MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN

  

MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN

_{Irmawati Liliana. KD}

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati

_{irmawati.liliana@gmail.com}

_{Bentuk kanonik Jordan terbentuk apabila terdapat suatu matriks A dengan nilai eigen}

Abstrak

₁

_{matriks transisi Q dimana entri-entri matriks transisi Q adalah vektor u sehingga didapat Q}

_{u. u adalah vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A, maka akan didapat}

_{AQ = J, dimana J adalah bentuk kanonik Jordan.} λ dan _{- maka similar dengan matriks J yang berbentuk:}

Suatu matriks persegi A dengan ordo nxn yang mempunyai s vektor eigen yang bebas linier,

   J



^{1 }  

   ₁ J ₂ ^-   J  Q AQ      

      J   _{s J dinamakan bentuk kanonik Jordan dengan tiap} J _{dimana i} (i = 1, 2,….., s) dinamakan blok Jordan,

    ₁ 1        

  J _i 

  

1   

     _i

_{bebas linier dari A. Matriks Q kolom-kolomnya merupakan vektor eigen dan vektor eigen}

_{Dengan λ adalah nilai eigen tunggal dari matriks A dan mempunyai s vektor eigen yang}

_i  

_{Kata kunci: Bentuk Kanonik Jordan, Nilai Eigen, Vektor Eigen, Vektor Eigen Tergeneralisir}

tergeneralisir dari matriks A.

  A.

_{dikhususkan dalam kajian aljabar linear. Matriks adalah susunan segiempat siku-}

_{Matriks merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika, yang lebih}

PENDAHULUAN

_{menjadi matriks diagonal kita ketahui sebagai proses diagonalisasi matriks yang}

_{entri dalam matriks (Howard Anton,2002). Proses membentuk suatu matriks}

siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan

_diagonal.

_{mendiagonalisasikan matriks A sedemikian sehingga P A P adalah matriks}

memerlukan nilai eigen dan vektor eigen. Sebuah matriks yang nonsingular P dapat

₋₁

  

_{suatu matriks tidak dapat didiagonalisasikan maka harus dicari vektor-vektor eigen}

_{dari matriks tersebut. Ada berbagai macam bentuk kanonik diantaranya bentuk}

Suatu matriks dapat dibawa ke bentuk kanonik jika dapat didiagonalisasikan. Jika

_{terjadi bila suatu matriks A dengan nilai eigen  dan u adalah vektor eigen dan}

_{memperdalam salah satu bentuk yaitu bentuk kanonik Jordan. Kanonik Jordan}

kanonik rasional, Jacobian, triangular dan Jordan. Pada kesempatan ini peneliti ingin

_{adalah bentuk kanonik Jordan.}

_{dimana matriks transisi Q adalah vektor u sehingga didapat Q AQ = J dimana J}

vektor eigen tergeneralisir dari matriks A maka akan didapatkan matriks transisi Q,

_-1

_{dipelajari terlebih dahulu dasar-dasar aljabar linear seperti sistem persamaan linear,}

_{Jordan menggunakan konsep-konsep aljabar linear. Oleh karena itu penting sekali}

Dalam artikel ini dibahas bagaimana membawa matriks ke dalam bentuk kanonik

_B. ruang vektor, matriks, dimensi dan basis. _{mempunyai vektor eigen yang bebas linier.}

_{Suatu matriks A dengan ordo nxn dikatakan dapat didiagonalisasi jika hanya jika A}

KAJIAN PUSTAKA

_{Bila  , nilai eigen A dengan berturut-turut m  ,m   , dimana m  (i =}

  1 ^{2 1 2 i} ,…,  _{i } ,…,m 

1,…, ) adalah banyaknya nilai eigen  dan dim ( E ) adalah dimensi ruang eigen

_{hal ini mengakibatkan A mempunyai cukup vektor eigen dengan nilai eigen . Maka maka dim ( E ) + dim ( E ) +…+ dim ( E )  = m +m +…+m  = n}  _{      1 2 -1 1 2 Matriks A dengan nilai eigen  dengan m}

didapat matriks Q sedemikian hingga Q AQ = D dimana D adalah matriks diagonal.

