 , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
dx 2 dx

5.

d3y
dx 3

d2y
dy
- 4 + 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)
2
dx
dx

6. ( y" ) 2  ( y ' ) 3  3 y  x 2 , persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)
7. y ' '  ( y ' ) 3  y ' , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
8.

9.

z

z
zx
 0 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
x
y

2z 2z

 x 2  y , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)
x 2 y 2

10. x

z
z
y
 z , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)
x
y

Untuk dapat menyelesaikan beberapa persamaan diferensial, maka harus dipahami
beberapa rumus pokok integral, misalnya:
1)
2)

3)



u 2  a 2 du 

u
a2
u2  a2 
ln u  u 2  a 2  c, a  real
2
2

 sin au cos bu du  

 a

du

2

u



2 n

du 

1
a2

cos( a  b)u cos( a  b)u
 c, jika a 2  b 2

2(a  b)
2(a  b)


u

 ( 2 n  2) a 2  u 2






n 1



2n  3
du

2n  2 a 2  u 2

u
tan 2    3  2 2
sin u
1
 2
4) 
2 ln
du 
c
2
4
1  sin u
2u 
tan    3  2 2
 2





n 1


 jika n  1



Micosoft Office word 2007-

3