M01241
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL
ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL
DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA
Suryasatriya Trihandaru
Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga
[email protected]
ABSTRAK
Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan
diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah
persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut
jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu
perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut
jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan
diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real.
Kata-kata kunci: elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta
PENDAHULUAN
Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal
yang menggambarkan aliran arus ionik yang
menyebabkan
jantung
berkontraksi
dan
berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan
merekam perbedaan potensial antara beberapa
elektroda yang diletakkan di kulit manusia.
Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncakpuncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf
P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat
peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan
ventrikel.
EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran,
karena informasi tentang penyakit yang diderita
pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk
sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan
untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien
melalui EKG tidak hanya menjadi ranah
kedokteran, namun juga merambah ke disiplin
ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan
matematika. Di samping masalah akuisisi data
EKG yang biasanya mengandung banyak derau
sehingga analisa datanya memerlukan berbagai
metoda, pemodelan matematika EKG juga
penting. Salah satu model EKG sintesis yang
sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang
diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya
berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa.
Dalam makalah ini bagian atraktor (dua
persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi,
sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari
sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak
mengandung atraktor dalam bentuk persamaan
diferensial, dinamika model EKG diperkaya
dengan cara memperkenalkan perioda yang
bergantung waktu secara piecewise continue, yang
variasinya mengikuti distribusi gamma.
Beberapa hasil simulasi ditampilkan di makalah
ini. Dengan input data perioda τ yang berdistribusi
gamma, hasil simulasi juga memperlihatkan
bahwa interval RR juga memiliki distribusi yang
mirip, walaupun parameter distribusinya berubah.
Bahkan amplitudo R juga bervariasi walaupun di
setiap periode, input amplitudo untuk P, Q, R, S
dan T (ai) dibuat konstan.
270
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
TINJAUAN PUSTAKA
Tabel 2. Nilai QTc yang direkomendasikan
untuk mendiagnosa QTc panjang
Katagori
1-15 tahun
Laki-laki
Perempuan
(detik)
dewasa
dewasa
(detik)
(detik)
Normal
< 0,44
< 0,43
< 0,45
Batas
0,44-0,46
0,43-0,45
0,45-0,47
Panjang
> 0,46
> 0,45
> 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR
dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut
dibedakan antara normal dan tidak abnormal
hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc
masuk dalam katagori panjang.
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan
batas-batas normal diberikan di makalah.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh
McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga
persamaan diferensial biasa, yaitu
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti
penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat
dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan
aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q
menggambarkan awal dari fase depolarisasi
ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan
fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S
secara bersama disebut sebagai kompleks QRS.
Gelombang T menggambarkan repolarisasi
ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T
masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan
tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada
setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval
untuk manusia normal dalam detik ditampilkan
pada Tabel 1 berikut ini.
x αx ωy
y αy ωx
z
(1)
θ
ai θ i exp
iP ,Q , R , S ,T
2b
2
i
2
i
( z z 0 )
dengan α 1 x 2 y 2 ,
θ i (θ θ i ) mod 2π dan θ arctan 2( y, x).
Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi
kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan
frekuensi f yang berbentuk
z 0 (t ) A sin(2πft )
(2)
Bagian pertama dan kedua Persamaan (1)
membentuk trayektori yang mengitari sebuah
atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus
dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang
berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG
Interval
Batas normal
Keterangan
(detik)
PR
0,12-0,20
QRS
0,46
> 0,45
> 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR
dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut
dibedakan antara normal dan tidak abnormal
hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc
masuk dalam katagori panjang.
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan
batas-batas normal diberikan di makalah.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh
McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga
persamaan diferensial biasa, yaitu
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti
penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat
dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan
aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q
menggambarkan awal dari fase depolarisasi
ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan
fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S
secara bersama disebut sebagai kompleks QRS.
Gelombang T menggambarkan repolarisasi
ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T
masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan
tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada
setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval
untuk manusia normal dalam detik ditampilkan
pada Tabel 1 berikut ini.
x αx ωy
y αy ωx
z
(1)
θ
ai θ i exp
iP ,Q , R , S ,T
2b
2
i
2
i
( z z 0 )
dengan α 1 x 2 y 2 ,
θ i (θ θ i ) mod 2π dan θ arctan 2( y, x).
Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi
kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan
frekuensi f yang berbentuk
z 0 (t ) A sin(2πft )
(2)
Bagian pertama dan kedua Persamaan (1)
membentuk trayektori yang mengitari sebuah
atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus
dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang
berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG
Interval
Batas normal
Keterangan
(detik)
PR
0,12-0,20
QRS
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
MODEL PERSAMAAN DIFERENSIAL
ELEKTROKARDIOGRAM DENGAN INTERVAL
DENYUT BERDISTRIBUSI GAMMA
Suryasatriya Trihandaru
Program Studi Fisika (Medis) Universitas Kristen Satya Wacana
Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga
[email protected]
ABSTRAK
Model matematika denyut jantung atau elektrokardiogram biasanya berupa berupa sistem (tiga baris) persamaan
diferensial biasa orde satu. Dari model tersebut dibuat model yang lebih sederhana, yaitu hanya mengandung sebuah
persamaan diferensial orde satu. Model ini diselesaikan dengan metoda numerik, yaitu Runge Kutta. Interval denyut
jantung yang berdistribusi gamma dapat dipasang pada model dengan cara mengubah nilai perioda untuk satu
perioda gelombang berikutnya. Hasil simulasi dianalisis kembali distribusinya, dan menghasilkan interval denyut
jantung dengan distribusi yang mirip. Dengan demikian model dinamika yang hanya berupa sebuah persamaan
diferensial orde satu ini bisa merepresentasikan dinamika jantung yang real.
Kata-kata kunci: elektrokardiogram, pemodelan matematika, persamaan diferensial, Runge Kutta
PENDAHULUAN
Sinyal elektrokardiogram (EKG) adalah sinyal
yang menggambarkan aliran arus ionik yang
menyebabkan
jantung
berkontraksi
dan
berelaksasi. Sinyal EKG diperoleh dengan
merekam perbedaan potensial antara beberapa
elektroda yang diletakkan di kulit manusia.
Sebuah perioda normal EKG terdiri dari puncakpuncak yang biasanya dilambangkan dengan huruf
P, Q, R, S dan T. Dalam satu perioda ini terdapat
peristiwa depolarisasi/repolarisasi dari atrium dan
ventrikel.
EKG berkaitan erat dengan dunia kedokteran,
karena informasi tentang penyakit yang diderita
pasien salah satunya bisa diperlihatkan dari bentuk
sinyal EKG. Usaha-usaha yang dikembangkan
untuk membantu dokter untuk mendiagnosa pasien
melalui EKG tidak hanya menjadi ranah
kedokteran, namun juga merambah ke disiplin
ilmu lain, misalnya disiplin teknik elektonika dan
matematika. Di samping masalah akuisisi data
EKG yang biasanya mengandung banyak derau
sehingga analisa datanya memerlukan berbagai
metoda, pemodelan matematika EKG juga
penting. Salah satu model EKG sintesis yang
sangat mendekati bentuk nyata EKG adalah yang
diberikan oleh McSharry dkk [1], yang bentuknya
berupa sistem tiga persamaan diferensial biasa.
Dalam makalah ini bagian atraktor (dua
persamaan) ditiadakan, dan diganti suatu fungsi,
sehingga dinamikanya hanya dihasilkan dari
sebuah persamaan diferensial. Walaupun tidak
mengandung atraktor dalam bentuk persamaan
diferensial, dinamika model EKG diperkaya
dengan cara memperkenalkan perioda yang
bergantung waktu secara piecewise continue, yang
variasinya mengikuti distribusi gamma.
Beberapa hasil simulasi ditampilkan di makalah
ini. Dengan input data perioda τ yang berdistribusi
gamma, hasil simulasi juga memperlihatkan
bahwa interval RR juga memiliki distribusi yang
mirip, walaupun parameter distribusinya berubah.
Bahkan amplitudo R juga bervariasi walaupun di
setiap periode, input amplitudo untuk P, Q, R, S
dan T (ai) dibuat konstan.