_{yang berhubungan dengan  kurang dari m , maka 1 dim( E ) m , ini berarti}

_{ 1, serta vektor eigen yang bebas linier   }

_{D adalah matriks diagonal. Kolom matriks transisi Q merupakan vektor-vektor}

_{tidak mungkin untuk menemukan matriks Q sedemikian hingga Q AQ = D dimana}

bahwa A tidak mempunyai cukup vektor eigen dengan nilai eigen . Karena itu

_{-1 1.} eigennya. Vektor-vektor ini dinamakan vektor eigen tergeneralisir.

_{Jika A matriks persegi dengan ordo nxn yang mempunyai s vektor eigen yang bebas}

_{linier, maka similar dengan matriks J yang berbentuk} Bentuk Kanonik Jordan

   J ¹

     

   ₁ J ^{2 -}   J  Q  AQ

        

    J s

   

  _{Jordan yang berbentuk matriks segitiga}

_{J dinamakan bentuk kanonik Jordan dengan tiap J (i = 1,2,…,s) dinamakan blok}

i

  

  1  ^{1 }  

      

  J  _i    

  1  

     _{i bebas linier dari A. Q adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen dimana  adalah nilai eigen tunggal dari matriks A dan s adalah vektor eigen yang i}   _{Oleh karena itu matriks diagonal tersebut dinamakan bentuk kanonik Jordan.}

_{Bentuk kanonik Jordan adalah matriks diagonal dengan nilai eigen pada diagonal.}

dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A. (Bill Jacob, 1990) 2. _{Teori basis dapat digunakan pada vektor eigen tergeneralisir untuk menghasilkan}

_{balikan matriks transisi Q sehingga transformasi ini menyebabkan matriks A}

Vektor Eigen Tergeneralisir

_{Vektor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan matriks Au = u }

menjadi bentuk kanonik jordan. _u

  A I . Sedangkan vektor eigen tergeneralisir u merupakan penyelesaian dari ^r

• _{ditulis menjadi }

    _{persamaan matriks Au =  u + u .}

_{u adalah vektor eigen tergeneralisir dari vektor eigen u . Persamaan ini dapat}

  _{r r r r r-1 r-1}

  A

• Contoh 1

  I ^{u u} _{r  r 1 . Dimana r adalah rank dari matriks A. Jika u adalah} ¹

_{vektor eigen, u adalah vektor eigen tergeneralisir dari vektor eigen u , dan}

_seterusnya.  r   _{2 1}

  2

  1

  4   _{Cari bentuk kanonik jordan dari matriks}  

  A  2 

  1    3  _{Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas sesuai dengan teorema maka nilai Jawab:}   _{eigen yang di dapat  = =2 dan  =3}

  1 ^{2 3 1}

   _{= =2 maka} ² Untuk 

  1

  4

  1

  4         _{H 32(1)}

  A

  2I   1 

  1

   

•        

  1 _{Vektor eigen yang berhubungan dengan =2 adalah rank =2 dan dim ( E ) adalah 1.}     _{ 1}

   

      

       

      

  1 x x x _{3 2} ¹

  maka didapat x ^{3 = 0 , x 2 = 1, dan x 1 = t} _{maka vektor eigen tergeneralisir yang bersesuaian dengan =2 adalah vektor tak} nol yang berbentuk x =

      

      

       

       1 t

  1 t

  jadi vektor eigen tergeneralisirnya adalah u ^{2 =}

      

       1 .

   Untuk  ^{3 =3 ,maka}  

      

    

  1     

  

  1

  1

  4

  1

  1

  3I - A H ¹²⁽¹⁾     

      

    

  1

  1

  3

  1

   

      

  4

  2I - A _{x = 0 }

      

      

      

       

      

      

      

   x x x

  1

  4

  1 _{3 2 1}

  persamaannya menjadi x ^{2 + x}

• _{- x} ^{3 = 0}
_{3 = 0 misal x 3 =0 , x 2 =0 dan x 1 =t maka vektor eigen yang bersesuaian dengan =2} adalah vektor tak nol yang berbentuk

      

      

       

  

  1

  1 t t x

  jadi u ¹

      

      

  

  1

  

Untuk mencari vektor eigen tergeneralisir dengan rank 2 dan  =2 digunakan

_{persamaan :}   ^{1 r r u u  }

  I - A _{ r }   ^{1 2 u u}

  

  I A 2 - _

      

      

  

  1

  3I - A _{x = 0}

  

  1 3 x ¹       _      

   1  1 x  ₂             x _{3 persamaannya menjadi -x + 3x = 0}       _{- x – x = 0 1 2 3 3 terdapat satu variabel bebas, misal x x = 1 , x = -1 dan x = 3 3 2 1}

  3

  3   _{maka vektor eigen yang bersesuaian dengan  =3 adalah u = 3}  

  

  1    

  1 _{Didapat himpunan vektor {u u u } 1, 2, 3}  

  1

  3 1 

  3     ₁ ^-

      Q  1  1 sehingga Q 

  1

  1        

  1

  1     ₁  1  3  

  2

  1 4  

  1 3  ^-       Q AQ 

  1

  1 2 

  1 1 

  1            

  1

  1

  3

  1      

  2

  1    

  

  2    3    j

   ^{1 }  j ₂

   

  2

  1 _{dimana j dan j }   _{1  2} 3 .

   

  2 _{Contoh 2}  

_{Cari Q sehingga Q AQ = J. J adalah bentuk kanonik jordan dari matriks}

-1

  2

  1

•  

  2  

  3 1 -   A 

  

  1 1    _Jawab:

  1

• 2

  3

  5  

  1

  2   

  3

  1    A

• 1

  I

   

  1  

  1

  3

  5   

  _{Persamaan eigen A adalah 4}

₃

₂

  3 A 

  I    11   - 42   68   40    2   5  _{Maka nilai-nilai eigen yang didapat  = = =2, dan  =5 1 2}

₃

₄   

   ¹ _{= = =2, maka} ^{2 3} Untuk 

  1

  2

  1

  2          

  1

  1

  1

  1     32(-1)   A

  2I  H  

• 

  1 1        

  1

  3

  3

  1

  3   _{Vektor eigen yang berhubungan dengan =2 adalah rank = 3 dan dim ( E ) adalah 1}     _ A

  2I x = 0  

• 

  1 2 x    ^{1   }       1 

  1 x _{2  }          x    ₃

         x

  1

  3

  3 ⁴ _{persamaanya menjadi -x + 2x = 0}       _{x - x = 0 2 2 3 3 misal x =0, x =0, x =0 dan x =t terdapat 2 variabel bebas x dan x 2 3 x - 3x + 3x = 0 4}

  2 _{2 1} ^{3 4} ₃ t

  1         _{x = t}                 

  1     _{Jadi u = 1}    

    _{persamaan :}

_{Untuk mencari vektor-vektor eigen tergeneralisir dengan rank 3 dan  =2 digunakan}

  u u

  A - r r

  I ¹

   ^{r }

     ^{2 1} A -

   1 2 x

  2I u = u  

  1   ^{1 }

           

  1 1 x  ²

       

   

  

  1 1   x     ³

       

  1

  3 3 x  ⁴ _{persamaanya menjadi -x + 2x = 1}       _{2 3} x ^{2 - x 3 = 0} _{x 2 - 3x 3 + 3x 4 = 0 terdapat 2 variabel bebas x 2 dan x 3} misal x ^{2 =1, x 3 =1, maka x 4 =} ₃ ^{2 dan x 1 =t} _{x =}

       

        

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  persamaanya menjadi -x ^{2 + 2x 3 = 0} _{x 2 - x 3 = 1 x 2 - 3x 3 + 3x 4 = 3 2} didapat x ^{3 =1, x 2 =2, x 4 =} ₉ ^{5 dan x 1 =s} _{u 3 =}

       

       

        

       

       

  3

  9 ^{5 9 5}

  1

  2

  1 s

  1

  2 s

  Jadi u ^{3 =}

       

       

  9 ⁵

  1

  2

   Untuk  ^{4 =5, maka}  

  3

  1 x x x x

       

       

        

       

        

       

  3 ^{2 3 2}

  1

  1

  1 t

  1

  1 t

  Jadi u ^{2 =}

       

  3 ²

  1

  1

  1

    