270
Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW
Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922
TINJAUAN PUSTAKA
Tabel 2. Nilai QTc yang direkomendasikan
untuk mendiagnosa QTc panjang
Katagori
1-15 tahun
Laki-laki
Perempuan
(detik)
dewasa
dewasa
(detik)
(detik)
Normal
< 0,44
< 0,43
< 0,45
Batas
0,44-0,46
0,43-0,45
0,45-0,47
Panjang
> 0,46
> 0,45
> 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR
dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut
dibedakan antara normal dan tidak abnormal
hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc
masuk dalam katagori panjang.
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan
batas-batas normal diberikan di makalah.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh
McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga
persamaan diferensial biasa, yaitu
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti
penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat
dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan
aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q
menggambarkan awal dari fase depolarisasi
ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan
fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S
secara bersama disebut sebagai kompleks QRS.
Gelombang T menggambarkan repolarisasi
ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T
masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan
tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada
setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval
untuk manusia normal dalam detik ditampilkan
pada Tabel 1 berikut ini.
x αx ωy
y αy ωx
z
(1)
θ
ai θ i exp
iP ,Q , R , S ,T
2b
2
i
2
i
( z z 0 )
dengan α 1 x 2 y 2 ,
θ i (θ θ i ) mod 2π dan θ arctan 2( y, x).
Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi
kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan
frekuensi f yang berbentuk
z 0 (t ) A sin(2πft )
(2)
Bagian pertama dan kedua Persamaan (1)
membentuk trayektori yang mengitari sebuah
atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus
dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang
berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG
Interval
Batas normal
Keterangan
(detik)
PR
0,12-0,20
QRS
0,46
> 0,45
> 0,47
Ditunjukkan juga pada [3] bahwa hubungan RR
dan QT cukup linear. Di makalah [3] tersebut
dibedakan antara normal dan tidak abnormal
hanya dengan melihat Tabel 1. Abnormal jika QTc
masuk dalam katagori panjang.
Gambar 1. Profil satu siklus EKG. Arti dan
batas-batas normal diberikan di makalah.
Dinamika sinyal EKG sintesis dimodelkan oleh
McSharyy dkk [1], yang bentuknya terdiri dari tiga
persamaan diferensial biasa, yaitu
Dalam bukunya [2], Soetopo menjelaskan arti
penting bagian-bagian EKG yang simbolnya dapat
dilihat pada Gb 1. Gelombang P menggambarkan
aktivitas depolarisasi atria. Gelombang Q
menggambarkan awal dari fase depolarisasi
ventrikel. Gelombang R dan S menggambarkan
fase depolarisasi ventrikel, Gelombang Q, R dan S
secara bersama disebut sebagai kompleks QRS.
Gelombang T menggambarkan repolarisasi
ventrikel. Selain gelombang P, Q, R, S dan T
masih ada gelombang Ta yang menggambarkan
proses repolarisasi atria, namun terlalu kecil dan
tertutup oleh kompleks QRS. Gelombang U ada
setelah T namun juga kecil. Beberapa nilai interval
untuk manusia normal dalam detik ditampilkan
pada Tabel 1 berikut ini.
x αx ωy
y αy ωx
z
(1)
θ
ai θ i exp
iP ,Q , R , S ,T
2b
2
i
2
i
( z z 0 )
dengan α 1 x 2 y 2 ,
θ i (θ θ i ) mod 2π dan θ arctan 2( y, x).
Kecepatan sudut diberikan oleh ω dan fungsi
kurva dasar z0 merupakan efek pernafasan dengan
frekuensi f yang berbentuk
z 0 (t ) A sin(2πft )
(2)
Bagian pertama dan kedua Persamaan (1)
membentuk trayektori yang mengitari sebuah
atraktor dengan jari-jari x,y. Dalam satu siklus
dimodelkan sinyal elektrokardiogram yang
berbentuk standar PQRST oleh bagian ketiga (z).
Tabel 1. Nilai-nilai normal interval EKG
Interval
Batas normal
Keterangan
(detik)
PR
0,12-0,20
QRS