  2I - A _u ³ _{= u} ² 

       

       

        

       

       

       

    

  

  3 ^{2 4 3 2 1}

  5I - A x = 0

• 2x
^{2 - x}
• _{- x} ^{3 = 0}
_{2 - 4x 3 = 0 x 2 - 3x 3 = 0} terdapat 2 variabel bebas x ^{2 dan x 3} _{misal x 2 =0, x 3 =0, x 1 =0 dan x 4 =s} x =      

  1

  1

  1

  1

  3

  5

  1

  1

  2

  1

  3

  1

   

   

       

        

   

       

       

  1

  2

  1 Q _{9 7 9 1} ^{1 -}      

  

   

   

  2

  1

  2

  1

  2

  5

       

  1

       

  1 AQ Q _{9 5 3 2 9 7 9 1} ^{1 -}

  1

  2

  1

  1

  1

  2

       

  1

  

  1

  4 ^{3 2 1} _{persamaanya menjadi 3x 1 - x 2 + 2x 3 = 0}

  3

  1

  2

  2

  1

  1

  4

  3

         

     x x x x

   

       

       

       

        

       

       

       

      

  2

  2

  1

  1

  1

   

   

       

  1 Q _{9 5 3 2} ^sehingga      

  1

  1

  1 s _{Jadi u} s _{4 =} 

  1

  1

  

       

       

  1 _{Didapat himpunan vektor {u 1, u 2, u 3, u 4 }}

      

       

   ₂ ¹ j j

  2

  1   _{dimana dan j}   5 . j  ₁

  2 1  _{2  }    

  2 _{Apabila A suatu matriks persegi yang mempunyai vektor eigen yang bebas}  

  

linier dan J bentuk kanonik jordan maka sesuai definisi akan diperoleh bentuk:

_{1 -}  J ^{1 }

    Q AQ J

  J s _{matriks A dan J (i=1,2,..,s) adalah blok Jordan. dimana entri-entri dari Q adalah vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari i}   C.

_{Suatu matriks persegi A dengan ordo nxn dan mempunyai vektor eigen yang bebas}

_{linier, maka vektor eigen tersebut similar dengan matriks J yang berbentuk} KESIMPULAN DAN SARAN J  ₁

      ₁  J  ₂

    ^- J Q AQ

          

    J _{s blok jordan Dimana J dinamakan bentuk kanonik jordan dengan tiap J (i=1,2,…,s) dinamakan}   _i  i

  1    

      

  J i     

  1  

     i _i  

_{Vektor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan matriks Au = u }

_{vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A.}

 adalah nilai eigen tunggal dari matriks A, matriks Q kolom-kolomnya merupakan

  u

_{penyelesaian dari persamaan matriks Au =  u + u . u adalah vektor karakteristik}

_{tergeneralisir dari vektor karakteristik u . Persamaan ini dapat ditulis menjadi}

A
• u ^u

  _{atau pedoman penelitian lebih lanjut, misalnya penelitian tentang bentuk kanonik}

  _{Penulis sangat berharap artikel ini dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan}

  I _{. Sedangkan vektor karakteristik tergeneralisir u merupakan r r r r-1 r}

_r-1

^r    

  A I r r ^{1 , dimana r adalah rank dari matriks A.}

• jordan bila diaplikasikan dalam bidang lain atau dalam kehidupan sehari-hari.

   r  

   

  _{Ayres, F. 1994. Matriks. Jakarta: Erlangga. Anton, H. 2002. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga.} DAFTAR PUSTAKA _{Hadley, G. 1992. Aljabar linier. Jakarta: Erlangga.}

Finkbeiner, D.T. 1978. Introduction To Matrices And Linear Transformation. San

_{Francisco: W.H. Freeman and Company. Jacob, B. 1990. Linear Algebra. New York: W.H. Freeman and Company.}

H.S, Suryadi. 1991. Pengantar Aljabar Linear dan Geometri Analitik. Jakarta:

_Gunadarma.

_{Tabrizian, P. 2013. How to Find the Jordan Canonical Form of Matrix.}

Setiadji. 2007. Aljabar Linear. Jogjakarta: Graha Ilmu. _{iakses 26 September 2015.}